由已知数列是常数列,可得,结合及已知函数可得关于的方程,可求由,,及,利用递推关系可求与的关系,可证为等比数列,进而可求,代入可求,可求极限
解:,,,数列是常数列,,即,解得,或.所求实数的值是或.证明:,,,,即.数列是以为首项,公比为的等比数列,于是.由,即,解得..
本题主要考查了利用数列的递推公式证明等比数列,求解数列的通项公式,及数列极限的求解,试题具有一定的综合性
1958@@3@@@@数列的极限@@@@@@152@@Math@@Senior@@$152@@2@@@@数列@@@@@@26@@Math@@Senior@@$26@@1@@@@代数@@@@@@4@@Math@@Senior@@$4@@0@@@@高中数学@@@@@@-1@@Math@@Senior@@$1952@@3@@@@等比关系的确定@@@@@@152@@Math@@Senior@@$152@@2@@@@数列@@@@@@26@@Math@@Senior@@$26@@1@@@@代数@@@@@@4@@Math@@Senior@@$4@@0@@@@高中数学@@@@@@-1@@Math@@Senior@@$1957@@3@@@@数列与函数的综合@@@@@@152@@Math@@Senior@@$152@@2@@@@数列@@@@@@26@@Math@@Senior@@$26@@1@@@@代数@@@@@@4@@Math@@Senior@@$4@@0@@@@高中数学@@@@@@-1@@Math@@Senior@@
@@26@@4##@@26@@4##@@26@@4
第三大题，第3小题
求解答 学习搜索引擎 | 已知函数f(x)=\frac{4x-2}{x+1}(x不等于-1,x属于R),数列\{{{a}_{n}}\}满足{{a}_{1}}=a(a不等于-1,a属于R),{{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})(n属于{{N}^{*}}).(1)若数列\{{{a}_{n}}\}是常数列,求a的值;(2)当{{a}_{1}}=4时,记{{b}_{n}}=\frac{{{a}_{n}}-2}{{{a}_{n}}-1}(n属于{{N}^{*}}),证明数列\{{{b}_{n}}\}是等比数列,并求\lim\limits_{n→\infty }{{a}_{n}}.03第1、2课时数列的极限_百度文库
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03第1、2课时数列的极限
江苏数学教师|
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你可能喜欢14.(全国卷II)；已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga；n=1,2,3,；1a2n；(Ⅰ)证明{bn}为等比数列；；(Ⅱ)如果无穷等比数列{bn}各项的和S=；13；，求数列{an}的首项a1和公差d．；(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的；解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由2；∴当d=0时，{an}为正的常数列就有；
14.(全国卷II)
已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn=
(Ⅰ) 证明{bn}为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列{bn}各项的和S=
，求数列{an}的首项a1和公差d．
(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 2lga2=lga1+lga4 得a22=a1a4
即(a1+d)=a1(a1+3d)，得 d=0或d=a1
当d=0时，{an}为正的常数列 就有
当d=a1时，a2n=a1+(2-1)a1,a2n+1=a1+(2于是数列{bn}是公比为1或
-1)a1,就有
的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}的公比q=1，则当n→∞时其前n项和的极限不存在。 因而d=a1≠0，这时公比q=
2这样{bn}的前n项和为Sn=2d 11-
12则S=limSn=lim2d=
n→+∞n→+∞1d
由S=，得公差d=3，首项a1=d=3
15. (全国卷III)
在等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等差中项.
已知数列a1,a3,ak,ak, ,ak, 成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
解：由题意得：a2=a1a4……………1分
即(a1+d)=a1(a1+3d)…………3分 又d≠0,∴a1=d…………4分
又a1,a3,ak,ak, ,ak, 成等比数列,
∴该数列的公比为q=
=3，………6分
所以akn=a1?3
又ak=a1+(kn-1)d=kna1……………………………………10分
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1……………………………12分
16. （山东卷）
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5(n∈N*) （I）证明数列{an+1}是等比数列；
（II）令f(x)=a1x+a2x2+ +anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1)并比较
2f'(1)与23n-13n的大小.
解：由已知Sn+1=Sn+n+5(n∈N)可得n≥2,Sn=2Sn-1+n+4两式相减得
Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1即an+1=2an+1从而an+1+1=2an+)(
S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11从而a2+1=2(a1+1)
故总有an+1+1=2(an+1)，n∈N又a1=5,a1+1≠0从而
an+1+1an+1
=2即数列{an+1}是等
（II）由（I）知an=3?2-1
因为f(x)=a1x+a2x+ +anx所以f'(x)=a1+2a2x+ +nanx
从而f'(1)=a1+2a2+ +nan=(3?2-1)+2(3?22-1)+ +n(3?2n-1) =3(2+2?22+ +n?2n)-(1+2+ +n)=3(n-1)?2
由上2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)?2n-12(2n2-n-1)=
?12(n-1)?2-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)?
?2-(2n+1)?①
当n=1时，①式=0所以2f'(1)=23n-13n；
当n=2时，①式=-12&0所以2f'(1)&23n2-13n
当n≥3时，n-1&0又2n=(1+1)=Cn0+Cn+ +Cn+Cn≥2n+2&2n+1
所以(n-1)?2n-(2n+1)?&0即①&0从而2f'(1)&23n2-13n
??17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后
的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+
?50=25n+225n,
令25n+225n≥4750,即n+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400?(1.08)?0.85.
由题意可知an&0.85 bn,有250+(n-1)?50&400?(1.08)n-1?0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷）
nn-1n-22n-1n*
(n∈N,a&0,b&0). 已知un=a+ab+ab+ +ab
（Ⅰ）当a=b时，求数列{un}的前n项和Sn； （Ⅱ）求lim
（18）解：（Ⅰ）当a=b时，un=(n+1)a．这时数列{un}的前n项和
Sn=2a+3a+4a+ +na
①式两边同乘以a，得
aSn=2a+3a+4a+ +na
①式减去②式，得
(1-a)Sn=2a+a+a+ +a-(n+1)a
a(1-a)(1-a)
-(n+2)a(1-a)
若a=1，Sn=2+3+ +n+(n+1)=
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，则limun=(n+1)a，当a
时，un=an+an-1b+ +abn-1+bn=an[1+
+()+ +() aaa
1nn+1n+1a=a=(a-b)
=lim=a． n→∞bn
若a&b&0，lim
若b&a&0，lim
19. （天津卷）若公比为c的等比数列｛an｝的首项a1＝1且满足：an=4，…）。
（I）求c的值。
（II）求数列｛nan｝的前n项和Sn。
20. （浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，
求a，b，c．
?a+b+c=15 …… (1)?
解：由题意，得?a+c=2b……(2)
?(a+1)(c+4)=(b+1)……(3)
将c=10-a代入(3),整理得a-13a+22=0
由(1)(2)两式，解得b=5
解得 a=2或a=11
故a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1 经验算，上述两组数符合题意。 21（浙江卷）设点An(xn，0)，Pn(xn,2＝－2－4n－
)和抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn(n∈N*)，其中an
，xn由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1
上点的最短距离，…，点Pn+1(xn+1,2)在抛物线Cn：y＝x＋an x＋bn上，点An(xn，0)到Pn+1
的距离是An 到Cn 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{xn}是等差数列．
解：（I）由题意，得A1(1,0),C1:y=x2-7x+b1。 设点P(x,y)是C
1上任意一点，则|A1P|=
令 f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则f'(x)=2(x-1)+2(x2-7x+b1)(2x-7). 由题意，得f'(x2)=0,即2(x2-1)+2(x22-7x2+b1)(2x2-7)=0. 又P2(x2,2)在C1上，
∴2=x2-7x2+b1,
解得x2=3,b1=14.
故C1方程为y=x2-7x+14.
(II)设点P(x,y)是C
n上任意一点，则|AnP|=令
g(x)=(x-xn)+(x+anx+bn)
g(x)=2(x-xn)+2(x+anx+bn)(2x+an).
