正确教育旗下网站
网校：8299所
24小时更新：2562
总量：5734354

2017届高三名校试题解析系列数学（文）试题金卷10套：河北省衡水中学201届高三上学期第三次调研考试文数试题解析（解析版）
2017届高三名校试题解析系列数学（文）试题金卷10套：河北省衡水中学201届高三上学期第三次调研考试文数试题解析（解析版）
资料类别：
所属学科：
适用地区：
所属版本：通用
资料类型：暂无
下载扣点：2点
上传时间： 15:24:59
下载量：71次
文档大小：1.55M
所属资料：
文档预览文档简介为自动调取，可能会显示内容不完整，请您查看完整文档内容。
预览已结束，如需查看所有内容，请下载资料！
对不起，此页暂时无法预览！
官方微信公共账号
资源库-微信公众号当前位置： >>
考研数学二历年真题()及答案详解
数学二历年考研试题及答案详解（）数学二历年考试试题及答案详解 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要 求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1)曲线 y ?x2 ? x 的渐近线条数 x2 ? 1 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3)()(2) 设函数 f ( x) ? (e x ? 1)(e2 x ? 2)?(enx ? n) ，其中 n 为正整数,则 f ?(0) ? ( (A) (?1)n ?1(n ? 1)!(B) (?1) (n ? 1)!n(C) (?1)n ?1n ! (D) ( ?1) n n !(3) 设 an ? 0 (n ? 1,2,3?),Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ，则数列 ? S n ? 有界是数列 ?an ? 收敛的( )(A) 充分必要条件(B) 充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设 I k ? ? e x sin xdx,(k ? 1,2,3), 则有2k?0( (A) I1 ? I 2 ? I3 (B) I3 ? I 2 ? I1 (C) I 2 ? I3 ? I1 (D) I 2 ? I1 ? I 3)(5) 设 函 数 f ( x, y）为 可 微 函 数 ， 且 对 任 意 的 x, y 都 有?( x , y ) ? (x ,y ) ?0, ? 0, 使不等式 则 ?x ?yf ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) 成立的一个充分条件是( (A) x1 ? x2 , y1 ? y2 (B) x1 ? x2 , y1 ? y2 (C) )x1 ? x2 , y1 ? y2(D) x1 ? x2 , y1 ? y2(6) 设区域 D 由曲线 y ? sin x, x ? ??2, y ? 1 围成，则 ?? ( x5 y ? 1)dxdy ?D( (A) ? (B) 2 (C) -2 (D) - ?)1数学二历年考研试题及答案详解（）?0? ?0? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? (7) 设 α1 ? ? 0 ? , α 2 ? ? 1 ? , α 3 ? ? ?1? , α 4 ? ? 1 ? ,其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数，则下列向量组 ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4?线性相关的为 (A) α1 , α 2 , α3 (B) α1 , α 2 , α 4 (C) α1 , α3 , α 4 (D) α 2 , α3 , α 4 ( )?1 0 0? ? ? (8) 设 A 为 3 阶 矩 阵 ， P 为 3 阶 可 逆 矩 阵 ， 且 P AP ? ? 0 1 0 ? . 若 P ? ? α1 , α 2 , α 3 ? ， ?0 0 2? ? ??1Q ? ? α1 ? α 2 , α 2 , α3 ? 则 Q ?1 AQ ? ()?1 0 0? ? ? (A) ? 0 2 0 ? (B) ?0 0 1? ? ??1 0 0? ? ? ? 0 1 0 ? (C) ?0 0 2? ? ??2 0 0? ? 2 0 0? ? ? ? ? ? 0 1 0 ? (D) ? 0 2 0 ? ?0 0 2? ?0 0 1? ? ? ? ?二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． (9) 设 y ? y( x) 是由方程 x2 ? y ? 1 ? e y 所确定的隐函数，则 (10) lim n ?n ??d2y dx 2x ?0?.1 1 ? ? 1 ? 2 ?? ? 2 ?? 2 2 2 ?n n ? n2 ? . ? 1? n(11) 设 z ? f ? ln x ?? ?1? ?z 2 ?z ?. ? , 其中函数 f ? u ? 可微，则 x ? y y? ?x ?y2 (12) 微分方程 ydx ? x ? 3 y dy ? 0 满足条件 y??x ?1? 1 的解为 y ? .(13) 曲线 y ? x ? x ? x ? 0 ? 上曲率为22 的点的坐标是. 2* * (14) 设 A 为3阶矩阵， A =3 ， A 为 A 伴随矩阵，若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ，则 BA ? .三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 ．．． 程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)2数学二历年考研试题及答案详解（）已知函数 f ? x ? ? (I)求 a 的值;1? x 1 ? ，记 a ? lim f ? x ? ， x ?0 sin x xk(II)若 x ? 0 时， f ? x ? ? a 与 x 是同阶无穷小，求常数 k 的值. (16)(本题满分 10 分) 求函数 f ? x, y ? ? xe? x2 ? y 2 2的极值.(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ? lnx 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成, 求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分?? xyd? ，其中区域 D 为曲线 r ? 1 ? cos? ? 0 ? ? ? ? ? 与极轴围成.D(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) 满足方程 f ??( x) ? f ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 及 f ??( x) ? f ( x) ? 2e x , (I) 求 f ( x) 的表达式; (II) 求曲线 y ? f ( x2 )? f (?t 2 )dt 的拐点.0 x(20)(本题满分 10 分)1? x x2 , (?1 ? x ? 1) . ? cos x ? 1 ? 1? x 2 (21)(本题满分 10 分)证明 x ln (I)证明方程 xn +xn-1 ? ? ? x ? 1 n ? 1的整数 ，在区间 ? (II)记(I)中的实根为 xn ，证明 lim xn 存在，并求此极限.n ?????1 ? ,1? 内有且仅有一个实根； ?2 ?(22)(本题满分 11 分)?1 ? 0 设A?? ?0 ? ?aa 0 0? ? 1? ? ? ? 1 a 0? ?1 ，? ?? ? ? 0? 0 1 a? ? ? ? 0 0 1? ? 0? (I) 计算行列式 A ； (II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax ? ? 有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分 11 分)3数学二历年考研试题及答案详解（）?1 ? 0 已知 A ? ? ? ?1 ? ?01? ? 1 1? ，二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? xT ? AT A ? x 的秩为 2， 0 a? ? a ?1 ? 0(I) 求实数 a 的值； (II) 求正交变换 x ? Qy 将 f 化为标准形. 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、 选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．． （1）已知当 x ? 0 时，函数 f ( x) ? 3sin x ? sin 3x 与 cx k 是等价无穷小，则（ （A） k ? 1, c ? 4 （C） k ? 3, c ? 4 （B） k ? 1, c ? ?4 （D） k ? 3, c ? ?4 ）（2）设函数 f (x) 在 x ? 0 处可导，且 f (0) ? 0 ，则 lim （A） ? 2 f ?(0) （B） ? f ?(0)x ?0x 2 f ( x) ? 2 f ( x 3 ) ?（ x3（D） 0）（C） f ?(0) ）（3）函数 f ( x) ? ln ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 的驻点个数为（ （A）02（B）1?x（C）2 ）?x（D）3（4）微分方程 y?? ? ? y ? e （A） a(e?x? e ? ?x (? ? 0) 的特解形式为（（B） ax(e2? e ? ?x ) ? be??x )? e ? ?x )?x（C） x(ae?x（D） x (ae? be??x )（5）设函数 f (x) ， g (x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) ? 0 ， g (0) ? 0 ， f ?(0) ? g ?(0) ? 0 则函 数 z ? f ( x) g ( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（ （A） f ??(0) ? 0 ， g ??(0) ? 0 ）（B） f ??(0) ? 0 ， g ??(0) ? 04数学二历年考研试题及答案详解（）（C） f ??(0) ? 0 ， g ??(0) ? 0 （6） I ? 设（D） f ??(0) ? 0 ， g ??(0) ? 0???4 0则 （ ln s xdx ，J ? ? ln cot xdx ，K ? ? 4 ln cos xdx ， I ，J ，K 的大小关系为 n i4 0 0?）（A） I ? J ? K （C） J ? I ? K（B） I ? K ? J （D） K ? J ? I（7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? 阵。记 P ? ? 1 1 0 ? ， P2 ? ? 0 0 1 ? ，则 A =（ 1 ?0 0 1? ?0 1 0? ? ? ? ?（A） P1 P2 （B） P P2 1?1）（C） P2 P1（D） P2 P 1T?1,0, （8）设 A ? (?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵。若 (1　1,0) 是方程组 Ax ? 0 的一个基础解系，则 A* x ? 0 的基础解系可为（ （A） ? 1 , ? 3 ） （D） ? 2 ,? 3 ,? 4（B） ?1 ,? 2 （C） ?1 ,? 2 ,? 3二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．?1? 2x （9） lim ? x ?0 ? ? 2?x ? ?。 ? ?' ?x1（10）微分方程 y ? y ? e （11）曲线 y ?xcos x 满足条件 y(0) ? 0 的解为 y ? 。? tantdt (0 ? x ? 4 ) 的弧长 s ? 。0??? ??e ? kx , x ? 0, （12）设函数 f ( x ) ? ? ? ? 0 ，则 ? xf ( x)dx ? 。 ?? x ? 0, ?0,（13）设平面区域 D 由直线 y ? x ，圆 x ? y ? 2 y 及 y 轴所围成，则二重积分2 2?? xyd? ? 。D2 2 2 （14）二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? 3x2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3 ，则 f 的正惯性指数为。三、解答题：15～23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．． 证明过程或演算步骤。5数学二历年考研试题及答案详解（）（15） （本题满分 10 分）? 已知函数 F ( x ) ?（16） （本题满分 11 分）x0ln(1 ? t 2 ) dt x?，设 lim F ( x) ? lim? F ( x) ? 0 ，试求 ? 的取值范围。x ? ?? x ?01 3 1 ? ?x ? 3 t ? t ? 3 , ? 设函数 y ? y(x) 由参数方程 ? 确定，求 y ? y(x) 的极值和曲线 y ? y(x) 的 1 3 1 ?y ? t ? t ? ? 3 3 ?凹凸区间及拐点。 （17） （本题满分 9 分） 设函数 z ? f ( xy, yg( x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g (x) 可导且在 x ? 1 处取 得极值 g (1) ? 1，求?2z ?x?y。x ?1, y ?1（18） （本题满分 10 分） 设函数 y (x ) 具有二阶导数，且曲线 l : y ? y ( x) 与直线 y ? x 相切于原点，记 ? 为曲线 l 在点( x, y ) 处切线的倾角，若d? dy ，求 y (x ) 的表达式。 ? dx dx（19） （本题满分 10 分） （I）证明：对任意的正整数 n ，都有 （II）设 an ? 1 ?1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? 成立。 n ?1 ? n? n1 1 ? ? ? ? ln n(n ? 1,2,?) ，证明数列 ?a n ? 收敛。 2 n（20） （本题满分 11 分） 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 ? y 2 ? 2 y ( y ?1 )与 21 x 2 ? y 2 ? 1( y ? ) 连接而成。 26数学二历年考研试题及答案详解（）（I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位： m ，重力加速度为 g m s ，水的密度为 10 kg m ）2 3 3（21） （本题满分 11 分） 已知函数 f ( x, y ) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y ) ? 0 ， f ( x,1) ? 0 ， 其中 D ? ( x, y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ，计算二重积分 I ??? f ( x, y)dxdy ? a ，D???? xyf ?? ( x, y)dxdy 。xy D（22） （本题满分 11 分） 设 向 量 组 ?1 ? (1,0,1) ， ? 2 ? (0,1,1) ， ? 3 ? (1,3,5) T 不 能 由 向 量 组 ?1 ? (1,1,1) ，T T T? 2 ? (1,2,3)T ， ?3 ? (3,4, a)T 线性表示。（I）求 a 的值； （II）将 ?1 , ? 2 , ? 3 用 ?1 ,? 2 ,? 3 线性表示。（23） （本题满分 11 分）?1 1 ? ? ? 1 1 ? ? ? ? ? 0? ? ?0 0? 。 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A ? 0 ? ? 1 1 ? ?1 1 ? ? ? ? ?