第二小题，为什么求基础解系，最后负号忽略了_百度知道
第二小题，为什么求基础解系，最后负号忽略了
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说明解的基础解系含有2个线性无关的向量，而这两个自由变量必须线性无关。所以只有选x1、x2、x4中的一个和x3组成：从变换后的矩阵可以看出系数矩阵的秩为2分析，这里是选的x3和x4。即x3=1，x4=0和x3=0，x4=1。所以解向量只含有两个自由变量就
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基础解系不唯一？请求给我一个例题！谢谢！
做到选取自由未知量和给自由未知量取值的时候，就很好的解答了你的疑问，由向量组的极大线性无关组不唯一，既然是向量组，就有极大线性无关组，所以，怎样得到不同的基础解系，就可以达到这个目的了！你可以参考同济版的线性代数教材，线性方程组解的结构这一节的例12，基础解系就是解向量组的极大线性无关组！再次在举例前先明白一个道理！首先把方程组的解表示成向量的形式，得出基础解系也不唯一，只要与极大线性无关组的秩相同的线性无关的解向量组都可以作为基础解系！最后？在你解方程组时！当方程组有无穷解的时候，它的解就是由无穷个解向量构成的向量组！其次
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回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;线性代数_甜梦文库
线性代数（第五版）在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.第一章?行列式内容提要§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7?行列式是线性代 数的一种工具！ ?学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 ―― 线性方程组的求解.§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组 由消元法，得? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? b2(a11a22 ? a12a21 ) x1 ? b1a22 ? a12b2 (a11a22 ? a12a21 ) x2 ? a11b2 ? b1a21当 a11a22 ? a12a21 ? 0 时，该方程组有唯一解b1a22 ? a12b2 x1 ? a11a22 ? a12a21a11b2 ? b1a21 x2 ? a11a22 ? a12a21二元线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ ?分母相同，由方程组的四个系数确定. ?分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.b1a22 ? a12 b2 ? ? x1 ? a a ? a a ? 11 22 12 21 ? ? x ? a11b2 ? b1a21 ? 2 a11a22 ? a12 a21 ?二元线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? b2其求解公式为我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.数表 aa1121a12 a22记号 a 21a11a12 a22b1a22 ? a12 b2 ? ? x1 ? a a ? a a ? 11 22 12 21 ? ? x ? a11b2 ? b1a21 ? 2 a11a22 ? a12 a21 ?表达式 a11a22 ? a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即D?a11 a21a12 a22? a11a22 ? a12 a21a 其中， ij ( i ? 1, 2; j ? 1, 2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.原则：横行竖列二阶行列式的计算 ――对角线法则主对角线a11 a21a12 a22副对角线? a11a22 ? a12a21即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 二元线性方程组 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? b2若令D?a11 a21a12 a22 D2 ?(方程组的系数行列式)D1 ?b1 b2a12 a22a11 a21b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为b1a22 ? a12b2 D1 x1 ? ? a11a22 ? a12a21 D a11b2 ? b1a21 D2 x2 ? ? a11a22 ? a12a21 D例1求解二元线性方程组 ? 3 x1 ? 2 x2 ? 12? ? 2 x1 ? x2 ? 1解因为 D ?3 ?2 2 1? 3 ? ( ?4 ) ? 7 ? 0D1 ? D2 ?12 ? 2 1 1 3 12 2 1? 12 ? ( ?2) ? 14? 3 ? 24 ? ?21D2 ?21 x2 ? ? ? ?3 D 7D1 14 ? ? 2, 所以 x1 ? D 7二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a 21引进记号 主对角线 副对角线a12 a 22 a 32a13 a23 a33a13 a 23 a 33原则：横行竖列a 31a11 a21 a31 a12 a22 a32? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32? a13 a22 a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32二阶行列式的对角线法则 并不适用！称为三阶行列式.三阶行列式的计算 ――对角线法则a11 D ? a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32?a13a22a31 ?a12a21a33 ?a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12 -4 1例2 计算行列式 D ? -2 2 解 按对角线法则，有-3 4 -2D ? 1 ? 2 ? ( ?2) ? 2 ? 1 ? ( ?3) ? ( ?4) ? ( ?2) ? 4? 1 ? 1 ? 4 ? 2 ? ( ?2) ? ( ?2) ? ( ?4) ? 2 ? ( ?3)? ?4 ? 6 ? 32 ? 4 ? 8 ? 24 ? ?14.例3求解方程 1 12 3 4 91 x ? 0. x2解方程左端D ? 3 x 2 ? 4 x ? 18 ? 9 x ? 2 x 2 ? 12? x 2 ? 5 x ? 6,由 x2 ? 5 x ? 6 ? 0 得x ? 2 或 x ? 3.§2全排列及其逆序数问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.显然Pn ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2)? 3 ? 2 ? 1 ? n !即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法123，132，213，231，312，321 所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列 i1 i2 ? in的逆序数通常记为 t ( i1i2 ? in ) .奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法设 p1 p2 ? pn 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t 1 ； 再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ; …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 则此排列的逆序数为 t ? t1 ? t 2 ? ? ? t n例1：解：求排列 32514 的逆序数.t (32514) ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ? 1 ? 5练习：求排列 453162 的逆序数.解：t?9§3n 阶行列式的定义一、概念的引入a11 D ? a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 ? a11a22a33 ? a12 a23a31 ? a13a21a32 a33 ? a13 a22 a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32规律：1. 三阶行列式共有6项，即3!项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3是1、2、3的某个排列. 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.所以，三阶行列式可以写成a11 D ? a21 a31a12 a22 a32a13 a23 ? a11a22a33 ? a12 a23a31 ? a13a21a32 a33 ? a13 a22 a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32??p1 p2 p3( ?1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3其中?p1 p2 p3表示对1、2、3的所有排列求和.二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.二、n 阶行列式的定义a11 D? a21 ? a n1 a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann ?p1 p2 ? pn?( ?1)t ( p1 p2? pn ) a1 p1 a2 p2 ? anpn简记作 det( aij ) ，1. n 阶行列式共有 n! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 是1, 2, …, n 的某个排列. 4. 当 p1 p2 ? pn 是偶排列时，对应的项取正号；其中 a ij为行列式D的(i, j)元3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 ? anp（正负号除外），其中 p1 p2 ? pn n当 p1 p2 ? pn 是奇排列时，对应的项取负号.思考题： ?1 ? ?1成立吗？ 答：符号 ?1 可以有两种理解： ?若理解成绝对值，则 ?1 ? ?1 ； ?若理解成一阶行列式，则 ?1 ? ?1.注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 ?1 ? ?1 .例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.? 解： a11a23a32a44 和 a11a23 a34 a42 .例：计算行列式a11 D1 ? 0 0 00 a22 0 00 0 a33 00 0 0 a440 D2 ? 0 0 a41a11 D4 ? a21 a32 a410 0 a32 00 a22 a32 a420 a23 0 00 0 a33 a43a14 0 0 00 0 0 a44a11 D3 ? 0 0 0a12 a22 0 0a13 a23 a33 0a14 a24 a34 a44解：a11 D1 ? 0 0 00 a22 0 00 0 a33 00 0 0 a44? a11a22a33a440 D2 ? 0 0 a410 0 a32 00 a23 0 0a14 0 0 0? ( ?1)t (4321) a14a23a33a41 ? a14a23a33a413? 4 ? 6. 其中 t (4321) ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2a11 D3 ? 0 0 0a12 a22 0 0a13 a23 a33 0a14 a24 a34 a44? a11a22a33a44a11 D4 ? a21 a32 a410 a22 a32 a420 0 a33 a430 0 0 a44? a14a23a33a41四个结论：(1) 对角行列式a11 D? a22 ? ann(2)? a11a22 ?anna1n D? a n1 a2,n?1 ?? (?1)n( n?1) 2a1na2,n?1 ?an1(3)上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）a11 D? 0 ? 0(4)a12 ? a1 n a22 ? a2 n ? 0 0 ? ? ? ? ann ? ? 0 0 ?? a11a22 ?ann ? a11a22 ?ann下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）a11 D? a21 ? an1a22 ?an 2 ? ann思考题x 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 ?1 1 1已知 f ? x ? ?1 3 1，求 x 3的系数.解含 x 3的项有两项，即x f ?x? ? 1 3 1 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 ?1 1 1对应于( ?1) ( ?1)( ?1)t (1234)a11a22a33a44 ? ( ?1)t ?1243? a11a22a34a43 a11a22a33a44 ? x ,3t (1234)t ? 1243 ?a11a22 a34 a43 ? ?2 x 3x 3的系数为－1. 故§4对换一、对换的定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如a1 ? al a b b1 ? bm a1 ? al b a b1 ? bma1 ? al a b1 ? bm b c1 ? cn a1 ? al b b1 ? bm a c1 ? cn备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形. 2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.a1 ? al a b1 ? bm b c1 ? cnm 次相邻对换 m+1次相邻对换 m 次相邻对换 m+1次相邻对换a1 ? al a b b1 ? bm c1 ? cn a1 ? al b b1 ? bm a c1 ? cn a1 ? al b a b1 ? bm c1 ? cn a1 ? al a b1 ? bm b c1 ? cn二、对换与排列奇偶性的关系定理1 证明 对换改变排列的奇偶性. 先考虑相邻对换的情形．t ? ta1 ? ? ? tal ? ta ? t b ? tb1 ? ? ? tbma1 ? al a b b1 ? bm a1 ? al b a b1 ? bmr ? ta1 ? ? ? t al ? rb ? ra ? t b1 ? ? ? t bmt ? ta1 ? ? ? tal ? ta ? t b ? tb1 ? ? ? tbma1 ? al a b b1 ? bm a1 ? al b a b1 ? bmr ? ta1 ? ? ? t al ? rb ? ra ? t b1 ? ? ? t bm注意到除a , b 外，其它元素的逆序数不改变.t ? ta1 ? ? ? tal ? ta ? t b ? tb1 ? ? ? tbma1 ? al a b b1 ? bm a1 ? al b a b1 ? bmr ? ta1 ? ? ? t al ? rb ? ra ? t b1 ? ? ? t bmr 当 a ? b 时， a ? ta ? 1 ， rb ? tb ， r ? t ? 1 .r 当 a ? b 时， a ? ta ， rb ? tb ? 1 ， r ? t ? 1 .因此相邻对换改变排列的奇偶性.既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么a1 ? al a b1 ? bm b c1 ? cn2m+1次相邻对换a1 ? al b b1 ? bm a c1 ? cn因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.