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周建方版材料力学习题解答2-8章
2-1 求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图。 解： a) b)2 2F 1 F 1 2 F + F1 F 1F22F3 2F 3 2F2 F+ +c)1 2kN 1 4kN 2 2 6kN 3 3d)1 F 5kN 2 20kN 3 10kN 1 10kN 5kN +2kN + 2kN 4kN -23+ +10kN题 2-1 图 2-2 求下图所示各个轴指定截面上的扭矩,并绘制扭矩图 解： a) b)1 2kN?m 2 5kN?m 3 3kN?m1 5kN?m 10kN?m2 30kN?m 320kN?m12 3kN?m3 +2 13 20kN?m +2kN?m15kN?m 20kN?m10kN?m题 2-2 图 2-3 图中传动轴的转速 n=400rpm,主动轮 2 输入功率 P2=60kW,从动轮 1,3,4 和 5 的输出功率 分别是 P1=18kW, P3=12kW, P4=22kW, P5=8kW,试绘制该轴的扭矩图. 解:T1 ? 9549 ? T2 T3 T2 T218 ? 429 .7 N ? m 400 60 ? 9549 ? ? 1432 .4 N ? m 400 12 ? 9549 ? ? 286 .5 N ? m 400 22 ? 9549 ? ? 525 .2 N ? m 400 8 ? 9549 ? ? 191 N ? m 400M1M2M3M4M5429.7N?m + 1002.7N?m 716.2N?m191N?m题 2-3 图2-4 求图中所示各梁指定截面上的剪力和弯矩,设 q 和 F 均为已知. a) b)1 A 1 l q 2 M=ql 2 3 C 2 3 l ql-FA 1 1 lC2 32 3 lD4 54 5BFl-ql 2/2 + ql /22FFl+c)M=2ql 2d)F=ql 1 M=ql 2A1 1 lC2 32 3 l4 4BAC12 2DBql F Q图 ql 3ql/2 M图 +F Q图ql 2 + -qlql 2/2M图ql 2 2ql 2题 2-4 图 2-5 试绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩的最大值.设 F q l 均为已知. a) b)2FAF=2ql 2ql F Q图 + lBA2l 2F -Bl + FCF Q图3ql 2/2 M图M图+2Flc)F 2Fd)M=ql 2 qAl 3F F Q图 M图 4Fl +BlCA2l F Q图 + ql/4 M图C2lBF49ql /32 3ql /2 ql 2/22 27ql/4Fl+e)F=ql M=ql 2 qf)F=ql M=ql 2/2 qAl F Q图 ql ql ql 2/2 M图 ql 2 + M图 ql 2 + ql 2l FQ图 lCl ql/2 + ql ql 2/8 ql 2/2 lBql/2g)qh)q=30kN/m A 1m C 1m 10kN + 5kN?m 15kN?m D 1m q=30kN/m E 1m 30kN + 10kN BAl/2 F Q图ClB5ql/8 + ql/2 3ql/8 9ql 2/128 -FQ图M图 ql 2/4M图 15kN?m题 2-5 图 2-6 不列方程,绘制下面各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩绝对值的最大值.设 F、q、 l 均为已知。 a) b)q M=ql 2q F=ql Fllll FQ图 ql 2/2 M图 ql 2/2lF Q图 4F + 3F 2FFqlM图 Fl 3Flql 2/213Fl/2c)d)qM=FlFl 3ql/4 FQ图 M图 + ql/4ll FQ图 F Fl M图 + l l9ql /32 2 ql /4 +2e)q F=2qlf)q F=qll 2ql FQ图 ql/2 M图 -l/2 + 3ql/2 ql 2l FQ图 ql M图 ql 2/22l qll+ ql/4 -ql 2题 2-6 图 2-7 绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,求出|FQ|max 和|M|max,并且用微分关系对图形进行校 核. a) b)q A l ql/6 FQ图q l2 9 3MC=Fl AF CMB=Fl B 2lBl F Q图 + 2Fl/3 M图 + Fl/3 Fl 2F/3 F/3 -ql/3 +-M图c)F=2kN A 1m F Q图 2kN M图 2kN?m 1.5kN?m 2kN?m 1kN 1kN B 2m q=1kN/m F=2kN C 1m 2kN + Dd)q A 2l FQ图 MB=ql 2 B l C l D-M图 2ql 2ql 2 7ql 2/2 13ql 2/2题 2-7 图 2-8 试判断图中所示各题的 FQ，M 图是否有错，如有错误清指出错误原因并加以改正。a）A l Bb）Fc）AMAFB lA a F Q图 M图 C l DFB aF Q图+F+FQ图M图MA/l--MA+F-FlM图Fad）F=70kNA 1m F Q图 60kN + 10kN 60kN?m + 50kN 2m Be)q=15kN/m A 4m 36.4kN F Q图 + 35.6kN 44.16kN?m M图 + 23.6kN 35.6kN?m MD=10kN?m C D 0.5m 1m BM图题 2-8 图 2-9 试根据剪力图，作出结构的支承（支承在 A、C 截面）和载荷情况图（梁上无集中力偶 作用） a) b)45kN A 2m F Q图 30kN B 1m CAF B l/3F C l/3 + F/3 l/3 D+ 15kNFQ图 F/32F/3题 2-9 图 2-10 已知梁的弯矩图如下，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、 方向）及剪力图，F,l 为已知 a) b) c)A l/2 FQ图 F M图 +Fl/3FlB l/2 + FA2F B l/32F C l/3 + Fl/3 +M图D l/3AF 2Fl/3 F C l/ 3 D l/ 3 l/ 3 + BFQ图 F M图 -FFQ图 F+ Fl/3 +Fl/3题 2-10 图2-11 作图中所示各梁的剪力土和弯矩图 a)2kN/m A 3m D 2m C B 2m 4kN 4/3kN 2kN + 4kN?m 4kN?m + 2m Eb)50kN A 2m F Q图 75kN + 25kN 25kN D 50kN B 2m 1m 1m CM图25kN?m-50kN?m200kN?m题 2-11 图 2-12 写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式，并作弯矩图。设曲杆的轴线均为 圆形。 解 a) F0 ?? ??2? FN ? ? F cos? ? ? FQ ? ? F sin? ?M ? Fr (1 ? cos? ) ? ? FN ? F cos? ? ? F cos? ? ? FQ ? ? F sin ? ? F sin? ?M ? Fr (1 ? cos? ) ? Fr (1 ? cos? ) ?r F M FQ?2?? ???FQ M FN??下面是轴力、剪力、弯矩图F F FQ图 F 2Fl Fl M图 FlF+FN图题 2-12a 图 解 b)：由于结构对称，仅考虑上半部分。 AB 段： FN ? 0 ， FQ ? qx ， M ?1 2 qx 2BC 段： FN ? qr cos? ， FQ ? qr sin? ， M ? qr 2 ( 1 ? sin? ) 。 2当? ??2时， M max ?3 2 qr 2M 图题 2-12b 图 解 c):如图所示约束反力, FAy ? 当0 ?? ? 当2 4F , FBx ?2 2F , FBy ?2 42 4F。2 4?4时： FN ? ?2 42 4F cos? ， FQ ?F sin? ， M ?2 4Fr (1 ? cos? )?4? ? ? ? 时： FN ?M ?F cos? ? F sin(? ? ? ) ， FQ ? 4 Fr (1 ? cos? ) ? Fr sin(? ? ? ) 4F sin? ? F cos( ? ? ) ， ? 42 4按下表描图画出 M 图：? (0)M(×Fr)022.545506067.590112.5135157.500.02690.1040.039-0.082-0.164-0.354-0.435-0.397-0.245M 图题 2-12c 图 2-13 作图 2-44 所示刚架的弯矩图 解 a): FAx=3ql, FAy=2.25ql, FBy=2.25ql,M 图题 2-13a 图 解 b): FAx=0, FAy=1.25ql, M=0.25ql ,2M 图题 2-13b 图 解 c): FAx=3kN, FAy=3kN, FCy=5kNM 图(单位:kNm)题 2-13c 图 解 d): FAx=F, FAy=2 4 F , FBy= F 3 3M 图题 2-13d 图 3-1 求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积 A=400mm2。 解 a):? 20 ? 10 3 ? ?50 MPa 400 ?2 ? 0?1 ?1 20kN 2 40kN 3 40kN 1 20kN 2 3 40kN +?3 ?解 b):40 ? 10 ? 100 MPa 4003题 3-1a)图? 20 ? 10 3 ?1 ? ? ?50 MPa 400 ? 2左 ? ?50 MPa1 20kN 130kN2 240kN3 3 50kN +? 2右10 ? 10 3 ? ? 25 MPa 40010kN 20kN? 3左 ? 25 MPa? 3右 ?50 ? 10 3 ? 125 MPa 400题 3-1b)图3-2 图中为变截面杆，如果横截面面积 A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求杆内各横 截面上的应力。 解 a）:10 ? 10 3 ?1 ? ? 50 MPa 200 ? 20 ? 10 3 ?2 ? ? ?66 .7 MPa 300 40 ? 10 3 ?3 ? ? 100 MPa 400解 b):3 20kN2 30kN 2110kN31 10kN + 20kN40kN题 3-2a)图1 1 10kN 2 2 10kN + 30kN 40kN 33?1 ? 010 ? 10 3 ? 33 .3MPa 300 ? 30 ? 10 3 ?3 ? ? ?75 MPa 400?2 ?题 3-2b)图3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即 A=30cm2，载荷 F=200kN。试求各杆横截 面上的应力。 B F 解:(1)约束反力:FAY FAXC A2m3mFDy ?3 F ? 150 k N 4 3 ? F ? 150 k N 4 ? F ? 200 k N4m D FDyFAX FAY(2)各杆轴力FNAB ? FAY ? 150 k N(拉) FNAC ? FAX ? 200 k N(拉) FNCD ? FD ? 150 k N(压)2 2 FNAC ? FNAC ? FNCD ? 200 2 ? 150 2 ? 250 k N(压)题 3-3 图(3)各杆的正应力? AB ? ? CD150 ? 10 3 200 ? 10 3 ? 50 MPa(拉) ,? AC ? ? 66 .7 MPa(拉) 300 300 ? 150 ? 10 3 ? 250 ? 10 3 ? ? ?50 MPa(压) , ? AC ? ? ?83.3MPa(压) 300 3003-4 钢杆 CD 直径为 20mm， 用来拉住刚性梁 AB 。 已知 F=10kN， 求钢杆横截面上的正应力。 解:F (1 ? 1.5) FNCD ? ? 35.4k N 1? cos 45 o F 35 .4 ? 10 3 ? CD ? NCD ? ? 112 .7 MPa(拉) ? 2 ? 2 d ? 20 4 4D1mC A 1m 1.5m F题 3-4 图 3-5 图示结构中，1、2 两杆的横截面直径分别为 10mm 和 20mm，试求两杆内的应力。设结 构的横梁为刚体。2m2 A 1 1m D 10kN10kN B C FBY FCy FCXF2 A F1 1m D 1mFBy BB 1m 1.5mC解:取 BC 段分析，2m题 3-5 图?MB? 0,FCx ? 0 , FCy ? 0, FBY ? 10 kN取 AB 段分析:?MB? 0,F1 ? ?10 kN , F2 ? 20 kN?1 ??F1 d12?? 10 ? 10 3?? ?127 .4MPa,44? 10 2?2 ??F22 d2?20 ? 10 3?? 63.7 MPa44? 20 23-6 直径 D ? 50mm 的圆轴，受到扭矩 M x ? 2.15kN ? m 的作用。试求在距离轴心 10mm 处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。 解:见例 3-3 3-7 阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮 1 输入功率 P1 ? 30kW ，齿轮 2 和齿轮 3 分别输出功率P2 ? 17kW, P3 ? 13kW 。如轴作匀速转动，转速 n1 1 θ 40 2 θ 70? 200 rpm ，求该轴的最大切应力。2 2 131432.35N?m 620.68N?m +题 3-7 图 解:T1 ? 9549 T2 ? 9549 T3 ? 9549 W p1 ?P 30 1 ? 9549 ? 1432 .35 N ? m n1 200 P2 17 ? 9549 ? 811 .67 N ? m n2 200 P3 13 ? 9549 ? 620 .68 N ? m n3 200 ??d13? ? 40 316 16 16 3 M 1 620 .68 ? 10 M 2 1432 .35 ? 10 3 ?1 ? ? ? 49 .42 MPa, ? 2 ? ? ? 21 .28 MPa WP1 12560 WP 2 67313 .75 ?? max 不在M max 的截面上? 12560 mm 3 , WP 2 ?? ? 70 3? 67313 .75 mm 33-8 设圆轴横截面上的扭矩为 M x ，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用 点。MXdAθρ η解:题 3-8 图d 2 2 0 0取dA ? ?d?d? F?Y ? ?A ? cos?dA ? ?4??32 M x cos??d?d? ?d 4? ?24 M x sin? 4M x d? ? 0 3?d 3?d ? d 32 M x FVx ? ?A ? sin?dA ? ? 2 ? 2 sin??d?d? 0 0 ?d 4 4?0?4 M x cos? 4M x d? ? 3?d 3?d 4 2M x F? ? F?2 ? F?2 ? x y 3?d MX 3?d ? F? ? ?C ? ? ?c ? 4 16 2 ? ?23-9 图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求 1-1 截面和固定 端截面上 A、B、C、D 四点的正应力，已知 F=15kN，M=20kN?m 解: 1-1 截面上180 ? 300 3 IZ ? ? 4.05 ? 10 8 mm 4 12 My 20 ? 10 6 ? 150 ?A ? ?? ? ?7.41MPa IZ 4.05 ? 10 8FM751m 3m + 2m F=15kN 15kN?m +? B ? ?3.71MPa ,? C ? 4.94 MPa ? D ? 7.41MPa固定端截面上:D y 18025 ? 10 6 ? 150 ?A ? ? 9.26 MPa 25kN?m 4.05 ? 108 ? B ? 