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人教A版高二数学必修二1.1.2 简单多面体的外接球问题 优质课课件 （共18张PPT）
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简单多面体的外接球问题安顺市第二高级中学
一.球的性质 1. 用一个平面去截球,截面是圆面；用一个平面去
截球面, 截线是圆。大圆--截面过球心,半径等于球半径； 小圆--截面不过球心A2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
多面体的外接球定义:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,
这个球是这个
二.球体的体积与表面积多面体的外接球。 对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体的外接球长方体的外接球对角面长方体外接球的直径等于长方体体对角线设长方体的长、宽、高分别为a、b、c两招搞定简单多面体外接球问题一、构造法
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为
,则其外接球的表面积是
构造正方体或长方体例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的表面积。思考总结:什么样的 [来自e网通客户端]
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球的组合问题表面积与体积的探求
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本题难度：0.63&&题型：计算题
（2016o茂名一模）一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为&&&&．
来源：2016o茂名一模 | 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
一个长方体水箱的底面是边长为5分米的正方形，盛满水50升，水箱的高是（　　）
A、10分米B、2.5分米C、2分米D、
下面关于圆柱和圆锥列举的几种说法中正确的是（　　）（1）高和直径相等的圆柱，它的侧面展开是一个正方形．（2）右边圆柱和圆锥中，只有①号图形的体积是②号图形的，其余图形中任何两个图形之间都不&存在这样的体积关系．（3）等底等高的圆柱．正方体．长方体的体积相比较一样大．（4）把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体的过程后，体积和表面积都不变．（5）在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆锥只有1个．
A、（1）（2）（3）B、（2）（3）（5）C、（3）（5）D、（3）（4）（5）
（2016春o江阴市期中）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则长方体的高和底面边长分别为（　　）
A、5，3B、2，3C、3，5D、5，3
下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是（　　）
A、小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花B、体积为10cm3的长方体，高为hcm，底面积为Scm2C、用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm2D、汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升
（2016o茂名一模）一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为&&&&．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o茂名一模）一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径求出长方体的对角线长即可求出球的半径再求球的表面积．
【解答】解：如图长方体ABCD-A1B1C1D1中AC=12AA1=5它外接球直径2R=A1C=AA12+AC2=13外接球的表面积为4πR2=4π(132)2=169π．故答案为：169π．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o茂名一模）一个长方体高为5，底面长方形对角线长为”主要考察你对
“” “” “”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
球的体积和表面积
球体积公式是 4/3πR立方 球表面积是 4πR平方
知识点试题推荐
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& 2012《夺冠之路》数学文人教版一轮复习课件：（海南专用）第8章8.2空间几何体的表面积和体积
2012《夺冠之路》数学文人教版一轮复习课件：（海南专用）第8章8.2空间几何体的表面积和体积
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资料概述与简介
* 　　3.与圆柱、圆锥、球有关的组合体问题，主要是指内接和外切，解题时应认真研究轴截面、分析平面图，借助相似成比例或直角三角形中的勾股定理找到变量之间的联系. 　　4.计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避免直接求解，要养成用“等积法”和“割补法”转化为规则几何体的习惯. 1.（2009·陕西卷）若正方体的棱长为
,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（
由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，且每个正四棱锥的高均为
，故正八面体的体积为 答案：B * 2.（2009·广东卷）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图1、图2分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图. * （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图; （2）求该安全标识墩的体积; （3）证明:直线BD⊥平面PEG. * 　　
（1）侧视图同正视图, 如右图所示. （2）该安全标识墩的体积为 * （3）证明：如图,连接EG,HF及BD， 设EG与HF相交于O, 连接PO. 由正四棱锥的性质可知, PO⊥平面EFGH,所以PO⊥HF. 又EG⊥HF,所以HF⊥平面PEG. 因为BD∥HF,所以BD⊥平面PEG. * 试题透析本节题型主要以考查简单多面体和旋转体的表面积和体积为主，特别是正多面体以及学生最熟悉的空间图形.为了考查识别图形的能力，常将三视图转化为直观图作为解决问题的前提，有时还要求学生使用“等积法”和“割补法”求不规则的几何体的体积，从而考查学生等价转化的能力.对学生空间想象能力的考查，主要是以考查正多面体的内切球和外接球的表面积和体积，或者球的内接几何体的表面积和体积为主. * 第二课时 空间几何体的表面积和体积 第八章
空间几何体 1.空间几何体的侧面积与表面积公式： （1）柱体、锥体、台体的侧面积就是______________面积之和；表面积（全面积）是________的面积之和. （2）多面体、圆柱、圆锥、圆台的侧面积就是它的____________的面积. （3）圆柱的侧面积公式是__________，表面积公式是_____________； * S表=2πr（r+l） 各个侧面
圆锥的侧面积公式是________,表面积公式是_________;圆台的侧面积公式是___________,表面积公式是______________________；球的表面积公式是_____________. 2.空间几何体的体积公式： 柱体的体积公式是________，锥体的体积公式是________________；台体的体积公式是_________________________；球体的体积公式是________.