（I）求 A 的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵 A 。2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一选择题x2 ? x 1 1 ? 2 的无穷间断点的个数为 (1) 函数f ( x) ? 2 x ?1 xA0 B1 C2 D3 2.设 y1 , y2 是一阶线性非齐次微分方程 y? ? p( x) y ? q( x) 的两个特解， 若常数 ? , ? 使 ?y1 ? ?y2 是该7数学二历年考研试题及答案详解（）方程的解， ?y1 ? ?y2 是该方程对应的齐次方程的解，则1 1 ,? ? 2 2 2 1 C? ? ,? ? 3 3A? ?21 1 ,? ? ? 2 2 2 2 D? ? ,? ? 3 3B? ? ?(1) 曲线y ? x 与曲线y ? a ln x(a ? 0)相切，则a ? A4e B3e C2e De4.设 m, n 为正整数,则反常积分?1mln 2 (1 ? x)n0xdx 的收敛性A 仅与 m 取值有关 B 仅与 n 取值有关 C 与 m, n 取值都有关 D 与 m, n 取值都无关 5.设函数 z ? z ( x, y ) 由方程 F ( , ) ? 0 确定,其中 F 为可微函数,且 F2? ? 0, 则 x Axn ny z x x?z ?z ?y = ?x ?yB z C ?xD ?z =6.(4) limx ???? (n ? i)(ni ?1 j ?1xn2? j2 )A? dx ?0101 x 1 1 dy B ? dx ? dy 2 0 0 (1 ? x )(1 ? y ) (1 ? x)(1 ? y )C?10dx ?1 dy 0 (1 ? x )(1 ? y )1D?10dx ?101 dy (1 ? x)(1 ? y 2 )? 7.设向量组 I : ?1 , ? 2 ,?，? r可由向量组 II：?1，? 2， ，? s 线性表示 ，下列命题正确的是：A 若向量组 I 线性无关，则 r ? s C 若向量组 II 线性无关，则 r ? s B 若向量组 I 线性相关，则 r&s D 若向量组 II 线性相关，则 r&s?1 ? ? ? 1 2 ? ? (A) 设 A 为 4 阶 对 称 矩 阵 , 且 A ? A ? 0, 若 A 的 秩 为 3, 则 A 相 似 于 A ? ? 1 ? ? 0? ?8数学二历年考研试题及答案详解（）? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ?C? B ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 0? 0? ? ?二填空题? ?1 ? ? ? ?1 ? ? D ? ?1 ? ? ? 0? ?9.3 阶常系数线性齐次微分方程 y??? ? 2 y?? ? y? ? 2 y ? 0 的通解 y=__________2 x3 10.曲线 y ? 2 的渐近线方程为_______________ x ?111.函数 y ? ln(1 ? 2 x)在x ? 0处的n阶导数y?(n)(0) ? ___________ 12. 当0 ? ? ? ?时，对数螺线r ? e 的弧长为 __________13.已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加， w 以 3cm/s 的速率增加， 宽 则当 l=12cm,w=5cm 时， 它的对角线增加的速率为___________?1 ?1 14.设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A ? 3, B ? 2, A ? B ? 2, 则 A ? B ? __________三解答题 15. 求函数f ( x) ? 16.(1)比较 (2)记 un ??x21( x 2 ? t )e?t dt的单调区间与极值。2??101ln t [ln(1 ? t )]n dt 与 ? t n ln t dt (n ? 1, 2,?) 的大小,说明理由.010ln t [ln(1 ? t )]n dt (n ? 1, 2,?), 求极限 lim un .x ??设函数 y=f(x)由参数方程 17. 2? x ? 2t ? t , 5 (t ? ?1)所确定，其中? (t )具有2阶导数，且? (1) ? ， ? 2 ? y ? ? (t ), d2y 3 ? ?(1) ? 6，已知 2 ? , 求函数? (t )。 dx 4(1 ? t )18.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油3 b 面高度为 2 时，计算油的质量。（长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为?kg / m3）9数学二历年考研试题及答案详解（）19.设函数u ? f ( x, y )具有二阶连续偏导数，且满足等式4? 2u ? 2u ? 2u ? 12 ? 5 2 ? 0. ?x 2 ?x?y ?y ? 2u ?0 ????确定a, b的值，使等式在变换? ? x ? ay,? ? x ? by下简化计算二重积分I ? ?? r 2 sin ? 1 ? r 2 cos 2? drd? , 其中D ? (r ,? ) 0 ? r ? sec? ,0 ? ? ? }. ｛ 4 20. D1 21.设 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 ， 在 开 区 间 (0,1) 内 可 导 ， 且 f(0)=0,f(1)= 3 , 证 明 ： 存 在?? ? (0, ),? ? ( ,1), 使得f ?(? ) ? f ?(? ) ? ? 2 ? ? 2 .22.1 21 21 ?? ? 设A ? ? 0 ? ? 1 ?1 1 ? （ ）求?、a. 11? ?a? ? ? ? 0 ?, b ? ? 1 ?. 已知线性方程组Ax ? b存在2个不同的解。 ? ?1? ?? ? ?23. 设(2)求方程组Ax ? b的通解。? 0 ?1 4 ? ? ? 1 (1,2,1)T ，求 a、Q. A ? ? ? 1 3 a ? ，正交矩阵 Q 使得 QT AQ 为对角矩阵，若 Q 的第一列为 6 ? 4 a 0? ? ?2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 f ? x ? ?x ? x3 的可去间断点的个数，则（） sin nx? A? 1.? B ? 2.? C ? 3.? D ? 无穷多个.10数学二历年考研试题及答案详解（）（2）当 x ? 0 时， f ? x ? ? x ? sin ax 与 g ? x ? ? x ln ?1 ? bx ? 是等价无穷小，则（）2? A? a ? 1, b ? ?1 . 6? B ? a ? 1, b ?1 . 6? C ? a ? ?1, b ? ?1 1 . ? D ? a ? ?1, b ? . 6 6（3）设函数 z ? f ? x, y ? 的全微分为 dz ? xdx ? ydy ，则点 ? 0, 0 ? （）? A? 不是 f ? x, y ? 的连续点. ? C ? 是 f ? x, y ? 的极大值点.（4）设函数 f ? x, y ? 连续，则? B ? 不是 f ? x, y ? 的极值点. ? D ? 是 f ? x, y ? 的极小值点.dx ? f ? x, y ?dy ? ? dy ?2 2 x 1 4? y y?21f ? x, y ? dx ? （）? A? ?1 dx?12 24? xf ? x, y ?dy . f ? x, y ?dx .? B ? ?1 dx?x224? xf ? x, y ?dy .? C ? ?1 dy ?1内（）4? y? D ? . ?1 dy ?y f ? x, y ?dx22 2 （5） f ?? ? x ? 不变号， 若 且曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,1? 上的曲率圆为 x ? y ? 2 ， f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 则? A? 有极值点，无零点. ? B ? 无极值点，有零点. ? C ? 有极值点，有零点. ? D ? 无极值点，无零点.（6）设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上的图形为：f ( x)O 0 -1x-2 则函数 F ? x ? ?123x? f ?t ? dt 的图形为（）011数学二历年考研试题及答案详解（）f ( x)1 0 -1f ( x)1-2123x-20 -1123x? A? .? B? .f ( x)1 0f ( x)1-1123x-20 -1123x?C ? .?D?.B （7）设 A 、 B 均为 2 阶矩阵， A*，B* 分别为 A 、 B 的伴随矩阵。若 A =2， =3 ，则分块矩阵?0 ? ?B A? ? 的伴随矩阵为（） 0?? 0 3B* ? A? . ? * ? ? 0 ? ? 2A? 0 ? B? . ? * ? 3A2B* ? ? 0 ? 2A* ? ? 0 ?T?C ? . ?? 0 ? 2B*3A* ? ? 0 ??D?.?? 0 ? 3B*?1 0 0? ? ? T （8）设 A，P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P AP= ? 0 1 0 ? ，若 ?0 0 2? ? ?P=（?1，?2，?3），Q=（?1 +?2，?2，?3） QT AQ 为（） ，则12数学二历年考研试题及答案详解（）?2 1 0? ? A? . ? 1 1 0 ? ? ? ?0 0 2? ? ? ?2 0 0? ?C ? . ? 0 1 0 ? ? ? ?0 0 2? ? ??1 1 0? ? B? . ? 1 2 0 ? ? ? ?0 0 2? ? ? ?1 0 0? ?D?.?0 2 0? ? ? ?0 0 2? ? ?二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.1-t ? u 2 ? ? x= ? e du （9）曲线 ? 在 处的切线方程为 0 （0，0） ? y ? t 2 ln(2 ? t 2 ) ?（10）已知? ??e+?kxdx ? 1 ,则 k ?（11） lim1 ?x e sin nxdx ? n ?? ? 0yd2 y （12）设 y ? y ( x) 是由方程 xy ? e ? x ? 1 确定的隐函数，则 2 dxx=0=1? （13）函数 y ? x 在区间 ? 0， 上的最小值为2x?2 0 0? ? ? T (14)设 ?，? 为 3 维列向量， ? 为 ? 的转置，若矩阵 ?? 相似于 ? 0 0 0 ? ，则 ? ? = ?0 0 0? ? ?T T三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. （15） （本题满分 9 分）求极限 limx ?0?1 ? cos x ? ? x ? ln(1 ? tan x)?sin 4 x（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 ??1? x )dx ( x ? 0) x13数学二历年考研试题及答案详解（）（17） （本题满分 10 分）设 z ? f ? x ? y, x ? y, xy ? ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与?2 z ?x?y（18） （本题满分 10 分） 设非负函数 y ? y ? x? ? ? x ? 0 ? 满足微分方程 xy?? ? y? ? 2 ? 0 ，当曲线 y ? y ? x? ? 过原点时，其与直 线 x ? 1 及 y ? 0 围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。（19） （本题满分 10 分）求二重积分 其中 D ??? ? x ? y ? dxdy ，D?? x, y ? ? x ?1? ? ? y ?1?22? 2, y ? x?（20） （本题满分 12 分） 设 y ? y ( x) 是区间 -?，?） （内过 （?的光滑曲线，当 -? ? x ? 0 时，曲线上任一点处的法 ， ） 2 2?线都过原点，当 0 ? x ? ? 时，函数 y ( x ) 满足 y?? ? y ? x ? 0 。求 y ( x ) 的表达式（21） （本题满分 11 分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续，在 ? a, b ? 可导，则存在 ? ? ? a, b ? ， 使得 f ? b ? ? f ? a ? ? f ? ?? ?? b ? a ? （Ⅱ）证明：若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续，在 ? 0, ? ??? ? 0 ? 内 可导，且 lim f ? ? x ? ? A ，则 f ?? ? 0 ? 存在，且 f ?? ? 0 ? ? A 。 ?x ?0? 1 ?1 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ， ?1 ? ? 1 ? （22） （本题满分 11 分）设 A ? ? ?1 1 ? 0 ?4 ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 （Ⅰ）求满足 A? 2 ? ?1 , A ?3 ? ?1 的所有向量 ? 2 , ? 3（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ? 2 , ? 3 ，证明： ?1 , ? 2 , ?3 线性无关。14数学二历年考研试题及答案详解（）（23） （本题满分 11 分）设二次型 f ? x1 , x2 , x3 ? ? ax1 ? ax2 ? ? a ? 1? x3 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x32 2 2（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；2 （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y12 ? y2 ，求 a 的值。2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 f ( x) ? x ( x ?1)( x ? 2) ，则 f ( x ) 的零点个数为（2 '）? A? 0? B ? 1.?C ? 2 ? D ? 3（2）曲线方程为 y ? f ( x) 函数在区间 [0, a] 上有连续导数，则定积分?a0af t ( x)dx （）? A? 曲边梯形 ABOD 面积. ? B ? 梯形 ABOD 面积. ? C ? 曲边三角形 ACD 面积. ? D ? 三角形 ACD 面积.x （3）在下列微分方程中，以 y ? C1e ? C2 cos 2 x ? C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 为任意常数）为通解的是（）? A? ?C ?y ''' ? y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0 y ''' ? y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0? B?y ''' ? y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0? D ? y ''' ? y '' ? 4 y ' ? 4 y ? 0）（5）设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界， ? xn ? 为数列，下列命题正确的是（? A? 若 ? xn ? 收敛，则 ? f ( xn )? 收敛. ? B ? 若 ? xn ? 单调，则 ? f ( xn )? 收敛. ? C ? 若 ? f ( xn )? 收敛，则 ? xn ? 收敛. ? D ? 若 ? f ( xn )? 单调，则 ? xn ? 