4.63MPa ,? C ? ?6.17 MPa ,? D ? ?9.26 MPa题 3-9 图3-10 图中所示铸铁梁，若 h=100mm，δ =25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为 1/3， 试确定 b 的尺寸。 解:50Cz300A B根据分析知，梁截面上压下拉。 如图对截面建立坐标系，h1位形心位置 75 25 ? 25) ? b ? 25 ? 2 2 h1 ? 75 ? 25 ? b ? 25 4687 .5 ? 12 .5b ? 75 ? b M ? h1 M ? (100 ? h1 ) 则? 拉 ? ?压 ? Iz Iz 75 ? 25 ? ( 又δδb?拉 ? 1/ 3 ?压b ? 225 mm题 3-10 图3-11 某托架如图所示，m-m 截面形状及尺寸见图 b，已知 F=10kN，试求： （1）m-m 截面上面的最大弯曲正应力； （2）若托架中间部分未挖空，再次计算该截面上的最大弯曲正应力题 3-11 图 解：m-m 截面上弯矩为： M ? 10 ? 10 ? 760 ? 7.6 ? 10 N ? mm3 6160 ? 20 3 20 ? 160 3 2 ? 160 ? 20 ? 90 ] ? ? 58.9 ? 10 6 mm 4 （1） I z1 ? 2 ? [ 12 12' ? max ?My ? 17 MPa I z1（2） I z 2 ? 2 ? ? [160 ? 20 3 20 ? 40 3 ? 160 ? 20 ? 90 2 ] ? ? 40 ? 20 ? 60 2 12 12? ? 58 ? 10 6 mm 4'' ? max ?My ? 17.3MPa Iz23-12 试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指 出它们发生于何处?h解:? max ?M M 32 ? 12 .5 ? 10 6 ? ? ? 101 .2MPa ? WZ ?d 2 2 ? 50 4 325kNA C 1m B θ 50 + 5kN 12.5kNm + D? max ? ?4 3FQ 4 5 ? 10 3 ? ? ? 3.4MPa ?d 2 3 ? ? 50 2 4 4最大正应力发生在梁中点截面的 A、B 两点， 最大剪应力发生在梁中点截面的 CD 直径上。题 3-12 图3-13 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。 解:10kN20kN No.16? m ax ?? MAXM m ax?hIZ* FQ S Z2 ? 20 ? 80 ?10 ? 142 MPa 62m 15kN2m + 10kN2m15 ? 10 3 ? ? ? ? 18.1MPa IZ I zb 13.8 ? 10 ? 6 ?b * SZ FQ10kN?m20kN?mm 1m 10FQ ? 800 N 5 5 * S m ? 10 ? 5 ? ( ? ) ? 250 mm 3 2 2 5 5 S Z ? 10 ? (5 ? ) ? [(5 ? ) / 2] ? 281 .25 mm 3 2 2 3 10 ? 15 IZ ? ? 2812 .5mm 4 12题 3-14 图?1 ?* FQ S mIZb?FS 250 ? 800 281 .25 ? 800 ? 7.1MPa 、 ? 2 ? ? max ? Q Z ? ? 8MPa 2812 .5 ? 10 IZb 2812 .5 ? 105 5 5题 3-13 图 3-14 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N，试求胶合面上的切应力和 横截面上的最大切应力。 解: F3-15 一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为 T=2.5kN? m，已知轴的直径为 d=600mm，试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径 D 与内直径 d 之比 为 1.5 的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的η max 相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。 解：实心：? maxMx Mx 2.5 ? 10 6 ? ? ? ? 59 MPa 3 ? W p1 ?d实 ? 60 3 16 16空心：Wp 2 ?? ( D3 ? d 3 )16??d 3 D?d 3 [( )3 ? 1] ? ? 2.375 16 d 161Wp 2 ?? 60163,? 603 ? 3 所以 d ? ? ? 2.375 ? ? 45mm ? ? ?? 2 1 2 A空 4 d [( d ) ? 1] 45 2 ? 1.52 ? 1 （ ） ? ? ? 0.7 2 ? 2 A实 60 d 4 实3-16 图中所示为两根悬臂梁，a 梁为两层等厚度的梁自由叠合，b 梁为两层等厚度的梁用螺 栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力ζ max 之比。题 3-16 图 解：a 梁：每层梁所受 M a max ?Fl 2Wza ?bh2 6b 梁：只有一层 M b max ?Fl 2Wza ?b( 2h) 2 6?? a M a max ? ?b WzaM b max Fl b 4bh2 ? ? 2? ? 2 :1 Wzb 2 bh Fl ? b3-17 有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为 100 ? 50mm ，在杆的两端作用着一对大小为 T ? 3kN ? m 的力偶矩作用， G ? 80GPa 。试求作用杆横截面上的最大切应力。 解：矩形截面扭转? max ?M 3 ?10 6 ? ? 48.8MPa 2b 2 h 0.246 ? 50 2 ?100其中 b=50mm，h/b=100/50=2， ? ? 0.246 3-18 圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为 d ? 18mm ，弹簧平均直径为 D ? 125 mm 。 如弹簧所受拉力 F ? 500 N ，试求簧丝的最大切应力。（ ）? max ? 14 F 8FD 4 ? 500 8 ? 500 ?125 ? ? ? ? 29.27 MPa ?d 2 ?d 2 ? ?18 2 ? ?18 3 D 1.21 ? 1.23 (2)c ? ? 6.94, k ? 1.23 ? (6.94 ? 6.5) ? 1.215 d 7 ? 6.5 8FD ? ? 500 ?125 ? max ? k 3 ? 1.215 ? ? 33.2 MPa ?d ? ?18 3 D (3) ? 125 / 18 ? 6.94 ? 10用修正公式计算 d3-19 试求图 3-60 中 AB 杆横截面上的最大正应力。 已知 F1 ? 20kN, F2 ? 30kN, l1 ? 200 mm,l2 ? 300 mm ， b ? 100 mm 。扭弯组合N ? F1 ? F2 ? 30 ? 20 ? 50 KN M ? 30 ? 300 ? 20 ? 200 ? 5000 KN ? mm? max? 3.5 m N
50 ?10 3 ?? ? ?? ? ? ?30 ? 5MPa ? ? 25 w A 100 100 3 6w?b 3 100 3 ? 6 6A ? b 2 ? 100 23-20 矩形截面折杆 ABC ，受图 3-61 所示的力 F 作用。已知 ? ? arctan( 4 3 ), a ? l / 4, l ? 12h ，b ? h / 2 。试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。+题 3-20 图解: Fx ? F cos? ? 0.6 F ,Fy ? F sin? ? 0.8Fh 2 h bh2 2 h3 W? ? ? 6 6 12A ? 6h ?h h2 h? 2 2竖杆 A 截面上的弯矩和轴力为:M A ? ? Fy ? a ? Fx ? l ? 0.8 F ? 3h ? 0.6 F ? 12 h ? 4.8 Fh FNA ? Fy ? 0.8 F?' ?0 .8 F F ? 1 .6 2 , 2 h h 2? '' ?4.8 Fh F ? 57 .6 2 3 h h 12? ? max ? ?57.6 ? ? maxF F F ? 1.6 2 ? ?59 .2 2 2 h h h F F F ? 57 .6 2 ? 1.6 2 ? 56 2 h h h3-21 柱截面为正方形，受压力 F 作用。若柱右侧有一个槽，槽深为 a / 4 ，试求： 、开槽 （1） 前后柱内最大压应力值及其所在位置； 、如在柱左侧（与右侧相对）再开一个相同的槽， （2） 此时柱内压应力有多大？ 解:(1)开槽前轴向压应力??N F ? A a2距离 Yc=（2） 右侧开槽后为偏心受压， 作用于点 c 距形心 z 轴的a ,将力向点 O 简化 8Fa 83a 2 4题 3-21 图FN ? F ,.M Z ? F ? y c ?A1 ?3 a( a) 3 9a 4 Iz ? 4 ? 12 256所以：?' ?? F 4F ? 2 A1 3a.? '' ?M z y Fa 256 ? ? y Iz 8 9a 4最大压应力在槽底上各点： ??max? 4F ? ? 3a 23 32 F a 8 ? ? 8F 3 9a 3a 2（3）如果在左侧也开槽，则为轴心受压： A1 ? a ?a 2?? ??F 2F ?? 2 a a 23-22 图示短柱受载荷 F1 和 F2 作用，试求固定端角点 A、B、C 及 D 的正应力，并确定其中性 轴的位置。拉应力区压应力区中性轴题 3-22 图 题3-22图 解：在 ABCD 平面上的内力：FQY ? F2 ? 5kN,横截面的几何特性：M Z ? F2 ? 600 ? 5 ? 10 6 ? 600 ? 3 ? 10 6 N ? mm FN ? F1 ? 25 KNM y ? F1 ? 25 ? 25 ? 10 6 ? 25 ? 6.25 ? 10 5 N ? mm,A ? 150 ? 100 ? 1.5 ? 10 4 mm 2 , Iy ? 100 2 ? 150 ? 1.25 ? 10 7 mm 4 12Iz ?100 ? 150 3 ? 2.81 ? 10 7 mm 4 , 12应力计算：?N ? ? ? MZ25 ? 10 3 ? ?1.67 MPa 1.5 ? 10 4 M z ? Y 3 ? 10 6 ? y ?? ? ? ?0.107 MPa IZ 2.81 ? 10 7 M Y ? Z 6.25 ? 10 5 ? Z ? ? ?0.05 MPa WY 1.25 ? 10 7? MY ? ?? ? ?1.67 ? 0.107 y ? 0.05 z中性轴方程为： ? 1.67 ? 0.107 y ? 0.05 z ? 0当 y ? 0. z ? 0.a z ? 33 .4mm a y ? 15 .6mm?A ?B ?C ?D? ?1.67 ? 0.107 ? 75 ? 0.05 ? 50 ? 8.86 MPa ? ?1.67 ? 0.107 ? 75 ? 0.05 ? 50 ? 3.86 MPa ? ?1.67 ? 0.107 ? 75 ? 0.05 ? 50 ? ?12.2MPa ? ?1.67 ? 0.107 ? 75 ? 0.05 ? 50 ? ?7.2MPa3-23 图 3-64 所示为一简易悬臂式吊车架。横梁 AB 由两根 10 号槽钢组成。电葫芦可在梁上 来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重 W ? 9.5kN 。材料的 E ? 200GPa 。试求 在下列两种情况下，横梁的最大正应力值： 、只考虑由重量 W 所引起的弯矩影响； 、 （1） （2） 考虑弯矩和轴力的共同影响。题 3-23 图 解：当电动葫芦运行到 AB 中点时，梁 AB 中弯矩最大。 （1）只考虑由重量 W 所引起的弯矩影响Wl 9.5 ? 10 3 ? 4 ? 10 3 M max ? ? ? 9.5 ? 10 6 Nmm 4 4 3 WZ ? 39.7cm? max ?M max 9.5 ? 10 3 ? ? 119 .7 MPa WZ 2 ? 39.7 ? 10 3(2)考虑轴力与弯矩共同影响 AB 所受轴力： FN ? W4 4 ? W ? ? 9.5 ? 10 3 ? 1.27 ? 10 4 N tg? 3 3A ? 12.74cm 2 ? ? max ? ? max ? ? N ? 119 .7 ? 4.98 ? 124 .7 MPa3-24 图 3-65 所示为一矩形截面柱，受压力 F1 和 F2 作用，F1=100kN，F2=45kN。F2 与轴线有 一个偏心距 y p ? 200 mm, b ? 180 mm, h ? 300 mm 。试求 ? max 与 ? min 。欲使柱截面内不出 现拉应力，问截面高度 h 应为多少？此时的最大剪应力为多大？题 3-24 图 解：A-A 截面上内力为： FN ? F1 ? F2 ? 100 ? 45 ? 1.45 ?10 5 NM z ? F2 y p ? 45 ? 200 ? 9000 KN ? mm ? 9 ? 10 6 N ? mm截面的几何性：A ? bh ? 180 ? 300 ? 5.4 ? 10 mm42bh2 180 ? 300 2 WZ ? ? ? 2.7 ? 10 6 mm 3 6 6FN 1.45 ? 10 5 ? ? ? ? 2.685 MPa A 5.4 ? 10 4 M 9 ? 10 6 ? M ''? Y ? ? 3.333 MPa WZ 2.7 ? 10 6' ? ? max ? ? ' '?? ' ? 3.333 ? 2.685 ? 0.648 MPa ? ? max ? ? ' '?? ' ? 3.333 ? 2.685 ? 6.02 MPa欲使柱截面内不出现拉应力,则有：? ? max ? ? M ? ? N ＝0（a）Wz I z ?bh2 180 h 2 ? ? 30 h 2 6 6?m ?9 ? 10 6 30 h 2A ? bh ? 180 h?N ?1.45 ? 10 5 180 h分别代入（a）式得：910 6 1.45 ? 10 5 ? ?? ? ? 0 2 180 h 30 h解之得： h ? 372.4mm 此时： ? max ? ? M ? ? N ? 2.163 ? 2.163 ? 4.33 MPa?3-25 传动轴上装有甲、 乙两个皮带轮， 它们的直径均为 D ? 600 mm ， 重量均为 F ? 2kN ， 其受力情况如图示。若轴的直径为 30mm 。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点 的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。甲轮 甲轮 乙轮 乙轮(水平面内)(垂直平面内)题 3-25 图 解：计算简图如图 a)所示，M Bx ? M Dx ? (6 ? 2) ?0.6 ? 1.2 KN ? m 2FBy ? W ? 2 KN ,FBz ? 6 ? 2 ? 8KNFDy ? 6 ? 2 ? 2 ? 10 KNFay=1kN, Fcy=13kN, Faz=Fcz=4kN轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图 b)、c)和 d)所示。 轴截面的几何特性计算：A??d 24?? ? 30 24? 706 .5mm 2 Wp ?Wz ? W y ??d332? 2.650 ? 10 3 mm 3?d 316? 5.30 ? 10 3 mm 3危险点在 B 截面上的 E1 和 E2 点上，M max ? M y max ? M z max ? 1.2 2 ? 0.3 2 ? 1.24 k N ? m? max ?M max ? 467 .8MPa Wy? max ?Mx ? 226 .4MPa Wp3-26 一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。 （1） 、试指出危险截 面和危险点的位置。 、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。 （2）题 3-26 图 解：危险点在 B 截面的最上和最下面的两点上。3-27图 3-68 为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率 P ? 3kW ，转子转速n ? 1400r / min ，转子重量 W1 ? 101N 。砂轮直径 D ? 250 mm ，砂轮重量 W2 ? 275N 。磨削力 Fy : Fz ? 3 : 1 ，砂轮轴直径 d ? 50mm ，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并 求出危险点的应力大小。(水平面内)(垂直平面内)题 3-27 图 解：计算简图如图所示， 电机传递的扭矩 T ? 9.549P 3 ? 9549 ? ? 20.5 N ? m N 1400根据力矩平衡： FzZ ?P ?T 22T 2 ? 20 .46 ? 10 3 ? ? 164 N D 250 Fy ? 3Fz ? 3 ? 163 .7 ? 492 N Fz ? Fy ? W2 ? 492 ? 275 ? 217 N内力图如图所示。截面的几何特性计算：Wp ??d 316? 2.453 ? 10 mm43Wz ? W y?d 332? 12.27 ? 10 3 mm 3危险点面在 A 面的 D1 和 D2 点，则合成弯矩为：M max ? M y max ? M z max ? 1.2 2 ? 0.3 2 ? 35 .35 k N ? m? max ?M max ? 2.88 MPa Wy? max ?Mx ? 0.84 MPa Wp3-28 圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷 F 作用，圆截面半径为 r，现 要求整个截面只承受压应力，试确定 F 作用的范围。 解：压力引起的压应力： ? N ? ? 而F ?r 2Wy ??d 332??r 34F ? ZC 4F ? Z C ?? 3 ?r ?r 3 4?M ? ?M Wy??? max ? ?? N ? ? max ? ?解之得 Zc= 4-14F ? Z C F ? ?0 ?r 2 ?r 3r 42图 4-13 所示钢杆横截面面积为 A ? 100mm ，如果 F ? 20kN ，钢杆的弹性模量E ? 200GPa ，求端面 A 的水平位移。解： （一）绘制轴力图F F 2F2F2F F++（二）计算：FNi li F ? (2l1 ? l 2 ? 2l3 ) ? EA EA 20 ? 10 3 (2 ? 1000 ? 1000 ? 2 ? 1000 ) 200 ? 10 3 ? 100 ? 5mm (伸长） ?l ? ?题 4-1 图 4-2 拉杆如图 4-14 所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量 E ? 150GPa 。题 4-2 图 解：?l ? ?FNi li 15 ? 10 3 ? 150 15 ? 10 3 ? 250 ? ? ? EAi 150 ? 10 3 ? 20 ? 20 150 ? 10 3 ? 20 ? 10? 3.75 ? 10 ? 2 ? 1.25 ? 10 ?1 ? 1.625 ? 10 ?1 mm ? 0.1625 mm4-3 相同材料制成的 AB 杆和 CD 杆（图 4-15） ，其直径之比为 d AB / d CD ? 1 / 2 ，若使 刚性杆 BD 保持水平位置，试求 x 的大小。 解： （一） 求反力FAB x FCDFAB ? F(l ? x) lFCD ? Fx l?（二） 根据条件求解题 4-3 图?l AB ? ?l CDF l FA l A ? C C E A AA E C AC 1 l?x ? 4 x 则：x ? 4 l 5F A r2 即： A ? A ? A FC AC rC24-4 图 4-16 所示一均质杆，长为 l ，横截面面积为 A ，杆重 W ，材料的弹性模量为 E ，求 杆端 B 及中间截面 C 在自重作用下的位移。解，如图?l B ? ? ql 2 ? 2 EAl (l ? x ) qdx N ( x)dx q l q 2 x2 ?? ? (l ? x)dx ? [l ? ] l EA( x ) 0 EA EA ?0 EA 2 0lA? ql ? Wl? ?l B ?Wl EAN ( x)dx q 3ql 2 3 Wl ?l A ? ? ? ?2 (l ? x)dx ? ? l EA( x ) 0 EA 8EA 8 EAdxBx题 4-4 图 4-5 试计算以下各题刚性梁 AB 的 B 处位移（图 4-17） 。其它杆件为弹性杆，刚度 EA 。 （a）q C C' B B'求反力： M A ? 0 ? 2 4 l ? q ? 2l ? l ? 0 故：FDC ? ql 2 2 4 ql ? 2l 4ql 2 2 CD' ? ? EA EA 2 4 2ql 8 2ql 2 CC ' ? 则B点的位移：BB' ? 2CC ' ? EA EA FDCA FDC DD'4-5（b）D计算CD杆反力： M A ? 0 ? 3 ? F ? 3l ? 0 故：FDC ? 3 F 2 F 2l 2 3Fl 则：EC ' ? DC ? EA EA 根据图的关系： FDC ? 2l CC '? 3 ? EC ' 2 CC ' ? 4 Fl EA B点位移：BB' ? 3 6 Fl CC ' ? 2 EADA C BF B'BA FO1A δ FO1CE C C'FO2C1δ4-5（c）2δ3(一）受力分析，反力计算?M ?M?1 ?C D?0 ?0FO1 A ? F ? F ? 2l ? FO1C ? 2l ? 0 因此：FO1C ? 2 F(二）求变形 FO1 A l Fl ? EA EA F 2l 2 2 F ? 2l Fl ? 2 ? O1C ? ? 2 ?2 2 EA 2 EA EA ? 3 ? ? 1 ? 2(? 2 ? ? 1 )? 3 ? 2? 2 ? ? 1 ?4 2 Fl Fl Fl ? ? (4 2 ? 1) EA EA EA4-6 求图 4-18 所示节点 B 的水平位移和竖向位移。 AB 杆和 BC 杆的抗拉刚度 EA 相同。 解：C FBC根据静力学容易求得： FAB ? F 由BD ? Fl EA FBC ? 2 F BE ? Fl EA 2 F ? 2l 2 Fl ? EA EAAFAB B则：?B x ? BD ?B E G题 4-6 图D?B y ? 2 BE ?H F2 Fl Fl Fl ? HF ? 2 2 ? ? (1 ? 2 2 ) 2 EA EA EA4-7 在图 4-19 所示结构中， AB 为水平放置的刚性杆，1、2、3 杆材料相同，其弹性模量E ? 210GPa ，已知 l ? 1m ， A1 ? A2 ? 100mm 2 ， A3 ? 150mm 2 ， F ? 20kN 。试求 C点的水平位移和铅直位移。 解：根据静力学容易求得：1 A A'2 3 Δ Cy Δ Cx B B'F1 ? F2 ? AA' ?F 2Fl 200 ? 10 3 ? 0.5 ? 1000 ? ? 0.476 mm 2 EA 210 ? 10 3 ? 100 ?C y ? 0.476 mm ?C x ? ?C y ? tg 45 0 ? 0.476 mm4-8 求习题 3-6 中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。解：IP ??D 432Mx 2.15 ? 10 3 ? 32 ?? ? ? 3.9 ? 10 ? 2 rad / m(2.24 0 / m) 9 4 GI P 90 ? 10 ? 3.1416 ? 0.054-9 求习题 3-7 中的最大单位长度扭转角和齿轮 1 和齿轮 3 的相对扭转角。已知齿轮 1 和 齿轮 2 的间距为 0.2m，齿轮 2 和齿轮 3 的间距为 0.3m，G=90Gpa。 解：M x ? 9550 P n30 ? 1.432 ? 10 3 N ? m 200 17 M 2 ? 9550 ? ? 8.118 ? 10 2 N ? m 200 13 M 3 ? 9550 ? ? 6.208 ? 10 2 N ? m 200 M 1.432 ? 10 3 ? 32 ? 1? 2 ? 1 ? ? 0.755 ? 10 ?3 rad / m(0.387 0 / m) 9 4 GI P 90 ? 10 ? 3.14 ? 0.07 M 1 ? 9550 ?? 2 ?3 ?M3 6.208 ? 10 2 ? 32 ? ? 2.746 ? 10 ? 2 rad / m(1.57 0 / m) 9 4 GI P 90 ? 10 ? 3.14 ? 0.04因此? max ? 2.746 ? 10 ? 2 rad / m? 1?3 ? ? 1? 2 ? 0.2 ? ? 2?3 ? 0.3 ? 9.589 ? 10 ?3 rad (0.55 0 )一钻探机的功率 7.355 kW ，转速 n ? 180r / min ，钻杆外径 D ? 60mm ，内径 ，试 d ? 50mm ，钻入土层 40 m ，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图 4-20） 求此杆两端面的相对扭转角。钻杆 G ? 80GPa 。 4-10 解：3.14 ? 0.06 4 50 [1 ? ( ) 4 ] ? 6.587 ? 10 ? 7 m 4 32 32 60 9 ?7 GI P ? 80 ? 10 ? 6.587 ? 10 ? 5.270 ? 10 4 IP ? (1 ? ? 4 ) ? M x ? 7.355 ? 9550 / 180 ? 3.902 ? 10 2?D 4???l0mxdx 0.5ml 2 ? GI P GI P其中：ml ? M x故：? ?M x l 3.902 ? 10 2 40 ? ? ? ? 0.481 ? 10 ?1 rad (8.48 0 ) GI P 2 5.270 ? 10 4 24-11 一直径 d ? 25mm 的钢圆杆，受轴向拉力 60kN 作用时，在标距为 200 mm 的长度内伸长了 0.113mm 。 当它受一对矩为 0.2kN ? m 的外力偶作用而扭转时， 在标距 200 mm 长度 内相对扭转了 0.732? 的角度，求钢杆的 E 、 G 、? 。 解：E? FN l ? ?l ? A 200 ? 60 ? 10 3 ? 2.16 ? 10 5 MPa ? 216 GPa 3.14 2 0.113 ? ? 25 432 M xl 0.2 ? 10 3 ? 0.2 G? ? ? 8.172 ? 10 10 Pa ? 81 .72GPa I P ? 3.833 ? 10 ?8 ? 1.277 ? 10 ? 2 E 216 ? ? ?1 ? ? 1 ? 0.32 2G 2 ? 81 .72IP ??D 4? 3.833 ? 10 ?84-12全长为 l ，两端面直径分别为 d 1 和 d 2 的圆锥形杆，两端各受力偶 T 作用而扭转（图4-21） ，求两端面间相对扭转角。 解：1 1 dx ? ( xd 2 ? ld1 ? xd1 ) ? d 1 ? x(d 2 ? d 1 ) l l l M ( x) M l 32 32T l 1 ??? dx ? x ? dx ? dx ?0 1 0 GI 0 1 G G? P ? [d 1 ? x(d 2 ? d 1 )] 4 [d 1 ? x(d 2 ? d 1 )] 4 l l ( K ? d 1 )l 1 令K ? d 1 ? x ( d 2 ? d 1 ) 则: x ? l (d 2 ? d 1 ) 上面积分转换为： 32T G? ( K ? d 1 )l 32T l K ?3 32Tl 1 1 ? (? ) ? ( ? 3)? (d 2 ? d 1 ) G? (d 2 ? d 1 ) 3 d G? (d 2 ? d 1 ) d 13 d 2 1d2d1 x Ld2???d2d1K ?4 d2 (d ? d 1 )( d 12 ? d 1 d 2 ? d 2 ) 32Tl 32Tl 2 ? 2 ? (d 12 ? d 1 d 2 ? d 2 ) 3 3 3 3G? (d 2 ? d 1 ) d1 d 2 3G?d 13 d 24-13 求例 3-5 中的单位长度扭转角。已知 G=80Gpa。 解： 已知：h=100mm，b=45mm，T=2kN?m，G=80GPa；??Mx G?hb3其中，?和h / b有关h / b ? 2.2，插值h / b ? 2.0，? ? 0.229，h / b ? 2.5，? ? 0.249? ? 0.229 ? 0.249 ? 0.229） （ ??2 .2 ? 2 .0 ? 0.237 2 .5 ? 2 .02 ? 10 3 ? 1.157 ? 10 ? 2 rad / m ? 0.66 0 / m 80 ? 10 9 ? 0.237 ? 0.1 ? 0.045 34-14 用积分法求图 4-22 所示各梁的挠曲线方程和转角方程， 并求最大挠度和转角。 各梁 EI 均为常数。 （a）解： 由挠曲线方程：M A B xM ( x) ? ? M EI Z ? ? ? M ( x)dx ? C ? ? ? Mdx ? C ? ? Mx ? C 当x ? 0，? A ? 0，故C ? 0 故：? ? ? Mx EI ZM -? max ? ? B ?? Ml EI Z1 1 EIw ? ? Mx 2 ? Cx ? D ? ? Mx 2 ? D 2 2 当x ? 0时，w A ? 0，所以D ? 0 Mx 2 ?w ? ? 2 EI（b）解：qwmaxMl 2 ? wB ? ? 2 EIM ( x) ?q ( xl ? x 2 ) 2q/21 2 ql 8q/2q EI Z ? ? ? M ( x)dx ? C ? ? ( xl ? x 2 )dx ? C 2 q 1 1 1 ? x 2 l ? x 3 q ? C ? qlx2 ? qx 3 ? C 4 6 4 6 1 1 EI Z w ? qlx3 ? qx 4 ? Cx ? D 12 24 当x ? 0时，w ? 0,? D ? 0 l ql 3 当x ? 时，? ? 0，从而，C ? ? 2 24 4 5ql ql 3 则, wmax ? w l ? ? ? max ? ?? A ? ? B ? 384 EI Z 24 EI 24-15 用叠加法求图 4-23 所示梁的 ? C 及 wB 。设 EI 均为已知常数。 （a）解：求：? C , wB . （一）求? CM ? ql 2q c? C ? ? C1 ? ? C 2 ? ? C 3 ? ? C 4 ? ? C1( B ') ? ? C 2 ( B ') ? ? C 3( B ') ? ? C 4 ( C ')ql 3 0.5ql 2 l ql 3 ql 3 ? ? (? )? 2 EI EI 6 EI EI 3 ql ?? 6 EI ??BM ? ql 2(1) (B')qql（二）求wB wB ? wB 1 ? wB 2 ? wB 3 ? wB 4 (ql)l 3 ? (0.5ql 2 )l 2 ? ? ql 2 l 2 ? 1 ql 4 ? ?? ? ?? (? )? ? ? ? 3EI 2 EI ? ? 2 EI ? 8 EI ? 4 5ql 4 ? 1 1 1 1 ? ql ? ?? ? ? ? ? ?? 24 EI ? 3 4 2 8 ? EI ??+(2) (B')1 2 ql 2(3) (B')qw'(4)4-15(b)解（一）? CFl B F C? C ? ? C1 ? ? C 2Fl 2 Fl 2l 3Fl 2 ?? ? ? 2 EI EI 2 EI(1)Fl（二）求 wB Fl Ml ? 3EI 2 EI 3 3 Fl Fl Fl 3 ?? ? ? 3EI 2 EI 6 EI wB ? wB1 ? wB 2 ? ?3 2(2)C4-16 用叠加法求图 4-24 所示梁的最大挠度和最大转角。 4-16(a) 解（一）最大转角2EI A C F C EI F B Fl F C B? B ? ? max ? ? 1F ? ? 1Fl ? ? 2 B B B?? Fl 2 Fl ? l Fl 2 1 1 1 Fl 2 5 Fl 2 ? ? ? (? ? ? ) ?? 2(2 EI ) 2 EI 2 EI 4 2 2 EI 4 EI（二）最大挠度 wB ? w1F ? w1Fl ? ? 1F ? l ? ? 