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节节高解析评测九年级数学下人教师用书
描述：节节高解析测评教用-配教用课件教案会说话的书重庆直属学校原创题.热线023-
第 ２６章　反比例函数　
第 ２８章　锐角三角函数　
　２６．１　反比例函数
　２８．１　锐角三角函数 （第 １课时）
　　２６．１．１　反比例函数的意义
　２８．１　锐角三角函数 （第 ２课时）
　　２６．１．２　反比例函数的图象和
　２８．１　锐角三角函数 （第 ３课时）
　２８．１　锐角三角函数 （第 ４课时）
性质（一） （４）
　２８．２　解直角三角形（第 １课时） （６７）
　　２６．１．３　反比例函数的图象和
　２８．２　解直角三角形（第 ２课时） （７２）
　２８．２　解直角三角形（第 ３课时） （７５）
性质（二） （７）
　章末考点复习与小结
　２６．２　实际问题与反比例函数
第 ２９章　投影与视图　
　章末考点复习与小结
　２９．１　投影
第 ２７章　相　似　
　２９．２　三视图（第 １课时） （８７）　
　２９．２　三视图（第 ２课时） （９０）
　２７．１　图形的相似
　２９．２　三视图（第 ３课时） （９３）
　２７．２　相似三角形
　２９．３　课题学习　制作立体模型
　　２７．２．１　相似三角形的判定（第 １课时）（２３）
　章末考点复习与小结
　　２７．２．１　相似三角形的判定（第 ２课时）（２７）
　　２７．２．１　相似三角形的判定（第 ３课时）（３１）
　　２７．２．２　相似三角形的应用举例 … （３６）
　　２７．２．３　相似三角形的周长与面积 （４０）
　２７．３　位似（第 １课时） （４３）
　２７．３　位似（第 ２课时） （４６）
　章末考点复习与小结
（５０）同步教材
　２６．１　反比例函数
２６．１．１　反比例函数的意义
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．近视眼镜的度数 ｙ（度）与镜片焦距 ｘ（ｍ）成
一般地，形如　ｙ＝ｘｋ（ｋ≠０）　的函数叫反比例函数．
反比例，已知 ４００度近视眼镜片的焦距为 ０．２５ｍ，
注：反比例函数有三种表现形式：
则 ｙ与 ｘ的函数关系式为　ｙ＝１０ｘ０　．
ｙ＝ ｘｋ，　　ｙ＝ｋｘ－１，　　ｘｙ＝ｋ（ｋ≠０）．
２．下列哪些关系式中的 ｙ是 ｘ的反比例函数？
并指出反比例函数中的 ｋ值．
下列问题中变量间的关系用怎样的函数关系式
ｙ＝４ｘ，ｙ＝ － ２ｘ，ｘｙ ＝３，ｙ＝６ｘ＋１，ｙ＝ｘ１２，表示？
ｘｙ＝１２３，ｙ＝ｘ２ －１．
（１）一个游泳池的容积为 ２０００ｍ３，游泳池注满水所用时
解：ｙ＝－２ｘ，ｋ＝－２；ｘｙ＝１２３，ｋ＝１２３．间 ｔ（单位：ｈ）随注水速度 ｖ（单位：ｍ３／ｈ）的变化而变化　ｔ＝２０ｖ００　．
（２）小艺要在电脑上输入一篇 ６００字的文章，输入时间 ｙ（ｍｉｎ）与小艺每分钟输入的字数 ｘ（个）之间的函数关系　ｙ
＝６０ｘ０　．
目标训练 ２
（３）一个物体重 １００Ｎ，物体对地面的压强 ｐ（单位：Ｐａ）
３．当 ｍ取何值时，ｙ＝（ｍ２ ＋２ｍ）ｘ｜ｍ｜－３是反 比随物体与地面的接触面积 Ｓ（单位：ｍ２）的变化而变化　ｐ＝ 例函数．１０Ｓ０　．
解：｜ｍ｜－３＝－１，
∴ｍ＝±２，?? ??????????　?　?解?：?（１?）由?题?意?得?：?ｖｔ＝?２?０００?，整?理?得?：?ｔ＝?２?０ｖ０?０；??????
∵ｍ２ ＋２ｍ≠０，
∴ｍ＝２．
（２）由工作时间 ＝工工作作效量率得：ｙ＝６０ｘ０；
（３）已知 Ｇ物 ＝１００Ｎ，Ｆ物 ＝Ｇ物 ＝１００Ｎ，由公式 ｐ＝ＦＳ???
得：ｐ＝１０Ｓ０．
?????????????????????????
?????????????????????????
ｋ为何值时，ｙ＝（ｋ＋３）ｘｋ２－１０是反比例函数？
{?　?　?解?：?根据?题?意?，?得?ｋｋ?２＋－?３１≠?００＝?，－?１?，??ｋ?＝３?．????????
·１·　　点评：反比例函数 ｙ＝ｋ＝ｋｘ－１本身蕴含两个限制条件： 目标训练 ３
ｘ ４．（１）已知 ｙ与 ｘ－２成反比例，当 ｘ＝５时，ｙ＝８．①ｘ的指数恒为 －１，②ｋ≠０，判断时两条件缺一不可．
求 ｙ与 ｘ的函数关系式．
若 ｙ与 ｘ３成反比例，且 ｘ＝２时，ｙ＝４１．
解：设 ｙ＝ｋ（ｘ－２）－１，
（１）求 ｙ与 ｘ的函数关系式．
∴ｙ＝ｋｘ２，有 ８＝２５ｋ，??????????????
（２）求 ｙ＝－１６时，ｘ的值．
∴ｋ＝２８５．
?　?　?解?：?（１?）∵?ｙ?与?ｘ３?成?反?比?例?，设??ｙ＝?ｘｋ?３，?????????
故 ｙ与 ｘ的关系式为 ｙ＝２８５ｘ２．
当 ｘ＝２，ｙ＝１４时，１４ ＝２ｋ３，∴ｋ＝２．
（２）已知：ｙ＝２ｙ１－３ｙ２，ｙ１ 与 ｘ成正比例，ｙ２ 与
∴ｙ与 ｘ函数关系式为 ｙ＝ｘ２３．
? ｘ成反比例．当 ｘ＝１时，ｙ＝１；当 ｘ＝２时，ｙ＝５．
? ①写出 ｙ与 ｘ的函数关系式；
（２）当 ｙ＝－１６时，ｘ２３ ＝－１６，
解得 ｘ＝－１２．
? ②当 ｘ＝３时，求 ｙ的值．
解：①ｙ＝３ｘ－２ｘ，
?????????????????????????
? ②当 ｘ＝３时，ｙ＝８１３．
４．若 ｙ与 －２ｘ成反比例，ｘ与 １ｚ成正比例，则 ｙ与 ｚ的关１．下列函数是反比例函数的是
系是 （ Ａ ）
Ａ．ｙ＝３ｘ＋１　　 　　　Ｂ．ｙ＝ｘ２＋ｚｘ
Ａ．正比例函数
Ｂ．反比例函数
Ｃ．ｙ＝２ｘ
Ｄ．ｙ＝－ｘ２
Ｃ．一次函数
Ｄ．不能确定
５．若函数 ｙ＝（ｍ＋２）ｘｍ２－ｍ－７是反比例函数，则 ｍ的值为２．已知一个函数满足下表 （ｘ为自变量）：
ｘ －１ ２ －３ ４ －５ ６
Ａ．ｍ＝１
ｙ １２ －６ ４ －３ ２．４ －２
Ｂ．ｍ＝－２
则这个函数的表达式为
Ｃ．ｍ＝３或 ｍ＝－２
Ａ．ｙ＝１ｘ
Ｂ．ｙ＝１ｘ２
Ｄ．ｍ＝３
Ｃ．ｙ＝－１ｘ２
Ｄ．ｙ＝－１ｘ２
６．把 ｙ＝－３７ｘ化为 ｙ＝ ｘｋ的形式为　ｙ＝－ｘ３７　，反比３．下列所列举的两个变量之间的关系，是反比例函数关
例系数为　 －７３　．
Ａ．三角形的面积公式 Ｓ＝１２ａｈ，当 Ｓ是常量时 ａ与 ｈ
７．若梯形的下底长为 ｘ，上底为下底的 １３，高为 ｙ，面积为
成反比例关系
６０，则 ｙ与 ｘ的函数关系是 　ｙ＝９ｘ０　．
Ｂ．圆的周长 Ｃ与它的半径 Ｒ之间的关系
Ｃ．ｙ＝ｘ１－１中，ｙ与 ｘ的关系
８．若函数 ｙ＝２ａｘ＋１是反比例函数，则 ａ的取值范围　ａ
Ｄ．弹簧的弹力 Ｆ与伸长的长度 ｘ满足 Ｆ＝ｋｘ（ｋ为常
≠ －１２　．
量）·２·１１．已知 ｙ＝ｙ１＋ｙ２，ｙ１与 ｘ２成正比例，ｙ２ 与 ｘ成反比例，
且 ｘ＝１时 ｙ＝３，当 ｘ＝－１时，ｙ＝１．９．在某 一 电 路 中，保 持 电 压 不 变，电 流 Ｉ（Ａ）与 电 阻
（１）求 ｙ与 ｘ的函数关系式；
Ｒ（Ω）成反比例，当电阻 Ｒ＝５Ω时，电流 Ｉ＝２Ａ．
（１）求 Ｉ与 Ｒ之间的函数关系式；
（２）若 ｘ＝－１２时，求 ｙ的值．
（２）当电流 Ｉ＝０．５Ａ时，求电阻 Ｒ的值．
解：（１）因为保持电压不变，电流 Ｉ（安培）与电阻 Ｒ（欧
解：（１）设 ｙ１ ＝ｋ１ｘ２，ｙ２ ＝ｋｘ２，则 ｙ＝ｋ１ｘ２ ＋ｋｘ２，
姆）成反比例，所以，设 Ｉ＝ＵＲ，
当 Ｒ＝５时，Ｉ＝２，所以，Ｕ＝１０，所以，Ｉ与 Ｒ之间的函
数关系式为：Ｉ＝１Ｒ０．
（２）当电流 Ｉ＝０．５，代入 Ｉ＝１Ｒ０，Ｒ＝２０．
ｙ＝２ｘ２
答：当电流 Ｉ＝０．５安培时，电阻 Ｒ的值是 ２０．
ｋ１ －ｋ２ ＝１，
（２）当 ｘ＝－２１时，ｙ＝－２３．１０．已知 ｙ＝ｙ１－ｙ２，ｙ１ 与 ｘ成反比例，ｙ２ 与 ｘ－２成正比
例，并且当 ｘ＝３时，ｙ＝５；当 ｘ＝１时，ｙ＝－１．求 ｙ与ｘ之间的函数关系式．解：因为 ｙ１ 与 ｘ成反比例，ｙ２ 与 ｘ－２成正比例，所以，设 ｙ１ ＝ｋｘ１，ｙ２ ＝ｋ２（ｘ－２），又因为 ｙ＝ｙ１ －ｙ２，所以，ｙ＝ｋｘ１ －ｋ２（ｘ－２），当
ｘ＝３时，ｙ＝５，于是，ｋ１
３＝５；当 ｘ＝１时，ｙ＝ －１，于 是，ｋ１ ＋ｋ２ ＝ －１；所 以，{ ｋ１
３ｋ１ ＋ｋ２ ＝－１，所以：ｋ１＝３，ｋ２ ＝－４，ｙ与 ｘ之间的函数关系式：ｙ＝
１２．将 ｘ＝２３代入反比例函数 ｙ＝－１ｘ中，所得函数值记
为 ｙ１，又将 ｘ＝ｙ１ ＋１代入函数中，所得函数值记为３ｘ＋４ｘ－８．
ｙ２，又 将 ｘ＝ｙ２ ＋１代 入 函 数 中，所 得 函 数 值 记 为
ｙ３，…，如此继续下去，则 　ｙ２０１３＝ －１３　．
·３·２６．１．２　反比例函数的图象和性质（一）
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．反比例函 数 ｙ＝ｍｘ－１的图 象在 第一、三象
１．描点法画反比例函数图象的步骤：　列表，描点，连 限，则 ｍ的取值范围是　ｍ＞１　．线　．
　　２．关于反比例函数 ｙ＝４ｘ的图象，下列说法正
２．反比例函数的图象特征．
反比例函数的图象是双曲线，ｋ的符号决定图象的位置， 确的是
Ａ．必经过点（１，１）当 ｋ＞０时，图象分布在　一、三　象限，在每一象限内，ｙ随
Ｂ．两个分支分布在第二、四象限ｘ增大而　减小　，当 ｋ＜０时，图象分布在　二、四　象
Ｃ．两个分支关于 ｘ轴成轴对称限，在每一象限内，ｙ随 ｘ增大而　增大　．
Ｄ．两个分支关于原点成中心对称
目标训练 ２
注：反比例函数的图象既是中心对称又是轴对称，原点为
３．已知抛物线 ｙ＝ｘ２ －２ｘ＋ｍ＋１与 ｘ轴有两其对称中心，对称轴为一、三象限和二、四象限的角平分线．
个不同的交点，则函数 ｙ＝ｍｘ的大致图象是 （ Ｂ ）
（１）反比例函数 ｙ＝ｋ－ｘ３的图象，当 ｘ＞０时，ｙ随 ｘ增大
４．（四川泸州）如图，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ＜而增大，则 ｋ的取值范围是
（　　） ０）与反比例函数 ｙ＝ｍｘ的图象相交于 Ａ、Ｂ两点，一
Ａ．ｋ＜３　　　 　　　Ｂ．ｋ≤３
次函数的图象与 ｙ轴相交于点 Ｃ，已知点 Ａ（４，１）．
Ｃ．ｋ＞３
Ｄ．ｋ≥３
（１）求反 比例 函 数 的
（２）已知点（ｘ１，－２），（ｘ２，２），（ｘ３，３）都在反比例函数 ｙ 解析式；
＝３ｘ的图象上，则下列关系正确的是
（２）连接 ＯＢ（Ｏ是 坐
（　　） 标原点），若△ＢＯＣ的面积
Ａ．ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ３
Ｂ．ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ２
为 ３，求该一次函数的解析
Ｃ．ｘ３ ＜ｘ２ ＜ｘ１
Ｄ．ｘ２ ＜ｘ３ ＜ｘ１
解：（１）∵ 点 Ａ（４，１）
思路分析：（１）反比例函数 ｙ＝ｋ－ｘ３中，当 ｘ＞０时，ｙ随 ｘ 在反比例函数 ｙ＝ｍｘ的图
（第 ４题图）增大而增大，则 ｋ－３＜０，选 Ａ．
象上，∴ｍ＝４×１＝４，
（２）因为 ｙ＝３ｘ的图象在每支曲线上，ｙ随 ｘ增大而减小，
∴反比例函数的解析式为 ｙ＝４ｘ．故，ｘ２＞ｘ３＞０，当 ｙ＝－２时，ｘ１＜０，
（２）∵点 Ｂ在反比例函数 ｙ＝４ｘ的图象上，
∴ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ２，选 Ｂ．
∴设点 Ｂ的坐标为（ｎ，４）．将 ｙ＝ｋｘ＋ｂ代入
函数 ｙ＝ｍｘ－ｍ与 ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０）在同一直角坐
ｙ＝４ｘ中，得：ｋｘ＋ｂ＝４ｘ，整理得：ｋｘ２ ＋ｂｘ－４＝０，标系中的图象可能是
（　Ｄ　）
∴４ｎ＝１４２，ｎｋ＝－１①．
点 Ｃ的坐标为（０，ｂ），∴Ｓ△ＢＯＣ ＝２１ｂｎ＝３，∴ｂｎ＝６②．
∵点 Ａ（４，１）在一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象上，??????　?　?解?：?当?ｍ?＞０?时?，?双?曲线?在?第?一?、?三?象?限?，一?次?函?数?ｙ?＝?? ∴１＝４ｋ＋ｂ③．
ｎｋ＝－１，
{在第二、四象限，一次函数 ｙ＝ｍｘ－ｍ的图象经过第一、??