收敛.15数学二历年考研试题及答案详解（）（6）设函数 f 连续，若 F (u , v ) ???Duvf ( x2 ? y 2 ) x ?y2 2dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则?F ? ?u? A? vf (u 2 ) ? C ? vf (u) ?D?? B?v f (u 2 ) uv f (u ) u）（7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 ? 0 ，则（? A? E ? A 不可逆， E ? A 不可逆. ? B ? E ? A 不可逆， E ? A 可逆. ? C ? E ? A 可逆， E ? A 可逆.（8）设 A ? ?? D ? E ? A 可逆， E ? A 不可逆.）?1 2? ? ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ?2 1?? A? ?? ?2 1 ? ?. ? 1 ?2 ? ?2 1? ?. ?1 2?? B? ? ?D? ?? 2 ?1? ?. ? ?1 2 ??C ? ?? 1 ?2 ? ?. ? ?2 1 ?二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数 f ( x) 连续，且 limx ?02 ?x1 ? cos[ xf ( x)] (e x ? 1) f ( x)2? 1 ，则 f (0) ? ____ .（10）微分方程 ( y ? x e )dx ? xdy ? 0 的通解是 y ? ____ . （11）曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? . （12）曲线 y ? ( x ? 5) x 3 的拐点坐标为______.2?z ? y ?y （13）设 z ? ? ? ，则 ?x ?x?x(1,2)? ____ .（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, ? .若行列式 2 A ? ?48 ，则 ? ? ___ . 三、解答题：15－23 题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程16数学二历年考研试题及答案详解（）或演算步骤. (15)（本题满分 9 分）求极限 lim?sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? . 4 x ?0 x(16)（本题满分 10 分）? dx ?x x ? x(t ) ? ? ? ? 2te ? 0 2 设函数 y ? y ( x) 由参数方程 ? 确定，其中 x (t ) 是初值问题 ? dt 的 t y ? ? ln(1 ? u )du ? x t ?0 ? 0 ? 0 ? ?解.求?2 y . ?x 2(17)（本题满分 9 分）求积分?1x arcsin x 1 ? x20dx .(18)（本题满分 11 分） 求二重积分?? max( xy,1)dxdy, 其中 D ? {( x, y) 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2}D(19)（本题满分 11 分） 设 f ( x) 是区间 ? 0, ?? ? 上具有连续导数的单调增加函数，且 f (0) ? 1 .对任意的 t ? ? 0, ?? ? ， 直线 x ? 0, x ? t ，曲线 y ? f ( x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋 转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x) 的表达式.(20)（本题满分 11 分） (1) 证明积分中值定理：若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则至少存在一点? ? [a, b] ，使得?baf ( x)dx ? f (? )(b ? a) (2)若函数 ? ( x) 具有二阶导数，且满足 ? (2) ? ? (1),? (2) ? ? ? (x )dx ，23证明至少存在一点 ? ? (1,3), 使得? ??(? ) ? 0（21） （本题满分 11 分）17数学二历年考研试题及答案详解（）求函数 u ? x ? y ? z 在约束条件 z ? x ? y 和 x ? y ? z ? 4 下的最大值与最小值.2 2 2 2 2（22） （本题满分 12 分）? 2a 1 ? ? 2 ? a 2a ? ? ，现矩阵 A 满足方程 AX ? B ，其中 X ? ? x ,? , x ?T ， 设矩阵 A ? ? 1 n ? ? ? 1 ? ? ? a 2 2 a ? n? n ?B ? ?1, 0,? , 0 ? ，（1）求证 A ? ? n ? 1? a ；n（2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 x1 ； （3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23） （本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶矩阵， ?1 , ? 2 为 A 的分别属于特征值 ?1,1 特征向量，向量 ? 3 满足 A? 3 ? ? 2 ? ? 3 ， （1）证明 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关； （2）令 P ? ??1 , ? 2 , ?3 ? ，求 P AP .?12007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当 x ? 0? 时，与 x 等价的无穷小量是 （A） 1 ? ex（B） ln1? x 1? x（C） 1 ?x ?1（D） 1 ? cos x[]（2）函数 f ( x ) ?(e x ? e) tan x 在 ? ?? , ? ? 上的第一类间断点是 x ? ? 1 ? x?ex ? e? ? ?[]18数学二历年考研试题及答案详解（）（A）0（B）1（C） ?? 2（D）? 2（3）如图，连续函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?3, ?2? , ? 2,3? 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在 区间 ? ?2, 0? , ? 0, 2? 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 F ( x) ? 确的是：?x0f (t )dt ，则下列结论正（A） F (3) ? ? （C） F (3) ?3 F (?2) 43 F (2) 45 F (2) 4 5 （D） F (3) ? ? F (?2) 4(B) F (3) ?[]（4）设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续，下列命题错误的是：f ( x) f ( x) ? f ( ? x) 存在，则 f (0) ? 0 （B）若 lim 存在，则 f (0) ? 0 . x ?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f ( ? x) （C）若 lim 存在，则 f ?(0) ? 0 （D）若 lim 存在，则 f ?(0) ? 0 . x ?0 x ?0 x x（A）若 lim [ （5）曲线 y ? （A）0. ]1 ? ln ?1 ? e x ? 的渐近线的条数为 x（B）1. （C）2. （D）3. [ ]（6） 设函数 f ( x) 在 (0, ??) 上具有二阶导数， f ??( x) ? 0 ， un ? f (n) ， 且 令 则下列结论正确的是： (A) 若 u1 ? u2 ，则 ?u n ? 必收敛. (C) 若 u1 ? u2 ，则 ?u n ? 必收敛. (B) (D) 若 u1 ? u2 ，则 ?u n ? 必发散 若 u1 ? u2 ，则 ?u n ? 必发散. ] [ ]（7）二元函数 f ( x, y ) 在点 ? 0, 0 ? 处可微的一个充要条件是[ （A）( x , y )?? 0,0?lim? f ( x, y) ? f (0,0)? ? 0 .19数学二历年考研试题及答案详解（）（B） limx ?0f ( x, 0) ? f (0, 0) f (0, y ) ? f (0, 0) ? 0, 且 lim ? 0. y ?0 x yf ( x, y ) ? f (0, 0) x2 ? y 2 ?0.（C）( x , y ) ?? 0,0 ?lim（D） lim ? f x? ( x,0) ? f x? (0,0) ? ? 0, 且 lim ? f y? (0, y) ? f y? (0,0) ? ? 0 .x ?0??y ?01??（8）设函数 f ( x, y ) 连续，则二次积分 （A） （C）?? dx?2?sin xf ( x, y)dy 等于? dy ??01?? arcsin yf ( x, y)dxf ( x, y )dx（B）? dy ??01??arcsin yf ( x, y)dxf ( x, y )dx?10dy ??? ? arcsin y（D）2?10dy ??? ?arcsin y2（9）设向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ?1 (C) ?1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2? 3 , ? 3 ? 2?1 . (B) ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ?1 (D) ?1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2? 3 , ? 3 ? 2?1 . [ ]? 2 ?1 ?1? ?1 0 0? ? ? ? ? （10）设矩阵 A ? ? ?1 2 ?1? , B ? ? 0 1 0 ? ，则 A 与 B ? ? 1 ?1 2 ? ?0 0 0? ? ? ? ?(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：11～16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （11） limx ?0[]arctan x ? sin x ? __________. x3? x ? cos t ? cos 2 t ? y ? 1 ? sin t上对应于 t ?（12）曲线 ??4的点处的法线斜率为_________.（13）设函数 y ?1 (n) ，则 y (0) ? ________. 2x ? 32x（14） 二阶常系数非齐次微分方程 y?? ? 4 y? ? 3 y ? 2e 的通解为 y ? ________. （15） 设 f (u , v) 是二元可微函数， z ? f ?? y x? ?z ?z , ? ，则 x ? y ? __________. ?x ?y ? x y?20数学二历年考研试题及答案详解（）?0 ? 0 （16）设矩阵 A ? ? ?0 ? ?01 0 0? ? 0 1 0? ，则 A3 的秩为 . 0 0 1? ? 0 0 0?? ?? 上单调、可导的函数，且满足 ? 4? ?三、解答题：17～24 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （ 17 ） ( 本 题 满 分 10 分 ) 设 f ( x) 是 区 间 ?0,x?f ( x)0f ?1 (t )dt ? ? t0cos t ? sin t dt ，其中 f ?1 是 f 的反函数，求 f ( x) . sin t ? cos t（18） （本题满分 11 分） 设 D 是位于曲线 y ?xa?x 2a求区域 D (a ? 1,0 ? x ? ??) 下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a ) ； （Ⅱ）当 a 为何值时， V (a ) 最小？并求此最小值.2 （19） （本题满分 10 分）求微分方程 y??( x ? y? ) ? y? 满足初始条件 y(1) ? y?(1) ? 1的特解.（20） （本题满分 11 分）已知函数 f (u ) 具有二阶导数，且 f ?(0) ? 1 ，函数 y ? y ( x) 由方程y ? xe y ?1 ? 1 所确定，设 z ? f ? ln y ? sin x ? ，求dz dxx ?0 ,d2 z dx 2x ?0.（21） (本题满分 11 分)设函数 f ( x), g ( x) 在 ? a, b ? 上连续，在 (a, b) 内具有二阶导数且存在相等的 最大值， f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ，证明：存在 ? ? (a, b) ，使得 f ??(? ) ? g ??(? ) .? x2 , | x | ? | y |? 1 ? （22） (本题满分 11 分) 设二元函数 f ( x, y ) ? ? ，计算二重积分 1 , 1 ?| x | ? | y |? 2 ? x2 ? y 2 ??? f ( x, y)d? ，其中 D ? ?? x, y ? | x | ? | y |? 2? .D21数学二历年考研试题及答案详解（）（23） (本题满分 11 分)? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 设线性方程组 ? x1 ? 2 x2 ? ax3 ? 0 与方程 x1 ? 2 x2 ? x3 ? a ? 1 有公共解， a 的值及所有公共 求 ? 2 ? x1 ? 4 x2 ? a x3 ? 0解. （24） (本题满分 11 分) 设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? ?2 ，?1 ? (1, ?1,1)T 是 A 的属于 ?1 的一个 特征向量，记 B ? A5 ? 4 A3 ? E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （I）验证 ?1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 B .2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线 y ?x ? 4sin x 的水平渐近线方程为 5 x ? 2cos x?1 x 2 ? 3 ?0 sin t dt , x ? 0 （2）设函数 f ( x) ? ? x 在 x ? 0 处连续，则 a ? . ?a, 　　　　 x ? 0 ?（3）广义积分???0xdx ?. (1 ? x 2 ) 2y(1 ? x) 的通解是 xy（4）微分方程 y? ?（5）设函数 y ? y ( x) 由方程 y ? 1 ? xe 确定，则 （6）设矩阵 A ? ?dy dxx ?0?? 2 1? ? ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA ? B ? 2E ，则 ? ?1 2 ?B ?.22数学二历年考研试题及答案详解（）二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y ? f ( x) 具有二阶导数，且 f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0 ， ?x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，?y与dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 ?x ? 0 ，则[(A) (C)]0 ? dy ? ?y . ?y ? dy ? 0 .(B)0 ? ?y ? dy .(D) dy ? ?y ? 0 .（8）设 f ( x) 是奇函数，除 x ? 0 外处处连续， x ? 0 是其第一类间断点，则 （A）连续的奇函数. （C）在 x ? 0 间断的奇函数 （9）设函数 g ( x) 可微， h( x) ? e （A） ln 3 ?1 . （C） ? ln 2 ?1.1? g ( x )?x 0f (t )dt 是（B）连续的偶函数 （D）在 x ? 0 间断的偶函数. [ ], h?