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固体物理题库_zzk_第一至第五章_1.doc 9页
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固体物理题库_zzk_第一至第五章_1
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晶体结构和X射线
试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子
如果基矢a,b,c构成正交关系，证明晶面族（h k l）的面间距满足：
证明以下结构晶面族的面间距：
立方晶系：dhkl=a[h2+k2+l2]-1/2
六角晶系：
等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。
试证密积六方结构中，c/a=1.633。
在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（）和（）晶面。
如下图，B和C是面心立方晶胞上的两面心。
求ABC面的密勒指数；
求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
六角晶胞的基矢为
求其倒格子基矢。
求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族（h1 h2 h3）之间的面间距（指导p30,10）。
10、讨论六角密积结构，X光衍射的消光条件。
11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。
12、原胞和晶胞的区别？
13、倒空间的物理意义？
14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？
15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？
自由电子气
设有一个长度为L的一维金属线，它有N个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求：
电子的状态密度
绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。
电子的平均能量。
电子的比热。
2、二维电子气的能态密度，证明费米能
3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。
4、求出二维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。
5、求出绝对零度是费米能、电子浓度n、能态密度N()及电子比热与费米半径的关系
6、已知Na具有体心立方结构，点阵常数aNa=0.4282 nm，试求其绝对零度时的费米能、费米速度、费米温度、单位体积的电子气平均能，以及摩尔热容量（5-5）。
7、已知Al具有面心立方结构，点阵常数aAl=0.4041 nm，试求其绝对零度时的费米能、费米速度、费米温度、单位体积的电子气平均能，以及摩尔热容量（5-5）。
8、已知EF=3 eV。试计算当T=2000K时，电子分部激励从0.9-0.1所对应的能量区间，并求出这个能量区间的EF的比值。
9、铜的费米能级EF=7.1 ev，试计算每单位体积的铜的平均电子数，并从密度计算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于8.96g/cm3。
10、已知银的密度为10.5 g/cm3，当温度从绝对零度变化到室温（300K），银金属中电子的费米能变化多少？
11、试求低温下金属中电子气的总能量。
12、证明：（1）在T=0K是，金属中自由电子的能量密度，式中kF为费米球半径，V为金属体积。
（2）金属中电子的平均能量
13、为什么温度升高，费米能下降？
14、价电子能都越大，价电子的平均动能如何变化？为什么？
15、绝对零度时，价电子与晶格是否有能量交换。
晶格振动与晶体的热学性质
设有一维的离子晶体，正负离子间的质量分别是M+和M-，它们间的势能可以表示成：，r是两个离子之间距离，e为离子电荷，n以及b是常参量。
如果只考虑最近邻原子间的相互作用，在简谐近似下，求出该离子晶体的晶格振动频谱。
求出它的频率分布函数。
若采用德拜模型，写出它的频率分别不函数及德拜温度。
试以一维复式格子为例，求出晶格振动的总动量
在一维无限长的简单格子中，如果考虑原子间的长程相互作用，则在简谐近似下，第n个原子与其他原子间的相互作用势能可写成：
这里xn表示第n个原子的位移，βm表示距离为ma的两个原子间的恢复力常数（假设原子间距也及晶格常数为a）。并设原子的质量为M，试求：
格波的色散关系。
在金属恢复力常数满足下面关系式
证明当q=Q时，
设某个一维简单格子，晶格常数为a，原子质量为M，在平衡位置附近两原子间的相互作用势能可表示成为：
这里ζ和η都是常数，并且只考虑最近邻原子间的相互作用，试求：
在简谐近似下，求出晶格振动的色散关系。
求出它的比热
原子质量为m，间距为a，恢复力常数为β的一维简单晶格，频率为ω的格波un=Acos(ωt-qna)，求（1）该波的总能量；（2）每个原子的时间平均总能量。
一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同，分别为β1和β2，晶格常数为a，求原子的运动方程及色散关系。
设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+和m-，近邻两离子的互作用势为：
式中e为电子电荷，b和n为常数参量，求：
参数b与e，n及a的关系，
恢复力系数β
q=
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复习-固体物理习题与思考题
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固体物理习题及答案汇总整理终极版.doc