ｍｘ－ｍ的图象经过第一、三、四象限；当 ｍ＜０时，双曲线 ?
联 立 ① ② ③ 成 方 程 组，即 ｂｎ＝６， 解 得：
{点评：两个函数图象在同一坐标系中共存问题，常对字母
１＝４ｋ＋ｂ，
二、四象限，故选 Ｄ．
ｋｂ＝＝３－，２１，∴该一次函数的解析式为 ｙ＝－２１ｘ＋３．
?????????????????????????系数分类讨论．
ｎ＝２．·４·１．已知反比例函数 ｙ＝ｋｘ的图象经过点（２，－２），则 ｋ的
９．如 图，四 边 形 ＯＡＢＣ 是 矩 形，
ＡＤＥＦ是正方形，点 Ａ、Ｄ在 ｘ轴值为 （ Ｃ ）
的正半轴上，点 Ｃ在 ｙ轴的正半
轴上，点 Ｆ在 ＡＢ上，点 Ｂ、Ｅ在
　Ａ．　４ 　　　　Ｂ．　－１　　　Ｃ　．　－４　　　Ｄ．－２
反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象上，ＯＡ
（第 ９题图）２．反比例函数 ｙ＝－１ｘ－ａ２（ａ为常数）的图象分布在
＝１，ＯＣ＝６，则正方形 ＡＤＥＦ的
边长为　２　．
（Ｃ ）Ａ．第一、二象限
Ｂ．第一、三象限
１０．已知反比例函数 ｙ＝ｋ－ｘ１（ｋ≠１）．
（１）其图象与正比例函数 ｙ＝ｘ的图象的一个交点为Ｃ．第二、四象限
Ｄ．第三、四象限
Ｐ，点 Ｐ的纵坐标是 ２，求 ｋ的值．
（２）若在其图象的每一支上，ｙ随 ｘ增大而减小，求 ｋ３．如图，反比例函数 ｙ＝ ｘｋ的图
的取值范围．
（３）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取象经过点 Ａ（－１，－２），则当
两点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），当 ｙ１ ＞ｙ２ 时，试比较 ｘ１ 与
ｘ２ 的大小．ｘ＞１时，函数值 ｙ的取值范围
解：（１）由题意知：Ｐ（２，２），
∴ｋ－１＝４，∴ｋ＝５．为 （Ｄ）
（２）∵在每一支上，ｙ随 ｘ增大而减小，
∴ｋ－１＞０，∴ｋ＞１．Ａ．ｙ＞１
（３）∵图象位于二象限，故 ｙ随 ｘ增大而增大，
∴当 ｙ１ ＞ｙ２ 时，ｘ１ ＞ｘ２．Ｂ．０＜ｙ＜１
（第 ３题图）Ｃ．ｙ＞２Ｄ．０＜ｙ＜２４．点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）都在反比例函数 ｙ＝
－ｘ３的图象上，若 ｘ１＜ｘ２ ＜０＜ｘ３，则 ｙ１，ｙ２，ｙ３ 的大小关系是 （ Ａ ）Ａ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２
Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３Ｃ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１
Ｄ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３５．在 反 比 例 函 数 ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０）的 图 象 上 有 两 点
１１．如图，反 比 例 函 数
ｘ（－１，ｙ１），（－１４，ｙ２），则 ｙ１－ｙ２的值是
（ｘ＞０）的 图 象 经 过 矩 形
ＯＡＢＣ对 角 线 的 交 点 Ｍ，Ａ．负数 Ｂ．非正数 Ｃ．正数 Ｄ．不能确定
分别与 ＡＢ、ＢＣ交于点 Ｄ、６．点 Ｐ在反比例函数 ｙ＝ｘｋ（ｋ≠０）的图象上，点Ｑ（２，４）
Ｅ，若 四 边 形 ＯＤＢＥ的 面与点 Ｐ关于 ｙ轴对称，则该反比例函数的解析式为　
积为 ９，求 反 比 例 函 数 的
（第 １０题图）
解析式．ｙ＝－ｘ８　．
解：由题意得：Ｅ、Ｍ、Ｄ位于反比例函数图象上，７．在 －１、３、－２这三个数中，任选两个数的积作为 ｋ的
则 Ｓ△ＯＣＥ ＝｜２ｋ｜，值，使反比例函数 ｙ＝ｘｋ的图象在第一、三象限的概率
Ｓ△ＯＡＤ ＝｜２ｋ｜，是　 ３１　．
过点 Ｍ作 ＭＧ⊥ｙ轴于点
Ｇ，作 ＭＮ⊥ｘ轴于点 Ｎ，８．若点 Ａ（ｍ，－２）在反比例函数 ｙ＝４ｘ的图象上，则函
则 Ｓ矩形ＯＮＭＧ ＝｜ｋ｜，
（第 １０题答图）
又∵Ｍ为矩形 ＡＢＣＯ对角
线的交点，数值 ｙ≥ －２时自变量 ｘ的取值范围为 　 ｘ≤ －２
∴Ｓ矩形ＡＢＣＯ ＝４Ｓ矩形ＯＮＭＧ ＝４｜ｋ｜，
由于函数图象在第一象限，ｋ＞０，或 ｘ＞０　．
则 ２ｋ＋２ｋ＋９＝４ｋ，
解得：ｋ＝３．
·５·１２．如图，函数 ｙ＝ｘｋ与 ｙ＝－ｋｘ＋１（ｋ≠０）在同一坐标
１４．（宜宾）如图，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与反比例函
数 ｙ＝ｍｘ（ｘ＞０）的图象交于 Ａ（２，－１），Ｂ（１２，ｎ）两系中的图象大致为
点，直线 ｙ＝２与 ｙ轴交于点 Ｃ．
（１）求一次函数与反比例函数的解析式；
（２）求△ＡＢＣ的面积．１３．如图，已知正比例函 数 ｙ＝２ｘ
（第 １４题图）
和反比例函数 ｙ＝ｘｋ的图象交
解：（１）把 Ａ（２，－１）代入反比例函数解析式得：－１
于点 Ａ（ｍ，－２）．
（１）求反比例函数的解析式；
＝ｍ２，即 ｍ＝－２，∴反比例函数解析式为 ｙ＝－２ｘ，
（２）观察图象，直接写出 正 比
例函数值大于反比例函 数 值
（第 １３题图）
把 Ｂ（２１，ｎ）代入反比例函数解析式得：ｎ＝－４，即 Ｂ
时自变量 ｘ的取值范围；
（３）若双曲 线上点 Ｃ（２，ｎ）沿
（１２，－４），ＯＡ方向平 移槡５个 单 位 长 度 得 到 点 Ｂ，判 断 四 边 形
{２ｋ＋ｂ＝－１，ＯＡＢＣ的形状并证明你的结论．解：（１）∵Ａ（ｍ，－２）在 ｙ＝２ｘ上，
把 Ａ与 Ｂ坐标代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ中得： ２１ｋ＋ｂ＝－４，∴ －２＝２ｍ，∴ｍ＝－１，∴Ａ（－１，－２），又∵点 Ａ在 ｙ＝ｋｘ上，∴ｋ＝２，
解得：ｋ＝２，ｂ＝－５，∴反比例函数的解析式为 ｙ＝２ｘ；（２）观察图 象 可 知 正 比 例 函 数 值 大 于 反 比 例 函 数 值
则一次函数解析式为 ｙ＝２ｘ－５；时自变量 ｘ的取值范围为：－１＜ｘ＜０或 ｘ＞１；（３）四边形 ＯＡＢＣ是菱形．
（２）∵Ａ（２，－１），Ｂ（１２，－４），
过 Ａ作 ＡＦ⊥ｙ＝２的直线于 Ｆ，过
Ｂ作 ＢＥ⊥ｙ轴于 Ｅ，交直线 ＦＡ于证明：∵Ａ（－１，－２），∴ＯＡ＝槡１２＋２２ ＝槡５，
Ｄ，Ｓ矩形ＡＢＣ ＝Ｓ四ＤＥＣＦ －Ｓ△ＢＥＣ －Ｓ△ＡＢＤ
（第 １４题答图）由题意知：ＣＢ∥ＯＡ且 ＣＢ＝槡５，∴ＣＢ＝ＯＡ，
－Ｓ△ＡＦＣ，∴四边形 ＯＡＢＣ是平行四边形，
∴Ｓ△ＡＢＣ ＝２４１．∵Ｃ（２，ｎ）在 ｙ＝２ｘ上，∴ｎ＝１，∴Ｃ（２，１），ＯＣ＝槡２２＋１２ ＝槡５，∴ＯＣ＝ＯＡ，∴四边形 ＯＡＢＣ是菱形．·６·２６．１．３　反比例函数的图象和性质（二）
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．Ｒｔ△ＡＢＣ在 平 面 坐 标 系
反比例函数 ｙ＝ｋｘ中 ｋ的几何意义及运用．
中摆放 如 图，顶 点 Ａ在 ｘ轴上，
∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＢ∥ ｘ轴，双 曲 线
ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）经过点 Ｃ及 ＡＢ中
点 Ｄ，Ｓ△ＢＣＤ ＝５，则 ｋ的值为
（第 １题图）
双曲线 ｙ１、ｙ２在第一象限的
Ａ．５　　Ｂ．８　　Ｃ．－１０　　Ｄ．－１５图象如图所示，ｙ１ ＝４ｘ，过 ｙ１ 上任一点Ａ，作 ｘ轴的平行线交 ｙ２ 于 Ｂ，交 ｙ轴于
目标训练 ２点 Ｃ，若 Ｓ△ＢＯＡ ＝１，则 ｙ２ 的 解 析 式 是
２．（杭州）如图，函数 ｙ１ ＝ｘ－１和 ｙ２ ＝２ｘ的图
思路分析：设 ｙ２＝ｘｋ，∵ＡＢ∥ｘ轴，
象相交于点 Ｍ（２，ｍ），Ｎ（－１，ｎ），若 ｙ１＞ｙ２，则 ｘ的
取值范围是
（例题 １图）
∴Ｓ△ＡＯＣ ＝２，Ｓ△ＣＯＢ ＝｜２ｋ｜＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＡＯＢ ＝３，
∴ ｜ｋ｜＝２Ｓ△ＢＯＣ ＝６，∵双曲线在第一象限，∴ｋ＝６，
∴ｙ２ ＝６ｘ．
（第 ２题图）
Ａ．ｘ＜－１或 ０＜ｘ＜２
如图，一次函数 ｙ１＝ｋｘ＋ｂ的
Ｂ．ｘ＜－１或 ｘ＞２图象与反比例函数 ｙ２ ＝ｍｘ的图象相交于
Ｃ．－１＜ｘ＜０或 ０＜ｘ＜２点 Ａ（２，３）和点 Ｂ，且点 Ｂ的纵坐标为 １．
Ｄ．－１＜ｘ＜０或 ｘ＞２
３．（重庆八中三模）如图，在 平面 直角坐标系
（１）求 这 两 个 函 数 的 解 析 式 ．
中，点 Ａ是反比例函数 ｙ＝ ｘｋ（ｋ≠０）图象上一点，
（２）结合图象，求出当 ｋｘ＋ｂ＞ｍｘ时 ｘ
（例题 ２图）
ＡＢ⊥ｘ轴于 Ｂ点，一次函数 ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０）的图象的取值范围．
交 ｙ轴于 Ｄ（０，－２），交 ｘ轴于 Ｃ点，并与反比例函
数的图象交于 Ａ，Ｅ两点，连接 ＯＡ，若△ＡＯＤ的面积
思路分析：（１）将点 Ａ（２，３）代入 ｙ２ ＝ｍｘ，求 ｍ，然后求得
为 ４，且点 Ｃ为 ＯＢ中点．
（１）分 别 求 双 曲 线 及 直 线 ＡＥＢ（６，１）．将 Ａ（２，３）和 Ｂ（６，１）的坐标分别代入 ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ，求
的解析式；
（２）若 点 Ｑ 在 双 曲 线 上，且ｋ和 ｂ．
Ｓ△ＱＡＢ ＝４Ｓ△ＢＡＣ，求点 Ｑ的坐标．
（２）ｙ１＞ｙ２时，则 ｙ１的图象在 ｙ２的图象上方．
　解：（１）∵ Ｄ（０，－２），△ＡＯＤ????????????　?　?解?：?（１?）把?Ａ?（２?，３?）代?入??ｙ２?＝?ｍｘ，?得?ｍ?＝?６，???????? 的面积为 ４，∴ １２·２·ＯＢ＝４，
（第 ３题图）
把 Ａ（２，３），Ｂ（６，１）代入 ｙ１＝ｋｘ＋ｂ得，
? 解得 ＯＢ＝４，∵ Ｃ为 ＯＢ的 中
ｋ＝－１２，
{ {１３＝＝２６ｋｋ＋＋ｂｂ，，解得
? ∴ＯＣ＝ＢＣ＝２，∴ △ＯＣＤ为 等 腰 直 角 三 角 形，∴
? ∠ＯＣＤ＝４５°，∴∠ＡＣＢ＝４５°，∴△ＡＣＢ为等腰直角
? 三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝２，∴Ａ点坐标为（４，２），把 Ａ
∴ｙ１ ＝－１２ｘ＋４，ｙ２ ＝６ｘ．
（４，２）代入 ｙ＝ｋｘ得 ｋ＝４×２＝８，即反比例函数解
（２）由图象知，当 ｙ１＞ｙ２时，ｘ＜０或 ２＜ｘ＜６．
?????????????????????????
