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Copyright (C) 2017 Baidu& 直线与圆锥曲线的关系知识点 & “（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C...”习题详情
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（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C1：x2a2+y2b2=1与双曲线C2：9x2-9y28=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2={4x&&&&&&&&&&&&(0≤x≤3)-12(x-4)&&(3＜x≤4)．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；&（3）由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤23）与第（1）小题椭圆弧E2：x2a2+y2b2=1（23≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求r1r2的取值范围．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-浦东新区二模
分析与解答
习题“（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1与双曲线C2：9x2-9y2/8=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我...”的分析与解答如下所示：
（1）由△MF1F2的周长为6得a+c=3，由椭圆与双曲线共焦点可得c值，据平方关系可求得b；（2）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2=|x-3|．分M∈C1时，M∈C2时两种情况表示出d1，再分别计算d1+d2即可求得定值；（3）由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），当x=23时，y=±2√63，此时r=53，cosα=-15，分类讨论：-15≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，-1≤cosα≤-15时A在抛物线弧E1上，由条件可表示出此时r1，相应地，B（1-r2cosα，-r2sinα），再按-1≤cosα≤-15时A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，当15≤cosα≤1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，当-15≤cosα≤15时A、B在椭圆弧E2上，利用三角函数性质分别求出r1r2的范围即可．
（1）解：由△MF1F2的周长为6得2（a+c）=6，即a+c=3，椭圆C1与双曲线C2：9x2-9y28=1有相同的焦点，所以c=1，所以a=2，b2=a2-c2=3，椭圆C1的方程为x24+y23=1；（2）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为（x，y），d2=|x-3|．当M∈C1时，y2=4x（0≤x≤3），d1=√(x-1)2+y2=|x+1|，则d1+d2=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；当M∈C2时，y2=-12（x-4）（3＜x≤4），d1=√(x-1)2+y2=|7-x|，则d1+d2=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；所以d1+d2=4为定值；（3）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧E1或椭圆弧E2上加以分类，由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）：当x=23时，y=±2√63，此时r=53，cosα=-15；当-15≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，由题设知A（1+r1cosα，r1sinα）代入x24+y23=1得，3（1+r1cosα）2+4(r1sinα)2-12=0，整理得（4-cos2α）r12+6r1cosα-9=0，解得r1=32+cosα或r1=3cosα-2（舍去）．当-1≤cosα≤-15时A在抛物线弧E1上，由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα，于是r1=21-cosα，综上，r1=21-cosα（-1≤cosα≤-15）或r1=32+cosα（-15≤cosα≤1）；相应地，B（1-r2cosα，-r2sinα），当-1≤cosα≤-15时A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，r1r2=21-cosαo2-cosα3=23(1+11-cosα)∈[1，119]；当15≤cosα≤1时A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，r1r2=32+cosαo1+cosα2=32(1-12+cosα)∈[911，1]；当-15≤cosα≤15时A、B在椭圆弧E2上，r1r2=32+cosαo2-cosα3=2-cosα2+cosα∈（911，119）；综上r1r2的取值范围是[911，119]．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度大，对能力要求高．
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（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1与双曲线C2：9x2-9y2/8=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1...
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经过分析，习题“（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1与双曲线C2：9x2-9y2/8=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的关系”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的交点．
与“（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C1：x2/a2+y2/b2=1与双曲线C2：9x2-9y2/8=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；我...”相似的题目：
椭圆x216+y24=1上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-14．（1）求证：|OP|2+|OQ|2是定值．（2）求PQ的中点M的轨迹方程．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足OM=12OA+√32OB，求直线L的斜率k的值．
如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．（1）已知椭圆C1：x24+y2=1和C2：x216+y24=1判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；（2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
“（2013o浦东新区二模）（1）设椭圆C...”的最新评论
该知识点好题
1已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
