浙K车主看这里，最新217辆不礼让车辆名单公布
值班编辑：麻凯程
来源：丽水交警
春节期间，大部分驾驶员都还没有忘记礼让行人，尤其值得表扬的是，没有一辆公交车出现在名单里。但是在春节前后的这十多天里，还是有204辆次的汽车因为不礼让被抓拍了……这其中出租车就有13辆（看来出租车司机们还要好好跟公交车老大哥多学习学习啊），特别是丽汽集团长运出租车分公司的浙KT0931，分别在1月23日和2月2日两次被抓拍。其他12辆分别是：
其他不礼让行人车辆名单
浙江丽水驿动新能源汽车运营服务有限公司
丽水市丸和防潮材料有限公司
丽水市大和精工齿科制作有限公司
浙江同心集团丽水混凝土有限公司
丽水市进青商贸有限公司
浙江恒霆公共安全技术有限公司
浙江丽水驿动新能源汽车运营服务有限公司
丽水市路捷汽车服务有限公司
浙江万地房地产投资集团有限公司
丽水西奥电梯有限公司
浙江处州建设管理有限公司
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夜来卧听风雨声，铁马冰河入梦来。雨一直下，心中却为他打伞，这就是所谓的爱情吧。窗外雨一直下，希望你所在处，能有人为你撑一支伞，遮住雨滴。
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浙江大学：数学建模概论：年CMCM竞赛题
分类： 格式： 日期：日
我国大学生数学建模竞赛（CMCM）问题（）
CMCM92问题-A
施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验，P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372 kg/ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
土豆 ：N
P
K
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
0
3.4
6.7
10.1
13.5
20.2
33.6
40.4
47.1
1.5
2.1
2.6
3.2
3.4
3.9
4.3
4.1
3.1
0
2.4
4.9
7.3
9.8
14.7
19.6
24.5
29.4
34.2
3.3
3.2
3.6
3.8
4.1
4.0
4.1
4.2
4.0
4.8
0
4.9
9.3
14.0
18.6
27.9
37.2
46.5
55.8
65.1
1.9
2.7
3.5
3.9
3.78
3.9
3.8
4.4
4.3
4.6
生菜：N
P
K
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
施肥量
(g/m2)
产量
(kg/m2)
0
2.8
5.6
8.4
11.2
16.8
22.4
28.0
33.6
39.2
1.102
1.270
1.456
1.627
1.775
2.259
2.163
1.934
1.612
1.411
0
4.9
9.8
14.7
19.6
29.4
39.1
48.9
58.7
68.5
0.639
0.948
1.246
1.433
1.710
2.194
2.264
2.134
2.207
2.453
0
4.7
9.3
14.0
18.6
27.9
37.2
46.5
55.8
65.1
1.575
1.676
1.689
1.624
1.756
1.920
1.797
1.584
2.011
1.940
CMCM92问题-B
实验数据分解
组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合。通过质谱试验测定分子量来分析某个分生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题就是如何将它的分子量X分解为几个氨基酸的已知分子量a[i](i=1,2,…,n)之和，某实验室所研究的问题中：
n=18,
a[1:18] = 57,71,87,97,99,101,103,113,114,115,128,129,131,137,147,156,163,186。
x为正整数≤1000。
要求针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况，对上述问题提出你们的解答，并就你所研讨的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。
CMCM93问题-A
非线性交调的频率设计
如果一非线性器件的输入u(t)与输出y(t)的关系是y(t)=u(t)+u2(t)（其中t是时间），那么当输入是包含频率f1,f2的信号u(t)=cos2πf1t+ cos2πf2t时，输入y(t)中不仅包含输入信号f1,f2，而且还会出现2 f1,f2±f2等新的频率成分，这些新的频率称为交调，如果交调出现在原有频率f1,f2的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。
现在一SCS（非线性）系统，其输入输出关系由如下一组数据给出：
输入u
0
5
10
20
30
40
50
60
80
输出y
0
25.25
6.80
20.15
35.70
56.40
75.10
87.85
98.50
输入信号为u(t)=A1 cos2πf1t+ A2 cos2πf2t+ A3 cos2πf3t，其中A1=25，A2=10，A3=45是输入信号振幅，对输入信号的频率f1,f2 ,f3的设计要求为：
（1）36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤53。
（2）输出中的交调均不得出现在fi±5的的范围内（i=1,2,3），此范围称为fi的接收带（参见附图2.1）。
（3）定义输出中的信噪比（单位：分贝），其中Bi是输出中对应于频率为fi的信号的振幅，Cn是某一频率为fn的交调的振幅。若fn出现在fn=fi±6处（i=1,2,3），则对应的SNR应大于10分贝(附图2.1)。
（4）fi不得出现在fi的接收带内（i,j=1,2,3;i≠j）
（5）为简单起见，fi只取整数值，且交调只考虑2阶类型（即{ fi±fj },i,j=1,2,3）和3阶类型（即{ fi±fj±fk},i,j,k=1,2,3）。
试按上述要求设计输入信号频率f1，f2，f3。
CMCM93问题-B
足球队排名次
下表给出了我国12支足球队在年全国足球甲级联赛中的成绩，要求：
（1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。
（2）把算法推广到任意N个队的情况。
（3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸名的名次。]
对下表的说明：
①12支球队依次记作T1,T2,…,T12。
②符号X表示两队未曾比赛。
③数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了 2场；T3与T8的进球数之比为0：1和 3：1。
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T1
X
0：1
1：0
0：0
2：2
1：0
0：2
2：0
3：1
1：0
3：1
1；0
0：1
1：3
0：2
2：1
1：0
4：0
1：1
1：1
X
X
T2
X
2：0
0：1
1：3
0：0
2：0
0：0
1：1
2：1
1：1
1：4
0：1
3：1
1：0
2：3
0：1
2：0
X
X
T3
X
4：2
1：1
0：0
2：1
3：0
1：0
1：4
0：1
3：1
1：0
2：3
0：1
2：0
X
X
T4
X
2：3
0：1
0：5
2：3
2：1
1：3
0：1
0：0
0：1
1：1
X
X
T5
X
0：1
X
X
X
X
1：0
1：2
0：1
1：1
T6
X
X
X
X
X
X
T7
X
1：0
2：0
0：0
2：1
3：0
1：0
3：1
3：0
2：2
3：1
0：0
T8
X
0：1
1：2
2：0
1：1
1：0
0：1
3：0
0：0
T9
X
3：0
1：0
0：0
1：0
1：0
T10
X
1：0
T11
X
1：1
1：2
T12
1：1
X
CMCM94问题-A
逢山开路
要在一山区修建公路，首先侧得一些地点的高程，数据见附表2.1（平面区域0≤x≤5600,0≤y≤4800，表中数据为坐标点的高程，单位：米）。数据显示：在y=3200处有一东西走向的山峰；从坐标（）到(4800,0)有一西北一东南走向的山谷，在（）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查知，雨最最大时溪流水面宽度w与（溪流最深处的）x坐标的关系可近似表示为（2400≤x≤4000）。
公路从山脚（0,800）处开始，经居民点（）至矿区（）。已知路段工程成本及对路段坡度a（上升高程与水平距离之比）的限制如附表2.2。
（1）试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。
（2）如果居民点改为3600≤x≤≤y≤2400的居民区，公路只须经过居民区即可，那么你的方案有什么改变。
附表2.1
0
80
0
910
880
830
740
650
510
370
10
90
0