证明 由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次 数，而标准排列是偶排列(逆序数为零)，因此可知推论 成立.因为数的乘法是可以交换的，所以 n 个元素相乘的次序是可以任意的，即ai1 j1 ai2 j2 ,? , ain jn ? a1 p1 a2 p2 ? anpn ? a p1 1a p2 2 ? a pn n每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 i1 i2 ? in 与 j j ? j 都同时作一次对换，即 i1 i2 ? in 与 j1 j2 ? jn 1 2 n 同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶 性不变.设对换前行标排列的逆序数为 s，列标排列的逆序数为 t .设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s ? 列标排列的逆序数为 t ? 因为对换改变排列的奇偶性，s? ? s是奇数， t ? ? t 也是奇数. 所以 ( s? ? s ) ? (t ? ? t )是偶数， 即 ( s? ? t ?) ? ( s ? t ) 是偶数. 于是 ( s? ? t ? ) 与 ( s ? t ) 同时为奇数或同时为偶数. 因此，交换 ai1 j1 ai2 j2 , ? , ain jn 中任意两个元素的位置后， 其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. 所以， 在一系列对换之后有( ?1)t ( i1 i2 ?in ) ? t ( j1 j2 ? jn )? ( ?1)t (12?n ) ? t ( p1 p2 ? pn )? ( ?1)t ( p1 p2 ? pn )定理2 n 阶行列式也可定义为D?p1 p2 ? pn?(?1)t ( p1 p2 ? pn )a p1 1a p2 2 ? a pnn定理3 n 阶行列式也可定义为D?i1i2 ?in j1 j2 ? jn?( ?1)t ( i1i2 ?in ) ? t ( j1 j2 ? jn )ai1 j1 ai2 j2 ? ain jn例1 试判断 a14 a23 a31a42 a56 a65 和 ? a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项. 解 a14 a23 a31a42 a56 a65下标的逆序数为t ? 431265 ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 ? 1 ? 6所以a14 a23 a31a42 a56 a65 是六阶行列式中的项.?a32a43a14a51a25a66 行标和列标的逆序数之和t (341526) ? t (234156) ? 5 ? 3 ? 8所以 ? a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式中的项.例2 用行列式的定义计算0 0 Dn ? ? n?1 00 0 0 0? ? ? ?0 2 0 01 0 0 00 0 0 n? ? ? ? ?解 Dn ? ? ?1? a1,n ?1a2,n ? 2 ? an ?1,1annt? ? ?1 ? 1 ? 2 ? ? n ? 1 ? ? nt t? ? ?1 ? n !? ? n ? 2? ? ? n ? 3? ? ? ? 2 ? 1 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? 2Dn ? ? ?1?? n?1?? n? 2?2t ?? n ? 1?? n ? 2 ? ? 21n ? ? ?n!三、小结1. 对换改变排列奇偶性． 2. 行列式的三种表示方法D? D?D?p1 p2 ? pn?(?1)t ( p1 p2? pn ) a1 p1 a2 p2 ? anpn (?1)t ( p1 p2? pn ) a p1 1a p2 2 ? a pnnp1 p2 ? pn?i1i2 ?in j1 j2 ? jn?( ?1)t ( i1i2 ?in )? t ( j1 j2 ? jn ) ai1 j1 ai2 j2 ? ain jn§5行列式的性质一、行列式的性质记 D?a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? an1 an 2 ? anna11 a21 ? an1 a22 ? an 2 ? ? ? a2 n ? ann,D ?Ta12 ? a1n行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.T 若记 D ? det(aij ), D ? det(bij ) ，则bij ? a ji .性质1行列式与它的转置行列式相等,即 D ? D .T性质1证明行列式与它的转置行列式相等.若记 D ? det(aij ), DT ? det(bij ) ，则bij ? aij ? i , j ? 1, 2,?, n ?根据行列式的定义，有DT ?p1 p2 ? pn?( ?1)t ( p1 p2? pn ) b1 p1 b2 p2 ? bnpn?p1 p2 ? pn?( ?1)t ( p1 p2? pn ) a p1 1a p2 2 ? a pnn? D行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.备注：交换第 i 行（列）和第 j 行（列），记作 ri ? rj (ci ? c j ) .验证1 7 5 6 6 2 ? ?196 3 5 8 1 7 5 1 7 5 6 6 21 7 5 3 5 8 ? 196 6 6 2于是6 6 2 ??3 5 8 3 5 8推论 证明如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 互换相同的两行，有 D ? ? D，所以 D ? 0 .性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式.备注：第 i 行（列）乘以 k ，记作 ri ? k (ci ? k ) .验证我们以三阶行列式为例. 记a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 , a31 a32 a33a11 D1 ? ka21 a31a12 ka22 a32a13 ka23 a33根据三阶行列式的对角线法则，有a11 D1 ? ka21 a31a12 ka22 a32a13 ka23 a33? a11 ( ka22 )a33 ? a12 ( ka23 )a31 ? a13 ( ka21 )a32 ? a13 ( ka22 )a31 ? a12 ( ka21 )a33 ? a11 ( ka23 )a32? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? ? k? ? ? a13 a22 a31 ? a12 a21a33 ? a11a23a32 ? ?? kD推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第 i 行（列）提出公因子k，记作 ri ? k (ci ? k ) .性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零．验证 我们以4阶行列式为例.a11 a21a12 a22a13 a23a14 a24a31 a32 a33 a34 ka11 ka12 ka13 ka14?ka11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14? k ?0 ? 0性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：a11 a12 ? b12 a13 D ? a21 a22 ? b22 a23 a31 a32 ? b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 则 D ? a21 a22 a23 ? a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33验证我们以三阶行列式为例.a11 D ? a21 a31a12 ? b12 a22 ? b22 a32 ? b32a13 a23 a 33??p1 p2 p3( ?1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 (a2 p2 ? b2 p2 )a3 p3??p1 p2 p3(?1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3 ?a12 a22 a 32 a13 a33 a11 a31 b12 b22 b32 a13 a23 a 33?p1 p2 p3( ?1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 b2 p2 a3 p3a11 ? a21 a31a23 ? a21性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．备注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作ri ? krj (ci ? kc j ).验证我们以三阶行列式为例. 记a11 a11 a12 a13 D ? a21 a22 a23 , D1 ? a21 a31 a31 a32 a33则 D ? D1 .a12 ? ka13 a22 ? ka23 a32 ? ka33a13 a 23 a33二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 ri ? krj把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值．1 ?3?1 3 0 ?5 ?42 ?7 4 7 10?3 9 ?2 ? 14 ? 101 ?3 ?5 1 6 2?例１ D ? 2 3 41 ?3?1 3 0 ?5 ?42 ?7 4 7 10?3 9 ?2 ? 14 ? 101 ?3 ?5 1 6 2?解D? 2 3 41 0 r2 ? 3r1 2?1 0 02 ?1 4 7 10?3 0 ?2 ? 14 ? 101 ?2 1 6 23 ?5 4 ?41 0 r2 ? 3r1 2?1 0 02 ?1 4 7 10?3 0 ?2 ? 14 ? 101 ? ?? 2 ? ?2 ? 1 6 23 ?5 4 ?4?? 4 ? ?r2 ? 2r11 ?1 0 0 2 02 ?1 0 7?3 0 4 ? 14 ? 101 ? ?? 3 ? ?2 ?1 6 2??3 ?54 ? 4 101 ?12 ?1 0 1 22 1 0 ?1 2?3 0 4 ?5 2?3 ?5 4 0 21 ?2 ?1 3 ?21 3 ?1 ?2 ?2r3 ? 3r1r4 ? 4r10 0 00 2 01 ?1 0 ?20 ?2r2 ? r4?0 0 02 0 0?1 ?12 1 1 ?1 2?3 ?5 ?1 0 21 3 2 ?2 ?2r3 ? r20 ?2 ?0 0 0 0 0 0?1 ?1 2 ? 31 3 0 ?2 2 ? ?? 2 ?r4 ? r30 ?2 1 ?5 ?0 0 0 0 0 0 1 ?1 0 ?1 2 2?1 ?1 2 ? 31 3 2 0 ?4r5 ? 2r30 ?2 1 ?5 ?0 0 0 0 1 ?1 0 ?10 0 0 4 ?6 1 ?1 2 ? 3 1 0 ?2 1 ?5 3 r5 ? 4r4 ? 0 0 1 ? 1 2 ? ??? 2??? 1??? 6? ? 12. 0 0 0 ?1 0 0 0 0 0 ?6?a bb a bb b a? ? ? ?b b b ab b b a例2 计算 n 阶行列式D? b? ? ? ? ? b b b 解 将第 2,3,?, n 列都加到第一列得a ? ?n ? 1?b b a b b b b a b ? ? ? ? a ? ?n ? 1?bD ? a ? ?n ? 1?b ? a ? ?n ? 1?b? ? ? ?1 ? ? a ? ( n ? 1)b ? 1 1 1b a b bb ? b b ? b a ? b b ? a? ? ? ? ?1 ? ? a ? ( n ? 1)b ?b a?bb a?b?b0?0a?b? ? a ? (n ? 1)b? (a ? b)n?1 .a11 ? a1k ? ? 0 b11 ? b1n ? ?b11 ? b1n ? ,例3 设 D ?ak 1 ? akk c11 ? c1k ?a11?? a1 kcn1 ? cnkD1 ? det(a ij ) ? ?bn1 ? bnn? , D2 ? det(bij ) ? ?a k 1 ? a kkbn1 ? bnn证明D ? D1 D2 .证明 对 D1 作运算 ri ? krj ，把 D1 化为下三角形行列式p11设为 D1 ?0 ? pkk ? p11 ??pk 1 ?对 D2 作运算 ci ? kc j ，把 D2 化为下三角形行列式q11设为 D2 ? ?0 ? pnk ? q11 ? qnn .qn 1 ?对 D 的前 k 行作运算 ri ? krj ，再对后 n 列作运算 ci ? kc j ，把 D 化为下三角形行列式p11 ? ? q11 ? ? q n1 ? q nn 0 , pk 1 ? pkk D? c11 ? c1k ? ? c n1 ? c nk故D ? p11 ? pkk ? q11 ? qnn ? D1 D2 .三、小结行列式的6个性质(行列式中行与列具有同 等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成 立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利 用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得 行列式的值．§6行列式按行(列)展开?对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. ?本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式.一、引言a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 ? a11a22 a33 ? a12 a23 a31 ? a13 a21a32 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22a31 a33 a13? a11 ? a22a33 ? a23a32 ? ? a12 ? a23a31 ? a21a33 ? ? a13 ? a21a32 ? a22a31 ?? a11结论 思考题a22 a32a23 a33? a12a21 a31a23 a33? a13a21 a31a23 a33三阶行列式可以用二阶行列式表示. 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？在n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 把 Aij ? ? ?1? 例如i? jj 列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素 a ij的余子式，记作 M ij .M ij 称为元素 a ij 的代数余子式．a11 D? a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24 a34 a44a11 M 23 ? a31 a41A23 ? ? ?1?a12 a32 a422? 3a14 a34 a44M 23 ? ? M 23结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.引理一个n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 a ij外都为零，那么这行列式等于 a ij与它的代数余子式的乘积，即 D ? aij Aij ．a11例如 D ?a12 a22 0 a423? 3a13 a23 a33 a43a14 a24 0 a44a21 0 a41? a33 A33 ? ? ?1?3? 3a33 M 33? ? ?1 ?a11 a33 a21 a41a12 a22 a42a14 a44a11 a41a12 a22 a42a14 a24 a44a24 ? a33 a21分析当 a ij 位于第1行第1列时,a11 D? a21 ? a n10 ??0 ?a22 ? a2 n an 2 ? ann即有 D ? a11 M11 .