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Laplace积分变换反演的自适应方法.pdf 5页
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第31卷第6期 哈 尔 滨 工 程 大 学 学 报 Vo1．31No．6 2010年 6月 JournalofHarbinEngineeringUniversity Jun．2010 doi：10．3969／j．issn．．9 Laplace积分变换反演的 自适应方法 程 靳 ，郭宝科 ，张 莉 哈尔滨工业大学 航天科学与力学系，黑龙江 哈尔滨 150001 摘 要：为了进一步提高Laplace积分变换数值反演结果的准确性和在实际计算中误差的易控性 ，一种更加准确的自适 应数值积分方法被应用于Laplace的积分反演．首先，通过复变函数中的Euler恒等式把复数域中沿虚轴的Laplace复变 量反演积分化简为实空间无限域中的广义积分．然后，引入一个合适的截断误差，将得到的广义积分化为一个有限区间 的正常实积分．最后，指定一个相应的计算误差，再采用 自适应梯形积分公式计算Laplace反演积分．反演实例表明：这种 自适应方法除了个别特殊点外，如原函数的无穷大点、跳跃点等，在其他连续点处的计算结果都非常准确．这种方法的计 算原理更加简单，且反演结果的总体误差容易控制． 关键词：自适应方法；Laplace变换；积分反演；截断误差；计算误差 中图分类号：0241．4 文献标识码：A 文章编号： -05 AdaptiveinversionmethodfortheLaplaceintegraltransform CHENGJin，GUOBao—ke，ZHANGLi DepartmentofAstronauticScienceandMechanics，HarbinInstituteofTechnology，Harbin150001，China Abstract：ToexpanditsareaofapplicationaswellasimprovetheaccuracyoftheresultsofnumericalinversionU—
singtheLaplace integraltransform inversion，amore exactadaptivemethodforthenumericalintergalwasem-
ployed．First，bymeansoftheEuleridentity，from complexfunctiontheory，theinversionintegralincomplexdo—
mainwassimplifiedintoageneralintegralwithrealvariablesandaninfiniteinterva1．Then，atruncationerrorwas
introducedandtheinversionintegralwascalculatedinaspecialfiniteintervalnumericallyusinganadaptivetrape—
zium integralmethodwithasetcalculationerror．Theinversionresultsindicatedthatthisadaptivemethodisvery
accurateatallcontinuouspointsexceptofrsomespecialpoints，forexampleinfiniteandjumppoints．Thetheoryof
thismethodissimple，anderrorscanbecontrolledmoreeasily．
Keywords：adaptivemethod；Laplacetransfomr ；integralinversion；turncationerror；calculationerror Laplace积分变换技巧结合有限元方法，边界元 反演积分值．虽然 已经出现几十种有关 Laplace积
方法和积分方程方法已经被广泛应用在物理和力学 分反演的数值方法 ，但是这些方法都普遍存在
求解的很多领域中 1-143．然而，由于2个原因使 La—
着计算过程繁杂、适用范围狭窄、计算误差难 以控
place积分反演的解析方法很难在工程计算中应用： 制、结果稳定性差的问题，这大大限制了Laplace积
1 在实际计算中，往往只能得到函数在变换域中离 分变换方法在科学研究和实际工程 中的应用．在这
散点的值，这就使解析法失去了使用的前提；2 即 些数值方法中，将反演积分从复数域化为实数域的
使少数问题可以得到变换函数的解析表达式，但要 比较典型的方法有2个，即Durbin的方法
求解复变函数的积分依然存在着很大的
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拉普拉斯变换怎么理解,麻烦说的详细点,通俗点,我看书看了几遍都不会
bczqyly1810
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拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform),是工程数学中常用的一种积分变换.
如果定义：
f(t),是一个关于t,的函数,使得当t0,；
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值.
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化.在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法）,以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性.
用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s＝σ＋j&的一个函数,其中σ和& 均为实变数,j2＝-1.F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：
如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数.对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在.习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)].
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系.表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质.
