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　　一、高考数学的六大知识点模块
　　高考数学主要有六大模块，分别是函数导数、三角函数、数列不等式、立体几何、圆锥曲线和概率统计。
　　三角函数本身就是一类特殊的函数，各种函数性质都特别的明显。
　　数列不等式中的数列，本身也可当做特殊的函数（离散函数）来对待，不等式的各类解法中，有相当一部分会利用到函数单调性等性质来解答。
　　立体几何看似与函数没有太多关系，但是一般情况下，理科的立体几何会用到空间向量，而空间向量的很多解法，也和函数息息相关。
　　圆锥曲线在很大程度上就是需要借助于图形的解析式，建立一个方程，进而利用方程的思想来解题，因此，圆锥曲线在很大程度上可以认为是一类特殊的函数题。
　　概率统计中有许多类似于概率密度函数等与函数密切相关的概念，而统计方法中也会涉及特别多的函数思想。
　　函数导数与各大模块的关系都非常紧密，是整个高中数学的基础。
　　二、函导在高考中占分比
　　一般情况下，对函数和导数的直接考察占30分，而间接对函数导数进行考察的题目占到了约80分。
　　直接或间接与函数导数相关的考题，占到了100分左右，函数与导数的核心考点的地位不言而喻。
　　三、全国各地&课标卷&对本专题知识点考查情况
　　从《考纲》要求来讲，理科要求略高于文科要求。
　　历年来高考对本专题考查涉及到所有题型（选择，填空，解答）。除了单独考查函数与导数的题目外，往往在每个题目上涉及函数与其他内容的综合考查。在解答题方面，函数与导数往往作为难题出现。因此高考复习必须给予足够的重视。
　　在2013年高考中，全国各地&课标卷&对本专题知识点考查情况如下：
　　函数概念及新定义概念被考查频率为6；
　　函数图象被考查频率为11；
　　单调性被考查频率为20；
　　奇偶性被考查频率为6；
　　指数函数被考查频率为18；
　　对数函数被考查频率为20；
　　幂函数为9；
　　一次函数为7；
　　二次函数为29；
　　反比例函数为4；
　　函数与方程为9；
　　导数几何意义为8；
　　导数的应用为22；
　　导数的运算为3；
　　定积分为4。
　　与本专题联合考查的其他专题的主要知识点情况如下：
　　与逻辑用语联合考查频率为6；
　　数列为13；
　　不等式解法为10；
　　不等式证明为15，
　　曲线的切线方程为8；
　　图形的平移与对称为6；
　　逻辑推理为2；
　　三角函数与向量为3；
　　几何概型与随机模拟实验为1。
　　从这些数据不难看出，本专题几乎所有知识都被考查到。
　　其中，重点考查内容有：指.对数函数，幂函数，二次函数，单调性，导数的应用。
　　被联合考查的其他专题的知识点主要有：逻辑用语，数列，不等式解法及证明，解析几何中的曲线的切线方程，定值问题，图形平移与对称，合情推理，三角函数与向量，几何概型与随机实验等。其中重点是不等式，尤其是不等式的恒成立问题时参数取值范围及最值问题。考题注重函数与导数的综合应用，在数学思想方法上作较深入的考查。涉及的基本数学方法有：建模法，消元法，代入法，图象法，坐标法，比较法，配方法，待定系数法，公式法，换元法，因式分解，平移等。涉及的主要数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，整体思想，极端化思想，建模思想。
　　四、函数与导数的学习方法
　　在高考试卷，一般三种题型均有出现。所占的比例也比较大。我们建议在复习中，应该注意如下几个方面：
　　1.对函数概念的复习要&恰到好处&，求函数的解析式，定义域，零点，值域，一般出现在客观题中，属于中、低档题，因此复习时不宜拓展。
　　2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点。并注重横向联系。历年来高考中考查对函数知识的应用。既着眼于知识点的新颖巧妙组合，又关注对数学思想方法的考查。试题多数围绕函数的概念，性质，图象等方面命题。围绕二次函数，分段函数，指.对数函数等几个基本函数来进行，故在复习中，应该全面夯实基础，突出对上面所讲重点内容的复习。
　　3.另外，对函数性质单调性，奇偶性，周期性和图象对称性等内容的考查，多以组合形式，一题多角度考查，尤其是利用导数解决函数的单调性与极值，最值问题，不等式问题，函数与方程的联系等重点考点。考查力度还有可能加大。而函数题的综合趋势几乎涉及所有模块，但重点还是在与不等式综合。在解答题中，对函数性质的考查要求有所提高，尤其涉及到分类讨论，数形结合等高等数学的观点。思维层次要求较高。因此在复习中例题的选择及训练题的配备一定要放在学科整体高度上把握函数及其他模块知识的横向关系。
　　4.对所谓创新题关键在阅读理解。如果题目条件的涵义搞清楚了，这些题问题其实会十分简单。要重视合情推理及类别迁移能力的提升。
　　5.注重强化解决函数问题的相关数学思想方法的训练。在函数的高考试题中，很多试题如果应用数形结合思想求解将是十分简捷的。因此，几种重要的数学思想方法（数形结合，函数与方程思想，分类讨论，转化与化归思想，特殊与一般）在本专题复习中表现在与其他模块知识的综合解答中，故一定要加以重视。
智康1对1高考研究中心研究员
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5.2.8 线性函数的导数
《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第5章讲述连续性和可导性。本节说的是线性函数的导数。
作者：杨爽 赵晓婷 高璞 译来源：人民邮电出版社| 14:38
5.2.8 线性函数的导数