析式为 ｙ＝８ｘ，由 Ｃ（２，０），Ｄ（０，－２），可得直线 ＡＥ
解析式为 ｙ＝ｘ－２；
（２）∵Ｓ△ＢＡＣ ＝２１ ×２×２＝２，∴Ｓ△ＱＡＢ ＝４Ｓ△ＢＡＣ ＝８，
设 Ｑ（ｔ，８ｔ），∴ ２１·２· ｜ｔ－４｜＝８，解得 ｔ＝１２或 －
４，∴Ｑ点的坐标为（１２，２３）或（－４，－２）．
·７·１．如图，Ｐ（ｘ，ｙ）是反比例函数 ｙ＝３ｘ的图象上一个动点，ＰＡ⊥ｘ轴于点 Ａ，ＰＢ⊥ｙ轴于点 Ｂ，ｙ随着自变量 ｘ的增大而减小，矩形 ＯＡＰＢ的面积
（Ａ ）　Ａ．　不变　　　　　 　　　Ｂ　．　增大　　　
　　 （第 ６题图）Ｃ．减小
Ｄ．无法确定
（第 ５题图）
６．如图，若点 Ｍ是 ｘ轴正半轴上任意一点，过点 Ｍ作 ＰＱ
∥ｙ轴，分别交函数 ｙ＝ｋｘ１（ｘ＞０）和 ｙ＝ｋｘ２（ｘ＞０）的图
象于点 Ｐ和点 Ｑ，连接 ＯＰ、ＯＱ，则下列结论正确的是
（第 １题图） 　　
（第 ２题图）
（Ｄ ）２．如图，反比例函数 ｙ１＝６ｘ与 ｙ２＝３ｘ在第一象限内的图
Ａ．∠ＰＯＱ不可能等于 ９０°
Ｂ．ＱＰＭＭ ＝ｋｋ１２象如图所示，作一条平行于 ｘ轴的直线分别交双曲线
Ｃ．这两个函数的图象一定关于 ｘ轴对称
Ｄ．△ＰＯＱ的面积是 ２１（｜ｋ１｜＋｜ｋ２｜）于 Ａ、Ｂ两点，连接 ＯＡ、ＯＢ，则△ＡＯＢ的面积为 （ Ｂ ）
７．（江西）如图，直线 ｌ⊥ｘ轴于点 Ｐ，且与反比例函数 ｙ１
＝ｋｘ１（ｘ＞０）及 ｙ２＝ｋｘ２（ｘ＞０）的图象分别交于点 Ａ，Ｂ，Ａ．１
Ｂ．１．５ Ｃ．２
连接 ＯＡ，ＯＢ，已 知 △ＯＡＢ的 面 积 为 ２，则 ｋ１ －ｋ２ ＝３．（河南）如图，过反比例函数 ｙ＝ｘｋ（ｘ＞０）的图象上一
　４　．点 Ａ作 ＡＢ⊥ｘ轴于点 Ｂ，连接 ＡＯ，若 Ｓ△ＡＯＢ ＝２，则 ｋ的值为 （ Ｃ ）Ａ．２
（第 ７题图）
（第 ８题图）
８．在直角坐标系中，正方形的中心在原点 Ｏ，且正方形的
（第 ３题图）
（第 ４题图）
ｘ４．如图，正比例函数 ｙ１ ＝ｋ１ｘ和反比例函数 ｙ２ ＝ｋｘ２的图
一组对边与
ｘ轴平行，点
Ｐ（３ａ，ａ）是反比例函数
（ｋ＞０）的图象与正方形的一个交点，若阴影部分的面积象交于 Ａ（－１，２），Ｂ（１，－２）两点，若 ｙ１ ＜ｙ２，则 ｘ的
为 ９，则这个反比例函数的解析式为　ｙ＝３ｘ　．取值范围是
（Ｄ ）Ａ．ｘ＜－１或 ｘ＞１
９．如图，把矩形纸片 ＯＡＢＣ放入平面直角坐标系中，使Ｂ．ｘ＜－１或 ｘ＜１
ＯＣ，ＯＡ分别落在 ｘ轴，ｙ轴上，连 接 ＯＢ，将矩形纸片Ｃ．－１＜ｘ＜０或 ０＜ｘ＜１
ＯＡＢＣ沿 ＯＢ折叠，使点 Ａ落在 Ａ′的位置，Ａ′Ｂ与 ｘ轴Ｄ．－１＜ｘ＜０或 ｘ＞１
交于点 Ｄ，若 Ｂ点坐标为（４，２），则过点 Ａ′的反比例函５．如图，直线 ｌ与双曲线 ｙ＝ｋｘ交于 Ａ、Ｂ两点．Ｐ为线段
数的解析式为　ｙ＝－２４５８ｘ　．ＡＢ上的点（不与 Ａ、Ｂ重合），过点 Ａ、Ｂ、Ｐ分别向 ｘ轴作垂 线，垂 足 分 别 为 Ｃ、Ｄ、Ｅ，连 接 ＯＡ、ＯＢ、ＯＰ，设△ＡＯＣ的面积为 Ｓ１，△ＢＯＤ的面积为 Ｓ２，△ＰＯＥ的面积为 Ｓ３，则有
（Ｃ ）Ａ．Ｓ１ ＜Ｓ２ ＜Ｓ３
Ｂ．Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞Ｓ３
（第 ９题图）Ｃ．Ｓ１ ＝Ｓ２ ＜Ｓ３
Ｄ．Ｓ１ ＝Ｓ２ ＞Ｓ３·８·１０．（浙江省绍兴市）如图，已知直
∴Ｓ△ＡＤ′Ｃ
＝２Ｓ△ＡＯＣ
２１ＡＯ·
ＣＥ＝２×
×４×３＝
线 ｌ：ｙ＝－ｘ，双曲线 ｙ＝１ｘ，在
ｌ上取一点 Ａ（ａ，－ａ）（ａ＞０），
过 Ａ作 ｘ轴 的 垂 线 交 双 曲 线
于点 Ｂ，过 Ｂ作 ｙ轴的垂线交 ｌ
于点 Ｃ，过 Ｃ作 ｘ轴的垂线交 （第 １０题图）
即 Ｓ△ＡＤ′Ｃ ＝１２．
双曲线于点 Ｄ，过 Ｄ作 ｙ轴的垂线交 ｌ于点 Ｅ，此时 Ｅ
１２．已知，在平 面直 角坐 标系 ｘＯｙ中，点 Ａ在 ｘ轴负半
与 Ａ重合，并得到一个正方形 ＡＢＣＤ，若原点 Ｏ在正
方形 ＡＢＣＤ的对角线上且分这条对角线为 １∶２的两
轴 上，点 Ｂ 在 ｙ轴 正 半 轴 上，ＯＡ＝ＯＢ，函 数
条线段，则 ａ的值为　槡２或槡２２　．
ｙ＝－８ｘ的图象与线段 ＡＢ交于点 Ｍ，且 ＡＭ＝ＢＭ．１１．平行四边形 ＡＢＣＤ在平面直角坐 标 系 中 的位 置 如 图 所
（第 １２题图）示，其中 Ａ（－４，０），Ｂ（２，０），
（１）求点 Ｍ的坐标；
（２）求直线 ＡＢ的解析式．Ｃ（３，３），反 比 例 函 数
解：（１）过 点 Ｍ 作 ＭＣ⊥ ｘ
轴，ＭＤ⊥ｙ轴，
∵ＡＭ＝ＢＭ，的图象经过点 Ｃ．
∴点 Ｍ为 ＡＢ的中点，
∵ＭＣ⊥ｘ轴，（１）求此反比例函数的 解析
ＭＤ⊥ｙ轴，
∴ＭＣ∥ＯＢ，ＭＤ∥ＯＡ，式；
（第 １１题图）
∴点 Ｃ和 点 Ｄ分 别 为 ＯＡ （第 １２题答图）
与 ＯＢ的中点，（２）将平行四边形 ＡＢＣＤ沿 ｘ
∴ＭＣ＝ＭＤ，
则点 Ｍ的坐标可以表示为（－ａ，ａ），轴翻折得到平行四边形 ＡＤ′Ｃ′Ｂ，请你通过计算说明
把 Ｍ（－ａ，ａ）代入函数 ｙ＝－８ｘ中，点 Ｄ′在双曲线上；
解得 ａ＝２槡２，则点 Ｍ的坐标为（－２槡２，２槡２）；
（２）∵则点 Ｍ的坐标为（－２槡２，２槡２），（３）请你画出△ＡＤ′Ｃ，并求出它的面积．
∴ＭＣ＝２槡２，ＭＤ＝２槡２，
∴ＯＡ＝ＯＢ＝２ＭＣ＝４槡２，解：（１）反比例函数的解析式
∴Ａ（－４槡２，０），Ｂ（０，４槡２），
设直线 ＡＢ的解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，为 ｙ＝９ｘ；
把点 Ａ（－４槡２，０）和 Ｂ（０，４槡２）分别代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（２）过 Ｃ作 ＣＥ⊥ｘ轴于点 Ｅ，
{中得 －４槡２ｋ＋ｂ＝０，过 Ｄ作 ＤＦ⊥ｘ轴于点 Ｆ，
ｂ＝４槡２，
{ｋ＝１，则△ＣＢＥ≌△ＤＡＦ，
解得：∴ＡＦ＝ＢＥ，ＤＦ＝ＣＥ，
ｂ＝４槡２．
则直线 ＡＢ的解析式为 ｙ＝ｘ＋４槡２．∵Ａ（－４，０），Ｂ（２，０），Ｃ（３， （第 １１题答图）
·９·３），∴ ＤＦ＝ＣＥ＝３，ＯＡ＝４，ＯＥ＝３，ＯＢ＝２，∴ ＯＦ＝ＯＡ－ＡＦ＝ＯＡ－ＢＥ＝ＯＡ－（ＯＥ－ＯＢ）＝４－（３－２）＝３，∴Ｄ（－３，３），∵点 Ｄ′与点 Ｄ关于 ｘ轴对称，∴Ｄ′（－３，－３），把 ｘ＝－３代入 ｙ＝９ｘ得，ｙ＝－３，∴点 Ｄ′在双曲线上；（３）∵ Ｃ（３，３），Ｄ′（－３，－３），∴点 Ｃ和点 Ｄ′关于原点 Ｏ中心对称，∴Ｄ′Ｏ＝ＣＯ＝２１Ｄ′Ｃ，
（第 １１题答图）１５．如图，已知一次函数
＝ｘ＋２与 反 比 例 函 数
ｘ１３．（重庆三中）如图，已知一次函数 ｙ１＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 的
的图象交于 Ａ、Ｂ两点．
图象与反比例函数 ｙ２ ＝－８ｘ的图象交于 Ａ、Ｂ两点，
与坐标轴交于 Ｍ、Ｎ两点，且点 Ａ的横坐标和点 Ｂ的
（１）求 Ａ、Ｂ两点的坐标；
纵坐标都是 －２．
（２）求△ＡＯＢ的面积；
（３）在 反 比 例 函 数 ｙ２ ＝ ３ｘ的 图 象 上 求 一 点 Ｄ，使
Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＡＯＢ，求点 Ｄ的坐标．
（第 １３题图）
（第 １５题图）（１）求一次函数的解析式；
解：（１）Ａ（１，３），Ｂ（－３，－１）．（２）求△ＡＯＢ的面积；
（２）Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝１２ ×２×３＋２１ ×２×１＝４．（３）观察图象，直接写出 ｙ１＞ｙ２时 ｘ的取值范围．
（３）Ｄ１（－２＋槡７，２＋槡７），Ｄ２（－２－槡７，２－槡７），解：（１）∵Ａ（－２，４），Ｂ（４，－２），
Ｄ３（槡３，槡３），Ｄ４（－槡３，－槡３）．∴一次函数的解析式为：ｙ＝－ｘ＋２．（２）∵Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＭ ＋Ｓ△ＢＯＭ ＝１２ ×２×４＋１２ ×２×２＝６．（３）Ｘ＜－２或 ０＜ｘ＜４．１４．如图，双 曲 线 ｙ＝ ｘｋ经 过 Ｒｔ△ＡＢＣ的 两 个 顶 点 Ａ，
Ｃ，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ∥ ｘ轴，连 接 ＯＡ，将 Ｒｔ△ＡＢＣ
沿 ＡＣ翻折 后 得 到 △ＡＢ′Ｃ，点 Ｂ′刚 好 落 在 线 段 ＯＡ
上，连接 ＯＣ，ＯＣ恰好平分 ＯＡ与 ｘ轴负半轴的夹角，
若 Ｒｔ△ＡＢＣ的面积为 ３，则 ｋ的值为　 －１２　．
（第 １４题图）·１０·２６．２　实际问题与反比例函数
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
在实际问题中，应用反比例函数知识解题关键是：建立函
１．一个直角三角形的两直角边长分别为 ｘ、ｙ，数模型，列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程（组）、不等式（组）及图形求解．
其面积为 ２，则 ｙ与 ｘ之间的关系为
目标训练 ２
某气球内充满了一定性
２．工 匠 制 作 某 种 金 属 工质的气体，当温度不变时，气体内压强
具要 进 行 材 料 煅 烧 和 锻 造 两Ｐ（千帕）是气体的体积 Ｖ（立 方 米）
个 工 序，即 需 要 将 材 料 烧 到的反比例函数，其图象如图所示．
８００℃，然 后 停 止 煅 烧 进 行 锻
（１）写出 Ｐ与 Ｖ之间的函数解析
（例题 １图）
造操作，经过 ８ｍｉｎ时，材料温式．
度降为 ６００℃．煅烧 时温 度 ｙ
（２）当气体的体积为 ０．８时，气球内气体的压强是多少 （℃）与时间ｘ（ｍｉｎ）成一次 函
（第 ２题图）千帕？
数关 系；锻 造 时，温 度 ｙ（℃）
（３）当气球内气体的压强大于 １４４千帕时气球将爆炸， 与时间 ｘ（ｍｉｎ）成反比例函数关系（如图）．已知该为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
材料初始温度是 ３２℃．?????????????　?　?解?：?（１?）设?Ｐ?＝?ＫＶ?（?Ｋ≠?０?）?把?Ａ（?１．?５，?６４?）代?入?上?式?，?得???