1 11 级第一次 (作业 ) 请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题 (针对自己感兴趣的某个方面 )，形成一份报告，阐述自己的看法，要求 2000 字以上。 (已经在第一次课布置， 11 月 1 日前后上交 ) 11 级固体物理第 2 次习题和思考题 1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？ 答： 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 2.解释 Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的 Bravais 点阵。 答： 晶体的内部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为 Bravais 点阵。氯化钠晶体的 Bravais 点阵可参照书 p8 的图 1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。 3.说明金刚石结构是复式点阵的原因 。 答： 金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引 8 条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角 线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开 1/4 体对角线长度而成。 Bravais 点阵包含两个原子。 4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。 答： 面心立方的三个基矢为： ???????????????)(2)(2)(2321ikaakjaajiaa?????????其体积为43a ，根据倒格矢的定义得： ???????????????????????????????)(2)(2)(2)(2)(2)(2321321kjiaaaaaabkjiaaaaaabkjiaaaaaab?????????????????????????????????可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。反之亦然。 5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用 元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌 答： (1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。元胞就是简单立方。一 2 个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为 6。 (2)硅为复式格 子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开 1/4 体对角线长度，形成 金刚石结构。初基元胞就是面心立方，一个元胞里有两个硅原子。配位数为 4。 (3)、 (4)砷化镓和硫化锌的结构相同，属于闪锌矿结构，晶格实际上是金刚石结构，只是原子不同类。 图略，参见书 p5~6 的图 1-8、 1-9、 1-10 6.用倒格矢的性质证明，立方晶格的 (hcl)晶向与 (hcl)晶面垂直。 答： 根据倒格矢的性质，对应于 (hcl)晶面的倒格矢为：321 blbcbhG hcl ???? ???，它垂直于 (hcl)晶面；而(hcl)晶向为：321 alacahN hcl ???? ???。根据倒格矢与正格矢的关系即倒格矢的定义可知：在立方晶格中，)3,2,1(// ?iba ii ?? ，大小成比例，所以立方晶格的 (hcl)晶向与 (hcl)晶面垂直。 7.若轴矢 、 、a b c 构成简单正交系，证明，晶面族 (h、 k、 l)的面间距为 2222 )()()(1clbkahhk ld ???答： 设晶面族 (h、 k、 l)的公共法线的单位矢量为 n? ，则： h k lh k lh k l ldnckdnbhdna ?????? ?????? 、、即： h k lh k lh k l ldncckdnbbhdnaa ?????? )c o s ()c o s ()c o s ( ?????? 、、dhkl为面间距，整理后结论即得证明。 8.基矢为 a1=ai， a2=aj， a3=2a(i+j+k)的晶体为何种结构？若 a3=2a(j+k)+23ai，又为何种结构？为什么？ 答： 由已知条件，可计算出晶体的原胞的体积 Ω= a1·a2×a3=23a 。 由原胞的体积推断，晶体结构为体心立方。构造新的矢量： u=a3-a1=2a(-i+j+k)， v=a3-a2=2a(i-j+k)， w=a1+a2-a3=2a(i+j-k)。 u， v， w对应体心立方结构，可以验证， u， v， w满足选作基矢的充分条件。可见基矢为 a1=ai， a2=aj， a3=2a(i+j+k)的晶体为体心立方结构。 若 a3=2a(j+k)+23ai，则晶体的原胞的体积 Ω= a1·a2×a3=23a ，该晶体仍为体心立方结构。 9.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为 (1)简单立方6?； (2)体心立方83?； (3)面心立方62?； (4)六角密积62?； (5)金刚石163?。 答： （ 1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 Ra 2? ，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为： 3 6)2(???? ?????RRaR （ 2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 3/4Ra ? ， 则体心立方的致密度为： 83)3/4(???? ?????RRaR （ 3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 Ra 22? ，则面心立方的致密度为： 62)22(???? ?????RRaR （ 4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 Ra 2? ，Rac )3/64()3/62( ?? ，则六 角密积的致密度为： 62)3/64(4)2(323???? ???????RRRcaR（ 5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 Ra )3/8(? ，则金刚石的致密度为： 163)3/8(???? ?????RRaR 10.