（根据P.14例10的结论）又 A11 ? ? ?1?1? 1M 11 ? M 11 ,从而 D ? a11 A11 .下面再讨论一般情形.我们以4阶行列式为例.a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 0 a34 a41 a42 a43 a44 0 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44r2 ? r3? ( ?1)a11 a12 a13 a14 0 0 0 a34 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44 0 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44r1 ? r2? ( ?1)2? ( ?1)(3?1)思考题：能否以r1 ? r3 代替上述两次行变换？思考题：能否以 r1 ? r3 代替上述两次行变换？a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 0 a34 a41 a42 a43 a44 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 0 a34 a41 a42 a43 a44答：不能.r2 ? r3 r1 ? r2? ( ?1)20 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44r1 ? r3? ( ?1)0 0 0 a34 a21 a22 a23 a24 a11 a12 a13 a14 a41 a42 a43 a44? ( ?1)(3?1)0 0 0 a34 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a41 a42 a43 a44c3 ? c4 c2 ? c3 c1 ? c2? ( ?1)(3?1) ( ?1)3a34 0 0 0 a14 a11 a12 a13 a24 a21 a22 a23 a44 a41 a42 a43? ( ?1)( 3 ?1)( ?1)(4 ?1)a34 0 0 0 a14 a11 a12 a13 a24 a21 a22 a23 a44 a41 a42 a43a12 a22 a42 a13 a23 a43a34 被调换到第1行，第1列a11 a21 0 a41 a12 a22 0 a42 a13 a23 0 a43 a14 a24 a34 a44? (?1)3? 4? 2a11 a41a34 a21? ( ?1)3? 4 a34 M 34 ? a34 A34二、行列式按行（列）展开法则定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即D ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain ? i ? 1, 2,?, n ?a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 ? a33a11 ? 0 ? 0 0 ? a12 ? 0 0 ? 0 ? a13 a21 a31 a11 ? a21 a31 0 a22 a32 0 a33 a22 a32 0 a31 a12 a22 a32 a23 ? a21 a23 a33 0 a33 0 a31 0 a22 a32 a13 a23 a33 a23 ? a21? a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13同理可得 ? a21 A21 ? a22 A22 ? a23 A23? a31 A31 ? a32 A32 ? a33 A33例（P.12例7续）3 D? ?5 21 ?1 1 0251 ?1 1 0 1 31 1 2 01 0 03 ?4 c1 ? ?? 2?c3 ?11 1 ?1 c4 ? c3 0 3 ?35 1 1 0 1 ?13 ?11 ?5? ( ?1)3? 3?5 ?5?11r2 ? r15 ?6?5 ?5?5 ?5 0? ( ?1)1? 3?62?5 ?5??820 ?5? 40.例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1 x12 Dn ? x1 ? n x1 ?11 x22 x2? ? ?12 xn ? ? ( xi ? x j ). (1) n? i ? j ?1 ?xn?n n x2 ?1 ? xn ?1证明用数学归纳法D2 ?1 x11 x2? x2 ? x1 ?2? i ? j ?1?( xi ? x j )所以n=2时(1)式成立.假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 x1倍：1 0 Dn ? 0 ? 01 x2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 ) ?n x2 ? 2 ( x2 ? x1 )1 x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 ) ?? ? ?1 xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?n xn ? 2 ( xn ? x1 )n x3 ? 2 ( x3 ? x1 ) ?按照第1列展开，并提出每列的公因子 ( xi ? x1 ) ，就有1 ? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 ) x2 ?n x2 ? 21 x3 ?? ?1 xn ?n?1阶范德蒙德行列式n n x3 ? 2 ? xn ? 2? Dn ? ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 )?( xn ? x1 ) ?n? i ? j ? 2?( xi ? x j )n? i ? j ?1?( xi ? x j ).推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai 1 Aj 1 ? ai 2 Aj 2 ? ? ? ain Ajn ? 0, i ? j .分析 我们以3阶行列式为例.a11 a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33把第1行的元素换成第2行的对应元素，则a 21 a 31a 22 a 32a 23 a 33a21 A11 ? a22 A12 ? a23 A13 ? a 21 a 22 a 23 ? 0.定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain ? D ? i ? 1, 2,?, n ?推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai 1 Aj 1 ? ai 2 Aj 2 ? ? ? ain Ajn ? 0, i ? j .综上所述，有? D, i ? j a i 1 A j 1 ? a i 2 A j 2 ? ? ? a i n A jn ? ? ? 0, i ? j同理可得? D, i ? j a1i A1 j ? a2 i A2 j ? ? ? ani Anj ? ? ? 0, i ? j5 1例 计算行列式 D ? 03 ?1 2 0 7 ?2 2 2 5 2 3 1 0 3 5 052? 50 ?4 ?1 4 0 0 5 1解3 ?1 2 0 7 3 1 0 ? ? ?1? 3 5 0 2 5 223?1 2 3 3 1 5D ? 0 ?2 0 20 ?2 0 20 ?4 ?1 4 00 ?4 ?1 45 ? ? ? 1?2? 53?1 2 3 33 6 1 620 ?2 0?21 5?2 23 31 50 ? 4 ?1 4 2? ?2 ? 5 ?4 ?1 4r2 ? ( ?2)r1r3 ? r1?10 0 0?7 2 ? ?10 ? ( ?2)?7 2 6 6? 20 ? (?42 ? 12) ? ?1080.3 ?5例 设 D?2 11 3, D 的 ( i , j ) 元的余子式和1 ?11 30 ?52 ?4 ?1 ?3代数余子式依次记作 M ij 和 Aij ，求A11 ? A12 ? A13 ? A14 及 M11 ? M 21 ? M 31 ? M 41 .分析 利用a11 a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24 a34 a44a11 A11 ? a12 A12 ? a13 A13 ? a14 A14 ?1解1 1 31 11 3A11 ? A12 ? A13 ? A14 ?1 ?10 ?52 ?4 ?1 ? 3 1r4 ? r3 r3 ? r11 1 2 01 2 01 ?21 0 ?51 ? ?21 ?5 2 2 01 ?1 0c2 ? c11 ?11 2 ?5 ?2 0 1 0 2 ? 02 ?5 0 2? 4.M11 ? M 21 ? M 34 ? M 41 ? A11 ? A21 ? A31 ? A411 ?5 ? ?1 1 1 3 2 1 1r4 ? r31 ?5 2 ?1 1 3 11 3 00 ?5 31 0 ?5?1 ?4 ?1 ?30 ?1 01 2 1 11 3? ? ?1 0 ?5r1 ? 2r3?1 0 ?5 ? ?1 0 ?5 ? 0. 1 1 3§7克拉默法则? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 二元线性方程组 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? b2若令D?a11 a21a12 a22 D2 ?(方程组的系数行列式)D1 ?b1 b2a12 a22a11 a21b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为b1a22 ? a12b2 D1 x1 ? ? a11a22 ? a12a21 D x2 ? a11b2 ? b1a21 D ? 2 a11a22 ? a12a21 D一、克拉默法则如果线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ???????????? ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn ? a11的系数行列式不等于零，即 D ?(1)a12 ? a1n a22 ? a2 n an 2 ? ann ?0a21 a n1???????那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成Dn D1 D2 D2 x1 ? , x2 ? , x3 ? , ? , xn ? . D D D D(2)其中D j是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 阶行列式，即 na11 ? a1, j ?1 Dj ? ? ? a n1 ? a n , j ? 1b1 ? bna1, j ?1 ? a1n ? ? an , j ?1 ? ann定理中包含着三个结论：?方程组有解；（解的存在性） ?解是唯一的；（解的唯一性）?解可以由公式(2)给出.这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论.关于克拉默法则的等价命题设? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ???????????? ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn ?(1)定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.例解线性方程组? 2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? x4 ? 8, ? x ? 3x ? 6 x4 ? 9, ? 1 2 ? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 ? ?5, ? ? x1 ? 4 x2 ? 7 x3 ? 6 x4 ? 0. ?解2 0 11 2 4?5 0 ?1 ?71 ?6 2 607 2 7?5 13 0 ?1 ?6 2D?1 ?3r1 ? 2r21 ?3 0 0r4 ? r2?7 127 ?5 13 ? ? 2 ?1 2c1 ? 2c2?3 ?5 ? 0 ?137 ?7 12 c3 ? 2c20 ? 27 ? 0 ?7 ?7 ?28 D1 ? 9 ?5 0 ? 811 ?3 2 4?5 0 ?1 ?71 ?6 2 62 D2 ? 1 18 9 0?5 0 ?71 ?6 2 60 ?5 ?1= ? 1082 D3 ? 0 1 ? ?271 2 48 9 ?5 01 ?6 2 6 D4 ?2 0 1 ? 271 2 4?5 0 ?78 9 01 ?31 ?3?1 ?5D1 81 ? x1 ? ? ? 3, D 27D3 ?27 x3 ? ? ? ?1, D 27D2 ?108 x2 ? ? ? ?4, D 27D4 27 x4 ? ? ? 1. D 27? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 ? ? ???????????? ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn ?常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则 称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个 解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解.齐次线性方程组的相关定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D ? 0 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必 为零. 备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零练习题：问 ? 取何值时，齐次方程组?? 1 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 4 x3 ? 0, ? ? 2 x1 ? ? 3 ? ? ? x2 ? x3 ? 0, ? x ? x ? ? 1 ? ? ? x ? 0, 1 2 3 ?有非零解？1? ?解?2 3?? 14 1 1? ? ? ? ? ( ? ? 2)( ? ? 3)D?2 1如果齐次方程组有非零解，则必有 D ? 0 .23 所以 ? ? 0、、 时齐次方程组有非零解.思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.三、小结1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理论推导．第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换B一、矩阵概念的引入例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A 城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.C城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地DA始发地A B C D√ √√ √B√ √CD其中√ 表示有 航班√AA B C D√ √√ √B√ √CD√为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：01 1 01 0 0 11 1 000 01 0这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 a 24 a 34其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：b11 b21 b31 b41b12 b22 b32 b42其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．二、矩阵的定义由 m×n 个数 aij ( i ? 1, 2,? , j ? 