1Fl ? l ? w2 B C C C C ?? Fl 3 Fl ? l 2 Fl 2 ( Fl )l Fl 3 ? ? ?l ? ?l ? 3(2 EI ) 2(2 EI ) 2(2 EI ) 2 EI 3EI1 1 1 1 1 Fl 3 3 Fl 3 ? (? ? ? ? ? ) ?? 6 4 4 2 3 EI 2 EI4-16（b）解q A D l C l/2 q wB1 θ θB2 B1(1)? BBwB2θB3l q( ) 3 3 2 ? ? ql ? B1 ? ? 6 EI 48 EI 3 ql ? B2 ? 24 EI 1 2 ql ? l ql 3 8 ? B3 ? ? ?? 3EI 24 EIwB3? B ? ? B1 ? ? B 2 ? ? B 3 ? ?( 2) w Bql 3 48 EI l l ? ? B3 ? 2 2wB ? wB1 ? wB 2 ? wB 3 ? wB1 ? ? B1 ?l q( ) 4 ql 4 wB1 ? ? 2 ? ? 8 EI 128 l ql 3 l ql 4 wB 2 ? ? B 2 ? ? ? ? 2 24 EI 2 48 EI l ql 3 l ql 4 wB 3 ? ? B 3 ? ? ? ? ?? 2 24 EI 2 48 EI 4 ql 故 : wB ? ? 128 (3)经过验算， D ? wB w ? A , ?Ｃ ? ? B? max ? ? B , wmax ? wB4-16（c）解q A dx x (3/8)ql B(1)求? A d? A ? ? (qdx) x(l ? x)(l ? l ? x) q ?? x(l ? x)( 2l ? x)dx 6 EIl 6 EIll lq 2 q ? 2 1 ?2 ?A ? ? x(l ? x)( 2l ? x)dx ? ? l x ? lx 3 ? x 4 ? 6 EIl ?0 6 EIl ? 4 ?0 ? q 9 4 3ql 3 l ?? 6 EIl 364 128 EI (2)求? B ?? (qdx) x(l ? x)(l ? x) q ? x(l ? x)(l ? x)dx 6 EIl 6 EIl l q q 7 4 7 ql 3 ? B ? ?2 (l 2 x ? x 3 )dx ? l ? 0 6 EIl 6 EIl 64 384 EI (3) wmax d? B ? 根据Q, M图，wmax ? wC ?3 qx 2 l qlx ? x ? [0, ] ? ? 2 2 M x ? ?8 1 l ? qlx x ? [ , l] ?8 2 ? l M max 位于[0， ] 2 1 1 3 1 2 ?x ? ? M ( x)dx ? C1 ? EI ? ( 8 qlx ? 2 qx )dx ? C1 EI 1 3 1 l ? ( qlx2 ? qx 3 ) ? C1 x ? [0, ] EI 16 6 2 3 3ql 3ql 3 当x ? 0时，? 0 ? ? 因此C1 ? ? 所以 128 EI 128 EI 1 3 1 3ql 3 ?x ? ( qlx2 ? qx 3 ) ? EI 16 6 128 EI 1 3 1 4 3ql 3 wx ? ( qlx3 ? ql ) ? x EI 48 24 128 EI 5ql 4 则w l ? ? 768 EI 2 当? x ? 0时，w x ? wmax 即：x ? 0.46l代入： wmax ? ? 5.04 ql 4 768-(1/8)ql+4-16(d)q A B l/2 l/2 ql C? max ? ?? A ? ? c ? A ? ? A( q ) ? ? A( ql ) ? ?wmax ? wB wB ? wB ( q ) ? wB ( ql ) ? ? 5ql 4 ql 4 13ql 4 ? ?? 384 48 EI 384 ql 3 ql 3 5ql 3 ? ?? 24 EI 16 EI 48 EI题 4-16(d)图 4-16(e)q A l1 B l2? maxCql13 ??B ? ? 6 EI ql14 ql 3 ? 1 l2 8 EI 6 EIwmax ? wC ? wB ? ? B ? l 2 ? ? ql13 ?? (3l1 ? 4l 2 ) 24 EI题 4-16(e)图4-16(f)q A 2l q?1D C B lw1 w2q?2ql 3 ql 4 ?1 ? ? w1 ? ? 6 EI 8 EI 3q 3ql 3 ?2 ? ( 2l ) 3 ? 128 EI 16 EI 1 2 ql ? 2l ql 3 2 ?3 ? ? ?? 3EI 3EIw2 ?3 ql 4 16 EI ql 4 3EIw3 ? ?? max ? ? D ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?wmax2 (1/2)ql?3w35 ql 3 16 3EI 13ql 4 ? wD ? w1 ? w2 ? w3 ? ? 48 EI题 4-16(f)图 4-17 工字形截面Ⅰ的 20b 简支梁受载如图 4-25 所示， E ? 200GPa ，求最大挠度。 解：10kN 4kN /m A C 3m 3m BI x ? 2500 cm 4 ? 2500 ? 10 4 mm 4 E ? 200 GPa 5ql 4 Fl 3 wc ? ? ? 384 48 EI 5 ? ( 4 ? 10 3 / 10 3 ) ? (6 ? 10 3 ) 4 ?? 384 ? 200 ? 10 3 ? 2500 ? 10 4 10 ? 10 3 ? (6 ? 10 3 ) 3 ? 48 ? 200 ? 10 3 ? 2500 ? 10 4 ? 22 .5mm题 4-17 图4-18 用叠加法求图 4-26 所示杆 C 截面沿铅垂方向位移。已知各杆抗弯刚度 EI 。 4-18(a)解q AC 2l FXC q FYC lB l F=ql BDFyc ? ? ql wc ? wc ( q ) ? wc ( F ) q ( 2l ) 4 ql( 2l ) 3 8 ql 4 ? ? ( ?2 ? ) 8 EI 3EI 3 EI 4 2 ql ? 3 EI ??CDA F=ql题 4-18a）图 4-18(b)解M=ql2 q?MD qD?0ABCFYC ? ql / 2 ql 3 ql 4 w1 ? ? 1 ? l ? ?l ? 3EI 3EI 4 ql w2 ? ? 6 EI ql 4 w3 ? ? 3EI ql 4 w4 ? ? 8 EI ql 4 w5 ? ? 3EI wC ? w1 ? w2 ? w3 ? w4 ? w5 ? ? 5ql 4 8 EIFXC FYC M w1 ql/2 w2 w3 q w4 w5 l FYD题 4-18b）图lx d qdx q EIl dx C qx qlx EI x l w ql 4 9 364 )( 64 7 384 Q, M 8 [ , 2 ] 16 6 ( 48 1 24 ) 3 128 0 46 5 . 04 768 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C l x 0 1 3 2 max 44-19 用叠加法求图 4-27 所示折杆自由端 C 的铅垂位移、 水平位移和转角。 已知 EI 为常数， 不考虑轴力的影响。 解：F B?BF Fl C C'Ml 2 ( Fl ) ? l 2 Fl 3 ? ? (向右) 2 EI 2 EI 2 EI Fl 2 ?B ? EI ? CY ? ? B ? l ? ( wcP ) BC? CX ?AFl 2 Fl 3 4 Fl 3 ? ?l ? ? (向下) EI 3EI 3 EI Fl 2 Fl 2 3Fl 2 ? C ? ? B ? ? CF ? ? ? (顺时针) EI 2 EI 2 EI5-1 构件受力如图 5-26 所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力 状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力） 。T A d 2TFA dB 3TT A（b）F A d B TdTFlF（a） 解：a) b) c) d)（c）（d）题 5-1 图 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点； 2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。 1) 危险点的位置：外力扭矩 3T 与 2T 作用面之间的轴段上表面各点； 2）应力状态见下图。 1) 危险点： A 点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点； 2）应力状态见下图。 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。? ?4F ?d 2A??A4F? ?16T ?? 3 ?d64 Fl 16T ? ? 3 ?d 3 ?dA?d 2A??32T ?d 3a)b)c)d)5-2 试写出图 5-27 所示单元体主应力ζ 1、ζ 2 和ζ 3 的值，并指出属于哪一种应力状态（应 力单位为 MPa） 。50 40 20 30 30 30 10 10504030 20a)b) 题 5-2 图c)解：a) b) c)? 1 =50 MPa, ? 2 = ? 3 =0,属于单向应力状态? 1 =40 MPa, ? 2 =0, ? 3 =－30 MPa，属于二向应力状态? 1 =20 MPa, ? 2 =10 MPa, ? 3 =－30 MPa，属于三向应力状态5-3 已知一点的应力状态如图 5-28 所示（应力单位为 MPa） 。试用解析法求指定斜截面上的 正应力和切应力。30 20 40 50 30° 30° 20 40 30 30 1030°a) 解：b) 题 5-3 图c)a) 取水平轴为 x 轴，则根据正负号规定可知：? x =50MPa , ? y =30MPa , ? x =0, α =－30 ?带入式（5-3）（5-4）得 ，?? ?? x ?? y2?? x ?? y2cos 2? ? ? x sin 2?=45MPa?? ?? x ?? y2sin 2? ? ? x cos 2?= -8.66MPa b) 取水平轴为 x 轴，根据正负号规定：? x = -40MPa , ? y =0 , ? x =20 MPa , α =120 ?带入公式，得：? 40 ? 0 ? 40 ? 0 ? cos 240 ? ? 20 sin 240 ? =7.32MPa 2 2 ? 40 ? 0 ?x= sin 240 ? ? 20 cos 240 ? =7.32MPa 2?? ?c) 取水平轴为 x 轴，则? x = -10MPa , ? y =40MPa , ? x = -30MPa,α =30 ?代入公式得：? 10 ? 40 ? 10 ? 40 ? cos 60 ? ? (?30) sin 60 ? =28.48MPa 2 2 ? 10 ? 40 ?x= sin 60 ? ? 30 cos 60 ? =-36.65MPa 2?? ?5-4 已知一点的应力状态如图 5-29 所示（应力状态为 MPa） 。试用解析法求：(1)指定斜 截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。40 60° 100 40 60 60 20 30 45° 60° 60 40a)b)c)题 5-4 图 a) 解： （1）求指定斜截面的上应力 取水平轴为 x 轴，则 带入公式，得:? x =100MPa , ? y =40MPa , ? x =40MPa,α =45 ?100 ? 40 100 ? 40 ?? ? ? cos90 ? ? 40 sin 90 ? =30 MPa 2 2 100 ? 40 ?? = sin 90 ? ? 40 cos90 ? = 30MPa 2(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：? max ?min? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?? ? ?? x2 ? ?22120 100 ? 40 ? 100 ? 40 ? 2 ? ? = MPa ? ? 40 ? 20 2 2 ? ?按代数值 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 得? 1 ? 120 MPa， ? 2 ? 20 MPa， ? 3 ? 0 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向tg 2? 0 ? ?2? x 2 ? 40 ?? ? ?1.33 ? x ?? y 100 ? 402? 0 = 53.13? ， ? 0 = 26.57 ?最大主应力 ? 1 的方向与 x 轴正向夹角为逆时针 26.57?3）最大切应力 由公式（5-20） ? max ??1 ?? 32?120 ? 0 ? 60 MPa 2b）解： （1） 求指定斜截面上的应力 取水平轴为 x 轴， ? x =60MPa , ? y = -20MPa , ? x = -30MPa,α = -30 ? 代入公式得:60 ? (?20) 60 ? (?20) ? cos(?60 ? ) ? 30 sin(?60 ? ) =-14.02MPa 2 2 60 ? (?20) ?? = sin(?60) ? ? 30 cos(?60) ? = -49.64MPa 2?? ?(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：? max ?min? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?? ? ?? x2 ? ?2270 60 ? ( ?20 ) ? 60 ? ( ?20 ) ? 2 ? ? ? MPa ? ? ( ?30 ) ? ? 30 2 2 ? ?按代数值 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 得? 1 ? 70 MPa， ? 2 ? 0 MPa， ? 3 ? ?30 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向tg 2? 0 ? ?2? x ? 30 ?? ? 0.75 ? x ?? y 60 ? (?20)2? 0 = 36.87 ? ， ? 0 = 18.43 ?最大主应力 ? 1 的方向与 x 轴正向夹角为逆时针 26.57 如图所示：?3）最大切应力 由公式（5-20） ? max ? c)解: 取水平轴为 x 轴，则?1 ?? 32?70 ? (?30) ? 50 MPa 2? x =60MPa , ? y =0 , ? x = -40MPa,α = -150 ?代入公式得：60 ? 0 60 ? 0 ? cos(?300 ) ? ? (?40) sin(?300 ) ? =79.64MPa 2 2 60 ? 40 ?x= sin(?300 ) ? 40 cos(?300 ) ? =5.98Mpa 2?? ?(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：? max ?min? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?2? ? ?? x2 ? ?280 60 ? 0 ? 60 ? 0 ? 2 ? ? ? MPa ? ? ( ?40 ) ? ? 20 2 ? 2 ?按代数值 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 得? 1 ? 120 MPa， ? 2 ? 20 MPa， ? 3 ? 0 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向tg 2? 0 ? ?2? x ? 2 ? 40 4 ?? ? ? x ?? y 60 ? 0 32? 0 = 53.13? ， ? 0 = 26.57 ?最大主应力 ? 1 的方向与 x 轴正向夹角为逆时针 26.57?如图所示： 3）最大切应力 由公式（5-20） ? max ??1 ?? 