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2.3 三角函数的图像
《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第2章讲述三角学回顾。本节说的是三角函数的图像。
作者：杨爽 赵晓婷 高璞 译来源：人民邮电出版社| 14:59
2.3 三角函数的图像
记住正弦、余弦和正切函数的图像的样子确实非常有用. 这些函数都是周期的, 这意味着, 它们从左到右反复地重复自己. 例如, 我们考虑 y =sin(x). 从 0 到2的图像看上去如图 2-14所示.
你应该能够不用想就画出这个图像, 包括 0, =2, , 3=2 和 2 的位置. 由于sin(x)每2单位重复(我们说sin(x)是x的周期函数,其周期为2),通过重复样式,我们可以对图像进行扩展,得到图 2-15.
从图像中读值,我们看到 sin(3=2)=?1及 sin(?)=0. 正如之前注意到的,这就是你应该如何去应对=2的倍数的问题;我们不需要混乱参考角了. 另一个值得注意的是, 该图像关于原点有 180C点对称, 这意味着, sin(x) 是 x 的奇函数.(我们在 1.4节中分析了奇偶函数.)
y =cos(x)的图像和 y =sin(x) 的图像类似. 当 x在从 0 到 2 上变化时, 它看起来就像图 2-16.
现在,利用 cos(x)是周期函数及其周期为 2这一事实,我们对该图像进行扩展,得到图 2-17.
例如, 如果你想要求 cos(), 从图像上读取, 你会看到结果是 ?1. 此外, 注意到, 这次该图像关于 y 轴有镜面对称. 这说明, cos(x)是 x的偶函数.
现在, y = tan(x) 略有不同. 最好是先画出图像, 其中 x 介于 ?=2 和 =2 之间, 如图2-18.
和正弦函数与余弦函数不同的是,正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是 , 而不是 2. 因此, 上述图样可以被重复以便得到y=tan(x)的全部图像,如图 2-19所示.
很明显, 当 x 是 =2 的奇数倍数时, y = tan(x) 有垂直渐近线 (是无定义的).此外,图像的对称性表明, tan(x)是 x的奇函数.
y = sec(x), y = csc(x)及 y = cot(x) 的函数图像也值得我们去学习, 如图2-20、图 2-21、图 2-22所示.
从它们的图像中, 我们可以得到所有六个基本三角函数的对称性的性质, 这些都值得学习.
因此, 对于所有的实数 x, 我们有 sin(?x) = ?sin(x), tan(?x) = ?tan(x) 及cos(?x)=cos(x).
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订阅51CTO邮刊&b&三角函数很好记，祝愿各位高考考研的好成绩。&/b&
三角函数很好记，祝愿各位高考考研的好成绩。
这些汉文名词，在明朝的西洋人来中国著书的时候，就已经确定下来了。顺带一提，徐光启、利玛窦、开普勒、伽利略，都是崇祯年间的人，崇祯是明朝最后一个年号。&br&换句话说，数学爆发，是发生在明末清初的法国。&br&而两三百年后的清末民国，是电磁学爆发。&br&三年内战十年文革，是计算机爆发。&br&现在，我们终于在和平年代，赶上互联网。&br&几次技术革命，我们全在乱世。眼下知识尚未再次被完全垄断，理应借助互联网，发展起来——这句话不是说国家，而是说个人。&br&&br&现代的三角学，是基于弧度的函数。&br&古典的三角学，是基于圆的几何学。&br&原本这几个词都是圆上的几种线，现在全都转变为比值了。（各种比值定义自己翻数学书，这里只讲几何定义——其实比值定义，只不过就是把几何定义里的圆半径看做单位一时的长度）&br&&br&先来，搞清楚什么是“正”，什么是“余”，来看总图。&br&&img src=&/a975cf163dc823fd38d9eeb_b.jpg& data-rawwidth=&281& data-rawheight=&327& class=&content_image& width=&281&&&br&这是四分之一圆的八线图（除了三正三余，还有二矢，现在这不重要，往下读）。&br&正，就是我们认定的那个当正角儿（juer，主角儿，主要角色，正主儿）的那个角（jiao）。&br&余，就是余角，直角90°减去我们认定的那个正角儿，就是余角（直角是规整的，我们拿出需要的那个正角儿，剩下的就是余出来的）。&br&&br&然后，搞清楚“弦”是什么意思。&br&&img src=&/0f4c59afe205b53b57757ca_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/0f4c59afe205b53b57757ca_r.jpg&&&br&弦，就是弓弦。&br&在圆里，弦和弧组成了一张弓。&br&&img src=&/770099dcec8a66ecafe044b_b.jpg& data-rawwidth=&465& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&465& data-original=&/770099dcec8a66ecafe044b_r.jpg&&&br&当这张弓成为半圆的时候，它的弦就成了一个直角三角形的斜边。&br&这就是为什么我国把直角三角形三边称作“勾”、“股”、“弦”。（股，是有肌肉的那一截腿，比如屁股、大股、小股。勾，就是弯折起来的又小又短的那一段，对于腿而言，脚就是勾。）&br&&img src=&/310adbb1cbbad0d438ae45bd0cd604f1_b.jpg& data-rawwidth=&381& data-rawheight=&354& class=&content_image& width=&381&&&br&&img src=&/e433d58caa3b2f8bdb752_b.jpg& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/e433d58caa3b2f8bdb752_r.jpg&&&br&&br&现在，可以进入主题了。