1, 2,? , n) 排成的 m 行 n 列的数表 a11 a12 ? a1 n a21 a22 ? a2 n ? ? ? am 1 am 2 ? a mn称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作? a11 ? ? a21 A? ?? ? ? am 1a12 a22 ? am 1? a1 n ? ? ? a2 n ? ? ?? ? ? amn ?? a11 ? ? a21 A? ?? ? ? am 1a12 a22 ? am 1? a1n ? ? ? a2 n ? ? ?? ? ? amn ?简记为 A ? Am?n ? (aij )m?n ? (aij )这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.行列式a11 a21 ? a n1 ? a12 ? ? a1 n ? ( ?1)t ( p1 p2 ? pn ) a1 p1 a2 p2 ? anpn矩阵? a11 ? ? a21 ?? ? ? am 1 a12 a22 ? am 1 ? a1n ? ? ? a2 n ? ? ?? ? ? amn ?a22 ? a2 n an 2 ? annp1 p2 ? pn??行数等于列数 ?共有n2个元素?行数不等于列数 ?共有m×n个元素 ?本质上就是一个数表det( aij )( aij )m? n三、特殊的矩阵1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An .2. 只有一行的矩阵 A ? (a1 , a2 ,? , an ) 称为行矩阵(或行向量) .? a1 ? ? ? ? a2 ? 称为列矩阵(或列向量) . 只有一列的矩阵 B ? ? ? ? ? ? ? an ?3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：O2? 2 ? 0 0? ?? ? 0 0? ?O1?4 ? ? 0 0 0 0 ?? ?1 0 ? ? 0 ?2 4. 形如 ?? ? ? ?0 00? ? ? 0? 记作 的方阵称为对角阵． ? ?? ? A ? diag(?1 , ?2 ,? , ?n ) ? ?n ? ??1 0 ? 0? ? ? ?0 1 ? 0? 特别的，方阵 ? ? ? ? ? ? 称为单位阵． 记作 E n ． ? ? ?0 0 ? 1?同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.? 1 2 ? ? 14 3 ? ? ? ? ? 例如 ? 5 6 ? 与? 8 4 ? 为同型矩阵. ? 3 7? ? 3 9? ? ? ? ?2. 两个矩阵 A ? (aij ) 与 B ? (bij )为同型矩阵，并且对应元素相等，即 aij ? bij ( i ? 1, 2,? , j ? 1, 2,? , n)则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .?0 ? ?0 例如 ? 0 ? ?00 0 0? ? 0 0 0? 0 0 0? ? 0 0 0?? ?00 0 0? .注意：不同型的零矩阵是不相等的.四、矩阵与线性变换n 个变量 x1 , x2 ,? , xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,? , ym 之间的 关系式 ? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ??? a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ????????? ? ? ym ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn . ?表示一个从变量 x1 , x2 ,? , xn 到变量 y1 , y2 ,? , ym 线性变换，其中 aij 为常数.? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ??? a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ????????? ? ? ym ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn . ???? a11 ? ? a21 A? ?? ? ? am 1 a12 a22 ? am 1 ? ? ? ? a1n ? ? a2 n ? ?? ? amn ?系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例? y1 ? x1 , ?y ? x , ? 2 2 线性变换 ? 称为恒等变换. ? ??? ? yn ? x n ?? y1 ? x1 , ? y1 ?y ? x , ? ? 2 ? y2 2 ?? ? ? ??? ? ? yn ? x n ? y ? ? n? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? ? ? 0 ? xn , ? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ? 0 ? xn , ??? ? 0 ? x1 ? 0 ? x2 ? ? ? 1 ? xn对应?1 0 ? 0? ? ? 0 1 ? 0 ? 单位阵 En ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0 0 ? 1?例2阶方阵? 1 0? ? ? 0 0? ?y投影变换P ( x, y)对应? x1 ? x , ? ? y1 ? 0.0P1 ( x1 , y1 )例2阶方阵? cos ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? cos ? ?x对应? x1 ? cos ? x ? sin ? y , ? ? y1 ? sin ? x ? cos ? y .yP1 ( x1 , y1 )以原点为中心逆时针 旋转? 角的旋转变换0??P ( x, y)x§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：a11 a21 a31 c11 c21 c31a12 a22 a32 c12 c22 c32a13 a23 a33 c13 c23 c33a14 a24 a34 c14 c24 c34其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量? a11 a12 ? ? a21 a22 ?a ? 31 a32a13 a23 a33a14 ? ? a24 ? a34 ? ??? c11 ? ? c21 ?c ? 31c12 c22 c32c13 c23 c33c14 ? ? c24 ? c34 ? ?a11 c11 c12 ? a11?? c11 aa12?? c12 aa13??cc13 aa14??cc14 ? 12 13 13 14 14 ? ? ? ? a21?? c21 aa22?? c22 aa23??cc23 aa24??cc24 ? a21 c21 c22 22 23 23 24 24 ? a ?? c aa ?? c aa ??cc aa ??cc ? a ?
34 3434 ?一、矩阵的加法定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为? a11 ? b11 ? ? a21 ? b21 A? B ? ? ? ? ? am 1 ? bm 1a12 ? b12 a22 ? b22 ? am 2 ? bm 2a1n ? b1n ? ? ? a2 n ? b2 n ? ? ? ? ? ? amn ? bmn ? ?说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 ? b12 a13 a21 a22 a23 ? a21 b22 a23 ? a21 a22 ? b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 ? b32 a33a11 12 bb 2 ? a11 a12 a13 ? ? a11 b12 a13 ? ? 2a11 aa12??
? ? ? ? ? ? ? ? ? a21 22 bb 23 ? a21 a22 a23 ? ? ? a21 b22 a23 ? ? ? 2a21 aa22??
? ? a a a ? ? a b a ? ? 2a aa ?? b a2a? ? 33 ? 31 32 33 ? ? 31 32 33 ? ? a b ?矩阵加法的运算规律?a, b, c ? R设 A、B、C 是同型矩阵交 换 a?b ? b?a 律 结 合 ( a ? b) ? c ? a ? (b ? c ) 律A? B ? B ? A( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )其 他设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然A ? (? A) ? 0, A ? B ? A ? (? B)例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：b11 b21 b31 b41b12 b22 b32 b42其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．设工厂向某家商店发送四种货物各 ? 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量．解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量? b11 b12 ? ? ? b11 ? b12 ? ?b b22 ? ? ? b21 ? b22 ? 21 22 ? 22 ? ? 21 ? ? 21 ? ? ? b31 b32 ? ? ? b31 ? b32 ? 31 32 31 32 ? ? ? ? ? b41 b42 ? ? ? b41 ? b42 ? 41 42 41 42其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．二、数与矩阵相乘定义：数 ? 与矩阵 A 的乘积记作 ? A 或 A ? ，规定为? ? a11 ? ? ? a21 ? A ? A? ? ? ? ? ? ? am 1? a2 1 ? a2 2?? am 1? ?a n ? 1 ? ? ?a n ? 2 ? ? ? ? ? ? amn ?数乘矩阵的运算规律?a, b, c ? R设 A、B是同型矩阵，? , ? 是数(?? ) A ? ? ( ? A) (? ? ? )A ? ? A ? ? A结 合 (ab)c ? a(bc ) 律 分 (a ? b) ? c ? ac ? bc 配 c ? (a ? b) ? ca ? cb 律? ( A ? B) ? ? A ? ? B备 注矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较a11 a12 a13 ? a11 ? a12 ? a13 a11 a12 ? a13 ? a21 a22 a23 ? a21 a22 a23 ? a21 a22 ? a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 ? a33? a11 a12 a13 ? ? ? a11 ? a12 ? a13 ? ? ? ? ? ? ? a21 a22 a23 ? ? ? ? a21 ? a22 ? a23 ? ? a a a ? ? ?a ?a ?a ? 32 33 ? ? 31 32 33 ? ? 31例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 a 24 a 34其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：b11 b21 b31 b41b12 b22 b32 b42其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解： a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 a24 a34b11 b21 b31 b41b12 b22 b32 b42其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是c11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1k bk 1 k ?1 b21 b31 b41 b11 c12 ? a11b12 ? a12b22 ? a13b32 ? a14b42 ? ? a1k bk 2k ?1 4a11a12a13a144一般地，cij ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ai 3b3 j ? ai 4b4 j ? ? aik bkjk ?14(i ? 1, 2, 3; j ? 1, 2)c12 ? ? c22 ? c32 ? ?可用矩阵表示为? a11 ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33? b11 a14 ? ? ? ? b21 a24 ? ? ? ? b31 a34 ? ? b41b12 ? ? ? c11 b22 ? ? ? ? c21 b32 ? ? ? ? c31 b42 ?一、矩阵与矩阵相乘定义：设 A ? (aij )m? s ，B ? (bij ) s?n ，那么规定矩阵 A 与矩 阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C ? (cij )，其中scij ? ai 1b1 j ? ai 2 b2 j ? ? ? ais bsj ? ? aik bkjk ?1(i ? 1, 2,? j ? 1, 2,?, n)并把此乘积记作 C = AB．? 1 0 ?1 2 ? ? ? 例：设 A ? ? ?1 1 3 0 ? , ? 0 5 ?1 4 ? ? ?? 0 ? ? 1 B? ? 3 ? ? ?14? ? 2 1? 1 ?1 ? ? 2 1? 3? ?5 6 7 ? ? ? 则 AB ? ? 10 2 ?6 ? ? ?2 17 10 ? ? ?知识点比较a11 a21 b11 b12 b13 a12 ? b21 b22 b23 有意义. a22 b31 b32 b33? a11 ? ? a21? b11 b12 b13 ? a12 ? ? ? ? ? ? b21 b22 b23 ? 没有意义. a22 ? ? b31 b32 b33 ? ? ?只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时， 两个矩阵才能相乘.? 3? ? ? 1 2 3 ? ? 2 ? ? ? 10 ? ? ? 1? ? ?? 3? ? 3 6 9? ? ? ? ? ? 2 ? ?1 2 3? ? ? 2 4 6 ? ?1? ? 1 2 3? ? ? ? ?例P.35例54 ? ? ?2 4 ? ? 2 ? ?16 ?32 ? ? ? ? ? ?? ? 16 ? 2? 2 ? 1 ?2 ? 2?2 ? ?3 ?6 ? 2?2 ? 8 4 ? ? ?2 4 ? ? 2 ? 0 0? ? ? ? ? ?? ? ?3 ?6 ? 2?2 ? 1 ?2 ? 2?2 ? 0 0 ? 2? 2 ?结论： 1. 矩阵乘法不一定满足交换律. 2. 矩阵 A ? O, B ? O ，却有 AB ? O ， 从而不能由 AB ? O 得出 A ? O 或 B ? O 的结论．矩阵乘法的运算规律(1) 乘法结合律( AB)C ? A( BC )(2) 数乘和乘法的结合律 ? ? AB ? ? (? A) B （其中 ? 是数）(3) 乘法对加法的分配律A( B ? C ) ? AB ? AC ( B ? C ) A ? BA ? CA(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即Em Am?n ? Am?n En ? A纯量阵不同 于对角阵推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 ?E 与任何 同阶方阵都是可交换的.(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义Ak ? ? ?? AA? A ? ?kk l k ?l k l kl 显然 A A ? A , (A ) ? A思考：下列等式在什么时候成立？( AB )k ? Ak B k ( A ? B )2 ? A2 ? 2 AB ? B 2 ( A ? B )( A ? B ) ? A2 ? B 2A、B可交换时成立四、矩阵的转置定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT . 例? 1 2 2? A?? ?, ? 4 5 8?? 