2（2013o重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=√22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
3附加题：如图，过椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）上一动点P引圆x2+y2=b2的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．①已知P点的坐标为（x0，y0），并且x0oy0≠0，试求直线AB的方程；&&&&②若椭圆的短轴长为8，并且a2|OM|2+b2|ON|2=2516，求椭圆C的方程；③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．
该知识点易错题
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3如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．（1）已知椭圆C1：x24+y2=1和C2：x216+y24=1判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；（2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
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设直线方程为x=my-2代入椭圆方程x²+4y²=4整理：(m²+4)y²-4my=0韦达定理：y1+y2=4m/(m²+4)x1+x2=m(y1+y2)-4=-16/(m²+4)根据题意-8/(m²+4)+6m/(m²+4)=0解得m=4/3直线方程：x=4/3y-2即3x-4y+6=0
与《椭圆与直线相交问题椭圆：(x^2)/4+y^2=1与经过点P(-2,0)的直线L交与P,Q两点、且PQ中点M在直线x+3》相关的作业问题
x^2/25+y^/16=1a=5,b=4,c=3F1(-3,0)设P(x1,y1),Q(x2,y2),把直线PQ方程：y=k(x+3)代人x^2/25+y^/16=1得：x^2/25+k^2(x+3)^2/16=1(16+25k^2)x^2+150k^2x+225k^2-400=0x1+x2=-150k^2/(16+
把直线y=2x-√3代入椭圆方程：x^2/a^2+4x^2-4√3x+3-1=0、(1/a^2+4)x^2-4√3x+2=0x0=(x1+x2)/2=2√3/(1/a^2+4).a>1、a^2>1、0
设P（x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2*3=6,y1+y2=-2x1²/4-y1²=1x2²/4-y2²=1相减得：（x1+x2)(x1-x2)/4-(y1+y2)(y1-y2)=06(x1-x2)/4+2(y1-y2)=0所以,PQ的斜率k=(y1-y2)/(x
把直线代入椭圆得(1+4k^2)X^2-16kX-64=0,(X1+X2)/2=2,所以(X1+X2)=4因为X1+X2=16k/(1+4k^2)所以k=1/2所以X1*X2=-64/(1+4k^2)=-32,因为Y1-Y2=k(X1-X2)=(X1-X2)/2则|PQ|=根号[(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2]
点差法即可 设P(x1,y1) Q(x2,y2)x1^2+9y1^2=9x2^2+9y2^2=9 两式相减(x1-x2)(x1+x2) = -9(y1-y2)(y1+y2) 而 y1+y2=2*1/5;x1+x2=2*9/5(x1+x2)/(y1+y2) = -9k; 所以 k=-1
将 y=x+m代入（x^2）/4+y^2=1中整理得5x^2+8mx+4m^2+4m^2-4=0设坐标P(x1,y1) Q(x2,y2) 有两个不等实根 所以判别式64m^2-4*5*(4m^2-4)>0```````A所以韦达定理x1+x2=(-8m)/5 x1*x2=(4m^2-4)/5 联立 可得|x1-x2|=
1.设P(m,n),Q(p,q):m² - n²/2 = 1p² - q²/2 = 1相减,(n-q)/(m - p) = 2(m+p)/(n+q) (i)PQ的中点M((m+p)/2,(n+q)/2)令M(x,y):m + p = 2x (ii)n + q = 2y (iii)
设Y+1=k(x-1)与两直线方程相联合得P(k+2/k,1)Q((k-6)/(k-1),(1-6k)/(k-1)),相加就是(1,-1),得k=-2/3
∵PQ的中点(1,-1)在直线L上∴根据直线方程的点斜式可以设直线L的方程为：y-(-1)=k(x-1),即y+1=k(x-1)
K=-2/3设PQ中点为M,根据中点坐标公式：Ym=（Yp+Yq）/2=(1+Yq)/2=-1所以Yq=-3,Q点在x-y-7=0上,所以Xq=4Q点坐标Q（4,-3）又知道L上PQ的中点为M（1,-1）根据斜率公式:K=△Y/△X=-2/3
设A(x1,-x1^2/2)、B(x2,-x2^2/2),L的方程为y=kx-1,代入y=-x^2/2得：x^2+2kx-2=0,x1+x2=-2k.kOA=-x1/2,kOB=-x2/2.kOA+kOB=-(x1+x2)/2=k=1,L的方程为：y=x-1
设A（X,1）,B(w,t),所以（X+W）/2=1,(1+t)/2=-1L的点坐标(1,-1)就告诉你了,斜率=1 L的方程为 y=x-1 P点坐标（2,1）Q点坐标（7,6）
a^2=1,b^2=2 ,所以 c^2=a^2+b^2=3 ,c=√3 ,F（√3,0）,设直线方程为 y=k(x-√3) ,代入双曲线方程得 x^2-k^2(x-√3)^2/2=1 ,化简得 (2-k^2)x^2+2√3k^2*x-3k^2-2=0 ,设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 x1+x2=2√3k^
/>令Q点坐标为（x,y）,(-2,0)为点C,x^2+y^2=1的圆心为点O.AB为圆的割线,Q为AB的中点,则可知AB⊥OQ（割线性质,证明△OAB为等腰三角形,OQ为其中线,则OQ垂直底边AB）故而可得CQ⊥OQ向量CQ=（x+2,y）,向量OQ=（x,y）向量CQ 点乘 向量OQ=0故而（x+2,y）·（x,y
设 PQ中点M坐标是(x,y)所以有:CM垂直于PQ而K(CM)=(Y-0)/(X-0)=Y/X又K(PQ)=K(AM)=(Y-0)/(X-2)故有K(CM)*K(PQ)=-1即有:Y/X*Y/(X-2)=-1即轨迹方程是y^2=-x(x-2)即有x^2+y^2-2x=0
k(OP)*k(OQ)=-1xP*xQ=-yP*yQ(yP)^2*(yQ)^2=4xP*4xQ=-16yP*yQyP*yQ=-16L:y+6=k(x+1)x=(6+y-k)/ky^2=4x=4*(6+y-k)/kky^2-4y+4k-24=0yP*yQ=(4k-24)/k=-16k=6/5L:6x-5y-14=0
a^2=1,b^2=3,c^2=4F1(-2,0),l的方程为:y=2(x+2)代入双曲线方程中,整理得x^2+16x+19=0设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=-16,x1*x2=19从而y1+y2=2(x1+2)+2(x2+2)=2(x1+x2)+8=2*(-16)+8=-24所以,AB中点坐标为（
a^2=1,b^2=2,c=1F1(0,1)PQ:y=kx+1y^2/2+x^2=12x^2+y^2-2=02x^2+(kx+1)^2-2=0(2+k^2)x^2+2kx-1=0xP+xQ=-2k/(2+k^2),xP*xQ=-1/(2+k^2)(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=8(1+k^2)/(
这种题不难,但是算起来麻烦.e=c/a=√3/2 易知 a=2b,c=√3b;由题意椭圆方程为 x^2/4b^2+y^2/b^2=1即 x^2+4y^2 = 4b^2 将 x=-(y+1) 带入 (比带入y=-x-1 简便） 设P(X1,Y1) Q(X2,Y2)|PQ|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2*拒绝访问 |
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