用闭区间套定理证明实数完备性中其余五个等价命题
1实数完备性中六个等价定理(1)闭区间套定理:设闭区间列｛[an,bn｝]适合下列两条件(i)[an,bn]?[an+1,bn+1],n=12,,…;(ii)nli→∞m(bn-an)=0,则在实数系中存在唯一一点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=12,,…,即an≤ξ≤bn,n=12,,…(2)聚点定理:实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点.(3)有限覆盖定理:设H为闭区间[ab,]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[ab,.](4)确界原理:设S为非空数集,若S有上(下)界,则S有上(下)确界.(5)单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极限.(6)柯西收敛准则:数列｛an｝收敛的充要条件是:对任给的ε0,存在正整数N,使得当m,nN时有|an-am|0,使得S?[-M,M],记[a1b,1]=[-M,M].现将[a1,b1]等分为两个区间.因S为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点...&
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闭区间套定理是数学分析中的一个基本定理,也是一个刻划实数连续性的等价命题,在数学中最突出的应用是证明闭区间上连续函数的三大性质:介值定理、最大值定理、一致连续性定理。它常常把某区间上满足的性质采用对分归结为某点的局部性质,这种方法简单有效,因而引起人们研究的兴趣。定理1(闭区间套定理)[1]设有闭区间列｛[an,bn]｝.若(1)[a1,b1]?[a2,b2]?…?[an,bn]?…(2)limn→∞(bn-an)=0,则存在唯一数l属于所有的闭区间(即∩∞n=1[an,bn]=l),且limn→∞an=limn→∞bn=l.考虑到若闭区间套[an,bn]?[a,b],n=1,2,…,则可通过线性变换y=1b-a(x-a)将数据转换到[0,1]区间上,因此本文仅考虑[0,1]区间上的闭区间套定理的随机模拟。随机样本的产生过程如下:令x1=0;从[0,1]随机抽取一个样本,记为x2;从[x1,x2]上均匀抽取一个样本,记为x3;从...&
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闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。一、闭区间套定理在数学教学中的应用闭区间套定理:若有闭区间列｛[an,bn]｝,且对任意n都有下列条件:①[an,bn]![an+1,bn+1]②limn→∞(an-bn)=0,则存在唯一的数l属于任意一个闭区间[an,bn],且limn→∞=nl→im∞bn=l闭区间套定理应用在数学教学中,可以证明零点定理等。在零点定理证明过程中,我们先构造闭区间列[an,bn],且满足闭区间套定理条件[an,bn]![an+1,bn+1]。假定区间两端点的函数值中是相反的,可以得到一系列的函数值f(a1),(f a2),f(a3),…,(f an),…(f bn)…,(f b2),(b1)。假设(f x)是单调增加的,有(f a1)≤(f a2)≤…≤(f an)≤…≤(f bn)≤…≤(f b2)≤...&
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实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性,实数系R的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理定义1(闭区间套定义)设闭区间列｛[an,bn]｝具有如下的性质:(1)｛[an,bn]｝劢[an+1,bn+1],n=1,2,…(2)lim(bn-an)=0则称｛[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。定理1(闭区间套定理)若｛[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=1,2,…即an≤ξ≤bn,n=1,2,…且nli→m∞an=nli→m∞bn=ξ.二、举例说明闭区间套定理的应用例1(.有界性定理)若函数(fx)在闭区间[a,b]上连续,则(fx)在[a,b]上有界.证明:假设(fx)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性...&
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引言闭区间套定理本身是由一个闭区间套{In}确定的唯一的点ξ∈∩∞n=1In.粗略地说,如果一切In都具有某种共同性质P,则由于ξ的任意性有In(n≥k),所以ξ的局部具有性质P,简单地说这个定理可以把整体性质收缩到局部——某点的邻域,利用闭区间套定理证明问题时要注意这一点.闭区间套定理的几何意义:有一列闭线段(两个端点也属于此线段)后者被包含在前者之中,并且由这些闭线段的长构成的数列以0为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点.一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理定义1设闭区间列{(an,bn)}具有如下的性质:①{(an,bn)}?[an+1,bn+1],n=1,2,…;②lim(bn-an)=0,则称{(an,bn)}为闭区间套,或简称区间套.定理(1)(闭区间套定理)若{(an,bn)}是一个区间套,则在实数系中存在唯一点ξ,使得ξ∈(an,bn),n=1,2,…,即an≤ξ≤bn,n=1,2,…,且limn→∞an=li...&