880
760
620
470
30
70
80
550
50
00
20
600
70
00
50
0
670
960
50
00
80
0
940
10
50
30
880
30
50
900
0
780
620
800
950
00
00
700
900
800
720
850
690
820
940
120
50
700
650
450
570
690
0
0
850
700
300
500
400
430
540
620
850
870
840
780
500
200
300
290
380
460
750
00
900
380
750
550
300
100
210
300
370
880
50
930
780
650
480
350
150
150
210
350
500
00
950
750
550
350
320
250
Y/X
0
400
800
附表2.2
工程种类
一般路段
桥梁
隧道
工程成本（元/米）
300
（长度≤300米）；3000（长度&300米）
对坡度a的限制
a&0.125
a=0
a&0.100
CMCM94问题-B
锁具装箱
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1,2,3,4,5,6}6个数（单位略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数：相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。
从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其他情形下，不可能互开。
原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：
（1）每一批锁具有多少个，装多少箱。
（2）为销售部门提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。
（3）采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。
（4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。
CMCM95问题-A
一个飞行管理问题
在约10000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
（3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
（4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；
（5）最多考虑6架飞机；
（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。记录数据为：
飞机编号
横座标X
纵座标Y
方向角（度）
1
2
3
4
5
新进入
150
85
150
145
130
0
140
85
155
50
150
0
243
236
330.5
159
230
52
注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
CMCM95问题-B
天车与冶炬炉的作业调度
某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点：辅料供应处P；A组3座转炉（冶炼成品钢）A1，A2，A3；B组2座冶炼炉（冶炼半成品钢，简称半钢）B1，B2；原料供应处Q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车T1，T2，…，Tn为炉子作业服务布局示意图如附图2.2所示
天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从Q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至B1或B2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空罐时间to）返回Q处放下（放空罐时间tk）。B组炉在原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼（冶炼时间tb），冶炼后将半钢倒入空半钢罐（时间计入tb），由天车吊起半钢罐（吊罐时间tb）运至A1或A2、A3处将半钢倒入转炉（倒入时间te），并将空罐返回B1或B2处放下（放空罐时间tc）。再由在车从P处吊起辅料一槽（吊槽时间tg）运至A1或A2、A3处加入转炉（加入时间tf），并将空槽返回P处放下（放空槽时间th）。A组炉子半钢和辅料加入后即可开始冶炼（冶炼时间ta），冶炼后成品钢的输出不用天车（输出时间计入ta）。天车通过相邻两个工作点的运行时间都相同，记为tx。
由于各台天车在同一条轨道上运行，因此共顺序位置T1，T2，…，Tn不可交换。在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业；但P、Q两处可以允许多台天车同时作业。在P，A1，…，Q每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。
天车与冶炼炉作业调度的要求为：（1）成品钢产量尽量高；（2）各台天车的作业率9天车作业时间所占比例）尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过70%）；（3）绝不允许出现天车相撞等事故；（4）调度规则尽量简明，以利于现场人员使用。
现设定：ta=48,tb=27,ti=3,t0=2,tc=2,td=3,te=5,tf=2,tg=2,th=1,ty=3,tk=2（单位：分钟,tx=15秒；A组炉平均每炉产量Wa=120吨。在不超过5台天车的条件下，设计一种满足上述要求的天车与冶炼炉的作业调度方案；
（1）各台天车负责哪些作业（列出《工序清单》）；
（2）在所给方案的一个运行周期内，每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态（画出《天车-炉子作业运行图》）；
（3）一份供现场人员使用的《调度规则说明书》；
（4）在所给方案下计算各台天车的作业率。
并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量（扣除设备维修日，每台转炉作业日每年按300天计算）。
实际生产过程中，ta,tb,…,tk都是随机的（上面设定的数值可视为平均值），讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程，试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。
CMCM96问题-A
最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：
假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼和产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+n）。
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
CMCM96问题-B
节水洗衣机
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水―漂洗―脱水―加水―漂洗―脱水―…―加水―漂洗―脱水（称“加水―漂洗―脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。
CMCM97问题-A
零件的参数设计
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定植和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件参数的平均值，容差则给出了参数偏离共标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容并通常规定为均方差的3倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,…x7）决定，经验公式为：
y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当y偏离y0±0.3时，产品为废品，损失为9000（元）。
零件参数的标定值有一定的容许变化范围：容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%，B等为±5%，C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：
标定值容许范围
C等
B等
A等
x1
[0.075,0.125]
/
25
/
x2
[0.225,0.375]
20
50
/
x3
[0.075,0.125]
20
50
200
x4
[0.075,0.125]
50
100
500
x5
[1.125,1.875]
50
/
/
x6
[12,20]
10
25
100
x7
[0.]