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 答： 体心立方格子的基矢为： ???????????????????)(2)(2)(2321kjiakjiakjiaaaa根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： 4 ????????????????????????)(2][2)(2][2)(2][jiaabkiaabkjaabaaa??????由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 11、对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为 jia aa 2321 ?? jia aa 2322 ??? ka c?3 试求倒格子基矢。 答： 根据倒格子基矢的定义可知： ][2 321 321 aaaaab???? ?)]()232[()232()()232(2kjijikjicaaaacaa????????? ? caacac2232232ji ?? ? ＝ )32(2 ji ?a? ][2 321 132 aaaaab???? ?)]()232[()232()232()(2kjijijikcaaaaaac????????? ? caacac2232232ji ??? ? ＝ )32(2 ji ??a? 5 ][2 321 213 aaaaab???? ?)]()232[()232()232()232(2kjijijijicaaaaaaaa?????????? ? caa2223232k?? = kc?212、一晶体原胞基矢大小 a=4?、 b=6 ? 、 c=8 ?，基矢间夹角 α =β =90°， γ =120°。试求： (1)、倒格子基矢的大小； (2)、正、倒格子原胞的体积； (3)、正格子 (210)晶面族的面间距。 答： (1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为： ai?1a )2321(2 jia ??? b ka c?3 由此可知： ][2 321 321 aaaaab???? ? =abcbc23)2123(2ji ?? = )31(2 ji ?a? ][2 321 132 aaaaab???? ? =abcac232j? = j322 ?b? ][2 321 213 aaaaab???? ? =abcab23232k? = k?c?2所以 1b＝ 22 )31(12 ??a? ＝
3 8.134 ??? ma? 6 2b＝ 2)32(2 ?b? ＝
9 2.134 ??? mb? 3b＝ 212 ?c?＝
??? mc?(2) 正格子原胞的体积为： ][ 321 aaa ???? ＝ )]()2 321([)( kjii cba ???? ＝ 3 mabc ??? 倒格子原胞的体积为 ： ][ 321 bbb ???? ? ＝ )](2)32(2[)31(2 kjji cba ??? ??? ＝
18.1316 ??? mabc? (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子 (210)晶面族的面间距为： hhd K?2? =321 0122bbb ??? =ji )3434(42baa??????=mbaa 1 2.1) ????????13.教科书 p16 面的公式 (1-5)是用正基矢 a1、 a2、 a3表示倒基矢 b1、 b2、 b3的，试用倒基矢 b1、 b2、 b3来表示正基矢 a1、 a2、 a3。 答：231 122 3 3 1 1 221 2 3 1 2
1 3 1 1 2 3 1 2 121( 2 ){ 2 } { 2 } [ ( ) ( ) ][ ] [ ]( 2 ) ( 2 ){ [ ( ) ] [ ( ) ] } [ ( ) ]( 2 )??????? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????aa aab b a a a aa a a a a aa a a a a a a a a a a aa因为 * 2????所以 *1 2 3 2 321( 2 ) 2? ??? ? ? ??a b b b b同理 *2 3 12????a b b 、 *3 1 22????a b b ，其中 Ω*是倒原胞体积。 14.回忆一下晶体的周期性对对称性的影响，基本点对称操作有哪几种。 答： 晶体从微观上看是 具有周期性的，从宏观上看具有对称性，两者相互影响，周期性使得晶格的对称操作只存在 1、 2、 3、 4、 6 重等 5 种旋转轴。基本的点对称操作有 8 种，分别是 E、 C2、 C3、 C4、 C6、 i、 7 m(或 σ)， S4。 15.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯键的基本特征。 答： (1)离子键：无方向性，键能相当强； (2)共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强； (3)金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于 2 个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”； (4)范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距感 应而形成，其结合力一般与 r6 成反比关系，该键结合能较弱。 16.当二个原子由相距很远而逐渐接近时，它们之间的力与势能是如何逐渐变化的？ 