S侧=π(r1+r2)l
S表=πr(r+l) S侧=πrl
1.（2009·深圳一模）一个几何体的三视图及尺寸如下，则该几何体的表面积是（
B.16π C.12π
该几何体为半球， 其半径R=2， 则S表=2πR2+πR2=12π. C
* 2.（2009·汕头一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（
由三视图知，该几何体为三棱柱， 如图.所以其表面积
故选D. * * 3.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图为全等的等边三角形，俯视图是半径为r的圆及圆心.若这个几何体的体积为9
4.（2009·珠海模拟）如图为某几何体的三视图，其中正视图是边长为2a的等边三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积为______________.
该几何体为圆锥的一半，其表面积 * 5.（原创题）若一个三棱锥的侧面都是直角三角形，侧棱长分别为a、b、c，则此三棱锥的外接球的半径为______________.
可将此三棱锥补成一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体.长方体的外接球即此三棱锥的外接球，所以长方体的体对角线就是外接球的直径.故易知所求半径为
. * 1.旋转体的表面积和体积 (1)底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为_________cm2. (2)已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为_________. (3)若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于_________. * 16π 1∶3 3 2.空间几何体的内接、内切和外接情形 (1)若正方体的棱长为1， 则它的外接球的体积为________. (2)与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为___________. （3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为___. * 3π
3.相似空间几何体的面积与体积之比 (1)以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的__________. (2)过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为__________. * 1∶3∶5 * 题型1:求几何体的表面积和体积 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为8. （1）求此三棱锥的高和斜高； （2）过三条侧棱中点的截面（中截面）把此三棱锥分成一个棱锥和一个棱台，求所得棱台的侧面积和体积. *
（1）如图所示,O是S在底面内的射影,SO是高. 连接AO并延长 交BC于E,连接SE,OB. 在三棱锥S-OBE中， 各面都是直角三角形, SE是斜高.易知 所以由SO2=SB2-BO2=64-12=52， 得由SE2=SB2-BE2=64-9=55， 得
所以三棱锥的高为
. * * （2）根据定义，A1B1C1-ABC为正棱台，EE1为斜高且
又棱台的高
三棱台的下底面面积S△ABC=
上底面面积
* △ △ * 　　【评注】简单几何体内的基本计算依赖于对它的结构的理解，紧扣定义是关键.而在与正棱锥有关的问题中，常常转化为直角三角形来解决. 体积为52的圆台，一个底面的面积是另一个底面的面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是_______.
