&p&这个问题很典型。&/p&&p&某日，一位车间工人来找我。他在我的桌子上看见了许多书，就问我：是不是读了这些书就可以当销售了？&/p&&p&我告诉他：未必。外资企业的销售工程师，某种意义上讲是合同中技术条件的引领者，担负了很大的责任，毕竟专业知识在那儿摆着，这需要多年的积累和再学习才能做到。&/p&&p&于是，他问了题主的主题：&b&年龄大，学历低，该如何规划学习和自考？&/b&&/p&&p&该如何回答呢？&/p&&p&&b&第一：我们学习的目的不同&/b&&/p&&p&作为学生，他们学习的目的相对简单，无非就是走正常的学习之路，给自己将来的入职创造较好的条件而已。&/p&&p&作为已经工作的职场人则不同，我们的目标是给自己创建更好的工作环境。但我们的学习往往有许多限制条件，例如孩子、家庭、工作繁忙等等。&/p&&p&职场人的学习属于再学习，目标也很繁多。因此，低学历的职场人首先要弄清楚学习的目的是什么，力争使我们的学习事半而功倍。&/p&&p&建议：低学历的职场人一定要结合自己所从事的职业和工作来展开再学习，这样才能达到有效的学习目的。&/p&&p&另外要明确一点：学习没有年龄偏大之说，只有愿不愿意读书。&/p&&p&若某人说自己很忙而放弃读书，绝大部分情况下，此人时间很充分，却浪费在无谓的各种应酬上了。&/p&&p&以我为例，我的知乎帖子有相当部分是在班车上写的。这就叫做挤时间。而且，我很少参加且主动屏蔽各种应酬。公司的人都知道，要想让我参加应酬是难上加难。我只参加有技术含量的应酬，其它一概不参加，节省出时间来做自己喜欢的事。&/p&&p&&b&第二：低学历职场人如何选择自己所需的专业书籍&/b&&/p&&p&在这方面不可能给出有效的建议。不过，我还是想谈谈我的看法。&/p&&p&我曾经与三位低学历电工有过交互。&/p&&p&其中一位期望学习PLC技术，他拿来一本日本三菱PLC的教材给我，让我讲解给他听。记得我只给他讲解了其中的数据格式后，他受不了了。他拿起书本准备走了，并且说：高级技工考试无非就是给主考一点钱就是了，算了，不学了。从此以后我再也没有理睬过他。&/p&&p&第二位期望学习电工技术，他拿了技工学校的课本。记得当时讲解的是开关分类。他只读了其中的两页，就认为自己已经掌握这门技术了，临走时说：马上就要考级。来不及学习了，就这样吧。&/p&&p&这两位的学习过程，我们能看到他们急功近利的心态。如此学习，可想而知结果是什么。&/p&&p&第三位是北京地铁的员工。当我在总调电力监控系统的通信管理机时，他在边上看着我用笔记本和PLC互联并调试参数。当我调试完准备走时，他告诉我他是低学历者，期望学习PLC，让我给他指条路。我给他开了一些书目，以及一些基础知识的教材，主要是大专的教材。这位地铁员工居然认真地学习了，并且学有所成。经过前后五年的学习和自考，他拿到了工程师资格证书，让人颇感惊讶。我对他真的佩服有加。&/p&&p&所以，对于真正想学习的低学历者来说，最合适的教材就是大专课本。至于开拓性读物，我首推各种导论书籍。&/p&&p&对于电学来说，就是我常常推荐的《电路分析导论》，（美）Robert L.Boylestad著，陈希有等译。当前市面上是此书的第12版。当当网和亚马逊都有售。书定价RMB135，但会打折。&/p&&img src=&/v2-3e0772075fddaa274b33c7d7fd782e42_b.jpg& data-rawwidth=&778& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&778& data-original=&/v2-3e0772075fddaa274b33c7d7fd782e42_r.jpg&&&p&&b&第三：如何选择配套的基础课书籍&/b&&/p&&p&学习大专教材，对于低学历者来说，一道门槛就是数学、物理和化学基础知识，特别是数学和物理，尤为重要。&/p&&p&许多人特地去买了高中的课本，但却读不下去。其实这一点也不奇怪，高中课本属于应试教育的教材，根本就不适用于低学历者。&/p&&p&例如三角函数，能搞出如此之多的算法，而这些算法毫无实用价值。&/p&&p&所以，低学历者一定要选择一本适合于自己学习的基础学科书籍。&/p&&p&前面第三位学习者（以下简称第三学习者），他用的是《高中数理化概念定理公式手册》。据他说，十分实用，一本在手，所需要的知识全有了。&/p&&img src=&/v2-bbd9e78efec_b.jpg& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&315& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&/v2-bbd9e78efec_r.jpg&&&p&大学数学和大学物理，也可阅读《大学数学导论》和《大学物理导论》这两本书。&/p&&img src=&/v2-cadd6cbf58b030a8ac1f10f4dc05f978_b.jpg& data-rawwidth=&922& data-rawheight=&354& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&922& data-original=&/v2-cadd6cbf58b030a8ac1f10f4dc05f978_r.jpg&&&img src=&/v2-5d06eb80cdfc6af925d5724_b.jpg& data-rawwidth=&835& data-rawheight=&331& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&835& data-original=&/v2-5d06eb80cdfc6af925d5724_r.jpg&&&p&导论类书籍，相对正规教材容易读，深度适中，且能获得许多扩展知识，很适合于非本专业的人士和期望了解专业通用知识的人阅读，当然也适用于学历低的学习者。&/p&&p&&b&第四：低学历者如何学习&/b&&/p&&p&学习的最大困难其实就是自己。&/p&&p&我问过第三学习者，遇见学习困难怎么办？他告诉我：&/p&&p&第一：不能因为有困难就停止不前。能问人就问，不能问就暂时搁下，继续往后学习。学到后面，绝大多数情况下都能解决前面的问题。&/p&&p&第二：学习难题一定不能问高中老师。因为高中老师的知识面十分狭窄，不能解决大学教材以及工作中的实际问题，最好去问大学老师、工程师或者设计师。&/p&&p&第三：要克服自己的惰性，养成读书的习惯，自然而然就能抽出时间。当过了一段时间，回头看自己所学的知识，会产生惊讶的感觉。&/p&&p&第四：要选择适合于自己且定位较高的自考目标。&/p&&p&例如第三学习者的目标是电气工程师，他最终做到了。好在我还有高级工程师这个头衔，否则他就和我平起平坐了。&/p&&p&&b&第五：兼顾其他专业科目的学习&/b&&/p&&p&现代工业中，知识都是全面的，我中有你，你中有我。因此，学习上也要有所顾及。&/p&&p&对于电学来说，模电数电和电力电子，都在我们学习的目标区中。此类学习可参考的书很多。&/p&&p&特别地，对于机械制图不要放过，也即AutoCAD的学习。&/p&&p&我本人离开校园后，由于工作需要，陆陆续续地学习了《大学化学》、《物理化学》、《玻璃工艺学》、《机械原理》、《理论力学》，还有《工程电磁场》等课程。有了这些知识，在工作中感到比较方便。&/p&&p&对于已经入职的人来说，还有一些必须知道的书籍，就是国家标准和行业规范。&/p&&p&国家标准和行业规范，是本专业必须知晓的内容。在企事业单位工作时，校园的理论已经化身为国家标准和规范，来对产品的设计、制造、测试检验和销售做技术限定。因此，我们必须十分熟悉本专业的国家标准和规范，才能在企业的生产过程中说得上话。&/p&&p&我在工作中收集了大约几百个国家标准的PDF格式文件，这些文件能有效地帮助我们更好地工作。&/p&&img src=&/v2-6f2d31fbf2ad2fbaccf8dc3_b.jpg& data-rawwidth=&1247& data-rawheight=&678& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1247& data-original=&/v2-6f2d31fbf2ad2fbaccf8dc3_r.jpg&&&p&不过，要注意不要走向另外一个极端：一切一切都以标准和规范行事，自己不动脑子，久而久之，思想会僵化，对自己反而不利。&/p&&p&&b&第六：一定要结合实际做必要的试验&/b&&/p&&p&这一点很重要。不管是机械也好，电气也好，做一次试验，能让人悟出许多道理。&/p&&p&有时，我们不一定具备做实验的条件，但从手边的图纸设计和方案论证，也能学到许多东西。&/p&&p&学习时，往往会听到一些风言风语，要有容忍的态度。毕竟，学到的知识是我们自己的，我们不是为他人学习。&/p&&p&做实验时尤其会出现上述现象，要注意克服。&/p&&p&我本人就曾经购买过西门子和施耐德的PLC专门在家做编程试验，目的在于了解其它公司PLC产品的特征和品质参数。&/p&&p&&b&第七：关于网络学习&/b&&/p&&p&当下各类网络学习渠道很多，五花八门，什么都有。&/p&&p&我看过几次网络学习课程片段，讲解者其实都没讲到点子上，有点哗众取宠的感觉，给人的印象很不好。因此我不建议低学历者到网络上学习，确实有点误人。&/p&&p&要知道，最好的学习材料就是书籍，应当以教科书为主展开学习。&/p&&p&==============&/p&&p&主要就是这些。&/p&
这个问题很典型。某日，一位车间工人来找我。他在我的桌子上看见了许多书，就问我：是不是读了这些书就可以当销售了？我告诉他：未必。外资企业的销售工程师，某种意义上讲是合同中技术条件的引领者，担负了很大的责任，毕竟专业知识在那儿摆着，这需要多年…
&p&● 泰勒公式是在局部，用一个多项式函数，近似地替代，一个复杂函数。这一点，大家在前面的高票回答里已经很清楚了。现在，我想谈谈为什么可以用多项式函数进行替代以及泰勒公式展开的本质。&/p&&p&方便大家理解，我只用最简单的带佩亚诺余项的麦克劳林公式做范例，后面大家可以用一般的泰勒公式自己分析一下。&/p&&p&&br&&/p&&p&● 一般教科书把麦克劳林公式写成以下形式：&img data-rawheight=&405& src=&/v2-fcd42ca41c72_b.jpg& data-rawwidth=&3333& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3333& data-original=&/v2-fcd42ca41c72_r.jpg&&初学者可能有点懵逼，只是死记硬背，对这个展开式没有直觉性的分析，觉得这个公式很不可爱。&/p&&p&但是，如果稍稍把阶乘换个位置，譬如这样：&img data-rawheight=&338& src=&/v2-97d82f04078c2afb940cfdbc_b.jpg& data-rawwidth=&3190& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3190& data-original=&/v2-97d82f04078c2afb940cfdbc_r.jpg&&这个公式一下子就变得和我一样可爱。上一个公式只是为了方便求各阶幂函数前的系数，而这种形式才更贴近泰勒公式的本质。&/p&&p&&br&&/p&&p&● 大家可以思考下，在泰勒展开式中，每一个幂函数与其搭配的同阶的阶乘的特点。可能还是没有一眼看出来，但是如果我告诉你x^n的第n阶导数是n！呢？也就是说，x^2的二阶导数是2！，x^3的三阶导数是3！，这样你能看出什么吗？&/p&&p&是的，你会发现，在x=0这一点，对右边多项式函数求三阶导数，结果为f'''(0)，因为f(0)、f'(0)x、f''(0)x^2/2分别在一次求导，二次求导和三次求导中求导成了0；而后面的456更高阶幂函数代入x=0全为0；x^3的三阶导数是3！，和分母的3！约去，只剩下了f'''(0)这一项。——多项式函数的3阶导数值就是f(x)的3阶导数值。同理，多项式函数的4阶导数值就是f(x)的 4阶导数值，多项式函数的10086阶导数值就是f(x)的10086阶导数值。&/p&&p&&br&&/p&&p&● 大家可能就理解了，为啥泰勒展开式都是幂函数。这并非某些答案所说的因为幂函数很简单，而是因为幂函数一旦与相应的阶乘组合，就可以在对应阶数求导后「消失」，只留下各阶导数值。