由题意得g'(xn+1)=0，即2(xn+1-xn)+2(xn+1+anxn+1+bn)(2xn+1+an)=0 n2
又 2=xn+1+anxn+1+bn,
∴(xn+1-xn)+2(2xn+1+an)=0(n≥1).即(1+2
)xn+1-xn+2an=0
下面用数学归纳法证明xn=2n-1 ①当n=1时，x1=1, 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即xk=2k-1,
则当n=k+1时，由（*）知 (1+2)xk+1-xk+2ak=0
又ak=-2-4k-2k-1, 1+2
即当n=k+1时，等式成立。 由①②知，等式对n∈N成立。 ∴{xn}是等差数列。 ∴xk+1=
22. (重庆卷)数列{an}满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0 (n≥1)。记bn=
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
（I）a1=1,故b1=
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数列高考知识点归纳(非常全!)[1]
数列高考知识点大扫描数列基本概念 数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将 数列分类： 依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列； 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法） ； 数列通项： a n ? f ( n ) 2、等差数列 1、定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时，总有 a n ? 1 ? a n ? d , ( d 常 ) ，d 叫公差。王新敞奎屯 新疆2、通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d 1） 、从函数角度看 a n ? d n ? ( a1 ? d ) 是 n 的一次函数，其图象是以点 (1, a1 ) 为端点, 斜率为 d 斜线上一些孤立点。 2） 、从变形角度看a n ? a n ? ( n ? 1 ) ? d , )即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。 (又 a n ? a1 ? ( n ? 1) d , a m ? a 1 ? ( m ? 1) d , 相减得 a n ? a m ? ( n ? m ) d ，即 a n ? a m ? ( n ? m ) d . 若 n&m，则以 a m 为第一项， a n 是第 n-m+1 项，公差为 d； 若 n&m ，则 a m 以为第一项时， a n 是第 m-n+1 项，公差为-d. 3） 、从发展的角度看 若 { a n } 是等差数列，则 a p ? a q ? 2 a1 ? ( p ? q ? 2 ) d 如下命题：在等差数列中，若 m ? n ? p ? q ? 2 r , 则 a m ? a n ? a p ? a q ? 2 a r . 3、前 n 项和公式 由 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , S n ? a n ? a n ? 1 ? ? ? a1 ， 相加得 ， a m ? a n ? 2 a1 ? ( m ? n ? 2 ) d , 因此有Sn ?a1 ? a n 2n，还可表示为 S n ? n a 1 ?n ( n ? 1) 2d , ( d ? 0 ) ，是 n 的二次函数。特别的，由 a1 ? a 2 n ? 1 ? 2 a n 可得 S 2 n ? 1 ? (2 n ? 1) a n 。3、等比数列 1、 定义 当 n ? N ,且 n ? 2 时，总有an a n ?1? q ( q ? 0 ) , q 叫公比。12、通项公式： a n ? a 1 q 3、前 n 项和公式:n ?1? am qn?m, 在等比数列中，若 m ? n ? p ? q ? 2 r , 则 a m ? a n ? a p ? a q ? a r .2由 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , qS n ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ? 1 ， 两式相减，当 q ? 1 时， S ?a 1 (1 ? q )n1? q?a1 ? a n q 1? q, ( q ? 1) ；当 q ? 1 时 ， s n ? n a 1 。关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视 S ?a 1 (1 ? q )n1? q?a1 ? a n q 1? q成立的条件： q ? 1 。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法” ，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为 d 的等差数列 { a n } ， S n ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x2 n，则 xS n ? a1 x ? a 2 x ? ? a n ?1 x ? a n x2 3 nn ?1，相减得 S n (1 ? x ) ? a1 x ? d x ? ? ? d x ? a n x2 nn ?1，当 x ? 1 时， S n (1 ? x ) ? a 1 x ?d x (1 ? x 1? xn ?1)? an xn ?1， Sn ?a1 x ? a n x 1? xn ?1?d x (1 ? x2n ?1 2)(1 ? x )当 x ? 1 时 ， S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n a1 ? 3）从函数角度看n ( n ? 1) d 2；S n 是 n 的函数，此时 q 和 a 1 是常数。4、等差与等比数列概念及性质对照表 名称 定义 等差数列 等比数列a n ?1 ? a n ? d , ( d 常 ) a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n ( n ? N *)a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? am ? (n ? m )d变式： a1 ? a n ? ( n ? 1) da n ?1 an? q , ( q常 ) ，an?2 a n ?1?a n ?1 an( n ? N *)通项 公式a n ? a1 q ? am qn ?1n?m.m ? n ? p ? q ? 2r性质m ? n ? p ? q ? 2r ? am ? an ? a p ? aq ? (ar ) .2? am ? an ? a p ? aq ? 2ar .( d ? 0可 逆 )m ? n ? 2r ? am ? an ? 2ar .(q ? 1可 逆 )m ? n ? 2r ? am ? an ? (ar ) .2中项单调性d ?0时增a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 增；2d ?0时d ?0时常数列 减a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 时减；q ? 1 时常数列， q ? 0 时摆动数列前 n 项 和Sn ?a1 ? a n 2n d , (d ? 0)S ? ?a 1 (1 ? q )n1? q 1? q , ( q ? 1)? n a1 ?n ( n ? 1) 2a1 ? a n q（推导方法：倒加法）（推导方法：错位相消法）s n ? na1 ( d ? 0)结论 1、s n ? n a 1 ( q ? 1){ a n } 等比, 公比 q，则 { ka n } 等比， 公比 { a n }等比 ,公比 {22{ a n } 等差,公差 d ， 则 { ka n ? b } 等差 公差kd ； 子 数*列an } 等比,公比2q 。子数列若 { k n } 等差, 。a k , a k ? m , a k ? 2 m ,? , a k ? nm , ( m ? N ) 等 差 ,a 2 , a 4 , a 4 , ? a 2 n 等比，公比 q公差 若 { k n } 等差 ，公差 d 1 ，则 { a k } 等n;d公差 d, 差，公差 d 1 ? d 。 2、则 { a k } 等比 , 公比为 qn{ a n } 等差,公差 d 则 { a n ? a n ? 1 } 等差，公差2d;{ a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 } 等差, 公差 3d.2? 1 ? 1 {a n } 等比, 公比 q , 则 ? ? 等比，公比 q ? an ?{ a n ?1 ? a n ? a n ? 1 }等 比 ， 公 比;q3；S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ? 等差, 公差 k d , { a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 } 等比，公比且 S 3 k ? 3( S 2 k ? S k ). 即连续相同个数的和成 等差数列。S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ? 等比，公比 q ， （当 kk为偶数时， q 3、k? 0） 。{ a n } 等差.公差 d ?an ? am n?m.S m ? S n ? S m ? n ? 0. S n ? m , S m ? n ? S ? ? ( m ? n ).4、 等差 { a n } 共 2n 项，则{ a n } 等比，公比 q ?n?man am.Q 偶 ? Q 奇 ? ( a1 ? a 3 ? ? a 2 n ?1 )( q ? 1)Q偶 ? Q奇 ? nd ,Q偶 Q奇?an a n ?1=a 1 (1 ? q 1? q?2n)等差 { a n } ，共 2n+1 项，则Q偶 Q奇a2 ? a4 ? ? a2n a1 ? a 3 ? ? a 2 n ?1? q.3Q 奇 ? Q 偶 ? a n ? 1 (中 ),Q偶 Q奇?n n ?1;5、{ a n } 等差 ? a n ? a n ? 1 ? d? Sn ? a1 ? a n 22{ a n } 等比, 公比 q ? a n ? a 1 qn ?1n? Sn ?a 1 (1 ? q )n1? qn?a1 ? a n q 1? q? S n ? A n ? B n ? a n ? kn ? b? an ?S 2 n ?1 2n ? 