/
25
100
现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。
CMCM97问题-B
截断切割
某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：
（1）需考虑的不同切割方式的总数。
（2）给出上述问题的数学模型和求解方法。
（3）试给某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
（4）对于e=0的情形有无简明的优化准则。
（5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和2、3、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：
a. r=1, e=0;
b. r=1.5, e=0;
c. r=8, e=0;
2≤e≤15
对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
CMCM98问题-A
投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si(i=1,…,n)供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。
购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假面具定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险。（r0=5%）
1）已知n=4时的相关数据如下：
Si
ri（%）
qi（%）
pi（%）
ui（元）
S1
28
2.5
1
103
S2
21
1.5
2
198
S3
23
5.5
4.5
52
S4
25
2.6
6.5
40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能在，而总体风险尽可能小。
2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。
Si
ri（%）
qi（%）
pi（%）
ui（元）
S1
9.6
42
2.1
181
S2
18.5
54
3.2
407
S3
49.4
60
6.0
428
S4
23.9
42
1.5
549
S5
8.1
1.2
7.6
270
S6
14
39
3.4
397
S7
40.7
68
5.6
178
S8
31.2
33.4
3.1
22
S9
33.6
53.3
2.7
475
S10
36.8
40
2.9
248
S11
11.8
31
5.1
195
S12
9
5.5
5.7
320
S13
35
46
2.7
267
S14
9.4
5.3
4.5
328
S15
15
23
7.6
131
CMCM98问题-B
灾情巡规路线
附图2.3为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。
今年夏天该县遭受火灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
1、若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2、假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3、在上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
4、若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。
CMCM99（创维杯）问题-A 自动化车床管理
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用 f=200元/件；
进行检查的费用 t=10元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)；
未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。
1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。
附:100次刀具故障记录(完成的零件数)
459
362
624
542
509
584
433
748
815
505
612
452
434
982
640
742
565
706
593
680
926
653
164
487
734
608
428
844
527
552
513
781
474
388
824
538
862
659
775
859
755
649
697
515
628
954
771
609
402
960
885
610
292
837
473
677
358
638
699
634
555
570
84
416
606
120
447
654
564
339
280
246
687
539
790
581
621
724
531
512
577
496
468
499
544
645
764
558
378
765
666
763
217
715
310
851
CMCM99问题-B 钻井布局
勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的 费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。
设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。
为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：
1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。
2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。
3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。 数值例子n=12个点的坐标如下表所示： ?
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ai?
0.50
1.41
3.00
3.37
3.40
4.72
4.72
5.43
7.57
8.38
8.98
9.50
bi?