在这种意义上，泰勒展开并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。&/p&&p&&br&&/p&&p&● 因此反过来看，就算你没有记住某个函数的泰勒展开式，你也是可以轻易算出每一阶幂函数前面的系数的，由之前分析的结果可以很容易知道，x^7前面的系数为f(0)的第7阶导数值/7！。这就是一般的泰勒公式把阶乘放在各阶导数值下的目的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&u&● 总结：泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种“各阶导数值相等”，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在「每一个维度上完全相同」的奇妙的事实。&/u&&/b&&/p&&p&&b&&u&&br&&/u&&/b&&/p&&p&● 打个不精确的比方，在「某一时刻」，有两个「独立的人」，一个人叫张三，一个人叫李四。张三想让李四替代自己去上学。&/p&&p&在这一时刻，李四和张三的长相相同（函数值相同），体型相同（一阶导数值相同），声音相同（二阶导数值相同），那我们就可以认为，或许在这一刻，让李四替代张三是比较合理的。如果在更深入的维度上，他们具有相同的智商（三阶导数值相同），具有相同的记忆（四阶导数值相同），那么用李四替代张三就更合理了。如果他们具有相同的喜恶（五阶导数值相同），具有相同的三观（六阶导数值相同），那么用李四替代张三就越来越合理了。&/p&&p&这也是为什么泰勒公式展开越多项，在展开这一点的附近就越接近f(x)本身。&/p&&p&&br&&/p&&img data-rawheight=&338& src=&/v2-cee2bdcabddfa4_b.jpg& data-rawwidth=&3190& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3190& data-original=&/v2-cee2bdcabddfa4_r.jpg&&● 现在再看一眼公式，大家能「理所当然」地理解为啥泰勒公式能够如此展开了吗？你在写出展开式的时候，内心活动应该如下：&br&◎ 在x=0这一点，他们的函数值相同，所以写出第一项f(0)。&br&◎ 他们的1阶导数值相同，所以写下f'(0)；要求求1阶导的结果为f'(0)，那么后面得添上x。&br&◎他们的2阶导数值相同，所以写下f''(0)；要求求2阶导的结果为f''(0)，那么后面得添上x^2/2！。&br&◎ ……&br&◎ 他们的n阶导数值相同，所以写下f(0)的n阶导数值；要求求n阶导的结果为f(0)的n阶导数值，那么后面得添上x^n/n！&br&&br&——如果你能理解当中的本质，这是一个简单到不需要记忆的公式对吧？&br&&br&&br&&b&&u&● 希望你们看完这个回答后能够体会到，f(x)泰勒展开成怎样的函数并不重要，重要的是，在进行了某阶求导后，这个函数一切外在的躯壳都随风而逝，只留下了在这个维度上和f(x)完全相同的事实。&/u&&/b&
● 泰勒公式是在局部，用一个多项式函数，近似地替代，一个复杂函数。这一点，大家在前面的高票回答里已经很清楚了。现在，我想谈谈为什么可以用多项式函数进行替代以及泰勒公式展开的本质。方便大家理解，我只用最简单的带佩亚诺余项的麦克劳林公式做范例…
&p&格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒。&/p&&p&比如，打台球：&/p&&img src=&/v2-30fdd06574_b.jpg& data-rawwidth=&430& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&430& data-original=&/v2-30fdd06574_r.jpg&&&p&它的能量守恒是这样的：&/p&&img src=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-05614dfdc97ffcc9ddc02c472a4a511a_r.png&&&p&击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：&/p&&img src=&/v2-cefa1d0c538845_b.png& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&/v2-cefa1d0c538845_r.png&&&p&下面让我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林公式。&/p&&p&本人不才，下面的物理都主要重视直观理解，不求严格性，恳请物理大咖指点纠正。&/p&&p&&b&1 关于旋转的物理问题&/b&&/p&&p&在剑桥大学的小路上，正在思考的乔治·格林被一个学生拦住了，学生愁眉苦脸的说：“老师，您好，有个问题我一直没有想清楚，您帮我合计合计。”&/p&&p&学生继续说道：“这个问题就是，我应该怎么去分析水流中，螺旋桨的做功情况？”&/p&&img src=&/v2-3bd3afd6e8aec7119764bd_b.png& data-rawwidth=&646& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&646& data-original=&/v2-3bd3afd6e8aec7119764bd_r.png&&&p&“这是一道应用题，”格林眉毛一拧：“肯定是先建模啊。”&/p&&p&&b&2 模型的建立&/b&&/p&&p&首先，水流作用到螺旋桨上，表现为力，因此先把水流转为力场 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%3DP%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%2BQ%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}=P\vec{i_{}}+Q\vec{j_{}}& eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-d5f07b0554499cfedbc1b_b.png& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&/v2-d5f07b0554499cfedbc1b_r.png&&&p&把这样的螺旋桨：&/p&&img src=&/v2-76c9cf6baa1c_b.png& data-rawwidth=&2000& data-rawheight=&1328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2000& data-original=&/v2-76c9cf6baa1c_r.png&&&p&抽象一下，放入到力场中去，就会旋转起来（手动移动下螺旋桨的位置，还会发现在不同的位置旋转速度不一样）：&/p&&img src=&/v2-a169e6ebed745cab80bb80_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-a169e6ebed745cab80bb80_r.jpg&&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&///?target=http%3A///madocs/265.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&进一步简化一下，我们只研究其中某一个点的在旋转中的做功：&/p&&br&&img src=&/v2-fec974aa57e_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-fec974aa57e_r.jpg&&&p&等价于研究某一点在圆形路径上的做功：&/p&&br&&img src=&/v2-4c187bf7fed0baa75453_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&/v2-4c187bf7fed0baa75453_r.jpg&&&p&格林说：“问题就被转化为了沿路径做功了，我们看看物理层面怎么解答。”&/p&&p&&b&3 物理的解答&/b&&/p&&p&&b&3.1 旋转方向与有向路径&/b&&/p&&p&首先，规定逆时针旋转为正方向：&/p&&img src=&/v2-f37a323f6c666cb6b19effb9c650c17b_b.png& data-rawwidth=&530& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&530& data-original=&/v2-f37a323f6c666cb6b19effb9c650c17b_r.png&&&p&旋转有了方向之后，此点走过的路径也就有了方向，我们称为“有向路径”。&/p&&p&根据旋转的正方向，就可定义点走过的路径的正方向：&/p&&img src=&/v2-7fce93bf17cfcda72578cb8_b.png& data-rawwidth=&530& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&530& data-original=&/v2-7fce93bf17cfcda72578cb8_r.png&&&p&点要是反着转，那么走过的路径自然就是 &img src=&///equation?tex=L%5E-& alt=&L^-& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&b&3.2 做功分析&/b&&/p&&p&根据微积分的思想，我们把路径切成无数个微小的曲线段：&/p&&img src=&/v2-f176f6eafa2a7457179cca8a_b.png& data-rawwidth=&530& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&530& data-original=&/v2-f176f6eafa2a7457179cca8a_r.png&&&p&根据我们已知的两个知识（已知的意思，其实是我不想解释了）：&/p&&ul&&li&根据微积分“以直代曲”的思想，这些微小的曲线段可以用切线来代替&/li&&li&根据物理知识，我们知道，力只在路径方向做功&/li&&/ul&&p&结合上述两点，我们可以得到，每个微小的曲线段上做的功为：&/p&&img src=&/v2-2b6a5fb77c6a5c118e6cd69ffc875375_b.png& data-rawwidth=&530& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&530& data-original=&/v2-2b6a5fb77c6a5c118e6cd69ffc875375_r.png&&&p&那么，很明显，整段封闭曲线做功可以表示为如下：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&&&p&“哇，清晰多了！”同学搓搓手，递上一只大前门香烟：“老师，可是怎么计算呢？”&/p&&p&格林抽出笔来，刷刷地写道：“就这么算！”&/p&&p&&b&4 数学计算&/b&&/p&&p&&b&4.1 矢量形式转为标量形式&/b&&/p&&p&矢量形式 &img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&& 不太好计算，让我们转为标量形式。