1? S n ? a ? 1, ( a ? 0, a ? 1)..联系 1、各项不为 0 常数列，即是等差，又是等比。2、 通项公式 3、an ? {S 1 , ( n ? 1) S n ? S n ?1 , ( n ? 2 ).{ a n } 等差，公差 d， c ? 0, c ? 1 , 则 c 1 , caa2?caan,即 { c n } 等比，公比 c .a a aqad4、{ a n } 等比， 公比 q, a n ? 0 ( a ? 0, a ? 1) , lo g a 1 , lo g a 2 , ? lo g a n , 即 { lo g a n } 等差,公差 lo g a . { a n } 等差, {b n } 等比, 则 { a n ? b n } 前 n 项和求法，利用错位相消法求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。5、6、5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 递推数列的基本方法，其中数列{ f ( n )} 可求前 n 项和，即 a n ? a1 ? ( a 2 ? a1 ) ? ? ? ( a n ? a n ?1 ) ；累乘法是求形如 a n ? 1 ? g ( n ) ? a n 递推数列通项公式的基本方法，其中数列 { g ( n )} 可求前 n 项积，即 a n ? a 1 ?a2 a1?a3 a2?an a n ?1, (a ? 0) .第一节 题根一等差数列的概念、性质及前 n 项和等差数列{an}中， a 6 ? a 9 ? a12 ? a15 ? 20 ，求 S20[思路]等差数列前 n 项和公式 S n ?( a1 ? a n ) n 2? n a1 ?n ( n ? 1) 2d ：1、 由已知直接求 a1 ，公差 d. 2、 利用性质 m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? a q [解题 ] 由 a 6 ? a 9 ? a12 ? a15 ? 20 ， a 6 ? a15 ? a 9 ? a12 ? a1 ? a 20 ，得2 (a1 ? a2 0)?2， 04? a1 ? a 2 0 ? 1 0 ，? S n ?( a1 ? a 2 0 ) ? 2 0 2? 100 。[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。[请你试试 1――1] 1、 等差数列{an} 满足 a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 1 ? 0 ，则有 （ A、 a1 ? a1 0 1 ? 0 B、 ）a2 ? a 1 0 0 0 ?C、a3 ? a9 9?0D、a51 ? 5 12、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S 1 3 。第1变求和方法――倒序相加法[变题 1] 等差数列{an}共 10 项， a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 2 0 ， a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? 6 0 ，求 Sn. [思路] [解题] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想 Sn 公式推导方法。 已知 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 2 0 ， a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? 6 0 ， 又 4 ( a1 ? a n ) ? 8 0 ，得a1 ? a n ? 20 ，? S n ?( a1 ? a n ) ? n 2?20 2? 10 ? 100 ，[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质： m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? a q ，快捷准确； 3、 求出 a1 ? a n 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。[请你试试 1――2] 1、 等差数列{an}共 2k+1 项，所有奇数项和为 S 奇 ，所有偶数项和为 S 偶 ，求 S 奇 ： S 偶 的值。 2、 等差数列{an}前 n 项和为 18 ，若 S 3 ? 1 , a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 , 求项数 n . 3、 求由 1,2,3,4 四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。 4、 求和 S n ?C1 n?2C2 n? ? ? nC n 。n第2变已知前 n 项和及前 m 项和，如何求前 n+m 项和[变题 2] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m&n)，求 Sn+m 的值。[思路] S n , S m , S m ? n 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? a q 是否有关？ [解题] 即 由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+??+am=b 得 a n+1+an+2+??+am =b-a, 得a n ?1 ? a m 2(m ? n) ? b ? a ，a n ?1 ? a m 2?b?a m?n由(n+1)+m=1+(n+m), 故 S m?n ?得 an+1+am=a1+am+na1 ? a m ? n 2(m ? n) ?a n ?1 ? a m 2(m ? n) ?b?a m?n( m ? n ).5[请你试试 1――3] 1、在等差数列{an}中， S 6 ? 1 5 ， S 9 ? 5 5 ，求 S 1 5 。 2、在等差数列{an}中， S 3 ? 1 ， S 9 ? 3 ，求 S 1 2 。 第3变 [变题 3] 已知已知前 n 项和及前 2n 项和，如何求前 3n 项和在等差数列{an}中， S 1 0 ? 2 0 ， S 2 0 ? 4 0 ，求 S 3 0 由 S 1 0 , S 2 0 , S 3 0 寻找 S 1 0 , S 2 0 ? S 1 0 , S 3 0 ? S 2 0 之间的关系。[思路][解题]? S 设数列{an}公差为 d ， S 1 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 ， S 20 ? S 10 ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 ， 30 ? S 20 ? a 21 ? a 22 ? ? ? a 30 ,? ( S 20 ? S 10 ) ? S 10 ? 10 ? 10 d , ( S 3 0 ? S 2 0 ) ? ( S 2 0 ? S 1 0 ) ? 1 0 ? 1 0 d ，所 以S10 , S 20 ? S 10 , S 30 ? S 20 成 等 差 数 列 ， 公 差100d,于 是2 ( S 20 ? S10 ) ? S10 ? ( S 30 ? S 20 ) ， 得S 3 0 ? 3( S 2 0 ? S 1 0 ) ? 3 ? 2 0 ? 6 0 。[ 收 获 ] 1 、 在 等 差 数 列 {an} 中 ， S 1 0, S2 0? S 10 , S3 0? S 20 成 等 差 数 列 ， 即a1 ? a 2 ? ? ? a10 ， a1 1 ? a1 2 ? ? ? a 2 0 ，a 21 ? a 22 ? ? ? a 30 ，??，成等差数列，且 S 3 0 ? 3( S 2 0 ? S 1 0 ) 。3、 可推广为 S 5 n ? 5( S 3 n ? S 2 n ) ， S 7 n ? 7 ( S 4 n ? S 3 n ) ，??， S ( 2 k ? 1) n ? ( 2 k ? 1)[ S kn ? S( k - 1 ) n ] 。[请你试试 1――4] 1、在等差数列{an}中， a 1 ? a 2 ? 3 ， a 3 ? a 4 ? 6 ，求 a 7 ? a 8 2、在等差数列{an}中， a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 ? 1 0 ， a11 ? a12 ? ? ? a 20 ? 2 0 ，求 a 31 ? a 32 ? ? ? a 40 3、在等差数列{an}中， S 1 0 ? 2 0 ， S 2 0 ? 3 0 ，求 S 5 0 及 S 1 0 0 。 4、数列{an}中， S n ? a ， S 2 n ? b ，求 S 3 n 。 5、等差数列{an}共有 3k 项，前 2k 项和 S 2 k ? 2 5? ，后 2k 项和 S 2 k ? 7 5 ，求中间 k 项和 S 中 。第 4 变 迁移变换 重视 Sx=Ax2+Bx 的应用 [变题 4] 在等差数列{an}中，Sn=m,，Sm=n,(m&n)，求 Sn+m 的值。 无关时，常设为 S=An2+Bn 形式。[思路] 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，若所求问题与 a 1 , d [解题] 由已知可设 两式相减 ，得 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n , 又 m&n ,A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n ,2所以 A ( n ? m ) ? B ? ? 1 ，得S m?n ? A(m ? n ) ? B m ? n ? m ? n ( ) (A [m ? n ? B ? ?] m ? ( 。 ) ( ) n)[收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。 6[请你试试 1――5] 1、 在等差数列{an}中， S 1 2 ? 8 4 ， S 2 0 ? 4 6 0 ，求 S 3 2 2、 在等差数列{an}中， S m ? S n , ( m ? n ) ， ，求 S m + n 3、 在等差数列{an}中， a 1 ? 0 ， S 1 0 ? S 1 5 ，求 当 n 为何值时， S n 有最大值 第5变 归纳总结，发展提高[题目] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m&n)，求 Sn+m 的值。 （仍以变题 2 为例） 除上面利用通项性质 m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? a q 求法外，还有多种方法。