答： 当 2 个原子由相距很远而逐渐接近时， 2 个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，f(r)0，而 相互作用势能 u(r)也开始急剧增大。 17.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？ (以上四题除参看教材之外，还可翻阅资料，以得到更充实的解答 ) 答 ： 由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于 2 个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 18、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 nm rbrarU ???)( 的形式，试求出 (1)、晶体平衡时两 原子间的距离； (2)、平衡时的二原子间的互作用能。 (3)、若取 m=2、n=10，两原子间的平衡距离为 3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为 4ev，计算 a及 b 的值； (4)若把互作用势中排斥项 b/rn改用玻恩－梅叶表达式 ?exp(-r/p)，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和 p 间的关系。 答 ： (1)、 U(r)对 r 求导，11)(?? ?? nm rnbrmadr rdU 令之等于零即得： nmbnamr ???????? 10； (2)、将 nmbnamr ???????? 10代入nm rbrarU ???)( 即得：nmnnmmbnambbnamarU?? ???????????????)( 0 (3)、由题意知， nmbnamr ???????? 10=3?，nmnnmmbnambbnamarU?? ???????????????)( 0 =4ev，且 m=2、 n=10， 得： a=-7.2×10-38； b=-1.； (4)、此时， prm erarU ???? ?)( ，求导得： prm eprmadrrdU ?? ???1)( ，令之为 0，设此时原子间距为 r0，则 8 prm ermap 010?? ? ?，于是 ]1[)(001000 rmprarm a prarUmmm ?????? ?，根据题意，此时 nmbnamr ???????? 10，nmnnmmmbnambbnamarmpra?? ????????????????? ]1[00，所以 np= nmbnamr ???????? 1019、 N 对离子组成的 NaCl 晶体相互作用势能为：?????? ?? ReRBNRU n024)( ??? (1)、证明平衡原子间距为 ne BR n 2010 4?????(2)、证明平衡时的互作用势能为 )11(4)( 0020 nRNeRU ?????? (3)、若试验测得 NaCl 晶体的结合能为 765kj/mol，晶格常数为 5.63?10-10m，计算 NaCl 晶体的排斥能的幂指数 n，已知 NaCl 晶体的马德隆常数是 ?＝ 1.75。 答 ： (1)、 U(R)对 R 求导，?????? ??? ? 2021 4)(ReRnBNdRRdUn ???令之等于零即可得到 (1)； (2)、将 (1)代入 U(R)即可得到 (2)； (3)、将具体数字代入 U(R0)即可得 n=5.3。 20、有一晶体，在平衡时的体积为 V0，原子之间总的相互作用能为 U0，如果原子间相互作用能由下式给出： nm rrru?? ???)( ， 试证明弹性模量可由 ? ?)9/(00 VmnU给出。 答： 解：根据弹性模量的定义可知 0022VV dVUdVdVdPVK ????????????????? (1) 上式中利用了dVdUP ??的关系式。设系统包含 N 个原子，则系统的内能可以写成 )(2)(2 nm rrNruNU ?? ???? (2) 又因为可把 N 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距 r 的函数，即 3rNNvV ??? (3) 9 上式中 ? 为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构， 2/2?? ）。又因为： )(0 rNrnrmNdrdUNrdVdUnmR ???? ??????? ??? ??(4) 00 1)(rrnmV rnrmNrNdrddVdrdVUd??? ?????? ?????? ??? ????????? ?????? nmnm rnrmrnrmNV1 ???? (5) 考虑平衡条件 0)(0 ?rdVdU ，得nm rnrm00?? ? ，那么 (5)式可化为： ?????? ?????????? ???? nmnmV rnnrmmNVrnrmNVdV Ud91291)(00???? )(00020UVmnrrNVmnrmnrnmNV nmmn ???????? ??????????? ???? ???? (6) 将 (6)式代入 (1)式得： ? ?)9/(9 000200VmnUUVmnVK ???? 11 级固体物理第三次习题 _思考题参考答 案 1. 一维无限长同种原子链和一维无限长异种原子链是从实际中抽象出来的模型，试在简单立方、体心立方、面心立方、氯化钠、氯化铯晶体中找到原型 答： 简单立方、体心立方、面心立方都是由同种原子构成的，立方体的各个边方向、面心立方、体心立方的体对角线方向，面心立方的面对角线上都能抽象出一维无限长同种原子链；氯化钠、氯化铯是由两种‘原子’构成的，在氯化钠元胞的各个边上、氯化铯元胞的体对角线上都能抽象出一维无限长异种原子链。 2. 引入玻恩 -卡门条件的理由是什么？ 答： (1)方便于求解原子运动方程。由书中可知，除 了原子链两端的两个原子外，其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关，即除了原子链两端的两个原子外，其它原子的运动方程构成了个联立方程组，但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关，运动 10 方程与其它原子的运动方程迥然不同。