(1) ? 1, g ?(1) ? 2 ，则 g (1) 等于（B） ? ln 3 ?1. （D） ln 2 ? 1. [ ]（10）函数 y ? C1e x ? C2e?2 x ? xe x 满足的一个微分方程是 （A） y?? ? y? ? 2 y ? 3xe .x（B） y?? ? y? ? 2 y ? 3e .x（C） y?? ? y? ? 2 y ? 3xe .x（D） y?? ? y? ? 2 y ? 3e .x[]（11）设 f ( x, y ) 为连续函数，则??4 0d? ? f (r cos? , r sin ? )rdr 等于01（Ａ）?2 20dx ?1? x 2xf ( x, y )d y .（B）?02 20dx ?1? x 20f ( x, y )d y .(C)?2 20dy ?1? y 2 yf ( x, y )dx .(D)?2 2dy ?1? y 20f ( x, y )dx .[]（12）设 f ( x, y )与? ( x, y ) 均为可微函数，且 ? y? ( x, y ) ? 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约束条件? ( x, y) ? 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 .[ ]23数学二历年考研试题及答案详解（）(B) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . (C) (D) 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . 若 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 ，则 f y? ( x0 , y0 ) ? 0 . [ ]（13）设 ?1 ,? 2 ,?,? s 均为 n 维列向量， A 为 m ? n 矩阵，下列选项正确的是 (B) (C) 若 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关，则 A?1 , A? 2 ,? , A? s 线性相关. 若 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关，则 A?1 , A? 2 ,? , A? s 线性无关.(C) 若 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关，则 A?1 , A? 2 ,? , A? s 线性相关. (D) 若 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关，则 A?1 , A? 2 ,? , A? s 线性无关. （14） A 为 3 阶矩阵， A 的第 2 行加到第 1 行得 B ， 设 将 再将 B 的第 1 列的 ?1 倍加到第 2 列得 C ，?1 1 0? ? ? 记 P ? ? 0 1 0 ? ，则 ?0 0 1? ? ?（Ａ） C ? P ?1 AP . （Ｃ） C ? P T AP . （Ｂ） C ? PAP ?1 . （Ｄ） C ? PAP T . ［ ］三 、解答题：15－23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 试确定 A, B, C 的值， 使得 e (1 ? Bx ? Cx ) ? 1 ? Ax ? o( x ) ， 其中 o( x ) 是当 x ? 0 时比 x 3 高阶的x 2 3 3无穷小.（16） （本题满分 10 分）求arcsin e x ? e x dx .（17） （本题满分 10 分） 设区域 D ? ( x, y ) x ? y ? 1, x ? 0 ， 计算二重积分2 2???? 1 ? xD1 ? xy dxdy. 2 ? y224数学二历年考研试题及答案详解（）（18） （本题满分 12 分）设数列 ? xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , xn ?1 ? sin xn (n ? 1, 2,?)? xn ?1 ? xn2 （Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算 lim ? ? . n ?? n ?? ? xn ?（19） （本题满分 10 分） 证明：当 0 ? a ? b ? ? 时，1b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a .（20） （本题满分 12 分） 设函数 f (u ) 在 (0, ??) 内具有二阶导数，且 z ? f （I）验证 f ??(u ) ??x 2 ? y 2 满足等式??2 z ?2 z ? ? 0. ?x 2 ?y 2f ?(u ) ? 0； u（II）若 f (1) ? 0, f ?(1) ? 1，求函数 f (u ) 的表达式.（21） （本题满分 12 分） 已知曲线 L 的方程 ??x ? t2 ?1 ? y ? 4t ? t2,(t ? 0)（I）讨论 L 的凹凸性； （II） 过点 (?1,0) 引 L 的切线，求切点 ( x0 , y0 ) ，并写出切线的方程； （III）求此切线与 L（对应于 x ? x0 的部分）及 x 轴所围成的 平面图形的面积. （22） （本题满分 9 分） 已知非齐次线性方程组? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?1 ? ?4 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? x4 ? ?1 有 3 个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵 A 的秩 ?ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 3 4 ? 1 2r ? A? ? 2 ； （Ⅱ）求 a, b 的值及方程组的通解.（23） （本题满分 9 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 ?1 ? ? ?1, 2, ?1? , ? 2 ? ? 0, ?1,1? 是线性方程T T25数学二历年考研试题及答案详解（）组 Ax ? 0 的两个解. (Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ? ,使得 Q AQ ? ? .T2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 y ? (1 ? sin x) ，则 dyxx ??=.3（2）曲线 y ?(1 ? x) 2 xxdx2的斜渐近线方程为.（3）? (2 ? x01) 1? x2?.1 的解为. 9.（4）微分方程 xy ? ? 2 y ? x ln x 满足 y (1) ? ?2（5）当 x ? 0 时， ? ( x) ? kx 与 ? ( x) ? 1 ? x arcsin x ? cos x 是等价无穷小，则 k= （6）设 ? 1 , ? 2 , ? 3 均为 3 维列向量，记矩阵A ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) ， B ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 1 ? 2? 2 ? 4? 3 , ? 1 ? 3? 2 ? 9? 3 ) ，如果 A ? 1 ，那么 B ? . 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 f ( x) ? lim n 1 ? xn?? 3n，则 f(x)在 (??,??) 内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， & M ? N & 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 (A) F(x)是偶函数 ? f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 ? f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 ? f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 ? f(x)是单调函数. [ ]26数学二历年考研试题及答案详解（）（9）设函数 y=y(x)由参数方程 ? 坐标是 (A) (C)? x ? t 2 ? 2t , ? y ? ln(1 ? t )确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横1 ln 2 ? 3 . 8 ? 8 ln 2 ? 3 .1 ? ln 2 ? 3 . 8 (D) 8 ln 2 ? 3 .(B)[]（10）设区域 D ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 4, x ? 0, y ? 0} ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则??Da f ( x) ? b f ( y ) f ( x) ?(A)f ( y)d? ?ab? .(B)ab ?. 2(C)(a ? b)? .(D)a?b ? . 2[]（11） 设函数 u( x, y) ? ? ( x ? y) ? ? ( x ? y) ? 导数，则必有 (A)?x? yx? y? ? (t )dt , 其中函数 ? 具有二阶导数， 具有一阶? 2u ? 2u ? 2u ? 2u ? ? 2 . （B） ? . ?x 2 ?y ?x 2 ?y 2 ? 2u ? 2u ? . ?x?y ?y 21 ex x ?1(C)(D)? 2u ? 2u ? . ?x?y ?x 2[]（12）设函数 f ( x) ?,则 ?1(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D) x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点.[]（13） ?1 , ? 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 设 对应的特征向量分别为 ? 1 , ? 2 ，则 ? 1 ， A(? 1 ? ? 2 ) 线性无关的充分必要条件是 (A)?1 ? 0 .(B)?2 ? 0 . (C) ?1 ? 0 .(D)?2 ? 0 .*[*]（14）设 A 为 n（ n ? 2 ）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, A , B 分别为 A,B 的 伴随矩阵，则 (D) [*]*交换 A 的第 1 列与第 2 列得 B .(B) 交换 A 的第 1 行与第 2 行得 B .27**数学二历年考研试题及答案详解（）(C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 ? B * .(D) 交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 ? B * .三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （ 15 ） 本 题 满 分 11 分 ） 设 函 数 f(x) 连 续 ， 且 f (0) ? 0 ， 求 极 限 （lim?x0( x ? t ) f (t )dtxx ?0x ? f ( x ? t )dt0.（16） （本题满分 11 分） 如图，C1 和 C 2 分别是 y ?1 (1 ? e x ) 和 y ? e x 的图象，过点(0,1)的曲 2线 C 3 是一单调增函数的图象. 过 C 2 上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记C1 ,C 2 与 l x 所围图形的面积为 S1 ( x) ； C 2 ,C3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y). 如果总有 S1 ( x) ? S 2 ( y) ，求曲线 C 3 的方程 x ? ? ( y).（17） （本题满分 11 分） 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有 三阶连续导数，计算定积分? (x032? x) f ???( x)dx.（18） （本题满分 12 分） 用 变 量 代 换 x ? cost (0 ? t ? ? ) 化 简 微 分 方 程 (1 ? x ) y ?? ? xy ? ? y ? 0 ， 并 求 其 满 足2yx ?0? 1, y ?x ?0? 2 的特解.（19） （本题满分 12 分）已知函数 f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明： （ I ） 存 在 ? ? (0,1), 使 得 f (? ) ? 1 ? ? ； II ） 存 在 两 个 不 同 的 点 ? , ? ? (0,1) ， 使 得 （f ?(? ) f ?(? ) ? 1.28数学二历年考研试题及答案详解（）（20） （本题满分 10 分） 已 知 函 数 z=f(x,y) 的 全 微 分 dz ? 2 xdx ? 2 ydy ， 并 且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y) 在 椭 圆 域D ? {( x, y ) x 2 ?y2 ? 1} 上的最大值和最小值. 4（21） （本题满分 9 分） 计算二重积分?? xD2? y 2 ? 1d? ，其中 D ? {( x, y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} .（22） （本题满分 9 分） 确 定 常 数 a, 使 向 量 组 ? 1 ? (1,1, a) , ? 2 ? (1, a,1) , ? 3 ? (a,1,1) T 可 由 向 量 组T T?1 ? (1,1, a) T , ? 2 ? (?2, a,4) T , ? 3 ? (?2, a, a) T 线 性 表 示 ， 但 向 量 组 ?1 , ? 2 , ? 3 不 能 由 向 量 组?1 , ? 2 , ? 3 线性表示.（23） （本题满分 9 分）?1 2 3 ? ? ? 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 (a, b, c), a, b, c 不全为零，矩阵 B ? 2 4 6 （k 为常数） ，且 ? ? ?3 6 k ? ? ?AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解. 2004 年考硕数学（二）真题 一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ） （1）设 f ( x) ? lim(n ? 1) x , 则 f ( x) 的间断点为 x ? . n?? nx 2 ? 1? x ? t 3 ? 3t ? 1 ? （2）设函数 y ( x ) 由参数方程 ? 确定, 则曲线 y ? y ( x) 向上凸的 x 取值范围为 3 ? y ? t ? 3t ? 1 ?____.. （3）?1??dx x x2 ? 1? _____..29数学二历年考研试题及答案详解（）（4）设函数 z ? z ( x, y ) 由方程 z ? e2 x ?3 z ? 2 y 确定, 则 3 （5）微分方程 ( y ? x3 )dx ? 2 xdy ? 0 满足 y x ?1 ??z ?z ? ? ______. ?x ?y6 的特解为_______. 5?2 1 0? ? ? （6）设矩阵 A ? ? 1 2 0 ? , 矩阵 B 满足 ABA? ? 2BA? ? E , 其中 A? 为 A 的伴随矩阵, E 是 ?0 0 1? ? ?单位矩阵, 则 B ? ______-. 二. 选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把 x ? 