怎么证明该致密性定理证明的充分性

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-13 13:02 标签： 勾股定理怎么证明
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函数极限与数列极限（海涅定理）关于它的证明
充分性看不懂
百度百科里面有关于海涅定理的证明：lim[x->a]f(x)=b ==> lim[n->∞]f(an)=b 　　由函数极限定义：任给e>0,存在d>0,当|x-a|a]f(x)不是b, 　　则存在e>0,对任意d>0,都存在某个x：满足|x-a|e 　　再利用lim[n->∞]f(an)=b的数列极限定义推出矛盾.其中
“再利用lim[n->∞]f(an)=b的数列极限定义推出矛盾.”
这里看不明白 有谁能写详细一点,解释一下让我看明白.谢谢了
坑爹bmXI57RN12
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关键：任意数列an往证：寻找一个数列不满足lim[n->∞]f(an)=b的数列极限定义证明：若lim[x->a]f(x)不是b,则存在e>0,对任意d1>0,都存在某个x1,且x1不等与a：满足|x1-a|e,记a1=x1,同样存在e>0,对任意d2>0,不妨取d2=d1/2都存在某个x2,且x2不等与a：满足|x2-a|e,记a2=x2,......同样存在e>0,对任意dn>0,不妨取dn=d(n-1)/2都存在某个xn,且xn不等与a：满足|xn-a|e,记an=xn,有以上可知此处找到的一个数列{an}收敛于a,且an不等于a,满足|f(xn)-b|>e,即f(an)不收敛于b,与lim[n->∞]f(an)=b的数列极限定义推出矛盾,故假设错误.证毕.
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扫描下载二维码在求解BNUOJ 1093 YAPTCHA时，用到了威尔逊定理。在这里收集整理一下证明威尔逊定理的方法。
先说从题意出发吧。这道题是给定一个式子
再给若干个n，让你求出Sn的值。(1&=n&=10^6)
暴力肯定是不行的。所以考虑数论的方法。
& & & & 当3k+7不是素数时，可以得到((3k+6)!+1)/(3k+7)=[(3k+6)!/(3k+7)]，此时括号内的值为0.
& & & &&当3k+7是素数时，由威尔逊定理知(3k+6)! = -1 (mod 3k+7) ，可以得到((3k+6)!+1)/(3k+7)=[(3k+6)!/(3k+7)]+1，此时括号内的值为1.
所以解法就是筛出素数表，然后从0到10^6，判断素数，是素数就等于前一项的值+1，不是素数就直接等于前一项的值，答案保存到一个数组中即可。
威尔逊定理：当(&p -1 )! ≡ -1 ( mod
p )&时，p为素数。
当p不是素数，那么令p=a*b ，其中1 & a & p-1 ,1 & b & p-1.
& & (1)若a≠b,
& & & & 因为(p-1)!=1*2*...*a*...*b*...*p-1,
& & & & 所以(p-1)!≡ 0 (mod a) & & & &
& & & & & & & &(p-1)!≡ 0 (mod b)
& & & & 可得(p-1)!≡
0&(mod a*b) ，
& & & & & & 即 (p-1)!≡ 0 (mod p)
& & & 与(&p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) &矛盾
& (2)若a=b
& & & 因为(p-1)!=1*2*...*a*...*2a*...*p-1.
& & & 所以(p-1)!≡ 0 (mod a) & & & & &
& & & & & & &(p-1)!≡ 0 (mod 2a)
& & & 可得(p-1)!≡ 0 (mod a*2a) =& (p-1)!≡ 0 (mod a*a) ，
& & & & 即&(p-1)!≡ 0 (mod p)
& & &&与(&p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) &矛盾
因此p只能是素数。
当p为2，(&p -1 )! ≡ -1 ( mod p )&显然成立
当p为3，(&p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立
对于p&=5，令M={2,3,4,...,p-2}.
& & & & 对于a∈M，令N={a,2*a,3*a,4*a,....(p-2)*a,(p-1)*a}
& & & & 令1 &= t1 &= p-1 ,1 &= t2 &= p-1,t1 ≠ t2
& & & & 那么t1*a∈N，t2*a∈N。
& & & & 若t1*a≡t2*a (mod p) ，那么|t1-t2|*a&≡ 0 (mod p)。
& & & & 因为|t1-t2|*a∈N，与N中元素不能被p除尽矛盾。
& & & 所以t1*a≡t2*a不成立。
& & & 那么N中元素对p取模后形成的集合为{1,2,3,4,...,p-1}.
& & & 设x*a&≡ 1 (mod p)。
& & & & & & & 当x=1时， x*a=a, 对p取模不为1，所以不成立。
& & & & & & & 当x=p-1时，(p-1)*a=p*a-a, 对p取模不为1，所以不成立。
& & & & & & & 当x=a时，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。
& & & 综上所述，x,a∈M，并且当a不同时，x也随之不同。
所以，M集合中每一个元素a都能够找到一个与之配对的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).
&&&&&&&&(p-1)!=1*2*3*...p-1
&&&&&&&&&&&&&&&&& =1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)
&&&& &&&所以，&(p-1)!≡1*(p-1)&& &(mod p)
&&&&&&&&即，(p-1)!≡-1&&& &(mod p)&
&&&&&&&证明完毕
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cauchy充分性反映的是所在空间本身的完备性质，用这些性质才能够证明。比如实数就要用实数的完备性。
楼上说得对，Cauchy原理是实数基本定理，实际上和闭区间套定理，确界存在定理，Bolzano-Weierstrass定理，单调有界数列收敛定理是等价的。可以先根据实数基本定义推出其中一个，然后推出后面五个，再推回第一个。我这里根据一般数学书上的顺序：确界存在=&单调有界=&闭区间套=&Bolzano-Weierstrass=&Cauchy Cauchy原理充分性证明：Cauchy列必为有界数列。因为存在L，对任意n&L，|xn-xL|&1，那么对于一切n，|xn|≤M=max{|x1|,...,|xL|,|xL|+1}。即证明了有界。有Bolzano-Weierstrass定理，在{xn}中必存在收敛子列{xnk}-& z .再由Cauchy列定义，对任意ε&0，存在N，对任意n,m&N，|xn-xm|&ε/2，取k充分大，使得nk&N，那么取xm=xnk，那么|xnk-xn|&ε/2. 令k-&无穷，则有|xn-y|≤ε/2&ε.有极限定义，就证明了{xn}收敛于y。
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