与其它原子的运动方程不同的这两个方程，给整个联立方程组的求解带来了很大的困难。 (2)与实验结果吻合得较好。对于原子的自由运动，边界上的原子与其它原子一样，无时无刻不在运动。对于有 N 个原子构成的的原子链，硬性假定 u1=0， uN=0 的边界条件是不符合事实 的。其实不论什么边界条件都与事实不符。但为了求解近似解，必须选取一个边界条件。晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证。玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件。实验测得的振动谱与理论相符的事实说明，玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件。 3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ 答： 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的高阶非线性项忽略掉的近似称为简谐近似。在简谐近似下，由 N 个原子构成的晶体的晶格振 动，可等效成 3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为简正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等于 3N。 4． 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 答：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为 ?ωj(q)的声子平均数为 ( ) / ( )1() 1jBj q k Tnq e ?? ??对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。 5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ 答： 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移， 原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格 (非复式格子 )晶体不存在光 学支格波。 6. 晶体中声子数目是否守恒？ 答： 频率为 ωi的格波的 (平均 ) 声子数为 ： 11 1)exp(1)(??TknBii ?? ?即每一个格波的声子数都与温度有关，因此，晶体中声子数目不守恒，它是温度的变量。 7. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ 答： 频率为 ω的格波的 (平均 ) 声子数为： 11)( / ?? Tk Ben ?? ?因为光学波的频率 ωo比声学波的频率 ωA高， ( 1/ ?TkBOe ?? )大于 ( 1/ ?TkBAe ?? )，所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 8. 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多？ 答： 设温度 TH>TL，由于 ( 1/ ?HBTke ?? )小于 ( 1/ ?LBTke ?? )，所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 9. 高温时，频率为 ω 的格波的声子数目与温度有何关系？ 答： 温度很高时， Tke BTk B /1/ ?? ?? ?? ，频率为 ω的格波的 (平均 ) 声子 数为： ?? ? ?? Tken BTk B ??? 11)( /可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 10. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 答： 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子 (正负离子 )产生了相对位移。长声学格波的特点是，原胞内所有的原子没有相对位移。 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。 11. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等？对 KCl 晶体，结论又是什么？ 答： 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，离子 的相对位移产生出宏观极化电场，电场的方向是阻滞离子的位移，使得有效恢复力系数变大，对应的格波的频率变高。长光学格横波不引起离子的位移，不产生极化电场，格波的频率不变。金刚石不是离子晶体，其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等。而 KCl 晶体是离子晶体，它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等，长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率。 12. 何谓极化声子？ 何谓电磁声子？ 答： 长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移，离子的相对位移产生出宏观极化电场，称长光 12 学纵波声子为极化声子。长光 学横波与电磁场相耦合，使得它具有电磁性质，人们称长光学横波声子为电磁声子。 13. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ 答： 实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。 14. 对于光学横波， ωT→ 0 对应什么物理图象？ 答： 格波的频率 ω 与 ? 成正比， ωT→ 0 说明该光学横波对应的恢复力系数 β→ 0。 