（１）分别求出材料煅烧和锻造时 ｙ与 ｘ的函数
关系式，并且写出自变量 ｘ的取值范围；
Ｋ＝９６，所以 Ｐ＝９Ｖ６（Ｖ＞０）．
（２）根据工艺要求，当材料温度低于 ４８０℃时，
? 须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
（２）当 Ｖ＝０．８时，Ｐ＝０９．６８＝１２０（千帕）．
（３）当 Ｐ＝１４４千帕时，则 １４４＝９Ｖ６，∴Ｖ＝３２．
解：（１）停止加热时，设 ｙ＝ｘｋ（ｋ≠０），
答：气体的体积应不小于 ３２立方米才安全．
由题意得 ６００＝８ｋ，解得 ｋ＝４８００，
?????????????????????????
当 ｙ＝８００时，４８ｘ００＝８００，解得 ｘ＝６，
心理研究发现，一般情况下，在一节 ４０分钟的课
∴点 Ｂ的坐标为（６，８００）．中，学生的注意力随 教 师 讲 课 时 间 变 化 而 变 化，开 始 上 课 时，
材料加热时，设 ｙ＝ａｘ＋３２（ａ≠０），学生的注意力增强，中 间 有 一 段 时 间 的 注 意 力 保 持 较 为 理 想
由题意得 ８００＝６ａ＋３２，解得 ａ＝１２８，的状态，随后学生的 注 意 力 开 始 分 散，经 过 实 验 分 析 可 知，学
∴材料加热时，ｙ与 ｘ的函数关系式为 ｙ＝１２８ｘ生的注意力指数 ｙ随时间 ｘ（分）的变化规律如图所示（其中 ＋３２（ｘ＞６）．ＡＢ、ＢＣ为线段，ＣＤ为双曲线的一部分）．
∴停止加热进行操作时 ｙ与 ｘ的函数关系式
（１）分别求出线段 ＡＢ和双曲线 ＣＤ的函数关系式并写出
为 ｙ＝４８ｘ００（５＜ｘ≤２０）；自变量的取值范围．
（２）把 ｙ＝４８０代入 ｙ＝４８ｘ００，得 ｘ＝１０，
１０－６＝４（分）．
答：锻造的操作时间为 ４分钟．
（例题 ２图）
·１１·　　（２）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时比较，何时 目标训练 ３的注意力更集中？
３．（山东省德州 市 ）某 中 学 组 织 学 生 到 商 场 参
（３）一道数学竞赛题，需讲 １９分钟，为了效果较好，要求 加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销学生的注意力指数最低达到 ３６，那么经过适当安排，老师能 售工作，已知该运动鞋每双的进价为 １２０元，为寻否在学生达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由． 求合适的销售价格进行了 ４天的试销，试销情况如??????????????????????????????　?　?解?：?（１?）设??线?段?ＡＢ?的?解?析??式?为?ｙ?＝?ａｘ?＋?ｂ，?由?于?过?? 表所示：
ｂ＝２０，
Ａ（０，２０），Ｂ（１０，４０），则有
{ {１０ａ＋ｂ＝４０．
第 １天 第 ２天 第 ３天 第 ４天
ｂ＝２０． ?
售价 ｘ（元 ／双） １５０ ２００ ２５０ ３００
销售量 ｙ（双） ４０ ３０ ２４ ２０
所以 ＡＢ的函数解析式为 ｙ＝２ｘ＋２０（０≤ｘ≤１０）．
设双曲线 ＣＤ的解析式为 ｙ＝ｘｋ．
? 　　（１）观 察 表 中 数 据，ｘ，ｙ满 足 什 么 函 数 关 系？
因为过点 Ｃ（２５，４０），
请求出这个函数关系式；
所以 ｋ＝１０００，
? （２）若商场计划每天的销售利润为 ３０００元，则
所以双曲线 ＣＤ：ｙ＝１０ｘ００（２５≤ｘ≤４０）．
其单价应定为多少元？
解：（１）由表中数据得：ｘｙ＝６０００，∴ｙ＝６０ｘ００，
（２）由（１）知，上课后第五分钟时注意力指数 ｙ＝３０，?
上课后第三十分钟注意力指数
３３３１，故上
故所求函数关系式为 ｙ＝６０ｘ００；
分钟注意力更集中．
? （２）由题意得：（ｘ－１２０）ｙ＝３０００，
（３）能，理由如下：
当 ２ｘ＋２０＝３６时，ｘ１＝８；
把 ｙ＝６０ｘ００代入得：（ｘ－１２０）·６０ｘ００＝３０００，解
当１０ｘ００＝３６时，ｘ２ ＝２７７９．
? 得：ｘ＝２４０；
经检验，ｘ＝２４０是原方程的根．
∴ｘ２－ｘ１＝１９７９ ＞１９．
? 答：若商场计划每天的销售利润为 ３０００元，则
其单价应定为 ２４０元．
老师能在学生达到所需的状态下讲解完这道题目． ?
?????????????????????????
点评：此题是一道数形结合题，首先，要明确横、纵坐标的含义，其次，搞 清 楚 关 键 点 的 意 义，最 后，用 方 程 的 思 想 来解决．
３．（重庆三中）如图，边长为 ２的正１．已知直线 ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）与双曲线 ｙ＝３ｘ相交于 Ａ（ｘ１，
方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ在 ｙ轴 上，
ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，则 ｘ１ｙ２ ＋ｘ２ｙ１ 的值为
顶点 Ｄ在反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｘ＞
　Ａ．　－９　　　　　 　　　Ｂ　．　－６　　　
０）的图象上，已知点 Ｂ的坐标是
（６５，１５１），则 ｋ的值为 （ Ｃ ）２．如图，直线 ｘ＝ｔ（ｔ＞０）与反比例函数ｙ＝２ｘ，ｙ＝－ｘ１的
（第 ３题图）
（第 ４题图）
图象分 别 交 于 Ｂ、Ｃ两 点，Ａ为 ｙ轴 上 任 意 一 点，则
４．（江西）如图，直线 ｌ⊥ｘ轴于点
△ＡＢＣ的面积为
Ｐ，且与反比例函数 ｙ１＝ｋｘ１（ｘ＞
Ｂ．３２５
０）及 ｙ２＝ｋｘ２（ｘ＞０）的图象分别
交于点 Ａ，Ｂ，连接 ＯＡ，ＯＢ，已知
Ｄ．不能确定
△ＯＡＢ的面积为 ２，则 ｋ１ －ｋ２ ＝
（第 ２题图）
　４　．·１２·５．如图，一次函数 ｙ１ ＝ａｘ＋ｂ与反比例函数 ｙ２ ＝ ｘｋ（ｋ≠
交点为点 Ｃ，ＣＤ⊥ｘ轴于 Ｄ，若 ＯＢ
０）的图象交于 Ａ（１，４），Ｂ（４，１）两点，若 ｙ１ ＞ｙ２，则 ｘ
＝２，ＯＤ＝４，△ＡＯＢ的面积为 １．
（１）求一次函数与反比例函数的解
的取值范围为　１＜ｘ＜４　．
（２）根据图象写出 ｘ＜０时，ｋｘ＋ｂ－
（第 ５题图）
６．如图，函数 ｙ＝－ｘ与函数 ｙ＝－４ｘ的图象相交于 Ａ，Ｂ
ｍｘ＞０的解集．
（第 ９题图）
解：（１）∵ＯＢ＝２，
两点，过 Ａ，Ｂ两点分别作 ｙ轴的垂线，垂足分别为点
△ＡＯＢ的面积为 １，
Ｃ，Ｄ．则四边形 ＡＣＢＤ的面积为　８　．
∴Ｂ（－２，０），ＯＡ＝１，∴Ａ（０，－１）．
将 Ａ（０，－１），Ｂ（－２，０）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ中，
{ {ｂ＝－１，∴ ｋ＝－１２，
－２ｋ＋ｂ＝０． ｂ＝－１．
∴ ｙ＝－２１ｘ－１．∵ＯＤ＝４，ＯＤ⊥ｘ轴，
∴Ｃ（－４，ｙ）将 ｘ＝－４代入 ｙ＝－２１ｘ－１，解得 ｙ＝１，
∴Ｃ（－４，１），∴１＝－ｍ４，∴ｍ＝－４，∴ｙ＝－ｘ４．
（２）由图象知 ｘ＜－４．
１０．据报道，近 期 手 足 口 病 可
（第 ６题图）
能进入 高 发 期，为 了 预 防７．函数 ｙ１＝ｘ（ｘ≥０），ｙ２＝９ｘ（ｘ＞０）的图象如图所示，则
手足口 病，对 教 室 进 行 消
下列结论：
毒，已知 药 物 在 燃 烧 释 放
过程中，室 内 空 气 中 每 立
方米含药量 ｙ（毫克）与燃
（第 １０题图）
烧时间 ｘ（分）之间的关系
如图所 示，根 据 信 息 回 答
下列问题．
（１）写出从药物释放开始，ｙ与 ｘ之间的函数关系式
（第 ７题图）
及自变量 ｘ的取值范围．（１）两函数图象的交点 Ａ为（３，３）；
（２）据测定，当空气中每立方米的含药量低于 ２毫克（２）当 ｘ＞３时，ｙ２＞ｙ１；（３）当 ｘ＝１时，ＢＣ＝８；
时，对人体无 害，那 么 从 消 毒 开 始，至 少 在 多 长 时 间（４）当 ｘ逐渐增大时，ｙ１随 ｘ的增大而增大，ｙ２随 ｘ的
内，师生不能进教室．增大而减小．其中正确的结论序号为　①③④　．
解：设 ｙ＝ｘｋ，则（２５，６）代入 ｋ＝２５×６＝１５０，８．如图，点 Ａ、Ｂ在反比例函数 ｙ＝
则 ｙ＝１５ｘ０（ｘ≥１５），ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图象上，过点
将 ｙ＝１０代入 ｘ解析式中 １０＝１５ｘ０，则 ｘ＝１５，Ａ，Ｂ作 ｘ轴的垂线，垂足分别为点 Ｍ，Ｎ，延长线段 ＡＢ交 ｘ轴于
所以 Ａ（１５，１０）．点 Ｃ，若 ＯＭ ＝ＭＮ＝ＮＣ，△ＡＯＣ
（第 ８题图）
设 ＯＡ的解析式为 ｙ＝ｎｘ，将 Ａ（１５，１０）代入上式得，的面积为 ６，则 ｋ的值是　４　．
ｎ＝３２，９．如图，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与两坐标轴分别交于
则线段 ＯＡ的解释式为 ｙ＝２３ｘ，
Ａ、Ｂ两点，与反比例函数 ｙ＝ｍｘ的图象在第二象限的
则 ｙ＝３２ｘ（０≤ｘ≤１５），ｙ＝１５ｘ０（ｘ≥１５）．
·１３·（２）当 ｙ＝２时，１５ｘ０＝２，解得 ｘ＝７５（分）．
１２．教室里的饮水机接通电源就
答：在开始释放到结束 ７５分钟内不能进入教室．１１．如图，已知直线 ｌ分别与 ｘ轴、
进入自 动程 序，开机 加 热 时
ｙ轴交于 Ａ、Ｂ两点，与 双曲 线
ｙ＝ａｘ（ａ≠０，ｘ＞０）交 于 Ｄ、Ｅ
每分 钟 上 升 １０℃，加 热 到
（１）若点 Ｄ的坐标为（４，１），点
１００℃，停 止 加 热，水 温 开 始
Ｅ的坐标为（１，４）．
①分别求出直线 ｌ与双曲线的 （第 １１题图）
下降，此 时 水 温 ｙ（℃）与 开
②若将直线 ｌ向下平移 ｍ（ｍ＞０）个单位，当 ｍ为何
机后用时 ｘ（ｍｉｎ）成 反 比 例
（第 １２题图）
值时，直线 ｌ与双曲线有且只有一个交点？
（２）假设点 Ａ的坐标为（ａ，０），点 Ｂ的坐标为（０，ｂ），
关系．直至水温降至 ３０℃，饮水机关机．饮水机关机
点 Ｄ为线段 ＡＢ的 ｎ等分点，请直接写出 ｂ的值．
解：（１）①反比例函数的解析式为 ｙ＝４ｘ，
后即刻自 动 开 机，重 复 上 述 自 动 程 序．若 在 水 温 为
直线 ＡＢ的解析式为 ｙ＝－ｘ＋５
②依题意可设向下平移 ｍ（ｍ＞０）个单位后解析式为
３０℃时，接通电源后，水温 ｙ（℃）和时间ｘ（ｍｉｎ）的关
ｙ＝－ｘ＋５－ｍ，
系如图，为了在 上 午 第 一 节 下 课 时 （８：４５）能 喝 到 不
{ｙ＝－ｘ＋５－ｍ，
超过 ５０℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午
由 ｙ＝４ｘ，
得 ｘ２－（５－ｍ）ｘ＋４＝０，
∵平移后直线 ｌ与反比例函数有且只有一个交点．
∴Δ＝（ｍ－５）２ －１６＝０，
Ａ．７：２０ Ｂ．７：３０ Ｃ．７：４５ Ｄ．７：５０
∴ｍ１ ＝１，ｍ２ ＝９（舍去），
即当 ｍ＝１时，直线 ｌ与反比例函数有且只有一个交
１３．如 图，为 了 保 护 生 态 环 境，
（２）ｂ＝ｎｎ－２１．
某化工厂 ２０１２年 １月的利
润为 ２００万元，设 ２０１２年 １
月为第一个月，第 ｘ个月的
利润为 ｙ万元，由于排污超
标，该 厂 决 定 从 ２０１２年 １
（第 １３题图）
月底起适当限产，并投入资
金改造，导致月利润明显下降，从 １月到 ５月，ｙ与 ｘ
成反比例．到 ５月底，治污改造工程顺利完工，从这
时起，该厂每月的利润比前一个月增加 ２０万元．
（１）分别求 该 化 工 厂 治 污 期 间 与 治 污 改 造 完 成 后，ｙ
与 ｘ之间的函数关系式．
（２）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才
能达到 ２０１２年 １月的水平？
（３）当月利润小于 １００万元时，为该厂资金紧张期，
该厂紧张期共有几个月？
解：（１）①１≤ｘ≤５时，
设 ｙ＝ｘｋ把（１，２００）代入 ｋ＝２００，即 ｙ＝２０ｘ０．
②由①得当 ｘ＝５时，ｙ＝４０，所以 ｘ＞５时，ｙ＝４０＋
２０（ｘ－５）＝２０ｘ－６０．
（２）当 ｙ＝２００时，２０ｘ－６０＝２００，即 ｘ＝１３，则 １３－５
＝８，所以经过 ８个月该厂利润达到 ２００万元．
（３）对于 ｙ＝２０ｘ０，当 ｙ＝１００时，ｘ＝２；
对于 ｙ＝２０ｘ－６０，当 ｙ＝１００时，ｘ＝８，
则 ８－２－１＝５．
所以紧张期间有 ５个月．·１４·'()*+,-./
（３）求△ＡＯＢ的面积．
{反比例函数的定义
????????????　?　?解?：（?１）?反?比?例?函?数?的?解?析?式?为 ?ｙ＝?１ｘ?２，??????