&/p&&p&根据我们一元微积分的知识，我们知道 &img src=&///equation?tex=d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&d\vec{r_{}}& eeimg=&1&& 在 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%2C%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D& alt=&\vec{i_{}},\vec{j_{}}& eeimg=&1&& 方向的分量为：&/p&&img src=&/v2-395cfeeb3ed386be7ac205_b.png& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&/v2-395cfeeb3ed386be7ac205_r.png&&&p&那么，有 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%3DP%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%2BQ%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}=P\vec{i_{}}+Q\vec{j_{}}& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=d%5Cvec%7Br%7D%3Ddx%5Cvec%7Bi%7D%2Bdy%5Cvec%7Bj%7D& alt=&d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}& eeimg=&1&& ，所以， &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D%3DPdx%2BQdy& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=Pdx+Qdy& eeimg=&1&& ，所以：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D%3D%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdx%2BQdy& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy& eeimg=&1&&&p&&b&4.2 非常简单的加减运算&/b&&/p&&p&我们给出一个简单的力场，这个力场的特点是：&/p&&ul&&li&只有水平方向的力&/li&&li&在同一个垂直高度上，力的大小一样&/li&&li&随着垂直高度的增加，力逐渐减小&/li&&/ul&&p&画出来就是这样的（矢量的方向表示力的方向，矢量的长度表示力的大小）：&/p&&img src=&/v2-a5d093caa04fb498b399ee_b.png& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&/v2-a5d093caa04fb498b399ee_r.png&&&p&计算在此力场中，某点围绕正方形路径一圈所做的功，已知：&/p&&ul&&li&正方形边长为3&/li&&li&上边受力大小为1，下边受力大小为4&/li&&li&力与左右两边垂直，所以在这两边不做功&/li&&/ul&&p&如图：&/p&&img src=&/v2-e7cfcfe8fb34fad538a8f_b.png& data-rawwidth=&626& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&626& data-original=&/v2-e7cfcfe8fb34fad538a8f_r.png&&&p&所以，算出某点围绕正方形路径一圈所做的功为：&/p&&img src=&/v2-69e09bc8edfdb1cf8902_b.png& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&/v2-69e09bc8edfdb1cf8902_r.png&&&p&把正方形均分为9宫格，每块都是变长为1的正方形，每条正方形的边所在力场的大小我也标注在图里了：&/p&&img src=&/v2-1cab4bd667cdf7668dcb6e_b.png& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&/v2-1cab4bd667cdf7668dcb6e_r.png&&&p&可见，两种运算方法得到的结果都是一样的。&/p&&p&这是一个简单的演算，可以推广为，任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以直代曲”的微积分思想）的边界上的功之和：&/p&&img src=&/v2-991cd0e5a1a839aaf5266f93_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-991cd0e5a1a839aaf5266f93_r.png&&&p&这也就是我刚开始说的守恒，虽然功和能量还不是一回事，不过也算紧密相关，允许我这个物理民科这么去直观理解。&/p&&p&&b&4.3 计算微小矩形边界上的功&/b&&/p&&p&怎么计算微分矩形上做的功呢？让我取一个微分矩形出来，我把矩形的边和顶点、以及矩形的区域都标注出来了：&/p&&img src=&/v2-bc99c3bba03b986e8bc58_b.png& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&/v2-bc99c3bba03b986e8bc58_r.png&&&p&下面是代数推断了，我觉得过程还是很清晰明了的。&/p&&p&首先，注意到在 &img src=&///equation?tex=L_1%5E%2B%2CL_3%5E%2B& alt=&L_1^+,L_3^+& eeimg=&1&& 上 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 为0（因为 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 方向没有变化）， &img src=&///equation?tex=L_2%5E%2B%2CL_4%5E%2B& alt=&L_2^+,L_4^+& eeimg=&1&& 上 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 为0，然后我们继续推下去：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdx%2BQdy%26+%3D%5Cint+_%7BL_1%5E%2B%7DPdx%2B%5Cint+_%7BL_2%5E%2B%7DQdy%2B%5Cint+_%7BL_3%5E%2B%7DPdx%2B%5Cint+_%7BL_4%5E%2B%7DQdy%5C%5C+%26+%3D%5Cint+_%7Ba_0%7D%5E%7Ba_1%7DP%28x%2Cb_0%29dx%2B%5Cint+_%7Bb_0%7D%5E%7Bb_1%7DQ%28a_1%2Cy%29dy%2B%5Cint+_%7Ba_1%7D%5E%7Ba_0%7DP%28x%2Cb_1%29dx%2B%5Cint+_%7Bb_1%7D%5E%7Bb_0%7DQ%28a_0%2Cy%29dy%5C%5C+%26+%3D%5Cint+_%7Bb_0%7D%5E%7Bb_1%7D%5BQ%28a_1%2Cy%29-Q%28a_0%2Cy%29%5Ddy%2B%5Cint+_%7Ba_0%7D%5E%7Ba_1%7D%5BP%28x%2Cb_0%29-P%28x%2Cb_1%29%5Ddx%5C%5C+%26+%3D%5Cint+_%7Bb_0%7D%5E%7Bb_1%7D%5Cint+_%7Ba_0%7D%5E%7Ba_1%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddxdy-%5Cint+_%7Ba_0%7D%5E%7Ba_1%7D%5Cint+_%7Bb_0%7D%5E%7Bb_1%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddydx%5C%5C+%26+%3D%5Cint+_%7Bb_0%7D%5E%7Bb_1%7D%5Cint+_%7Ba_0%7D%5E%7Ba_1%7D%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7D%5Ddxdy%5C%5C+%26+%3D%5Ciint+_%7BD_1%7D%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7D%5Ddxdy+%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*} \oint _{L^+}Pdx+Qdy& =\int _{L_1^+}Pdx+\int _{L_2^+}Qdy+\int _{L_3^+}Pdx+\int _{L_4^+}Qdy\\ & =\int _{a_0}^{a_1}P(x,b_0)dx+\int _{b_0}^{b_1}Q(a_1,y)dy+\int _{a_1}^{a_0}P(x,b_1)dx+\int _{b_1}^{b_0}Q(a_0,y)dy\\ & =\int _{b_0}^{b_1}[Q(a_1,y)-Q(a_0,y)]dy+\int _{a_0}^{a_1}[P(x,b_0)-P(x,b_1)]dx\\ & =\int _{b_0}^{b_1}\int _{a_0}^{a_1}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int _{a_0}^{a_1}\int _{b_0}^{b_1}\frac{\partial P}{\partial y}dydx\\ & =\int _{b_0}^{b_1}\int _{a_0}^{a_1}[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}]dxdy\\ & =\iint _{D_1}[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}]dxdy \end{align*}& eeimg=&1&&&p&微分矩形的边界做功求出来了，结合我们之间的结论，边界的做功＝微分矩形做功之和我们可以得到最终的结论：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D%3D%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdx%2BQdy%3D%5Ciint+_%7BD%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddxdy& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy=\iint _{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy& eeimg=&1&&&p&其中 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 为 &img src=&///equation?tex=L%5E%2B& alt=&L^+& eeimg=&1&& 围成的区域。&/p&&p&同学之前听得屏息凝视，现在才有机会长出了口气：“真是精彩啊！”&/p&&p&格林反问道：“你知道 &img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}& eeimg=&1&& 会得到什么吗？”&/p&&p&&img src=&///equation?tex=d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D& alt=&d\vec{n_{}}& eeimg=&1&& 是法向量。