&br&来看正弦、正切、正割。&br&&img src=&/bc084b5b7a08153e3bbf413_b.jpg& data-rawwidth=&281& data-rawheight=&327& class=&content_image& width=&281&&&br&看到正矢这个量了没（甲丙的长度），现在已经不怎么用了。矢就是箭，箭就是矢（圣斗士星矢，就是雅典娜射的箭），看那个矢，是搭在弓上，正是射箭的时候准备向后拉弦的状态。&br&原本，正弦，是叫做“正半弦”，但是简化了，所以其他所有名词就都跟着简化了。&br&再重复一遍，现代的定义呢，不关心这些线的几何作用了，只关心他们和圆的半径构成的各种三角形里的各种比例关系（如果圆的半径是1，那么他们的长度，就在数值上等于他们在现代含义里的比值）。&br&切，就是贴合的意思，这里的切可不是切除的切啊！！！是贴切的切！是亲切的切！是切合的切！是第四声！&img src=&/81cae7a777a2b96fe13eb4a106b27310_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&689& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/81cae7a777a2b96fe13eb4a106b27310_r.jpg&&&br&看到没有，重点不是切下来的东西，重点是刀和上图右边的韭菜无缝贴合——这就是切线的含义，切线就是那把刀，圆就是和刀紧密贴在一起的“韭菜”，用刀切出一个圆形来，刀与圆的边紧密贴合，所以才把切线叫做切线。&br&割，就是把圆“割开”的那条线。&br&割和弦的区别，就是割有位于圆外的部分，且经过圆心，而弦的端点是在圆上。&br&&br&再然后，余字辈儿的意思，就应该都明白了。&br&&img src=&/25c5b8b23b_b.jpg& data-rawwidth=&281& data-rawheight=&327& class=&content_image& width=&281&&小注：&br&这张图的四余弦，是对正角而言的，其实就是余角的四正。&br&&br&&br&关于函数图像：&br&x轴是弧度（角度是六十进制，计算它对应的弧的“弧长/半径”，就得到十进制数，把这个数起名为弧度。如此，六十进制的角，就绑定出了十进制数——它的必要性与三角函数求导公式的表达形式有关——试想，如果仍用六十进制表示角，那么在sin图里的斜率，就是十进制数比六十进制数，可我们若要用cos来表达sin'，因为cos值是十进制，那就要加多一个和六十进制有关的常数才能表达出sin'这个半十半六十进制的斜率——这样换来换去的表达太麻烦了，所以为了大一统方便，就创生出同为十进制的弧度）。&br&&br&然后把上述单位圆圆心放在坐标原点。&br&这样，算二弦比值的时候，二弦线有正负，半径无正负（三角形甲乙丁和乙丁己，这里配套的半径不合坐标轴方向，没法儿有正负）。&br&算二切比值，二切线有正负，配套的半径也有正负（三角形丙丁戊和丁庚辛，这里配套的半径直接是在单位圆坐标系的轴上）。&br&算二割比值，二割线无正负（方向不垂于轴，故无正负可言），配套的半径有正负（三角形丙丁戊和丁庚辛，这里的半径，也是和二切配套的半径）。&br&&br&于是，y轴上的比值，就这么确定出来了。&br&&br&所以教科书上在画正弦图像的时候，会画个圆在旁边，这就是原因——只不过正弦图像在y轴上的正负，正好是单位圆所在坐标系的正弦线的正负，所以直接就用这个图，让人以为只要转啊转的，图像直接就出来了。&br&&img src=&/c336dd382e005af7a2ea7ff_b.jpg& data-rawwidth=&549& data-rawheight=&215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&549& data-original=&/c336dd382e005af7a2ea7ff_r.jpg&&&br&但是画出其他图像的机理，可不是这么简单的，因为正负号的确定是一坎儿，具体怎么做，之前我已经讲过了。&br&&br&&br&&br&感慨：&br&古典的概念，再抽象，也必然是以具体的现实实物为基础。&br&不要拿现代的这种不必有实物即可定义的思维，来理解古人的知识。如果用抽象解释抽象，那会有很大偏差，甚至是胡扯。&br&&br&&br&&br&八线图引自：&br&&a href=&///?target=http%3A//highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/%3Fp%3D17412& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&highscope.ch.ntu.edu.tw&/span&&span class=&invisible&&/wordpress/?p=17412&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
这些汉文名词，在明朝的西洋人来中国著书的时候，就已经确定下来了。顺带一提，徐光启、利玛窦、开普勒、伽利略，都是崇祯年间的人，崇祯是明朝最后一个年号。 换句话说，数学爆发，是发生在明末清初的法国。 而两三百年后的清末民国，是电磁学爆发。 三年…