现列举例如下： 1、 基本量求解： 由 S n ? na 1 ?n ( n ? 1) 2 2n?md ? a , S m ? ma 1 ?m ( m ? 1) 2d ? b，( m ? n )( m ? n ? 1) 2 d相减得 ( n ? m )[ a 1 ? 代入得 S m ? n ?m ? n ?1d ] ? a ? b , S m ? n ? ( m ? n ) a1 ?。( m ? n )( a ? b )2、利用等差数列前 x 项和公式 Sx=Ax2+Bx 求解 由 Sx=Ax2+Bx，得 两式相减 ，得 即 A(n ? m ) ? B ? Sn=An2+Bn, Sm=Am2+BmA(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-ba?b n?m故 S m?n ? A(m ? n) ? B (m ? n) ?2n?m n?m(a ? b)3、利用关系式Sn n? An ? B 求解由Sn n? An ? B知Sn n与 n 成线性关系，从而点集{(n,Sn n)}中的点共线，即(n,Sn n),sn(m,Sm m),(m+n,S m?n m ?n sm ?n ?)共线，则有n m ? m?n n n?m m?n?nna ? nb n?m， 即 sm ?n ??smsm?n?sn， 即an m ? m?n n?m m?bsm ?n?a n，化简, 得n m?nma ? nb n?m?a ?n?m n?m(a ? b) .4、利用定比分点坐标公式求解 由 A(n,?Sn n), B(m,Sm m), P(m+n,S m?n m ?n?) 三 点 共 线 , 将 点 P 看 作 有 向 线 段 AB的 定 比 分 点 , 则sn? m?n?n m ? (m ? n) ? ? m n，可得? ?AP?sm?n m?n? nPB即 sm ?n ?n m ? n n ? a?b , m m n?m 1 ? (? ) 1? n n? (?m)sma?bn?m n?m(a ? b) .[请你试试 1――6] 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，S2=3，S6=4 ，则 S12______. 7第二节 题根二等比数列的概念、性质及前 n 项和等比数列{an} ， a 5 ? 4, a 7 ? 6 , 求 a 9 。[思路] 1、由已知条件联立，求，从而得 2、由等比数列性质，知成等比数列。 [解题 1] 由 a 5 ? a1 q4? 4, a 7 ? a1 q ? 9 ,6两式相除，得2 2q ?23 2，? a 9 ? a 7 q2? 6?3 2?9。[解题 2] 由 a 5 , a 7 , a 9 成等比，得a9 ?a7?6? 9。a54[收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础； 2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 [ 请你试试 2 ――1]等比数列{an} ， a 1 ? 0, q ? 2 ，若 a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a 3 0 ? 230，则 a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? a 3 0 ? _______。第1变连续若干项之和构成的数列仍成等比数列[变题 2] 等比数列{an} ， a1 ? a 2 ? a 3 ? 2, a 4 ? a 5 ? a 6 ? 6 ，求 a 1 0 ? a1 1 ? a1 2 。 [思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设 b1 ? a1 ? a 2 ? a 3 , b 2 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ，??， b 4 ? a1 0 ? a1 1 ? a1 2 ， 则 {b n } 是等比数列， b1 ? 2, q ? 3 ，? b 4 ? b1 q ? 2 ? 3 ? 5 4 ，即 a1 0 ? a1 1 ? a1 2 ? 5 4 。3 3[收获] 等比数列{an} ， q ? ? 1 当 k 为偶数时， qk时， S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ，?? 成等比数列，但总有 S k ? ( S 3 k ? S 2 k ) ? ( S 2 k ? S k )2。? 0 恒成立。[请你试试 2――2] 1、等比数列{an} ， q ? ? 1 2、等比数列{an} ， q ? ? 1 时， S 2 ? 2, S 4 ? 6 ，求 S 6 。 时， S 2 ? 1, S 6 ? 2 1 ，求 S 4 。第2变S3, S9 , S6成等差，则a3 , a9 , a6成等差[变题 3] 等比数列{an} 中， S 3 , S 9 , S 6 成等差，则 a 3 , a 9 , a 6 成等差 。 [思路] S 3 , S 9 , S 6 成等差，得 S 3 ? S 6 ? 2 S 9 ，要证 a 3 , a 9 , a 6 等差，只需证 a 3 ? a 6 ? 2 a 9 。 [解题]由 S 3 , S 9 , S 6 成等差，得 S 3 ? S 6 ? 2 S 9 ， 当 q=1 时， S 3 ? 3 a1 , S 6 ? 6 a1 , S 9 ? 9 a1 , 由 a 1 ? 0 得S 3 ? S 6 ? 2 S 9，? q ? 1 。8由 S3 ? S6 ? 2S9 ，得a 1 ( 1? q ) a1 ( 1 q ) ? ? ? 1? q 1? q3 63 62 a 1?1 q (91 q ?，)整理得q ? q ? 2 q ，? q ? 0 ，得 1 ? q ? 2 q ，3 6 9两边同乘以 a 3 ， 得 a 3 ? a 6 ? 2 a 9 ，即 a 3 , a 9 , a 6 成等差。 [收获] 1、等比数列{an} 中， S 3 , S 9 , S 6 成等差，则 a 2 , a 8 , a 5 成等差。 2、等比数列{an} 中， S n , S m , S k 成等差，则 a n ? d , a m ? d , a k ? d （其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N , d ? Z* *）成等差3、等比数列{an} 中， a n , a m , a k 成等差，则 a n ? d , a m ? d , a k ? d （其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N , d ? Z ）成等差。[请你试试 2――3] 1、 等比数列{an} ， q ? 1 ， a 3 , a 5 , a 6 成等差， 求 a1 1 ? ( a 9 ? a1 0 ) 的值。 2、等比数列{an} ， a1 , a 7 , a 4 成等差，求证 2 S 3 , S 6 , S 1 2 ? S 6 成等比。第3变{S n }是等比，{a n }也是等比数列[变题 4]数列 { a n } 中， a 1 ? 0 且 S 1 , S 2 , ? , S n , ? ，是等比数列，公比 q ( q ? 1 )，求证 { a n } ( n ? 2 ) 也是等比数列。[思路] ? a n ? S n ? S n ? 1 ,欲证 { a n } 为等比数列，只需证an a n ?1为常数。[ 解题]? a n ? S n ? S n ?1 ， a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ， n ? 2 ）, 得 （a n ?1 an?S n ?1 ? S n S n ? S n ?1，而 S n ? S n ? 1 ? q ， S n ? 1 ? S n ? 1 ? q ，2?a n ?1 an?S n ? 1 ? q ( q ? 1) S n ? 1 ( q ? 1)? q ， n ? 2 ）, 故 { a n } 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。 （第4变 问题等比数列在分期付款问题中应用顾客购买一售价为 5000 元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后 1 个月付款一次，到第 12 次付款后全部付清。如果月利润为 0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到 1 元） 分析一：设每期应付款 x 元，则 第 1 次付款后，还欠 第 2 次付款后，还欠 ???? 最后一次付款后，款已全部还清，则 .8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-??-x(1+0.8%)-x=0 ， ， 即 x? .8%)-x（元） [.8%)2-x(1+0.8%)-x=.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）第 3 次付款后，还欠 {.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）移项 .8%) =x(1+0.8%) +x（1+0.8%） +??+x(1+0.8%)+x1211101 ? 1 .0 0 8121 ? 1 .0 0 8? 5 0 0 0 ? 1 .0 0 8129算得 x ?5 0 0 0 ? 1 .0 0 812? (1 .0 0 8 ? 1) ?11 .0 0 812? 4 3 8 .6 （元）一般地，购买一件售价为 a 元的商品，采用分期付款时，要求在 m 个月内将款还至 b 元，月利润为 p，分 n（n 是 m 的约数）次m付款，那么每次付款数计算公式为 x ?[ a (1 ? p ) ? b ][(1 ? p ) n ? 1]m(1 ? p ) ? 1m.分析二：设每月还款 x 元，将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要计算 12 个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算 11 个月 的利息，第二次还的钱应计算 10 月的利息??，于是得方程 .8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+??+x(1+0.8%)+x， 分析三：设每次还款 x 元，把还款折成现在的钱，可得 解得 x ? 438.6 （元）5000 ?x 1 ? 0 .8 %?x (1 ? 0 .8 % )2?? ?x (1 ? 0 .8 % )11， 解得x ? 4 3 8 . （元） 6 。将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。