&/p&&p&&b&5 通量&/b&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}& eeimg=&1&& 代表力在运动方向做功，但是力并不会在与运动的垂直方向做功，那么 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}& eeimg=&1&& 代表了什么？&/p&&p&如果把 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}& eeimg=&1&& 看作流速，或者电流密度，那么 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}& eeimg=&1&& 就在流体力学、电磁学中被称为通量。&/p&&p&关于通量更详细的可以看我另外一个回答 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&散度和旋度的物理意义是什么&/a& ，其中回答了为什么是法向量方向。&/p&&p&比如，对于我们头顶上的太阳：&/p&&img src=&/v2-488106bcf9de8ce9065ede41ee1a586b_b.png& data-rawwidth=&590& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&590& data-original=&/v2-488106bcf9de8ce9065ede41ee1a586b_r.png&&&p&我们要计算穿过（包括射出和进入）太阳表面的能量总量：&/p&&img src=&/v2-a34abd8a9e3e3f315e847f2a35507ee1_b.png& data-rawwidth=&589& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&589& data-original=&/v2-a34abd8a9e3e3f315e847f2a35507ee1_r.png&&&p&这就是通量，记作：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}& eeimg=&1&&&p&太阳内部时时都在发生核聚变，以及其他的能量活动：&/p&&img src=&/v2-ddcc9a65bb4ceb79_b.png& data-rawwidth=&511& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&511& data-original=&/v2-ddcc9a65bb4ceb79_r.png&&&p&根据能量守恒，内部的能量总量，必然等于穿过太阳表面的能量总量。&/p&&p&也就是说，通量和内部能量总量相等。&/p&&p&定了这个基调之后，然后按照之前分析做功的方式，最终我们可以得到：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D%3D%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdy-Qdx%3D%5Ciint+_%7BD%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddxdy& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}=\oint _{L^+}Pdy-Qdx=\iint _{D}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy& eeimg=&1&&&p&格林说完之后，突然发现，自己发现了不得了的东西，对于数学有重要的意义，相当于把封闭曲线的线积分转为了二重积分。所以，赶快去发表论文吧。&/p&&p&&b&6 总结&/b&&/p&&img src=&/v2-94cded5084_b.png& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&361& class=&content_image& width=&250&&&p&乔治·格林（1793 — 1841），英国科学家，格林公式的发明者。&/p&&p&根据不同的物理意义，格林得到了两种格林公式的形式：&/p&&p&做功的形式（电磁学、流体力学也可以把 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D& alt=&\vec{F_{}}& eeimg=&1&& 看作流速，下面就称为环流量）：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Br_%7B%7D%7D%3D%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdx%2BQdy%3D%5Ciint+_%7BD%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddxdy& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy=\iint _{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy& eeimg=&1&&&p&通量的形式：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Coint+_%7BL%5E%2B%7D%5Cvec%7BF_%7B%7D%7D%5Ccdot+d%5Cvec%7Bn_%7B%7D%7D%3D%5Coint+_%7BL%5E%2B%7DPdy-Qdx%3D%5Ciint+_%7BD%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+P%7D%7B%5Cpartial+x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+Q%7D%7B%5Cpartial+y%7Ddxdy& alt=&\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}=\oint _{L^+}Pdy-Qdx=\iint _{D}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy& eeimg=&1&&&p&旋度和散度也出现在公式中了。&/p&&p&本文轻度调侃了乔治·格林，并非不敬。在我眼中科学家才是真正的英雄，希望我可以写出这些科学大咖风采的一二，借用《红楼梦》中的一句话，但使大家知道“科学界历历有人”。&/p&
格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒。比如，打台球：它的能量守恒是这样的：击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：下面让我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林公式。本人不才，下面的物理都主要重…
&p&今天要和大家分享的是我从学生时代一直使用的一些学习方法和一个有效的工具，如果觉得有帮助的话，记得先给喵点个赞再收藏~&/p&&p&&br&&/p&&p&内容有点多，3~4天更新完。大家可以根据文章结构索引直接拖到自己想看的部分进行阅读。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&————我是一个文章结构————&/p&&p&1. 一个实用的学习工具——康奈尔笔记法&/p&&p&1）准备笔记本&/p&&p&2）记笔记&/p&&p&3）学习与拓展&/p&&p&4）学以致用&/p&&p&2. 答主个人使用的学习方法&/p&&p&1）如何学好语文&/p&&p&（1）作文——从模仿到创作；厚积薄发（3.23已更新）&/p&&p&（2）文言文——用符号代替在行间记笔记（3.24已更新）&/p&&p&2）专业课学习（以电气工程为例）（3.25已更新）&/p&&p&（1）预习&/p&&p&（2）记笔记（用康纳尔笔记法）&/p&&p&（3）构建知识图（树）&/p&&p&（4）考前复习的高分要诀——抓住考前答疑的机会；把握重点和历年试题&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&————我才是正文————&/p&&p&&b&1. 一个实用的学习工具——康奈尔笔记法&/b&&/p&&p&强烈推荐康纳尔笔记法！目前用过的最好用的学习工具，没有之一。先把使用说明放在这里，后面讲个人学习方法案例的时候会用到。以下内容来源于&a href=&///?target=http%3A///Take-Cornell-Notes& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/Take-Cornel&/span&&span class=&invisible&&l-Notes&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。翻译来源于网络。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1） 准备笔记本&/b&&/p&&img src=&/v2-0b1d7bec171a_b.jpg& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&675& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-0b1d7bec171a_r.jpg&&&blockquote&（1）准备一个专门用来做康奈尔笔记的笔记本&br&不管你用的是笔记本还是活页本，首先你总得有一个空白的本子。康奈尔笔记法的重点在于把笔记本的每一页都分成不同的区域，每个区域都有特定的用途。&/blockquote&&img src=&/v2-c513f886fb6a24e57cff6b5306eaf961_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-c513f886fb6a24e57cff6b5306eaf961_r.jpg&&&blockquote&（2） 画一条横贯整个页面的水平线&br&大概画在这一页下方约四分之一高度的地方。这条线的下方是用来作总结的。&/blockquote&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-18fbc08631efec632670fda18ee7e17a_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-18fbc08631efec632670fda18ee7e17a_r.jpg&&&p&&br&&/p&&blockquote&（3）在左边划一条竖线&br&大概距离这页纸左边缘2.5英寸。这一块区域是用来复习笔记的。&/blockquote&&img src=&/v2-f235a9cfb9bb03d0b659fc50525ec83c_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-f235a9cfb9bb03d0b659fc50525ec83c_r.jpg&&&blockquote&（4）剩下的那一块最大的区域，就是真正用来做笔记的。&br&不论你是听讲座、上课还是写读书笔记，这块地方足够用了。&/blockquote&&img src=&/v2-ae324a05e2b109abdd12_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-ae324a05e2b109abdd12_r.jpg&&&blockquote&（5）如果你怕麻烦，你可以在网上直接搜索康奈尔笔记的模板&br&如果你记笔记特别多，一页一页画起来很麻烦，那么你可以把网上的那些模板打印出来。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&2） 记笔记&/b&&/p&&img src=&/v2-eb4068cc3_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-eb4068cc3_r.jpg&&&blockquote&（1）在页面的最顶部写上课程名、日期、课程主题/书名等&br&一定要坚持这样做，这样才能让你的笔记更加系统化。