2.00
3.50
1.50
3.51
5.50
2.00
6.24
4.10
2.01
4.50
3.41
0.80
CMCM99（创维杯，大专组）C题 煤矸石堆积
煤矿采煤时，会产出无用废料煤矸石。在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石。通常矸石的堆积方法是：
架设一段与地面角度约为 β=25b 的直线形上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。
现给出下列数据：
矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后，其坡面与地面形成的夹角）α&=55b；
矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约2吨/米3；
运矸车所需电费为 0.50元/度（不变）；
运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约30%，坡道每延长10米，效率在原有基础上约下降2%；
土地征用费现值为8万元/亩，预计地价年涨幅约10%；
银行存、贷款利率均为5%；
煤矿设计原煤产量为300万吨/年；
煤矿设计寿命为20年；
采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为7%～10%。
另外，为保护耕地，煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10%。
现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为100万元/年，这笔钱是否够用？试制订合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用。
CMCM99（创维杯，大专组）问题-D 钻井布局（同 B 题）
CMCM2000（网易杯）问题-A题
DNA序列分类
2000年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录着自身生老病死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4个字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。
虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普通的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究规律性和结构。
作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：
1）下面有20个已知类别的人工制造的序列（见下页），其中序列标号1―10 为A类，11-20为B类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人工序列（标号21―40）进行分类，把结果用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）：
请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法，也要将方法名称准确注明。
这40个序列也放在如下地址的网页上，用数据文件Art-model-data 标识，供下载：
2）在同样网址的数据文件Nat-model-data 中给出了182个自然DNA序列，它们都较长。用你的分类方法对它们进行分类，像1）一样地给出分类结果。
提示：衡量分类方法优劣的标准是分类的正确率，构造分类方法有许多途径，例如提取序列的某些特征，给出它们的数学表示：几何空间或向量空间的元素等，然后再选择或构造适合这种数学表示的分类方法；又例如构造概率统计模型，然后用统计方法分类等。
Art-model-data
1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg
2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga
3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacggacggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga
4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgttttttaaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga
5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtttcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag
6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatatttcggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca
7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg
8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg
9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg
10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatccaggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg
11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggtaagtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt
12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttggttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa
13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaagttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc
14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcggagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta
15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttttttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa
16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctggatcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat
17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctcagtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc
18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttttgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt
19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattcttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa
20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat
21.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgatccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga
22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtqacgtaccgtacgctaccgttaccggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg
23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggtttagcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc24.tttagctagctactttagctatttttagtagctagccagcctttaaggctagctttagctagcattgttctttattgggacccaagttcgacttttacgatttagttttgaccgt
25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattaggcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca
26.gatttactttagcatttttagctgacgttagcaagcattagctttagccaatttcgcatttgccagtttcgcagctcagttttaacgcgggatctttagcttcaagctttttac
27.ggattcggatttacccggggattggcggaacgggacctttaggtcgggacccattaggagtaaatgccaaaggacgctggtttagccagtccgttaaggcttag
28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaaaatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga
29.ggccaattccggtaggaaggtgatggcccgggggttcccgggaggatttaggctgacgggccggccatttcggtttagggagggccgggacgcgttagggc30.cgctaagcagctcaagctcagtcagtcacgtttgccaagtcagtaatttgccaaagttaaccgttagctgacgctgaacgctaaacagtattagctgatgactcgta
31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgctagctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggattaaattcgttgtcagtcgctctrtgggtttagtcattcccaaaagg
33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctgacgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac
34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagcgtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa
35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccacaggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc
36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgcaattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg
37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt
38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac
39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgtttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat
40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggtttacctttgaaatttttggactagcttaccctggatttaacggccagttt
CMCM2000（网易杯）问题-B
钢管订购和运输
要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：
1
2
3
4
5
6
7
800
800
3000
160
155
155
160
155
150
160
1单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km)
≤300
301～350
351～400
401～450
451～500
运价(万元)
20
23
26
29
32
里程(km)
501～600
601～700
701～800
801～900
901～1000
运价(万元)
37
44
50
55
60
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。
钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。
（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。
（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。
（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般
的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。
CMCM2000（网易杯，大专组）问题-C题
今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：
7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。
假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：
A1 (北纬31度，东经122度)；
A2 (北纬36度，东经140度)；
A3 (北纬 53度，西经165度)；
A4 (北纬62度，西经150度);
A5 (北纬 59度，西经140度)；
A6 (北纬 55度，西经135度)；
A7 (北纬 50度，西经130度)；
A8 (北纬 47度，西经125度)；
A8 (北纬 47度，西经122度)；
A10 (北纬 42度，西经87度)。
请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：
设地球是半径为6371千米的球体；
设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
CMCM2000（网易杯，大专组）问题-D
山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和在空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：
一块240（米）×240（米）的平板（如图），在 AB边等距地设置7个波源Pi (i=1,…,7)，CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒); 在 AD边等距地设置7个波源Ri (i=1,…,7)，BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij (秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。
1）确定该平板内空洞的位置。
2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(i,j=1,…,7)，能确定空洞的位置吗；讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。
tij
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
P1
0.5
0.2
0.3
0.5646
P2
0.2
0.8
0.2
0.3805
P3
0.1
0.3
0.3
0.1919
P4
0.3
0.8
0.0
0.2122
P5
0.9
0.7
0.8
0.1810
P6
0.7
0.4
0.9
0.1031
P7
0.7
0.4
0.8
0.1042
τij
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
R1
0.2
0.6
0.4
0.5721
R2
0.0
0.1
0.0
0.4980
R3
0.5
0.3
0.0
0.3112
R4
0.9
0.7
0.4
0.1017
R5
0.9
0.6
0.4
0.2130
R6
0.1
0.6
0.1
0.0706
R7
0.9
0.6
0.4
0.0583
CMCM2001问题-A
血管的三维重建
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1? m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为
（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），
（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），
……
（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），…（255，255，z）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上下载。
关于BMP图象格式可参考：
1. 《Visual C++数字图象处理》第12页2.3.1节。何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。
2. http://www.dcs.ed.ac.uk/home/mxr/gfx/2d/BMP.txt
CMCM2001问题-B
公交车调度
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。
试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。
某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表
上行方向：A13开往A0
站名
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A0
站间距(公里)
1.6
0.5
1
0.73
2.04
1.26
2.29
1
1.2
0.4
1
1.03
0.53
5:00-6:00
上
371
60
52
43
76
90
48
83
85
26
45
45
11
0
下
0
8
9
13
20
48
45
81
32
18
24
25
85
57
6:00-7:00
上
333
256
589
594
315
622
510
176
308
307
68
0
下
0
99
105
164
239
588
542
800
407
208
300
288
921
615
7:00-8:00
上
528
447
948
868
523
958
904
259
465
454
99
0
下
0
205
227
272
461
469
560
636
8:00-9:00
上
305
235
477
549
271
486
439
157
275
234
60
0
下
0
106
123
169
300
634
621
971
440
245
339
408
9:00-10:00
上
166
147
281
304
172
324
267
78
143
162
36
0
下
0
81
75
120
181
407
411
551
250
136
187
233
774
483
10:00-11:00
上
923
151
120
108
215
214
119
212
201
75
123
112
26
0
下
0
52
55
81
136
299
280
442
178
105
153
167
532
385
11:00-12:00
上
957
181
157
133
254
264
135
253
260
74
138
117
30
0
下
0
54
58
84
131
321
291
420
196
119
159
153
534
340
12:00-13:00
上
873
141
140
108
215
204
129
232
221
65
103
112
26
0
下
0
46
49
71
111
263
256
389
164
111
134
148
488
333
13:00-14:00
上
779
141
103
84
186
185
103
211
173
66
108
97
23
0
下
0
39
41
70
103
221
197
297
137
85
113
116
384
263
14:00-15:00
上
625
104
108
82
162
180
90
185
170
49
75
85
20
0
下
0
36
39
47
78
189
176
339
139
80
97
120
383
239
15:00-16:00
上
635
124
98
82
152
180
80
185
150
49
85
85
20
0
下
0
36
39
57
88
209
196
339
129
80
107
110
353
229
16:00-17:00
上
240
199
396
404
210
428
390
120
208
197
49
0
下
0
80
85
135
194
450
441
731
335
157
255
251
800
557
17:00-18:00
上
311
230
497
479
296
586
508
140
250
259
61
0
下
0
110
118
171
257
694
573
957
390
253
293
378
18:00-19:00
上
691
124
107
89
167
165
108
201
194
53
93
82
22
0
下
0
45
48
80
108
237
231
390
150
89
131
125
428
336
19:00-20:00
上
350
64
55
46
91
85
50
88
89
27
48
47
11
0
下
0
22
23
34
63
116
108
196
83
48
64
66
204
139
20:00-21:00
上
304
50
43
36
72
75
40
77
60
22
38
37
9
0
下
0
16
17
24
38
80
84
143
59
34
46
47
160
117
21:00-22:00
上
209
37
32
26
53
55
29
47
52
16
28
27
6
0
下
0
14
14
21
33
78
63
125
62
30
40
41
128
92
22:00-23:00
上
19
3
3
2
5
5
3
5
5
1
3
2
1
0
下
0
3
3
5
8
18
17
27
12
7
9
9
32
21