反比例函数 反比例函数的图象与性质
一次函数的解析式为 ｙ＝３２ｘ＋２；
反比例函数的实际应用
（２）ｘ＞３或 －６＜ｘ＜０；
?考点一　反比例函数的定义及图象与性质
（３）∵点 Ｃ在 ｘ轴上，令 ｙ＝０，得 ｘ＝－３， ?
即 ＯＣ＝３，
（１）若函数 ｙ＝（ｋ＋１）ｘｋ２－２ｋ－４是反比例函数，则函数
∴Ｓ△ＡＯＢ
＝Ｓ△ＡＯＣ
＋Ｓ△ＢＯＣ
×３×４＋２１
×３×２＝９．?
?图象分布于　　　　象限．
??????????????????????
（２）函数 ｙ＝ａｘ（ａ≠０）与 ｙ＝ａ（ｘ－１）（ａ≠０）在同
考点三　反比例函数中数形结合一坐标系中的大致图象是
（昆明）如图，反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图
象经过 Ａ，Ｂ两点，过点 Ａ作 ＡＣ⊥ｘ轴，垂足为 Ｃ，过点 Ｂ
作 ＢＤ⊥ｘ轴，垂足为 Ｄ，连接 ＡＯ，连接 ＢＯ交 ＡＣ于点 Ｅ，
若 ＯＣ＝ＣＤ，四 边 形 ＢＤＣＥ的 面 积 为 ２，则 ｋ的 值 为
　 －１３６　．
????????????????????????　?　?解?：设?点?Ｂ?的?坐?标?为?（ａ?，???????????
ｂ），则 ＤＯ＝－ａ，ＢＤ＝ｂ．
∵ＡＣ⊥ｘ轴，ＢＤ⊥ｘ轴，
∴ＢＤ∥ＡＣ，∵ＤＣ＝ＯＤ，
∴ＣＥ＝ ２１ＢＤ＝ ２１ｂ，ＣＤ＝
（３）设有反比例函数 ｙ＝ｋ－ｘ２，（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）为
２１ＤＯ＝－２１ａ，
（例题 ３图）
∵四 边 形 ＢＤＣＥ的 面 积 为
?其图象上两点，若 ｘ１＜０＜ｘ２，ｙ１ ＞ｙ２，则 ｋ的取值范围是
?　　　　．
（４）如图，反比例函数 ｙ＝３ｘ（ｘ
∴ １２（ＢＤ＋ＣＥ）×ＣＤ＝２，即 ２１（ｂ＋２１ｂ）×（－２１ａ）＝２．??
＞０）的 图 象 与 矩 形 ＯＡＢＣ的 边 ＡＢ、
∴ａｂ＝－１３６．
?ＢＣ分别交于点 Ｅ、Ｆ，且 ＡＥ＝ＢＥ，则
Ｂ（ａ，ｂ）代入反比例函数
ｋｘ（ｋ≠０），得
?△ＯＥＦ的面积为　　　　．
（例题 １图）
?　?　?解?：（?１）?一?、三?；?（２?）Ａ?；?（３?）ｋ?＜２?；（?４）?４９???????
＝－１３６．故答案为：－１３６．
??????????????????????
??????????????????????
?考点二　反比例函数与一次函数
考点四　反比例函数的实际应用结合
红星粮库需要将晾晒场上的 １２００ｔ玉米入
如 图，在 平 面 直 角 坐
库封存，入库所 需时 间 ｄ（单 位：天）与 入库平均速度 ｖ
（单位：ｔ／天）的函数关系如下表：标系 ｘＯｙ中，一次函数 ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与反比例函数 ｙ２ ＝
ｄ １０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ …ｍｘ的图象交于一、三象限内的 Ａ、Ｂ
（例题 ２图）
ｖ １２０ ６０ ４０ ３０ ２４ ２０ …两点，直线 ＡＢ与 ｘ轴交于点 Ｃ，点
　　（１）求出入库时间 ｄ与入库平均速度 ｖ的函数关系式．Ａ的坐标为（３，４），点 Ｂ的坐标为（－６，ｎ）．
（２）已知粮库有职工 ６０名，每天最多可入库３００ｔ，
（１）求反比例函数解析式和一次函数解析式；
预计玉米入库最快可几天内完成？
（３）粮库职 工 连 续 工 作 两 天 后，天 气 预 报 说 未 来 几
（２）当 ｙ１＞ｙ２时，求 ｘ的取值范围；
·１５·天 会 下 雨，粮 库 决 定 次 日 把 剩 下 的 玉 米 全 部 入 库，至 少需要增加多少职工？????????????????　?　?解?：（?１）?ｄ?＝１?２ｖ０?０；???????????????
１．如图，正方形 ＡＢＯＣ的边长为 ２，反比例函数 ｙ＝ｋｘ的图
（２）ｄ＝１２００÷３００＝４（天）．
答：预计玉米入库最快可 ４天内完成；
象过点 Ａ，则 ｋ＝
（３）每 名 职 工 每 天 入 库 速 度 为：３００÷６０＝?
５（ｔ／天），
两天后剩下的粮食为：
１２００－６００＝６００（ｔ），６００÷５＝１２０（人），
粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，至少需 ?
要增加职工：１２０－６０＝６０（名）．
答：粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，至少
需要增加 ６０名职工．
??????????????????????
（第 １题图）
??????????????????????
点评：当两个 变 量 的 积 不 变 时，这 两 个 变 量 成 反 比
Ａ．２　　　　　　　　　Ｂ．－２例函数．
Ｃ．４　　　　　　　　　Ｄ．－４
如 图，已 知 一 次
２．双曲线 ｙ＝２ｋｘ－１的图象经过第二、四象限，则 ｋ的取函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与反比 例 函 数 ｙ＝ － ４ｘ的 图
（Ｂ）象交 于 Ａ，Ｂ两 点，与 ｘ轴，ｙ
　Ａ．　ｋ＞　１２　　　　 　　　Ｂ　．　ｋ＜　１２　　轴交 于 点 Ｃ、Ｄ两 点，点 Ｂ的
Ｃ．ｋ＝２１横坐标为 １，ＯＣ＝ＯＤ，点 Ｐ在
Ｄ．不存在反比例函数图象上且到 ｘ轴，
３．如图，在平面直角坐标系中，直线 ｙ＝－３ｘ＋３与 ｘ轴、ｙ轴距离相等．
（例题 ５图）
（１）求 一 次 函 数 的 解 析
ｙ轴分别交于 Ａ、Ｂ两点，以 ＡＢ为边在第一象限作正式；（２）求△ＡＰＢ的面积．
方形 ＡＢＣＤ并沿 ｘ轴负方向平移 ａ个单位长度后，点??????????????????????????????????　?　?解?：（?１）?过?点?Ｂ?作?Ｂ?Ｅ⊥?Ｏ?Ｄ?，垂?足?为?Ｅ?，?则?由?ＢＥ??
Ｃ恰好落在双曲线上，则 ａ的值是
∥ＣＯ，可得△ＢＤＥ∽△ＣＤＯ，
∵ＯＣ＝ＯＤ，∴ＢＥ＝ＤＥ，
又∵点 Ｂ的横坐标为 １，且点 Ｂ在反比例函数ｙ＝－?
４ｘ图象上，∴Ｂ（１，－４），ＢＥ＝１，ＯＥ＝４，
∴ＯＤ＝４－１＝３＝ＯＣ，Ｃ（－３，０），Ｄ（０，－３），
{代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）可得，０－＝３＝－３ｂ，ｋ＋ｂ，?ｂｋ＝＝－－１３，．??
（第 ３题图）
∴一次函数的解析式为 ｙ＝－ｘ－３．
４．若双曲线 ｙ＝ｘｋ与直线 ｙ＝２ｘ＋１一个交点的横坐标
（２）过点 Ｐ作 ｙ轴的平行线，交直线
Ｓ△ＡＰＢ ＝Ｓ△ＡＰＦ ＋Ｓ△ＰＦＢ，
为 －１，则 ｋ的值为
Ｐ在反比例函数
ｙ＝－４ｘ的图象上，且到
Ａ．－１ Ｂ．１
Ｃ．－２ Ｄ．２
ｙ轴距离相等，
５．如图，反比例函数 ｙ１ ＝ｋｘ１和正比例函数 ｙ２ ＝ｋ２ｘ的图
∴Ｐ（－２，２），Ｆ（－２，－１）．
{∴ ＰＦ ＝ ２ － （－ １） ＝ ３，由
ｙ＝－ｘ－３， ?
象交 于 点 Ａ（－１，－３），Ｂ（１，３）两 点，若
＞ｋ２ｘ，则
ｙ＝－４ｘ，
的取值范围为
{ {ｘ１＝１，
∴Ａ（－４，１），
ｙ１＝－４， ｙ２＝１．
∴△ＡＰＦ中 ＰＦ边上的高为 ２，△ＢＰＦ中 ＰＦ边上的 ?
∴Ｓ△ＡＰＢ
＝Ｓ△ＡＰＦ
＋Ｓ△ＰＦＢ
×３×２＋２１
×３×３＝３＋?
４．５＝７．５．
（第 ５题图）
·１６·Ａ．－１＜ｘ＜０
Ｂ．－１＜ｘ＜１
ｙ轴的对称点在反比例函数 ｙ＝ ｘｋ的图象上，则反比Ｃ．ｘ＜－１或 ０＜ｘ＜１ Ｄ．－１＜ｘ＜０或 ｘ＞１
例函数的解析式为　ｙ＝２ｘ　．６．如图，正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｂ、Ｃ在 ｘ轴的正半轴上，
１０．如图，点 Ａ是反比例函数 ｙ＝－３ｘ在第二象限图象上
一点，点 Ｂ是反比例函数 ｙ＝４ｘ在第一象限图象上一反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）在第一象限的图象经过顶点
点，直线 ＡＢ与 ｙ轴交于点 Ｃ，且 ＡＣ＝ＢＣ，连接 ＯＡ、Ａ（ｍ，２）和 ＣＤ边上的点 Ｅ（ｎ，２３），过点 Ｅ的直线 ｌ交
ＯＢ，则△ＡＯＢ的面积是　 ７２　．ｘ轴于点 Ｆ，交 ｙ轴于点 Ｇ（０，－２），则点 Ｆ的坐标是
（第 ６题图）
（第 １０题图）Ａ．（５４，０）
Ｂ．（４７，０）
１１．如图，在平面直角坐标系中，△ＯＡＢ的边 ＯＡ在 ｘ轴
的正半轴上，ＯＡ＝ＡＢ，边 ＯＢ的中点 Ｃ在双曲线 ｙ＝Ｃ．（４９，０）
Ｄ．（１４１，０）
ｘｋ上，将△ＯＡＢ沿 ＯＢ翻折后，点 Ａ的对应点 Ａ′，正好
落在双曲线 ｙ＝ ｋｘ上．若 △ＯＡＢ的面 积为 ６，则 ｋ＝７．直线 ｌ与双曲线 Ｃ在第一象限相交于 Ａ、Ｂ两 点，则
　４　．阴 影 部 分 （包 括 边 界 ）横 、纵 坐 标 都 是 整 点 的 有
（第 ７题图）Ａ．４个　　　　　　Ｂ．５个Ｃ．６个　　　　　　Ｄ．８个
（第 １１题图）
１２．（重庆三中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ＯＡＢＣ８．如图，直线 ＡＢ交双曲线 ｙ＝ ｘｋ于 Ａ、Ｂ两点，交 ｘ轴于
的对角线 ＯＢ、ＡＣ相交于点 Ｄ，且 ＢＥ∥ＡＣ，ＡＥ∥ＯＢ，点 Ｃ，Ｂ为线段 ＡＣ的中点，过点 Ｂ作 ＢＭ⊥ｘ轴于 Ｍ，
如果 ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，则经过点 Ｅ的反比例函数解析连接 ＯＡ．若 ＯＭ＝２ＭＣ，四边形 ＯＡＢＭ的面积为 ５，则 ｋ
式为 （ Ａ ）的值为
Ａ．ｙ＝２９ｘ　　　　　　　　Ｂ．ｙ＝９２ｘ
Ｃ．ｙ＝槡ｘ１３
Ｄ．ｙ＝槡２１ｘ３
（第 ８题图）Ａ．３
Ｂ．４Ｃ．５
Ｄ．６９．若点 Ｐ（ａ，２）在一次函数 ｙ＝２ｘ＋４的图象上，它关于
（第 １２题图）
·１７·１３．（重庆一中月考）如图，正方形 ＡＢＣＤ和正方形 ＤＥＦＧ
１５．如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｙ＝ｘ－２与 ｙ的顶点 Ａ在 ｙ轴上，顶点 Ｄ、Ｆ在 ｘ轴上，点 Ｃ在 ＤＥ
轴相交于点 Ａ，与反比例函数在第一象限内的图象相边上，反比例函数 ｙ＝ ｘｋ（ｋ≠０）的图象经过点 Ｂ、Ｃ
交于点Ｂ（ｍ，２）．
（１）求该反比例函数关系式；和边 ＥＦ的中点 Ｍ，若 Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝２，则正方形 ＤＥＦＧ
（２）将直线 ｙ＝ｘ－２向上平移后与反比例函数在第的面积为
一象限内的图象相交于点 Ｃ，且△ＡＢＣ的面积为 １８，
求平移后的直线的函数关系式．
解：（１）反 比 例 函 数 关 系 式
为：ｙ＝８ｘ．
（２）设 平 移 后 的 直 线 的 函 数
关系式为：ｙ＝ｘ＋ｂ，Ｃ点坐标
为（ｘ，８ｘ），