0 时的无穷小量 ? ???0xcos t 2 dt , ? ? ?x2 0tan t dt , ? ? ?x 0sin t 3dt 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 （A） ? , ? , ? . （B） ? , ? , ? . （C） ? , ? , ? . （D） ? , ? , ? . ? （8）设 f ( x) ? x(1 ? x) , 则 （A） x ? 0 是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 不是曲线 y ? f ( x) 的拐点. （B） x ? 0 不是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 是曲线 y ? f ( x) 的拐点. （C） x ? 0 是 f ( x) 的极值点, 且 (0, 0) 是曲线 y ? f ( x) 的拐点. （D） x ? 0 不是 f ( x) 的极值点, (0, 0) 也不是曲线 y ? f ( x) 的拐点. （9） lim ln n (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? ) 等于2 2 2 n???? ?1 n2 nn n（A） （C） 2?1 ln ?1222xdx .（B） 2 （D）?1 ln xdx .2 22ln(1 ? x)dx .?1 ln(1 ? x)dx ??30数学二历年考研试题及答案详解（）（10）设函数 f ( x) 连续, 且 f ?(0) ? 0 , 则存在 ? ? 0 , 使得 （A） f ( x) 在 (0, ? ) 内单调增加. （B） f ( x) 在 (?? , 0) 内单调减小. （C）对任意的 x ? (0, ? ) 有 f ( x) ? f (0) . （D）对任意的 x ? (?? , 0) 有 f ( x) ? f (0) . （11）微分方程 y?? ? y ? x 2 ? 1 ? sin x 的特解形式可设为 （A） y? ? ax 2 ? bx ? c ? x( A sin x ? B cos x) . （B） y? ? x(ax 2 ? bx ? c ? A sin x ? B cos x) . （C） y? ? ax 2 ? bx ? c ? A sin x . （D） y? ? ax 2 ? bx ? c ? A cos x ?? ??2 2 （12）设函数 f (u ) 连续, 区域 D ? ( x , y ) x ? y ? 2 y , 则???? f ( xy)dxdy 等于D（A）? ?11dx ?1? x 2 ? 1? x 2f ( xy )dy . f ( xy )dx .（B） 2 （C） （D）?0?2dy ?2 y? y2 0?0d? ?2sin ? 0 2sin ?f (r 2 sin ? cos ? )dr . f (r 2 sin ? cos ? ) rdr ?? 0 d? ? 0??（13） A 是 3 阶方阵, 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 则 设 满足 AQ ? C 的可逆矩阵 Q 为?0 1 0? ? ? （A） ? 1 0 0 ? . ?1 0 1? ? ??0 1 0? ? ? （B） ? 1 0 1 ? . ?0 0 1? ? ?31数学二历年考研试题及答案详解（）?0 1 0? ? ? （C） ? 1 0 0 ? . ?0 1 1? ? ??0 1 1? ? ? （D） ? 1 0 0 ? . ?0 0 1? ? ?? ?（14）设 A , B 为满足 AB ? 0 的任意两个非零矩阵, 则必有 （A） A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （B） A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. （C） A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. （D） A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关.? ?三. 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） （15） （本题满分 10 分）1 求极限 lim 3 x ?0 x?? 2 ? cos x ? x ? ?? ? ? 1? . 3 ? ?? ? ? ?（16） （本题满分 10 分） 设函数 f ( x) 在（ ?? ,?? ）上有定义, 在区间 [0, 2] 上, f ( x) ? x( x 2 ? 4) , 若对任意的 x 都满 足 f ( x) ? k f ( x ? 2) , 其中 k 为常数. (Ⅰ)写出 f ( x) 在 [?2, 0] 上的表达式; (Ⅱ)问 k 为何值时, f ( x) 在 x ? 0 处可导.（17） （本题满分 11 分） 设 f ( x) ??xx??2sin t dt ,(Ⅰ)证明 f ( x) 是以 ? 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f ( x) 的值域.（18） （本题满分 12 分） 曲线 y ?e x ? e? x 与直线 x ? 0, x ? t (t ? 0) 及 y ? 0 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 x 轴旋转 232数学二历年考研试题及答案详解（）一周得一旋转体, 其体积为 V (t ) , 侧面积为 S (t ) , 在 x ? t 处的底面积为 F (t ) .(Ⅰ)求S (t ) S (t ) 的值; (Ⅱ)计算极限 lim . t ??? F (t ) V (t )（19） （本题满分 12 分）设 e ? a ? b ? e2 , 证明 ln 2 b ? ln 2 a ?4 (b ? a) . e2（20） （本题满分 11 分） 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700 km / h .经测试, 减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k ? 6.0 ?106 ).问从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少? 注 kg 表示千克, km / h 表示千米/小时.（21）本题满分 10 分） z ? f ( x ? y , e ) ,其中 f 具有连续二阶偏导数,求 （ 设2 2 xy?z ?z ? 2 z , , . ?x ?y ?x?y（22） （本题满分 9 分） 设有齐次线性方程组?(1 ? a) x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ?2 x ? (2 ? a) x ? 2 x ? 2 x ? 0, ? 1 2 3 4 ? 3x1 ? 3x2 ? (3 ? a) x3 ? 3x4 ? 0, ? ?4 x1 ? 4 x2 ? 4 x3 ? (4 ? a) x4 ? 0, ?试问 a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23） （本题满分 9 分）33数学二历年考研试题及答案详解（）? 1 2 ?3 ? ? ? 设矩阵 ? ?1 4 ?3 ? 的特征方程有一个二重根, 求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化. ?1 a 5? ? ?2003 年考研数学（二）真题 三、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若 x ? 0 时， (1 ? ax ) ? 1 与 xsin x 是等价无穷小，则 a= .2 1 4（2） 设函数 y=f(x)由方程 xy ? 2 ln x ? y 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .4（3） y ? 2 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是__________.x（4） 设曲线的极坐标方程为 ? ? e 极轴所围成的图形的面积为__________.a?(a ? 0) ，则该曲线上相应于? 从 0 变到 2? 的一段弧与? 1 ?1 1 ? ? ? （5） 设 ? 为 3 维列向量， ? 是 ? 的转置. 若 ?? ? ? 1 1 ? 1 ，则 ? ? ? 1 ?1 1 ? ? ?TT? T? = .? 1 0 1? ? 2 2 0? ， （6） 设三阶方阵 A,B 满足 A B ? A ? B ? E ， 其中 E 为三阶单位矩阵， A ? 0 若 ? ? ?? 2 0 1? ? ?则 B ? ________. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 {a n }, {bn }, {c n } 均为非负数列，且 lim a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则必有n?? n ?? n??(A) a n ? bn 对任意 n 成立. (C) 极限 lim a n c n 不存在.n??(B) bn ? c n 对任意 n 成立. (D) 极限 lim bn c n 不存在.n??[]3 n ?1 1 ? x n dx , 则极限 lim nan 等于 （2）设 a n ? ? n ?1 x n?? 2 034n数学二历年考研试题及答案详解（）(A) (C)(1 ? e) ? 1 .33 2(B) (D)(1 ? e ) ? 1 .33 ?1 2(1 ? e ?1 ) 2 ? 1 .(1 ? e) 2 ? 1 .[]（3）已知 y ?y x x x 是微分方程 y ? ? ? ? ( ) 的解，则 ? ( ) 的表达式为 y x y ln x(B)（A） ?y2 . x2x2 . y2y2 . x2x2 . y2[ ](C)?(D)（4）设函数 f(x)在 (??,??) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) (B) (C) (D) 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点. y[]O （5）设 I 1 ?x???4 0tan x x dx , I 2 ? ? 4 dx , 则 0 tan x x(B) (D)(A) (C)I 1 ? I 2 ? 1. I 2 ? I 1 ? 1.1 ? I1 ? I 2 . 1 ? I 2 ? I1 .[ ]（6）设向量组 I： ?1 ,? 2 ,?,? r 可由向量组 II： ? 1 , ? 2 ,?, ? s 线性表示，则 (A) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. (B) 当 r ? s 时，向量组 II 必线性相关. (D) 当 r ? s 时，向量组 I 必线性相关. [ ]35数学二历年考研试题及答案详解（）? ? ln(1 ? ax 3 ) , x ? 0, ? ? x ? arcsin x 三 、 （本题满分 10 分）设函数 f ( x ) ? ? 6, x ? 0, ? e ax ? x 2 ? ax ? 1 x ? 0, , ? x ? x sin 4 ?问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 四 、 （本题满分 9 分）? x ? 1 ? 2t 2 , d2y ? u 1? 2 ln t e (t ? 1) 所确定，求 2 设函数 y=y(x)由参数方程 ? du dx ? y ? ?1 u ?xe arctan x (1 ? x 2 )3 2x ?9.五 、 （本题满分 9 分）计算不定积分?dx.六 、 （本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (??,??) 内具有二阶导数，且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y=y(x)的反函数.(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程d 2x dx ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； 2 dy dy3 的解. 2(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) ? 0, y ?(0) ?七 、 （本题满分 12 分） 讨论曲线 y ? 4 ln x ? k 与 y ? 4 x ? ln x 的交点个数.4八 、 （本题满分 12 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ( 且线段 PQ 被 x 轴平分. (2) 求曲线 y=f(x)的方程； (3) 已知曲线 y=sinx 在 [0, ? ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s.362 1 其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q， , )， 2 2数学二历年考研试题及答案详解（）九 、 （本题满分 10 分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x ? ? ( y)( y ? 0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器 的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 3m3 / min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将 以 ?m 2 / min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）. (2) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 ? ( y ) 之间的关系式； (3) 求曲线 x ? ? ( y) 的方程. (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、 （本题满分 10 分） 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a,b)内可导， f ?( x) ? 0. 若 且 极限 lim?x ?af (2 x ? a) 存在，证明： x?a(1) 在(a,b)内 f(x)&0; (2)在(a,b)内存在点 ? ，使b2 ? a2?b?af ( x)dx22? ； f (? )2(3) 在(a,b) 内存在与(2)中 ? 相异的点 ? ，使 f ?(? )(b ? a ) ?2? b f ( x)dx. ? ? a ?a十 一、 （本题满分 10 分）?2 2 0 ? ? ? 若矩阵 A ? 8 2 a 相似于对角阵 ? ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P ?1 AP ? ?. ? ? ?0 0 6 ? ? ?十二 、 （本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 : ax ? 2by ? 3c ? 0 ， l 2 : bx ? 2cy ? 3a ? 0 ， l3 : cx ? 2ay ? 3b ? 0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0.37数学二历年考研试题及答案详解（）2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析一、选择题 （1） 【答案】（C） ： 【解析】 lim ：x ?1x2 ? x ? ? ，所以 x ? 1 为垂直渐近线 x2 ?1x2 ? x lim 2 ? 1，所以 y ? 1为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C） 。 x ?? x ? 1（2） 【答案】（C） ：' x 2x nx x 2x nx 【解析】 f ( x) ? e (e ? 2) ? (e ? n) ? (e ? 1) ?