1 4? ? ? AT ? ? 2 5 ? ; ? 2 8? ? ?B ? ? 18 6 ? ,? 18 ? B ? ? ?. ?6?T转置矩阵的运算性质(1) ( AT )T ? A; (2) ( A ? B)T ? AT ? BT ;(3) (? A)T ? ? AT ;(4) ( AB )T ? BT AT .? 1 7 ?1 ? ? 2 0 ?1 ? T ? ? A?? ? , B ? ? 4 2 3 ? , 求 ? AB ? . ?1 3 2 ? ?2 0 1 ? ? ? 解法1 ? 1 7 ?1 ? ? 2 0 ?1 ? ? ? ? AB ? ? ?? 4 2 3 ? ? 1 3 2 ?? 2 0 1? ? ? ? 0 17 ? ? 0 14 ?3 ? ? ? ?? T ?, ? ( AB ) ? ? 14 13 ? . 17 13 10 ? ? ? ?3 10 ? ? ?例：已知解法2( AB )T ? BT AT? 1 4 2 ? ? 2 1 ? ? 0 17 ? ? ?? ? ? ? ? ? 7 2 0 ? ? 0 3 ? ? ? 14 13 ? . ? ?1 3 1 ? ? ?1 2 ? ? ?3 10 ? ? ?? ? ? ?定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A ? AT ，即aij ? aji那么 A 称为对称阵.?i ,j? 1,2, ?n ,?如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵.? 12 6 1 ? ? ? A?? 6 8 0 ? ?1 0 6? ? ?对称阵? 0 ?6 1 ? ? ? A?? 6 0 7 ? ? ?1 ?7 0 ? ? ?反对称阵例：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.证明：H T ? ( E ? 2 XX T )T ? E T ? (?2 XX T )T ? E ? 2( XX T )T ? E ? 2( X T )T X T ? E ? 2 XX T ? H从而 H 是对称阵．HH T ? H 2 ? ( E ? 2 XX T )2 ? E 2 ? 4 XX T ? ( ?2 XX T )2T T T ? E ? 4 XX T ? 4 XX T XX T ? E ? 4 XX ? 4 X ( X X ) X? E ? 4 XX T ? 4 XX T ? E五、方阵的行列式定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的 行列式，记作|A|或detA.运算性质(1) AT ? A ;(2) ? A ? ? n A ;? AB ? BA .(3) AB ? A B ;证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵，假设 A = (aij)n×n，B = (bij)n×n .我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式a11 a21 D? a31 ?1 0 0 a12 a22 a32 0 ?1 0 a13 a23 a33 0 0 0 0 0 b11 b21 0 0 0 b12 b22 b32 0 0 0 b13 b23 b33?| A | ? | B |?1 b31a11 a21 a31 ?1 0 0a12 a22 a32 0 ?1 0a13 a23 a33 0 00 0 0 b11 b210 0 0 b12 b22 b32a110 0 0 b13 b23 b33a12 a13 a23 a33 0 0 ?1c4 ? b11c1 a a22 21 c5 ? b12c1 a a32 31 c6 ? b13c1 ?1 0a11a12a13 a23 a33 0 0 ?1a11b11 a21b11 a31b11 0 b21 b31a11b12 a21b12 a31b12 0 b22 b32a11b13 a21b13 a31b13 0 b23 b33?1 b310 0 a11b11 ? a12b21 a21b11 ? a22b21 a31b11 ? a32b21 0 0 b31?1 0c4 ? b21c2 a a22 21 c5 ? b22c2 a a32 31 c6 ? b32c2 ?1 0a11b12 ? a12b22 a21b12 ? a22b22 a31b12 ? a32b22 0 0 b32a11b13 ? a12b23 a21b13 ? a22b23 a31b13 ? a32b23 0 0 b330 0?1 0a11 a21 a31 ?1 0 0a12 a22 a32 0 ?1 0a13 a23 a33 0 0 ?1a11b11 ? a12b21 a21b11 ? a22b21 a31b11 ? a32b21 0 0 b31a11b12 ? a12b22 a21b12 ? a22b22 a31b12 ? a32b22 0 0 b32a11b13 ? a12b23 a21b13 ? a22b23 c4 ? b31c3 a31b13 ? a32b23 c5 ? b32c3 c6 ? b33c3 0 0 b33a11 a21 a31 ?1 0 0a12 a22 a32 0 ?1 0a13 a23 a33 0 0 ?1a11b11 ? a12 b21 ? a13 b31 a21b11 ? a22 b21 ? a23b31 a31b11 ? a32 b21 ? a33b31 0 0 0a11b12 ? a12 b22 ? a13 b32 a21b12 ? a22b22 ? a23b32 a31b12 ? a32b22 ? a33b32 0 0 0a11b13 ? a12b23 ? a13b33 a21b13 ? a22b23 ? a23b33 a31b13 ? a32b23 ? a23 b33 0 0 0a11 a21 a31 ?1 0 0a12 a22 a32 0 ?1 0a13 a23 a33 0 0 ?13a11b11 ? a12 b21 ? a13 b31 a21b11 ? a22 b21 ? a23b31 a31b11 ? a32 b21 ? a33b31 0 0 0a11b12 ? a12 b22 ? a13 b32 a21b12 ? a22b22 ? a23b32 a31b12 ? a32b22 ? a33b32 0 0 0a11b13 ? a12b23 ? a13b33 a21b13 ? a22b23 ? a23b33 a31b13 ? a32b23 ? a23 b33 0 0 0令 cij ? ? aik bkj ，则 C = (cij)= AB ．k ?1a11 a21 ? a31 ?1 0 0a12 a22 a32 0 ?1 0a13 a23 a33 0 0 ?1c11 c21 c31 0 0 0c12 c22 c32 0 0 0c13 c23 c33 0 0 0r1 ? r4?1 0 ( ?1)30 ?1 0 a12 a22 a320 0 ?1 a13 a23 a330 0 0 c11 c21 c310 0 0 c12 c22 c320 0 0 c13 c23 c33r2 ? r5 r3 ? r60 a11 a21 a31?1 0 ? 0 a11 a21 a310 ?1 0 a12 a22 a320 0 ?1 a13 a23 a330 0 0 c11 c21 c310 0 0 c12 c22 c320 0 0 c13 c23 c33? ? | ? E3 | ? | C | ?| C | ?| AB |从而 AB ? A B ．定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵? A11 ? ? ? A12 A ? ?? ? ? A1nA1 2 A2 2 ? A2 n? A1n ? ? ? A2 ? n ? ?? ? ? Ann ?称为矩阵 A 的伴随矩阵.AA? ? A? A ? A E . 性质元素 a ij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列? ? 性质 AA ? A A ? A E .证明? a11 ? ? ? a21 AA ? ?? ? ? am 1a12 a22 ? am 1? a1n ? ? A11 ?? ? a2 n ? ? A12 ? ? ?? ? ?? ? amn ? ? A1nA21 ? An1 ? ? A22 ? An 2 ? ? ? ?? ? A2 n ? Ann ??| A | 0 ? ? 0 | A| ? ?? ? ? 0 ? 00 ? ? ? 0 ? ?| A | E ? ?? ? ? ? | A |? ?六、共轭矩阵当 A ? (aij )为复矩阵时，用 a ij 表示 a ij 的共轭复数， 记 A ? (aij ) ， A称为 A 的共轭矩阵. 运算性质 （设A，B 为复矩阵，? 为复数，且运算都是可行的）：?1? A ? B ? A ? B; ? 2 ? ? A ? ? A; ? 3 ? AB ? A B.§3逆矩阵?矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.?矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？?这就是本节所要讨论的问题.?这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有An En ? En An ? An从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得AB ? BA ? E这里 E 是 n 阶单位矩阵. ?根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. ?对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 .下面要解决的问题是： ?在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ ?如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？* * 结论：AA ? A A ?| A | E，其中? a11 ? ? a21 A? ?? ? ? a n1a12 ? a1n ? ? a22 ? a2 n ? ? ? ?? ? an 2 ? ann ?? A11 ? * ? A12 A ? ?? ? ? A1nA21 ? An1 ? ? A22 ? An 2 ? ? ? ?? ? A2 n ? Ann ?元素 a ij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列定理：若| A |? 0 ，则方阵A可逆，而且1 * A ? A. | A|?11 推论：若| A |? 0 ，则 | A |? . | A|?1?a b? 例：求二阶矩阵 A ? ? ? 的逆矩阵. ?c d? 1 ? d ?b ? A ? ? ? ad ? bc ? ? c a ??1? 2 2 1? ? ? 例：求3阶方阵 A ? ? 3 1 5 ? 的逆矩阵. ? 3 2 3? ? ?解：| A | = 1， M 11 ? ?7, M 12 ? ?6, M 13 ? 3,M 21 ? 4, M 22 ? 3, M 23 ? ?2, M 31 ? 9, M 32 ? 7, M 33 ? ?4,则? A11 1 * ? ?1 * A ? A ? A ? ? A12 | A| ?A ? 13 ? M 11 ? ? ? ? M 12 ? M ? 13 ? M 21 M 22 ? M 23A21 A22 A23A31 ? ? A32 ? A33 ? ?M 31 ? ? ?7 ?4 9 ? ? ? ? M 32 ? ? ? 6 3 ?7 ? ? M 33 ? ? 3 2 ?4 ? ? ? ?| A |? 0此时，称矩阵A 为非奇异矩阵方阵A可逆1 * A ? A | A|?1定理：若方阵A可逆，则 | A |? 0 ．容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果AB ? E ,那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.A 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A?1、 T 、? A(? ? 0) 与AB也可逆，且( A?1 )?1 ? A, ( AT )?1 ? ( A?1 )T ,(? A) ??11?A?1 ,( AB )?1 ? B ?1 A?1 .? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ??? a x ? 21 1 22 2 2n n 线性变换 ? 2 ? ? ? yn ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ?的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? x 2 ? , Y ? ? y2 ? X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xn ? ? yn ?则上述线性变换可记作 Y = AX .? 2 2 1? ? ? 例：设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵 A ? ? 3 1 5 ? ? 3 2 3? ? ? ? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? X ? ? x2 ? , Y ? ? y2 ? , 记 ?x ? ?y ? ? 3? ? 3?则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵.? ?7 ?4 9 ? ? ? 3 ?7 ? ，于是 X ? A?1Y ，即 已知 A?1 ? ? 6 ? 3 2 ?4 ? ? ?? x1 ? ?7 y1 ? 4 y2 ? 9 y3 , ? ? x2 ? 6 y1 ? 3 y2 ? 7 y3 , ?x ? 3y ? 2y ? 4y . 1 2 3 ? 3§4矩阵分块法前言?由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传 的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借助WINRAR把文件分块，依次上传.家具的拆卸与装配??问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作 称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.? a11 ? A ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a 23 a 33a14 ? ? ? A11 a 24 ? ? ? ? ? A21 a 34 ?A12 ? ? A22 ?这是2阶 方阵吗？思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？? A11 ? ? ? A12 A ? ?? ? ? A1n A21 ? An1 ? ? A22 ? An 2 ? ? ? ?? ? A2 n ? Ann ?答：不是．伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不 是矩阵．问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法， 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算， 体现了化整为零的思想.分块矩阵的加法? a11 a12 ? A11 A ? ? a21 a22 ?a Aa ? 31 21 32 a13 a14 ? ? b11 b12 A12 ? ? B11 a23 a24 ? , B ? ? b21 b22 ?b B b a33A22a34 ? ? ? 31 21 32 b13 b14 ? B12 ? b23 b24 ? b33B22b34 ? ?? a11 ? b11 a12 ? b12 A11 ? B11 ? A ? B ? ? a21 ? b21 a22 ? b22 ? a ? A ?a ? b 32 ? 31 b31 B21 32 21a13 ? b13 a14 ? b14 ? A12 ? B12 ? a 23 ? b23 a 24 ? b24 ? a33 ?A22 ? B34 ? b34 ? b33 a 22 ?