（第 １３题图）
∵△ＡＢＣ的面积为 １８，
（第 １５题图）
Ａ．３９２　　　　Ｂ．１３０　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．１４５
∴４×（８ｘ＋２）－１２ ×４×４－１４．如图，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ与反比例函数 ｙ＝ｍｘ的图
象交于 Ａ（２，３），Ｂ（－３，ｎ）两点．
×（４－ｘ）（８ｘ－２）－１２ｘ（８ｘ＋２）＝１８，
（１）求一次函数和反比例函数的解析式．
（２）直接写出不等式 ｋｘ＋ｂ＞ｍｘ的解集．
（３）过点 Ｂ作 ＢＣ⊥ｘ轴于点 Ｃ，求 Ｓ△ＡＢＣ．
化简，得：ｘ２ ＋７ｘ－８＝０，
解得：ｘ１ ＝－８，ｘ２ ＝１．
∵ｘ＞０，∴ｘ＝１．
∴Ｃ点坐标为（１，８）．
把 Ｃ点坐标（１，８）代入 ｙ＝ｘ＋ｂ得 ８＝１＋ｂ，
∴ｂ＝７，
∴平移后的直线的函数关系式为：ｙ＝ｘ＋７．解：（１）ｍ＝６，∴反比例函数解析式为 ｙ＝６ｘ，∴ｎ＝－２，{ {３＝２ｋ＋ｂ，
ｋ＝１，则 ∴ ∴直线 ｙ＝ｘ＋１－２＝－３ｋ＋ｂ， ｂ＝１．（２）－３＜ｘ＜２或 ｘ＞２（３）Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＢＣＤ ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝５．·１８·１６．如图，将边长为 ４的等边三角形 ＡＯＢ放置于平面直角
∴ＯＨ＝１４ｘ＋１，ＥＨ＝槡４３ｘ＋槡３，
坐标系 ｘＯｙ中，Ｆ是 ＡＢ边上的动点（不与端点 Ａ、Ｂ重
合），过点 Ｆ的反比例函数 ｙ＝ｘｋ（ｋ＞０，ｘ＞０）与 ＯＡ边
∴Ｅ（１４ｘ＋１，槡４３ｘ＋槡３），Ｆ（４－１２ｘ，槡２３ｘ），
交于点 Ｅ，过点 Ｆ作 ＦＣ⊥ｘ轴于点 Ｃ，连接 ＥＦ、ＯＦ．
∵Ｅ、Ｆ都在双曲线 ｙ＝ｋｘ的图象上，
（１）若Ｓ△ＣＯＦ ＝槡３，求反比例函数的解析式．
∴（４１ｘ＋１）（槡４３ｘ＋槡３）＝（４－１２ｘ）槡２３ｘ，
（２）在（１）的条件下，求 ＥＡ的长．
解得 ｘ１＝４，ｘ２＝４５，
（３）ＡＢ边上是否存在点 Ｆ，使得 ＥＦ⊥ ＥＡ？若存在，
当 ＢＦ＝４时，ＡＦ＝０，ＢＡＦＦ不存在，舍去．
请求出 ＢＦ∶ＦＡ的值；若不存在，请说明理由．
当 ＢＦ＝５４时，ＡＦ＝１５６，ＢＡＦＦ＝１４．
（第 １６题图）解：（１）反比例函数解析式为 ｙ＝２槡ｘ３（ｘ＞０）．（２）过点 Ｅ作 ＥＨ⊥ｘ轴，垂足为 Ｈ，过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ｙ轴，垂足为 Ｇ．在△ＡＯＢ中，ＯＡ＝ＡＢ＝４，∠ＡＯＢ＝∠ＡＢＯ＝∠Ａ＝６０°．设 ＯＨ＝ｍ，∴ＥＨ＝槡３ｍ，ＯＥ＝２ｍ，∴Ｅ点坐标为（ｍ，槡３ｍ），∵Ｅ在反比例 ｙ＝２槡ｘ３图象上，∴槡３ｍ＝２ｍ槡３．∴ｍ１ ＝槡２，ｍ２ ＝－槡２（舍去）．∴ＯＥ＝２槡２，ＥＡ＝４－２槡２．（３）存在．假设存在点 Ｆ，使 ＡＥ⊥ＦＥ．过 Ｅ点作 ＥＨ⊥ＯＢ于点Ｈ．设 ＢＦ＝ｘ．
（第 １６题答图）∵△ＡＯＢ是等边三 角 形，∴ ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝４，∠ＡＯＢ＝∠ＡＢＯ＝∠Ａ＝６０°．∴ＢＣ＝２１ｘ，ＦＣ＝槡２３ｘ，∴ＡＦ＝４－ｘ，ＯＣ＝ＯＢ－ＢＣ＝４－１２ｘ，∵ＡＥ⊥ＦＥ，∴ＡＥ＝ＡＦ·ｃｏｓ∠Ａ＝２－１２ｘ，∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝１２ｘ＋２，
·１９·　　同步教材
　　　　　　２７．１　图形的相似
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．下列说法正确的有
①所有的直角三角形都相似；②所有的菱形都１．相似图形的定义：形状相同的两个图形叫做相似图形． 相似；③所有的正方形都相似；④四条边对应成比两个图形 相 似，其 中 一 个 图 形 可 以 看 作 由 另 一 个 图 形 例的两个 四边 形相 似；⑤ 所 有的 等边 三 角 形 都 相　放大　或　缩小　得到．
似．注意：①当两个图形 形 状 相 同、大 小 也 相 同 时，这 两 个 图
Ａ．１个　　Ｂ．２个　　Ｃ．３个　　Ｄ．４个形也是相似图形，这时是相似图形的一种 特例———全 等形．
２．如图，两 个 菱 形，两 个 等 边 三 角 形，两 个 矩②在数学上，具有相同形状的图形才是相似形，所以日常生活 形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另中的相似、相像的意义与相似形的意义有区别，应引起注意． 一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距２．相似多边形
离都相等，那么两个图形不相似的一组是 （ Ｃ ）形状相同的多边形叫做相似多边形．
①性质：相 似 多 边 形 对 应 角 　 相 等 　，对 应 边 的 比 　
　　　　　相等　．
②判定：如果两个多边形满足对应角　相等　，对应边的
Ａ比　相等　，那么这两个多边形相似．
Ｂ③相似比：相似多边形　对应边　的比称为相似比．３．比例线段：对于四条线段 ａ、ｂ、ｃ、ｄ，如果其中两条线段的长 度 的 比 与 另 两 条 线 段 的 长 度 的 比 相 等，即
３．下 列 各 组 的 两 个 图 形：① 两 个 等 腰 三 角 形；ａ∶ｂ＝ｃ∶ｄ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
②两个矩形；③ 两 个 等 边 三 角 形；④ 两 个 正 方 形；一、图形相似的特征与识别
⑤各有一个内角是 ４５°的两个等腰三角形．其中一
定相似的是　③④　（只填序号）．
下列说法正确的是
（　　）Ａ．所有的平行四边形都相似Ｂ．所有的矩形都相似Ｃ．所有的菱形都相似Ｄ．所有的正方形都相似思路分析：Ａ中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故 Ａ错；Ｂ中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故 Ｂ错；Ｃ中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角·２０·不一定对应 相等，因此 所 有 的 菱 形 不 一 定 都 相 似，故 Ｃ错； 目标训练 ２
Ｄ中任意两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因
４．（洛阳模拟）已知 ａ，ｂ，ｃ，ｄ是成比例线段，即??此所有的正方形都相似．故选 Ｄ．
ａｂ＝ｄｃ，其中 ａ＝３ｃｍ，ｂ＝２ｃｍ，ｃ＝６ｃｍ，则线段 ｄ＝
?　?　?解?：?Ｄ?????????????????????
?????????????????????????点评：本题要牢牢抓住相似多边形判定方法即：对应角相等、 　４ｃｍ　．
目标训练 ３
对应边的比相等的两个多边形相似来解题．?????????????????????????
?????????????????????????
５．一个三角形的各边之比为 ２∶５∶６，和它相似的
二、比例线段的意义
线段 ａ，ｂ，ｃ，ｄ的 长 度 如 下：① ａ＝１２ｃｍ，ｂ＝ 另一个三角形的最大边为 ２４，它的最小边为　８　．
６．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ是 ＡＣ边上
８ｃｍ，ｃ＝１５ｃｍ，ｄ＝１０ｃｍ；②ａ＝７ｃｍ，ｂ＝１４ｃｍ，ｃ＝１９．６ｃｍ， 一点，ＡＢ＝５，ＡＣ＝４，若△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ，则 ＣＤ的长
ｄ＝５ｃｍ；③ａ＝１．２ｃｍ，ｂ＝４ｃｍ，ｃ＝９ｃｍ，ｄ＝０．３ｃｍ．以上三
组数据能使 ａ，ｂ，ｃ，ｄ构成比例线段的有（　　）组．
Ａ．０　　 　Ｂ．１　　 　Ｃ．２　　 　Ｄ．３
思路分析：判断四条非零线段是否成比例，只要在四条线
段中找到两条线段的 积 等 于 另 外 两 条 线 段 的 积 即 可．此 题 ①
中，②中有，③中找不到任何两条线段之积等于另两条线段之
（第 ５题图）
积，所以这四条线段 不 能 构 成 比 例 线 段．综 上 所 述 共 有 两 组．
Ａ．２　　　Ｂ．２３　　　Ｃ．４３　　　Ｄ．４９
?　?　?解?：?Ｃ?????????????????????
７．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＡＤ，线段 ＥＦ＝
１０．在 ＥＦ上取一点 Ｍ，分别以 ＥＭ，ＭＦ为一边作矩
点评：判断四条非零线段是否能够成比例，只要在四条线 形 ＥＭＮＨ、矩形 ＭＦＧＮ，使矩形 ＭＦＧＮ∽矩形 ＡＢＣＤ．
段中找到两条线段的积等于另外两条线段的积即可．
令 ＭＮ＝ｘ，当 ｘ为何值时，矩形 ＥＭＮＨ的面积 Ｓ有
三、相似多边形性质的应用
最大值？最大值是多少？
如图，等腰梯形 ＡＢＣＤ与等腰梯形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似，
∠Ａ＝５５°，ＡＢ＝２０ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝８ｃｍ，ＣＤ＝１０ｃｍ，求 Ｃ′Ｄ′的长
及∠Ｃ′的度数．
（例题 ３图）
（第 ７题图）
解：∵矩形 ＭＦＧＮ∽矩形 ＡＢＣＤ，
思路分析：由相似多边形的性质可得 ∠Ａ′＝∠Ａ＝５５°，
∴ＭＡＤＮ＝ＭＡＢＦ．∵ＡＢ＝２ＡＤ，ＭＮ＝ｘ，∴ＭＦ＝２ｘ．
∴ＥＭ＝ＥＦ－ＭＦ＝１０－２ｘ．
ＡＡ′ＢＢ′＝ＣＣ′ＤＤ′，所以 Ｃ′Ｄ′＝２８０×１０＝４（ｃｍ）．又由等腰梯形的性
∴Ｓ＝ｘ（１０－２ｘ）
质可知∠Ｂ′＝∠Ａ′＝５５°，又因 Ａ′Ｂ′∥Ｃ′Ｄ′，所以∠Ｃ′＝１８０°
＝－２ｘ２ ＋１０ｘ
－∠Ｂ′＝１８０°－５５°＝１２５°．
( )＝－２ ｘ－５２ ２＋２２５．??????????????　?　?解?：?等?腰?梯?形?ＡＢ?ＣＤ?与?等?腰?梯?形??Ａ′?Ｂ′Ｃ?′Ｄ?′相?似?，?它?们??
∴当 ｘ＝２５时，Ｓ有最大值为２２５．
的对应边的比相等．所以ＡＡ′ＢＢ′＝ＣＣ′ＤＤ′，所以 Ｃ′Ｄ′＝ＡＡ′ＢＢ′×???
ＣＤ＝２８０×１０＝４（ｃｍ）．
ＡＢＣＤ与等腰梯形
Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似，它们的对
应角相等．所以∠Ａ′＝∠Ａ＝５５°．
在等腰梯形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，∠Ｂ＝∠Ａ′＝５５°，又因 Ａ′Ｂ′?
∥Ｃ′Ｄ′，所 以 ∠Ｃ′＝１８０°－∠Ｂ′，即 ∠Ｃ′＝１８０°－∠Ｂ′＝??
