& 高三文科数学函数与导数专题
高三文科数学函数与导数专题
[导读]2008届高三文科数学第二轮复习资料 --《函数与导数》专题 1．设是定义在上的函数，对一切均有，且当时，，求当时，的解析式． 2. 已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于...
2008届高三文科数学第二轮复习资料
--《函数与导数》专题
1．设是定义在上的函数，对一切均有，且当时，，求当时，的解析式．
2. 已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
3．集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.
（1）判断函数f(x)=2-及f(x)=1+3?((x≥0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k对于任意的x≥0总成立.求实数k的取值范围.
4. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为 的不动点．
　（1）当时，求的不动点；
　（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．
5. 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.
（1）求实数a、b、c的值；
（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.
6．设x=1与x=2是函数f(x) = a lnx + bx2 + x的两个极值点．
　　（Ⅰ）试确定常数a和b的值；
　　（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.
7.　日，我国成功发射了"神州"六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：.当燃料重量为吨（e为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.
　　（Ⅰ）求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；
（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
8．某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量x（件）（）的关系符合如下规律：x1234...89...　　　　　　　　
　　又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失元
（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取计算）．
9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促
销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能
是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家
将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资
金，不包括促销费用）.
（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．
（Ⅰ）试解释的实际意义；
（Ⅱ）设，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
1.解：由有，
　　当时，.
设，则由得，又，
　　于是，
　　故当时，．
2.解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知在上为减函数．
　　又因是奇函数，从而有不等式：
　　　　　　　等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：，从而判别式
３.解:（1）∵f=2-=-5(1,4]，∴f不在集合A中．
∴0＜(≤1， ∴0＜3?(≤3，从而1＜1+3?(≤4．∴f(x)∈(1,4]．
又f(x)=1+3?(在[0，+∞)上为减函数，∴f(x)=1+3?(在集合A中.
（2）当x≥0时，f(x)+f(x+2)=2+?(≤．
又由已知f(x)+f(x+2) ≤k对于任意的x≥0总成立, ∴k≥．
因此所求实数k的取值范围是[,+∞)．
４.解： ，
（1）当时，．
设为其不动点，即，则．
所以，即的不动点是.
（2）由得.
　　由已知，此方程有相异二实根，所以，
　　即对任意恒成立．
（3）设，直线是线段的垂直平分线，．
　　记的中点，由(2)知．　　　　在上，
　　化简得：，当时，等号成立．　　即5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P（2，0）∴f(2)=0即2×23+a×2=0，所以a=－8．
　　g(2)=0 即：4×b+c=0
　　又∵f(x)，g(x)在P处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16，
　　∴a=－18，b=4，c=－16．
（2）由F(x)=2x3+4x2－8x－16，有F′(x)=6x2+8x－8
解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得x≤－2或x≥即单调增区间为．
同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤，即单调减区间为[－2，]．
6.解：（Ⅰ）f′(x)=+2bx+1，由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0, 且+4b+1=0,
　　解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x．
　　（Ⅱ）f′(x)=－x-1－x+1,
　　当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,
　　当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,
　　当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,
　　故在x=1处函数f(x)取得极小值, 在x=2处函数取得极大值－ln2.　　7.解：（Ⅰ）依题意把代入函数关系式　　　所以所求的函数关系式为整理得
　（Ⅱ）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，，
　　　代入函数关系式
　　　即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.　　　8.解:（Ⅰ）由与x的对应规律得次品率为
　　故日产量x件中，次品数为件，正品数为件．
　　则日盈利额 ．（Ⅱ）　　（注：此步可由换元法令得到）　　　　当且仅当时取等号．　　由　　时，取得最小值，
　　又，，
　　　　因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．
9.解（1）由题意可知当时，（万件）
　　　　每件产品的销售价格为（元）
　　　　...
　　　　（2）　　　　（万元）时，（万元）
　　　　所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.
10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当　　　　当
　　　　当
　　　所以
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则　　　　　　由于当；
　　　所以，
　　　　因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.
11.解：（I）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当
成立，双方均无失败的风险．
由（1）（2）得
　　答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．
解：（I）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；
年销售量为5000×（1+0.4x）.因此本年度的利润为
　　（Ⅱ）本年度的利润为　　　　则　　由　　当是增函数；
　　当是减函数.
　　∴当时，万元，
　　因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值．
　　即当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
高三文科数学函数与...
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必修1数学知识点
1、集合的定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素 2、集合元素的特征：①确定性 ②互异性 ③无序性
3、集合的分类：①有限集
③空集，记作
4、集合的表示法：①列举法
③文氏图法
④特殊集合 ⑤区间法 常用数集及其记法：①自然数集（或非负整数集）记为
正整数集记为或 ②整数集记为 ③实数集记为
④有理数集记为
5、元素与集合的关系：①属于关系，用“”表示；②不属于关系，用“”表示
6、集合间的关系：①包含：用“”表示
②真包含：用“
③相等 ④不相等
7、集合的交、并、补 交集的定义：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作， 即 并集的定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作， 即
8、全集与补集：对于一个集合，由全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于集合 的补集，记作，即
9、交集、并集、补集的运算： 1 交换律： 2 结合律: 3 分配律:. 4 0-1律： 5 等幂律： 6 求补律： 7 反演律： 10、文氏图的应用：交集、并集、补集的文氏图表示
11、重要的等价关系：
12、一个由个元素组成的集合有个不同的子集，其中有个非空子集，也有个真子集
1、映射设是两个集合如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应则这样的对应（包括以及到的对应法则）叫做从集合到集合的映射，记作，其中叫做的象，叫做的原象
如果在这个映射下，对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，而且中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到上的一一映射
函数：设是两个非空数集，那么从到的映射就叫做函数，记作，其 中，叫做自变量,是的函数值．自变量的取值集合叫做函数的定义域，函
数值的集合叫做函数的值域，值域，函数三要素：定义域、值域、对应法则;两个函数相同：定义域和对应关系都分别相同
3、函数的表示方法：（1）列表法
（2）图象法
（3）解析法
4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数
5、（1）函数的定义域的常用求法： ①分式的分母不等于零
②偶次方根的被开方数大于等于零
③对数的真数大于零 ④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1 ⑤三角函数正切函数中，余切函数中, ⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围
（2）值域的求法：①直接法
②分离常数法 ③图象法
⑤判别式法 ⑥不等式与对勾函数
6、求函数解析式的方法:
④待定系数法 ⑤列方程组法 ⑥特殊值法
7、增减函数的定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ①若当时，都有,则说在这个区间上是增函数 ②若当时，都有,则说在这个区间上是减函数
8、（1）单调性的证明：讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断”三个步骤
（2）函数单调性的常用结论：
①若均为某区间上的增（减）函数,则在这个区间上也为增（减）函数
②若为增（减）函数，则为减（增）函数
③若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减”
④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反
9、（1）奇、偶函数的定义：对于函数 ①如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 ②如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数 注意：①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ②是定义域上的恒等式 ③若奇函数在处有意义，则 ④奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于轴成轴对称图形 （2）函数奇偶性的常用结论：
①如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）
②两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数
③一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数
④两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数
基本初等函数
1、（1）一般地，如果，那么叫做的次方根。其中
①负数没有偶次方根 ②0的任何次方根都是0，记作
③当是奇数时，，当是偶数时，
④我们规定： 1 2
（2）对数的定义：设且,对于数,若能找到实数,使得,那么数称为以为底的的对数,记作,其中叫做对数的底数, 叫做真数
注：（1）负数和零没有对数（因为）
（2）（且） （3）将代回得到一
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