若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即? A11 ? A1r ? ? B11 ? B1 r ? ? ? ? ? A ? ? ? ? ? ?, B ? ? ? ? ? ? ?A ? A ? ?B ? Bsr ? sr ? ? s1 ? s1 ? ? A11 ? B11 ? A1r ? B1r ? ? ? A? B ? ? ? ? ? ? ?A ?B ? Asr ? Bsr ? s1 ? s1 ?形式上看成 是普通矩阵 的加法！则有分块矩阵的数乘? a11 a12 ? A11 A ? ? a21 a22 ?a A a ? 31 21 32 a13 a14 ? A12 ? a 23 a 24 ? A a 33 22 a 34 ? ?? ? a11 ? a12 ? A11 ? ? A ? ? ? a21 ? a22 ? ? a ? A? a ? 31 21 32? a13 ? a14 ? ? A12 ? ? a23 ? a24 ? ? a? A22 a34 ? ? ? 33? A11 ? ? ? 若? 是数，且 A ? ? ? ?A ? ? s1A1 r ? ? ? ? Asr ? ?则有? ? A11 ? ? A1r ? ? ? ?A? ? ? ? ? ? ??A ? ?A ? s1 sr ? ?形式上看成 是普通的数 乘运算！分块矩阵的乘法m1 ? m 2 ? ? ? m s ? m l1 ? l 2 ? ? ? l t ? l n1 ? n2 ? ? ? nr ? n一般地，设 A为m?l 矩阵，B为l ?n矩阵 ，把 A、B 分块如下： l1 l2 ? lt n1 n2 ? nrm1 ? A11 ? m2 ? A21 A? ? ? ? ? ms ? As1 A12 ? A22 ? As 2 A1 t ? l1 ? B11 ? ? ? A2 t ? l2 ? B21 , B? ? ? ?? ? ? ? ? Ast ? lt ? Bt 1 B12 ? B1 r ? ? B22 ? B2 r ? , ? ? ? ? Bt 2 ? Btr ?? C11 C12 ? C1 r ? t ? ? ? C 21 C22 ? C2 r ? , C ij ? ? Aik Bkj C ? AB ? k ?1 ? ? ? ? ? ? ? ( i ? 1,? , j ? 1,? , r ) ? C s1 C s 2 ? C sr ?按行分块以及按列分块m?n 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作? iT ? (ai 1 , ai 2 ,? , ain )? a1 j ? ? ? ? a2 j ? 若将第 j 列记作 ? j ? ? ?, ? ? ? ?a ? ? mj ?? a11 ? ? a21 则 A? ? ? ? ? am 1a12 a22 ? am 2T ? a1n ? ? ?1 ? ? ? T? ? a2n ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 , ? 2 ,? , ? n ? . ? ? ? ? ? ? ? T? ? amn ? ? ? m ? ? ?于是设 A 为 m?s 矩阵，B 为 s ?n 矩阵， 若把 A 按行分块，把 B 按列块，则T T T ? ?1 ? ? ?1 ?1 ?1 ? 2 ??1T ? n ? ? T? ? T ? T T ? ? 2 ? ? ? , ? ,? , ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?? 2 ? n ? ? AB ? n ? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? T? ? T ?? ? ? ? ? ? T ? ?? T ? ? ? m n? ? m? ? m 1 m 2C ? (cij )m?n? b1 j ? ? ? s ? b2 j ? T cij ? ? i ? j ? ? ai 1 , ai 2 ,? , ais ? ? ? ? ? aik bkj . ? ? ? k ?1 ?b ? ? sj ?分块矩阵的转置? A11 ? ? 若 A?? ? ? ?A ? ? s1? a11 例如：A ? ? a21 ? ?a ? 31T T ? A11 ? As1 ? A1 r ? ? ? ? T ? ? ，则 A ? ? ? ? ? ? ? AT ? AT ? Asr ? ? sr ? ? 1ra12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? 分块矩阵不仅 ? a24 ? ? ??1 , ? 形式上进行转 2 ,? 3 ,? 4 ? 置， a34 ? ?? a11 ? T ? a12 A ? ? a13 ? ? a14a21 a22 a23 a24a31 ? ? ?1T ? ? ? T? a32 ? ? ? 2 ? ? a33 ? ? ? 3T ? ? ? T? a34 ? ? ? 4 ? ? ?而且每一个子 块也进行转 置．分块对角矩阵定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 1. A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 2. 其余子块都为零矩阵， 3. 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵．?5 ? ?0 例如： A ? ?0 ? ?0 0 0 0? ? ? A1 1 0 0? ? ??O 0 8 3? ? ? ?O 0 5 2? O A2 O O? ? ? B1 O ??? ? ?O A3 ?O? ? B2 ?分块对角矩阵的性质? A1 ? A?? ? ? ?? ?A2? ? ? ? ? ? As ?| A | = | A1 | | A2 | … | As | 若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且? A1?1 ? A ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? As ?A2 ?1?5 ? 例:设 A ? ? 0 ?0 ? ?5 解： A ? ? 0 ? ?0 ?0 0? ? 3 1 ? ，求 A－1 ． 2 1? ? 0 0? ? ? A1 O ? 3 1? ? ? ? ? ? O A2 ? 2 1??1A1 ? (5), A1?1? ?? ? ?5?? A1?1 O ? ?1 A ?? ?1 ? A2 ? ? O ?1/ 5 0 0 ? ? ? ?? 0 1 ?1 ? ? 0 ?2 3 ? ? ?? 3 1? ? 1 ?1 ? ?1 A2 ? ? ? , A2 ? ? ? 2 1? ?2 3 ? ? ?例：往证 Am?n = Om?n的充分必要条件是方阵ATA = On?n ． 证明：把 A 按列分块，有 A ? (aij )m?n ? ??1 , ? 2 , ? , ? n ?T T T T ? ?1 ? ? ?1 ?1 ?1 ? 2 ??1 ? n ? ? T? ? T ? T T ?2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ?? 2 ? n ? 于是 AT A ? ? ?O ??1 , ? 2 , ? , ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? T? ? T ?? ? ? ? ? ? T ? ?? T ? ? ? n n? ? n? ? n 1 n 2 ? a1 j ? 那么 ? ? ? a2 j ? T ? j ? j ? a1 j , a2 j ,? , amj ? ? ? a1 j 2 ? a2 j 2 ? ? ? amj 2 ? 0 ? ? ? a1 j ? a2 j ? ? ? amj ? 0 ?a ? ? mj ? 即 A= O．??第三章矩阵的初等变换 与 线性方程组知识点回顾：克拉默法则设? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ???????????? ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn ?(1)结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4） 结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零. （P.24定理4&#39;）用克拉默法则解线性方程组的两个条件： 线性方程组的 解受哪些因素 (1) 方程个数等于未知量个数；的影响？(2) 系数行列式不等于零.§1矩阵的初等变换一、初等变换的概念 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 四、初等变换的应用一、矩阵的初等变换引例：求解线性方程组? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ? 4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?① ② ③ ④? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ? 4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?① ②③÷2①②③ ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?①②③ ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?②－③③－2×① ④－3×①①②③ ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 2x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? ? ?5 x2 ? 5 x3 ? 3x4 ? ? 3 x 2 ? 3 x 3 ? 4 x4 ?? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 2x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? ? ?5 x2 ? 5 x3 ? 3x4 ? ? 3 x 2 ? 3 x 3 ? 4 x4 ?② ÷2③＋5×② ④－3×②? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? ? 2 x4 ? ? x4 ?? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? ? 2 x4 ? ? x4 ?③ ④④－2×③? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? ? x4 ? ?3, ? ? 0 ? 0. ?①②③ ④? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? ? x4 ? ?3, ? ? 0 ? 0. ? ? x1 ? x3 ? 4, ? 取 x3 为自由变量，则 ? x2 ? x3 ? 3, ? x ? ?3. ? 4①②③ ④恒等式? x1 ? ? c ? 4 ? ? 1? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? ? ? 1? ? ? 3 ?. 令 x3 = c ，则 X ? ? ?c ? x3 ? ? c ? ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ?3 ? ? x4 ? ? ? 3 ?三种变换： ?交换方程的次序，记作 ij；?以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ；?一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .其逆变换是：ii ×k i +k jji i ÷kji －k j结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变 换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ?对调两行，记作 ri ? r j ； ?以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri ? k ； ?某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri ? kr j . 其逆变换是：ri ? rjri ?初等行变换 初等变换 初等列变换ri ? kri ? krjri ?ri ? krj .把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ? 4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?1 ? 2 ?1 ?1 ? 1 ?2 1 ?1 ? 4 ?6 2 ?2 ? 6 ?9 7 ?3 2? ? 4? ?B 4? ? 9?增广矩 阵结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换.? 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? x ? x ? 2 x ? x ? 4, ? 1 2 3 4 ? ? 4 x1 ? 6 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 4, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?① ②③÷2①②③ ④1 ? 2 ?1 ?1 ? 1 ?2 1 ?1 ? 4 ?6 2 ?2 ? 6 ?9 7 ?3r1 ? r2 r3 ? 22? ? 4? ?B 4? ? 9?? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?① ② ③ ④1 ?2 1 ?1 ? ? 2 ?1 ?1 1 ? 2 ?3 1 ?1 ? 6 ?9 7 ?34? ? 2? ? B1 2? ? 9?? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? 2 x ? x ? x ? x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? 2, ? 3 x1 ? 6 x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 9. ?②－③ ③－2×① ④－3×①①②③ ④1 ?2 1 ?1 ? ? 2 ?1 ?1 1 ? 2 ?3 1 ?1 ? 6 ?9 7 ?3r2 ? r3r3 ? 2r1 r4 ? 3r14? ? 2? ? B1 2? ? 9?? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 2x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? ? ?5 x2 ? 5 x3 ? 3x4 ? ? 3 x 2 ? 3 x 3 ? 4 x4 ?? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④1 ?2 1 4? ?1 ? ? 0 2 ?2 2 0? ? ? B2 ? 0 ?5 5 ?3 ?6 ? ? ? 3 ?3 4 ?3 ? ?0? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 2x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? ? ?5 x2 ? 5 x3 ? 3x4 ? ? 3 x 2 ? 3 x 3 ? 4 x4 ?② ÷2③＋5×② ④－3×②? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④1 ?2 1 4? ?1 ? ? 2 ?2 2 0? ?0 ? B2 ? 0 ?5 5 ?3 ?6 ? ? ? 3 ?3 4 ?3 ? ?0r2 ? 2 r3 ? 5r2 r4 ? 3r2? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? ? 2 x4 ? ? x4 ?? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④?1 ? ?0 ?0 ? ?04? ? 1 ?1 1 0 ? ? B3 0 0 2 ?6 ? ? 0 0 1 ?3 ?1 ?2 1? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? x 2 ? x 3 ? x4 ? ? 