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在实际问题中精确解往往求不出来,但是可以求高精度逼近的近似解,而闭区间套定理的本质体现了逐步逼近的思想,定理中所有闭区间套的交点实际上是问题的精确解,闭区间套就是不断在逼近解的区间,最后区间长度趋于零,问题的解得到.在教学过程中,特别强调用闭区间套定理逐步逼近的思想方法证明一些理论问题和解决应用问题,下面详细阐述我们的教学实践.1闭区间套定理定理1(闭区间套定理)[1]设In=[an,bn](n=1,2,…)为闭区间序列,满足I1?I2?…?In?…,limn→∞｜In｜=limn→∞(bn-an)=0,则称此闭区间序列形成一个闭区间套,且存在唯一点ξ满足ξ∈∩∞i=1Ii.定理2(闭区域套定理)[2]设Ek(k=1,2,…)是瓗n中的非空闭集,且满足Ek+1?Ek(k=1,2,…),limk→∞dk=0,其中dk=supX,Y∈Ek‖X-Y‖(k=1,2,…),则瓗n存在唯一点A,满足∩∞k=1Ek=A.2闭区间套定理的应用定...&
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实数的完备性
由有限覆盖定理知：?In?中存在有限个区间，不妨设为I1,I2,?,Ik，它们也覆盖了[0,1]. 将这些区间的端点从小到大排成一列，相同的点只取其一，不妨设为 c1?c2???cm， 其中m?2k. 令??min?ci?1?ci,i?1,2,?,m?1??0，则当x?,x???[0,1],x??x????时，必存在Ij,1?j?k，使得x?,x???Ij. 例20（天津大学1999）利用确界原理证明：若实数列?xn?单调递减有下界，则?xn?必收敛，且limxn?inf?xn?. n??n证
记S?xnn?1,2,?，则数集S有下界，由确界原理，S有下确界，记之为a，下证：limxn?a. n????事实上，a为S的下确界，则xn?a,n?1，且???0,?xN?S，使得xN?a??，再由单减性假设知，当n?N时，有 xn?xN?a??， 从而当n?N时，有 xn?a??， 即limxn?a. n??例21（四川大学）用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则至少存在一点c?(a,b)，使得f(c)?0. ?x?(a,b),??x?0，证
用反证法。假设f(x)?0,?x?(a,b)，则由函数的连续性知：U(x,?x)x?[a,b]?，则H为[a,b]的一f(x)在U(x,?x)?[a,b]上恒正或恒负，令H??个开覆盖，由有限覆盖定理知存在有限子覆盖，不妨设为U(xi,?i),i?1,2,?,k，并且可设xi彼此不同（若xi,xj相同，则只保留较大的领域，它们同样覆盖[a,b]），这样可把xi从小到大重心排列，不失一般性，设x1?x2???xk，于是，a?U(x1,?1)，这样，f(x)在U(x1,?1)?[a,b]上与f(a)同号。又U(x2,?2)?U(x1,?1)??，所以，f(x)在U(x2,?2)与f(a)同号，依次类推，f(x)在这k个领域内都与f(a)同号，而f(b)?U(xk,?k)，即得f(b)与f(a)同号，矛盾，因此，至少存在一点c?(a,b)，使得f(c)?0. 例22（厦门大学2002）设函数f(x)在有限区间I上有定义，满足：?x?I,???0,使得f(x)在U(x,?)内有界。 （1） 证明：当I?[a,b]时，f(x)在I上有界； （2） 当I?(a,b)时，f(x)在I上一定有界吗？ 证（1）由有限覆盖定理立明。 （2）不一定。如函数f(x)?1在(0,1)满足假设，但f(x)在(0,1)上无界。 x例23（华中师大）用闭区间套定理证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。 证
用反证法。假设f(x)在[a,b]上无界，将区间[a,b]等分为二，则f(x)至少在其中 11 一个半区间上无界，记这样的区间为[a1,b1]（若f(x)在两个半区间上都无界，任选其一），将[a1,b1]等分为二，则f(x)至少在其中一个半区间上无界，记这样的区间为[a2,b2]，如此下去得一区间套?[an,bn]?，f(x)在每一个区间上都是无界的。由区间套定理，???[an,bn]，n?1. 又f(x)在?连续，则f(x)在?的某领域U(?)内有界，而当n充分大时，[an,bn]?U(?)，这与[an,bn]的构造矛盾，因此f(x)在[a,b]上有界。 例24 设?xn?单调数列。若?xn?存在聚点，则必是唯一的，且为?xn?的确界。 证 不妨设?xn?是单增的。 若?xn?无界，则limxn???，于是，?A?R,?N?0, 当n?N时，有xn?A?2.n??这样，领域U(A,1)内至多含有?xn?中有限项，因此A不是?xn?的聚点，由A的任意性知?xn?没有聚点，这与假设条件矛盾，因此?xn?为有界数列，由单调有界定理知： limxn?sup?xn?， n??n设?是?xn?的一个聚点，则?xn?必存在一个子列收敛于?，由海涅定理知 ??sup?xn?，此n说明聚点若存在，则必是唯一的，且为?xn?的确界。 例25 设函数f在[a,b]上递增，满足 f(a)?a,f(b)?b， 证明：?x0?[a,b]，使得f(x0)?x0. 证
若 f(a)?a 或 f(b)?b，则命题已成立，故可设f(a)?a,f(b)?b. 记[a1,b1]?[a,b],c1?12(a1?b1). 若f(c1?c1)，则已得证；若f(c1)?c1，则取[a2,b2]?[a1,c1]；若f(c1)?c1，则取[a2,b2]?[c1,b1]. 按此方法继续下去，可得一区间套?[an,bn]?. 若在此过程中某一[an,bn]的中点cn，使得f(cn)?cn，则命题已成立，否则有： f(an)?an,f(bn)?bn,n?1,2,?.