１８０°－５５°＝１２５°．
点评：灵活运用相似多边形的性质和等腰梯形的性质．
·２１·１．下面的图形中，形状相似的一组是
　　 　　　　　 　　　　　 　　　
８．（常州）在比例尺为 １∶４００００的地图上，某条道路的长
为 ７ｃｍ，则该道路的实际长度是　２．８　ｋｍ．
９．△ＡＢＣ的三边长分别为槡２、槡１０、２，△ＤＥＦ的两边长
分别为 １和槡５，如果△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，那么△ＤＥＦ的
第三边长为
Ａ．槡２２
Ｄ．２槡２２．下列说法正确的是
１０．已知 ｘ∶ｙ∶ｚ＝２∶３∶４，则ｘｘ－＋２ｙｙ＋－３ｚｚ的值为　１４１　．Ａ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似
１１．一个矩形的长、宽分别为 ６、４，另一个与它相似的矩Ｂ．商店新买来的一副三角板是相似的
形的宽为 ３，则该矩形的长为　 ２９　．Ｃ．所有的课本都是相似的
１２．如图，ＡＤ＝２，ＡＣ＝４，ＢＣ＝６，∠Ｂ＝３６°，∠Ｄ＝１１７°，
△ＡＢＣ与△ＤＡＣ相似．Ｄ．国旗的五角星都是相似的３．若如图所示的两个四边形相似，则的∠α度数是
（第 ３题图）
（第 １２题图）
Ｂ．６０° Ｃ．７５° Ｄ．１２０°
（１）求 ＡＢ的长；Ａ．８７°
（２）求 ＣＤ的长；４．Ｒｔ△ＡＢＣ的两条直角边分别为 ３ｃｍ、４ｃｍ，与它相似
（３）求∠ＢＡＤ的大小．的 Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′的斜边为 ２０ｃｍ，那么 Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′的周
解：（１）∵△ＡＢＣ与△ＤＡＣ相似，长为 （ Ａ ）
∴ＡＡＤＢ＝ＢＡＣＣ，即Ａ２Ｂ＝４６，∴ＡＢ＝３．Ａ．４８ｃｍ Ｂ．２８ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１０ｃｍ５．下列各组中的四条线段成比例的是
（２）∵△ＡＢＣ与△ＤＡＣ相似，Ａ．４ｃｍ、２ｃｍ、１ｃｍ、３ｃｍ
∴ＢＡＣＣ＝ＤＡＣＣ，即
＝Ｄ４Ｃ，∴ＤＣ＝８３．
６Ｂ．１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍ
（３）∵△ＡＢＣ与△ＤＡＣ相似，Ｃ．２５ｃｍ、３５ｃｍ、４５ｃｍ、５５ｃｍ
∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝１１７°，∠ＤＡＣ＝∠Ｂ＝３６°，Ｄ．１ｃｍ、２ｃｍ、２０ｃｍ、４０ｃｍ
∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＣ＝１１７°＋３６°＝１５３°．６．△ＡＢＣ的三条边之比为 ２∶５∶６，与其相似的另一个三角形最大边长为 １８ｃｍ，则另两边长的和为　２１ｃｍ　．７．如图是一个边长为 １的正方形组成的网格，△ＡＢＣ与
１３．如图，把矩形 ＡＢＣＤ对折，折痕
为 ＭＮ，矩 形 ＤＭＮＣ 与 矩 形△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 都是格点三角形（顶点在网格交点处），并 且
ＡＢＣＤ相似，已知 ＡＢ＝１０．△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１相似，则△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的相似
（１）求 ＡＤ的长；
（２）求矩形 ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ （第 １３题图）比是　槡２∶１　．
的相似比．
解：（１）由已知，得 ＭＮ＝ＡＢ，ＭＤ＝２１ＡＤ＝１２ＢＣ．
（第 ７题图）
∵矩形 ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ相似，ＤＡＭＢ＝ＭＢＣＮ，
∴ １２ＡＤ２＝ＡＢ２，∴由 ＡＢ＝１０得，ＡＤ＝１０槡２．
（２）矩形 ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ的相似比为ＤＡＭＢ＝槡２２．·２２·２７．２　相似三角形２７．２．１　相似三角形的判定（第 １课时）知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．在?ＡＢＣＤ中，Ｅ在 ＤＣ上，若 ＤＥ∶ＥＣ＝１∶２，
则 ＢＦ∶ＢＥ＝　３∶５　．１．相似三角形的定义：对应边的比相等，对应角相等的两个三角形为相似三角形．注意：①相似三角形的定义既是相似三角形的特征，也是三角形相似的识别方法．②书写两三角形相似时，对应点要写在对应的位置上，如
（第 １题图）△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，则说明 Ａ点的对应点是 Ｄ，Ｂ点的对应点是
２．（杭州）如图，已知直线 ａ∥ｂ∥ｃ，直线 ｍ交Ｅ，Ｃ点的对应点是 Ｆ．
直线 ａ，ｂ，ｃ于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，直线 ｎ交直线 ａ，ｂ，ｃ于点
③相似三角形找对应边（角）的方法：对应角所对的边是
Ｄ，Ｅ，Ｆ，若ＢＡＢＣ＝１２ ，则ＤＥＦＥ＝
（Ｂ）对应边，对应边所对的角是对应角，最大角对的边是对应边，最小角对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边．④两个三角形相似，它们的相似比有顺序要求．若△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ的相似比为 ｋ，则△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ的相似比为 １ｋ．２．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．
（第 ２题图）（１）定理的基本图形：
Ａ．３１　　　Ｂ．２１　　　Ｃ．３２　　　Ｄ．１
３．如图所示，在△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ分别是 ＡＢ、ＡＣ
上的点，且 ＤＥ∥ＢＣ，已知 ＡＤ＝２，ＤＢ＝３，ＡＥ＝３．求
ＡＣ的长．（２）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等．（３）推论的基本图形：
（第 ３题图）
解：∵ＤＥ∥ＢＣ，
∴ＤＡＤＢ＝ＥＡＥＣ，
３．相似三角形的判定（一）
＝Ｅ３Ｃ，
平行于三角形的一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 相 交，所 构 成 的
３三角形与原三角形相似．
∴ＥＣ＝４．５，
ＡＣ＝ＡＥ＋ＥＣ＝３＋４．５＝７．５．
·２３·目标训练 ２一、平行线分线段成比例定理
４．（一 中 模 拟 ）如 图，在 △ＡＢＣ中，ＥＢＣＣ＝ ８３，
如图所示，Ｄ为 ＡＢ中点，Ｅ为
ＤＥ∥ＡＣ，则 ＤＥ∶ＡＣ＝　５∶８　．ＡＣ上一点，ＤＥ的延长线交 ＢＣ的延长线于 Ｆ．
求证：ＣＢＦＦ＝ＥＡＥＣ．
（例题 １图）
思路分析：原题中没 有 平 行 线，因 此 需 作 平 行 线，利 用 平行线分线段成比例定理来构成比例线段．
（第 ４题图）????????
?　?　?证?明?：过?点??Ｃ?作?ＣＧ?∥?ＤＦ?，?交?ＡＢ?于?Ｇ?，????????
５．如图，已 知 ＡＣ⊥ ＡＢ，ＢＤ⊥ ＡＢ，ＡＯ＝７８ｃｍ，
∵ＣＧ∥ＤＦ，
? ＢＯ＝４２ｃｍ，ＣＤ＝１５９ｃｍ，求 ＣＯ和 ＤＯ的长．
∴ＢＣＦＦ＝ＢＧＤＤ，ＥＡＥＣ＝ＤＡＤＧ（平行线分线段成比例定理），
∵ＡＤ＝ＢＤ，∴ＣＢＦＦ＝ＥＡＥＣ．
?????????????????????????
?????????????????????????
点评：本题利用了平行线分线段成比例定理解题，当需要
（第 ５题图）证明线段的比例问题时，常用辅助线之一就是作平行线，构造成比例线段．
解：设 ＤＯ＝ｘｃｍ，则 ＣＯ＝（１５９－ｘ）ｃｍ，二、相似三角形的性质与判定
因为 ＡＣ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＢ，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，
∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ，
如图所示，在△ＡＢＣ中，已知
所以△ＡＯＣ∽△ＢＤＯ，ＤＥ∥ＢＣ，ＡＤ＝４，ＤＢ＝８，ＤＥ＝３．
所以ＢＡＯＯ＝ＤＣＯＯ，
（１）求ＡＡＤＢ的值；
即７４８２＝１５９ｘ－ｘ，所以 ｘ＝５５．６５，
（２）求 ＢＣ的长．
即 ＣＯ＝１０３．３５ｃｍ，ＤＯ＝５５．６５ｃｍ．
思路分析：（１）是比例性质的简单应用，（２）要求 ＢＣ的长，可根据 ＤＥ∥ＢＣ得到△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，再利用相似三角形的 （例题 ２图）性质得 ＤＥ∶ＢＣ＝ＡＤ ∶ＡＢ，从而求 ＢＣ的长．??????????????　?　?解?：?（１?）因?为?Ａ?Ｄ?＝４?，Ｄ?Ｂ?＝?８，????????????
所以 ＡＢ＝ＡＤ＋ ＤＢ＝４＋８＝１２，
所以ＡＡＤＢ＝１４２＝１３．
（２）因为 ＤＥ∥ＢＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，
所以ＤＢＣＥ＝ＡＡＤＢ，
因为 ＤＥ＝３，所以Ｂ３Ｃ＝３１，所以 ＢＣ＝９．
点评：本题综合应用了相似三角形的判定与性质，用相似三角形性质时，要注意线段之间的对应关系．·２４·１．如图，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，若ＡＡＤＢ＝１３，ＤＥ＝４，则 ＢＣ
８．（一中期中）如图，ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ都与 ＢＤ垂直，垂足分别
是 Ｂ、Ｄ、Ｆ，且 ＡＢ ＝１，ＣＤ ＝３，则 ＥＦ∶ＣＤ 的 值 为等于 （ Ｄ ）
　 １４　．　Ａ．　９ 　　　　Ｂ．　１０　　　Ｃ　．　１１　　　Ｄ．１２２．如图，Ｆ是?ＡＢＣＤ对角线 ＢＤ上的点，ＢＦ∶ＦＤ＝１∶３，则 ＢＥ∶ＥＣ＝
（Ａ ）Ａ．２１
（第 ８题图） 　　　
（第 ９题图）（第 １题图）
（第 ２题图）
（第 ３题图）
９．如图，Ａ１，Ｂ１，Ｃ１ 分别是 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点，Ａ２，Ｂ２，Ｃ２
分别是 Ｂ１Ｃ１，Ａ１Ｃ１，Ａ１Ｂ１的中点，…，这样延续下去．已３．如图，已知直线 ａ∥ｂ∥ｃ，直线 ｍ、ｎ与 ａ、ｂ、ｃ分别交于
知 △ＡＢＣ 的 周 长 是 １， △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 周 长 是 Ｌ１，
△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 的周长是 Ｌ２，…，ＡｎＢｎＣｎ 的 周 长 是 Ｌｎ，则 Ｌｎ点 Ａ、Ｃ、Ｅ、Ｂ、Ｄ、Ｆ，ＡＣ＝４，ＣＥ＝６，ＢＤ＝３，则 ＢＦ＝
＝　（２１）ｎ　．
（Ｂ）Ａ．７
Ｂ．７．５ Ｃ．８
Ｄ．８．５
１０．已知：如图，Ｅ是?ＡＢＣＤ的边 ＡＤ上的一点，且ＤＡＥＥ＝４．如图，点 Ｆ是?ＡＢＣＤ的边 ＣＤ上一点，直线 ＢＦ交 ＡＤ的延长线于点 Ｅ，则下列结论错误的是
３２，ＣＥ交 ＢＤ于点 Ｆ，ＢＦ＝１５ｃｍ，求 ＤＦ的长．Ａ．ＥＥＤＡ＝ＤＡＢＦ
Ｂ．ＤＢＣＥ＝ＥＦＢＦＣ．ＤＢＣＥ＝ＢＢＦＥ
Ｄ．ＢＢＥＦ＝ＢＡＥＣ
（第 ４题图） 　 （第 ５题图）
（第 １０题图）５．如图，?ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是 ＡＤ边的中点，ＢＥ交对角线
解：在?ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ＡＤ，
∵ＤＡＥＥ＝３２，∴ＤＢＣＥ＝５２，
ＡＣ于点 Ｆ，若 ＡＦ＝２，则对角线 ＡＣ长为　６　．
∵ＡＤ∥ＢＣ，∴△ＤＦＥ∽△ＢＦＣ，
∴ＤＢＣＥ＝ＤＢＦＦ，即：５２ ＝Ｄ１５Ｆ，６．（巴川模拟）如图，已知 Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边 ＡＢ和
∴ＤＦ＝６（ｃｍ）．
ＡＣ上的点，ＤＥ∥ＢＣ，ＢＥ与 ＣＤ相交于点 Ｆ，如果 ＡＥ＝
１，ＣＥ＝２，那么 ＥＦ∶ＢＦ等于　１∶３　．
（第 ６题图） 　　
（第 ７题图）７．如图，已知 点 Ｄ是 ＡＢ边 的 中 点，ＡＦ∥ ＢＣ，ＣＧ∶ＧＡ＝３∶１，ＢＣ＝８，则 ＡＦ＝　４　．
·２５·１１．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝８，ＡＣ＝６．若动点 Ｄ从点 Ｂ出发，沿线段 ＢＡ运动到点 Ａ为止，运动速度为每秒 ２个单位长度．过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＢＣ交 ＡＣ
１２．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＥ＝ＣＥ，ＢＣ＝ＣＤ，求证：ＥＤ＝
３ＥＦ．于点 Ｅ，设动点 Ｄ运动的时间为 ｘ秒，ＡＥ的长为 ｙ．
（第 １２题图）（１）求出 ｙ关于 ｘ的函数关系式，并写出自变量 ｘ的
解：过点 Ｃ作 ＣＭ∥ＡＢ交 ＤＦ于 Ｍ，
∵ＣＭ∥ＡＢ，取值范围；
∴△ＤＣＭ ∽△ＤＢＦ，
∴ＢＣＤＤ＝ＤＦＭＤ，（２）当 ｘ为何值时，△ＢＤＥ的面积 Ｓ有最大值，最大
∵Ｃ是 ＢＤ的中点，∴ＢＣＤＤ＝ＤＦＭＤ＝２１，
又∵ＣＭ∥ＡＢ，∴△ＡＥＦ∽△ＣＥＭ，值为多少？
∵Ｅ是 ＡＣ的中点，∴ＥＥＭＦ＝ＥＡＥＣ＝１，
∴ＤＥＦＥ＝３１，∴ＥＤ＝３ＥＦ．解：（１）∵ ＤＥ∥ ＢＣ，∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．∴ＡＡＤＢ＝ＡＡＥＣ，又 ∵ ＡＤ＝８－２ｘ，ＡＢ＝８，ＡＥ＝
（第 １１题图）ｙ，ＡＣ＝６，∴８－８２ｘ＝６ｙ．∴ｙ＝－３２ｘ＋６．自变量 ｘ的取值范围为 ０≤ｘ≤４．( )（２）Ｓ＝１２ＢＤ·ＡＥ＝２１×２ｘ· －３２ｘ＋６＝－３２ｘ２ ＋６ｘ＝－３２（ｘ－２）２ ＋６．∴当 ｘ＝２时，Ｓ有最大值，且最大值为 ６（或用顶点公式求最大值）．·２６·２７．２．１　相似三角形的判定（第 ２课时）
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．如图所示，小正方形的边长均为 １，则下列选
相似三角形的判定方法：
项中阴影部分的三角形与△ＡＢＣ相似的是 （ Ａ ）
１．如果两个三角形 的 三 组 对 应 边 的 比 相 等，那 么 这 两 个三角形相似．
２．如果两个三角形 的 两 组 对 应 边 的 比 相 等，并 且 对 应 的夹角相等，那么这两个三角形相似．一、相似三角形的判定与性质
２．一个 铝 质 三 角 形 框 架 三 条 边 长 分 别 为 ２４
如图，已知ＡＡＣＢ＝ＡＡＤＥ＝ＢＣＤＥ，
ｃｍ、３０ｃｍ、３６ｃｍ，要做一个与它相似的铝质三角形试说明∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．
框架，现有长为 ２７ｃｍ、４５ｃｍ的两根铝材，要求以
思路分 析：要 证 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，
其中的一根为一 边，从 另 一 根 上 截 下 两 段 （允 许 有只需证 △ＢＡＤ∽ △ＣＡＥ．由 ＡＡＣＢ＝ＡＡＤＥ＝
（例题 １图）
余料）作为另外两边．截法有
Ａ．０种　　　　　　　Ｂ．１种ＢＣＤＥ得，△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ，即命题得证．
Ｃ．２种　　　　　　　Ｄ．３种?????　?　?解?：?∵ＡＡ?ＢＣ?＝?ＡＡＤＥ?＝?ＢＣＤＥ?，∴?△?Ｂ?Ａ?Ｄ∽?△?Ｃ?ＡＥ?，????????
目标训练 ２
３．如图，在平面直角坐标系中有两点 Ａ（４，０），Ｂ
∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．
（０，２），如果点 Ｃ在 ｘ轴上（Ｃ与 Ａ不重合），当点 Ｃ
?????????????????????????
