回到十六世纪，让我用初等数学方法编算三角正弦函数表
回到十六世纪，让我用初等数学方法编算三角正弦函数表
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古人是怎样编算常用对数表的？古人是怎样编算三角函数表的？古人是怎样计算圆周率π的？这几个问题一直绕在我脑子里，总想以古人的思维和方法，自己动手来编算一下。
常用对数表总算编出来了，要问，是否摸到古人的边？还是不知道。但总算了了一桩心事。
用割圆法计算圆周率π，也已经完工。是否就是古人之方法？也是不知道。但也总算了了一桩心事。
剩下一愿，编三角函数表，能实现吗？说到编三角函数表，都说用高等数学，把三角函数展成级数就可以算了。这当然不错。但三角学之初是这样编算的吗？把三角函数展为级数，是十八世纪欧拉时代的事。而最初的三角函数表，在十六世纪早就有了。
电脑《百科》上有说法：
“欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯（）见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算器。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。”
“文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出６种三角函数表，有些以分和度为间隔。给出精确到５位和１０位小数的三角函数值。第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值。”
我想，当时只能是用初等数学方法来编算的，当然也可能不太完备，而且编算细节也不太清楚了。我想带一只仅能作加减乘除开方的计算器，回到十六世纪，步利提克斯、韦达们的后尘，试编一下三角函数表。
二&& 编 算 的 基
我以为：由直角三角形或单位圆定义的三角函数，最初只能通过勾股定理，解直角三角形来得到三角函数值的。这样得到的函数值是原始的、精确的，但为数极少只有六个，它们的正弦值为：&
0°=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Sin
30°=1/2=0.5&
Sin 45°= (√2 )/2
&&&&&&&&&Sin
(√3)/2=0.&&
Sin 72°= √(10+2*√5 )
Sin 90° =&
从这几个精确值出发，再利用以下公式
二倍角公式&&& sin
2α=2 sinα cosα
和差公式&&& sin
(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
半角公式sinα/2=√(( 1- cos α) / 2 )
就可以推算其他角度的Sin，但它们是属于派生的，列一些于下：
3°=0.&&&&&&
9°=0.&&&&
15°=0.&&&&&&
18°=0.&&&&&
27°=0.&&&&
36°=0.&&&&&&&&
45°=0.&&&&&
54°=0.&&&&
Sin 63°=0.&
75°=0.&&&&&
Sin 81°=0.&
当然还有很多，并请注意，它们都是3的倍数。这样看来，要编3度间隔的正弦表，立马可得。但3度间隔的正弦表，又有多少用途呢？之所以列这些角的正弦，是因为在造1度间隔的正弦表时，要用它们作控制、检验的。
编算的思路：先求Sin1°再“滚雪球”求所有整度的正弦
如果通过和差、倍角、半角，能凑出Sin1°的值，那就太好了。因为有了Sin1°，就可用sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ公式算出全部整度的正弦。设β始终为1，即β=1，则从α=0开始，使(α+β)成为新的α，即αi+1=(αi+1°)，一步一步，α便为1、2、3、4、…90，它的正弦也就有了。这种方法我称它为“滚雪球”法，越滚越大。所以如果有了Sin1°，那么编算1度间隔的正弦函数表，就可以实现。尽管太简单了一些，但必竟可以只用加、减、乘、除、开平方，就能够编算出来的。1°间隔的正弦函数表编出来后，则10’、1’、10”
间隔的正弦函数表也就可以编算了。
一句话，编算三角正弦函数表的关键，是先要算出sin 1°。
四&& 用‘迭代法’求起算数sin
单靠和差、倍角、半角这三个公式是凑不出Sin1°来的。后来我就在‘三倍角公式’上想办法。靠过去的‘测量平差’经验，我想起了‘迭代法’。迭代法在我们‘测量平差’时用到，在‘开平方’时也能应用，且收敛也较快。这样就可以用sin
3°反求出sin 1°。解决问题了，乃大喜。
三倍角公式是& sin3α=3sinα－4sin3α
，这样便得到：
sin3α= sinα(3-4
sin2α)，把Sin
3°=0.作为已知数，sinα作为未知数，反过来便有：
Sinα= sin 3α/ (3-4
sin2α)，由于α=1°，sin 3°=0.，所以
Sin 1°= sin 3° / (3-4
sin21°)= 0./(3-4
sin2 1°)……(1)
于是就用迭代法反求sin1°。由于sin
1°是未知量，暂时取一个近似值，先代入sin2 1°，按(1)式计算，便得较好的sin 1°，再将此较好的sin
1°第二次代入sin2 1°，得第三次sin 1°，此后反复代入，直到
1°收敛，不再变动，即为结果。计算表明：即使用误差极大的值，如
0.1作第一次近似值，也只趋近六次。用较好的初始近似值时，迭代次数可以减少。所谓“较好的初始近似值”是用弧长来代替。弧长值为：α/180*3.*3.45333。在算例中第一次sin1°取0.01745，经过三次迭代收敛，最后sin
现将迭代运算Sin 1°= 0./(3-4
sin2 1°) 结果列于下表，以见趋近情况。
sin 1° 近似值
sin 1° 渐近结果
最后采用sin 1°=
0.，有意在第九位上留有误差6的误差，它将会给运算结果带来某些积累误差。
度间隔的(0°—90°)正弦函数表的编算
α由0开始，β=1°，(且始终为1)，按循环公式αi+1=(αi+1°)及和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ一步年步向后推算，便得sin1°、
sin2° 、sin3° 、sin4°……sin90°
手算过程如下：
第一步& 己知 α=0， sin 0°= 0，cos0°=1，β=1，
sin 1°= 0.，cos 1°=0.