某路公交汽车各时组每站上下车人数统计表
下行方向：A0开往A13
站名
A0
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
站间距(公里)
1.56
1
0.44
1.2
0.97
2.29
1.3
2
0.73
1
0.5
1.62
5:00-6:00
上
22
3
4
2
4
4
3
3
3
1
1
0
0
下
0
2
1
1
6
7
7
5
3
4
2
3
9
6:00-7:00
上
795
143
167
84
151
188
109
137
130
45
53
16
0
下
0
70
40
40
184
205
195
147
93
109
75
108
271
7:00-8:00
上
427
224
420
455
272
343
331
126
138
45
0
下
0
294
156
157
710
780
849
545
374
444
265
373
958
8:00-9:00
上
492
224
404
532
333
345
354
120
153
46
0
下
0
266
158
149
756
827
856
529
367
428
237
376
1167
9:00-10:00
上
274
125
235
308
162
203
198
76
99
27
0
下
0
157
100
80
410
511
498
336
199
276
136
219
556
10:00-11:00
上
902
147
183
82
155
206
120
150
143
50
59
18
0
下
0
103
59
59
246
346
320
191
147
185
96
154
438
11:00-12:00
上
847
130
132
67
127
150
108
104
107
41
48
15
0
下
0
94
48
48
199
238
256
175
122
143
68
128
346
12:00-13:00
上
706
90
118
66
105
144
92
95
88
34
40
12
0
下
0
70
40
40
174
215
205
127
103
119
65
98
261
13:00-14:00
上
770
97
126
59
102
133
97
102
104
36
43
13
0
下
0
75
43
43
166
210
209
136
90
127
60
115
309
14:00-15:00
上
839
133
156
69
130
165
101
118
120
42
49
15
0
下
0
84
48
48
219
238
246
155
112
153
78
118
346
15:00-16:00
上
189
79
169
194
141
152
166
54
64
19
0
下
0
110
73
63
253
307
341
215
136
167
102
144
425
16:00-17:00
上
330
146
305
404
229
277
253
95
122
34
0
下
0
175
96
106
459
617
549
401
266
304
162
269
784
17:00-18:00
上
587
248
468
649
388
432
452
157
205
56
0
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0
330
193
194
737
934
416
494
278
448
1249
18:00-19:00
上
399
204
328
471
289
335
342
122
132
40
0
下
0
223
129
150
635
787
690
505
304
423
246
320
1010
19:00-20:00
上
939
130
165
88
138
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124
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147
48
56
17
0
下
0
113
59
59
266
306
290
201
147
155
86
154
398
20:00-21:00
上
640
107
126
69
112
153
87
102
94
36
43
13
0
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0
75
43
43
186
230
219
146
90
127
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95
319
21:00-22:00
上
636
110
128
56
105
144
82
95
98
34
40
12
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下
0
73
41
42
190
243
192
132
107
123
67
101
290
22:00-23:00
上
294
43
51
24
46
58
35
41
42
15
17
5
0
下
0
35
20
20
87
108
92
69
47
60
33
49
136
CMCM2001（大专组）问题-C
基金使用计划
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
只存款不购国库券；
可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%）
国库券年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
2.55
三年期
2.160
2.89
五年期
2.304
3.14
CMCM2001（大专组）问题-D
公交车调度（同B题）
CMCM2002（高教杯）问题-A
车灯线光源的优化设计
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
CMCM2002（高教社杯）问题-B题
彩票中的数学
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
6+1（6+1/10）
基 本 号 码
特别号码
说
明
一等奖
Abcdef
选7中（6+1）
二等奖
abcdef
选7中（6）
三等奖
abcdeX
选7中（5）
四等奖
abcdXX
XXcdef
选7中（4）
五等奖
abcXXX
选7中（3）
六等奖
abXXXX
选7中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
7（7/33）
36
6+1（6+1/36）
基 本 号 码
特别号码
说
明
基 本 号 码
特别号码
说
明
一等奖
●●●●●●●
选7中（7）
●●●●●●
★
选7中（6+1）
二等奖
●●●●●●○
★
选7中（6+1）
●●●●●●
选7中（6）
三等奖
●●●●●●○
选7中（6）
●●●●●○
★
选7中（5+1）
四等奖
●●●●●○○
★
选7中（5+1）
●●●●●○
选7中（5）
五等奖
●●●●●○○
选7中（5）
●●●●○○
★
选7中（4+1）
六等奖
●●●●○○○
★
选7中（4+1）
●●●●○○
选7中（4）
七等奖
●●●●○○○
选7中（4）
●●●○○○
★
选7中（3+1）
注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
奖项
方案
一等奖
比
例
二等奖
比
例
三等奖
比
例
四等奖
金
额
五等奖
金
额
六等奖
金
额
七等奖
金
注
1
6+1/10
50%
20%
30%
50
按序
2
6+1/10
60%
20%
20%
300
20
5
按序
3
6+1/10
65%
15%
20%
300
20
5
按序
4
6+1/10
70%
15%
15%
300
20
5
按序
5
7/29
60%
20%
20%
300
30
5
6
6+1/29
60%
25%
15%
200
20
5
7
7/30
65%
15%
20%
500
50
15
5
8
7/30
70%
10%
20%
200
50
10
5
9
7/30
75%
10%
15%
200
30
10
5
10
7/31
60%
15%
25%
500
50
20
10
11
7/31
75%
10%
15%
320
30
5
12
7/32
65%
15%
20%
500
50
10
13
7/32
70%
10%
20%
500
50
10
14
7/32
75%
10%
15%
500
50
10
15
7/33
70%
10%
20%
600
60
6
16
7/33
75%
10%
15%
500
50
10
5
17
7/34
65%
15%
20%
500
30
6
18
7/34
68%
12%
20%
500
50
10
2
19
7/35
70%
15%
15%
300
50
5
20
7/35
70%
10%
20%
500
100
30
5
21
7/35
75%
10%
15%
50
5
22
7/35
80%
10%
10%
200
50
20
5
23
7/35
100%
2
无特别号
24
6+1/36
75%
10%
15%
500
100
10
5
25
6+1/36
80%
10%
10%
500
100
10
26
7/36
70%
10%
20%
500
50
10
5
27
7/37
70%
15%
15%
50
28
6/40
82%
10%
8%
200
10
1
29
5/60
60%
20%
20%
300
30
CMCM2002（高教社杯，大专组）问题-C
车灯线光源的计算
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
请解决下列问题：
计算直射光总功率与反射光总功率之比。
计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。
计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一次反射）。
CMCM2002（高教社杯，大专组）问题-D
赛程安排
你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛. 如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢. 下面是随便安排的一个赛程: 记5支球队为A, B, C, D, E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中, 随手填上1,2,(10, 就得到一个赛程, 即第1场A对B, 第2场B对C, (, 第10场C对E. 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.
这个赛程的公平性如何呢, 不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等. 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数, 显然这个赛程对A, E有利, 对D则不公平.
A
B
C
D
E
每两场比赛间相隔场次数
A
X
1
9
3
6
1, 2, 2
B
1
X
2
5
8
0, 2, 2
C
9
2
X
7
10
4, 1, 0
D
3
5
7
X
4
0, 0, 1
E
6
8
10
4
X
1, 1, 1
从上面的例子出发讨论以下问题:
对于5支球队的比赛, 给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.
当n支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.
在达到2) 的上限的条件下, 给出n=8, n=9的赛程, 并说明它们的编制过程.
除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外, 你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明3) 中给出的赛程达到这些指标的程度.