（1） 由区间套定理，?x0?[an,bn],n?1,2,?. 下证：f(x0)?x0. 倘若f(x0)?x0，则由?bn?递减趋于x0和极限的保序性得：bn?f(x0)，而bn?x0，由f的递增性得f(bn)?f(x0)?bn，这与（1）式矛盾. 类似可证f(x0)?x0时也矛盾，故命题成立. 例26（北京师大2003）设??sup?f(x)a?x?b?. 证明：存在a?xn?b，使得limf(xn)??. n???1?1???n?0,?xn?[a,b]，??n?f(xn)??,n?1,2,?.证 由上确界定义，满足：由此立得limf(xn)??. n??例27（北京大学、云南大学）设?fn(x)?是(a,b)上的连续函数列，并且?x0?(a,b)，数列?fn(x0)?都是有界的. 证明：?fn(x)?在(a,b)的某一非空子区间上一致有界 证
反证法. 假设?fn(x)?在(a,b)内任何非空子集上非一致有界，则?x1?(a,b)， 12 ?有fn(x1)?1. 又fn连续，根据连续函数的保号性知，存在?1?(a,b)，?1为?n1?Z，11闭子区间，有 fn1(x)?1,x??1. ?fn(x)?在?1上非一致有界，所以存在x2???1，n2?Z，n2?n1，有fn2(x2)?2，由保号性知，存在?2??1，?2为闭子区间，且限定?2的长度不超过?1长度的一半，有 fn2(x)?2,x??2. 如此下去得一闭区间套： ?1??2????n??， 在?k上，fnk(x)?k,k?1,2,?.
由闭区间套定理得，?x0??k,k?1,2,?.从而有 fnk(x0)?k,k?1,2,? 这与?fn(x0)?有界矛盾，故结论成立. 练习题5 1（安徽大学2002）叙述数列收敛的柯西收敛原理，并证明之。 2（上海交大1998）判断：若数列的任一子列都存在收敛子列，则数列必收敛。 3（华东化工学院1997）叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。 4（首都师大2000）用闭区间套定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 5（首都师大2001）用致密性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 6（首都师大2004）用实数连续性定理证明：闭区间上连续函数一定有界。 7（北方交通大学2003）利用单调有界定理证明：非空有上界数集一定有上确界。 8（北方交通大学2004）证明：闭区间上连续函数一定有界。 9（中国矿业大学1998）利用区间套定理证明聚点定理。 10（中国矿业大学1999，）利用区间套定理证明有限覆盖定理，并举例说明当闭区间换成开区间时结论不成立。 11（中国矿业大学2000）利用致密性定理证明数列的柯西收敛准则。 12（中国矿业大学2001）叙述有限覆盖定理，并用之证明：闭区间上连续函数必一致连续。 13（中国矿业大学2002）利用区间套定理证明有限覆盖定理。 14（中国矿业大学北京研究生部2001）利用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续。 15（广西大学2002）叙述确界原理和聚点定理。试举例说明：在有理数集内，确界原理和聚点定理一般不成立。 16（西北大学）（1）利用确界原理证明连续函数零点定理； （2）利用有限覆盖定理证明致密性定理。 17（四川大学）利用有限覆盖定理证明连续函数的零点定理。 18（华中师大2000）用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理。
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