sin 1°=sin(0+1)=sin0 cos1+cos0 sin1
=0.*0..* 0.= 0.、
cos1°=√（1- 0.*
第二步 己知 α=1， sin 1= 0.，cos
1=0.，β=1，
sin 1= 0.，cos 1=0.
sin2°=sin(1+1)=sin1cos1+cos1sin1
=0...* 0.=
cos2°=√（1-
第三步 己知 α=2，sin 2= 0.，cos
2=0.，β=1，sin 1= 0.，
sin3°=sin(2+1)=sin2 cos1+cos2 sin1
cos3°=√（1-
第四步 己知 α=3，sin 3= 0.，cos
3=0.，β=1，sin 1= 0.，
sin4°=sin(3+1)=sin3 cos1+cos3 sin1
cos4°=√（1-
第五步α=4，β=1，……循环下去。计算结果整理在表A的sin计算值中。
度间隔的正弦函数& （ sin 1°=
用 9度控制改正）
&Sin 计算值
改正后Sin α
&检验 Sin α
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六& 1 度间隔的正弦函数表的误差分配及精度分析
表A第一列为整度数。
表A第二列，是sin计算值。本想这就是结果了，哪知与已知值一比，出乎意料，发现有差值，还真不小，最大209，即第七位上差2，这是为什么？细看表A就会发现，累次“滚雪球”加1°后，由于sin
1°的原始取位误差，引起了运算结果的误差。且每计算一个循环，都会把误差积累下来。在各个控制点0°、9°、18°…90°上，误差从0、57、111、…到209，再由209、189、…0。数值大小由sin
1°的误差引起。误差由小到大、由大到小的变化，则由计算公式特性引起。
表A第三列，为sin已知值。这些已知值，不是靠电脑查出来的，而在《二编算的基础》中早已列出了的，在此是作为一个控制值用的，检查“滚雪球”后的计算值是否与已知值相同。结果不符值为：
sin 0& sin
18&& sin 27& sin
36& sin 45& sin
54&& sin63& sin
72& sin 81& sin 90
-13&&&&&-15&&&&&
&&&&&&&&&&&
上面四行是误差的各次差分。
分析。这是一条开口向下的抛物误差曲线。共十个大区间，每区间的一次差分已成一条斜线，二次差分变成平缓的斜线，三次差分已近乎一条水平线。而每个大区间中，又有九个小区间。如果在每一个大区间中，按线性内插，则每一点上，每度，其平均内插误差在2以下，最大不会超过25
/ 9 = 3的误差，即在54°到90°之间，可能会有3的误差。
于是将上述误差，在每个大区间内，分别作线性内插，把误差分配、分摊掉，算得第四列改正值。
表A第四列，为改正值，只列第九位上的尾数。
表A第五列，为改正后Sin α& =& Sin
α计算值& + 改正值。
表A第六列，列出正确的Sin α，这才由电脑提供。
改正后的Sin α，与正确的电脑Sin
α相比，改正值残剩误差为3的，有14个，占16﹪，且分布在50°之后，正与上述分析相符。残剩误差为2的，有21个，占24﹪。残剩误差为0、1的，有55个，占60﹪。这样的结果，虽然还有点遗憾，但我只能满意了。如果再想提高其表面精度，只能把控制区间定为6°、甚至3°了。
九位正弦函数表的精度，到底精确到什么程度？先举个例，例如sin 30°=0.5，而sin
30°0’0.001”=0.，说明：九位上即使有误差4，对应的角度误差影响也仅为0.001秒。这样看来，八位正弦函数表精确到0.01”，
七位正弦函数表精确到0.1” 六位正弦函数表精确到1”。一般来说，使用六位正弦函数表就可以了。
现在，表A中每度的Sin，就可作为已知值，成为编算更小间隔(如1’、10“)的正弦表的控制值了。
在整个运算作业中，我的思路慢慢清晰了。用“滚雪球”法编算正弦表，关键两条：
一，要有一个较精确的起算值sin 1°。编1°的正弦表，取sin 1°=
0.，已足够精确。但如果没有控制、没有检验，“雪球”就越滚越大，引起计算值不准。非但无法判断其精度，甚至算错了也不知道。所以：
二，一定要有几个控制点、控制值。用它们检验计算的正确性，并根据不符值，对每一计算点作改正。有了控制，即使sin
1°有误差，也不可怕。没有控制，即使sin
1°再精确，也不放心。至于控制点要多少？控制区间有多宽，依我一个星期的来回反复计算，认为：如果控制区间为9度，则正弦值精度，能正确到第八位。如果控制区间为6度，将正确到第九位。如果不作控制，则只能正确到第五位。