(e ? 2) ? (e ? n) ? ： ? ? '所以 f (0) ? (?1)'n ?1n! ，故选（C） 。（3） 【答案】 ：(B) 【解析】 ：由于 an ? 0 ， ? sn ? 是单调递增的，可知当数列 ? sn ? 有界时， ? sn ? 收敛，也即 lim sn 是存n ??在的，此时有 lim an ? lim ? sn ? sn ?1 ? ? lim sn ? lim sn ?1 ? 0 ，也即 ?an ? 收敛。n ?? n ?? n ?? n ??反之， ?an ? 收敛， ? sn ? 却不一定有界，例如令 an ? 1 ，显然有 ?an ? 收敛，但 sn ? n 是无界的。故 数列 ? sn ? 有界是数列 ?an ? 收敛的充分非必要条件，选(B)。 （4） 【答案】 ：(D) 【解析】 由于当 x ? (? , 2? ) 时 sin x ? 0 ， ： 可知 又由于??2?e x sin xdx ? 0 ，也即 I 2 ? I1 ? 0 ，可知 I1 ? I 2 。2??23?e x sin xdx ? ? ex sin xdx? ?2 22?3??2?ex sin xdx，对 ? e x sin xdx 做变量代换 t ? x ? ? 得2 23?2???23?ex sin xdx ? ? e?22?t ?? ?2?故??3?e x sin xdx ? ?22???sin ? t ? ? ? dt ? ?? e?x ?? ?22?t ?? ?2e x ? e?2??sin tdt ? ?? e??2?x ?? ?2sin xdx ，2 2x ?? sin xdx 由于当 x ? (? , 2? ) 时 sin x ? 0, e x ? e? ? ? 0 ，可知??3?e x sin xdx ? 0 ，也即 I3 ? I1 ? 0 ，可知 I 3 ? I1 。综上所述有 I 2 ? I1 ? I 3 ，故选(D). （5） 【答案】 ：(D)38数学二历年考研试题及答案详解（）【解析】 ：?f ( x, y ) ?f ( x, y ) ? 0 表示函数 f ( x, y ) 关于变量 x 是单 ? 0， ?y ?x调递增的，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时，必 有 f ( x1 , y1 ) ? f ( x2 , y2 ) ，故选 D （6） 【答案】（D） ： 【解析】 ：区域 D 如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线 y ? ? sin x 将区域分为D1 , D2 , D3 , D4 四部分。由于 D1 , D2 关于 y 轴对称，可知在 D1 ? D2 上关于 x 的奇函数积分为零，故D1 ? D2??x5 ydxdy ? 0 ；又由于 D3 , D4 关于 x 轴对称，可知在 D3 ? D4 上关于 y 的奇函数为零，故 x5 ydxdy ? 0 。5 ?? ? x y ? 1? dxdy ? ??? dxdy ? ?? 2? dx ? D D ? 2D3 ? D4?1??因此sin xdy ? ??，故选（D） 。（7） 【答案】（C） ：0【解析】 由于 ??1 , ? 3 , ? 4 ? ? 0 ：1 ?1 c3?1 1 ? c1 c41 ?1?1 1? 0 ，可知 ?1 , ? 3 , ? 4 线性相关。故选（C） 。c1（8） 【答案】（B） ：?1 0 0? ? 1 0 0? ? ? ? ? ?1 ?1 【解析】 Q ? P ? 1 1 0 ? ，则 Q ? ? ?1 1 0 ? P ， ： ?0 0 1? ? 0 0 1? ? ? ? ? ? 1 0 0? ?1 0 0? ? 1 0 0??1 ??1 0 0? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ?? ? ? ? 1 故 Q AQ ? ? ?1 1 0 ? P AP ? 1 1 0 ? ? ? ?1 1 0 ? ? ??1 1 0? ? ? 1 ? ? 0 0 1? ?0 0 1? ? 0 0 1?? ??0 0 1? ? 2?? 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??1故选（B） 。 二、填空题 （9） 【答案】 1 ： 【解析】 ：将 x ? 0 代入原方程可得 y ? 039数学二历年考研试题及答案详解（）方程 x 2 ? y ? 1 ? e y 两端对 x 求导， 2 x ? 有2 2 2dy dy ， x ? 0 、y ? 0 代入可得， 将 所以 dy ? ey dx dx dx?0x ?0再次求导得 2 ? d y ? e y ? dy ? ? e y d y ，再将 x ? 0 、 y ? 0 、 dy ? ? 2 2dx? dx ?dxdx x?0d y ? 0 代入可得 dx 2x ?02? 1。（10） 【答案】 ： 【解析】 ：原式? 41 n ? n?? n i ?1 1 ?i? 1? ? ? ?n?2? lim??dx ? 1 ? arctan x 0 ? . 2 ? 1? x 41（11） 【答案】 0 . ： 【解析】 ：因为 ?z ? f ? ? 1 , ?z ? f ? ? ? ? 1 ? ，所以 x ?z ? y 2 ?z ? 0. ? y2 ? ?x ?y ?x x ?y ? ? （12） 【答案】 x ：? y2?0? dx 1 ? 3 y ? x ? dx ? 1 x ? 3 y 为一阶线性微分方程，所以 dy y dy y【解析】 ydx ? ( x ? 3 y 2 ) dy ：11 1 dy ? 1 ? dy ? 3 x ? e y ? ? 3 y ? e ? y dy ? C ? ? ? ? 3 y 2 dy ? C ? ? ( y ? C ) ? ? y ? ? y ?又因为 y ? 1 时 x ? 1 ，解得 C ? 0 ，故 x ? y 2 . （13） 【答案】 ? ?1, 0 ? ： 【解析】 ：将 y’ ? 2 x ? 1, y” ? 2 代入曲率计算公式，有K?| y?? | ? (1 ? y?2 )3/22 ?1 ? (2 x ? 1) 2 ? ? ?3 2?2 2整理有 (2 x ? 1) ? 1 ，解得 x ? 0或 ? 1 ，又 x ? 0 ，所以 x ? ?1 ，这时 y ? 0 ，2故该点坐标为 ? ?1, 0 ? （14） 【答案】 ?27 ：40数学二历年考研试题及答案详解（）【解析】 BA* ? B A* ，其中 B ? ? A ? ?3, A ? A ：*3?1? 9 ，可知 BA* ? ?27 。三、解答题 （15） 【解析】（1） lim f ( x) ? lim ? ：x ?0 x ?01 x ? x ? sin x x ? 1 ? ? ? lim ? 1 ，即 a ? 1 ? ? lim 2 x ?0 x ?0 sin x x ? sin x x sin x ?（2）,当 x ? 0 时，由 f ( x) ? a ? f ( x) ? 1 ? 又因为，当 x ? 0 时， x ? sin x 与? x2 ? y 2 21 1 x ? sin x ? ? sin x x x sin x1 3 x 等价，故 f ( x) ? a ~ 1 x ，即 k 6 6?1（16） 【解析】 f ? x, y ? ? xe ： 先求函数的驻点：令，x ?y ? ? ? ? x, y ? ? ?1 ? x 2 ? e 2 ? 0 ? fx ? ， ? x2 ? y 2 ? ? ? 2 ?0 ? f y ? x, y ? ? ? xye ?2 2解得驻点为 ?1, 0 ? , ? ?1, 0 ? .又f xx?? ? x ? x 2 ? 3? e?x2 ? y 2 2 x2 ? y 2 2 x2 ? y 2 2f xy?? ? ? y ?1 ? x 2 ? e f yy?? ? ? x ?1 ? y 2 ? e??对点 ?1, 0 ? ，有 A1 ? f xx?? ?1,0 ? ? ?2e 2 , B1 ? f xy?? ?1,0 ? ? 0, C1 ? f yy?? ?1,0 ? ? ?e?1?1 22 所以， A1C1 ? B1 ? 0, A1 ? 0 ，故 f ? x, y ? 在点 ?1, 0 ? 处取得极大值 f ?1, 0 ? ? e 2 .1对点 ? ?1, 0 ? ，有 A2 ? f xx?? ? ?1,0 ? ? 2e 2 , B2 ? f xy?? ? ?1,0 ? ? 0, C2 ? f yy?? ? ?1,0 ? ? e2 所以， A2C2 ? B2 ? 0, A2 ? 0 ，故 f ?x ,y ? 在点 ?1, 0 ? 处取得?1?1 2极小值 f ? ?1, 0 ? ? ?e . （17） 【解析】 ：411 2数学二历年考研试题及答案详解（）如图设切点坐标为 A ? x0 , ln x0 ? ，斜率为1 1 ，所以设切线方程为 y ? ln x0 ? ? x ? x0 ? ，又因为该 x0 x0切线过 B(0,1) ，所以 x0 ? e2 ，故切线方程为： y ? 切线与 x 轴交点为 B ?e 2 , 0 （1） A ? （2）e2 1 V ? ? ? 22 ? ?e 2 ? ? ?e 2 ? ? ? ? ? ln 2 xdx ? ? 1 3 2 2 e e 8 ? ? e 2 ? ? ?? x ln 2 x ? ? ? 2 ln xdx ? ? ? 1 1 3 ? ? 2 2 e 8 e ? ? e 2 ? ? ? 4e 2 ? ? 2 x ln x ?1 ? ? 2dx ? ? ? 1 3 ? ? 8 2 ? ? e 2 ? 2? ? e 2 ? 1? ? ? e 2 ? 2? 3 31 x ?1 e2??2?201 ? ? ?e y ? e 2 ( y ? 1) ?dy ? ?e y ? e 2 ( y 2 ? y ) ? ? e 2 ? 1 ? ? 2 ? ?0（18） 【解析】 ：?? xyd? ? ? d? ?0 D?1? cos ?0r cos? ? r sin ? ? rdr1 ? sin ? ? cos ? ? (1 ? cos ? ) 4 d? 4 ?0 1 ? ? ? ? cos ? ? (1 ? cos ? ) 4 d cos ? 4 0 ?令 u ? cos? 得，原式 ? （19） 【解析】 ： 1）特征方程为 r 2 ? r ? 2 ? 0 ，特征根为 r1 ? 1, r2 ? ?2 ，齐次微分方程 f ??( x) ? f ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 的 通 解 为 f ( x) ? C1e ? C 2 ex ?2 x1 1 16 4 ??1 u(1 ? u) du ? 15 。 4. 再 由 f ( x)?'f ( x) ?x2e 2C1e x ? C2e ?2 x ? 2e x ， 可 知 得C1 ? 1, C2 ? 0 。故 f ( x) ? ex42数学二历年考研试题及答案详解（）2）曲线方程为 y ? ex2?x0e?t dt ，则 y ' ? 1 ? 2 xe x22?x0e?t dt ， y '' ? 2 x ? 2 ?1 ? 2 x2 ? e x22?x0e?t dt2令 y '' ? 0 得 x ? 0 。为了说明 x ? 0 是 y '' ? 0 唯一的解，我们来讨论 y '' 在 x ? 0 和 x ? 0 时的符号。 当 x ? 0 时 ， 2 x ? 0, 2 1 ? 2 x?2?e ?x2x0' e?t dt ? 0 ， 可 知 y ' ?2； 0 当 x?0 时 ，2 x ? 0, 2 ?1 ? 2 x2 ? e x2?x0e?t dt ? 0 ，可知 y '' ? 0 。可知 x ? 0 是 y '' ? 0 唯一的解。2同时，由上述讨论可知曲线 y ? f ( x )2?x0f (?t 2 )dt 在 x ? 0 左右两边的凹凸性相反，可知 ? 0, 0 ? 点是曲线 y ? f ( x )2?x0f (?t 2 )dt 唯一的拐点。1? x x2 ? cos x ? 1 ? ，可得 1? x 2（20） 【解析】 ：令 f ? x ? ? x lnf ' ? x ? ? ln ? ln1? x 1? x 2 ?x ? ? sin x ? x 1? x 1 ? x ?1 ? x ?21? x 2x ? ? sin x ? x 1 ? x 1 ? x2 1 ? x 1 ? x2 ? ln ? ?x ? sin x 1 ? x 1 ? x2当 0 ? x ? 1 时， ln 有1 ? x2 1 ? x2 1? x ? 1， ?x ? sin x ? 0 ， f ' ? x ? ? 0 。 f ? 0 ? ? 0 ， 所以 故 而 ? 0， 2 2 1? x 1? x 1? x即得 x ln1? x x2 1? x x2 ? cos x ? 1 ? ? 0 ，也即 x ln ? cos x ? ? 1 。 1? x 2 1? x 21 ? x2 1 ? x2 1? x ? 1， ?x ? sin x ? 0 ， f ' ? x ? ? 0 。 f ? 0 ? ? 0 ， 当 ?1 ? x ? 0 时， ln 有 所以 故 而 ? 0， 2 2 1? x 1? x 1? x即得， x ln1? x x2 1? x x2 ? cos x ? 1 ? ? 0 也即 x ln ? cos x ? ? 1 。 1? x 2 1? x 2 1? x x2 ? cos x ? 1 ? 。 1? x 2当 x ? 0 时，显然有 x ln可知， x ln1? x x2 ? cos x ? 1 ? , ?1 ? x ? 1 1? x 243数学二历年考研试题及答案详解（）（ 21 ）【 解 析 】：(1) 由 题 意 得 ： 令 f ( x )? x ? xnn ?1? ?? x ? 1 则 f ( 1 ) ， ?， 0 再由1 1 (1 ? ( ) n ) 1 ?1 ? n n ?1 2 ? 1 ? ?( 1 ) n ? 0 ， 由零点定理 f ( x) ? x ? x ? ? ? x ? 1 得在 ? ,1? 至少存在 f( )? 2 1 2 2 ?2 ? 1? 2一个零点，也即方程 xn ? xn?1 ? ... ? x ? 1 在区间 ? ,1? 内至少有一个实根。?1 ? ?2 ?又 由 于 f (x ) ? x ? xnn ?1?1 ? ? ? ? x ? 1在 ? ,1? 上 是 单 调 的 ， 可 知 f ( x ) ? x n ? x n?1 ? ? ? x ? 1在 ?2 ??1 ? ?1 ? n n ?1 ? ,1? 内最多只有一个零点。故方程 x ? x ? ... ? x ? 1 在区间 ? ,1? 内有且仅有一个实根。 ?2 ? ?2 ?（2）由于 f ( xn ) ? 0 ，可知 xn n ? xn n ?1 ? ? ? xn ? 1 ? 0 （） ， 进而有 xn ?1n ?1 ? xn ?1n ? ? ? xn ?1 ? 1 ? 0 ，可知 xn ?1n ? xn ?1n ?1 ? ? ? xn ?1 ? 1 ? 0 （） ， 比较（）式与（）式可知 xn ?1 ? xn ，故 ? xn ? 单调。 又由于1 ? xn ? 1 ，也即 ? xn ? 是有界的。则由单调有界收敛定理可知 ? xn ? 收敛，假设 lim xn ? a ， n ?? 2可知 a ? x2 ? x1 ? 1。xn (1 ? xn n ) a 1 ?1 ? ? 1 ? 0, 得 lim xn ? 。 当 n ?? 时， lim f ( xn ) ? lim n ?? n ?? n ?? 1 ? xn 1? a 21 a 0 0（22） 【解析】（Ⅰ） ：0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 11 a 0 ? 1? 0 1 a ? a ? (?1) 0 0 14 ?1a 0 0 1 a 0 ? 1? a4 0 1 a44数学二历年考研试题及答案详解（）1 ? ?1 a ? ? 1 a 0 ?1? ? 0 1 ? 0 1 a 0 ? ?0 0 ? ? 0 0 1 0 ? ? 0 ?a 2 （Ⅱ） 0 1 ? ?1 a 0 ? ? 0 ?1 ? ?0 1 a ? ?0 0 1 a 0 ? ? 4 2? ? 0 0 0 1 ? a ?a ? a ? a 0 0?1 ? ?0 ?0 ? ?a1 ? ?1 ? ? a 0 ?1 ? ? 0 ? 1 a 0 ? ?0 ? ? 0 1 ?a ? ? 0 0 0a 1 00 a 10 a3? ? 0 ?1 ? a 0 ? ? 1 ?a ? a 2 ? 0 1可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 1 ? a 4 ? 