32?80 ? (?20) ? 50 25-5 已知一点的应力状态如图 5-30 所如图所示（应力状态为 MPa） 。试用图解法求：(1)指定 斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。20 50 45° 20 30 20 30° 2040 30° 10a) 解：(1)求指定斜截面上的应力b) 题 5-5 图c)由图示应力状态可知 ? x =40MPa , ? y =20MPa , ? x =10MPa, ? y =-10MPa 由此可确定 ? - ? 面内的 D、D’两点，连接 D、D’交于 C 。以 C 为圆心，DD’为直径 可做应力圆， 斜截面与 x 轴正方向夹角为 60 ， 在应力圆上， D 逆时针量取 120 得 E 点， 由 按比例量的 E 点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：? ?x E ? ? ? =60MPa， y E ? ? ? =3.7MPa（2）求主应力及其方程 应力圆中 A、B 两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：x A = ? max =44.14MPa， x B = ? min = 15.86Mpa按照 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 得约定，可得三个主应力为： ? 1 =44.14MPa， ? 2 =15.86MPa， ? 3 =0MPa 由 D 转向 A 的角度等于 2 ? 0 。量得 2 ? 0 =45 （顺时针）因此，最大主应力与 x 轴正方向?夹角为顺时针 22.5 。 （3）最大切应力等于由 ? 1 ? 3 画出的应力圆的半径 ? max =22.07MPa b)解：首先做应力圆：其中 D（0，-20） D （50，+20） 1）斜截面与 y 轴正方向夹角 45 （逆） ，因此从 D 逆时针量 2 ? 0 =90 得 E 点：' ? ? '?x E = ? ? =5MPa， y E = ? ? =25Mpa2) x A = ? max =57MPa， x B = ? min = -7Mpa 按照 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 得 ? 1 =57MPa， ? 2 =0MPa， ? 3 = -7MPa 主应力方向：最大主应力与 y 轴夹角为 3) 最大切应力等于由1 ?D ' CA ? 19.33 ? （顺） 2? 1 , ? 3 画出的应力圆的半径： ? max ? 32 MPa'(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点 D（-20，20）和 D （30，-20） 连 DD ' 交 ? 轴于 C, 以 C 为圆心，DD ' 为直径作圆， 即为应力圆，如图所示 1） 斜截面与 x 轴正方向夹角为 60 ? (顺), 因此由 D 顺时针量 120 ? 得 E 点x E = ? ? =34.82MPa， y E = ? ? =11.65MPa2） 主应力及其方位 应力圆与 ? 轴的两个交点 A,B 的横坐标即为两个主应力：x A = ? max =37MPa， x B = ? min = -27Mpa因此 ? 1 =37MPa， ? 2 =0MPa， ? 3 = -27MPa 由 D ' 到 A 的夹角为逆时针 38.66 ? ， 因此最大主应力为由 y 轴正方向沿逆时针 量 19.33 所得截面上的正应力。 3） 最大切应力为由 ? 1 , ? 3 画出的应力圆半径 ? max ? 32 MPa 5-6 一矩形截面梁，尺寸及载荷如图 5-31 所示，尺寸单位为 mm。试求：(1)梁上各指定 点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。F=500KN A B C 100 250 500 500 50?题 5-6 图 解： 1） 各点的单元体及应力 由梁的静力平衡求得 FA ? FB ? 250 kN200A,B,C 三点所在截面上的弯矩 M ? 250 ? 10 ? 0.25 ? 62500 Nm3剪力 FQ ? 250 kN?A ?M 62500 Pa=93.75MPa（压应力） ? W 1 2 ? 0.1 ? 0.2 6? B ? ? A ? 46.875 MPa（压应力）?C ? ?3 43 2 250 ? 10 3 Pa ? 18.75 MPa 0.1 ? 0.21 2? B ? ? C ? 14.06 MPa2） 作各单元体的应力圆 A 点： ? 1 ? 0, ? 2 ? 0, ? 3 ? ?93.75 MPa， ? max =46.875MPax ? B 点： x A ? ? 1 ? 3.9 MPa， B ? ? 3 ? ?50.7 MPa， 2 ? 0 ， max =27.3MPa ?? ? C 点： x A ? ? 1 ? 18.75MPa， B ? ? 2 ? 0， 3 = -18.75 MPa， max =18.75MPa x5-7 试用解析法求图 5-32 所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为 MPa） 。20 40 30 120 30 3020 50 5050a)b) 题 5-7 图c)解： a) 主应力 ? 1 ? 50 MPa， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态， 所以有， ? max ??1 ?? 32=50MPa。b) 一个主应力为 50MPa，其余两个方向应力状态如图所示? x =30MPa， ? y = -20MPa， ? x =20MPa代入公式（5-8）37 30 ? ( ?20 ) ? 30 ? ( ?20 ) ? 2 ? ? ? MPa ? ? 20 ? ? 27 2 2 ? ?所以 ? 1 =50MPa， ? 2 =37MPa， ? 3 = -27MPa2? max =? 1 ? ? 3 50 ? 27 = ? 38.5 MPa 2 2b) 一 个 主 应 力 为 -30MPa ， 其 余 两 /auction/35-05962/item_detail-0d b1-937fec98.jhtml 方向应力状态如图所示 取 ? x =120MPa， ? y = 40MPa， ? x =-30MPa 代入公式 ? max ?min? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?2? ? ?? x2 ? ?2130 120 ? 40 ? 120 ? 40 ? 2 ? ? ? MPa ? ? (?30 ) ? 30 2 2 ? ?所以 ? 1 =130MPa， ? 2 =30MPa， ? 3 =-30MPa? max =? 1 ? ? 3 130 ? (?30) = ? 80 MPa 2 25-8 单元体各面上的应力如图 5-33 所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。σστ题 5-8 图τ解： a) 三个主应力为 ? 1 ? ? , ? 2 ? ? 3 ? 0 三向应力圆可作如下b) 这是一个纯剪切应力状态 ? 1 ? ? , ? 2 ? 0, ? 3 ? ?? 其三向应力圆为? m a x=η三向应力状态：一个主应力为零 先做一二向应力状态的应力圆， ? 1 , ? 3 再由 ? 1 , ? 2 和 ? 2 , ? 3 分别作应力 得 圆 三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态?? ? ?1 ? ? ? ? ?? 2 2 3 ?2?2?5-9 二向应力状态如图 5-34 所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为 MPa） 。50τ120°题 5-9 图 解： 画出二向应力状态的单元体，取水平方向为 x 轴，则? x =？ , ? y =50MPa , ? x =？，α =30 ? 时 ? ? =80MPa, ? ? =0代入式（5-3） （5-4）?? ?? x ? 502?? x ? 502cos 60? ? ? x sin 60?=80Mpa?? ?? x ? 502=0sin 60? ? ? x cos 60?? x =70MPa , ? x = ? 10 3 MPa可做应力圆如图所示 由应力圆可求的三个主应力分别为? 1 =80MPa， ? 2 =40MPa， ? 3 =0MPa最大切应力为 ? max =40MPa5-10 图 5-35 所示棱柱形单元体为二向应力状态， 面上无应力作用。 AB 试求切应力η 和 三个主应力。A45° B 15题 5-10 图 解：τC15画出二向应力状态单元体，取水平方向为 x 轴 则 ? x =15MPa , ? y = -15MPa , ? x =η ，α =135 ? 时 ? ? =0, ? ? =0 代入式（5-3） （5-4）?? ?(?15) ? (?15) (?15) ? (?15) ? cos 270 ? ? ? x sin 270 ? 2 2 (?15) ? (?15) sin 270 ? ? ? x cos 270 ? 2(自然满足)=0?? ?=0由上式解得 ? x =15MPa 主应力可由公式（5-8）求? max ?min? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?? ? ?? x2 ? ?220 ( ?15) ? ( ?15) ? ( ?15) ? ( ?15) ? 2 ? ? ? MPa ? ? ( ?15) ? ? 30 2 2 ? ?因此三个主应力为 ： ? 1 =0， ? 2 =0， ? 3 =-30MPa? max ??1 ?? 32?0 ? (?30) ? 15 MPa 25-11 已知单元体的应力圆或三向应力图如图 5-36 所示（应力单位为 MPa） 。试画出单元 体的受力图，并指出应力圆上 A 点所在截面的位置。ττA 200 Aτ σ30 O A 200OCσ-30Oστa)A oτ σb)Ac)τA105070-10 o60° 10σ50 -30 oσ30d) 5-12 图 5-37e) f) 题 5-11 图 所 示 单 元 体 为 二 向 应 力 状 态 。 已 知 ：? x ? 80 MPa, ? y ? 40 MPa,? ? ? 50 M P。试求主应力和最大切应力。 aζζxα60°ηατyζτ xζyx题 5-12 图 解：? x =80MPa , ? y =40MPa , ? x =η ， ? ? =50MPa, α =60 ?将以上已知数据代入公式（5-3）50 ?80 ? 40 80 ? 40 ? cos120 ? ? ?? ? x ?sin120 ? 2 2? x =0再把 ? x ， ? y ， ? x 代入公式（5-8）求主应力? m a x?mi n? x ?? y2?? x ?? y ? ? ? 2 ?? ? ?? x2 ? ?2280 80 ? 40 ? 80 ? 40 ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? MPa 40 2 ? 2 ?因此三个主应力为 ： ? 1 =80 MPa， ? 2 =40 MPa， ? 3 =-0MPa? max =?1 ?? 32=40MPa5-13 如图 5-38 所示单元体处于二向应力状态。 已知两个斜截面α 和β 上的应力分别为? ? ? 40 MPa,? ? ? 60 MPa ； ? ? ? 200 MPa,? ? ? 60 MPa 。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径 R。ζααταζ τβββ解：题 5-13 图 已知 ? ? =40MPa, ? ? =200MPa, ? ? =60MPa, ? ? =60MPa 由上面两组坐标可得应力圆上两点 D1,D2,连 D1D2,作其垂直平分线交ζ 轴于 C 点， 以 C 为圆心，CD 为半径作圆即为所求应力圆。 由图中几何关系可得圆心坐标 C(120,0) 半径 R ?60 2 ? 80 2 =1005-14 今测得图 5-39 所示受拉圆截面杆表面上某点 K 任意两互垂方向的线应变 ? ? 和 ? ?? 。 试求所受拉力 F。已知材料弹性常数 E、ν ，圆杆直径 d。ε'' Kε'F题 5-14 图 解： 围绕 K 点取单元体，两截面分别沿 ε ’和ε ” 方向。 如下图所示 由广义胡克定律 ? ? ?1 ?? x ? ?? y ? E 1 ? ?? ? ?? y ? ?? x ? EE? '? E? & ? 1? ? 2 E? '? E? & ? 1? ? 2联求解得?x ?? y ? E? &? ?我们还可以取 K 点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取 根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：? ? ? x ?? y ?又? =E? '? E? & 1? ?F AE? '? E? & 1 2 ?d 1? ? 4所以 F= ? A=5-15 今测得图 5-40 所示圆轴受扭时，圆轴表面 K 点与轴线成 30°方向的线应变 ? 30? 。 试求外力偶矩 T。已知圆轴直径 d ,弹性模量 E 和泊松比ν 。TTK ε解： 围绕 K 点沿ε3030°30°题 5-15 图?方向和与之垂直的方向取单元体如左图由沿横纵截面单元体如右图 由公式（5-3、5-4)得:? 60 ??0?0 0?0 3 ? cos120 ? ? ? sin120 ? ? ? ? 2 2 2? 60 ? ? cos120 ? ? ? ??1 2? ?30 ? ?? sin(?60 ? ) ??3 ? 2? ?30 ? ? cos ? 60 ?） ? （ ??1 2由胡克定律? 30 ??1 1 3 ? ? ?? ?30? ? ?? 60? ? ? E ? 23 ? ? ? 23 ? ? ? 2 E ? ?1 ? ? ? ? ? E ? ???2 E? 30?3 ?1 ? ? ?又η =?d 3? T 16T ? ， T ? W P ?d 3 16所以 T ?16 3 ?1 ? ? ?2?d 3 E? 30??24 ?1 ? ? ?3?d 3 E? 30?5-16 一刚性槽如图 5-41 所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为 10×10× 3 10mm ，铝材的弹性模量 E=70GPa，ν =0.33。试求铝块受到 F=6kN 的作用时，铝块的三个主 应力及相应的变形。T TK ε45°45°D题 5-16 图 解： F 力作用面为一主平面，其上的正应力为 ? 3 ? ? 前后面为自由表面，也为主平面， ? 1 =0 由题意知 ? 2 =0 由胡克定律F 6 ? 10 3 MPa = -60MPa ?? A 10 2?2 =1 ?? 2 ? ? ?? 1 ? ? 3 ?? E所以 ? 2 ? ?? 3 ? ?19.8MPa?1 ? ?3 ?1 ?? 1 ? ? ?? 2 ? ? 3 ?? ? 1 9 (0 ? 0.25(?19.8 ? 60)) = 376 .2 ?10 ?6 E 200 ? 10 1 ?? 3 ? ? ?? 1 ? ? 2 ?? ? 1 9 (?60 ? 0.25(0 ? 19.8)) = ? 763 .8 ? 10 ?6 E 200 ? 10所以?l1 ? ? 1 ? l1 ? 376 .2 ? 10 ?6 ? 10 ? 3.672 ? 10 ?3 mm?l 2 ? ? 2 ? l 2 ? 0?l3 ? ? 3 ? l3 ? 763 .8 ? 10 ?6 ? 10 ? ?7.64 ? 10 ?3 mm5-17 现测得图 5-42 所示受扭空心圆轴表面与轴线成 45°方向的正应变 ? 45? ， 空心圆轴 外径为 D ,内外径之比为α 。试求外力偶矩 T。材料的弹性常数 E、ν 均为已知。F1010题 5-17 图 解： 受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上 45 ? 