设圆锥的体积为V，两个底面的半径分别为r1、r2，面积分别为S1、S2. * 54
* 　　题型2：等积法求几何体的体积或高 　　如下图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点.将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使点A、C重合于点A′,求三棱锥A′—EFD的体积. * 　　　
　由翻折前后的关系知A′D⊥A′E,A′D⊥A′F. 　　又A′E∩A′F=A′,故A′D⊥平面A′EF. 　　因为A′E=A′F=1,且A′E⊥A′F,所以S△A′EF=　. 　　又A′D=2, 　　所以VA′—EFD=VD—A′EF=　S△A′EF·A′D　 =　×　×2=　. * 　　【评注】若直接用公式求三棱锥A′—EFD的体积，就必须求A′到底面EFD的距离(即高)，显然这是比较困难的.一般来说，当直接求距离甚至底面积遇到较大阻力时，往往可以轮换三棱锥中的两个顶点，将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题.这是解决求高或体积问题时常用的思路. * 　　将棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中截去一角B1—A1BC1，求三棱锥B1—A1BC1的体积，并求三棱锥B1—A1BC1的高. 　　　　　如右图，　　 * 　　在正三角形A1BC1中，边长为2，面积为 　　　　　　　. 　　设三棱锥B1—A1BC1的高为h， 　　则　　　　　　　　　　　　　, 　　所以　　　　　　　　　　　　. * 　　题型3：空间几何体的内接、内切、外接问题 　　如图,已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱. * 　　(1)求圆柱的侧面积； 　　　　　(1)设内接圆柱的底面半径为r. 　　S圆柱侧=2πr·x.　　　　① 　　因为　 　　所以　　　　　　　　② 　　②代入①得S圆柱侧= 　 　　　　　　　　　　　(-x2+Hx)(0<x<H). * 　　(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 　　　　(2)S圆柱侧= 　　　=　　　　　　　　　　. 　　所以，当x=　时，(S圆柱侧)max=　　　. * 　　【评注】圆锥的内接问题，一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系，将未知的变量转化为已知变量来解决.圆柱、圆锥的表面积和体积关键是求出底面半径、母线长和高，再准确运用公式进行计算.而求最大、最小值的问题，往往都是转化为某个变量的函数，再运用相关函数的图象和性质求解即可. * 如图所示,P为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点.若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（
设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h, 体积为V′, 则VP-ABC+VP-A1B1C1=
S△ABC·h=
V′, 从而四棱锥P-BCC1B1的体积V=
V′， 所以V′=
V. * 　　1.熟练掌握各种几何体的结构特征是求几何体的侧面积和体积的前提条件，特别是正棱柱和正棱锥的结构特征. 　　2.注意熟记各种几何体的侧面积和体积公式，掌握公式之间的规律，如柱体、锥体、台体公式之间的联系与区别.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，希望记其展开图的特征，如：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形，可类比三角形；圆台的侧面展开图是扇环，可类比梯形等.
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& 谁知道什么是面积,主要内容
谁知道什么是面积,主要内容
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谁知道什么是面积,主要内容
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谁知道什么是面积,主要内容： 面积
面积l眼鱿皿用.旧队肠i
为某类平面图形(如多边形)指定的数值特征，它
具有如下性质:j少面积非负;2)面积可加(对于多边
形，这意味着若图形p日Q由两个没有公共内点的图
形尸和Q组成.则面积叉p日Q)二面积P+面积Q);
3)面积在位移下保持不变;4)单位正方形的面积为1.
术语“面积”也在更一般的意义一F用作三维空间中二维
曲面的数值特征、。维Euclid空间或R记mann空间中
k(2簇k簇n)维曲面的数值特征以及集合的边界及其他
对象的数值特征，见下述
平面图形的面积(area of a Planar figure).历史
L最先被确定面积的是多边形类(即可分解为有限多个
无公共内点的三角形的图形).重要的是在多边形类
中具有性质l)一4)的面积是存在的并且唯一的({11，
121)性质1)一4)的一个直接推论是.整个图形的面积
不小于它的部分的面积
在古代假定f具有性质1)一勺的面积是存在且唯
一的，但没有对该类图形作明确的描述;注意力集中在
计算面积的方法仁矩形(包括边长为无理数的矩形)
的面积公式是基于穷蝎法(exhaustion，methodof).