浙江大学数学建模竞赛
ZJU2002问题-A
企业信用评估
银行要根据企业的经济实力、经营规模、经营状况、信誉等给企业的信用打分，以此作为对企业贷款的依据。现有若干企业的数据如下表：
企业
指标名称
A
B
C
D
企业及经营者素质
领导素质
文化水平
法定代表人、正副厂长（经理）、三总师大专以上学历或中师以上职称的比率
100
100
86
90
从事本行业年限
法定代表人从事本行业工作年限
8
5
2
5
管理素质
经营管理
内部管理及各项制度建立、检查、落实情况
良
良
一般
良
合同履约率
实际履行合同数/应履行合同数*100%
96
98
92
85
财产投保率
财产以投保金额/财产应投保金额*100%
85
90
75
65
技术素质
技术力量
技术力量、科研队伍、科研设施等情况
强
较强
较强
一般
工艺技术水平或名牌产品
分为：全国先进水平、省内先进水平、行业平均水平、一般水平
全国先进
一般水平
省内先进
一般水平
经济实力
净资产（或年销售收入）
净资产=资产总额―负债总额―待处理财产损失―亏损
19亿
2千万
6亿
3千万
净资产与年末贷款余额比例
净资产/年末贷款余额*100%
18
1.9
2.2
1.6
固定资产净值率
固定资产净值/固定资产原值*100%
72.3
63.3
68.9
58.9
偿债能力及信用
资产负债率
负债总额/资产总额*100%
23.89
82
56
76
流动比率
流动资产/流动负债*100%
2.87
2.77
1.7
2.33
速动比率
（流动资产―存货）/流动负债*100%
1.94
2.1
2.31
1.62
非筹资性现金净流入与流动负债比率
非筹资性现金净流入/流动负债平均余额*100%
14
8.6
13.1
7.2
贷款逾期率
余期贷款累计发生额/贷款累计发生额*100%
0
20
0
0
欠息率
[1―（实付贷款利息/应付贷款利息）]*100%
0
0
0
0
利息保障倍数
（利润总额+利息支出）/利息支出
26
2.7
3.9
2.3
对外单位提供担保比例
担保金额/所有者权益*100%
12
10
18.5
21
或有负债率
或有负债金额/所有者权益*100%
13.5
12.8
20
23.8
经营能力及效益
应收帐款周转次数
年销售收入/应收帐款平均余额
4
2.8
6.5
2.6
存货周转次数
年销售成本/存货平均作额
2
3
11.8
2.5
销售利润率
利润总额/年销售收入*100%
4
6.1
4.8
4.2
销售收入增长率
（本年销售收入―上年销售收入）/上年销售收入*100%
6
2
11
3
主营收入现金率
主营业务活动现金流入/主营业务收入*100%
52
37
67
25
净资产增长率
（本年所有者权益―上年所有者权益）/上年所有者权益*100%
8.2
5.2
12
6.4
资本金利润率
利润总额/实收资本*100%
9.87
16
17
12.6
发展前景
行业政策
按国家及省、市行业政策
扶持行业
维持行业
发展行业
维持行业
市场竞争能力
经营规模及在同行业中的地位
强
弱
较强
弱
市场发展趋势
预期下年度产、销、盈利能力及市场占有趋势
良
一般
良
一般
1、请给这些企业打分（满分为100分）；给出你的记分标准及依据；
2、给出评定AAA级企业、AA级企业及A级企业的分数线并给表中列出的A、B、C、D四化上企业评定等级。
注：AAA级企业：规模大，实力强，业绩、信誉良好，有充分还贷能力的企业。
AA级企业：有一定规模，经营状况基本稳定，业绩尚可，有基本还贷能力的企业。
A级企业：规模不大，业绩一般，有一定还贷能力的企业。
ZJU2002问题-B 校园网建设
考虑校园内电缆建设部下。设中心配电房位于某幢建筑内。有一些主干用户，位于不同的建筑内。为避免相互干扰，中心配电房与每个主干用户有一条专门的电缆相连。电缆均是铺设在地下管道内。为此需要铺设管道。中心配电房与不同主干用户间的电缆可以共用地下管道。假设中心配电房与哪些用户，以及哪些用户间可以铺设地下管道已知。设电缆线的费用为γ元/米，铺设管道的费用为τ元/米。希望寻找一种方案，使总费用尽可能少。考虑以下问题：
（1）设有6个用户，下表给出了中心配电房与哪引起用户，以及哪些用户间可以铺设地下管道，以及它们间的距离
中心配电房―用户1
5 km
用户2―用户5
4 km
中心配电房―用户2
6 km
用户2―用户6
1 km
中心配电房―用户6
6 km
用户3―用户4
3 km
用户1―用户3
3 km
用户4―用户5
3 km
用户2―用户3
3 km
用户5―用户6
3.9 km
用户2―用户4
4 km
试建立数学模型。就γ，τ的不同取值，求解。问该模型能否推广到用户数任意的一般情形。
（2）如果上述距离全相等，是否有简单方法求解。
（3）若（2）的答案为肯定的，用（2）中的方法作为启发式方法求解一般问题，效果如何；能否设计更好的算法。若（2）的答案为否定的，请自行设计一个求解一般问题的启发式算法，讨论其效果，下表给出一个更大的实例可用作测试，可以自己生成一些实例作测试。
配电房―用户1
10 km
用户5―用户14
6 km
用户11―用户18
1 km
配电房―用户7
10 km
用户6―用户7
10 km
用户12―用户13
3 km
用户1―用户2
10 km
用户7―用户8
6 km
用户13―用户14
3 km
用户1―用户8
6 km
用户7―用户14
6 km
用户13―用户18