β=0 时，恢复力消失，发生了位移的离子再 也回不到原来的平衡位置，而到达另一平衡位置，即离子晶体结构发生了改变(称为相变 )。在这一新的结构中，正负离子存在固定的位移偶极矩， 即产生了自发极化，产生了一个稳定的极化电场。 15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 答： 按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为 1013Hz，属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。 16. 在甚低温下，不 考虑光学波对热容的贡献合理吗？ 答： 在简谐近似下，光学波的模式密度与温度无关。在甚低温下， 0/)exp ( ?? TTk B??， 即光学波对热容的贡献可以忽略，也就是说，在甚低温下，不考虑光学波对热容的贡献是合理的。 17. 在甚低温下，德拜模型为什么与实验相符？ 答： 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 18. 在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？ 答： 频率为 ωi的格波的振动能为： iii n ?? ??????? ?? 21 其中iin ??是由 ni个声子携带的热振动能， (2i??)是零点振动能，声子数 ： 1)exp(1??TknBii ??绝对零度时， ni=0，频率为 ωi的格波的振动能只剩下零点振动能。 13 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的，绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。 19. 温度很低 时，声子的自由程很大，当 T→ 0 时， ??? ，问 T→ 0 时，对于无限长的晶体，是否成为热超导材料？ 答： 对于电绝缘体，热传导的载流子是声子，当 T→ 0 时 , 声子数 n→ 0，因此， T→ 0 时，不论晶体是长还是短，都自动成为热绝缘材料。 20．试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子； “ 声子气体 ” 与真实理想气体有何相同之处和不同之处？ 答：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与 其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。 “ 声子气体 ” 与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是 “ 声子气体 ” 的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。 21．声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？ U 过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？ 答：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式 nGqqq ???? ??? 321其中上式中的nG表示一倒格子矢量。对于 0?nG的情况，即有321 qqq ??? ??，在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或 N 过程， N 过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于 0?nG的情况，称为翻转过程或 U 过程，其物理图像可由下图 1 来描述： q21q+q 1 2qnGq+q1 2 +图 1 U 过程物理示意图 在上图 1 中， 21 qq ? 是向“右”的，碰撞后3q是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以 U 过程对热阻是有贡献的。 U 过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。 22．若格波的色散关系为 2cq?? 和 20 cq?? ??，试导出它们的状态密度表达式。 14 答：根据状态密度的定义式可知 ??? ? ??? ?? n0lim)((1) 其中 n? 表示在 ??? ??? 间隔内晶格振动模式的数目。 如果在 q 空间中，根据 const?)(q? 作出等频率面，那么在等频率面 ? 和 ?? ?? 之间的振动模式的数目就是 n? 。由于晶格振动模在 q 空间分布是均匀的，密度为 3)2/( ?V (V 为晶体体积 )，因此有 的等频率面间的体积）＋和（频率为 ???? ???? 3)2(Vn ???? ?? ?? dSdqV 3)2( (2) 将 (2)式代入 (1)式可得到状态密度的一般表达式为 ??? )()2()( 3 qdSVq ????(3) (3)式中 )(qq??表示沿法线方向频率的改变率。 当 2cq?? 时，将之代入 (3)式可得 2/12/(421)2()(1)2()( ???????? cVqcqVdSqVq??????? ?当 20 cq?? ??，将之代入 (3)式可得 2/102/32233 )(1)2(421)2()(1)2()( ????????? ???????? ? cVqcqVdSqVq23.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为 2× 10-10m，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为 10103.1 ??q m-1 的声子同另一个波矢大小相等当沿 [110]方向传播的声子相互作用，合成为第 3 个声子，试求合成后的声子波矢。 解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢 1b 、 2b 和3b互相垂直，长度为02 14.322 ????? ?a? m-1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体。 又因为 15 )102 23.(103.1