&p&谢邀。既然题主没有给出任何的背景，那么我来说说我的看法。对我来说所有的三角函数源于欧拉公式 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%3D%5Ccos%5Ctheta%2Bi%5Csin%5Ctheta& alt=&e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta& eeimg=&1&& 的应用。&/p&&p&&br&&/p&&p&举几个例子：&/p&&p&1. 想要知道合角公式，那么你只需要应用 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%28%5Ctheta_1%2B%5Ctheta_2%29%7D%3De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7De%5E%7Bi%5Ctheta_2%7D& alt=&e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}& eeimg=&1&& ，然后等式两边分别使用欧拉公式，然后比对即可。&/p&&p&2. 假如我想知道 &img src=&///equation?tex=%5Csin%28%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29& alt=&\sin(\theta+\frac{\pi}{2})& eeimg=&1&& 是多少，我也只需要知道 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%28%5Ctheta%2B%5Cpi%2F2%29%7D%3De%5E%7Bi%5Ctheta%7De%5E%7Bi%5Cpi%2F2%7D%3Die%5E%7Bi%5Ctheta%7D& alt=&e^{i(\theta+\pi/2)}=e^{i\theta}e^{i\pi/2}=ie^{i\theta}& eeimg=&1&& ，然后左右两边继续用欧拉公式展开，比对式子。同样的想法你可以计算 &img src=&///equation?tex=%5Csin%28%5Ctheta%2B%5Cfrac%7Bk%5Cpi%7D%7B2%7D%29& alt=&\sin(\theta+\frac{k\pi}{2})& eeimg=&1&& ，那么传说中的“奇变偶不变，符号看象限”只不过是要知道 &img src=&///equation?tex=%5Cexp%28i%5Cfrac%7Bk%5Cpi%7D%7B2%7D%29& alt=&\exp(i\frac{k\pi}{2})& eeimg=&1&& 是多少而已，无非那么几个数字： &img src=&///equation?tex=1%2Ci%2C-1%2C-i& alt=&1,i,-1,-i& eeimg=&1&& ，拿着单位圆绕几圈就整明白了，变不变就是看有木有 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 而已。你对单位圆有多了解，这玩意就有多容易！&/p&&p&3. 例如我想知道倍角公式 &img src=&///equation?tex=%5Csin%282%5Ctheta%29& alt=&\sin(2\theta)& eeimg=&1&& ，那只需要注意到 &img src=&///equation?tex=%28e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%29%5E2%3De%5E%7Bi2%5Ctheta%7D& alt=&(e^{i\theta})^2=e^{i2\theta}& eeimg=&1&& ，两边使用欧拉公式，左边是 &img src=&///equation?tex=%28%5Ccos%5Ctheta%2Bi%5Csin%5Ctheta%29%5E2& alt=&(\cos\theta+i\sin\theta)^2& eeimg=&1&& ，右边是 &img src=&///equation?tex=%5Ccos2%5Ctheta%2Bi%5Csin2%5Ctheta& alt=&\cos2\theta+i\sin2\theta& eeimg=&1&& ，展开左边比对下就行。同样的方法配合二项式展开定理我们可以算 &img src=&///equation?tex=%5Csin+n%5Ctheta& alt=&\sin n\theta& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&系统的应用欧拉公式是可以得到所有的三角函数公式的，毕竟三角函数就是用指数函数定义的。&/p&&p&&br&&/p&&p&如果你觉得以上太麻烦（毕竟不知道你的背景），那么你还是多用三角公式吧，也就那么几个。你想超市收银员那么多代码要记，他们都可以记下来，你区区几个三角公式记不下来？（没有鄙视收银员的意思）&/p&
谢邀。既然题主没有给出任何的背景，那么我来说说我的看法。对我来说所有的三角函数源于欧拉公式 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta 的应用。 举几个例子：1. 想要知道合角公式，那么你只需要应用 e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} …
所有三角函数都可以由单位圆周边各种线段的长度来表示。&br&正余弦，正余切，正余割，分别对应特定的弦，切线，割线的长度。&br&任何有基础几何的文明，都有弦，切，割的概念。&br&翻译时完全可以意译，无需引入外来词，不用互相借鉴。&br&《几何原本》相关章节是第三卷，由徐光启从拉丁文翻译 [1]。&br&日语把切线叫做接線，而汉语中也有内接圆这样的说法。&br&&img src=&/c65cf849c3ff76ed211acca4cd708678_b.jpg& data-rawwidth=&410& data-rawheight=&599& class=&content_image& width=&410&&&img src=&/3dde92f8eaf0ea551a6d2_b.jpg& data-rawwidth=&402& data-rawheight=&402& class=&content_image& width=&402&&下图是更多变态三角函数。