三角形或多边形的面积是化为矩形面积来计算的，使
这个矩形与给定的三角形或多边形是由同样的全等图
形组成的.可以证明([21)，任何面积相等的多边形可
分解成相同的若干全等图形.
后来，一类叮求方(Jordan可测)的图形被区分r
出来.若平面上一图形M，对任何‘>0，总存在多边
形p和Q，使尹C一M仁Q，且(面积Q一面积p)<。，
则称M为可求积的(squarable).可求积图形的范围非
常广一特别是包括了平面上一切具有逐段光滑边界的
有界区域，也存在不可求积的平面图形在可求积的
图形类中，具有性质功一4)的面积是存在且唯一的
历史上在考虑一类叮求川’阳形之前，人机已知
道如何计算其中某些图形的曲积:圆盘，圆扇形与圆
弓形，各种合成的图形和曲边四边形这些计算都基
乒多边形的穷竭法.在某些场合，Cavalieri原理
(Cavalieri prindPle)可作为这种计算的基础.这个原
理是，若两个这种平面图形用平行于给定直线的每条
直线截出的线段相等，则这两图形的面积相等.积分
法(例如，见【3])给出了计算任何具有逐段光滑边界之
平面区域面积的方便方法.积分学证实了Cavali(tr1原
设法把面积概念推广到更一般的平面集合且.保
留性质l)一4)，导致了测度论的出现和区分出?类平
面Lebesguc可测集.进而对平面土更一般集合的推广
产生了具有性质i)一4)的非唯一的测度，
定向面积(orlented area)._若在定向平面{_有一
条有向闭曲线l，它可能有自交点和重叠部分，则对于
平面中不在l上的每点，有一个整数值函数(正、负或
零)，称为该点关于I的次数它表示曲线I环绕该点
的次数和环绕的方向.这个函数在全平面_L_的积分(如
果存在)称为由I围成的平面区域的定向面积，后者
与通常面积的差别在于带有符号.定向面积的简单性
质可见[4〕.
曲面面积(area可s盯fa代).多面体表面积是最先
和最简单定义的曲面面积，即各个面的平面面积之
和.对于弯曲的曲面，试图以内接多面体表面面积的
极限(类似于曲线的长度定义为内接多边形边长之极
限)来引进面积的概念是有困难的.即使对于非常简单
的弯曲曲面，各个面的面积逐次变小的内接多面体表面
的面积可以有不同的极限，它与多面体序列的选择有
关.Schwartz的例子清楚地证实了这一点，即对平正
圆柱面的侧面，可构造出有不同极限面积的内接多面
体序列([2」).
最经常的办法是对具有逐段光滑边界(或无边界)
的分片光滑曲面，定义其曲面面积通常这是基干下
述构想把曲面剖分成许多具有分段光滑边界的小
片.在每片上选取一点，使得在该点曲面的切砰面存
在，并作这小片曲面在该切平面上的正交投影再把
这些平面投影象的面积相加，最后通过加细剖分(使剖
分的小片的最大直径趋向零)取极限.对一于这类曲面，
这个极限总是存在的，并且若曲面的参数化是由分段
C’阶光滑函数r(“，v)给出的，其中参数“和v在(u，
的平面的区域D中变化，则它的面积F可表示为二重
“一若丫元蕊二元~dudV，(l)
其中g，，二叮，912二几孔头2二?称而几和气表示关于“和
v的偏导数，例如，在!3J}5]中给出此证明.特别
地，若曲面是定义在(x，力平面的区域D上的C’阶光
滑函数z=了伪，力的图，则
‘一若访劲+刀dx，(2)
这里(l+f:场2)’12=联:，其中:是曲面法线与‘轴所
成的(锐)角.由(l)和(2)可得球面或部分球面的面积
标准公式，也可得计算旋转曲面等曲面面积的方法.
对于R记mann流形中的二维分片光滑曲面
([6])，公式(l)可用作其面积的定义，其中911，g，2
和922的角色由限制在曲面上度量张量的分量来充当.