jiiqq ????????? ji 022.2 ???? 由此可知 21 qq ? 落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或 U 过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有 nGqqq ???? ??? 321（其中nG表示一倒格矢） 为使3q落在第一布里渊区里，取 iG
??n，则有 ijiGqqq 14..2 ????????? nji 092.0 ????? 其大小为 ..0 ??????? jiqm-1 11 级第 4 次习题 _思考题参考答案 1、 将布洛赫函数中的调制因子 uk(r)展成傅立叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？ 在紧束缚模型下，此级数又有什么特点？ 答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数： )()e x p ()( rurkir kk ???? ?? ?? 对比本教科书 (4-24)式的一维形式和 (4-46)的三维形式的修正项，具体写出 u 的形式，并论证其周期性 ，以一维的为例： 将 ()k x?变形得： 22221( ) { 1 }[ ( 2 ) ]2nixi k x n aknVx e enL kkma???????? ? 则有 2222( ) 1[ ( 2 ) ]2nixn aknVu x enkkma??????? ? 则 16 2 ( )222( ) 1[ ( 2 ) ]2ni x m an aknVu x m a enkkma???? ? ???? ? 2 22221[ ( 2 ) ]2nixi m nn anV eenkkma? ??????? ? (m 为整数 ) 因为 mn 为整数，所以 2 1i mne ? ? ，于是 2222( ) 1[ ( 2 ) ]2nixn aknVu x m a enkkma??? ? ???? ? 可见， uk(x)是周期函数，于是有： 1( ) ( )ik xkkx e u xL? ?在紧束缚模型下，电子的波函数是本教科书 (4-57)式，再此基础上写出 u 的形式，并论证其周期性 (过程略 )。 2、波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ 答：波矢空间与倒格空间处于同一空间，倒格空间的基矢分别为321 ,, bbb ???，而波矢空间的基矢可以认为也是321 ,, bbb ???，但是受周期性限制，波矢空间的基矢则分别为222211 ,, NbNbNb??? ， N1、 N2、 N3 分别是沿正格子基矢321 ,, aaa ???方向晶体的原胞数目。倒格矢空间中一个倒格点对应的体积为： *321 )( ???? bbb ??? 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 ： NNbNbNb *332211 )( ??????? 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N。由于 N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所 以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 3、简叙紧束缚近似方法的思想。 答：电子在一个原子 (格点 )附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子 (格点 )势场的作用看作 17 是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。 一个原子能级 εi对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列的能带。能 量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应的能带较窄。 能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应的能带较宽。 4、近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？ 答：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波 函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 5、紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？ 答：紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。孤立原子中电子的能量是一负值，所以 紧束缚模型电子的能量是负值。 s 态电子能量表达式： ?? ???? ne a re rR RkisatsssseRJJEE?? )(0即是例证，其中孤立原子中电子的能量 atsE是主项，是一负值， J0 和 ()sJR?是小量，也是负值。 6、 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ 答：当电子的波矢 k? 满足关系式： 0)2( ?? nn GkG??? 时，与布里渊区边界平行且垂直于nG?的晶面族对波矢为 k? 的电子具有强烈的散射作用。此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上， k? 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2|| nG? 。 7、 在布里渊区边界上电子的能带有何特点 ? 答：电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边
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