0 及 ?a ? a 2 ? 0 ，可知 a ? ?1 。? 1 ?1 0 0 1 ? ? ? ? 0 1 ? 1 0 ?1 ? ， 进 一 步 化 为 行 最 简 形 得 此时，原线性方程组增广矩阵为 ? 0 0 1 ?1 0 ? ? ? ?0 0 0 0 0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 0 1 0 0 0 ? ? 0 ? 1 ? ?1 1 ? 1 ? 0 ? 0 0 0 ? 0 ? 1?1? ?0? ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ，非齐次方程的特解为 ? ?1 ? ，故其通解为 k ? 1? ? ? ?1? 可知导出组的基础解系为 ?1? ?0? ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?0? ? 1? ? 0 ?线性方程组 Ax ? b 存在 2 个不同的解，有 | A |? 0 .?即：1 11A ? 0 ? ? 1 0 ? (? ? 1) 2 (? ? 1) ? 0 ，得 ? ? 1 或-1. 1?? 1 1 1 ? ? x1 ? ? x ? ? ?? ? ? ? 当 ? ? 1 时, ? 0 0 0 ? ? x2 ? ? ? 0 ? ，显然不符，故 ? ? ?1 . ?1 1 1?? x ? ? 1? ? ?? 3 ? ? ?45数学二历年考研试题及答案详解（）0 ? 2 ? T 1 ? a2 （23） 【解析】 ：1） A A ? ? 0 ?1 ? a 1 ? a ? 2 0 1? a 0 1? a21? a ? ? 1 ? a ? 由 r ( AT A) ? 2 可得， 3 ? a2 ? ?1? a 1? a ? 3 ? a21? a1 2 ? a ? 1? ? a 2 ? 3? ? 0 ，可知 a ? ?1 。 2? 2 0 2 ?? x1 ? ? ?? ? f ? x A Ax ? ? x1 , x2 , x3 ? ? 0 2 2 ?? x2 ? 2） ? 2 2 4 ?? x ? ? ?? 3 ? 2 2 2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 4 x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x2 x3T T? 2 0 2? ? ? 令矩阵 B ? ? 0 2 2 ? ? 2 2 4? ? ?? ?2 ?E ? B ?0 ?20?2 ?2 ? ? ? ? ? 2 ?? ? ? 6 ? ? 0? ?2?2? ?4解得 B 矩阵的特征值为： ?1 ? 0; ?2 ? 2; ?3 ? 6?1? ? ? 对于 ?1 ? 0, 解 ? ?1 E ? B ? X ? 0 得对应的特征向量为：?1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?1? ? ? 对于 ?2 ? 2, 解 ? ?2 E ? B ? X ? 0 得对应的特征向量为：? 2 ? ? ?1? ?0? ? ? ?1? ? ? 对于 ?3 ? 6, 解 ? ?3 E ? B ? X ? 0 得对应的特征向量为：? 3 ? ? 1 ? ?2? ? ?将 ?1 ,? 2 ,?3 单位化可得：46数学二历年考研试题及答案详解（）?1? ?1? ?1? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? 1 ，?2 ? ?1 ， ? 3 ? 1 3? ? 2? ? 6? ? ? ?1 ? ?0? ? 2? ? ? ? ? ? ?? 3 ? ? 3 ? 3 Q ? ? ?1 , ? 2 , ? 3 ? ? ? ? 3 ? 3 ?? ? 3 ?2 2 ? 2 2 06? ? 6 ? 6? ? 6 ? 6? ? 3 ? ?2 2 令 x ? Qy 可将原二次型化为 2 y2 ? 6 y3 。2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析选择题：CBCC ABDD 填空题： 9. 2 10. y ? e?xsin x11. ln( 2 ? 1)12.1 ?137 1214.2未找到该年试题选择题及填空题解析，望见谅！解答题： 15.解：当a ? 0,因为 lim F ( x) ? ??, 所以结论不正确x ? ??当a ? 0， F ( x) ? lim limx ? ???x0ln(1 ? t 2 )dt xa ? lim?x ?0x ? ??? limln(1 ? x 2 ) 2x 1 ? lim ? 0, 得a ? 0 a ?1 2 x ? ?? x ? ?? 1 ? x a ( a ? 1) x a ? 2 axx ?0lim? F ( x) ? lim?x0ln(1 ? t 2 )dt xax ? ??ln(1 ? x 2 ) x2 ? lim? a ?1 ? 0得2 ? a ? 1, 所以a ? 3 x ?0 ax axa ?1于是1 ? a ? 316.解：没找到答案，望见谅！ 17.解：47数学二历年考研试题及答案详解（）?z ? f1?[ xy, yg ( x)] y ? f 2?[ xy, yg ( x)] yg ?( x) ?x ?2z ?? ?? ? f1?[ xy, yg ( x)] ? y[ xf11 ( xy, yg ( x) ? g ( x) f12 ( xy, yg ( x)] ?x?y ?2z ?? ?? ? f x?(1,1) ? f11 (1,1) ? f12 (1,1) ?x?y(B) 解：dy d? ? tan ? , 两边对x求导得： 2 ? sec ? y??,即(1 ? y?2 ) y? ? y??, dx dx dp dp ?2 于是有 y?(??()1?0yy?()0y)??1 , 令y? ? p, 则 y?? ? , 于是有 ? p (1 ? p 2 ), 变量分离得 y 0 ? , dx dx p 1 p 1 x ln ? x ? C1 , 带入初始条件得C1 ? ln ,故 ? e , 2 2 1? p2 1? p2?平方解得：p ?ex 2?e2x,y??ex 2?e2xdx ? ? 2 ? e 2 x ? C2因为y (o) ? 0, 所以C2 ? 2 , 故y ? 2 ? 2 ? e 2 x .19.解：其中an ?1 ? an ? 0, an ?1 ? an即?an ?单调递减 an ? 1 ? 1 / 2 ? ? ?1 1 1 1 1 (1) f ( x) ? ln(1 ? x)在[0, ]应用中值定理， 1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln 1 ? ln( n n n 1? ? n 1 1 1 1 1 1 1 0?? ? , ? 1, 即 ? ln(1 ? ) ? 1 1 n 1? 1 1? ? n n 1? n n n 1 ( 2) an ?1 ? 1 ? 1 / 2 ? ? ? ? ln(n ? 1) n ?1 1 1 1 an ?1 ? an ? ? ln(n ? 1) ? ln n ? ? , n ? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 ?1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) ? ln n n 1 2 n n ?1 ? ln 2 ? ln 3 / 2 ? ? ? ln ? ln n n n ?1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln ?0 n ?an ?单调递减有界，故收敛。48数学二历年考研试题及答案详解（）20.解：(1)V ? ? ( 2)W ? ??1 221 2( 2 y ? y 2 ) dy ??1 2 ?1(1 ? y 2 ) dy ?9? 42?2( 2 y ? y 2 ) ?g?x1 dy ?2?1 2 ?11 2 ?1(1 ? y 2 )?g?x2 dy?21 2( 2 ? y ) ?g? ( 2 y ? y 2 ) dy ? 17 . 241 1?( 2 ? y ) ?g? (1 ? y 2 )dy? ?g? ? 2421.解：?? ?? I ? ?? xyf xy ( x, y )dxdy ? ? xdx? yf xy ( x, y )dy0 0 D?10?? ? yf xy ( x, y )dy ? ? ydf x?( x, y ) ? y f xy ( x, y ) 1 ? ? f x?( x, y )dy, 00 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 011?? 于是，I ? ? xdx? yf xy ( x, y )dy ? ? xf x?( x,1)dx ? ? xdx? yf x?( x, y )dy ? xf ( x,1) 1 ? ? xdx? yf x?( x, y )dy ? ? ? dy? xf x?( x, y )dx 00 0 0 0 1 1 1 1? ?[ ? xf x ( x, y ) 1 dy ? ? dy? f x ( x, y )dx] ? ? dy? f ( x, y )dx ? ?? f ( x, y )dxdy ? a 00 0 0 0 0 D1111122.解：1 01 1) ? ?1 , ? 2 , ? 3 ? 0 1 3 ? 1 ? 0 115 又 ??1 , ? 2 , ? 3不能由?1，? 2，? 3线性表示， r ( ?1，? 2，? 3 ) ? 3, 于是 ?1，? 2，? 3 ? 0，解得a ? 5 ? ? 1 0 11 1 1 ? ? 1 0 1 1 1 1 ? ? 1 0 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2)(?1 , ? 2 , ? 3 , ?1，? 2，? 3 ) ? ? 0 0 31 2 3 ? ? ? 0 1 3 1 2 3 ? ? ? 0 1 3 1 2 3 ? ? 1 1 51 3 5 ? ? 0 1 4 0 2 4 ? ? 6 0 1 ? 1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 0 2 1 0? ? ?1 ? 2?1 ? 4? 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? 0 1 0 4 2 0 ?于是? ? 2 ? ?1 ? 2? 2 ? 0? 3 ? 0 0 1 ? 10 1 ? ? ? ? 0? ? 0? ? ? 1 2 3 ? ? ? 123.解：? r (?1 , ? 2 , ? 3 ) ? 349数学二历年考研试题及答案详解（）?1? ?1? ? ? ? ? 令?1 ? ? 0 ?，? 2 ? ? 0 ?则A?1 ? ??1 , A? 2 ? ? 2 , ? ? 1? ?1? ? ? ? ? 根据特征值向量的定义，A的特征值为?1 ? ?1, ?2 ? 1, 对应的线性无关的特征向量为 ?1? ?1? ? ? ? ? ?1 ? ? 0 ?，? 2 ? ? 0 ? ? r ( A) ? 2 ? 3,? A ? 0故?3 ? 0 ? ? 1? ?1? ? ? ? ? ? x1 ? ? ? T 令? 3 ? ? x2 ?为矩阵A的相应于?3 ? 0的特征向量? A为实矩阵，所以有 ?1 T? 3 ?0 ? 2 ? 3 ?0 ?x ? ? 3??即?x1 ? x3 ? 0 x1 ? x3 ? 0?0? ? ? 解得? 1 ? ?0? ? ? 1 2 0 1 2 ? 0? ? 1 ?, 0? ? ?? 1 ? ?1? ?1? ?0? ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 2）?1? 2? 3单位化得：r1 ? 0 ?, r2 ? 0 ?, r3 ? ? 1 ?, 令Q ? r1 , r2 , r3 ) ? ? 0 （ ? ? 2? ? 2? ? ?? 1 ?0? ? ? 1? ?1? ? ? ? 2 ? ? ?1 0 0? ? ?1 0 0? ?0 0 1? ? ? ? ? T ? ? T 则Q AQ ? ? 0 1 0 ?, 于是A ? Q? 0 1 0 ?Q ? ? 0 0 0 ? ? 0 0 0? ? 0 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? ? ?2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析选择题答案： BACD BDAD 填空题答案：2x I、 C1e ? C2 cos x ? C3 sin x10.y=2x 13.3cm/s 14.11. ? 2 ? (n ? 1)!n(E)2 (e? ? 1)3三解答题50数学二历年考研试题及答案详解（）15.解：f ( x)的定义域(??,??),由于f ( x ) ? x 2 ? e ?t dt ? ? te?t dt,2 2x2x211f ?( x) ? 2 x ? e ?t dt, 所以驻点为x ? 0,?1.2x21列表讨论如下： x(??,1)-1 0 极小(-1,0) +0 0 极大(0,1) -1 0 极小(1,+ ? ) +f ?(x)f (x)-因此，f ( x)的单调增加区间为（- 1， 0）及（ ， ?），单调递减区间为 1? （- ?，1）及（0， 1）；极小值为f (?1) ? 0, 极大值为f (0) ? ? te?t dt ?2101 (1 ? e ?1 ). 216.解：)当0 ? t ? 1,? ln(1 ? t ) ? t ,? ln t [ln(1 ? t )]n ? t n ln t , (1 因此， ln t [ln(1 ? t )]n dt ? ? t n ln t dt. ?0 0 1 1(2)由(1)知0 ? u n ? ? ln t [ln(1 ? t )]n dt ? ? t n ln t dt.0 0111 1 n 1 ? ? t n ln t dt ? ? ? t n ln tdt ? ?0 t dt ? (n ? 1) 2 0 0 n ?11 1? lim ? t n ln t dt ? 0, 从而 lim u n ? 0n ?? 0 n ??11751数学二历年考研试题及答案详解（）(2 ? 2t )? ??(t ) ? 2? ?(t ) dy ? ?(t ) d y (1 ? t )? ??(t ) ?? ?(t ) (2 ? 2t ) 2 ? ? ,? 2 ? ? dx 2 ? 2t dx (2 ? 2t ) 4(1 ? t ) 32d2y 3 (1 ? t )? ??(t ) ?? ?(t ) 3 由题设 2 ? ,故 ? ， 3 dx （1 ? t ) 4 4(1 ? t ) （1 ? t ) 4 1 从而，? ??(t ) ? ? ?(t ) ? 3(1 ? t ). 1? t . 设u ? ? ?(t ), 有u ? ? 1 u ? 3(1 ? t ), 1? t u?e ? 1?t dt1[ ? 3(1 ? t )e?? 1?t dt1dt ? C1 ] 3 2 3 t ? t ? C2 . 2? (1 ? t )(3t ? C1 ). 由u t ?1 ? ? ?(t ) ? 6, 知C1 ? 0, 于是? ?(t ) ? 3t (1 ? t ).? (t ) ? 3? (t ? t 2 )dt ? 由? (1) ?18 解：5 3 3 , 知C2 ? 0, 于是? (t ) ? t 2 ? t（t ? ?1). 2 2如下图建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。x2 y2 ? ? 1. a 2 b21 记S1为下半椭圆面积，则S1 ? ?ab.记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则 2 S2 ? 2 ? 2 a 1 ?0 by2 dy, 设y ? b sin t , 则dy ? b cos tdt, b2? ? ? 3 S2 ? 2ab? 6 1 ? sin 2 t cos tdt ? 2ab? 6 (1 ? cos 2t )dt ? ab( ? ), 0 0 6 4 1 ? 3 2 3 于是油的质量为(S1 ? S2 )lp ? ( ?ab ? ab ? ab)lp ? ( ? ? )ablp. 2 6 4 3 4yS2 S1 x52数学二历年考研试题及答案详解（）?u ?u ?u ? 2u ? 2u ? 2u ? 2u ? ? , ? ?2 ? , ?x ?? ?? ?x 2 ?? 2 ???? ?? 