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17章勾股定理全章教案
年新科题目4 周8 年级班第 3 节课时教案17.1 勾股定理（1）知识目标: 让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方的结论． 能力目标: 1．在学生充分观察、归纳、猜想、?探索直角三角形两条直角边的 教学 目标 平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想． 2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、 ?概括和有条件地表达活动 的过程和结论． 感情、态度与价值观目标: 1．培养学生积极参与、合作交流的意识． 2． 在探索勾股定理的过程中， 体验获得结论的快乐， 锻炼克服困难的勇气．重点 理． 难点 以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发展勾股定教具 实验课 教学方式 一、创设问题情境，引入新课． 提 前 测 评 及 导 入 新 课 问题 1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，?长的直角边 叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前 1100 年，人 们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？ 问题 2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3 米，消防队员 取出 6.5 米长的云梯， 如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米， 请问消防队能否进入 三楼灭火？ 问题 3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？?为什么选定它作 为 2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽？ 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺二、实际操作，探索直角三角形的三边关系 活动 1 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 问题 2：给出一个边长为 0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，?也满足上 问题 1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传 2500?年前， 一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都 在尽情欢乐， 高谈阔论， 只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方 砖地而发起呆来． 原来， 朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达 哥拉斯的样子非常奇怪， 就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突 破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了． 同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有 同样的发现呢？ 问题 2：你能发现下图中等腰直角三角形 ABC 有什 么性质吗？ 问题 3：等腰直角三角形都有上述性质吗？ 活动 2 问题 1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也 有这个性质吗？如下图，?每个小方格的面积均为 1，请分别计算出下图中正方形 A、B、 C，A′、B′、C?′的面积，看看能得出什么结论． （提示：以斜边为边长的正方形的 面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形） 述结论吗？ 生：从图中不难观察出 A、B 两个正方形分别含有 4 个小方格和 9 个小方格；A?′、 B′两个正方形分别含有 9 个小方格和 25 个小方格．师生共析： 如果将虚线标出的正方形 C 和 C′周围的四个直角三角形分别沿斜边折 叠进去，你会得出什么结论呢？ 教 学 过 3〓5=34．和前面的结论一样． 程 师：很正确．我们通过对 A、B、C，A′、B′、C′几个正方形面积关系的分析可 正方形 C 的面积就等于 1+4〓1 1 〓2〓3=13． 正方形 C′的面积就等于 4+4〓 〓 2 2设 知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方． 计 （ 一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？ 我们不妨设小方格的边长为 0.1，?我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直教 角边为 0.5，1.2 的直角三角形来进行验证． 学 内 生：也有上述结论． 师： 这一结论， 在国外就叫做 “毕达哥拉斯定理” ， 而在中国则叫做 “勾股定理” ． 而容 活动 1 中的问题 1 提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现． ， 勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现方 的．证据就是《周髀算经》 ，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用 2002 年在北京召开的国 法 际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用 ， 了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究． 基 大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所础 以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺． 知 识 三、例题剖析 问题 1：小明的妈妈买了一部 29 英寸（74 厘米）的电视归 机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 厘米长和 46 纳 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．?你同意他的想法吗？ 能 你能解释这是为什么吗？ 力 问题 2： （1）如右图，一根旗杆在离地面 9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m测 处，旗杆折断之前有多高？ 评 ） （2）求斜边长 17cm，一条直角边长 15cm 的直角三角形的面积． 问题 1：我们通常所说的 29 英寸和 74 厘米的电视机，?是指其荧屏的对角线的长 度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一 些误差．