和 135 ? 面上主应力取得极大值和极小值，为主平面， ? 1 =η ， ? 3 = η 由胡克定律?1 =1 ?? 1 ? ? ?? 3 ?? = ? 45? E 1? ? ? ? ? 45? e所以 η =10代入化简得E? 45? 1? ?由受扭圆轴表面上一点剪应力公式 ? ?T 16T ? 3 WP ?D 1 ? ? 4??3 4 3 3 ?D（ ? ? 4） ?D（1 ? ? 4） E? 45 ? ?D ?1 ? ? ?E? 45 1 T? ?? ? ? 16 16 1? ? 16?1 ? ? ??5-18 现 测 得 图 5-43 所 示 矩 形 截 面 梁 中 性 层 上 K 点 与 轴 线 成 45 ° 方 向 的 线 应 变? 45? ? 50 ? 10 ?6 ，材料的弹性模量 E ? 200G Pa , ? ? 0.25 。试求梁上的载荷 F 之值。0.5m F 1mε45°45°60题 5-18 图 解： K 点的应力状态如图所示 其中η 由公式（3-40） 求得100K2 F 3 FQ 3 F 3 ?? ? ? ? ?6 2 bh 2 60 ? 100 ? 10 6000 ? 10 ?6又 K 点有 ? 3 ? ?? ，135 ? 方向有 ? 1 ? ? ，代入到胡克定律 有? 30 ??1 ?? 1 ? ?? 3 ? ? 1 ?? ? ?? ? ? ? ?1 ? ? ? E E EPa???1 ? ? ?E? 45?比轴两式有 F ? 6000 ? 10?6??1 ? 0.25 ?E? 45?=48000N=48kN5-19 图 5-44 所示受拉圆截面杆。已知 A 点在与水平线成 60°方向上的正应变? 60? ? 4.0 ? 10 ?4 ， 直径 d=20mm， 材料的弹性模量 E ? 200 ? 10 3 MPa,? ? 0.3 。 试求载荷 F。A60° ε60°F题 5-19 图 解： A 点应力状态如图所示 由公式（5-3）? 60 ??? ?30?0 ?? 0 ?? 3 ? cos120 ? ? 0 sin120 ? ? ? 2 2 4 0 ?? 0 ?? 1 ? ? cos(?60 ? ) ? 0 sin(?60 ? ) ? ? 2 2 41 1 ? ?? 60? ? ?? ?30? ? ? E ? 3 ? ? 1 ?? ? ? 4E ?3 ? ? ? ? ? E 4 ?4 ?由胡克定律? 60 ??又? = 所以F A1 ? ? 20 2 ? 10 ?6 ? 4 ? 200 ? 10 9 ? 4 ? 10 ?4 1 2 ? 4 E? 60? ? 4 = F ? A ? ? ? ?d ? ? (3 ? ? ) ? ? ? 4 3 ? 0.3 ? ?7.23 kN 5-20 试求图 5-45 所示矩形截面梁在纯弯曲时 AB 线段长度的改变量。已知：AB 原长为 a，与轴线成 45°，B 点在中性层上，梁高为 h，宽为 b，弹性模量为 E，泊松比为ν ，弯矩 为 M。M A MB b题 5-20 图 解： 求 AB 的伸长量需先求 AB 方向的应变，去 AB 中点位置 C 其应力状态如图所示， 其中 ? =MyC IZ?=M1 a sin 45 ? 2 1 3 bh 12?由此可求出 AB 方向及与其垂直方向的正应力? AB ?? ? AB1 cos 270 ? ? 0 sin 270 ? ? ? 2 2 2 ? ?0 ? ?0 1 ? ? cos90 ? ? 0 sin 90 ? ? ? 2 2 2由胡克定律? ?0 ? ?0? AB ?1 ?? AB ? ?? ? AB ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? E E?2 2 ? 2E?l AB ? ? AB ? L AB ?1? ? ? 2EM1 a sin 45 ? ? 3Ma 2 sin 45（ ? ?） 1 2 ?a ? 3 1 3 Ebh bh 12-65-21 用 45°应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为ε 0°=-267×10 , ε 45° -6 -6 =-570×10 及ε 90°=79×10 。构件材料为 Q235 钢，E=210GPa，ν =0.3。试求主应变，并求 出该点处主应力的数值和方向。 解： 由公式（5-36） 可求主应力：h45° a?1 ?2E ?? 0? ? ? 90? ? ? E 2?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ???0?? ? 45? ? ? ?? 45? ? ? 90? ?22=210 ? 10 9 210 ? 10 9 ?? 267 ? 79 ? ? ?[ 2?1 ? 0.3? 2 ?1 ? 0.3??? 267 ? 570 ?2 ? ?? 570 ? 79 ?2] ? 10 ?6?53 .61 ? 10 6 110 .01 ? 10 6Pa ?53 .61 110 .01MPa由公式（5-34）求主应变，在此之前先由(5-33)求 ? x? 45 ??? 0 ? ? 90??2?? 0? ? ? 902?cos 2? ??x2sin 2?? x ? 10 6 ? 267 ? 79 ? 267 ? 79 ? 570 ? ? cos 90 ? ? sin 90 ? 2 2 2 ? x ? ?925 ? 10 ?6代入（5-34）?1 ?2?x ??y2??x ??y ? ? ? 2 ?? ? ? ? x2 ? ?22?[? 267 ? 79 ? ? 267 ? 79 ? 2 ?6 ? ? ? ? ( ?952 ) ] ? 10 2 2 ? ??412 .46 ? 10 ?6 ? 600 ? 10 ?6主应力与主应变同方向：由 （5-35） tg 2? 0 ? ：?x ? 952 ? ? 2.75 ? x ?? y ? 267 ? 792α 0=70 ，α 0=35??-6 -65-22 在某液压机上横梁的表面某点处， 45°应变花测得ε 0°=51.6×10 , ε 45°=169×10 用 -6 及ε 90°=-117×10 。上横梁的材料为铸铁，E=110GPa，ν =0.25。试求该点处主应力的数值 和方向。 解： 由公式（5-36）?1 ? ?2， 3? 110 ? 10 9? 2?1 ? 0.25 ?MPa?51.6 ? (?117 ) ? ?110 ? 10 92 ?1 ? 0.25 ??51.6 ? 169 ?2 ? ?169 ? 117 ?2 ? ? 10 ?6???14.44 ? 24.03所以 ? 1 =14.44MPa, ? 2 =0, ? 3 =-24.03MPa 主应力方向tg 2? 0 ??? ??45? 45?? ? 90? ? ? ?? 0? ? ? 45? ?? ? 90? ? ? ?? 0? ? ? 45? ??169 ? 117 ? 51 .6 ? 169 169 ? 117 ? 51 .6 ? 169=2.393 2α 0=67.32?,α 0=33.66 ?5-23 单元体受应力如图 5-46 所示（应力单位为 MPa） 。试：(1)作三向应力图，并比较两者 的 ? max ；(2)将单元体的应力状态分解为只有体积改变及只有形状改变的应力状态；(3)求图 5-46b 所示应力状态的形状改变比能（ E ? 200G Pa,? ? 0.3 ） 。30 120 160 60 50题 5-23 图 a) 解： 1) 作三向应力状态的应力圆?m ??3?? 1 ? ? 2 ? ? 3 ?11 ?160 ? 60 ? 0? 3=73.3MPa? 1 ' ? ? 1 ? ? m ? 160 ? 73.3 ? 86.7 MPa? 2 ' ? ? 2 ? ? m ? 60 ? 73.3 ? ?13.3 MPa? 3 ' ? ? 3 ? ? m ? 0 ? 73.3 ? ?73.3 MPa? max ?b)? max160 ? 0 ? 80 MPa 2 120 ? (?30) ? ? 75 MPa 2 1 1 ? m ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ) ? (120 ? 50 ? 30) ? 46.7 MPa 3 3? 1 ' ? ? 1 ? ? m ? 120 ? 46.7 ? 73.3 MPa? 2 ' ? ? 2 ? ? m ? 50 ? 46.7 ? 3.3 MPa? 3 ' ? ? 3 ? ? m ? ?30 ? 46.7 ? ?76.7 MPavd ? 1? v [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 ? (? 3 ? ? 1 ) 2 ] 6E 1 ? 0.3 ? [(120 ? 50) 2 ? (50 ? 30) 2 ? (?30 ? 120 ) 2 ] 9 6 ? 200 ? 103 3=36.617×10 J/m 5-24 试证明圆轴纯扭转时无体积改变。 解： 纯剪切应力状态 ? x ? ? y ? 0 因为 ? x ? ? y ? ? max ? ? min 所以 ? max ? ? min ? 0而第三向主应力本来就是零，因此 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0, ? m ? 0 体积变形比能与 ? m 成正比，所以 vV ? 07-1 两端铰支的圆截面受压钢杆（Q235 钢） ，已知 l ? 2m, d ? 0.05m (图 7-10)，材料的弹性模量 E ? 200GPa 。试求该压杆的临界力。解： Fcr ?? EI ? ( ?l ) 22? 2 ? 200 ? 10 9 ? ((1 ? 2) 2? ? 0.05 464)? 151 .4k N题 7-1 图 7-2 图 7-11 所示压杆为工字形钢，已知其型号为 I 18、杆长 l ? 4m 、材料弹性模量 E ? 200GPa，试求该压杆的临界力。 解：查表得 I18， I x ? 1660 ? 10 m 所以取 I y 计算?8 4I y ? 122 ? 10 ?8 m 4Fcr ?? 2 EI ? 2 ? 200 ? 10 9 ? 122 ? 10 ?8 ? ? 150 .5k N ( ?l ) 2 (1 ? 4) 2题 7-2 图7-3 图 7-12 所示为三个支承情况不同的圆截面压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同， 问哪个杆的临界力最大？题 7-3 图 解： Fcr 1 ?? 2 EI ? 2 EI ? 2 ( ?l ) 2 lFcr 2? 2 EI ? 2 EI ? 2 EI ? ? ? 0.8 ? 2 ( ?l ) 2 (0.7 ? 1.6l ) 2 l? 2 EI ? 2 EI ? 2 EI ? ? 1.23 ? 2 ( ?l ) 2 (0.7 ? 1.8l ) 2 lFcr 3 ?所以第三种情况的临界应力最大。 7-4 一矩性截面压杆，在图 7-13 所示平面内两端均为铰支，出平面内两端均不能转动（图 示为在平面内的支承情况） ，已知 h ? 2.5b ，问压力 F 逐渐增大时，压杆将于哪个平面内失 稳？ 解：（1） 图示平面内 Fcr 1bh3 ? E? 2 4 ? 2 EI 12 ? 1.3 ? ? Eb ? ? ( ?l ) 2 (1 ? l ) 2 l22（2） 出平面内Fcr 2hb3 2 4 ? EI 12 ? 0.8 ? ? Eb ? ? ( ?l ) 2 (0.5 ? l ) 2 l22? 2E ?所以出平面内容易失稳。 题 7-4 图 7-5 图 7-14 所示为槽形型钢受压杆，两端均为球铰。已知槽钢的型号为 16 a ，材料的比例 极限 ? p ? 200 MPa ，弹性模量 E ? 200GPa 。试求可用欧拉公式计算临界力的最小长度。 解：查表得[16a 的 iy=1.83cm=0.0183m? cr ?? 2E ? 2E ? ??p ?l 2 ?2 ( )i? 2E ?? ?2lmin=1.82m? 2E ? 2 ? 200 ? 10 9 l?i ? 0.0183 ? ?p 200 ? 10 6题 7-5 图 7-6 图 7-15 所示结构由两根圆截面杆组成，已知两杆的直径及所用的材料均相同，且两杆 均为大柔度杆，问：当 F（方向垂直向下）从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考 虑在平面内） 解：FNAB sin 45 0 ? FNBC sin 60 0 FNAB cos 45 0 ? FNBC cos 60 0 ? FFNAB ? 0.656 FFcr ? AB ?FNBC ? 0.535 F题 7-6 图? 2 EI ? 2 EI ? 0.5 ? 2 ? 0.5 Fcr ( ?l AB ) 2 hFcr ?BC ?? 2 EI ? 2 EI ? 0.25 ? 2 ? 0.25 Fcr ( ?l BC ) 2 h所以 BC 杆先失稳。 7-7 试由压杆的挠曲线近似微分方程，推导两端固定杆的欧拉公式。 解：计算简图如图所示。变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为 m，水平反力皆 等于零。挠曲线的微分方程是d 2 y M ( x) Fy m ? ?? ? 2 EI EI EI dx令 k ?2F ，上式可以写成 EId2y m ? k2y ? 2 EI dx方程式的通解为：y ? A sin kx ? B cos kx ?y 的一阶导数为：m F(1)dy ? Ak cos kx ? Bk sin kx dx两端固定杆件的边界条件是 x=0 时， x=l 时， y=0, y=0,（2）题 7-7 图dy ?0 dx dy ?0 dx将以上边界条件代入（1）式和（2）式，得B?? ? ? ? ? m A sin k l ? B cos k l ? ? 0? ? F Ak cos k l ? Bk sin k l ? 0 ? ? m ?0 F Ak ? 0(3)由（3）式得出： cos kl ? 1 ? 0,sin kl ? 0满足以上两式的根，除 kl ? 0 外，最小根是 kl ? 2? ，或k?Fcr ? k 2 EI ? 4? 2 EI l22? l（4）由（1）式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是M ? EIdy 2 ? ? EIk 2 ( A sin kx ? B cos kx) dx 2由（3）式的第一和第二式解出 A 和 B，代入上式，并注意到（4）式，得M ? m cos当k ?2?x ll 3l 或 时，M=0。所以在图中，C、D 两点的弯矩等于零。 4 47-8 对两端铰支，由 Q235 钢制成的圆杆，杆长应比直径大多少倍时才能用欧拉公式计算？ 解：当 ? ? ? p 时，有?l? 2E ? ? 100 i ?p1? l ? 100 d 4l ? 25 d7-9 在图 7-16 所示铰接杆系 ABC 中，AB 和 BC 皆为细长压杆，截面和材料均一样。若因 在 ABC 平面内失稳而破坏，并规定 0 ? ? ? ? / 2 ，试确定 F 为最大值时的 ? 角。??解： FNAB ? F cos?l AB ?l BC ?h sin ?FNBC ? F sin?h h ? 0 sin(90 ? ? ) cos ?AB 杆的临界压力： Fcr ? AB ?? 2 EI ? 2 EI ? sin 2 ? ? 2 ( ?l AB ) 2 h题 7-9 图BC 杆的临界压力： Fcr ?BC ?? 2 EI ? 2 EI ? cos2 ? ? 2 ( ?l AB ) 2 h(1) (2)2当 AB 杆失稳时： FNAB ? F cos? ? Fcr ? AB , 当 BC 杆失稳时： FNBC ? F sin? ? Fcr ?BC 当0 ?? ??2时， （1）式除（2）式得， tg? ? ctg ?7-10 外径与内径之比 D / d ? 1.2 的两端固定压杆（图 7-17） ，材料为 Q235 钢，E=200GPa，? p =100。试求能应用欧拉公式时，压杆长度与外径的最小比值，以及这时的临界压力。?解： i ?I ? A64(D 4 ? d 4 ) (D ? d )2 2?? 0.325 D4当能用欧拉公式时， ? ? ? p ? 