图中AC是半个弦，EF是切线(tangent)，OE是割线(secant)&img src=&/39af9a79d4_b.jpg& data-rawwidth=&338& data-rawheight=&235& class=&content_image& width=&338&&图片均来自&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/T&/span&&span class=&invisible&&rigonometric_functions&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[1] &a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%%25E4%25BD%%258E%259F%25E6%259C%25AC%23.E6.AD.B7.E5.8F.B2& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&zh.wikipedia.org/wiki/%&/span&&span class=&invisible&&E5%87%A0%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC#.E6.AD.B7.E5.8F.B2&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
所有三角函数都可以由单位圆周边各种线段的长度来表示。 正余弦，正余切，正余割，分别对应特定的弦，切线，割线的长度。 任何有基础几何的文明，都有弦，切，割的概念。 翻译时完全可以意译，无需引入外来词，不用互相借鉴。 《几何原本》相关章节是第三卷…
&b&arc就是“弧”的意思。&/b&&br&&br&反三角函数的作用，直观地理解就是“抵消”原三角函数对弧施加的作用，例如&br&&img src=&///equation?tex=arcsin%28sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D+%29%29+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D& alt=&arcsin(sin(\frac{\pi}{6} )) = \frac{\pi}{6}& eeimg=&1&&&br&&br&另一种理解是：&br&arcsin(x)计算的是这样一个&b&弧&/b&，它的“sin值等于x”，也就是说一个值为k的弧，sin(k) = x，那么arcsin(x) = k.&br&&br&用英文说：&br&arcsin of x is the arc whose sin is x.
arc就是“弧”的意思。 反三角函数的作用，直观地理解就是“抵消”原三角函数对弧施加的作用，例如 arcsin(sin(\frac{\pi}{6} )) = \frac{\pi}{6} 另一种理解是： arcsin(x)计算的是这样一个弧，它的“sin值等于x”，也就是说一个值为k的弧，sin(k) = x，那…
我就举一个栗子吧&br&&img src=&///equation?tex=y%3D%5Ctext%7Bcos%7Dx+& alt=&y=\text{cos}x & eeimg=&1&&的反函数是&img src=&///equation?tex=x%3D%5Ctext%7Barccos%7Dy& alt=&x=\text{arccos}y& eeimg=&1&&&br&两者的导数分别是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Ctext%7Bsin%7Dx& alt=&\frac{dy}{dx}=-\text{sin}x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%7D& alt=&\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}& eeimg=&1&&&br&他们俩乘起来是多少呢?&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5Ctimes%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D1& alt=&\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dy}=1& eeimg=&1&&&br&谢邀~
我就举一个栗子吧 y=\text{cos}x 的反函数是x=\text{arccos}y 两者的导数分别是\frac{dy}{dx}=-\text{sin}x和\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} 他们俩乘起来是多少呢?\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dy}=1 谢邀~
我觉得可以自己“发明”口诀！&br&比如说三角函数的和与差，我是这样教学生的：sin正余余正符号同&br&cos余余正正符号反&br&至于诱导公式，曾经发表过一个论文，主要是记忆口诀，在网上应该可以找到《巧用口诀解决三角函数诱导公式》。主要内容五句话：&br&sin奇 cos偶&br&奇π去加负&br&偶π直接去&br&奇变偶不变&br&符号看象限&br&&br&&br&剩下的明天慢慢说
我觉得可以自己“发明”口诀！ 比如说三角函数的和与差，我是这样教学生的：sin正余余正符号同 cos余余正正符号反 至于诱导公式，曾经发表过一个论文，主要是记忆口诀，在网上应该可以找到《巧用口诀解决三角函数诱导公式》。主要内容五句话： sin奇 cos偶 …