1 km
用户1―用户10
6 km
用户8―用户9
3 km
用户13―用户19
1 km
用户2―用户3
10 km
用户8―用户15
3 km
用户14―用户15
3 km
用户3―用户4
10 km
用户9―用户10
3 km
用户15―用户16
1 km
用户3―用户10
6 km
用户9―用户16
1 km
用户15―用户19
1 km
用户3―用户12
6 km
用户9―用户17
1 km
用户16―用户17
3 km
用户4―用户5
10 km
用户10―用户11
3 km
用户16―用户19
3 km
用户5―用户6
10 km
用户11―用户12
3 km
用户17―用户18
3 km
用户5―用户12
6 km
用户11―用户17
1 km
用户18―用户19
3 km
ZJU2003问题A
大型运动会团体参赛成绩评价体系
2001年我国在广东成功举办了第九届全国运动会，来自全国31个省（自治区、直辖市），香港特别行政区、澳门特别行政区和新疆生产建设兵团、解放军以及火车头等26个行业体协的万名运动员参加了新世纪首次体育盛会。在30个大项345个小项中共决出411.5块金牌、398块银牌、405块铜牌，共有24人35次超7项世界纪录，极大地推动了我国体育运动的蓬勃发展。
但是这次人运会前后也出现了一些问题，成为各方议化的焦点，原因之一在于全运会的排名规则。根据国际惯例，大会组委会和新闻媒体按照金、银、铜奖牌数和总分数公布各参赛单位的排名。个别省份为了在奖牌榜上位居前列，脱离本省实际与一些基础较好的省份竞争，甚至不惜采取一些有违体育道德的行为。一些单位由于地域、投入等客观原因长期在奖牌榜上位居末尾，难以有大的作为，严重挫伤了它们发展体育事业的积极性。因此有必要对单纯以奖牌数或总分数来衡量各单位体育事业成就的评价体系作出改进。现请你设计一方案，使之能充分考虑各单位的经济、社会因素，对参赛队取得的成绩作出公正合理的评价，并以九运会的成绩为例给出你的结论。同时评价你的方案与现行的办法的优缺点。
2005年第十届全运会将在江苏省举行，请你撰写一短文向国家体育总局领导推荐你的方案，使得全运会能更好地发挥提高体育运动水平，培养优秀运动人才，推动体育事业发展的作用。
ZJU2003问题-B
内部网信息组织规划问题
一个企业的内部网（intranet网），在互联网（internet）上有两种功能。对外，它主动发布信息，介绍其最新产品和技术，为客客提供服务，在公众面前为企业作宣传等；对内它自身也是外部互联网用户，要访问内部网以外的各种信息以了解市场，在商业竞争中保持有利地位。在企业发布信息时，将相应的信息主师分成块结构，称之为内部信息块，分布在企业内部不同的服务器上。另外企业对外访问是有针对性的，对某些外部信息块的频繁访问会造成通信费用的增长。为了有效地降低通信费用，可以将那些被访问频繁的外部互联网信息块下载至内部网的服务器上，使之成为内部信息块。一旦成为内部信息，即可省下通信费用，而且访问速度大大提高。由于服务器本身内存的限制，企业要有选择的下载外部信息块，并放入适当的服务器或在适当的时候购买新的服务器以满足需要。
在此问题中，每个内部信息块必须放在某个服务器上，当然需要占用此服务器的内存。对每个可能有用的外部信息块，企业可以下载也可不下载。如果不将其从外部网上下载下来，则访问该信息将产生一定的通信费用；如果将其放在内部网上，将占用服务器的内存。当然如何决定将信息放在不同服务器上也是重要的。现假设共有n个内、外部信息，每个信息的容量已知，而且每个外部信息的访问费用也已知。每个服务器允许的信息总容量为C，且购买新服务器的费用为F。问如何对信息进行组织规划使总费用尽可能的小？
现企业的决策者希望对此问题进行研究，你的解答至少回答：
（1）就上述问题建立数学模型。并就下列求解：假设C=512MB，F=1万元，内部信息块的容量分别为171MB，195MB，149MB，可能有用的外部信息块的容量和相应的通讯费用如下表所示。
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
容量（单位：MB）
218
53
361
264
104
121
460
114
通讯费用（单位：万元）
0.35
0.15
0.85
0.7
0.2
0.15
0.9
0.6
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
容量（单位：MB）
175
233
163
157
257
77
147
110
通讯费用（单位：万元）
0.35
0.4
0.4
0.3
0.9
0.1
0.4
0.15
（2）你的模型能否推广到有多种新型号的服务器的问题，例如两种不同服务器，他们的容量和价格不相同。
（3）考虑下面的所谓“在线”信息进行规划问题。对每个信息块（内部，外部）是逐个决策的，而且仅当对上一个信息块做出是否下载、如何放置的决定后，下一个信息块的参数才告诉决策者。对此问题能否设计一个算法求解，并对提出的算法的效果给以评价。
（注：浙江大学数学建筑竞赛参考答卷请愿书见本书配套教材之一：大学生数学建模竞赛，杨启帆、何勇、谈之奕编著，浙江大学出版社，2004年。）
课件名称：课件分类：数学课件类型：电子教案文件大小：3.05MB下载次数：1评论次数：1用户评分：7
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