问题 2： （1） 解： 由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是： 92 ? 122 =15 （m） ； ?15+9=24（m） ． 教 学 过 程 设 计 （2）解：另一直角边的长为 172 ?152 =8（cm） ，所以此直角三角形的面积为 8〓15=60（cm2） ． 师：你能用直角三角形的三边关系解答活动 1 中的问题 2．请同学们在小组内讨论 完成． 四、课时小结 1．掌握勾股定理及其应用； 2．会构造直角三角形，利用勾股定理理解简单应用题． 所以旗杆折断之前高为 24m．1 〓 2能 力 测 评 题 作业24 页练习（1）课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目4 周年级8 班第 4 节课时教案17.1 勾股定理（2）知识目标: 1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法． 2．运用勾股定理解决一些实际问题． 能力目标: 1．经历用拼图的方法验证勾股定理，?培养学生的创新能力和解决 教学 目标 实际问题的能力． 2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识． 感情、态度与价值观目标: 1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学 家的一大贡献，?借助此过程对学生进行爱国主义的教育． 2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．重点 进一步体会勾股定理的文化价值． 难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理．经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程， 体验解决同一问题方法的多样性，教具 实验课 教学方式 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺提 前 测 评 及 导 入 新 课 师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？ 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b） （a-b）=a2-b2；完 全平方公式（ab）2=a22ab+b2 是非常重要的内容．?谁还能记得当时这两个公式是 如何推出的？一、探索研究 活动 1 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， (4) (5) 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题： （1）在一张纸上画 4 个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来． （2）用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c?为边长 的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关 系的猜想吗？（3）有人利用图（4）这 4 个直角三角形拼出了图（5） ，?你能用两种方法表示方 大正方形的面积吗？ 法 ， 基 大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________． 对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？ 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算础 面积的方法比较得出直角三角形的三边关系． 知 识 归 纳 能 力 测 评 化简得：a2+b2=c2． 由于图（4）的直角三角形是任意的，因此 a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平 在本次活动中，教师应关注： ①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系． ②学生能否积极主动地参与拼图活动． 生：我也拼出了图（5） ，而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为 （a+b）2 或 4〓1 1 ab+c2，由此可得（a+b）2=4〓 ab+c2． 2 2） 方和等于斜边的平方． 生： 我拼出了和这个同学不一样的图， 如图 （6） 大正方形的边长是 c， ?小正方形的边长为 a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理．?因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为 c ，又可以表示为 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 同样得到了直角三角形的三边关系． (6)1 ab〓4+（b-a）2．化简得 c2=a2+b2， 221 2 ab〓4+（b-a） ．对比两种表示 2方法可得 c2=师：这样就通过推理证实了命题 1 的正确性，?我们把经过证明被确定为正确的命内 题叫做定理．命题 1 与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理． 容 我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发， 现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法， 方 大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧． 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 图（6）这个图案和 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模 一样，人们称它为“赵爽弦图” ，赵爽利用弦图证明命题 1?（即勾股定理）的基本思路 如下，如图（7） ． 把边长为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积为 a2+b2，另一方面这个图形由四 个全等的直角三角形和一个正方形组成．把图（7）中左、右两个三角形移到图（9） 活动 2所示的位置，就会形成一个 c 为边长的正方形． 因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它 教 们的面积相等． 学 过 程 因此 a2+b2=c2． 二、课时小结 你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股设 定理的意义． 计能 力 测 评 题 作业28 页习题（1）课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目周年级8 班第 5 节课时教案17.1 勾股定理（3） 知识目标: 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决 简单的实际问题． 