让我们停下来喘口气, 回顾一个简单的例子：假设, f 是线性的. 这意味着, 对于某个 m 和 b, f(x) = mx+b. 你认为 f0(x)会是什么？请记住, 它是测量曲线y =f(x)在点 (x;f(x)) 处的切线的斜率的. 在我们这个例子下, y =mx+b 的图像就是斜率为m,y 轴截距为b的一条直线.如果世界上还有真理的话,那么,该条直线上任意一点的切线就是这条直线本身！这意味着, 不管 x 取何值, f0(x)的值就应该是 m：曲线 y=mx+b有固定的斜率 m. 让我们用公式检验一下：
因此, 世界有真理存在：不管 x 取何值, f0(x)=m.这就是说, 线性函数的导数是常数. 正如你会期待的,只有线性函数有固定的斜率 (这是所谓的中值定理的结果;见 11.3.1 节). 顺便说的是, 如果 f 就是常数函数, 以至于 f(x) = b, 那么, 斜率总是 0. 特别是,对于所有的 x, f0(x)=0.因此,我们证明了常数函数的导数恒为 0.
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函数与导数 一．专题综述 函数是整个高中数学的核心内容，所有知识都围绕这一主线展开，均可以与函数建立联系，函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程，理所当然是高考的重点。 1.考纲要求 （1）掌握集合的概念与运算； （2）了解映射的概念； （3）掌握函数、反函数的概念，会建立简单的函数关系，并能求简单函数的反函数； （4）理解函数图像及函数图像关系的重要结论，能借助函数的图像解决函数自身、方程、不等式的有关问题； （5）掌握函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性）；能借助函数的性质去解决问题； （6）掌握函数的极限的定义，能求简单函数的极限；掌握函数连续的概念，了解函数有极限、连续的关系； （7）掌握导数的概念及意义，掌握常见函数的导数公式，能用导数求曲线的切线方程，能求简单函数的导数，能利用导数研究函数的单调性、最值。 2.考题设Z与分值： 每年高考试题涉及函数的题目都占有相当大的比重（约30分），具体表现在： （1）以客观题的形式独立（或简单综合）考查函数的概念、图像、性质及其应用；（1-2题） （2）以主观题（解答题后三题之一）的形式考函数与导数的综合（1个解答题） （3）在其它知识考查时加入函数的成分，主要体现在：①不等式与函数综合；②数列与函数综合；③解析几何与函数综合。 3.考试重点及难度： （1）函数的基本性质，是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。 研究基本性质：①不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度；②对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等；③要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。 (2)函数的图像。函数图像是函数形的体现，高考着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。
(3)函数的一些小结论。要重视并加强一些小结论形成过程的理解：例如： 1 设函数f(x)的定义域为R，则有： ①如f(a?x)?f(b?x)恒成立?函数f(x)图像关于x?b?a2对称； ②如f(x)经过变换得到两函数y?图像关于x③如④如?b?a2f(a?x)和y?f(b?x)，则所得两个函数对称； 函数f(x)是以T?a?b为周期的周期函数； f(a?x)?f(x?b)恒成立?f(x)?f(2a?x)?2b恒成立?函数图像关于点(a,b)对称； ⑤如函数f(x)的图像关于x?a对称，又关于x?b(a?b)对称，则函数f(x)一定是以T?2a?b为一个周期的周期函数； ⑥如函数f(x)的图像关于x?a对称，又关于点(b,c)对称，则函数f(x)一定是以T?4a?b为一个周期的周期函数； 再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如f(xy)?f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)f(x)f(，yf(xy)?f(x)?f(y)， bx再如：指数函数f(x)?ax?图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。 (4)函数思想与方法。函数是高中数学的主线，在考查其他知识时（如：方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等）运用函数观念和方法找出解决问题的突破口这也是高考一种趋势；
(5)导数。利用导数去研究函数，进而研究方程、不等式，这是高考的一个重要考点，一般以解答题的后三题的形式出现，所以有一定的难度。
二．考点选讲
【考点1】函数的图像及其应用：
以客观题的形式考察函数的图像及其应用，这是高考的必考点，他体现了数形结合的数学思想。这类题一般以客观题的形式出现，虽说难度不大，但往往比较灵巧。对函数的图像我们不仅要会作，还要能识图、用图。 【例1】单位圆中弧AB长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2倍。则函数f(x)的图像是（
? 2? 2?? B A