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拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换的存在定理若函数f(t)满足: 1： 在t?0的任一有限区间上分段连续； 2： 当t???时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M&0及c?0, 使得 |f(t)|? M ect, 0?t&?? 则f(t)的拉普拉斯变换??F ( s) ? ?0f (t ) e ? st d t?在半平面Re(s)&c上一定存在, ?右端的积分在Re(s)?c1&c上绝对收敛而且一致收敛, ?并且在Re(s)&c的半平面内, F(s)为解析函数。§2.2 拉普拉斯变换的性质1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理*1 线性性质若 ? , ? 是常数， 设 f1 ? t ? , f2 ? t ? , 满足拉普拉斯变换存在条件，L? ? f1 ? t ? ? ? ? F1 ? s ?则有：,L? ? f2 ? t ?? ? ? F2 ?s ?L? ?αf1 ? t ? ? βf 2 ? t ? ? ? ? αL[ f1 ? t ?] ? βL[ f 2 ? t ?]-1 -1 L-1 ? α F s ? β F s ? α L [F s ] ? β L [F2 ? s ?] ? ? ? ? ? ? ? 2 1 ? 1 ?? ? F1 ? s ? ? ? F2 ? s ?? ? f1 ?t ? ? ? f2 ?t ? .注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。设 f1 ? t ? , f2 ? t ? , 满足拉普拉斯变换存在条件，L? ? f1 ? t ? ? ? ? F1 ? s ? ,L? ? f2 ? t ?? ? ? F2 ?s ???? st L? α f t ? β f t ? ( α f ( t ) ? ? f ( t )) e dt ? ? ? ? ? 2 1 2 ? 1 ? ? 0? ? αf1 (t ) e d t + ? ? f 2 (t ) e? st d t? st 0 0????= α???0f1 (t ) e d t + ? ?? st??0f 2 (t ) e? st d t＝αL[ f1 ? t ?] ? βL[ f 2 ? t ?] ? αF1 ? s ? ? βF2 ? s ?2 微分性质L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?则有：,L? ? f ' ? t ?? ? ? sF ? s ? ? f ? 0 ?证： 根据Laplace变换，有如下L[ f '(t )] = ??? 0? Re ? s ? ? c ?f '(t ) e? st d t??对右端积分利用分部积分法，可得???0f '(t ) e d t ? f (t ) e? st? st ?? 0|?s ?0f (t ) e? st d t(Re(s) ? c)? sL[ f (t )] ? f (0)注： 这个性质表明了一个函数求导后取Laplace变换等于这个函数的 Laplace变换乘以参数s，再减去函数的初值。推论：则有：L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?,2 L? f '' t ? s F ? s ? ? sf ? 0 ? ? f ' ? 0 ? ? ? ? ? ?? Re ? s ? ? c ?一般地，L[ f ( n) (t )] = sn F(s) -sn-1 f (0) ? sn-2 f '(0)? ? f (n-1) (0)? s n F(s) - ? s n-1-i f (i ) (0)n-1(Re( s) ? c)特别地：i ?0f (0) ? f '(0) ? ? ? f (n-1) (0) ? 0有：L[ f ( n) (t )] = sn F(s)(Re(s) ? c)注： 这个性质表明可以把一个f（t）的微分方程转化为F（s）的代数方 程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。例1：求 f ?t ? ? cos kt 的laplace变换解：由于： f (0) ? 1,f '(0) ? 0, f '' (0) ? ?k 2 cos kt,2 2 ? L? ? k cos kt = L f '' t ? s F ? s ? ? sf ? 0 ? ? f ' ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ??k 2L?cos kt ? = s2L ?cos kt ? ? s移项化简，得：s L[cos kt ] = 2 s + k2(Re( s ) ? 0)例2：求 f ?t ? ? t m 的laplace变换（m是正整数）解：由于：f (0) ? 1, f '(0) ? 0,? f (m-1) (0) ? 0, f (m) (0) ? m!,(m) m m ? L ? m !? = L ? f t ? s F s = s L? ? ? ? ? ? f ?t ?? ? ? ?而：L ? m !? = m !L ?1? ?所以：m L? t ? ? ??m! sm! s m ?1(Re( s) ? 0)根据laplace逆变换存在定理，还可以得到象函数得微分性质： 若： 则：F '(s) ? ?L[tf (t )],L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?,? Re ? s ? ? c?.