很重要的一点是，即使在二维曲面的场合，面积
也不是对点集指定的，而是对于表示二维流形到空间
之映射的等价类指定的，因此它不同于测度.
k维面积(k一dimensional area).对于一个k维
流形气带或不带边界)到n维Eudid空间(2簇k共n)的
分片光滑浸人f:M~R”，其面积是利用完全类似于
分片光滑曲面的上述构想来定义的.差别仅在于现在
的投影是到k维切平面上，并且对k维投影的体积作
和，若在区域 DCM上引人坐标“’，…，“气则浸人
(D，fl。)的面积F可表示为积分
‘一若侧孟币苏du’…du^，(3)
其中g‘，是数量积(bf/日u‘，ef/日。，).若无=n一l且D
是坐标超平面(x:，…，x，_1)的一个区域，f具有显式表
示x。=z(x，，…，x。_1)，则(3)变成
一、幼面哥公，一。一1.。
若f是光滑映射，则gij就是由浸人所诱导的度量张量
的系数，并且从(3)得知，由外在构想所定义的面积实
属浸人流形的内蕴几何.一般地，不仅对于浸人到r，
而且对于浸人到Riemann流形的情况，都取(3)作为
面积的定义.
关于分片光滑浸人的流形，面积是:a)非负的;b)
对于R”中的k维单位立方体，等于l;c)在正交变换
下保持不变;d)可加的;e)下半连续的，即若沂~f
一致收敛，则F了)(hm inf‘_。F以).此外还有:f)
若p:R”~R”是非伸长映射，则F帅of)(F价;及g)
若{只}是(约个两两正交的k维平面的集合，p‘是到只
上的投影，则
卿，叻《尸仍《艺帅l叽(5)
进一步推广.面积论(theory of area).把F推广到
更一般的对象且保留a)一g)的某些性质，可能有各种
推广方式，导致各种结果.面积论处理的就是这些推
广.要了解各种面积概念之间的关系可见【10].
面积论与测度论之间的界限并不是很清楚的.从
传统上讲，面积论主要研究连续映射的面积，其中考虑
到映射的重复度，而保持可加性却不太重要.关于”
维空间的k维测度，例如，见HaUsd仪任测度(Haus-
do叮measure);Fa.川测度(Favard measure).
面积概念的引进建立在逼近论、积分几何、泛函
分析，或其他公理化的基础上.最通常的一些面积概
Lebesgue面积(Lebesgue area).它定义为(见【7』，
L(M，f)=渔卫尸以)，(6)
其中M是可有限单纯剖分的k维流形，厂:M~R”是
一切可能的分段线性映射的序列，使得关~f，F(厂)
是相应的多面体表面的k维面积.Lebesgue面积对于
Fr白het等价映射是相同的，所以它是Fr闭.et曲面
(Fr改het surfa沈)的一种特征.
若k=2，则条件L(M，f)2的连
续映射类的变分问题(紧性问题)的研究尚有困难.这
已导致寻找其他几何对象(泛流和泛簇)及有关的面积
型特征.建立LebesgUe面积与其他面积概念的关系以
及它的某些性质(如(5)式右边的不等式)方面的复杂性
限制了Lebesgue面积的应用.L(M，f)有两个值得注
意的特性:首先，对于L(M，f)=0可能有体积V以M))
>0;其次，即使对于k=2，当M被一曲线形状的公
共边界分成林和从时，可能有
L(M，f)>L(MI，fl、.)+L(MZ，fl，2)?(7)
已有研究考虑，当可加性用半可加性代替时，性质
a)一助中哪一些仍然成立，例如，假定有(7)型的不等
式，则仍得Lebesgue面积.这一类课题至今(1983
年)尚未被完全考察过(「7]).
积分几何面积(integral一罗。metric area)(见[9]).