C 【解析】解一：定量分析。可列出f(x)?x?sinx，知0?x??时，f(x)?x，f(x)图像在y?x下方；??x?2?时，f(x)?x，f(x)图像在y?x上方。选D 解二：定性分析。当x从0增至2?时，f(x)变化经历了从慢到快，从快到慢的过程。 解三：观察f(x)满足：f(??t)?f(??t)?2f(?)，故f(x)图像以??,??为对称中心。 【注】 此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求f(x)解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。 【练习1】已知函数y?f(2x?1)为偶函数，则函数y?f(2x)图像关于直线
对称，函数y?f(x)图像关于直线
【练习2】设定义域为R函数f(x)满足f(?x)??f(x?4),且当x?2时，f(x)单调递增，如果x1?x2?4且?x1?2??x2?2??0，则f(x1)?f(x2)的值（
） A、恒小于0
B、恒大于0
C、可能为0
D、可正可负
【练习3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的恒大于零的 / /偶函数，且当x>0时有f(x) g(x)<f(x) g(x)，若f(1)=0，则不等式f(x)?0的解集是 (
) A．（-?，-1）?(1，+?） B.[-1，0）?(0，1]
C.（-?，-1]? [0，1]
D.（-1，0）?(0，+?)
【注】通过构造函数来研究不等式（解不等式或证明不等式）是一种很重要的思路；
3 【考点2】函数性质的研究及应用 用客观题的形式综合考察函数的性质及其应用，这是近几年高考的必考点。 【例2】函数y=f(x)（x?R）满足：f(?x)??f(x)，f(1?x)?f(1?x)，当x?[-1，1]时，f(x)=x 3,则f(2007)的值是 A．-1
【解析】函数即关于原点对称，又关于直线x＝1对称，∴f（x）是以4为周期的周期函数 ∴f（2007）＝f（3）=f（-1）＝-1，选A
【注】本题考查周期函数的应用，要注意关于周期函数的几个小结论。
【练习1】（06上海卷）三个同学对问题“关于x的不等式x?1,11?上恒成立，求实数a的范围”提出各自的解题思路： 2?25?x?5x32?ax在甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。 乙说：把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数最值。 丙说：把不等式两边看成关于x的函数，作出函数的图像。 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的范围是
【练习2】定义在R上的函数f ( x )满足f (x+2)=3f ( x )， 当x?[0,2]时，f (x ) = x 2-2x ，则当x?[-4,-2]时，f(x)的最小值是（
B. ?911913
-1 【注】这是一种呈周期萎缩的函数，一般的是f（x+T）=kf（x）（k≠1)，注意它的图像。 【考点3】反函数的概念 函数的反函数的概念、求法，反函数的定义域、值域与原函数的定义域、值域的关系在复习中要引起重视。 【例3】已知f(x)是定义在R上的函数它的反函数是f -1(x)，若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数，且f(a)=a（a为非零常数），则f(2a)的值为 A．-a
【注】反函数是高考的必考点，在求反函数时要关注反函数的定义域――原函数的值域。
4 【考点4】导数的意义及应用
【例4】已知函数________.
【解析】y??3x或y?24x?54f(x)?x?3x3，过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线的方程为
【注】利用导数求切线的斜率，从而的切线的方程，这是基本思路；本题要注意;过某点的切线与再某点的切线是不同的概念。
【练习1】设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ?(x)可能为（
D 【注】考查原函数的单调性与其导函数的正负关系；也可根据原函数的极值点的情况做出判断。
【练习2】.设球的半径为时间t的函数R?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
【考点5】抽象函数的问题 给出一个抽象函数的条件，要你研究其性质，这类题最近几年高考大题未考，但在客观题中却不时出现，要掌握解这类题的基本思路――赋值 【例5】. 设函数f(x)定义在R上，对任意的m、n?R?，恒有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当+x>1时，f(x)?0。试解决以下问题： （1）求f(1)的值，并判断f(x)的单调性； （2）设A??(x，y)|f(x?y)?f(x?y)?0?， 若
A∩B≠φ，求实数B??(x，y)|f(ax?y?2)?0，a?R?，围； （3）若0?a?b，满足|f(a)|?|f(b)|?2|f(a?b2)| a的取值范 5 包含总结汇报、资格考试、办公文档、教程攻略、文档下载、外语学习、党团工作、word文档、IT计算机、人文社科、计划方案以及高中理科数学解题方法篇(函数与导数)等内容。本文共3页
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