能力目标: 1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程， ?并能用勾教学 目标股定理来解决此问题，发展学生的应用意识． 2．在解决实际问题的过程中， 体验解决问题的策略，?发展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题 的过程中， 学会与人合作， ?并能与他人交流思维过程和结果， 形成反思的意识． 感情、态度与价值观目标: 1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的 体验，?锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．?在解决实际问题的过程中形成 实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． 将实际问题转化为直角三角形模型．重点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．难点教具 实验课 教学方式 演示课 电教课 多媒体课 √ 问题：欲登 12 米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至 提 前 测 评 及 导 入 新 课 由勾股定理可知，已知两直角边的长 a，b，就可以求出斜边 c 的长．?由勾股定 理可得 a2=c2-b2 或 b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一 条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长． 少需多长的梯子？多媒体，三角尺一、讲授新课 活动 1 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜 着能否通过． 生：在长方形 ABCD 中，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板 的宽比较，就能知道木板是否通过． 师生共析： 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理 AC2=AB2+BC2=12+22=52． 因此 AC≈ 5 ≈2.236． 因为 AC&木板的宽，所以木板可以从门框内通过． 活动 2 问题： 如图， 一个 3m 长的梯子 AB， 斜靠在一竖直的墙 AO 上， 这时 AO 的距离为 2.5m， 问题： 一个门框的尺寸如图所示， 一块长 3m， 宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过？ 为什么？础 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？ 知 识 归 纳 能 生：梯子底端 B 随着梯子顶端 A 沿墙下滑而外移到 D，即 BD 的长度就是梯子外移力 的距离． 测 评 ） 观察图形，可以看到 BD=OD-OB，求 BD 可以先求出 OB，OD． 师：OB，OD 如何求呢？ 生： 根据勾股定理， 在 Rt△OAB 中， AB=3m， OA=2.5m， 所以 OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752． OB≈1.658m（精确到 0.001m） 在 Rt△OCD 中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以 OD2=CD2-OC2=32-22=5．OD≈2.336m（精确到 0.001） BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m（精确到 0.01m） ，所以梯子顶端沿墙下滑 0.5m， 教 梯子底端外移 0.58m． 学 过 活动 3 问题： “执竿进屋” ：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法程 急得放声哭． 有个邻居聪明者， 教他斜竿对两角． 笨伯依言试一试， 不多不少刚抵足． 借 设 问竿长多少数，谁人算出我佩服． 计 （ 教 ──当代数学教育家清华大学教授 许莼舫著作《古算题味》 生：解：设竿长为 x 尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，?根据题意学 和勾股定理，得 内 容 ， 方 法 ， 基 础 x2=（x-4）2+（x-2）2． 化简，得 x2-12x+20=0， （x-10） （x-2）=0， x1=10，x2=2（不合题意，舍去） ． 所以竿长为 10 尺． 二、巩固提高 活动 4 练习：1．有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的知 直径至少多长（结果保留整数） ． 识 2．如下图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC?方向上一点，?测归 得 CB=60m，AC=20m，你能求出 A、B 两点间的距离吗？ 纳 能 力 测 评 ） 生：1．解：设圆的直径为 xdm，根据勾股定理，得 502+502=x2， 解得 x≈71． 所以圆的直径改为 71dm．教 学 过 程 设 计 2．解：如右图，在 Rt△ABC 中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得 AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40 2 ． 所以 A，B 两点间的距离为 40 2 m． 三、课时小结 问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直 角三角形． 1．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸 能 地点 C 偏离欲到达点 B ?200 米，结果他在水中实际游了 520 力 米，求该河流的宽度． 测 评 题 作业26 页练习课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目5 周年级8 班第 1 节课时教案17.1 勾股定理（4） 知识目标: 1.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2.进一步学习将 实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题． 能力目标: 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程， ?发展学生灵活勾股 定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题教学 目标的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中， 学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识． 感情、 态度与价值观目标: 1． 在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中， ?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建 立自信心． 2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑 和独立思考的习惯．