2 x4 ? ? x4 ?③ ④④－2×③? 4, ① ? 0, ② ? ?6, ③ ? ?3. ④?1 ? ?0 ?0 ? ?0r3 ? r4r4 ? 2r34? ? 1 ?1 1 0? ? B3 0 0 2 ?6 ? ? 0 0 1 ?3 ?1 ?2 1? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? ? x4 ? ?3, ? ? 0 ? 0. ?① ② ③ ④?1 ? ?0 ?0 ? ?04? ? 1 ?1 1 0 ? ? B4 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?1 ?2 1? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 4, ? x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? ? x4 ? ?3, ? ? 0 ? 0. ?①②③ ④?1 ? ?0 ?0 ? ?0r1 ? r24? ? 1 ?1 1 0? ? B4 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?1 ?2 1r2 ? r3?1 ? ?0 ?0 ? ?00 ?1 04? ? 1 ?1 0 3? ? B5 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0??1 ? ?0 ?0 ? ?0B5 对应方程组为0 ?1 04? ? 1 ?1 0 3? ? B5 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?? x1 ? x3 ? 4, ? ? x2 ? x3 ? 3, ? x4 ? ?3. ?? x1 ? ? c ? 4 ? ? 1? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? c ? 3 ? ? ? 1? ? ? 3 ?. 令 x3 = c ，则 X ? ? ?c ? x3 ? ? c ? ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ?3 ? ? x4 ? ? ? 3 ?备注?带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如： 矩阵加法 ＋ 数乘矩阵、矩阵乘法 × 矩阵的转置 T（上标） 方阵的行列式 |?| 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如： 初等行变换 初等列变换?二、矩阵之间的等价关系r行等价，记作 A ~ BA有限次初等行变换 有限次初等列变换Bc列等价，记作 A ~ B矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ BA有限次初等变换B矩阵之间的等价关系具有下列性质： 反身性 对称性 传递性A~ A ；若 A ~ B，则 B ~ A ； 若 A ~ B, B ~ C，则 A ~ C．?1 ? ?0 ?0 ? ?0r1 ? r24? ? 1 ?1 1 0? ? B4 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?1 ?2 1行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的 下方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零 行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其 它元素都为零.r2 ? r3?1 ? ?0 ?0 ? ?00 ?1 04? ? 1 ?1 0 3? ? B5 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0??1 ? ?0 ?0 ? ?00 ?1 0c 3 ? c44? ? 1 ?1 0 3? ? B5 0 0 1 ?3 ? ? 0 0 0 0?行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它元素都为零.c4 ? c1 ? c2 c5 ? 4c1 ? 3c2 ? 3c3?1 ? ?0 ?0 ? ?00 0 0 0? ? 1 0 0 0? ?F 0 1 0 0? ? 0 0 0 0?标准形矩阵： 6. 左上角是一个单位矩阵，其 它元素全为零.? Er F ?? ?OO? ? O ? m?n标准形矩阵由m、n、r三个参 数完全确定，其中 r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数.三者之间的包含关系行阶梯形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵结论任何矩阵 有限次初等行变换 行阶梯形矩阵有限次初等行变换行最简形矩阵 有限次初等变换 有限次初等列变换 标准形矩阵三、初等变换与矩阵乘法的关系定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. (1)对调单位阵的两行（列）； (2)以常数 k≠0 乘单位阵的某一 行（列）； (3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） ．(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列），记作 Em( i, j )．?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?r3 ? r5?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 0 0 1 ? 记作 E5(3, 5) ? 0 0 1 0? 0 1 0 0? ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 0 0 1? ? 0 0 1 0? 0 1 0 0? ?0 0 1 0 0 1 0 0 0 00 0? ? 0 0? 0 0 ? c 3 ? c5 ? 1 0? 0 1? ?(2)以常数 k≠0 乘单位阵第 i 行（列），记作 Em(i(k))．?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?r3 ? k?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 k 0 0 ? 记作 E5(3(k)) ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 k 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?c3 ? k(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作 Em(ij(k))．?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? r3 ? r5 ? k 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0 ? 两种理解！ ? 1 0 0 0? 0 1 0 k ? 记作 E5(35(k)) ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ? 0 0 0? ? 0 0 0? 1 0 k? 0 ? 0 1 0? 0 0 1? k ?以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列． ?1 0 0 0 0? ?1 0 ? ? ? 0 1 0 0 0? ? ?0 1 c3 E5 ? ? 0 0 1 0 0 ? c5 ? ?5 ? k ? 0 0 3 ? ? ? ?0 0 0 1 0? ?0 0 ?0 0 0 0 1? ?0 0 ? ? ?A3?4? a11 ? ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? a24 ? a34 ? ?? 1 0 0? ? ? E 3 (2, 3) ? ? 0 0 1 ? ? 0 1 0? ? ?a14 ? ? a 24 ? a 34 ? ?? 1 0 0 ? ? a11 ? ?? E3 (2, 3) A3?4 ? ? 0 0 1 ? ? a21 ? 0 1 0?? a ? ? ? 31 ? a11 ? ? ? a31 ?a ? 21 a12 a32 a22 a13 a33 a 23a12 a22 a32 a14 ? ? a 34 ? a24 ? ?a13 a23 a 33A3?4? a11 ? ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? a24 ? a34 ? ??1 ? ?0 E4 (2, 3) ? ?0 ? ?0 ?1 a14 ? ? ?? 0 a24 ? ?? 0 a34 ? ? ?0 a14 ? ? a24 ? a34 ? ?0 0 0? ? 0 1 0? 1 0 0? ? 0 0 1?? a11 A3?4 E4 (2, 3) ? ? a21 ? ?a ? 31? a11 ? ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a 33a13 a23 a 33a12 a22 a 230 0 0? ? 0 1 0? 1 0 0? ? 0 0 1?结论E m ( i , j ) Am?n Am?n En ( i , j ) Em ( i ( k )) Am?n Am?n E n ( i ( k )) Em ( ij ( k )) Am?n Am?n E n ( ij ( k ))把矩阵A的第 i 行与第 j 行对调，即 ri ? rj . 把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 ci ? c j . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 ri ? k . 以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 ci ? k .把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 ri ? krj .把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 c j ? kci .口诀：左行右列. 性质1 设A是一个 m×n 矩阵， ?对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ?对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n阶初等矩阵.初等变换 初等变换的逆变换初等矩阵?因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都 是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?r3 ? r5?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 0 0 1? ? 0 0 1 0? 0 1 0 0? ?r3 ? r5?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?E5 (3, 5)E5所以 E5 (3, 5)?1 ? E5 (3, 5) ．E5 (3, 5) E5 (3, 5) E5 ? E5 (3, 5) E5 (3, 5) ? E5一般地， E ( i , j )?1 ? E ( i , j ) ．因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都 是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?r3 ? k?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 k 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?r3 ? k ??1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?E5 (3( k )) E5? ? 1 ?? 所以 E5 (3( k )) ? E5 ? 3 ? ? ? ． ? ? k ???1? ? 1 ?? E5 ? 3 ? ? ? E5 (3( k )) E5 ? ? k ?? ? ? 1 ?? ? E5 ? 3 ? ? ? E5 (3( k )) ? ? k ??? ? 1 ?? ?1 一般地，E ( i ( k )) ? E ? i ? ? ? ． ? ? k ??? E5因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都 是 可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，?1 ? ?0 E5 ? ? 0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? c ? c ? k 5 3 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ? ?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0? ?1 ? ? 1 0 0 0 ?c ? c ? (? k )? 0 5 3 ? ?0 0 1 0 k? ? ? 0 0 1 0? ?0 ?0 0 0 0 1? ? ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 1 0 0? ? 0 0 1 0? 0 0 0 1? ?E5 E5 (35( k ))所以 E5 (35( k ))?1 ? E5 (35( ? k )) ．E5 E5 (35( k )) E5 (35( ? k )) ? E5 (35( k )) E5 (35( ? k )) ? E5一般地， E ( ij( k ))?1 ? E ( ij( ? k )) ．初等变换 初等变换的逆变换初等矩阵 初等矩阵的逆矩阵 ?初等矩阵的逆矩阵是：E ( i , j )?1 ? E ( i , j );? ? 1 ?? E ( i ( k )) ? E ? i ? ? ? ; ? ? k ???1E ( ij ( k ))?1 ? E (ij ( ? k )).性质2方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …,Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ． 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可逆矩阵的 行最简形矩阵也是单位阵．r推论1 推论2方阵 A 可逆的充要条件是 A ~ E . 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B .四、初等变换的应用Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 A ? E , 及 ?1 ? Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 ? A E ? ?1当 A ? 0时，由 A ? P1 P2 ? Pl，有Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 E ? A?1 , ?1? ?Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 A Pl ?1 Pl ?1 ? P1?1 E ? ?1 ?1? ?E A ?1 ?即对 n ? 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .?1?1 ? 例１ 设 A ? ? 2 ?3 ? ?1 ? 解 ?A E? ? ? 2 ?3 ?2 3? ? 2 1 ? , 求 A ?1 . 4 3? ? 2 3 1 0 0? ? 2 1 0 1 0? 4 3 0 0 1? ?? 1 2 3 1 0 0? r ? r r2 ? 2r1 ? ? 1 2 ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? r3 ? 3r1 ? 0 ? 2 ? 6 ? 