设N(M，中，力是关于映射价:M~r在点y任r的某
重复度函数，例如，N=card价一’伽).于是，对于f:M~
r，可定义积分几何面积为
。(厂*)苏N‘M，，?味少，d。)dv(。)，(8)
其中G(n，k)是k维子空间R“CR”的G~ann流形
(Grassmann manilbld)，v是G伪，k)上的规范H姗
侧度(Haar measure)，几是在6‘G(n，k)上的正交投
影.对于重复度不同的函数，面积(8)会有差异.对于
k=2和M可单纯剖分的情形，可以非常特殊地选取
N(M，伞，力使(8)与Lebesgue面积重合，如同k>0且
Hatlsdor汀测度H、l(f伽”完全消发时那样(19]).对于
k=2的情况，各种积分几何面积也曾被G.Peano.Hetz
和5.Banach所引入(!7〕).
集合边界的面积(area of玄he boundary ofa
set)Minkowski面积的引入与证明Brun一Mlnkowsk，
不等式和经典的等周不等式有关.这是对集合」CB”
指定的、用来刻画其边界面积的量，‘l七定义为
F佃，黯分甲+“，一川“)).。
其中B是R”的单位球面卜表示体积.对于具有分片
光滑边界的集合该与凸集A，式(9)的普通极限是存在
的二它与边界的，了一1维面积一致定义‘9)还适用顶
有限维赋范空间的集合，其中因积(即可能不同少
Hausdorff测度从，(胡)，即使对凸集A也如此.
另有一种类似十面积的有用特征量，它与集合相
对应，但主要表征其边界，即可测集的周长(perime-
Lcr).这是泛流质量概念的特殊情况.
内蕴面积(intrlnsic area)若M是可度量化的，
且f:M，R”是局部等距映射.则应考虑L(M，f)与
Hausdorff测度H*(M)之间的关系.当M是有界曲率
的二维流形(twod一mensional man一fold of bounded
curvat盯e)时有L(Mf)=HZ伽).另一方面，一个
连续映射f:材，R”一般诱导出一个「“义度量尸它在
连通分支f’(。)(。好R”八一可能有户价，y)=黄.对尸应用
k维Hausdorff测度的构造，便得出一个特征量，它可取
作个浸入的内蕴面积.对于Li哪chitz类中的f这
个内蕴面积与L‘材f)一致({11力.
泛流质量(current masses)与泛簇(varifolds)，设
M是嵌人R”中的分片光滑的k维定向流形、人形式在M
上的积分给出泛流聪犷几(叫x)，，伙)) dF〔对，它是r上k
形式毋的线性泛函‘这里。是与M相切的单位k向量『
线性泛函了沁本质上刻画了M也可定义一个非线性
泛函(对作定向的材，可用同法厂泛簇喻价一几}(职
、){dF.积分范数{质量){一了谙}一和，叭了{，都与面积即
F(M)相一致.把R”中分片光滑子流形包括在更一般的
泛流和泛簇之内，它们在变分学中所起的作用相当于
J一义解在偏微分方程理论中的作用.
此外还有整数泛流和泛簇的拓广类，它们保留了子
流形的许多儿何性质.例如，一个整数值泛流是可表为
T一艺几In:乱的泛流，其中。，是整数，M是c’阶光滑
一f流形，并且使得由dT(讨=T(d树定义的k一1维泛流
dT的质量是有限的.整数值泛流和泛簇的质量可看作曲
面面积概念的推广.这里还有一个与LebesgUe面积的
关系.设分段光滑映射井M一r致收敛，沂~f，且
令L(M，力=hm二L(M，j:).那么，对应的泛簇科弱
收敛于某个整数值泛簇耳，其中{{卜}{=L(M，f)，因此，
满足L(M、.f)<毋的每个f材一R”自然地与质量为
L伽f)的泛簇U相对应;关于用泛流的语言的叙述见
【译注】Cavalieri原理是17世纪意大利数学家R
Cavalieri发现的.中国南北朝时期的杰出数学家祖冲
之和祖随父子，在解决计算球体积的方法时，己明确
提出了同样的原理:“幂势既同，则积不容异”，后称之
为“祖氏原理”或“祖眼原理”.这比Cavaherj早1 1 00
年以上......
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