[请你试试 2――4] 某地现有居民住房的总面积为 a m2， 其中需要拆除的旧住房面积占了一半。 当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况 下， 仍以 10%的住房增长率建设新住房。 如果 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番， 那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少？ （取 1.110 为 2.6） 第三节 [题根 3] 求分数数列 常见数列的通项及前 n 项和11? 2 2 ?3 3 ? 4,1,1, ? 的前 n 项和 S n[思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数 1。 [解题] 数列通项公式 a n ?1 n ( n ? 1)1 2 ? 1 3，亦可表示为 a n ?1 n?1 n ?1，所以 S n ? 1 ? [收获]1 2???1 n?1 n ?1?1?1 n ?1?n n ?1。将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数 1 由到 d[变题 1]求分数数列11?3 3 ?5 5 ?7,1,1, ? 的前 n 项和 S n 。[思路] 写出通项公式，裂项求和。 ， [解题] ? a n ?1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)?1 ? 1 1 ? ?? ? ?， 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? Sn ?1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 。 ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1[收获]1、求分数数列的前 n 项和 S n 时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。 2、用裂项法可求解： （1） 若 { a n } 为等差数列， a n ? 0, k ? 1, 2, ? ，公差为 d，则101 a1 ? a 2?1 a2 ? a3?1 a3 ? a4?? ?1 a n ? a n ?1?n a1 ? a n ?1.3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型 a n ?1 n ( n ? 3)?1 ?1 1 ? ?? ? ? ； 3 ?n n?3?根式型an ?1 n ?1 ?m n? nn ?1 ?n ；1 a ? b?1 a?b( a ?b ) 。 另 外 还 有 ： nn!=(n+1)!-n! ，Cm ?1 n?Cm n ?1?C。[请你试试 1、求分数数列3――1]1 1 1 1 , , , , ? 的前 n 项和 S n 2 6 12 202、求分数数列121 ?2 2 ?4 3 ?6 4 ?82 2 2,1 8?2 3 ?52 2,1 8 ?3 5 ?72 2,1 8?4 7 ?92 2, ? 的前 n 项和 S n 。 , ? 的前 n 项和 S n 。2、 求分数数列8 ?1 1 ?32 2,,,第 2 变 分母中因数由 2 到 3 [变题 2] 求分数数列11? 2 ?3 2 ?3 ? 4 3 ? 4 ?5,1,1, ? 的前 n 项和 S n 。[思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？ [解题] 由 a n ?1 n ( n ? 1)( n ? 2 )?? 1 ? 1 1 ?? ? ? ， 2 ? n ( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2 ) ?得 ? Sn ?? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? )?( ? )?? ? ? ? 2 ? 1? 2 2 ?3 2 ?3 3?4 n ( n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2 ) ??? 1 ? 1 1 n ( n ? 3) ?? ? 。 ?? 2 ? 1 ? 2 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1)( n ? 2 )[收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。 2、对于公差为 d ( d ? 0 )的等差数列 { a n } ,有1 a1 ? a 2 ? a k?1 ( k ? 1) d?(1 a1 ? a 2 ? a k ?1?1 a2 ? a3 ? ak) .[请你试试 1、求分数数列3――2]11?3 ?5 3 ?5 ?7 5 ?7 ?9,1,1, ??的前 n 项和 S n 。2、求分数数列11? 2 ?3 ? 4 2 ?3 ? 4 ?5 3 ? 4 ?5 ?613 3,1,1, ??的前 n 项和 S n 。3、求分数数列,13 4,1C CC3 5,? ,1C3 n, ? ??的前 n 项和 S n 。第3变由分数数列到幂数列 11[变题 3]求数列 1 , 2 , 3 , ??的前 n 项和 S n 。3 3222[思路] 利用恒等式 ( k ? 1) ? k [解题] 由恒等式 ( k ? 1) ? k3 3? 3 k ? 3 k ? 1 ，取 k=1 , 2 , 3 ,??，相加正负抵消可解。2 2? 3k ? 3k ? 1取 k=1、2、3??， 得2 ? 1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 13 3 23 ? 2 ? 3?2 ? 3?2 ?13 3 2????( n ? 1) ? n ? 3 n ? 3 n ? 13 3 2各式相加得( n ? 1 ) ? 1 ? 3 ( 1?3 3 222? ?n ?2) ?3 (? ? ? n ? 1 2n? )得 Sn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 2 21 3[( n ? 1) ? 3(1 ? 2 ? ? ? n ) ? n ? 1] ?31? n ( n ? 1) ? 3 ( n ? 1) ? 3 ? ? n ?1 ? ? 3? 2 ??1 6n ( n ? 1 ) ( 2 ? 1。 n )[收获] 利用恒等式 ( k ? 1) ? k44? n ( n ? 1) ? ? 4 k ? 6 k ? 4 k ? 1 ，类似可得 S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? 。 2 ? ?3 23 3 32注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。[请你试试 3――3] 求和 （1） S n ? 2 ? 4 ? ? ? ( 2 n ) ， （2） S n ? 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ， （3） S n ? 2 ? 4 ? ? ? ( 2 n ) 。2 2 2 3 3 3 3 3 3第4变由幂数列到积数列[变题 4] 求数列 1 ? 2, 2 ? 3, 3 ? 4, ??的前 n 项和 S n 。 [思路 1]写通项公式，由通项特征求解。 [解题 1]? a n ? n ( n ? 1) ? n ? n ，2? S n ? (1 ? 1) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n )2 2 2222?1 6n ( n ? 1)( 2 n ? 1) ?n ( n ? 1) 2 1 3?1 3n ( n ? 1)( n ? 2 ) 。裂项相加。[思路 2] 利用 a n ? n ( n ? 1) ? [解题 2] 由 a n ? n ( n ? 1) ?? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1) n ( n ? 1) ?1 3? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1) n ( n ? 1) ?得 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ( n ? 1)12??1 31 3? (1 ? 2 ? 3 ? 0 ? 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3) ? ? ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1) n ( n ? 1) ?n ( n ? 1)( n ? 2 ) 。[收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为 k 个因数的积，如求数列 1 ? 2 ? 3 ? k , 2 ? 3 ? ( k ? 1), 3 ? 4 ? ( k ? 2), ??的前 项和 S n 。 由 a n ? n ? ( n ? 1) ? ? ( n ? k ? 1) ? 即可正负抵消。 [思路 3] 联想组合数公式，可见1 k ?1[ n ( n ? 1) ? ( n ? k ) ? ( n ? 1) n ? ( n ? k ? 1)], 将每一项裂为两项的差，相加C2 n2 n?1 2n ( n ? 1) ，利用组合数性质可得。2 2[解题 3]由 a n ? n ( n ? 1) ? 2 C，得 S n ? 2 ( C? C 3 ?? ? C22 n ?1) ? 2C2 n?2?1 3n ( n ? 1)( n ? 2 ) 。[请你试试 3――4] 求数列 1 ? 2 ? 3, 2 ? 3 ? 4, 3 ? 4 ? 5, ??的前 n 项和 S n 。第4变由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列n? 10 ? 2 [变题 5] 在数列 { a n } 中， a n ? ( n ? 1) ? ? （1） 分别求出 a n ? 1 ? a n ? 0 和 a n ? 1 ? a n ? 0 的 n 取值范围； （2） ? ? n ?n， ? 11 ?求数列最大项； （3）求数列前 n 项和 S n 。 [思路] 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。[解题] （1）由 a n ? 1 ? a n ? ( n ? 2 ) ? ?? 10 ? ? ? 11 ?n ?19?n ? 10 ? ? ( n ? 1) ? ? ? ? 11 ? 11 ?n? 10 ? ?? ? ，当 n&9 时， a n ? 1 ? a n ? 0 ，即 a n ? 