数学小白试答。对于第一个问题有一种很简洁的证法，它分为两步，第一步证明指数函数的导数是自身的倍数，第二步证明当这个倍数等于1时，底数等于e。证明如下：&br&y=&img src=&///equation?tex=b%5E%7Bx%7D+& alt=&b^{x} & eeimg=&1&&, &br&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+& alt=&\Delta & eeimg=&1&&x=h, &img src=&///equation?tex=%5CDelta+& alt=&\Delta & eeimg=&1&&y= f(x+h) - f(x), h&img src=&///equation?tex=%5Crightarrow+& alt=&\rightarrow & eeimg=&1&&0,
&br&y'=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D+& alt=&\frac{\Delta y}{\Delta x} & eeimg=&1&&=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bb%5E%7Bx%2Bh%7D-b%5E%7Bx%7D++%7D%7Bh%7D+%3D%5Cfrac%7Bb%5E%7Bx%7D%28b%5E%7Bh%7D-1%29+%7D%7Bh%7D+& alt=&\frac{b^{x+h}-b^{x}
}{h} =\frac{b^{x}(b^{h}-1) }{h} & eeimg=&1&&&br&令&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%28b%5E%7Bh%7D-1%29+%7D%7Bh%7D+& alt=&\frac{(b^{h}-1) }{h} & eeimg=&1&&=k&br&则 y'=k&img src=&///equation?tex=b%5E%7Bx%7D+& alt=&b^{x} & eeimg=&1&&，即指数函数的导数等于自身的倍数&br&现在考察倍数k=1时，即指数函数的导数等于它自身时b的值。&br&k=&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%28b%5E%7Bh%7D-1%29+%7D%7Bh%7D+& alt=&\frac{(b^{h}-1) }{h} & eeimg=&1&&=1&br&&img src=&///equation?tex=b%5E%7Bh%7D& alt=&b^{h}& eeimg=&1&&=h+1&br&b=&img src=&///equation?tex=%28h%2B1%29%5E%7B1%2Fh%7D+& alt=&(h+1)^{1/h} & eeimg=&1&&,&br&用1/n代换h，得到 b=(1+1/n)^n，这个式子是不是很眼熟？&br&考虑到h=&img src=&///equation?tex=%5Crightarrow+& alt=&\rightarrow & eeimg=&1&&0, 而h=1/n, 所以n&img src=&///equation?tex=%5Crightarrow+& alt=&\rightarrow & eeimg=&1&&∞，加上n趋近于无穷这个条件，b其实就等于大名鼎鼎的极限:&br&&img src=&/98d91b2a6db3e1bd39fc3dac_b.jpg& data-rawwidth=&123& data-rawheight=&43& class=&content_image& width=&123&&&p&也就是e（&a href=&///?target=http%3A///view/71765.htm%3Ffromtitle%3De%26fromid%3Dtype%3Dsyn%23viewPageContent& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&自然常数_百度百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&/p&所以y=e^x导数等于自身&br&&br&&br&对于第二个问题，把欧拉公式&img src=&/924d96fb9ea4a31defecb0eb89f3776a_b.jpg& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&161&&中的ix替换为-ix：&br&&img src=&/f9a8315efdbbd5acad6a36b83f13b915_b.jpg& data-rawwidth=&285& data-rawheight=&47& class=&content_image& width=&285&&再把两式相减，就可以得到正弦余弦函数带有e的表达式：&br&&img src=&/40fded1993bb6afcdc913a4_b.jpg& data-rawwidth=&526& data-rawheight=&103& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&526& data-original=&/40fded1993bb6afcdc913a4_r.jpg&&详情请维基百科“欧拉公式”&br&&br&至于它还有哪些有趣的特殊性质，不好一一列举，因为它的特殊性质太多了。所有的指数函数都可以写成y=ae^rx（因为底数b可以写成e^lnb，而后lnb又可以被放到e前面成为一个普通的系数a)，而y=ae^rx可以由y=e^x在坐标系上放大/缩小得到，其导数等于自身的a倍。自然界但凡与“增长”有关的事物都与e和指数函数有关，比如粒子衰变、牛顿温差、复利方程、生物种群和人口增长（高中生物里的s型增长，logistic函数）、肿瘤生长、统计分布、跳伞等，甚至连感觉都可以用它来数学化。大部分自然形成的螺线也与它有关，比如螺旋状的星云、星系（我们的银河系的旋臂）、气流和风暴螺旋、蜗牛外壳的螺纹、向日葵种子的纹路等（维基百科“对数螺线”）。y=e^x函数是如此的奇妙和完美，它是微分方程、乃至整个微积分大厦的地基之一，其导数等于自身，用极坐标表示后形成的螺线自我相似，每一处与'半径'的夹角都相等，连圆，都只不过是y=ae^rx当r=0时的一个特例。而该函数的核心，常数e，则和π一样，是构成我们世界基本运转规律的最自然的常数。