而且当你想复习笔记的时候，你就能通过题目很快的检索到笔记内容。&/blockquote&&img src=&/v2-eebfe2ffa3c0e92a6fc625_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-eebfe2ffa3c0e92a6fc625_r.jpg&&&blockquote&（2）在最大的那块区域上边记笔记&br&上课\看书\听讲座的时候，只用那块最大的区域记笔记。笔记内容应该包括：老师在黑板上写的东西、幻灯片里的东西等。&/blockquote&&img src=&/v2-ba850951eae_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-ba850951eae_r.jpg&&&blockquote&（3）利用笔记内容主动听讲和阅读&br&不论何时，只要你遇到重点，就果断把它先记下来再说。&br&当讲师要讲重点的时候，他一般会这么说：&XX的三个最重要的含义是…&或者&XX现象的产生，主要由这两个原因导致的。&只要你听到类似的话，就说明讲师要讲重点了，这个时候就果断记下来吧。&br&如果你在听讲座，演讲的人反复重复和强调的话肯定是重点，也果断记下来吧。&br&读书笔记同样适用：书中加粗的部分通常也是重点，书中的图表信息一般也很重要。&/blockquote&&img src=&/v2-02b94f5f028b37c6963072_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-02b94f5f028b37c6963072_r.jpg&&&blockquote&（4）笔记一定要简洁+整洁&br&记笔记一定要整洁。原则是：你的笔记可以直接拿来当作讲课大纲或者教案。记笔记的时候要快，优先记关键词和关键语句，这样你才能跟得上讲课人的速度。别想着一字不落的都记下来，多用着重号、符号、代号、缩写、或者你自己&发明&的各种奇怪符号。记笔记的时候，跟上讲课人的思路最重要，记录内容是次要的。&/blockquote&&img src=&/v2-5917dfbea76491cec5bd19_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-5917dfbea76491cec5bd19_r.jpg&&&blockquote&（5）只记录中心思想，不记录例证和说明性、解释性文字&br&例证只是为了证明中心思想而存在的。只记录中心思想，不仅节省时间，而且还能逼着你用自己的语言解释讲师的论点——这样更便于你理解和记忆课堂内容。&/blockquote&&img src=&/v2-323a7ac611f4d06ba990d_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-323a7ac611f4d06ba990d_r.jpg&&&blockquote&（6）轮到下一堂课/下一章节/下一话题的时候，用一条线把上边的内容分隔开，或者干脆另起一页&br&这样做能让你的笔记更系统化，也便于你查找和检索。&/blockquote&&img src=&/v2-2b8dd6a458fe434ca470c497f039158f_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-2b8dd6a458fe434ca470c497f039158f_r.jpg&&&blockquote&（7）听课的时候，如果你产生了疑问，或者没听懂，这时请果断记下来。这将帮助你更好的理解所学知识&br&举个例子：&br&假如你在上历史课，课程内容是圣彼得堡的历史。你也许会产生这样的疑问：为啥彼得大帝不雇用俄国工匠？这时请果断记下这个问题，不管以后查资料还是问老师，这个问题都有助于你理解这部分知识。&/blockquote&&img src=&/v2-90a3f848a7c27e571aeafbae_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-90a3f848a7c27e571aeafbae_r.jpg&&&blockquote&（8）及时修订笔记&br&如果你记录了一些读不懂、看不清、不正确的内容，那么果断擦掉或者改正吧，越早越好。一定要尽早修订笔记，这样才能防止这些错误的知识在你脑海里留下印象。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&b&3） 复习与拓展&/b&&/p&&img src=&/v2-49926decd84f723b997f8ee2f691b43d_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-49926decd84f723b997f8ee2f691b43d_r.jpg&&&blockquote&（1） 总结关键词和要点&br&当你听完一场讲座或者读完一本书，尽早从笔记本右边区域提炼出关键词或者要点。把这些浓缩后的精华部分记在左边的区域。花上一天的时间来复习这些内容，这将加强记忆效果。&br&如果你是视觉党，你可以用荧光笔等工具把重点标出来。&br&学会做减法，把不重要的信息都勾掉。这一步很重要，因为这能帮助你区分什么是关键信息什么是冗余信息。&/blockquote&&img src=&/v2-fd22e46ae42e3597d25ce_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-fd22e46ae42e3597d25ce_r.jpg&&&blockquote&（2）把联想到的问题写在左侧区域&br&思考右边区域中的笔记，猜测可能出现的考点，然后写在左边。这些问题都是很好的学习线索。&br&举个例子：&br&假如你在右边写了&1703-彼得大帝兴建了圣彼得堡城，还建立了彼得保罗要塞。&那么在左边，你可能会写上：&为啥彼得保罗要塞是彼得大帝在圣彼得堡建立的第一个建筑？&&br&你也可以在左边区域写上一些进阶的、在笔记中找不到答案的深层次问题。比如&彼得大帝迁都圣彼得堡，这对俄罗斯帝国未来的发展产生了怎样的影响？&这些问题将使你的学习更深入。&/blockquote&&img src=&/v2-71372fea0a47ebe3d7553e4_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-71372fea0a47ebe3d7553e4_r.jpg&&&p&&br&&/p&&blockquote&（3）把总结写在页面最底部的那一栏&br&写总结会让你的思路更清晰。一般来说，写几句话就行了，别写太多。如果有必要，可以写上公式、方程、图标等等。尽量用自己的话总结所学知识，这是检验你对知识理解程度的重要参考标准。如果你能用自己的话来总结所学知识了，就说明你理解了。&br&然后，你可以再进一步思考：&如果我要向没学过这些知识的人解释这些东西，我会怎么说？&&br&当然，如果你总结的时候发现有不明白的地方，那就果断看看右边区域的笔记有没有答案，或者直接请教老师。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4） 学以致用&/b&&/p&&img src=&/v2-be6d653ec1_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-be6d653ec1_r.jpg&&&p&&br&&/p&&blockquote&（1）阅读笔记&br&主要看左边区域的笔记，因为写在这里的都是要点和关键词。&/blockquote&&img src=&/v2-e350b5aaf2f320b7ecfe3_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-e350b5aaf2f320b7ecfe3_r.jpg&&&blockquote&（2）用笔记来检验你对知识的理解程度&br&用手或者白纸盖住笔记，然后尝试回答你当时在左边栏写下的问题。然后拿开手或白纸，看看你回答的对不对。&/blockquote&&img src=&/v2-8ac179db32edefde455dbfd_b.jpg& data-rawwidth=&728& data-rawheight=&546& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&728& data-original=&/v2-8ac179db32edefde455dbfd_r.jpg&&&blockquote&（3）尽可能频繁地复习笔记&br&在较长时间内保持复习笔记的好习惯，而非考前抱佛脚。这将极大地提高你的记忆与理解。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2. 答主个人使用的学习方法&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&这一部分和大家分享的是我过去十余年来自己使用的学习方法。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1）如何学好语文&/b&&/p&&p&具体内容只写两个部分——作文和文言文（会提到一些诗词的学习方法）。语文成绩的提高不是立竿见影的，也许你按照这些方法做，实践了3~6个月才见成效，——或者更久。但是如果有提高，绝不会只提高这两部分的分数。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）作文——从模仿到创作；厚积薄发&/b&&/p&&p&我从小到大被问人的最多的问题就是“如何学好语文”。这个问题从小学三年级第一次写作文开始，到高三，再到现在参加了工作，先是被同龄人问、被学弟学妹们问，后来又被同事姐姐们问——她们的孩子也到了面对作文愁眉不展的年龄。每次我回答“多读书”的时候，往往都会得到一句无奈的抱怨“我读的书很多呀，可是语文还是学不好。”&/p&&p&&br&&/p&&p&在妈妈的引导下，我比同龄的孩子早接触到阅读。小时候性格比较孤僻，比起在户外和别的孩子一起玩追逐奔跑的游戏，我更乐意在屋子里捧着一本书安静地呆在自己的小世界里。当时心智发展有限，大部分名著我还是当故事来看的，其中很多内容无法完全理解，成年以后再读感慨颇深，但是当时在小朋友的世界里“思考”还是比大多数同龄人要深刻得多的。初中三年读了许多国学经典。那段时间很是多愁善感，看着看着就自己蒙在被子里哭。上高中以后开始陷入被数学狂虐的死循环，每天唯一回家写的就是数学作业，语文课基本用来写除了数学以外其他科目的作业了，偶尔会听一听，家里订的杂志周末会翻一翻，这个时期语文水平再无提高，仍滞留在初中程度……&/p&&p&&br&&/p&&p&讲了一下自己的成长经历，你大概发现了，这种“好”的确是“读书”读出来的，但高中阶段其实是很难复制的。所以问题的关键是，究竟读什么书、怎样读书才对“学好语文（尤其是作文）”有用呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&第一个问题，读什么书，其实我在讲自己的成长经历的时候已经回答过了。绝不是你背上十几篇作文书上的范文就觉得自己游刃有余，也能写出满分作文了。某些网文小说作者功底雄厚，确实会对写作有帮助，但绝不是你读了数十本玛丽苏傻白甜就能写好作文了（不否认我自己也看过）。也不是你一个月订了好几本少女杂志和鸡汤杂志就能写好作文了。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于作文书，我的态度稍微温和一些。不是完全不能看，只是你最好别看同龄人写的。意思就是如果你上小学，请购买《中考满分作文》；如果你上初中，请购买《高考满分作文》。后者中确实出现过一些非常精彩的、家喻户晓的文章，如2001年的《赤兔之死》、2006年的《珍珑》等。可以学习满分作文的篇章结构与遣词造句，精彩的段落甚至可以背下来，但如果你只看成果，而不经历这些作者历练的过程，你永远只能望尘莫及。老师在讲作文课的时候通常会给你一些“结构图”，告诉你一篇优秀的作文该有哪些段落组成，这些段落之间的关系是什么，告诉你要“逻辑严谨条理清晰”。