100 ,即?li? 1000.5 ? l ? 100 0.325 D l 所以 ? 65 D此时， ? cr ?? 2 E ? 2 ? 200 ? 10 9 ? ? 200 MPa ?2 100 2题 7-10 图 7-11 由五根直径均为 d ? 50mm 的圆钢杆组成边长为 l ? 1m 的正方形结构， 如图 7-18 所示， 材料为 Q235 钢，E=200GPa， ? p ? 200 MPa ， ? s ? 240 MPa ，试求结构的临界载荷。题 7-11 图 解：结构对称，AB、BC、DC 和 AD 为压杆， FN ? BD 为拉杆，不必计算其压杆稳定性。2 F, 21?1 ?? ? ? 80 ， 0.05 i 4?l?p ?? 2E ? 100 , ?p?s ?a ?? s ? 57 b所以， ? s ? ? ? ? p ，用直线公式计算。F ? 2 FN ? 2? cr A ? 2 (a ? b? ) A ? 2 (304 ? 1.12 ? 80) ? 10 6 ??4? 0.05 2 ? 595 k N8-1 图 8-34 所示结构，杆 AB 为 5 号槽钢，许用应力 [ ? ]1 ? 160 MPa ，杆 BC 为矩形截面，b ? 50mm ， h ? 100 mm ，许用应力 [ ? ] 2 ? 8MPa ，承受载荷 F ? 128 kN ，试校核该结构的强度。题 8-1 图 解：由平衡条件解得， FBC ? F / 2 ? 64 kNFAB3 F ? 110 .9kN 2AAB ? 6.93cm 2ABC ? 5 ? 10 3 mm 2? AB ?FAB 110 .9 ? 10 3 ? ? 160 MPa ? ?? ?1 AAB 6.93 ? 10 2? BC ?FBC 64 ? 10 3 ? ? 12.8MPa ? ?? ?2 ? 8MPa ABC 5 ? 10 38-2 在图 8-35 所示结构中，钢索 BC 由一组直径 d ? 2mm 的钢丝组成。若钢丝的许用应力[ ? ] ? 160 MPa ，AC 梁受有均布载荷 q ? 30kN / m ，试求所需钢丝的根数。又若将 BC 杆改为由两个等边角钢焊成的组合截面，试确定所需等边角钢的型号。角钢的[ ? ] ? 160 MPa 。题 8-1 图 解：BC 的内力计算：FBC ? FC / sin ? ? 60 /ABC d23 ? 100 kN 5? 625ABC ?FBC?? ??100 ? 10 3 ? 625 mm 2 160采用钢丝数： n ???4? 199 (根）24?2采用两等边角钢，则型号为L40 ? 4 ABC ? 3.086 ? 2 ? 6.172 cm 2??8-3 图 8-36 为一托架，AC 是圆钢杆，许用应力 [ ? ]钢 ? 160 MPa ；BC 杆是方木杆，许用 应力 [ ??]木 ? 4 MPa， ? 60 k N 。试选择钢杆圆截面的直径 d 及木杆方截面的边长 b。 F题 8-3 图 解：AB 和 BC 的内力计算：FBC ? F / sin ? ? 30 13 ? 108 .2kNFAC ? F / tg? ? 60 /AC 杆： ? AC ?2 ? 90 kN 3d≥27mmFAC 90 ? 10 3 ? ? ?? ?钢 ? 160 MPa ? 2 AAC d 4BC 杆： ? BC ?FBC 108 .2 ? 10 3 ? ? ?? ?木 ? 4 MPa ABC b2b≥165mm8-4 结 构 受 力 如 图 8-37 所 示 ， 各 杆 的 材 料 和 横 截 面 面 积 均 相 等 ： A ? 200mm ，2E ? 200GPa , ? s ? 280 MPa,? b ? 460 MPa 。安全系数取 n ? 1.5 ，试确定结构的许可载荷。当 F 为多大时，结构发生断裂破坏？题 8-4 图 解： 由平静方程可以解出 ：FN 1 ? FN 3 ?F , 2FN 2 ? 0许可载荷确定：F ? F ? N 1 ? ?? S ? ? S 2A A n所以： F ?2? S 2 ? 280 ? 200 ? ? 74.7kN n 1.5 F F ? N1 ? ? b 2A A结构断裂载荷确定：F ? 2? b A ? 2 ? 460 ? 200 ? 184 kN8-5 图 8-38 所示卧式拉床的油缸内径 D ? 186 mm ，活塞杆直径 d1 ? 65mm ，许用应力[ ? ]杆 ? 130 MPa 。 缸盖由六个 M 20 的螺栓与缸体联结，M 20 螺栓的内径 d ? 17.3mm ，许用应力 [ ? ]螺 ? 110 MPa 。试按活塞杆和螺栓的强度确定最大油压 p 。解： 轴力计算： F ? p ??杆所以： p杆 ?F ? A杆?D ? d ? 4 p ?D ? d ? ? ? ?? ??2 2 12 2 杆 1题 8-5 图d12杆?D?? ?杆 d1 22? d12? ?130 ? 65 2 ? ? 18 .1MPa 186 2 ? 65 2?按螺栓强度计算： ? 螺p D 2 ? d1 F ? ? 螺 2 A螺 d?2? ? ?? ??螺所以：p螺 ??D6?? ?螺 d 22? d12? ??110 ? 6 ? 17 .3 2 ? 6.5 M P a 186 2 ? 65 2所以最大油压 p=6.5MPa 8-6 图 8-39 所示 AB 轴的转速 n ? 120 r / min ,从 B 轮输入功率 p ? 60 马力， 功率的一半通 过锥形齿轮传给垂直轴 C，另一半由水平轴 H 输出。已知 D1 ? 600 mm ， D2 ? 240 mm ，d1 ? 100 mm ， d 2 ? 80 mm ， d 3 ? 60 mm ， [ ? ] ? 20 MPa 。试对各轴进行强度校核。题 8-6 图 解： 轴 C 的转速： nc ? n ABD1 ? 300 r / min D2 PAB ? 3511 .6 N ? m n AB TC ? 9549 PC ? 703 .4 N ? m nC轴上各段的扭矩计算： T AB ? 9549TH ? 9549PH ? 1758 .6 N ? m nH应力计算： ? AB ??TAB d13? 17.9MPa ? ?? ? ? 20 MPa16?C ??TC d33?703 .4 ? 10 3?16?? 16.6M P a ?? ? ? 20 M P a ?16? 603?H ??TH d231758 .6 ? 10 3?16? 17.5MPa ? ?? ? ? 20 MPa16? 8038-7 联轴器采用直径为 d 的螺栓连接， 螺栓排到如图 8-40 所示， 在半径为 R1 的圆上有四个， 在半径为 R2 的圆上有六个，螺栓的许用应力为 [ ? ] ，轴每分钟转数为 n ，若不计圆盘间的 摩擦，试求该联轴器所能传递的功率。题 8-7 图 解： 一个螺栓能传递的剪力， 在 R2 半径上： FQ2 ??4d 2 ? ?? ?在 R1 半径上： FQ1 ?R1 FQ2 R2所有螺栓能传递的扭矩为：2 4 R1 4( R12 ? 1.5 R2 ) T ? 4 FQ1 R1 ? 6 FQ 2 R2 ? FQ2 ? 6 FQ2 ? R2 ? FQ2 R2 R2 2所有螺栓可传递的功率：P?n ?T n?d 2 ?? ? R1 ? 1.5R2 ? ? ( KW )
R22 28-8 图 8-41 所示为 90 ? 60mm 的矩形截面轴，受外力偶矩 T1 和 T2 作用，已知 T1 ? 1.6T2 ，[ ? ] ? 60 MPa ， G ? 80GPa ，试求 T2 的许用值及自由端截面 A 的转角。题 8-8 图 解： 计算[T2]：? maxh ? 1.5 ? ? 0.231 ? ? 0.196 b T 2.6 ? [T2 ] ? max ? ? 60 所以 [T2 ] ? 1.73kN ? m 2 ?b h 0.231 ? 60 2 ? 90T1lBC Tl (2.6 ? 1) ? 1.73 ? 10 6 ? 300 ? 2 AC 3 ? ? 6.13 ? 10 ? 3 G?hb3 G?hb 80 ? 10 3 ? 0.196 ? 90 ? 60 3计算 A 截面的转角：? ? ?BC ? ? AC ?8-9 实心轴与空心轴通过牙嵌离合器相连接（图 8-42） ，已知轴的转速 n ? 100 r / min ，传 递功率 p ? 10kW ，材料许用应力 [ ? ] ? 80 MPa 。试确定实心轴的直径 d 和空心轴的内、 外径 d1 和 D1。已知 d1 / D1 ? 0.6 。题 8-9 图 解： 离合器传递的扭矩：T ? 9549 ?实心轴直径： ? max ?10 ? 954 .9 N ? m 100d ? 39.3mmT 954 .9 ? 10 3 ? ? ?? ? ? 80 ? 3 Wp d 16空心轴直径：? max ?T ? ? d ?3 ? D3 ?1 ? ? ? ? 16 ? ? D ? ? ? ????954 .9 ? 103 D 1 ? 0.6316?3?? 80D ? 42.6? d ? 25.6mm8-10 如图 8-43 所示，已知主动轮输入功率 PA ? 294 .2 马力，从动轮输出的功率分别为PB ? 73.55 马 力 ， PC ? 36 .78 马 力 ， PD ? 183 .9 马 力 。 轴 的 转 速 n ? 200 r / min ，[ ? ] ? 100 MPa ，试选择轴的直径。题 8-10 图 解： 计算各轮的扭矩：TA ? 9549 ?73.55 ? 3.512 ? 103 N ? m 200 183 .9 TD ? 9549 ? ? 8.78 ? 10 3 N ? m 200 TB ? 9549 ?294 .2 ? 1.405 ? 10 4 N ? m 200 36.78 TC ? 9549 ? ? 1.756 ? 103 N ? m 200所以 AD 段的扭矩为最大： M x max ? 8.78 ? 10 N ? m3? max ?M x max 8.78 ? 10 3 ? 10 ? N ? m ? ?? ? ? 100 ? 3 Wp d 16? d ? 76.5mm8-11 图 8-44 所示圆轴的外伸部分系空心圆截面， 已知材料的许用应力 [ ? ] ? 80 MPa ， 试 校核该轴的强度。题 8-11 图 解：如图所示弯矩图，分别校核 C、B 截面的弯曲正应力，? C max ?M C max 900 ? 10 3 ? ? 63.4MPa ? [? ] ? W 3 ? 60 32 M B max 900 ? 10 3 ? ? 7.3MPa ? [? ] ? W 3 3 ? ?60 ? 45 ? 32?? B max ?8-12 图 8-45 所 示 槽 形 截 面 梁 有 三 块 矩 形 板 条 粘 结 而 成 。 已 知 [ ?] ? 20 MPa ，[ ? ? ]10 MPa ， [? ] ? 3MPa 。试校核该梁的强度。题 8-12 图 解：确定形心200 ? 20 ? 2 ? ?200 ? 20 ? ? ? 20 ? 200 ? 2 2 ? ? yc ? ? 82 mm 2 ? ?200 ? 20 ? ? 20 ? 1002 ? 20 ? 200 3 ? 200 ? ? IZ ? 2? ? ? 20 ? 200 ? ? ? 82 ? ? ? 2 ? ? ? 12 ? ?100 ? 20 3 20 ? ? ? ? 100 ? 20 ? ? 82 ? ? ? 3.969 ? 10 7 mm 4 12 2 ? ?? ? B max ?2M B ? y C 4 ? 10 6 ? 82 ? ? 8.26 MPa ? ? ? ? 200 MPa IZ 3.969 ? 10 7 M B ? (200 ? y c ) 4 ? 10 6 ? (200 ? 82) ? ? 11.9MPa ? ? ? ? 10 MPa 7 IZ 3.969 ? 10 M C ? y C 2.5 ? 10 6 ? 82 ? ? 5.17 MPa IZ 3.969 ? 10 7 M C ? (200 ? y c ) 2.5 ? 10 6 ? (200 ? 82) ? ? 7.43 MPa IZ 3.969 ? 10 7? ?? ? B max ?? ?? ? C max ?? ? C max ?? ?200 ? 82 ? ? 20 ? ?200 ? 82 ?? * 5 3 Sz ? 2? ? ? ? 2.7848 ? 10 mm 2 ? ?? max ?* FQ ? S zIZ ?b?6.5 ? 10 3 ? 2.7848 ? 10 5 ? 1.14 M P a ?? ? ? 3M P a ? 3.969 ? 10 7 ? 2 ? 208-13 一设计起重量为 50 kN 的吊车梁（图 8-4a） ，跨度 L ? 10.5m ，由Ⅰ字钢 I45a 制成， 现需起吊一 70kN 的重物， 问其强度是否足够？如不够， [ ? ] ? 140 MPa ，[ ? ] ? 75 MPa 。 则在上、下翼缘各加焊一块 100 ?10mm 的钢板（图 8-46b） ，试决定钢板的最小长度。已知 电葫芦重 W ? 15kN （梁的自重不考虑） 。题 8-13 图 解： 当吊车运行到梁中点时为最危险工况，M max ?70 ? 15 10.5 ? ? 223 .125 KN ? m 2 2I z ? 33240 ? 10 4 mm 4 Iz ? 386 mm Sz b ? 11.5mm查表 I45a 的几何特性参数为：Wz ? 1430 ? 10 6 mm 3? max ?? max ?223 .125 ? 10 6 ? 156 MPa ? ?? ? 1430 ? 10 3FQ max 42.5 ? 10 3 ? ? 9.6MPa ? ?? ? ? 75 MPa Iz 386 ? 11.5 ?b Sz在上、下翼缘各加焊一块 100 ?10mm 的钢板，根据正应力强度计算：2 ? 100 ? 10 3 ? 450 ? ? I z1 ? I z ? 2 ? ? ? 100 ? 10 ? ? ? 10 ? ? ? 322 .88 ? 10 6 mm 4 ? 12 ? 2 ? ? ? ?W z1 ?I z1 y?322 .88 ? 10 6 ? 1.37 ? 10 6 mm 3 450 ? 10 2M max ? ?? ? ? Wz1 ? 140 ? 1.37 ? 10 6 ? 191 .8 ? 10 6 N ? mm ? 191 .8 ? 10 3 N ? m根据 ? max 来确定 则x?M max 191 .8 ? 10 3 ? ? 4.5m 42.5 ? 10 3 42.5 ? 10 3l ? 10.5 ? 2 ? 4.5 ? 1.5m8-14 如图 8-47 所示外伸梁， 已知 [ ? ] ? 160 MPa ， 试分别选择矩形 ( h / b ) ? 2 、 Ⅰ字钢、圆形及圆环形 ( D / d ? 2 ) 四种截面，并比较其横截面面积大小。题 8-14 图 解： FAy ? 2.5kN ? mFBy ? 22.5kN ? m梁的弯矩图如图 b)所示。 M max ? 6.25kN ? mWz ?Mma x?? ??6.25 ? 10 6 ? 3.906 ? 10 4 mm 3 160① 矩形截面： W ?bh 2 b ? ?2b ? 2b 2 ? ? ? Wz 6 6 32b ? 39 mm,h ? 78mmA矩 ? 39 ? 78 ? 3042 mm 2② 工字钢截面：查表得 I10 的 Wz ? 49cm , A工 ? 1430 mm3 2③ 圆形： W ? ④ 圆环：?d 3323d ? 74 mm,A圆 ??d 34? 4298 .66 mm 2? 7?d 2 W ? ? ? ? 1? ? ? 32 ? ? d ? 32 ? ? ? A环 ? ?D 2 ? d 2 ? ? 3491mm 2 4?d 3 ? ? D ? ?d ? 38.5mm, D ? 77 mm8-15 一工厂为了起吊一重量 W ? 300 kN 的大型设备，采用了一台 150 kN 吊车、一台 200 kN 吊车及一根辅助梁（图 8-48） ，已知梁的 [ ? ] ? 160 MPa ， l ? 4m 。试求： （1）重物在梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载； （2）若用Ⅰ字钢作辅助梁，应选择多大型 号。吊车 吊车题 8-15 图 解：W ? ?l ? x ? 300 ?4 ? x ? ? ? 150 x ? 2m l 4 W ? x 300 x FB ? ? ? 