重点在数轴上寻找表示， 2 ， 3 ， 5 ，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．教具 实验课 教学方式 提 前 测 评 及 导 入 新 课 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺【例 1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 800 米处， 过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5 000 米，飞机每小时飞行多少千米？ 【例 2】如右图所示，某人在 B 处通过平面镜看见在 B 正上方 5 米处的 A 物体，?已知物体 A 到平面镜的距离为 6 米，向 B 点到物体 A 的像 A′的距离是多少？一、讲授新课 活动 1 教 问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表学 示出 2 的点吗？ 13 的点呢？ 过 程 设 计 数轴上的一些表示有理数的点，而对于象 2 ， 3 ，……这样的无理数的数点却找不 设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到（ 到，学习了勾股定理后，我们把 2 ， 3 ，……可以当直角三角形的斜边，只要找到 教 长为 2 ， 3 的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用． 学 内 容 ， 方 法 ①学生能否找到含长为 2 ， 13 这样的线段所在的直角三角形； ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作． 师：由于在数轴上表示 13 的点到原点的距离为 13 ，所以只需画出长为 13 的线 此活动，教师应重点关注：， 段即可． 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 生：步骤如下： 所以长为 13 的线段是直角边为 2，3 的直角三角形的斜边． 师：下面就请同学们在数轴上画出表示 13 的点． 生：长为 2 的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边． 师：长为 13 的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设 c= 13 ，两直角边为 a，b，根据勾股定理 a2+b2=c2 即 a2+b2=13．若 a，b 为 正整数，?则 13 必须分解为两个平方数的和，即 13=4+9，a2=4，b2=9，则 a=2，b=3．? 我们不妨先来画出长为 2 的线段．1．在数轴上找到点 A，使 OA=3； 2．作直线 L 垂直于 OA，在 L 上取一点 B，使 AB=2； 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 本活动教师应重点关注： ①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长． ②能否积极参与，欣赏数学美． 生：在上述方程找到了长度为， 2 、 3 、 5 、 6 ，……的线段，因此在数轴 三、巩固提高 活动 3 问题： （1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理 数的线段呢？ （2）欣赏下图，你会得到什么启示？ 练习：在数轴上作出表示 17 的点． 此活动中，教师应重点关注： ①学生能否积极主动地思考问题； ②能否找到斜边为 17 ，另外两个角直边为整数的直角三角形． 生： 17 是两直角边为 4 和 1 的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示 17 的点如右图： 3．以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于点 C，则点 C 即为表示 13 的点． 活动 2上便可以表示出来， ．教学时可以先画出 2 ， 3 ，……之后，再画 13 ，画法不唯一， 如下图： 教 学 过 程 设 计 四、课时小结 问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上 的点与实数一一对应．【例 1】 如右图所示， △ABC 中， AB=15cm， AC=24cm， ∠A=60°， 能 求 BC 的长． 力 分析：△ABC 是一般三角形，若要求出 BC 的长，只能将 BC 置于一 测 个直角三角形中． 评 题 作业27 页练习课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目5 周年级8 班习题 17.1第 2,3 节课时教案知识目标: 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决 简单的实际问题． 能力目标: 1．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略， ?发展学生的 实践能力和创新精神． 教学 目标 2．在解决实际问题的过程中，学会与人合作， ?并能与他人交流思维过程 和结果，形成反思的意识． 感情、态度与价值观目标: 1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的 体验，?锻炼克服困难的意志，建立自信心． 2．?在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思 考的习惯． 重点 运用勾股定理 理解勾股定理难点教具 实验课 教学方式 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺提 前 测 评 及 导 入 新 课习题 17．1教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 7．解： （1）∠A=30°，AB=10，所以 BC=5，因为∠C=90°，根据勾股定理，得 AC= 102 ? 52 =5 3 ≈8.66． 6．解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为 4，2 时，斜边的长为 20 ，如 下图所示： 5．解：根据勾股定理，得： ． 72 ? 52 =2 6 （m） 4．解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39（cm） ． 根据勾股定理，得：AB= AC 2 ? BC 2 ? 192 ? 392 ≈43.4（mm） ． 即两孔中心距离为 43.4mm． 3．解：根据勾股定理，得： AB= AO2 ? OB2 ? 2.42 ? 0.72 =2.5， 即 AB 的长为 2.5cm． 2．解：设旗杆折断之前有 xm，根据勾股定理，得 （x-6）2=62+82， （x-6）2=100． 因为 x-6&0，所以 x-6=10， ∴x=16． 所以旗杆折断之前的高度为 16m． 1．解：AC= 102 ? 62 ? 8; AB ? 82 ? 152 =17．所以地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离是 2 6 m．