可是你都不知道自己要写什么内容，方法又有何用呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&所以还是要多读书、读好书。外国名著因为读的时候年龄太小了，到现在只有极少的几本给我留下了深刻的印象。我个人更偏爱国学经典。开始读的时候可能会觉得晦涩难懂，可以选择一些明清时期和近代的著作入门。最经典也是最容易理解的首推四大名著。不要笑，严肃！我认识的好多同学上了大学都没看完这四本，有的说起来还笑嘻嘻地表示自己看电视剧“看”完了四部书。有个别词不是很理解的话，其实也没什么关系，不影响理解大意。初二时受到《红楼梦》的指引又去读了《西厢记》和《牡丹亭》，“辞藻警人，余香满口”的感觉真的是回味了许久。因为其中有很多诗词，仅靠课本学习到的诗词知识是很难理解其中的意味的。这里推荐上海辞书出版社的《唐诗三百首鉴赏辞典》和《宋词三百首鉴赏辞典》，学习的时候可以当作工具书查阅，没事干的时候可以当散文看打发时间。和市面上大多数骗中学生钱的诗词书不一样，其中每篇鉴赏都是诗词品鉴方面的学者撰写的，而不是列出来几个词写一下注释，然后再用大！白！话！翻译一下诗词。这两本书里的内容大概是写一下创作背景（背后的故事），然后一句一句地分析诗词的意象，有些时候还会告诉你这句话作者借鉴了前朝的谁谁谁的哪句诗，但是又改了一下，意境就完全不一样了。&/p&&p&看多了你会发现，有一些意象这些诗人特别喜欢用，你一看见就知道他们又想表达啥意思了，而且还知道BCDEF五个诗人都喜欢借鉴古人A的某一首诗，所以A的这首诗简直就是父类，派生了好多子类……&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&这个技能是无论你看多少诗词翻译都无法掌握的。&/b&但是如果你读的是鉴赏，你知道了前5个人是怎样“改写”这句诗的，你也学会了如何“改写”。&/p&&p&&br&&/p&&p&还是说国学经典，进阶的可以选择读二十四史，高考文言文部分也就是这个难度了。从半白话入门刚看过来的时候也是很不习惯，觉得一半内容都看不懂。这个时候强行继续看可能会失去阅读的信心，于是捡起翻译吧。可以先看一遍白话，了解一下内容，再返回前面看原文。这个时候再对照注释就容易很多了。我个人觉得自己读文言文不需要像上语文课要求的那样严谨，大概能看懂就行了。自己阅读的重点在于“见识”与“乐趣”，而非某一句话语义理解的正确与否。&/p&&p&&br&&/p&&p&难度再高一些的大约是《庄子》《韩非子》一类的了……更难是《楚辞》。老实说要是你读上一个层级都比较困难的话，考虑考高分投入产出的性价比，语文书上选的那几篇就够了。&/p&&p&&br&&/p&&p&现代文不知道该读什么的，翻翻高年级的语文书——我一直提倡要超前学习与阅读，而不是追随着老师授课的进度——看看里面选的课文都出自哪些文集，把那些书拿来读一读。&/p&&p&&br&&/p&&p&没有形成自己的风格可以先从模仿别人开始。选择名师大家的作品（不知道模仿哪篇请看语文书），而不是作文书上的范文。想一下，如果你想表达这个意思，你会怎么写。但是大家之所以为大家，是因为他用了XXX的表达方式。既可以模仿表达方式也可以模仿叙述方式。还有前面说过的“改写”诗句的技能——其实它有一个文艺的说法，叫做“化用”。比如你在写某一处春景的时候可以说“在落花中独立，看微雨飞燕”，就是化用晏几道“落花人独立，微雨燕双飞”的写法。&/p&&p&&br&&/p&&p&读了这些书（已经很精简了），大概也有些思路了，可以拿出来语文老师教你的作文模式，也可以去看满文作文的写作思路了（不要不读书直接去看满分作文）。&/p&&p&&br&&/p&&p&剩下的就是一些小技巧了，比起读书省时省力许多，但是要先读书才能用。比如关注一下社会热点啊，最近发生了什么大事啊，写议论文举例子的时候可以用用。拿古人举例子可以写熟人生事（这个人是名人大家都听说过，但是这件事知道的人很少），切忌用被用滥的例子（不是说高考语文作文阅卷老师一天要见600多次屈原么，估计他都快崩溃了吧）。或者干脆就是冷门的，比如某个修为极高的禅师说过的一句令人深思的话……关键还是你在读书过程中积累的运用。&/p&&p&&br&&/p&&p&提笔之前先想想，文章的角度如何选取。第一个想到的立意，请避开它——因为这可能是大多数人都能想到的。换一个角度，静静地看大部队向着一个命题人设好的坑鱼贯而入——用新奇的构思去赢得阅卷人的眼球吧！&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）文言文——用符号代替在行间记笔记&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&上期回顾：&/b&昨天晚上我们讲到了怎样写作文能得高分，顺便也提到了诗词与文言文的学习。推荐了不多的几本书，以及怎样主动获取有助于提高语文成绩的好书。学好语文不是一蹴而就的，要通过阅读打好基础，再适当地学习方法论，针对不同题型进行练习。如果想跳过阅读这最关键的一步，无论学多少方法都是收效甚微的。&/p&&p&&br&&/p&&p&今天刚好有人私信问我需不需要做读书笔记，这里一并说一下吧。我个人不是很喜欢做笔记，尤其是时间比较紧张、还需要同时学其他科目的时候，书上有的内容再抄一次真的挺浪费时间的。但是你可以写一张便笺标注一下页码夹在扉页，用一两句话记一下你为什么做了这个标注，确保下次看到的时候能想起来。我自幼对书有洁癖——除了教科书，不能容忍书上有任何笔迹脏污，而且看书之前必须洗手。以至于我家书架里我读过3遍的书看起来像刚买回来的新书一样，学完一学期的教材，没有笔记的那些页看起来也像是新的，而且从侧面看纸页没有变黑。这个就是个人习惯而已，没什么大不了的，自己觉得怎么样顺手怎么来就好。&/p&&p&&br&&/p&&p&这一节我针对语文教材中文言文的学习列举一个小技巧，以供参考。&/p&&p&&br&&/p&&p&我上高中的时候用的语文教材，平装全彩，文字周围大约有3cm宽度的空白边框。我个人不是很喜欢用笔记本记对应很明确的那种知识点。比如说，某一句话中的某一个词需要做标注，我要是用笔记本的话还得把整句话抄下来，这样会使得记笔记的效率很低。我见到很多同学在老师讲文言文的时候做笔记，讲到某个地方的意思就迅速把它记在两行中间的空白处。这样做的缺点是，一方面，当笔记很多的时候，看起来会非常杂乱，影响阅读体验；另一方面，由于注释就在知识点的正上方，你看到知识点的时候会同时看到自己的注释，你会形成对注释的依赖，不利于记忆知识点。&/p&&p&&br&&/p&&p&我的习惯是，可以使用一些特殊的符号来进行标注，再把注释写在纸张周围空白边框离该知识点最近的位置。比如说通假字可以用倒三角把这个字框起来，定语后置可以把整句话用波浪线画下来，状语后置可以用双下划线等，再把批注写在段落右边的空白处。还有方框、正三角、菱形什么的，选一种符号你自己能看懂就行了。遇到某一些文言文中出现频率很高、只要出现基本就是固定意思的词，可以统一用圆圈圈一下，段落右边再写解释。刚开始使用的时候可能会有些不习惯，常常忘记了符号的含义，可以把图例画在课文标题的旁边，用的时候看一下。学3篇课文差不多你就熟悉这些符号了。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样做的优点，一是简洁美观。因为大体上没有破坏行间距，不会乍一看上去密密麻麻的都是字，除了书上的铅字还有你歪歪扭扭的手写体……这样的内容谁看了都没有学习的兴趣好嘛！强迫症患者表示这就是我直到上了大学都不喜欢用别人用过的旧书的原因。二是你无法在看到知识点的第一眼看到批注，但是通过符号你大概会明白是哪种类型的变化，你会主动去回忆这个知识点。如果想不起来的话，再看一眼旁边的批注，加深印象。&/p&&p&&br&&/p&&p&————3.24第二更，一个花絮————&/p&&p&周末回家啦～开森～拍了两张之前提到的《唐诗三百首鉴赏辞典》的图～&/p&&p&这本书拿来打发时间还不错……&/p&&img src=&/v2-d2eec938a1dac4aad44adff7d1fbda7c_b.jpg& data-rawwidth=&1538& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1538& data-original=&/v2-d2eec938a1dac4aad44adff7d1fbda7c_r.jpg&&&img src=&/v2-0ca2b7d7aab1d_b.jpg& data-rawwidth=&1538& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1538& data-original=&/v2-0ca2b7d7aab1d_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&可以感受一下和诗词翻译书的差距……&/p&&p&&br&&/p&&p&睡前读物《牡丹亭》（捂脸）我的小黄文启蒙书……&/p&&img src=&/v2-3a0b9a2c8fa1e633f9d39f891b4aa7ee_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&/v2-3a0b9a2c8fa1e633f9d39f891b4aa7ee_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&猫找不到语文书了对不起你们喵呜呜呜～～&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2）专业课学习（以电气工程专业课为例）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&作为一个伪（zhen）学（xue）霸（zha），下面要写的内容完全是一个不爱学工科的智障少女，心累地活在藏龙卧虎大神云集的工科学校里，为了保持作为一个渣最后的自尊，不被碾压成学粉，奋发图强争取不掉队不给组织抹黑的励志故事。&/p&&p&&br&&/p&&p&仅以此内容献给像我一样，没有天赋，想要当学霸却心有余而力不足的学渣。&/p&&p&&br&&/p&&p&前文说过，我从上高中开始就觉得学数学很吃力，学了工科以后，我更加清醒地认识到了自身的局限性——所有的专业课，都是以我学得很差劲的数学和不怎么好的物理为基础的，比起那些很容易就取得好成绩的同学，我得更用心学才能不那么差。还有我真的一点也不热爱电气工程这个学科，我所学一是为了考试分数带来的激励，二是比较享受那种自己搭建知识模型的掌控感。没有那么崇高，不是为了科学为了研究为了理想。所以学霸就不要往后看了，免得看完又来嘲讽我。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然我也见过每天都泡自习室，期末考试的时候依然勉强及格的同学。&b&不要把责任都推卸到手机上，这锅手机不背。&/b&不专注是有原因的，如果你面对的是一堆庞杂的、分散的、晦涩难懂的数字与符号，而不是一个容易理解记忆的知识体系，是很容易犯困的——为了减轻在上自习的时候睡觉的罪恶感，只好玩手机来保持高刺激状态，假装自己在学习咯~&/p&&p&&br&&/p&&p&所以我下面要说的，大概是一分耕耘一分收获吧~至少会让你的努力有所得。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（1）预习&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&预习≠自学！预习≠自学！预习≠自学！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&有些同学抵触预习的原因之一就是，“我都自己学会了还听什么课呢？”或者在预习阶段就企图把所有的知识点完整掌握，然后花费了大量时间然而还是没有完全掌握……于是一怒之下就把书丢在一边了。&/p&&p&&br&&/p&&p&其实预习一门专业课真的不需要花非常多的时间。如果是一节课讲80页的内容，那80页肯定不是考试重点，所以从应试的角度来说，了解一下就行了，没有学到通透也没什么大不了的。如果是重中之重的内容，肯定会花好几节课来讲的。比如说电力系统稳态分析那门课里面的潮流计算，印象中大概是讲了3个星期吧……每个老师都会在新学期伊始时提交给教务处一份本学期的课程安排，内容是每节课大概讲哪些内容。