数学小白试答。对于第一个问题有一种很简洁的证法，它分为两步，第一步证明指数函数的导数是自身的倍数，第二步证明当这个倍数等于1时，底数等于e。证明如下： y=b^{x} , \Delta x=h, \Delta y= f(x+h) - f(x), h\rightarrow 0, y'=\frac{\Delta y}{\Delta …
正弦和余弦是一组正交完备基，其重要性就像0和1，x轴和y轴一样。&br&套用一句用烂了的话，你的问题在于想的太多而看的太少。
正弦和余弦是一组正交完备基，其重要性就像0和1，x轴和y轴一样。 套用一句用烂了的话，你的问题在于想的太多而看的太少。
你真没见过这图？&br&&img data-rawheight=&376& data-rawwidth=&339& src=&/4bf4db420cbd0e305ecfab79b59e32e7_b.png& class=&content_image& width=&339&&（来自网络）&br&&br&定义，当然是三角形里面的那个定义喽。至于不在第一、第四象限的情况也就不用说了吧。
你真没见过这图？ （来自网络） 定义，当然是三角形里面的那个定义喽。至于不在第一、第四象限的情况也就不用说了吧。
我先说一下，这张图，尺寸线的标注是不符合规范的。&br&角度的标注，数字必须是水平的角度，而不是随着尺寸线的方向。&br&而且角度的数字一般应写在尺寸线的中断处…&br&线性尺寸的标注，左边75的标注是在应避免的30度以内，所以应该用引出标注&br&右上角的90被轮廓线挡住，应调整标注位置，或断开轮廓线&br&&br&至于线型，或者是尺寸线的端部没有贴上之类的，懒得说了，太基础的错误…&br&&br&然后，明显可以求出，因为两个三角形都已经确定了，三边每条边分成2段，6个变量，而每个三角形有3个约束，共6个，方程封闭，可以求解，方法很多，留做作业
我先说一下，这张图，尺寸线的标注是不符合规范的。 角度的标注，数字必须是水平的角度，而不是随着尺寸线的方向。 而且角度的数字一般应写在尺寸线的中断处… 线性尺寸的标注，左边75的标注是在应避免的30度以内，所以应该用引出标注 右上角的90被轮廓线挡…
以cos x为例子，首先①利用导数定义写出cos x的求导形式，②然后利用和差化积公式（这个公式可以用sin 2α = 2sinα cosα来推导出）③对sin x的导数形式求极限得到-sin x&br&&img src=&/v2-49f1e1c9db2d0af621dd1e_b.png& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&58& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&/v2-49f1e1c9db2d0af621dd1e_r.png&&（快点赞吧....超过10赞，讲求导和和差角公式..的终极推导证明武器！非常好理解）
以cos x为例子，首先①利用导数定义写出cos x的求导形式，②然后利用和差化积公式（这个公式可以用sin 2α = 2sinα cosα来推导出）③对sin x的导数形式求极限得到-sin x （快点赞吧....超过10赞，讲求导和和差角公式..的终极推导证明武器！非常好理解）
首先代码都不发。。。。。。&br&Matlab两秒才解出个数值解很值得骄傲么。。。Mathematica除了那个有约束条件的Reduce还没有超过一秒的。&br&Solve 和 Reduce 哪个不能解, 感情Conditional Expression您看都不看一眼往原方程代啊？&br&&img src=&/v2-ffca9f59d4a8195dc73aea4a47478ec1_b.png& data-rawwidth=&1250& data-rawheight=&290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1250& data-original=&/v2-ffca9f59d4a8195dc73aea4a47478ec1_r.png&&&br&&img src=&/v2-6ec550bff3362b4daf2e36e99cf1f94f_b.png& data-rawwidth=&1204& data-rawheight=&259& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1204& data-original=&/v2-6ec550bff3362b4daf2e36e99cf1f94f_r.png&&&br&这些不是解么？&img src=&/v2-da3dba74c2ae69eb7d91aee39e7d3c85_b.png& data-rawwidth=&1251& data-rawheight=&292& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1251& data-original=&/v2-da3dba74c2ae69eb7d91aee39e7d3c85_r.png&&&br&这个略长就不全截了&br&&img src=&/v2-aa4cf8a757b0e9b4894c6_b.png& data-rawwidth=&1241& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1241& data-original=&/v2-aa4cf8a757b0e9b4894c6_r.png&&这个也许是你想要的吧？&br&&br&(P.S.