3 0 1 ? r3 ? r2 ? ?r1 ? r2r3 ? r2r1 ? 2r3? 1 0 ? 2 ? 1 1 0 ? r ? 2r 3 ? ? 1 ? 0 ? 2 ? 5 ? 2 1 0? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? r2 ? 5r3 ? ? ? 1 0 0 1 3 ? 2 ? r ? ? 2） ? ? 2 （ ? 0 ? 2 0 3 6 ? 5? （ ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? r3 ? ? 1） ? ?r2 ? 5r33 ? 1 0 10 1 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? r2 ? ? 2）? （ ? 3 3 5 ? 5 ? ? A?0 ? 1 ? 0 ? 3 ? 3 ? . ? ? ?1 ? 2 2 ? 2 ? r3 ? ? 1） ? （ ? 2 1 ? 0 0 11 1 ? 1 ? ? 1 ? ?利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求 矩阵A?1 B .? A ?1 ( A B ) ? ( E A ?1 B )即( A B)初等行变换E A?1 B例２ 求矩阵 X , 使 ?1 2 ? A ? ?2 2 ?3 4 ? 解AX ? B，其中 3? ? 2 5? ? ? ? 1 ?, B ? ? 3 1 ?. ? 4 3? 3? ? ? ?若 A 可逆，则 X ? A?1 B .? 1 2 3 2 5? ? ? ( A B) ? ? 2 2 1 3 1 ? ? 3 4 3 4 3? ? ?r2 ? 2r1r3 ? 3r13 2 5 ? ?1 2 ? ? ?0 ? 2 ? 5 ?1 ? 9 ? ? 0 ? 2 ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ? ? 1 0 ? 2 1 ? 4? ? ? ? 0 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9? ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ? 0 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?r1 ? r2r3 ? r2r1 ? 2r3r2 ? 5r3r1 ? 2r3r2 ? 5r30 3 2 ? ?1 0 ? ? 4 6 ? ?0 ? 2 0 ? 0 0 ? 1 ? 1 ? 3? ? ?2 ? r2 ? ? 2） ? 1 0 0 3 （ ? ? ? 0 1 0 ? 2 ? 3 ?， r3 ? ? 1） ? （ 0 0 1 1 3 ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? X ? ? ? 2 ? 3 ?. ? 1 3 ? ? ?? A? 如果要求Y ? CA , 则可对矩阵? ?作初等列变换， ?C ? ? A ? 列变换 ? E ? ? ? ? ?1 ? , 即可得 Y ? CA?1 . ? C? ? CA ??1也可改为对 ( AT , C T ) 作初等行变换， （A , C )T T行变换( E , ( AT )?1 C T ),即可得 Y T ? ( A?1 )T CT ? ( AT )?1 CT ,即可求得 Y .§2 矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．k k 显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个．概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33? a11 ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a23 a33a14 ? ? a24 ? a34 ? ?与元素a12相对应的余子式M 12 ? a21 a31 a23 a33矩阵 A 的一个 2 阶子式a12 a22 a13 a23相应的代数余子式A12 ? ( ?1)1? 2矩阵 A 的一个 2 阶子块a21 a31 a23 a33M 12 ? ?? a12 ? ? a22a13 ? ? a23 ?定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．? a11 ? A ? ? a21 ?a ? 31a12 a22 a32a13 a 23 a 33a14 ? ? a 24 ? a 34 ? 矩阵 A 的 2 阶子式 ?矩阵 A 的一个 3 阶子式a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 ? a11 a33a22 a32 a23 a33 ? a12 a21 a31 a23 a33 ? a13 a21 a31 a22 a32如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也 等于零 ．定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．?根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表 示． 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2 阶子式也都等于零 ． 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都 等于零 ． 因此矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数．??矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数．显然，?若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) ≥ s ； 若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) & t ． 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| ．?当|A|≠0 时， R(A) =可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， R(A) &不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．? ?若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ．? a11 ? A ? ? a21 ?a ? 31a12 a22a32a13 a23a 33a14 ? ? a 24 ? a 34 ? ?? a11 ? T ? a12 A ? ? a13 ? ? a14a21 a31 ? ? a 22 a32 ? a 23 a33 ? ? a24 a34 ?矩阵 A 的一个 2 阶子式矩阵 AT 的一个 2 阶子式D?DT ?AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) ．例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中?1 2 3 ? ? ? A ? ? 2 3 ?5 ? ?4 7 1 ? ? ?? 2 ?1 ? ?0 3 B? ?0 0 ? ?0 0 ?2 ? ? 1 ?2 5 ? 0 4 ?3 ? ? 0 0 0 ? 0 3解：在 A 中，2 阶子式1 2 2 3? 0．A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ．例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中?1 2 3 ? ? ? A ? ? 2 3 ?5 ? ?4 7 1 ? ? ?? 2 ?1 ? ?0 3 B? ?0 0 ? ?0 0 ?2 ? ? 1 ?2 5 ? 0 4 ?3 ? ? 0 0 0 ? 0 3解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此 其 4 阶子式全为零． 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式2 ?1 0 0 3 0 3 ?2 ? 24 ? 0 ，因此 R(B) = 3 ． 4还存在其 它3 阶非零 子式吗？例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中?1 2 3 ? ? ? A ? ? 2 3 ?5 ? ?4 7 1 ? ? ?? 2 ?1 ? ?0 3 B? ?0 0 ? ?0 0 ?2 ? ? 1 ?2 5 ? 0 4 ?3 ? ? 0 0 0 ? 0 3解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如2 0 0 0 3 4 2 ?1 ?2 0 0 3 0 5 ? ?18 ?32 0 ?2 0 1 5 ? ?6 0 0 ?30 1 ?2 ? 8结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．二、矩阵的秩的计算0 5 0 ? ?3 2 ? ? ? 3 ?2 3 6 ?1 ? ． 例：求矩阵 A 的秩，其中 A ? ?2 0 1 5 ?3 ? ? ? 1 6 ?4 ?1 4 ? ?2 0 1 6分析：在 A 中，2 阶子式? 12 ? 0 ．3 3 A 的 3 阶子式共有 C 4 C 5 ? 40 (个)， 要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为 行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ．证明思路：1. 证明 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A)≤R(B) ．2. B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B)≤R(A)，于 是 R(A) = R(B) ．3. 经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等 行变换的矩阵的秩仍然不变．4. 设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为 BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ．证明： 设 R(A) = r ，且 A 的某个 r 阶子式 D ≠ 0 ．ri ? r jri ? k?当 A ~ B 或 A ~ B 时， 在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 ． 由于D1 = D 或 D1 = －D 或 D1 = kD，因此 D1 ≠ 0 ，从而 R(B) ≥r ．ri ? kr jr1 ? kr2?当 A ~ B 时，只需考虑 A ~ B 这一特殊情形．ri ? krjr1 ? ri , r2 ? rj , r1 ? kr2 , r1 ? ri , r2 ? rj第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A)≤R(B) ．证明（续）：分两种情形讨论：(1) D 中不包含 r1 中的元素这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥ r ． (2) D 中包含 r1 中的元素这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为r1 ? kr2 D1 ? rp ? rq ? r1 rp ? rq ?k r2 rp ? rq? D ? kD2r1 ? kr2 D1 ? rp ? rq? ?r1 ? rp ? rq ?kr2 rp ? rq ? D ? kD2若p = 2，则 D2 = 0，D = D1 ≠ 0 ，从而 R(B) ≥ r ； 若p≠2，则 D1－kD2 = D ≠ 0 ， 因为这个等式对任意非零常数 k 都成立， 所以 D1、D2 不同时等于零，于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2，从而 R(B) ≥ r ，即R(A)≤R(B) ．定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把 矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 该矩阵的秩．0 5 0 ? ?3 2 ? ? 3 ?2 3 6 ?1 ? 例：求矩阵 A ? ? 的秩，并求 A 的一个 ?2 0 1 5 ?3 ? ? ? ? 1 6 ?4 ?1 4 ?最高阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．?3 2 ? ? 3 ?2 A? ?2 0 ? ?1 6 0 3 1 ? 4 5 6 5 ? 1 0 ? ? 1 ? ? ? ? r ?0 1 ~ ? ? ?0 3 ? ? 4 ? ?0 6 ? 4 0 0 4 ? 3 0 0 1? 4 1 4 0 ? ? 1 ? ? 8? ? ? 0 ?行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 1 ?3 2 5 ? ?1 6 ? ? ? ? ? ? 3 ?2 6 ? r ? 0 ?4 1 ? A0 ? ? ~ ? B0 ?2 0 5 ? ?0 0 4 ? ? ? ? ? 1 ?1 6 ? ? ?0 0 0 ?? 3 2 5 ? ? 1 6 ?1 ? ? ? ? ? 3 ?2 6 ? r ? 0 ?4 1 ? A0 ? ? ~ ? B0 ?2 0 5 ? ?0 0 4? ? ? ? ? 0? ? 1 6 ?1 ? ? 0 0R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式3 2 2 0 5 5 3 2 2 0 5 5 3 ?2 6 ? 6 0 11 ? ?2 6 11 2 5 ? ?16 ? 0因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．? 1 ?2 2 ?1 ? ? 1? ? ? ? ? 2 ?4 8 0? ? ? 2 ? ，求矩阵 A 及矩阵 , b? 例：设 A ? ? ?2 4 ?2 3 ? ? 3? ? ? ? ? ? 3 ?6 0 ?6 ? ? 4?B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 ? ? ? ? 形矩阵为 B ? ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及 R(B) ．? 1 ?2 2 ?1 ? 0 ? 2 ?4 8 解：B ? ? ?2 4 ?2 3 ? ? 3 ?6 0 ?6 1 ? ? 1 ?2 ? ? 2? r ? 0 0 ~ 3? ? 0 0 ? ? 4? ? 0 0 2 ?1 1 ? ? 2 1 0? 0 0 1? ? 0 0 0?R(A) = 2 R(B) = 3矩阵的秩的性质① 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． ② R(AT) = R(A) ． ③ 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． ④ 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) ． ⑤ max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ．特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ． ⑥ R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ．⑦ R(AB)≤min{R(A), R(B)} ．⑧ 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ．例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ．例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ．? En ? 解：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为 ?