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&上课前一天，花费10~20分钟的时间，浏览一下第二天所学的内容。&/b&大概知道有哪几部分内容就行了。大概思考一下原理是不是在自己的理解范围内。如果预习的时候有知识点不理解，一定要引起注意，第二天老师讲到这部分内容的时候千万不能打盹。大学里一般连着上两节课，保持100分钟注意力集中真的挺难做到的。但是预习会让你对于自己觉得简单的内容保持放松，而在听到课堂上出现相关知识点的关键词时能立即警觉并投入专注。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（2）记笔记（用康纳尔笔记法）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&在本篇文章的第一部分，先给大家介绍了康奈尔笔记法。在不多的几条评论里，出现了褒贬不一的声音。其实反对的内容没有详细说，我也大概猜到了原因——浪费时间。其实并非如此，康奈尔笔记法，恰恰节省了时间。而时间是在学习中最重要的因素。&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么这样说呢？康纳尔笔记法1）中（3）提到，“要记录重点”。当你不知道何为重点，只好把全部内容都记录下来的时候，的确很浪费时间。2）的（5）中提到要记录中心思想，但实践中可能是你以为的中心思想其实并不是，或者是因为内容太过简洁以至于时过境迁之后你完全不记得自己当初为什么写下了这些话，完全无法根据这些只言片语回忆起授课内容。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&所以，康奈尔笔记法使用的前提是：①知道何为重点；②听课时精力高度集中，且不会滞后于讲师的进度；③记笔记的目的是为了日后提醒你想起这堂课的内容，而不是把笔记本当做另一本教科书。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&如果你不是基于这些前提，只是盲目地记笔记，自然会觉得康奈尔笔记法不好用。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&还有一些人认为，整理笔记和复习巩固的过程是浪费时间。&/p&&p&&br&&/p&&p&整理恰好是强化知识点记忆的过程，复习也是如此。只对重点加深记忆当然节省时间。但如果你每天复习一堆杂乱无章的内容，自然是浪费时间了。还有觉得“花时间记忆”这件事本身是浪费时间的……我觉得如果你不是过目不忘的学神的话，有这种想法还是安心当一个学渣吧。&/p&&p&&br&&/p&&p&记笔记真正的浪费时间是，书上本来有一部分的内容，只需要你进行补充。但是如果你记在笔记本上的话，需要把书上那一部分内容先抄一遍。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&请记住，笔记本是我们的工具，我们才是学习的主人。&/b&&/p&&p&&b&这种情况完全可以直接记在书上啊，亲！干嘛非要抓着笔记本不放呢……&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&书上有图的，完全没有必要在笔记本上再画一遍啊……&/p&&p&&br&&/p&&p&我的习惯是课堂笔记一部分记在书上，一部分记在笔记本上。后来懒癌犯了，还是用康奈尔笔记的方法，但是省去了笔记本和两条线（估计懒癌已经到晚期了吧），直接改用A4复印纸记笔记，周围留足够大的空间，记完以后对折夹在书里，这样也不用担心笔记本会忘带。复习总结的时候，就直接在空白处写了~一般会用和第一次记的时候不同颜色的笔，原则上还是侧边的空白写复习验算，下面写总结。有时候比较随性~想写哪里就写哪里~我就是这么随意的一个人~啦啦啦~（姑且就称它为“形散神聚”的康奈尔笔记法吧，估计发明这个方法的人看到自己的孩子已经被我改造成了这种样子，会被气哭吧……）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&————3.25第二次更新————&/p&&p&昨天晚上睡前和大家分享了我记笔记的方法，准确来说是方法论。核心是既能快速地记录又能方便自己使用，不要因为我推荐了康奈尔笔记法，就把自己局限在这个笔记本上。所有的笔记都是帮助你学习与记忆的工具，重要的不是笔记的形式，而是如何能最快地掌握知识点。&/p&&p&大四毕业的时候因为家离学校比较远，不方便拿回去，很多书和笔记本都丢掉了（对于一个嗜书如命的人来说真的很难受，尤其是我看书前都要洗手，小心翼翼地怕弄脏它们。难受了好几天都没缓过来）。下面我以电气工程的专业课《电机学》与《电力电子基础》为例，对昨晚讲到的方法论做一个实践的补充。&/p&&p&康奈尔笔记法讲的比较详细了，大多数内容都是适用的，这里不再展示。下面我来给大家看一下，懒癌晚期少女是如何在夹缝中生存、把一部分笔记记在书上的。从中也能看出哪些类型的笔记适合记在书上。&/p&&p&需要在图旁做批注的，如果记在笔记本上的话需要把图再画一遍，很浪费时间。尤其是形如图6-9这种的……你画一个试试？画完都下课了吧……&/p&&img src=&/v2-4c7c3de2cc1e4f5c125034_b.jpg& data-rawwidth=&3120& data-rawheight=&4160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3120& data-original=&/v2-4c7c3de2cc1e4f5c125034_r.jpg&&&p&有的不但要在图旁边做批注，甚至要在图片上圈点。这个时候还用黑色水笔的话会把原图覆盖，影响阅读体验。这里我用的是粉色的慕娜美做标注的，不会覆盖在原图上。还有一些老师上课讲的、对原理图的补充说明。比如说图6-5（b）的线圈链接顺序，上面已经标明了极的编号，但是教科书上提供的是三相绕组每一相的展开图。我需要补充同一相绕组的连接方式。这种情况下记在笔记本上就非常不方便了，因为展开图与连接图本来就是互补的关系。还有第一对极的电动势求法，和单相展开图对应着看很容易理解。&/p&&img src=&/v2-f637ce9adcdcc2da91c7c_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-f637ce9adcdcc2da91c7c_r.jpg&&&p&还有这个对电机励磁磁动势波形系数的补充说明。其实记本上也可以，但是旁边空白刚好比较大而我又懒得再抄一遍公式（对连公式都懒得抄……）&/p&&img src=&/v2-c5daa57278decbd02f0a77c_b.jpg& data-rawwidth=&3122& data-rawheight=&4158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3122& data-original=&/v2-c5daa57278decbd02f0a77c_r.jpg&&&p&这一页最上面记的是隐极同步发电机的等效电路是怎样一步一步得到的，上一页教科书里给了结论的那张图，但是推导过程会方便理解，我就直接记在页眉上了。下面图12-25的相量图是超级重点的内容，这个图我下课以后又在笔记本上又画了一遍。上课的时候时间比较紧张，而且这个内容第一次听还挺难理解的，需要专注没有时间做笔记，就只在图旁边批注了各相量间夹角的物理意义。&/p&&img src=&/v2-1b71a5cd823af3cadd7ac_b.jpg& data-rawwidth=&3122& data-rawheight=&4158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3122& data-original=&/v2-1b71a5cd823af3cadd7ac_r.jpg&&&p&图12-40要表现变化过程，也直接记书上了。&/p&&img src=&/v2-5fb0ae32feea3e1f3ddff9_b.jpg& data-rawwidth=&3122& data-rawheight=&4158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3122& data-original=&/v2-5fb0ae32feea3e1f3ddff9_r.jpg&&&p&图12-31同图12-25。&/p&&img src=&/v2-688f4fe5b15f2d2e85ad0dea9ea9e6cf_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-688f4fe5b15f2d2e85ad0dea9ea9e6cf_r.jpg&&&p&图16-16只是为了方便理解其他内容，没必要记在笔记本上。其实它不太重要，不记也可以的。&/p&&img src=&/v2-a0c7df6df5c82ceb1eb3_b.jpg& data-rawwidth=&3120& data-rawheight=&4160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3120& data-original=&/v2-a0c7df6df5c82ceb1eb3_r.jpg&&&p&电力电子中的三相可控整流电路。为了防止自己忘记公式中积分的上下限都是怎么来的，批注在旁边方便理解。&/p&&img src=&/v2-23754b5fcfe2fba8c368f2be_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-23754b5fcfe2fba8c368f2be_r.jpg&&&p&有源逆变电路中开关管的作用。属于老师上课讲的补充知识点。给的是只分析一条支路的例子，这种方法可以用到图3-24中分析整个逆变电路的工作情况。&/p&&img src=&/v2-df01dd43cd0f0cebe97e72_b.jpg& data-rawwidth=&3122& data-rawheight=&4158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3122& data-original=&/v2-df01dd43cd0f0cebe97e72_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&&b&好了，我的结论就是——不需要画图的或只画简单图的，与教科书上原理图关联不大的，需要写很多字的，用康奈尔笔记法。图很复杂的，或与书上某张图紧密相关的，请记书上。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&————3.25第三次更新————&/p&&p&&b&（3）构建知识图&/b&&/p&&p&在介绍这部分内容之前，我们先来了解几个概念：&/p&&blockquote&图论：组合数学的一个分支。运用直观图形、数学方法来研究图及网络的组合关系。它的研究对象，是图以及网络的结构,即具有“点”与“线”之间二元关系之系统的数学模型。系统的元素，看作为“点”,元素间的某种结合关系，看作为“联线”。（《简明数学词典》）&br&&br&图的定义：图G=（V,E）是一个二元组（V,E）。集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。&br&&br&树的定义：联通无回路的无向树，简称树。树是n(n&0)个结点的有限集T，其中有且仅有一个特定的结点，称为树的根。当n&1时，其余结点可分为m(m&0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树。&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&作为一只数学渣得一塌糊涂的猫，却要用离散数学中的理论来讲自己是怎么学好专业课的，真是一个伪命题。&/p&&p&把每一个知识点看作独立的点，知识点之间的联系看作线。由一个知识点联系到另一个知识点，并形成一个知识网络，这个过程就是搭建知识图。类似地，如果知识点之间的联系是两两之间有联系，没有形成一个闭环网络，由一个知识点发散为多个知识点，这个过程就是搭建知识树。&/p&&p&用小学语文老师教过的8个字来代替上面那段话，叫做“&b&融会贯通，举一反三&/b&”。