一般地，有：F (n) (s) ? (?1)n L[t n f (t )],?Re ? s ? ? c?.例3：求 f ?t ? ? t sin kt 的laplace变换（m是正整数）解：由于：L ?sin kt ? ?k s2 ? k 2根据上述象函数微分性质可知： k d[ 2 ] 2 2ks L ?t sin kt ? = - s ? k ? 2 , 2 2 ds (s ? k ) 同理：Re( s) ? 0L ?t cos kt ? = -d[s ] 2 2 2 2 s ?k ? s ?k , ds (s 2 ? k 2 )2Re( s ) ? 03 积分性质设 L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?则有：,?t ? 1 L ? ? f ? t ? dt ? ? F ? s ? ?0 ? st 0证： 设 h(t ) ? f (t ) e? st d t , ? 则有：h '(t ) ? f (t ), 由上述微分性质，有L? ?h ' ? t ?? ? ? sL ? ?h ? t ?? ? ? h ? 0 ? ? sL ? ?h ? t ?? ?1 1 L[ ? f '(t ) d t ] ? L[ f (t )] ? F ( s ) 0 s sth(0) ? 0注： 这个性质表明了一个函数积分后取Laplace变换等于这个函数的 Laplace变换除以参数s。重复应用上述积分性质，可以得到：? ? t ?t t ? 1 L ? ? dt ? dt ? ? f ? t ? dt ? ? n F ? s ? s ? ??? ? 0 0 0 ? ???? ? ? ? n次 ? ?此外，根据laplace变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：? f (t ) L[ ] ? ? F (s) d s s torf (t ) ? tL?1[? F (s)ds]s?? ? ? f ?t ? ? ? 一般地，有 L ? n ? ? ? ds ? ds ? ? F ( s)ds ? t ? ???? s s s ???? ? n次sinh t 例 4： 求 f ? t ? ? 的laplace变换。 t解：1 因为： L ?sinh t ? ? 2 s ?1根据上述象函数微分性质可知：1 ? sinh t ? L? = ? L[sinh t ]ds ? ? 2 ds ? s ?1 ? t ? s s 1 s ?1 ? ? ln |s 2 s ?1??1 s ?1 ? ln 2 s ?1f (t ) dt 存在， 如果： ? t 0? f (t ) ? f (t ) ? st 根据： L[ ]? ? e d s ? ? F ( s) d s 0 s t t?令s＝0， 有：?? 0 ? f (t ) d s ? ? F (s) d s 0 t例如：??0? sin t 1 ? ? dt ? ? 2 d s ? arctan s |0 ? 0 s ?1 t 24 位移性质设 L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?,at L? e 则有： ? f ?t ?? ? ? F ?s ? a?, (Re( s ? a ) ? 0)证： 有如下L[e f (t )] ? ? eat f (t ) e? st d tat 0 ??????0f (t ) e? ( s ?a )t d t? F ( s ? a)注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。at例5：求 L[eat t m ]解：已经知道：m L? t ? ? ???(m ? 1) s m ?1根据上述位移性质可知：?(m ? 1) L? ?e t ? ? ? ( s ? a)m?1at m例6：求 L[e?at sin kt ]解：已经知道：k L ?sin kt ? ? 2 s ? k2根据上述位移性质可知：L? ?e? atk sin kt ? ? ? ( s ? a)2 ? k 25 延迟性质设 L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?, 当t&0时，f (t ) ? 0, 则对任一非负实数? 有：? s? L? f t ? ? ? e F ? s ? or ? ?? ? ?? s? L?1 ? e F ? s ?? ? ? ? f ?t ?? ?证： 根据laplace变换有如下L[ f (t ? ? )] ? ?u ?t ???? 0f (t ? ? ) e d t ?? st??0f (t ? ? ) e d t ? ?? st???f (t ? ? ) e? st d t? 0? ?? s???0f (u) e? s (u ?? )d u?e???0f (u) e? su d u ? e? s? F (s)(Re(s) ? c)注： 这个性质表明时间函数延迟 ? s? e 以指数因子 。?的Laplace变换等于它的其象函数乘例7：求函数解：?0 u(t ? ? ) ? ? ?1t ?? t ??的laplace变换已经知道： L ?u (t )? ? 1 s根据上述延迟性质可知：1 L ?u (t ? ? )? ? e ? s? s6 初值定理与终值定理设 L? ? f ? t ?? ? ? F ?s?则有：limt ?0 s ??, 且lim sF ( s)s ??存在，f (t ) ? lim sF ( s)orf (0) ? lim sF ( s)s ??sF(s)的所有奇点全在s平面的左半平面，则：t ???lim f (t ) ? lim sF ( s)s ?0orf ( ??) ? lim sF ( s)s ?0拒绝访问 |
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