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1度间隔正弦函数的内插及内插精度
有人要问：用这样的方法，所编算的正弦函数表，内插精度又如何？现分别用实例来说明表A的内插精度。
例：Sin60°30’=？
查表A、得&& Sin
60°=0.&&&
Sin61°=0.&&
Sin60°30’=(
再用0.，按反三角正弦公式β= Arc
Sinβ，反算得：
(0.)=60°29’46”，这就与出发的
60°30’有14”的误差，也就是表A的内插精度。其他算例如下：
&Sin 内插值
反算 度 分 秒
05& 29& 59
14& 29& 58
30& 29& 55
44& 29& 52
60& 29& 46
75& 29& 30
82& 29& 04
88& 25& 08
可见1°度一载的正弦函数，自身的精度虽然很高，达0.001”，但内插精度只能达到秒级。小角的内插，误差在10”以下。角度越大，内插误差也越大。在90度附近，达到4分，根本不能内插。因此我认为，三角函数表最合理的安排是1’一载的六位三角函数表。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1’间隔、10”间隔这两份表的编算方法，与1°间隔的编算方法完全相仿只是取sin
1’=0.、Sin
10”=0.为起算。但因为表格太长，所以割爱不载了。
正弦函数表有了，其他余弦、正切、余切函数表也就可以造了，所以也不再编算了。
噢，应该说一下计算过程中的体味。那就是编算过程中，光是加、减、乘、除、还可以承受，但在用“和差公式”时要算Cos=√（1—s i n
2），必须开平方，这工作量就大了。我知道手工方法开方，但我也不是堂·吉诃德。我是用计算器代劳的，造表时又用“电子表格”公式化成批地代算，辛苦不了什么，反而促进了我解题的兴趣与毅力。所以一个星期内就编出1度、1分、10秒间隔的部份正弦函数表。除了在检验结果时，我必须用计算器内的正弦值外，全部运算过程绝不用计算器、计算机内的现存正弦值代替，否则还算个屁。我要全过程，只用加、减、乘、除、开平方来计算sin，效仿古人、效仿古法，如此而已，岂有他哉。
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九&& 结 束 语
于是我返回现代。
我发现，浅绿色封面、硬精装的《六位三角函数表》已经绝迹，可能在我原先工作的单位“湖南省地质测绘队”还有，但早也不再使用，只是存放在后勤科的仓库里，并蒙着厚厚的灰尘了。
我了了三个心愿：用古代人可能采用的只靠加、减、乘、除、开平方的方法，编算了常用对数表、计算了圆周率π、编算了三角正弦函数表。自我感觉良好。
学习、求知是我的天性。阿门！
2013--08--&
20～～28&& 在佛山
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首先，假设我们要计算。 查表得lg，lg。 将两数相加，得6.963。 计算≈10^6.963 = 9183330。 验算：直接计算=9191160，可见有一定误差。在位数取值更多时，数值将更为精确。
对数表概念
表是指通过计算得出从1开始各个的对数（现在一般用），所编排成的表格。
根据对数运算的基本公式，可知当或除数≠0时，在知道两大数的对数情况下，可很快计算出两数的积和商。
对数表使用方法
表　尾　差
查看方法：
1、整数部分是一位非零数字。lg2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5。所以lg2.573=0.4104。
2、整数部分不是一位非零数字的。用科学记数示N×10^n。lg25730=lg(2.573×10^4)=lg2.573+4=4.4104。
lg0.002573=lg[2.573×10^(-3)]=lg2.573+(-3)= -2.5896.
3、查反对数时。正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置。6.4104：由0.4104查出0.4104=lg2.573。则6.4104=lg2.573+6=lg(2.573×10*6)=lg2573000。负的对数化负整数+正纯小数。再同样查。Access denied |
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