点评：本题的关键是观察三边的比，找到要证的相似三角 的坐标为　（１，０）或（－１，０）或（－４，０）　时，形，再由相似三角形的性质证明角相等．
使得△ＢＯＣ∽△ＡＯＢ．二、相似三角形与运动型问题的结合
如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，点Ｐ沿 ＡＢ边从点 Ａ开始向 Ｂ点以 ２ｃｍ／ｓ的速度移动；点 Ｑ沿
（第 ３题图）ＤＡ边从 Ｄ开始向点 Ａ以 １ｃｍ／ｓ的速度移动，如果 Ｐ、Ｑ同时出发，用 ｔ（秒）表示移动时间（０≤ｔ≤６），那么：
（例题 ２图）
①当 ｔ为何值时，△ＱＡＰ为等腰直角三角形？
②当 ｔ为何值时，以点 Ｑ，Ａ，Ｐ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似？
·２７·　　思路分析：①若△ＱＡＰ为等腰直角三角形，则 ＡＱ＝ＡＤ－ 　　４．如图，在平面直角坐标系ＱＤ＝ＡＰ．所以 ６－ｔ＝２ｔ，所以 ｔ＝２．②因两边对应成比例且夹角 中，已知 ＯＡ＝１２ｃｍ，ＯＢ＝６ｃｍ，相等的两个三角形相似，所以有两种情况．当ＡＡＱＢ＝ＢＡＰＣ时，有６１－２ｔ
Ｐ从 Ｏ点开始沿 ＯＡ边向点 Ａ
１ｃｍ／ｓ的速度移动，点 Ｑ从
＝２６ｔ，解得ｔ＝１．２；当 ＡＡＢＰ＝ＢＡＱＣ时，有１２２ｔ＝６６－ｔ，解得 ｔ＝３．
点 Ｂ开 始 沿 ＢＯ 边 向 点 Ｏ 以
（第 ４题图）
１ｃｍ／ｓ的速度移动，如果 Ｐ、Ｑ同
?　?　?解?：?①若?△?Ｑ?Ａ?Ｐ为?等?腰?直?角?三?角?形?，?则?Ａ?Ｑ?＝Ａ?Ｄ?－?ＱＤ?? 时出发，用 ｔ（ｓ）表示移动的时间?????????????????
? （０≤ｔ≤６），那么：
所以 ６－ｔ＝２ｔ，即 ｔ＝２．
（１）设△ＰＯＱ的面积为 ｙ，求 ｙ关于 ｔ的函数解
所以当 ｔ＝２时，△ＱＡＰ为等腰直角三角形．
②因两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，??
（２）当 ｔ为何值时，△ＰＯＱ与△ＡＯＢ相似？
这里∠ＱＡＰ＝∠ＡＢＣ＝９０°，所以只有∠ＱＡＰ与∠ＡＢＣ是对 ?
解：（１）∵ＯＡ＝１２，ＯＢ＝６，由题意，
应角．另外两边的情况要分为两种．
? 得 ＢＱ＝１·ｔ＝ｔ，ＯＰ＝１·ｔ＝ｔ，∴ＯＱ＝６－ｔ，
当ＡＡＱＢ＝ＢＡＰＣ时，有６１－２ｔ＝２６ｔ，解得 ｔ＝１．２；
∴ｙ＝２１ ×ＯＰ×ＯＱ＝１２·ｔ（６－ｔ）＝－２１ｔ２ ＋
３ｔ（０≤ｔ≤６）．
（２）△ＰＯＱ∽△ＡＯＢ时①若ＯＯＱＡ＝ＯＯＢＰ，
当ＡＡＰＢ＝ＢＡＱＣ时，有１２２ｔ＝６６－ｔ，解得 ｔ＝３．
即６６－ｔ＝１ｔ２，１２－２ｔ＝ｔ，∴ｔ＝４；
ｔ＝１．２或
ｔ＝３时，以点
Ｑ，Ａ，Ｐ为顶点的三角
形与△ＡＢＣ相似．
?????????????????????????
点评：在①中，根据等 腰 直 角 三 角 形 的 两 腰 相 等，列 出 方
②若ＯＯＱＢ＝ＯＯＰＡ，即６１－２ｔ＝６ｔ，６－ｔ＝２ｔ∴ｔ＝２．程求解．②灵活选用三角形相似的判定方法，由于△ＱＡＰ的形状不固定，要分两种情况讨论．
∴当 ｔ＝４或 ｔ＝２时，△ＰＯＱ与△ＡＯＢ相似．
４．如图，在正三角形 ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ分别在 ＡＣ、ＡＢ上，且
ＡＡＤＣ＝３１，ＡＥ＝ＢＥ，则有
（Ｂ）１．已 知 △ＡＢＣ的 三 边 长 分 别 为 ６ｃｍ，７．５ｃｍ，９ｃｍ，
Ａ．△ＡＥＤ∽△ＢＥＤ
Ｂ．△ＡＥＤ∽△ＣＢＤ
△ＤＥＦ的一边长为 ４ｃｍ，当△ＤＥＦ的另两边长是下列
哪一组数时，这两个三角形相似
Ｃ．△ＡＥＤ∽△ＡＢＤ
Ｄ．△ＢＡＤ∽△ＢＣＤ
Ａ．２ｃｍ，３ｃｍ　　　　　Ｂ．４ｃｍ，５ｃｍ
Ｃ．５ｃｍ，６ｃｍ
Ｄ．６ｃｍ，７ｃｍ２．如图，已知△ＡＢＣ，则下列四个三角形中与△ＡＢＣ相似
的是 （ Ｄ ）
（第 ４题图） 　　 （第 ５题图）
５．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＦ平分∠ＡＢＣ，ＡＦ⊥ＢＦ于点 Ｆ，Ｄ
为 ＡＢ的中点，连接 ＤＦ延长交 ＡＣ于点 Ｅ．若 ＡＢ＝１０，
ＢＣ＝１６，则线段 ＥＦ的长为
Ｂ．３３．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是
６．在?ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，Ｅ是 ＡＤ的中点，在 ＡＢ上
取一点 Ｆ，使△ＣＢＦ∽△ＣＤＥ，则 ＢＦ的长为　１．８　．
（第 ６题图）
７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，ＡＣ＝６，点 Ｄ在 ＡＣ上，且 ＡＤ
＝２，如果要在 ＡＢ上找一点 Ｅ，使 △ＡＤＥ与原三角形·２８·相似，那么 ＡＥ的长为　 ３８或 ２３　．
１１．（荷泽）如图，在边长为 １的小正方形组成的网格中，
△ＡＢＣ和 △ＤＥＦ的顶点都在格点上，Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，
（第 ７题图）
Ｐ５是△ＤＥＦ边上的 ５个格点，请按要求完成下列各
题：８．如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，动点 Ｐ从点 Ｂ出
（第 １１题图）
发沿着 ＢＣ向 Ｃ移动，速度为每秒 ２个单位，动点 Ｑ从
（１）试证明△ＡＢＣ为直角三角形；
点 Ｃ出 发 沿 ＣＤ向 Ｄ出 发，速 度 为 每 秒 １个 单 位，
（２）判断△ＡＢＣ和△ＤＥＦ是否相似，并说明理由；
（３）画一个三角形，使它的三个顶点为 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，
　２．４或１３２１　秒后由 Ｃ、Ｐ、Ｑ三点组成的三角形与
Ｐ５中的 ３个格点并且与△ＡＢＣ相似（要求：用尺规作
图，保留痕迹，不写作法与证明）．
△ＡＢＣ相似．
解：（１）根据勾股定理，得 ＡＢ＝２槡５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝５；
（第 ８题图）
显然有 ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，９．已知一次函数 ｙ＝２ｘ＋２与 ｘ轴、ｙ轴交于 Ａ、Ｂ两点，
根据勾股定理的逆定理得△ＡＢＣ为直角三角形．
（２）△ＡＢＣ和△ＤＥＦ相似．
另一直线 ｙ＝ｋｘ＋３交 ｘ轴 正 半 轴 于 Ｅ、交 ｙ轴 于 Ｆ
根据勾股定理，得 ＡＢ＝２槡５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝５，ＤＥ＝４
点，如果△ＡＯＢ与 Ｅ、Ｆ、Ｏ三点组成的三角形相似，那
槡２，ＤＦ＝２槡２，ＥＦ＝２槡１０．
∵ＤＡＢＥ＝ＤＡＣＦ＝ＢＥＦＣ＝２槡槡５２，∴△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ．
么 ｋ值为　 －２或 －１２　．
（３）如图：△Ｐ２Ｐ４Ｐ５．１０．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 １，每个小
（第 １１题答图）
正方形的 顶 点 叫 做 格 点，△ＡＣＢ和 △ＤＣＥ的 顶 点 都
在格点上，ＥＤ的延长线交 ＡＢ于点 Ｆ．
（１）求证：△ＡＣＢ∽△ＤＣＥ；
（２）求证：ＥＦ⊥ＡＢ．
（第 １０题图）（１）证明：∵ＤＡＣＣ＝２３，ＣＢＥＣ＝６４ ＝２３，∴ＤＡＣＣ＝ＢＣＥＣ．又∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，∴△ＡＣＢ∽△ＤＣＥ．（２）∵△ＡＣＢ∽△ＤＣＥ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ．又∠ＡＢＣ＋∠Ａ＝９０°，∴∠ＤＥＣ＋∠Ａ＝９０°．∴∠ＥＦＡ＝９０°，∴ＥＦ⊥ＡＢ．
·２９·１２．（长春）如图，在?ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在边 ＢＣ上，点 Ｆ在
１３．如图，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＣ＝８ｍ，ＢＣ＝６ｍ，点 Ｐ、Ｑ同
边 ＡＤ的延长线上，且 ＤＦ＝ＢＥ，ＥＦ与 ＣＤ交于点 Ｇ．
时由 Ｃ、Ｂ两点出发分别沿 ＣＡ、ＢＣ向点 Ａ、Ｃ匀速移
（１）求证：ＢＤ∥ＥＦ；
动，它们的速度分别是 ２ｍ／ｓ、１ｍ／ｓ，问几秒后△ＰＣＱ
（２）若ＤＧＣＧ＝２３，ＢＥ＝４，求 ＥＣ的长．
与△ＡＣＢ相似？
（第 １２题图）
（第 １３题图）（１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，
解：设 ｘ秒后△ＰＣＱ与△ＡＣＢ相似．
由题知，ＣＰ＝２ｘ，ＢＱ＝ｘ，ＣＱ＝６－ｘ．
∴ＡＤ∥ＢＣ．
∵∠Ｃ＝∠Ｃ，
∵ＤＦ＝ＢＥ，
当ＣＣＰＢ＝ＣＣＱＡ，或ＣＣＰＡ＝ＣＣＱＢ，△ＰＣＱ与△ＡＣＢ相似．
∴四边形 ＢＥＦＤ是平行四边形，
∴２６ｘ＝６８－ｘ，或２８ｘ＝６６－ｘ，
∴ＢＤ∥ＥＦ；
解得：ｘ＝１１１８，或 ｘ＝１５２，（２）解：∵四边形 ＢＥＦＤ是平行四边形，
∴１１１８秒或１５２秒后△ＰＣＱ与△ＡＣＢ相似．
∴ＤＦ＝ＢＥ＝４．
∵ＤＦ∥ＥＣ，
∴△ＤＦＧ∽△ＣＥＧ，
∴ＤＧＣＧ＝ＤＣＥＦ，
∴ＣＥ＝ＤＦＤ·ＧＣＧ＝４×３２ ＝６．·３０·２７．２．１　相似三角形的判定（第 ３课时）
知识点应用与方法点拨
目标训练 １
１．如图，点 Ｆ在平行四边形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ上，
射线 ＣＦ交 ＤＡ的延长线于点 Ｅ，在不添加辅助线的
相似三角形的判定方法：
情况下，与△ＡＥＦ相似的三角形有
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似．
Ａ．０个　　Ｂ．１个　　Ｃ．２个　　Ｄ．３个
注意：①识别两个三 角 形 相 似，不 一 定 拘 于 某 一 种 方 法，应根据题目条件，从 不 同 角 度 选 择 恰 当 方 法．一 般 思 路 是：先找两组角对应相等，若只有一组角对应相等，则再找夹这个角的两边的比是 否 相 等，若 无 角 相 等，就 找 三 组 边 的 比 对 应 相
（第 １题图） 　　　 （第 ２题图）等，若出现平行线，直接考虑两三角形相似．
２．如图所示，Ｅ是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ上的
②由三角形相似可得出对应线段的比相等，对应角相等，
动点，ＥＦ⊥ＤＥ交 ＢＣ于点 Ｆ．从而求出线段的长来证出两个角相等．
（１）求证：△ＡＤＥ∽△ＢＥＦ；
（２）设正方形的边长为 ４，ＡＥ＝ｘ，ＢＦ＝ｙ．当 ｘ一、相似三角形的判定
取什么值时，ｙ有最大值？并求出这个最大值．
（１）证明：因为 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝
已知：如图，矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为
∠ＦＢＥ＝９０°，
所以∠ＡＤＥ＋∠ＤＥＡ＝９０°，ＢＣ上一点，ＤＦ⊥ＡＥ于 Ｆ，若 ＡＢ＝４，ＡＤ
（例题 １图）
又因为 ＥＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＥＤ＋∠ＦＥＢ＝９０°，＝５，ＡＥ＝６，求 ＤＦ的长．
所以∠ＡＤＥ＝∠ＦＥＢ，所以△ＡＤＥ∽△ＢＥＦ．
（２）解：由 （１）知 △ＡＤＥ∽ △ＢＥＦ，所 以 ＢＡＥＦ＝
思路分析：要求的是线段 ＤＦ的长，观察图 形，我 们 发 现 ＡＢ、ＡＤ、ＡＥ和 ＤＦ这 四 条 线 段 分 别 在△ＡＢＥ和△ＡＦＤ中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相
ＢＡＤＥ，似三角形的性质可以 得 到 这 四 条 线 段 对 应 成 比 例，从 而 求 得ＤＦ的长．由于这两个 三 角 形 都 是 直 角 三 角 形，故 有 一 对 直 角
又因为 ＡＤ＝４，ＢＥ＝４－ｘ，得 ｙｘ＝４４－ｘ，
所以 ｙ＝１（－ｘ２ ＋４ｘ）＝１［－（ｘ－２）２ ＋４］相等，再找出 另 一 对 角 对 应 相 等，即 可 用 “两 角 对 应 相 等，两
４４个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
＝－４１（ｘ－２）２ ＋１，?????????　?　?解?：?在矩?形??ＡＢ?ＣＤ?中?，?∵?∠?Ｂ＝?９?０°?，Ａ?Ｄ∥?Ｂ?Ｃ，??????
所以当 ｘ＝２时，ｙ有最大值，ｙ的最大值为 １．
∴∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ，
∵ＤＦ⊥ＡＥ，∴∠ＡＦＤ＝９０°，
∴∠Ｂ＝∠ＡＦＤ，∴△ＡＢＥ∽△ＤＦＡ，
∴ＤＡＢＦ＝ＤＡＥＡ，∴Ｄ４Ｆ＝５６，∴ＤＦ＝１３０．
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