Mathematica的数值计算能力根本就不比Matlab差)
首先代码都不发。。。。。。 Matlab两秒才解出个数值解很值得骄傲么。。。Mathematica除了那个有约束条件的Reduce还没有超过一秒的。 Solve 和 Reduce 哪个不能解, 感情Conditional Expression您看都不看一眼往原方程代啊？ 这些不是解么？ 这个略长就不全…
&img src=&/45ba705bc8b1c_b.jpg& data-rawwidth=&2052& data-rawheight=&1532& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2052& data-original=&/45ba705bc8b1c_r.jpg&&
1.先回答题主的问题：&br&&b&&u&函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过&/u&&/b&。现在可以用的一些命题是：&br&令&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Bs_n%7D%5Cleft%28+%7Bt%2Cf%7D+%5Cright%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi+%7D%5Cint_%7B+-+%5Cpi+%7D%5E%5Cpi++%7Bf%5Cleft%28+x+%5Cright%29%7D+%7BD_n%7D%5Cleft%28+%7Bx+-+t%7D+%5Cright%29dx%5C%5D%0A& alt=&\[{s_n}\left( {t,f} \right) = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi
{f\left( x \right)} {D_n}\left( {x - t} \right)dx\]
& eeimg=&1&&，这是f的Fourier级数在一点t处的n阶部分和（它是个卷积哦），其中&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7BD_n%7D%5Cleft%28+u+%5Cright%29+%3D+%5Cfrac%7B%7B%5Csin+%5Cleft%28+%7Bn+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D+%5Cright%29u%7D%7D%7B%7B2%5Csin+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Du%7D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{D_n}\left( u \right) = \frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)u}}{{2\sin \frac{1}{2}u}}\]
& eeimg=&1&&为dirichlet核&br&那么lebesgue常数&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7BL_n%7D+%3D+%7Bs_n%7D%5Cleft%28+%7B0%2C%7B%5Cmathop%7B%5Crm+sgn%7D%7D+%7BD_n%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29%7D+%5Cright%29+%5Csim+%5Cleft%28+%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B%7B%7B%5Cpi+%5E2%7D%7D%7D%7D+%5Cright%29%5Cln+n%5Cleft%28+%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D+%5Cright%29%5C%5D%0A& alt=&\[{L_n} = {s_n}\left( {0,{\mathop{\rm sgn}} {D_n}\left( x \right)} \right) \sim \left( {\frac{4}{{{\pi ^2}}}} \right)\ln n\left( {n \to \infty } \right)\]
& eeimg=&1&&。这对于你判断一个三角级数是否是某函数(当然它要是&img src=&///equation?tex=L%28E%29& alt=&L(E)& eeimg=&1&&的)的Fourier系数会有帮助（必要条件）。&br&Fejer给出了一个充分条件：&br&假如函数是&img src=&///equation?tex=%5C%5BL%5Cleft%28+%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D+%5Cright%29%5C%5D%0A& alt=&\[L\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right)\]
& eeimg=&1&&的，那么它的fourier级数在&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{\left[ {0,2\pi } \right]}\]
& eeimg=&1&&上几乎处处可&b&切萨罗求和&/b&得这个函数。它的推论是：如果&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&的fourier级数在正测度集&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&上收敛，那么它在&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&上几乎处处收敛于&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&。&br&&br&由是我们可以构造这样一个函数，使得一个&img src=&///equation?tex=%5C%5BL%5Cleft%28+%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D+%5Cright%29%5C%5D%0A& alt=&\[L\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right)\]
& eeimg=&1&&的函数，它的fourier级数几乎处处无界发散：&br&在闭区间&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{\left[ {0,2\pi } \right]}\]
& eeimg=&1&&上选取n个点&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7BA_k%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7B4k%5Cpi+%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7B2n+%2B+1%7D+%5Cright%29%7D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{A_k} = \frac{{4k\pi }}{{\left( {2n + 1} \right)}}\]
& eeimg=&1&&，假定一列奇数满足：&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Clambda+_1%7D+%3D+1%2Ck+%5Cge+2%2C%7B%5Clambda+_k%7D+%3E+n%5C%5D%0A& alt=&\[{\lambda _1} = 1,k \ge 2,{\lambda _k} & n\]
& eeimg=&1&&，定义一列数&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%7B%7Bm_k%7D%7D+%5Cright%5C%7D%5C%5D%0A& alt=&\[\left\{ {{m_k}} \right\}\]
& eeimg=&1&&和一系列区间&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%7B%7BJ_k%7D%7D+%5Cright%5C%7D%5C%5D%0A& alt=&\[\left\{ {{J_k}} \right\}\]