2 ?u ?u ?u ? 2u ? 2u ? 2u ? 2u ?a ?b , ? a2 ? 2ab ? b2 . ?? ?? ?x 2 ?? 2 ???? ?? 2 19 解： ?y 将以上各式代入原等式，得 （5a 2 ? 12 a ? 4) ? 2u ? 2u ? 2u ? [10 ab ? 12 ( a ? b) ? 8] ? (5b 2 ? 12b ? 4) ? 0. 2 ?? ???? ?? 2? ? 2 ? ? a ? ?2 ? a ? ? 2 ? a ? ? 2 ? a ? ? ?5a 2 ? 12 a ? 4 ? 0 ? ? ? 5 2 ,? 由题意，令? 2 ，解得? ,? 5, ? b?? 2 ?5b ? 12b ? 4 ? 0 ? ? b ? ?2 ?b ? ?2 ?b ? ? 5 ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? a?? ? ? a ? ?2 ? 5, 由10 ab ? 12 ( a ? b) ? 8 ? 0, 舍去? ,? 2 ?b ? ?2 ?b ? ? ? 5 ? ? 2 2 故，a ? ?2, b ? ? 或a ? ? , b ? ?2. 5 520.由题设知，I ? ?? r 2 sin ? 1 ? r 2 cos2 ? ? r 2 sin 2 ? drd? ? ?? y 1 ? x 2 ? y 2 dxdyD x 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ?0 dx?0 1 ? x ? y d (1 ? x ? y ) ? 3 ?0 (1 ? x ? y ) 2 3 1 1 2 2 ? ? [1 ? (1 ? x ) ]dx. 3 0 1 1 ? 1 ? 设x ? sin t , 则I ? ? ? 2 cos( 4 ) tdt ? ? . 3 3 0 3 16 D 3 2 2 x 0?dx21.1 证：设函数F ( x) ? f ( x) ? x 3，由题意知F (0) ? 0, F (1) ? 0. 3 1 1 在[0, ]和[ ,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有 2 2 1 1 1 1 F ( ) ? F (0) ? F ?(? )( ? 0) ? [ f ?(? ) ? ? 2 ].? ? (0, ), 2 2 2 2 1 1 1 1 F (1) ? F ( ) ? F ?(? )(1 ? ) ? [ f ?(? ) ? ? 2 ],? ? ( ,1). 2 2 2 2 1 1 二式相加，得：F (1) ? F (0) ? [ f ?(? ) ? ? 2 ] ? [ f ?(? ) ? ? 2 ] ? 0 2 2 2 2 即f ?(? ) ? f ?(? ) ? ? ? ? .22.53数学二历年考研试题及答案详解（）(1)设?1 ,? 2为Ax ? b的2个不同的解，则?1 -? 2是Ax ? 0的一个非零解，故 A ? (? ? 1) 2 (? ? 1) ? 0, 于是? ? 1或? ? -1。 当? ? 1时，因为r ( A) ? r ( A, b), 所以Ax ? b, 舍去。 当? ? -1时，对Ax ? b的增广矩阵施以初等行变换 ? 3 ? ? ? ? ?1 1 1 a ? ? 1 0 ?1 2 ? ? ? 1 （A, b) ? ? 0 ? 2 0 1 ? ? ? 0 1 0 ? ? ? B ? 2 ? ?1 1 ?1 1 ? ? 0 0 0 a ? 2? ? ? ? ? ? ? ? Ax ? b有解， a ? ?2. ? (2)当? ? ?1, a ? ?2时， ? 3 ? ? ? ? 3 ? ?1? ? 1 0 ?1 2 ? ? 0 1 0 ? 1 ?, 所以Ax ? b的通解为x ? 1 ? ? 1? ? k ? 0 ?, 其中k为任意常数。 B? ? ? ? ? ? 2? 2? ? ? ? ?0 0 0 0 ? ? 0 ? ?1? ? ? ? ?23.解：由题设，（ ，1）为A的一个特征向量，于是 1 2， T ? 1 ? ? 0 ? 1 4 ?? 1 ? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? A? 2 ? ? ? ? 1 3 a ?? 2 ? ? ?1 ? 2 ?, 解得a ? ?1, ?1 ? 2. ? 1 ? ? 4 a 0 ?? 1 ? ?1? ? ? ? ?? ? ? ? 由于A的特征多项式 ?E ? A ? (? ? 2)(? ? 5)(? ? 4), 所以A的特征值为2,5,?4. 1 属于特征值5的一个单位特征向量为 （1，1， T ; - 1） 3 1 属于特征值 ? 4的一个单位特征向量为 （ ? 1，1） 0， T 2 1 1 ? ? 1 ? ? ? 3 2? ? 6 ?2 ? ? ? 1 ? 2 ? T 令Q ? ? ? 0 ?, 则有Q AQ ? ? 5 ?, 故Q为所求矩阵。 6 3 ? ? ? ? 4? ? ? 1 1 ? ? 1 ? ? 3 2 ? ? 654数学二历年考研试题及答案详解（）2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析一、选择题： （1） 【答案】C 【解析】f ? x? ?x ? x3 sin ? x则当 x 取任何整数时， f ? x ? 均无意义 故 f ? x ? 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x ? x3 ? 0 的解 x1,2,3 ? 0, ?1x ? x3 1 ? 3x 2 1 ? lim ? x ? 0 sin ? x x ? 0 ? cos ? x ? 3 2 x?x 1 ? 3x 2 lim ? lim ? x ?1 sin ? x x ?1 ? cos ? x ? 3 2 x?x 1 ? 3x 2 lim ? lim ? x ??1 sin ? x x ??1 ? cos ? x ? lim故可去间断点为 3 个，即 0, ?1 （2） 【答案】A 【解析】 f ( x) ? x ? sin ax, g ( x) ? x ln(1 ? bx) 为等价无穷小，则2f ( x) x ? sin ax x ? sin ax 1 ? a cos ax a 2 sin ax lim ? lim 2 ? lim 2 洛 lim 洛 lim x ?0 g ( x ) x ?0 x ln(1 ? bx ) x ?0 x ? ( ?bx ) x ?0 x ?0 ?3bx 2 ?6bx? lim a 2 sin ax a3 ? ? ? 1 ? a3 ? ?6b 故排除 B, C . x ?0 6b 6b ? ? ax a1 ? a cos ax 存在，蕴含了 1 ? a cos ax ? 0 ? x ? 0 ? 故 a ? 1. 排除 D . x ?0 ?3bx 2另外 lim所以本题选 A. （3） 【答案】 D 【解析】因 dz ? xdx ? ydy 可得?z ?z ? x, ? y ?x ?y55数学二历年考研试题及答案详解（）A??2 z ?2 z ?2 z ?2 z ? 1,?B ? ? ? 0,?C ? 2 ? 1 ?x 2 ?x?y ?y?x ?y?z ?z ? 0, ? 0 ?x ?y又在（0，0）处，AC ? B2 ? 1 ? 0故（0，0）为函数 z ? f ( x, y ) 的一个极小值点. （4） 【答案】C 【解析】? dx?122xf ( x, y)dy ? ? dy ? f ( x, y)dx 的积分区域为两部分：1 x22D1 ? ?( x, y ) 1 ? x ? 2, x ? y ? 2? ， D2 ? ?( x, y ) 1 ? y ? 2, y ? x ? 4 ? y?将其写成一块 D ? ( x, y ) 1 ? y ? 2,1 ? x ? 4 ? y 故二重积分可以表示为???21dy ?4? y1f ( x, y)dx ，故答案为 C.（5） 【答案】 B 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， f ( x) 是 一 个 凸 函 数 ， 即 f ''( x) ? 0 ， 且 在 点 (1,1) 处 的 曲 率??| y '' | (1 ? ( y ') )3 2 2?1 ，而 f '(1) ? ?1 ，由此可得， f ''(1) ? ?2 2在 [1,?2] 上， f '( x) ? f '(1) ? ?1 ? 0 ，即 f ( x) 单调减少，没有极值点. 对于 f (2) ? f (1) ? f '(? ) ? ?1?????????? ? (1,?2) ， （拉格朗日中值定理）? f (2) ? 0 而 f (1) ? 1 ? 0 ???56数学二历年考研试题及答案详解（）由零点定理知，在 [1,?2] 上， f ( x) 有零点. （6） 【答案】D故应选（B）.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y ? f ( x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x ? x0 所 围的图形的代数面积为所求函数 F ( x) ，从而可得出几个方面的特征： ① x ? ? 0,1? 时， F ( x) ? 0 ，且单调递减. ② x ? ?1, 2 ? 时， F ( x) 单调递增. ③ x ? ? 2,3? 时， F ( x) 为常函数. ④ x ? ? ?1, 0? 时， F ( x) ? 0 为线性函数，单调递增. ⑤由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D . （7） 【答案】 B 【解析】根据 CC ? C E 若 C ? C C , C???1?1?1 ? C C分块矩阵 ??0 ?BA? 0 ? 的行列式 0? BA 0? ? 1 2?2 A B ? 2 ? 3 ? 6 即分块矩阵可逆 （ ）?0 ? ?BA? 0 ? ? 0? B? ? 0 ? 6? ? 1 A? ? ?2?A?0 ? 0 ?BA? ? 0 ? ? 6 ? ?1 0? ?A?1? ? 0 B ? ? ? ? 6? 1 ? 0 ? ? A ? A?11 ?? B ? B ? ? 0 ? ?1 ?? B 3 ? ? 0 ??? ? 3A 0 ? ? ? ?2 B? ? ? 0 ?（8） 【答案】 A?1 0 0 ? ? ? 【解析】 Q ? (?1 ? ? 2 , ? 2 , ? 3 ) ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) 1 1 0 ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) E12 (1) ，即： ? ? ?0 0 1 ? ? ?57数学二历年考研试题及答案详解（）Q ? PE12 (1)T QT AQ ? [ PE12 (1)]T A[ PE12 (1)] ? E12 (1)[ PT AP ]E12 (1)?ET 21?1 ? ?0 ? ?0 ?二、填空题?1 0 (1) ? 0 1 ? ?0 0 ? 1 0 ? ?1 1 0 ? ?0 ?? 0 1 ? ?0 ??0? 0 ? E12 (1) ? 2? ? 0 0 ? ?1 0 0 ? ? 2 1 0 ? 1 0 ? ?1 1 0 ? ? ? 1 1 0 ? ?? ? ? ? 0 2 ? ?0 0 1 ? ? 0 0 2 ? ?? ? ? ?（9） 【答案】 y ? 2 x 【解析】所以 所以dy 2t ? 2t ln(2 ? t 2 ) ? t 2 ? dt 2 ? t2 2 dx ? e? (1?t ) ? (?1) t ?1 ? ?1 dt dy ?2 dx切线方程为 y ? 2 x .t ?1? ?2（10） 【答案】 ?2 【解析】1 ? ? e dx ? 2 ?kx ??????01 e dx ? 2 lim e kx b??? k 0kxb因为极限存在所以 k ? 01? 0?k ? ?22 k（11） 【答案】0?x ?x ?x 【解析】令 I n ? e sin nxdx ? ?e sin nx ? n e cos nxdx??? ?e? x sin nx ? ne? x cos nx ? n 2 I nn cos nx ? sin nx ? x e ?C n2 ? 1 1 n cos nx ? sin nx ? x 1 即 lim ? e? x sin nxdx ? lim(? e 0) n ?? 0 n ?? n2 ? 1所以 I n ? ?58数学二历年考研试题及答案详解（）? lim(?n ??n cos n ? sin n ?1 n e ? 2 ) 2 n ?1 n ?1（12） 【答案】 ?3?0y ' ' y【解析】对方程 xy ? e ? x ? 1两边关于 x 求导有 y ? xy ? y e ? 1 ，得 y ' ? 对 y ? xy ? y e ? 1 再次求导可得 2 y ? xy ? y e ? ( y ) e ? 0 ，' ' y ' '' '' y ' 2 y1? y x ? ey2 y ' ? ( y ' )2 e y 得y ?? (*) x ? ey''当 x ? 0 时， y ? 0 ， y '(0) ?1? 0 ? 1，代入 (*) 得 e0y '' (0) ? ?2 y ' (0) ? ( y ' (0)) 2 e0 ? ?(2 ? 1) ? ?3 (0 ? e0 )3? 2 e（13） 【答案】 e【解析】因为 y? ? x2x? 2 ln x ? 2 ? ，令 y? ? 0 得驻点为 x ?221 . e又 y?? ? x 2 x ? 2ln x ? 2 ? ? x 2 x ?? ?1 2 ?1? ，得 y?? ? ? ? 2e e ? 0 ， x ?e?故x?? 1 2x 为 y ? x 的极小值点，此时 y ? e e ， e2又当 x ? ? 0, ? 时， y? ? x ? ? 0 ； x ? ? ,1? 时， y? ? x ? ? 0 ，故 y 在 ? 0, ? 上递减，在 ? ,1? 上递 增.2ln x x?0? 1 x lim lim 2 x 1 x2? ?1? e??1 ? ?e ?? ?1? e??1 ? ?e ?而 y ?1? ? 1 ， y? ? 0 ? ? lim x ?x ?02x? lim e ?x ?02 x ln x?e?ex?0? ?? e x?0?lim ? ?2 x ??1，?1? ? 1? 所以 y ? x 在区间 ? 0， 上的最小值为 y ? ? ? e e . ?e?22x(14)【答案】 259数学二历年考研试题及答案详解（）?2 0 0? ? ? T T 【解析】 因为 ?? 相似于 ? 0 0 0 ? ， 根据相似矩阵有相同的特征值， 得到 ?? 得特征值是 2, 0, 0 ?0 0 0? ? ?而 ? ? 是一个常数，是矩阵 ?? 的对角元素之和，则 ? ? ? 2 ? 0 ? 0 ? 2T T T三、解答题2 ?1 ? cos x ? ? x ? ln(1 ? tan x)? ? lim 2 x ? x ? ln(1 ? tan x)? （15） 【解析】 lim x ?01sin 4 xx ?0sin 4 x?1 x 2 x ? ln(1 ? tan x) 1 x ? ln(1 ? tan x) 1 lim 2 ? lim ? 2 x ?0 sin x x ?0 2 sin x 2 sin 2 x 4（16） 【解析】 令1? x 1 ?2tdt ? t 得 x ? 2 ,?dx ? 2 x t ?1 (t ? 1) 21? x 1 )dx ? ? ln(1 ? t )d 2 x t ?1 ln(1 ? t ) 1 1 ? 2 ?? 2 dt t ?1 t ?1 t ?1? ln(1 ?而?t1 1 1 1 1 2 dt ? ? ( ? ? )dt ?1 t ?1 4 t ? 1 t ? 1 (t ? 1) 2 1 1 1 ln(t ? 1) ? ln(t ? 1) ? 2 ?C 4 4 t ?12所以? ln(1 ?1? x ln(1 ? t ) 1 t ? 1 1 )dx ? 2 ? ln ? ?C x t ? 1 4 t ? 1 2(t ? 1) 1? x 1 1 x ) ? ln( 1 ? x ? x ) ? ?C x 2 2 1? x ? x 1? x 1 1 1 ) ? ln( 1 ? x ? x ) ? x ? x ? x2 ? C x 2 2 2? x ln(1 ? ? x ln(1 ?（17） 【解析】60数学二历年考研试题及答案详解（）?z ? f1? ? ?x ?z ? f1? ? ?yf 2? ? yf3? f 2? ? xf 3?? dz ??z