200 x ? 2.67 m l 4 FA ?取 AC 段建立弯矩方程:300 ? ?4 ? x ? x ? 150 4 300 ? ?4 ? 2? ? 2 当 X=2m 时: M max ? ? 300 kN ? m 4 M ?x ? ? FA ? x ?Wz ? M max?? ??300 ? 10 6 ? 1.875 ? 10 6 mm 3 1603取 I50b， Wz ? 1940cm8.16 一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中力作用（图 8-49） 。已知 F1 ? 120 kN ，F2 ? 30 kN ， F3 ? 40 kN ， F4 ? 12 kN ，许用应力 [? ] ? 170 MPa ， [? ] ? 100 MPa 。试选择槽钢的型号。F1=120kN 0.4 A FA 0.4F2=30kN 0.7F3=40kN F4=12kN 0.3 0.6 B FB13818 FQ 12 55.2 62.4 52 54 38.4 M 64图 8-49 解：由静力平衡方程可求得 FA=138kN FB=64kN 画剪力图和弯矩图，如图所示，可知最大剪力为 138kN，最大弯矩为 62.4 kNm 先按正应力设计，再校核剪应力? max ?M max 62.4 ? 10 3 ? W W则令 ? max ? ?? ?W?62.4 ? 10 3 ? 0.367 ? 10 ?3 m 3 ? 367cm 3 6 170 ? 10* ?2若选工字钢可选 25 号工字钢，并查表知 I Z / S ? 21.58 ? 10? max ?FQ max ? S * IZ ?b138 ? 10 3 ? ? 79 .93 MPa&[η ] 21 .58 ? 10 ? 2 ? 8 ? 10 ?3若选两槽钢，可选 20 号槽钢，无法校核其剪切强度 8.17 当 F 力直接作用在梁 AB 中点时，梁内的最大正应力超用许用应力 30％。为了消除过 载现象，配置了如图 8-50 所示的辅助梁 CD，试求此辅助梁的跨度。FC=F/2FFD=F/2A FA a l F(l -a)/4B FBM图 8-50 解：先由静力平衡求出支座反力： FA ? FB ?画 AB 梁的弯矩图如图所示1 F 2 1 FC ? FD ? F 2 1 M m a x ? F (l ? a) 4? max ?M max W1 F ?l ? a ? 4 ? W使梁承载能力增大 30%，即所加辅梁后的最大应力达到原水平时，载荷可为原载荷的 1.3 倍，可得如下关系：1 ?1.3 ? F ??l ? a ? 1 Fl 4 ? 4 W W由上式解得 a=0.231l, a 越大 M max 越小, 因此当 a&=0.231l 时，承载能力可提高 30% 以上. 8.18 I20a 工字钢梁的支承及受力如图 8-51 所示。若 [? ] ? 160 MPa ，试求许可载荷 F。 解: 由静力平衡方程求得： FA ? FB ? 梁的弯矩图如图所示1 F 3(Nm)M m a x?2 F 32 F M max 3 ? max ? ? W 237 ? 10 ?6令? max ? ?? ? ? 160 ? 10 6 Pa 可求得F ? 56.88 kN即许可载荷 F 为 56.88kN .F FA A F2m 2m 2mFB BM2F/3图 8-51 8.19 截面为 I10 的工字钢梁 AB，在 D 点由圆钢杆 DC 支承（图 8-52） ，已知梁及杆的[? ] ? 160 MPa ，试求允许均布载荷 q 及圆杆的直径 d。q FA AdC FN D B1m2mM2F/3图 8-52 解：由静力平衡可求得拉杆 CD 的拉力为 画弯矩图,FN ?9 q 4M m a x?1 q 2按 AB 梁设计载荷：1 Mma x 2 ? ma? ? q x W 49 ? 10 ?6令? m a ? ?? ? 已知 ?? ? ? 160 MPa , 可求得均布载荷 q=15680 N/m=15.68 kN/m x确定拉杆尺寸：?杆9 ? 15.68 ? 10 3 FN ? ? 4 1 2 A ?d 4令? 杆 ? ?? ? 可求得圆杆直径 d=16.76mm8.20 由 I16 工字钢制成的简支梁 AB，跨度 l ? 1.5m ，在中点作用一集中力 F(图 8-53)，为 了测得 F 得大小。在距中点 0.25m 处的下沿 C 处布置一应变片，梁受力后测得其应变? ? 4.01 ? 10 ?4 ，已知钢材的弹性模量 E ? 210GPa ，求集中力 F 的大小。F I16 A FA 750 Fl /4 Fl /6 250 750 B FBM图 8-53 解： 1.画弯矩图，C 处弯矩 M C ? 2.求 C 处正应力1 Fl 61 F ? 1.5 MC ?C ? ? 6 ? 1.773 ? 10 3 F ?6 W 141 ? 10由 胡克定律得 C 处线应变， ? ??E?1.773 ? 10 3 F ? 8.443 ? 10 ?9 F 9 210 ? 10代入已知条件ε =4.01×10-4 得 F=47.5 kN 8.21 AB 梁的截面形状及其所承受的载荷如图 8-54 所示。已知截面的形心主惯性矩I z ? 1.0 ? 10 8 mm 4 ，材料的许用应力为 [? ? ] ? 5MPa ， [? ? ] ? 12 MPa ， [? ] ? 3MPa ，试问此梁的截面应如何放置才合适？梁的截面经合理放置后，若 M B ? 5kN ? m 不变，试求 许可载荷 F 值。解：首先作剪力图，弯矩图，由图可知 CB 梁段弯矩为 5KNm 若截面 T 形放置，则 ? max ??5 ? 10 3 ? 0.22 ? 11 MPa&[ζ +] 8 ?12 1.0 ? 10 ? 10不合理，因此必须 ? 放置? ? 放置时 ? max ? 11 MPa&[ζ -]? ? max ?5 ? 10 3 ? 0.06 ? 3 MPa&[ζ +] 1.0 ? 10 8 ? 10 ?12?CB 段满足强度要求A 截面处 ? max ? 令 ? max?10 3 ? ?F ? 5? ? 0.22 1.0 ? 10 8 ? 10 ?12? [? ? ]可得 F&=30kN 由于 A 截面处 ? max ? ? max? ?所以 , 压应力条件一定满足F A 1m F FQ C 1mMB=5kN B 60 z 220 20 5kNmM(F-5)kNm图 8-54 剪应力： ? 平均 ?F 30 ? 10 3 ? ? 6.82 MPa&[η ]不满足 bh 20 ? 220 ? 10 ?6* FQ ? S z? max30 ? 10 3 ? 220 ? 20 ? 110 ? ? MPa=7.26MPa&[η ] IZ ?b 1 ? 10 8 ? 20为使 ? max ? ?? ? ? 3 MPa, F 应缩小 7.26/3 倍，即 F ?30 ? 12 .4 kN 7.26 38.22 在工字钢梁 I18 上作用着可移动的载荷 F （图 8-55） 。为提高梁的承载能力，试确定 l的合理数值及相应的许可载荷。设 [? ] ? 160 MPa 。F A C I18 D Bl12-2l F(12-2l)/4lM F C A D BM Fl图 8-55 解：当 F 作用在 CD 之间时，作用在其中点处为最坏情况. 可作弯矩图如图所示，此时? max ?令 则有 ? 3 ?M max W1 ? ? ? 3 ? l ?F 2 ? ?? 185 ? 10 ?6? max ? ?? ? ? 160 MPa1 ? l ? F ? 29600 2 ?M max ? Fl①? ?当作用在梁外伸段时，F 作用在端截面处最危险，此时弯矩图如图所示? max ?M max Fl ? W 185 ? 10 ?6令 ? max ? ?? ? 则有Fl ? 29600②联立①②两式可得梁长 l=2m, 许可载荷 F=1kN 。8.23 测定材料剪切强度的剪切器的示意图如图 8-56 所示。设圆试件的直径 d ? 15mm ，当 压力 F ? 31.5kN 时，试件被剪断，试求材料的名义剪切极限应力。若剪切许用应力为[? ] ? 80MPa ，试问安全系数等于多大？Fd图 8-56 解： 由公式（8-9）可求名义剪切极限应力? 极限 ?F极限 A?31 .5 ? 10 3 MPa=89.13MPa 1 2 2 ? ? 15 4安全系数 n ?? 极限 89.13 ? ? 1.114 ?? ? 808.24 木楔接头如 8-57 所示。b ? h ? 120 mm , l ? 350 mm , a ? 45mm , F ? 40kN 。试求接 头的剪切和挤压应力。F la lhFF图 8-57b F解： 接头的切应力为??F 40 ? 10 3 ? Pa ? 0.95M P a lb 350 ? 120 ? 10 ?6 F ab ? 40 ? 10 3 Pa=7.41MPa 45 ? 120 ? 10 ?6接头的挤压应力为? jy ?8-25 图 8-58 所示对接接头每边由两个铆钉铆接，钢板与铆钉材料均为 Q235 钢，已知材料 的 许 用 应 力 为 [? ] ? 1 6 0 P a， [? c ] ? 320 MPa ， [? ] ? 120 MPa ， F ? 100 kN ， Mmm 051 ? b? ? 10mm ，， d ? 17 mm ， a ? 80mm ，试校核此接头的强度。F bFdd图 8-58解：钢板的拉应力为? ?F?b ? 2d ???100 ? 10 3 Pa ? 86.2MPa ? [? ] ? 160MPa ?150 ? 2 ? 17 ? ? 10 ? 10 ?6钢板与铆钉的挤压应力为? jy ?F 100 ? 10 3 ? Pa = 294.12MPa & [ζ c]=320MPa 2 ? d ? ? 2 ? 17 ? 10 ? 10 ?6铆钉剪切应力为 ? ?F 100 ? 10 3 ? Pa=110MPa&[η ]=120MPa 1 2 ? ? 17 2 ? 10 ?6 2 ? 2 ? ?d 48-26 如图 8-59 所示冲床的最大冲压力为 400kN，冲头材料的许用应力 [? ] ? 440MPa ，被 冲剪的板材剪切强度极限 ? b ? 360MPa ，求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔最小直径 d 和板的最大厚度 ? 。? ? ? ?F? ?F冲头δ板 冲模图 8-59 解： 为了满足冲头强度的要求, 需：F ? ?? ? 即 AF 1 2 ?d 4? ?? ?代入数值400 ? 10 3 ? 4 4 0 解得 能冲剪的圆孔最小直径 d ? 34.02mm 1 2 ?d 4冲剪的圆孔直径最小时, 板厚可取得最大值 ?F 400 ? 10 3 ? ?b, ? 360 , ? ? 10.4 mm ?d ? ? ? ? 34.02 ? ?8.27 试求图 8-60 所示联结螺栓所需的直径，已知 F=200kN,δ =20mm,螺栓材料的许用应力 [η ]=80MPa,[ζ C]=200MPa（联结板的强度不考虑） 。Fδ /2 δ /2dδ F/2 F/2图 8-60 解：螺栓受剪切应力和挤压应力两种作用 为了满足剪应力要求F ? ?? ? 1 2 2 ? ?d 4代入数值200 ? 10 3 ? 80 1 2 ? ?d 2 4d ? 39.89mm ? 40mm为满足挤压强度要求F ? ?? c ? ?d取两者较大值 50mm代入数值200 ? 10 3 ? 200 , d ? 50 mm 20 ? d8.28 图 8-61 所示装置中键的长度 l ? 35mm ， 许用应力 [? ] ? 100 MPa ，[? c ] ? 220MPa ， 试求作用在手柄上的 F 力最大许用值.d安全销M0m θ 20 n m nM0图 8-61 解：键所受的剪切力为 F×60 剪切面积 A=5×35mm2??60 F 60 F ? 令? ? ?? ? 得F ? 291 .67 N A 5 ? 35令 ? C ? ?? C ? 得键所受的挤压力也等于 60F，挤压面积 Ac=2.5×35mm2?C ?60 F 60 F ? AC 2.5 ? 35F ? 320 .83 N取较小者，F 最大不得超过 291.67N。 8.29 车床的传动光杆装有安全联轴器（图 8-62） ，当载荷超过一定值时，安全销即被剪断。 已知安全销的平均直径为 5mm，其剪切极限应力 ? b ? 370 MPa ，求安全联轴器所能传递的 力偶矩 M 0 。205F2.5 2.5 600图 8-62解：安全销承受剪切作用，受剪面积 所能承受的最大剪力为1 A ? 2 ? ?d 2 ? 39.27 mm2 42 F ? ? b ? A ? 370 ? 39.27 ? 1 4 5 2.9 6 6 8 NF ?
N安全联轴器所能够传递的力偶矩M 0 ? F ? D ?
? 20 ? 10 ?3 Nm=145.3Nm8.30 图 8-63 所示螺钉在拉力 F 作用下， 已知材料的许用剪切应力 [ ? ] 和许用拉伸应力 [ ? ] 之间的关系为 [ ? ] ? 0.6[ ? ] ，求螺钉直径 d 与钉头高度 h 的合理比值。 解：螺钉横截面正应力? ?hF 1 2 ?d 4螺钉头剪应力为d??F ?dh同时达到许用值 ?? ?, ?? ?d、h 的合理比值应使ζ 、ηFF1 2 ?d 4? ?? ? ，F ? ?? ? ，代入到 ?dh?? ? ? 0.6?? ?图 8-63中得d ? 2.4 h8-31 联轴器如图 8-64 所示， 轴与圆盘用键接合， 两圆盘靠四个直径 d=16mm 的螺栓连接。 已知轴的转速 n=170r/min,[η ]=60MPa，键和螺栓的许用切应力[η ]=80MPa，许用挤压 应力[ζ C]=200MPa，试计算它所能传递的最大功率（kW） 。题 8-31 图 解： 每个螺栓所能承受的最大剪力：2 1 FQ1 ? ?τ ?? A1 ? 80 ?10 6 ? ? π ? ?16 ?10 ?3 ? ? 16.08 kN 4四个螺栓能传递的最大功率：P? 1T ? n ?FQ ? 0.1 ? 4??170 ?16.08 ?10 3 ? 0.1 ? 4??170 ? ? ? 114 .5kW 49键能承受的最大剪力：? FQ2 ? τ?? A2 ? 80 ?10 6 ? ?14 ?10 ?3 ?140 ?10 ?3 ? ? 156 .8kN键能承受的最大挤压力：FC ? ?σ C ?? AC ? 200 ?10 6 ? ?6 ?10 ?3 ?140 ?10 ?3 ? ? 168 kN键能传递的最大功率P2 ??FQ? 40 ?10 ?3 ??170 9549??156 .8 ?103? 40 ?10 ?3 ??170 ? 111 .7kW 9549轴能承受的最大扭矩：M X ? ?τ ?? Wp ? 60 ?10 6 ?轴能承受的最大功率：3 1 π ? ?80 ?10 ?3 ? ? 6.032 ?10 3 N ? m 16M X ? n 6.032 ?10 3 ?170 P3 ? ? ? 107 .4kW 所以，轴及联轴器能传递的最大功率 Pmax ? ?Pi ?min ? 107 .4kW 。8-32轴向受载杆如图 8-65 所示。杆的弹性模量 E=200Gpa，许用应力[ζ ]=80MPa,整杆?4的总伸长量不得超过 2 ? 10mm 。试分别选择此杆 AB 与 BC 部分的横截面面积。100kN400kN B 1m题 8-328-65 图 图300kN2m解： 内力分析：AB 段： FN 1 ? ?100 kN；BC段 : FN 2 ? 300 kN 由强度条件：AB 段： A1 min ?FN 1 100 ?10 3 ? ? 1.25 ?10 ?3 m 2 6 ?σ ? 80 ?10 FN 2 300 ?10 3 ? ? 3.75 ?10 ?3 m 2 ?σ ? 80 ?10 6BC 段： A2 min ?由刚度条件：?l ? ?l1 ? ?l2 ?FN 1l F l ? 100 ?10 3 ?1 300 ?10 3 ? 2 ? N2 ? ? EA1 min EA2 min 2 ?10 9 ?1.25 ?10 ?3 2 ?10 9 ? 3.75 ?10 ?3? 4 ?10 ?4 m ? 2 ?10 ?4 m据刚度条件重新设计：FN 1 ? l FN 2 ? l ? 100 ?10 3 ?1 300 ?10 3 ? 2 ?l ? ? ? ? ? 2 ?10 ?4 m 9 9 E