1 ? a n ； ? 11 ?n当 n&9 时 ， a n ? 1 ? a n ? 0 ， 即 a n ? 1 ? a n 。（2）当 n=9 时， a 1 09 ? 9 ? 10 ? ? 10 ? ? a9 ? ?? ? ? 0 ，? a 9 ? a 1 0 ? 1 0 ? ? ? 是数列的最大项。 11 ? 11 ? ? 11 ?2 n99（3）设 Sn ? 2 ?10? 10 ? ? 10 ? ? 3? ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ?2 3????（1）? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? Sn ? 2 ? ? 则 ? ? 3? ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ? 10 1 102 3 nn ?1????（2）? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? Sn ? 2 ? ??? 相减得 ? ?? ? ??? ? ? ( n ? 1) ? ? ? 11 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?n? 10 ? ? ? (n ? 12) ? ? ? 。 11 ? 11 ? 120n[请你试试 3――5] 1、 求数列 { n ? 2 } ??的前 n 项和 S n 。n132、 求和 S n ? 1 ? 3 x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ( 2 n ? 1) x2 3n ?1。3、 求和 S n ?1 2n?3 4n?5 8n?? ?2n ? 1 2 ?nn。4、 已知数列 { a n } ， a1 ? ? 1, a n ? 2 n ? 3 数列 {b n } ， b1 ? 4, b n ? 2 第四节 1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 ， a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ，求通项公式 a n 。 [思路] 1、写出 a1 , a 2 , a 3 , a 4 ? ，由不完全归纳法得 a n 表达式。 2、构造新数列，转化成等比数列求解。 递推数列的通项公式及前 n 项和n ?1，求数列 {an bn} 的前 n 项和 S n 。[解题] 在的 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 两边加 1，则数列 { a n ? 1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 得 an ? 1 ? 2 ? 2n ?1，即 a n ? 2 ? 2n ?1? 1 ? 2 ? 1 即为所求。n[收获] a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 型递推数列，当 p=1 时, 数列为等差数列；当 q ? 0, p ? 0 时,数列为等比数列。下面给出 p ? 1 时 递推式的通项公式的求法： 方法 1、因为 p ? 1, 所以一定存在 ? 满足 ? ? p? ? q ， 从而得 ? ?q 1? p， 此为函数 f ( x ) ? p x ? q 的不动点。由a n ?1 ? ? ? p a ? q ? ? p ( nn ?1? q ?( np ? ， 得 { a n ? ? } 是 首 项 为 ) a? )n ?1a1 ? ? ， 公 比 为 p 的 等 比 数 列 ， 于 是a n ? ? ? ( a1 ? ? ) p,即a n ? ? ? ( a1 ? ? ) p， 将? ?q 1? p代 入 上 式 ，得通 项 公 式 为an ?q 1? p? ( a1 ?q 1? p)pn ?1.??????（I）方法 2、由 a n ? 1 ? p a n ? q , a n ? p a n ? 1 ? q ， 得 a n ? 1 ? a n ? p ( a n ? a n ? 1 ) ，令 b n ? a n ? 1 ? a n ， 则 b n ? p b n ? 1 ，则 {b n }n ?1是首项为 b1 ，公比为 q 的等比数列，得a n ? a1 ??b k ? a1 ?b1 (1 ? p 1? pn ?1)k ?1? a1 ?( a 2 ? a 1 )(1 ? p 1? pn ?1)(n ? 2)（*） ；当 n=1 时,（*）式也成立。[请你试试 4――1] 数列 { a n } 满足 a 1 ? 9 , 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ， 求 a n 。[变题 1] 数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 ， a n ? 1 ?2an 2an ? 1求通项公式 a n 。14[思路] 常见解法：先求数列 ?? 1 ? ? 的通项公式 ? an ?1 a n ?1[解题]由将已知关系式取倒数得?1? ? 2?? ? ? ? ? 1 ， 由（#）式 得 an 2 an ?2?1 11n ?1，所以 a n ?1 2?21? n。[收获] a n ? 1 ?pan ra n ? spx rx ? s型递推数列的通项公式的求法：令x ?，得 x1 ? 0 或 x 2 ?p?s r为两不动点。由于1 a n ? 1 ? x1?1 a n ?1?s?1?r p，p an设 bn ?1 an，则bn ?1 ?s p? bn ?r p， 此 为 a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 模 型 。同样，1 a n ?1 ? x 2? r p也可化为a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 模型，由（I）式 可求得 a n 。更为特殊的是 p=s 时，1 a n ? 1 ? x1?1 a n ?1?1 an, 设bn ?1 an则数列 {b n } 是等差数列 。我们常取 a n ? 1 ?pan ra n ? p的倒数求解 ，原因恰是为此 。[变题 2]（06 年江西理第 22 题）数列 { a n } 满足 a 1 ?3 2， an ?3 n a n ?1 2 a n ?1 ? n ? 1( n ? 2, n ? N ) 求通项公式 a n 。*[解答] a n ?3 n a n ?1 2 a n ?1 ? n ? 1?n an?1 2 1 1 3 2 1 n ?1 2 ? b n ? 1 ? ? ( b n ? 1 ? ) ， a 1 ? ， b1 ? ? 1 ， ? ? ， b n ? ? b n ?1 ? 即 又 得 2 3 3 3 3 3 3 a n ?1 3所以 b n ? (?1? ? 1) ? ? ? 3 ?3? 2n ?1，得 a n ?n ?3nn3 ?1。[请你试试 4――2] 函数 f ( x ) ?x 3x ? 1，数列 { a n }满足 a 1 ? 1 ， a n ? 1 ? f ( a n ) ， ( n ? N ) ， （1）求 { a n } 的通项公式 a n ； （2）设*S n ? a1 ? a 2 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ? 1 ，求 S n 。[变题 2] 数列 { a n } 中， a 1 ? 0, a n ?a n ?1 ? 4 a n ?1 ? 2, ( n ? 2 ) ，求 a n[思路 1] 令 x ?x?4 x?2，得 x1 ? 4, x 2 ? ? 1 ，即两不动点，可得 ?? a n ?1 ? 4 ? ? 是等比数列， ? a n ?1 ? 1 ?，[解法 1] 由 a n ? 4 ?a n ?1 ? 4 a n ?1 ? 2?4?? 3 a n ?1 ? 1 2 a n ?1 ? 2 3 b n ?1 a n ?1 ? 2? ?3( a n ? 1 ? 4 ) a n ?1 ? 2令 bn ? a n ? 4 ，则 bn ? ?????????（a ）15由 an ? 1 ?a n ?1 ? 4 a n ?1 ? 2?1 ?2 ( a n ? 1 ? 1) a n ?1 ? 2则 cn ?，令 cn ? an ? 1 ，2 c n ?1 a n ?1 ? 2????????（b）(a) 式除以(b)式得bn cn? ?? bn ? b1 a ?4 3 b n ?1 ? 1 ? ? 4, ，即 ? ? ? 是首项为 2 c n ?1 c1 a1 ? 1 ? cn ?? 3? ? ?4 ? ? ? ? 公比为 ? 的等比数列，? cn 2 ? 2?3bnn ?1?an ? 4 an ? 1，? an ?? 3? ?4 ? ? ? ? 2? ? 3? 4 ?? ? ? ? 2?n ?1? 4n ?1? 4? ?120 ? 2? 4??? ? ? 3?n ?1.[思路 2]1 a n ? 1 ? x1 1和1 a n ?1 ? x 2 ? ?均可化为 a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 型递推式，[解法 2]由a n ?1 ? 2 3( a n ? 1 ? 4 )an ? 4 1? ?2 3( a n ? 1 ? 4 )1 3?1 3.令 bn ?an ? 4， 则 bn ? ?2 3b n ?1 ?，由（I）式 得1 ? ? ? 1 3 ? ? ? 3 bn ? ? 2 2 4 ? 1? 1? 3 3 ? ? 1? n ?1 1 1 ? ? 2? ? ? ? ? ?? ? ? 5 20 ? ? 3? ?? 2? ?? ? ? ? 3?n ?1?1 an ? 4所以 a n ? 4 ?1 1 ? 2? ? ? ?? ? 5 20 ? 3 ? 1? ? 3 ? 1n ?1? 4?20 ? 2? 4??? ? ? 3?n ?1.[解法 3]由1 an ? 12 a n ?1 ? 1?1 2，亦可求得 a n ? 4 ?20 ? 2? 4??? ? ? 3?n ?1.[收获] 求解 a n ? 1 ?pan ? q ra n ? s型递推数列的通项公式的方法：令 x ?px ? q rx ? s， 设其两根为 x1 , x 2 即两不动点。于是 ?? a n ? 1 ? x1 ? 1 1 和 均可化 ? 是等比数列， 并且 a n ?1 ? x 2 a n ? 1 ? x1 ? a n ?1 ? x 2 ?为 a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 型递推式 。[请你试试 4――3] 写出解法 3 的详细过程。 16[变题 3] 设数列 { a n } 前 n 项和为 S n ? 4 a n ? 3 n ? 2 ，求 a n 及 S n 。 [思路] 将已知关系中 S n 的化为 a n ，再进一步变形。 [解题] 由 S n ? 4 a n ? 3 n ? 2 ，得 a1 ? 4 a1 ? 1 , 即 a 1 ?1 3. 4 3 a n ?1 ? 1 .a n ? S n ? S n ? 1 ? 4 a n ? 3 n ? 2 ? [4 a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 2 ] ? 4 a n ? 4a n ? 1 ? 3 得 a n ? ,这是 a n ? p a n ? 1 ? q 型递推式，由(#)式得? ?1 1 1 an ? ?? ? 4 4 ? 3 1? 1? 3 ? 3? n ?1 n ?1 ? ?4? 4 ? ?3 ? 10 ? n . ??? ? 3 ? ?3? ?n?4? ? S n ? 4 a n ? 3 n ? 2 ? ? 1 0 ? 1 0 ? ? ? 3 n. ?3?第 1 变 递推式 2、累积错位相消法求数列通项 [变题 4] 数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 ， a n ? 1 ? 2 a n ，求通项公式 a n 。na n ?1 ? f ( n ) a n[思路] 观察 a 1 与 a 2 、 a 2 与 a 3 存在的关系，思考解题方法。 [解题] ? a 2 ? 2 a 1 ， a 3 ? 2 a 2 ， a 4 ? 2 a 3 ，??， a n ? 2 a n ? 1 ，各式相乘得 a n ? 2n ?1a1 ? 2n ?1。[收获] 1、若 f(n)为常数, 则 { a n } 为等比数列。2、 a n ? 1 ? f ( n ) a n 型递推式，通项公式求解方法如下：an a n ?1? f ( n ? 1),a n ?1 an?2? f ( n ? 2 ), ?a2 a1? f (1).各式两边分别相乘，得 当 n=1 时, (II)仍成立a n ? a f( 1 ) f ( 2 ) ? 1f ? (n1),???????????（II）[变题 5] 在数列 { a n } 中, a1 ? 1, na n ? 1 ? 2( a1 ? a 2 ? ? a n ) ,（1）求 { a n } 通项公式（2）令 b n ?4 a n ?1 an an?22 2，求 {b n } 的前 n 项和 S n 。[思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。 [解题] （1）将题中递推式转化为：na n ? 1 ? 2( a1 ? a 2 ? ? a n ) ? 2( a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ) ? 2 a n ? ( n ? 1) a n ? 2 a n .即 a n ?1 ?n ?1 na n .由 (II) 式 得 { a n } 通项公式 a n ? a 1 ?2 3 n ? ? ? n. 1 2 n ?1(2) 由 { a n } ? n , 得bn ?4 a n ?1 an an?22 2?4 (n ? 1 ) n (n ? 2 )22? n1 ? 21 n? (.2 2)17所以数列 {b n } 前 n 项和 ：Sn ??bk ?1nk?? [kk ?1n12?1 (k ? 2)2]? 1?1 32?1 22?1 42?? ?1 ( n ? 1)2?1 ( n ? 1)2?1 n2?1 (n ? 2)2?5 4?2n ? 6n ? 52( n ? 1) ? ( n ? 2 )22.第2变 3、累加错位相消法求数列通项a n ?1 ? a n ? f ( n )型递推数列[变题 6] 已知数列 { a n } 中， a 1 ? 1 ， a n ? 1? an ?1 ( n ? 1) n, 求 { a n } 的通项公式。[思路] 将题中递推式变形a n ?1 ? a n ?1 n ?1 1?1 n ?，利用错位相消法。解将题中递推式表示为： a n ? 1? an ?1 n，n ?11 3于是a 2 ? a1 ? 1 ?1 2， a3 ? a2 ?1 2?， a4 ? a3 ?1 3?1 4，??， a n? a n ?1 ?1 n?2?1 n ?1各式相加得 ( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ( a n ? a n ? 1 ) ? a n ? a1 , 得a n ? a1 ? ( 1? 1 n ?11 2)? 11 1 ( ? ? ) 2 31 (? 31 1 1 ?? ? ) ( ? ) 4 n? 2n ? 1? 1?1?? 2?n ?1即为所求通项公式。 则称数列 { b n } 是 { a n } 差数列， 则n ?1[收获] 对于数列 { a n } ，设 b n ? a n ? 1 ? a n , n ? 1, 2 , ?b1 ? b 2 ? ? ? b n ?1 ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ( a n ? a n ?1 ) ? a n ? a1 , 得 a n ? a 1 ??bk ?1k.所以 { a n } 的通项公式为 a n ? a 1 ??n ?1f ( k ), ( n ? 2 ) ???? （III）. 当 n=1 时，也满足(III)式。k ?1[变题 7]在数列 { a n } 中， a 1 ? 2 ,n a n ? 1 ? ( n ? 1 a n , 求 { a n } 通项公式。 )[思路] 题中关系式不是 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 型的递推式，但两边同除以 n(n+1)，经过变量替换，可化为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 型递推式。[解题]在递推式n a n ? 1 ? ( n ? 1 a n 两边同除以 n(n+1) , 得 )a n ?1 n ?1?an n?1 n ( n ? 1)令 bn ?an n得 bn ?1 ? bn ?1 n ( n ? 1)， b1 ?a1 1? 2 。由（III）式得 b n 表达式为：18b n ? b1 ??n ?11 k ( k ? 1)? b1 ?k ?1? (kk ?1n ?11?1 k ?11 n) ? 2 ? (1 ?1 2?1 2?1 3?? ?1 n ?1?1 n) ? 3?1 n.于是 { a n } 通项公式为a n ? n b n ? n ( 3?)? n ? 31.[请你试试 4――4] 求数列 1、4、11、26、57、120、??，的通项公式。第3变a n ? 1 ? p a n ? q ( n ) 型递推数列4、两边同除以 pn ?1，经过变量替换，化为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 型递推式[变题 8]数列 { a n } 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 2 a n ? 2 n ? 3 ， 求 a n 。n ?1[思路] 递推式两边同除以 2，经过变量替换，可化为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 型递推式。n ?1[解题] 在 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 n ? 3 两边同除以 2 令 bn ?， 得a n ?1 2n ?1?an 2n?2n ? 3 2n ?1an 2n，则n ?1bn ?1 ? bn ?2n ? 3 2n ?1, 此为模型 a n ? 1? an ? f (n)? 2n ? 1 2n。于是 b n ? b1 ??2k ? 3 2k ?1, b1 ?a1 2? 1. 则bn ? 1 ?1 2.k ?1所以3 2n ? 1 n n a n ? bn ? 2 ? ( ? ) 2? ? n 2 2n ?12 ?16 n?8.[收获] 在 a n ? 1 ? pa n ? q ( n ), ( p ? 1) 中， 当 q(n)是常数 q 时，即为模型 a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) 。在 a n ? 1 ? pa n ? q ( n ), ( p ? 1) 两 边 同 除 以pn ?1,得a n ?1 pnn ?1?an pnn?q (n) pn ?1,令 bn ?an pn,q (n) pn ?1? f (n) , 得b n ? 1 ? b n ? f ( n ) 即可求出 {b n } 的通项公式，从而得 a n ? p b n = p ([变题 9]（2006 年全国理第 22 题）设数列 { a n } 前 n 项和为 S n ? [ 解答]3 2?2n ? 1 2 ? 2 3n).4 3an ?1 3?2n ?1，n=1,2,??，求通项 a n 。Sn ? 4 34 3 1 3an ?1 3?2n ?1?2 3? a1 ?1 34 3na1 ?2 31 3?2 ?22 3? a1 ? 2 。因为 a n ? S n ? S n ?1 ( n ? 2) ，所以由题设得：an 4nan ? (an ??2n ?1?2 3) ?(4 3a n ?1 ??2?) ? a n ? 4 a n ?1 ? 2 ?n?a n ?1 4n ?1?2n n，即4b n ? b n ?11 ?1? n n ? ? ? ? b n ? 1 ? n ，得 a n ? 4 ? 2 。 2 ?2?n[规律小结] 根据数列性质 a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2) 可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。[请你试试 4――5] 191、数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 52n， 求 an 。 求 an2、数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? a n ? 1 ? n ， a 1 ? 0 , 第3变qa n ? 1 ? p an , ( p? 0 , a ? 0 ) 型 n4、两边取对数，变形转化为模型 a n ? 1 ? f ( n ) a n[变题 10]数列 { a n } 中 a1 ? 1 0, a n ? 1 ?na n ，令 b n ? lgan， （1）求数列 {b n } 的通项公式， （2）设 T ??nbk ?1 b k ?1，求 lim T 。n? ?k ?2[思路] 利用对数运算法则变形转化。 解： （1）由已知得 b1 ? 1, b n ? 1 ? lga n ?1? lgnan?1 nlgan?1 nb n ，即模型 a n ? 1 ? f ( n ) a n ，由(II)式，得 b n ? b1 ? ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 。 1 2 3 n ? 1 1 ? 2 ? 3 ? ( n ? 1) ( n ? 1) !1（2） 由bn ?1 b n ?1?n! 1 (n ? 2)!1 2q?1 ( n ? 1) n，得T ??1nbk ?1 b k ?1?1 1? 2?k ?2?? 2 3 ? n(?1 n11 ?1n)? 1??1 2?1 3?? ?1 n ?1?1 n? 1?. 则 lim T ? lim (1 ?n? ? n? ?) ?1。q ? 1 时，对递推式两边取常用对数，得n[ 收 获 ] a n ? 1 ? p a n , ( p ? 0, a n ? 0 ) ， 当 q=1 时 ， { a n } 为 等 比 数 列 。 当l g n ?1 ? q l gn ?a al g 令 b n ? lg ,pan,得 b n ? 1 ? q b n ? lg ，此为模型 a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1) ，即题根 。p第4变 5、利用特征根求通项公式 [变题 11]a n ?1 ? p a n ? q a n ?1 型在数列 { a n } 中， a1 ? 0, a 2 ? 1 ， 4 a n ? 1 ? 4 a n ? a n ? 1 ，求 a n[思路]在数列 { a n } 中，已知 a 1 , a 2 ，且 a n ? 1 ? p a n ? q a n ? 1 ，求其通项公式方法介绍如下：当 p ? q ? 1 时，存在 ? 1 , ? 2 满?1 ? ? 2 ? p1 2足 a n ? 1 ? ?1 a n ? ? 2 ( a n ? ?1 a n ?1 ) （*）即 a n ? 1 ? ( ?1 ? ? 2 ) a n ? ?1 ? 2 a n ?1 ， a n ? 1 ? p a n ? q a n ? 1 比较系数， ， 与 得2{? ?n ?1?q，由根与系数的关系知 ? 1 , ? 2 是二次方程 t ? p t ? q ? 0 两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的a n ?1 , a n , a n ?1或换成 t , t ,1 即可得特征方程。由 （*）式知数列 a n ? ? 1 a n ? 1 是等比数列，于是 a n ? 1 ? ? 1 a n ? ? 22n ?1 1( a 2 ? ?1 a1 )a n ? 1 ? ? 2a n ? ?( a ? ? a2 ) 。 当 p ? q ? 1 时， p=1-q 代入递推式， a n ? 1 ? a n ? ? q ( a n ? a n ? 1 ) ， { a n ? 1 ? a n } 将 得 则 2 1n ?1是以 a 2 ? a1 为首项，-q 为公比的等比数列，从而 a n ? 1 ? a n ? ( ? q )( a 2 ? a1 ) ，利用错位相消法即可求解。20[解题] 递推式特征方程为 4 ?2? 4 ? ? 1 ，解得 ? 1 ? ? 2 ?1 2，所以递推式可表示为 a n ? 1 ?n ?11 2an ?1 2(an ?1 2a n ? 1 ) ，数列1 1 1 1 ?1? ? ? 的等比数列，所以 a n ? 1 ? a n ? ? ? ? a n ? 1 ? a n ? 是首项为 a 2 ? a 1 ? 1 ，公比为 2 2 2 2 ? ? ?2?得 2n ?1, n ? 1, 2, ??，两边同除以 2n ?1，a n ?1 ? 2n?2an ? 1 ，n?2于是 2?n?2? a n ? 是首项为 0，公差为 1 等差数列，故 2? a n ? n ? 1 ，? a n ?n ?1 2n?2。2[收获] 一般的，在数列 { a n } 中，已知 a 1 , a 2 ，且 a n ? 1 ? p a n ? q a n ? 1 ，它的特征方程 ?? p ? ? q ? 0 两根为 ? 1 , ? 2 ，则，当n ?1? 1 ? ? 2 时 ，通项公式 a n ? ( A n ? B ) ? 1常数，可由 a 1 , a 2 推出。 利用这一结论可方便的推出通项公式 a n 。n ?1；当 ? 1 ? ? 2 时 ，通项公式 a n ? A ? 1n ?1? B?2, n ? 1, 2, ??，其中 A，B 为[变题 12] 在数列 { a n } 中， a1 ? 1, a 2 ? 2 ， a n ? 2 ? 7 a n ? 1 ? 1 2 a n ，求 a n 解：特征方程 ?2? 7 ? ? 12 两根为 ? 1 ? 3, ? 2 ? 4 。设 a n ? A ? 3n ?1? B ?4n ?1，由 a1 ? 1, a 2 ? 2 ，得 A=2，B=-1， 故an ? 2 ? 3n ?1?4n ?1, ( n ? 1, 2, ? ) 。[请你试试4――6]1、在数列 { a n } 中， a1 ? 1, a 2 ? 3 ， a n ? 2 ? 6 a n ? 1 ? 9 a n ，求 a n 。2、在数列 { a n } 中， a1 ? 1, a 2 ? 2 ， a n ? 2 ?a a3 n ?1 2 n，求 a n 。第六章数列 请你试试答案与提示[请你试试 1―1]：1、? S 1 0 1 ?( a1 ? a1 0 1 ) ? 1 0 1 2? 0 ，? a1 ? a101 ? 0 ? a 3 ? a 99 ? 0 ，选 C2、a3+a7-a10+a11-a4= a 7 ? 1 2 ，得 S 1 3 ? 1 3 a 7 ? 1 5 6 。[请你试试 1―2]：1、略； 2、n=27； 3、由 123 ? 432 ? 555 ， S 2 4 ? 5 5 5 ?24 2? 6660 ；4、倒加法 S n ? n ? 2n ?1。[请你试试 1―3]：1、200； 2、4 。21? [请你试试 1―4]：1、12； 2、40； 3、 0、110； 4、3 (b-a)；5、 S 2 k ? S 2 k ? 1 0 0 ? 4 S 中 ? S 中 ? 2 5 。[请你试试 1―5]：1、；3、12 或 13。[请你试试 1―6]： S 1 2 ? ? 7 。 [ 请 你 试 试 2 ― 1] ： 等 比 数 列 中 某 些 项 的 积 的 问 题 ， 利 用 性 质 解 。 设A ? a1 ? a 4 ? a 7 ? ? a 2 8 ,。由 B2B ? a ? a ? a ? 2 5 830? a， 2 93 0C ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? a 30 ， 易见 A， C 成等比， B， 公比为 q ? ? 2即 B ? 21010? A ?C 且 A ? B ?C ? 2， B ? 2 得3，，? C ? B q ? ? 210?210? 220。[请你试试 2―2]：1、 S 6 ? 1 4 ；2、 S 4 ? 5 或 S 4 ? ? 4 （舍去） 。 [请你试试 2―3]：1、 S 8 , S 1 0 , S 1 1 等差，则 S 1 1 ? S 1 0 ? S 1 0 ? S 8 ，得 a1 1 ? a 9 ? a1 0 ，即 a1 1 ? ( a 9 ? a1 0 ) =0； 2、略。 [请你试试 2―4]：由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-??-x(1+10%)-x=2a，即 x ?(1 .1 a ? 2 a )(1 .1 ? 1)101 .1即 2.6a-16x=2a ? x ?10?1，3 80a 。[请你试试 3―1]：1、 S n ?n n ?1；2、 S n ?? ( 2 n ? 1) ? 1 1 ?3 2n ? 3 ?? ? 。 ? ；3、 S n ? 2 ( 2 n ? 1) 2 ? 2 ( n ? 1)( n ? 2 ) ?2[请你试试 3―2]：1、n(n ? 2) 3( 2 n ? 1)( 2 n ? 3)1 1；2、? 1 ?1 1 ?? ? ? ； 3 ? 6 ( n ? 1)( n ? 2 ) ?3、 S n ?1C? 6?3 3?C3 4?C3 5?? ?1C3 n? 1 ? 1 1 1 ? 6?? ? ? ?? ? ? ( n ? 2 )( n ? 1) n ? ? 1? 2 ?3 2 ?3 ? 4 3 ? 4 ?5? 1 ? 1 1 6 n ( n ? 3) ?? ? 。 ?? 2 ? 1 ? 2 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? 1)( n ? 2 )2 3 n ( n ? 1)( 2 n ? 1) ；2、 n (2 n ? 1) ；3、 2 n ( n ? 1) 。2 2 2 2[请你试试 3―3]：1、[请你试试 3―4]：1 4n ( n ? 1)( n ? 2 )( n ? 3) 。[请你试试 3―5]：1、 S n ? n ? 2n ?1?2n ?1? 2 ；2、分 x ? 1 和 x ? 1 两种情形；3、 S n ?1? 2n ? 3 ? ?3? ?； n n? 2 ?4、 S n ?1 2?2n ? 1 2n ?1。[请你试试 4―1]：由 3 a n ? 1 ? a n ? 4得a n ?1 ? ?1 3an ?4 3，可得 a n ? 1 ? 8 ? ? ?? ?1? ? 3?n ?1；或由 3( a n ? 1 ? 1) ? ? ( a n ? 1) 求。 22[请你试试 4―2]：提示： a n ? [请你试试 4―3]：略1 3n ? 2； Sn ?n 3n ? 1。[请你试试 4―4]：由原数列得一阶差数列 {b n } ：3、7、15、31、63、??；由 {b n } 得 二阶差数列 { c n } ： 4、8、16、32、??，易得 c n ? 4 ? 2n ?1? 2n ?1，得 b n ，最后得原数列通项公式 a n ? 2n ?1?n?2。[请你试试 4―5]： 两边同除以 2 1、n ?1， 得a n ?1 2n ?1?an 2n?3 ?5? 3 ? ? ? ， bn ?1 ? bn ? 即 2 ?2? 2n?5? n n ?1 ? ? ? ， an ? 5 ? 2 。 由 S n ? an , 得 2、 ?2?n得 a n ? S n ? S n ? 1 ? a n ? 1 ? n ? [ a n ? ( n ? 1) ] ? a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 ， ? a n ? 1 ? 2 a n ? 2n ? 1 。2 2[请你试试 4―6]：1、特征方程 ?2? 6 ? ? 9 两根为 ? 1 ? ? 2 ? 3 ，设 a n ? ( A n ? B ) ? 3n ?1，由 a1 ? 1, a 2 ? 3 ，得 A=0，B=1，故an ? 3n ?1。2、取对数，lgan?2? 3 lg? 1) lg2a n ?1? 2 lgan， 令 b n ? lgan，则b1 ? lga1? 0 ， b 2 ? lg2，且b n ? 2 ? 3 b n ? 1 ? 2 b n ， ??， a n ? 1 0(2n ?1。23