& eeimg=&1&&如下：&br&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7Bm_k%7D+%2B+1+%3D+%7B%5Clambda+_k%7D%5Cleft%28+%7B2n+%2B+1%7D+%5Cright%29%5C%5D%0A& alt=&\[{m_k} + 1 = {\lambda _k}\left( {2n + 1} \right)\]
& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7BJ_k%7D+%3D+%5Cleft%5B+%7B%7BA_k%7D+-+1%2F%7Bm_k%7D%5E2%2C%7BA_k%7D+%2B+1%2F%7Bm_k%7D%5E2%7D+%5Cright%5D%5C%5D%0A& alt=&\[{J_k} = \left[ {{A_k} - 1/{m_k}^2,{A_k} + 1/{m_k}^2} \right]\]
& eeimg=&1&&。(&img src=&///equation?tex=k%3D1%2C2%2C...n& alt=&k=1,2,...n& eeimg=&1&&)&br&然后作函数：&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cvarphi+_n%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%3D+%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A+%7Bm_k%7D%5E2%2Fn%2Cx+%5Cin+%7BJ_k%7D+%5C%5C+%0A+0%2Cx+%5Cin+%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%5Cbackslash+%5Cbigcup%5Climits_%7Bk+%3D+1%7D%5En+%7B%7BJ_k%7D%7D++%5C%5C+%0A+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.%5C%5D%0A& alt=&\[{\varphi _n}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{m_k}^2/n,x \in {J_k} \\
0,x \in \left[ {0,2\pi } \right]\backslash \bigcup\limits_{k = 1}^n {{J_k}}
\end{array} \right.\]
& eeimg=&1&&，即为所需的反例。&br&&br&这个周期函数就不可展成fourier级数。至于它的证明，实在太冗长了，也需要实变函数的知识才能理解。&br&&br&傅里叶级数可以表示成某函数的充分必要条件很复杂（反正我还没见过），对它的研究主要还是集中在实变函数中。比较好的结果是在&b&Dirichlet条件&/b&下的。&blockquote&&b&Dirichlet条件：设&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{\left[ {0,2\pi } \right]}\]
& eeimg=&1&&上分段单调或分段可微（有可数个极值点），并且除可数多个第一类间断点外连续，则它的Fourier级数在&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{\left[ {0,2\pi } \right]}\]
& eeimg=&1&&上任一点&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&收敛于&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cfrac%7B%7Bf%5Cleft%28+%7B%7Bx_+%2B+%7D%7D+%5Cright%29+%2B+f%5Cleft%28+%7B%7Bx_+-+%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B2%7D%5C%5D%0A& alt=&\[\frac{{f\left( {{x_ + }} \right) + f\left( {{x_ - }} \right)}}{2}\]
& eeimg=&1&&。&/b&&/blockquote&&br&我想题主所需要的函数大多满足那样的条件。但一般的微积分教材中都有叙述，我就不再叙述了。&br&此外，fourier级数与幂级数不同。&b&每一个给定的幂级数，都是某函数的taylor级数；但每一个给定的三角函数，却不一定是某函数的fourier级数。&/b&&br&&br&&br&&br&&br&2.如果给的函数&b&性质足够好&/b&，我们如何构造这个三角函数的表示？&br&你只需要知道，在&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Cleft%5B+%7B0%2C2%5Cpi+%7D+%5Cright%5D%7D%5C%5D%0A& alt=&\[{\left[ {0,2\pi } \right]}\]
& eeimg=&1&&上，&img src=&///equation?tex=%7Be_n%28x%29%7D%0A& alt=&{e_n(x)}
& eeimg=&1&&=&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt+%7B2%5Cpi+%7D+%7D%7D%2C...%5Cfrac%7B%7B%5Ccos+nx%7D%7D%7B%7B%5Csqrt+%5Cpi++%7D%7D%2C%5Cfrac%7B%7B%5Csin+nx%7D%7D%7B%7B%5Csqrt+%5Cpi++%7D%7D%7D%2C....+%5Cright%5C%7D& alt=&\left\{ {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }},...\frac{{\cos nx}}{{\sqrt \pi
}},\frac{{\sin nx}}{{\sqrt \pi
}}},.... \right\}& eeimg=&1&&(n=1,2,...)中随便取两个乘起来再作积分，得到的是&img src=&///equation?tex=%7B%5Cdelta+_%7Bij%7D%7D& alt=&{\delta _{ij}}& eeimg=&1&&（i=j时为1，i≠j时为0）。这样，我们先假定写成（&img src=&///equation?tex=%7Be_n%28x%29%7D%0A& alt=&{e_n(x)}
& eeimg=&1&&已知，但系数未知）&img src=&///equation?tex=%5C%5Bf+%3D+%5Csum%5Climits_%7Bn+%3D+1%7D%5E%5Cinfty++%7B%7Bc_n%7D%7Be_n%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29%7D+%5C%5D%0A& alt=&\[f = \sum\limits_{n = 1}^\infty
{{c_n}{e_n}\left( x \right)} \]
& eeimg=&1&&，然后要算哪个&img src=&///equation?tex=c_n& alt=&c_n& eeimg=&1&&，就两边同乘以&img src=&///equation?tex=%7Be_n%28x%29%7D%0A& alt=&{e_n(x)}
& eeimg=&1&&，积分就可以得到系数。
1.先回答题主的问题： 函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过。现在可以用的一些命题是： 令\[{s_n}\left( {t,f} \right) = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)} {D_n}\left( {x - t} \right)dx\]
，这是f的Fourier级数…
举简单的三个例子，望题主举一反三。&br&&img src=&/v2-f8daaade9ecbe33a954b_b.png& data-rawwidth=&2276& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2276& data-original=&/v2-f8daaade9ecbe33a954b_r.png&&
举简单的三个例子，望题主举一反三。
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