&/p&&p&不得不再次感慨中国文化的博大精深，8个字就阐释了离散数学的一个重要理论。&/p&&p&中学时候我们去买教辅书，很多教辅都会提供一个“知识体系”，用各种大小的花括号把教科书上一个一个标题括在一起。看上去很拉风，然而并没有什么卵用。其实这是我们最早接触到的图论了，只是那个时候没有接触计算机科学与离散数学，不知道它有这么高大上的名字罢了。&/p&&p&&b&为什么教辅书上的“知识体系”没有用呢？原因其实很简单，只有你自己参与到搭建知识图的过程中，才能清楚知识点之间的联系&/b&，这个图才是真实地存在于你的脑海中的。如果是别人总结好的内容直接拿来用，对你来说和整整一本教科书里的文字符号并没有什么区别。&/p&&p&&br&&/p&&p&并不是图论不好用，只是你没有亲自动手建这个图罢了。&/p&&p&同前文所述，并不是康纳尔笔记法不好用，只是你不会用罢了。&b&规则约束了你的行为，同时也禁锢了你的思考。我们要了解工具，同时也要清醒地认识到，我们是工具的主人，工具是为我们服务的，我们并不应该被它牵着鼻子走。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&下面还是以我所学的专业课为例，说明怎样构建知识图和知识树。&/p&&p&教材是单渊达老师主编的《电能系统基础》2013年7月第1版。下面给出的这张图是电力系统中电压调整方式，书中的顺序是在第7章出现的。在构建知识图之前我们先来看一下教材中是怎么写这部分内容的：&/p&&img src=&/v2-773ee54d0e0afab24f1df1_b.jpg& data-rawwidth=&3120& data-rawheight=&4160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3120& data-original=&/v2-773ee54d0e0afab24f1df1_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&一大段话对吗？看起来很累。&/p&&p&但是在此之前，我们已经学过电力系统潮流计算、会简化等效模型、学过架空线路等效模型的电压降落方程。我们来看一下这些知识点可以怎样构成一个图。&/p&&img src=&/v2-c4f3b1c43316dab2ac5246_b.jpg& data-rawwidth=&3120& data-rawheight=&4160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3120& data-original=&/v2-c4f3b1c43316dab2ac5246_r.jpg&&&p&K为变压器变比，VL是负载端电压（即为所求），VG是发电机端电压，P是有功功率，Q是无功功率，R是电阻，X是电抗，U是研究线路范围的末端电压。根据电压降落公式，潮流计算归算到高压侧，可以推出图中负载端电压的公式。由这个推导公式我们可以看出改变不同参数对负载端电压的影响，在图中都用箭头标注出来了。甚至能得到比教材中还要全面的方法。&/p&&p&类似地，这张图展示的是电网中节能降损的措施。看起来是一道死记硬背的简答题，其实也是由公式推出来的。理论基础是第三章学到的电路损耗公式。&/p&&img src=&/v2-ceec710ba1e8_b.jpg& data-rawwidth=&3122& data-rawheight=&4158& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3122& data-original=&/v2-ceec710ba1e8_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&还有高压空载长线路线路首末端电压高低的经典问题，可以拆解为三个条件构建模型进行分析。&/p&&img src=&/v2-f7acbd5d5bd31da4ea624673fdf44c72_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-f7acbd5d5bd31da4ea624673fdf44c72_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&一个方便理解与记忆的小技巧是，对于书中直接给出的公式，可以自己在旁边简单地写几步推导过程。其实电学里几乎所有公式的基础都是在之前的课程里或者是这门课一开始的时候出现过的。&/p&&img src=&/v2-8a65c81d2b9d410f072b_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-8a65c81d2b9d410f072b_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&还是说电力系统调压方式中的调整变压器分接头调压，书中给出的公式是U1max=U’maxoU2N/U2max，直接看这个公式很容易被绕进去，虽然它只有4个变量，然而这4个量简直都是同一个亲妈生的……我们不妨依然转化为等效模型，根据变压器变比相同这一条件给出一个比例等式。我在图中用粉色标注了哪一个量分别是怎么得到的，哪一个量是待求的。&/p&&img src=&/v2-bd51c193da261b6707b27_b.jpg& data-rawwidth=&4160& data-rawheight=&3120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&4160& data-original=&/v2-bd51c193da261b6707b27_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&其他学科同理，比如说学电力电子的时候，第一章先讲的是大功率半导体器件，其关联学科是一年前学过的《模拟电子电路基础》，这些元件的特性与普通半导体器件既有类似又有不同。如果模电学的比较好这个部分就很容易理解。讲整流电路的时候，三相半波可控整流电路、三相桥式全控整流电路、单相桥式全控整流电路都是以单相半波可控整流电路为基础的。其电路结构、触发导通波形图、加续流管以后的特性，都既有相同又有不同。如果单独记忆的话，很快这些内容就在脑海中成了一团浆糊。这时候可以以单相半波可控整流电路作为知识树的根，其他三种整流方式作为知识树的叶，利用学习编程时继承与派生的思路去理解、记忆。这是同一章节内不同知识点的小树。把它放大到整本书，整流、斩波、逆变、调压各有什么特点，之间有什么联系，可以构成电力电子这门课程的知识图。&/p&&p&类似地，继电保护中电流保护、距离保护、输电线路纵联保护、电力变压器保护、发电机保护、母线保护也可以列出相应的图和树。&/p&&p&电机学中的同步电机与异步电机，凸极机与隐极极……&/p&&p&相信你已经看懂要怎么做了，动手去实践一下吧~&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&(4)考前复习的高分要诀——抓住考前答疑的机会；把握重点和历年试题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&一般课程都会设置考前答疑，如果你去直接问老师，“老师重点是什么呀？”老师一定会告诉你，“整本书都是重点”。&/p&&p&其实如果上课专心听讲的话，不会不知道什么是重点。&/p&&p&大二的时候看了这本书，如醍醐灌顶，瞬间领悟了考前答疑的要诀（奸笑）。&/p&&img src=&/v2-79a9b8f929d74e041f7fcf_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/v2-79a9b8f929d74e041f7fcf_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&如果有往年试卷的话可以刷刷，知识点重合率还是挺高的。&/p&&p&&br&&/p&&p&感谢你的阅读，观众朋友们我们下期再见~不给我留给赞就走，你的良心不痛吗&br&&/p&&p&&b&关注我，每吃10碗狗粮，就能收获一个干货答案，还等什么~快来关注啊！&/b&&/p&
今天要和大家分享的是我从学生时代一直使用的一些学习方法和一个有效的工具，如果觉得有帮助的话，记得先给喵点个赞再收藏~ 内容有点多，3~4天更新完。大家可以根据文章结构索引直接拖到自己想看的部分进行阅读。 ————我是一个文章结构————1. 一个…
&img src=&/50/f56ced0fef5ae0_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/50/f56ced0fef5ae0_r.jpg&&&p&（转载请注明出处，真的不费事）&/p&&p&已于更新，地址：&a href=&/wille/& class=&internal&&傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于 - 与时间无关的故事 - 知乎专栏&/a&&/p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&br&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&br&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&h2&一、嘛叫频域&/h2&&p&
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&&b&世界是永恒不变的&/b&&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&br&&p&先举一个&b&&u&公式上并非很恰当&/u&&/b&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&img src=&/a01cc4fb9fb1554f9fda82_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&105& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&/a01cc4fb9fb1554f9fda82_r.jpg&&&/p&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&img src=&/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&130& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_r.jpg&&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&img src=&/7ec3709ecdb70c512ac19aa_b.jpg& data-rawwidth=&200& data-rawheight=&110& class=&content_image& width=&200&&频域：&/p&&img src=&/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）&/p&&p&以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&（众人：鸡汤滚出知乎！）&/p&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&br&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&img src=&/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_b.jpg& data-rawwidth=&684& data-rawheight=&527& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_r.jpg&&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10