（2）∠A=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形，即 BC=AC． 根据勾股定理，得 2BC2=2AC2=100， 教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 11．解；以 AB 为直径的半圆的面积为1 AB 2 ? 2 〓 ? 〓（ ） = AB ；以 BC?为直径的 2 2 8所以 BC=AC=5 2 ≈7.07．8．解：在△ABC 中，∠C=90°． （1）△ABC 的面积=1 〓2.1〓2.8=2.94（cm2） ； 2（2）根据勾股定理：AB= AC 2 ? BC 2 ? 2.12 ? 2.82 =3.5（cm） ； （3）因为 所以 CD=1 1 CD〓AB= AC〓BC， 2 2AC ? BC 2.1? 2.8 ? =1.68（cm） ． AB 3.5即高 CD 为 1.68cm．9．解：根据题意，得 L= 882 ? 322 ≈82（mm） ．10．解：设水的深度为 x 尺，这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据题意，设： （x+1）2=x2+（10〔2）2． 解这个方程得 x=12． x+1=13． 所以水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺．1 BC 2 ? 2 测 半圆的面积为 2 〓 ? 〓（ 2 ） = 8 BC ；评 ） 以 AC 为直径的半圆的面积为1 AC 2 ? 2 ） = AC ． ? 〓（ 2 2 8因为∠C=90°，所以 AB2=BC2+AC2? 2 ? 2 ? 2 AB = BC + AC 8 8 8即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和．12．解：阴影部分的面积=以 AC 为直径的半圆的面积+以 BC?为直径的半圆的面积 教 +Rt△ABC 的面积-以 AB 为直径的半圆的面积，根据 11 题的结论可知： 学 过 程 设 计 13． 解： 根据题意， 可知： OB=1.6〔2=0.8m， OA=2〔2=1m， 在 Rt△OAB 中，AB= 12 ? 0.82 =0.6（m） ， 1-0.6=0.4≥0. 2， 所以这辆卡车能通过厂门． 阴影部分的面积=Rt△ABC 的面积=20cm2．【例 1】 如右图所示， △ABC 中， AB=15cm， AC=24cm， ∠A=60°， 能 求 BC 的长． 力 分析：△ABC 是一般三角形，若要求出 BC 的长，只能将 BC 置测 于一个直角三角形中． 评 题 作业练习册课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目5 周年级8 班第 4 节课时教案17.2 勾股定理的逆定理（1） 知识目标: 1．掌握直角三角形的判别条件． 2．熟记一些勾股数． 3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法． 能力目标: 1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形， ?培养教学 目标学生数形结合的思想． 2． 通过对 Rt△判别条件的研究， 培养学生大胆猜想， 勇于探索的创新精神． 感情、态度与价值观目标: 1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿 望． 2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神．重点 归纳、猜想出命题 2 的结论．探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．难点教具 实验课 教学方式 一、创设问题情境，引入新课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b，?斜边 c 具有一定的数量关系即 a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判 定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？ 活动 1 （1）总结直角三角形有哪些性质． （2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？ 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺二、讲授新课 活动 2 教 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的 13 个结，然学 后以 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，?其中一个角便 过 是直角． 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3 、 4 、 5 ， ? 有下面的关系 “32+42=52” ，那么围成的三角形是直角三角形． 画画看 ，如 果三 角形的 三边 分别 为 2.5cm 、 6cm 、 6.5cm ， 有下面 的关 系， ? “2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 4cm、7.5cm、8.5cm， ?再试一试． 生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是 3 个单位长度即 AC=3；? 同理 BC=4，AB=5，因为 3 +4 =5 ．我们围成的三角形是直角三角形． 生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm，?我们用尺规作图的方法作此 三角形，经过测量后，发现 6.5cm 的边所对的角是直角，并且 2.52+62=6.52． 再换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现 8.5cm?的边所对 的角是直角，且也有 42+7.52=8.52． 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角 三角形呢？ 活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c． 5，12，13；7，24，25；8，15，17． （1）这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？ （2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量， ?它们都是直角三角 形吗？ 生： （1）这三组数都满足 a+b=c．2 2 2（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形． 师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论． 教 学 过 命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2那么，这个三角形是直角三角形． 同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利程 用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天──人类已跨入 21 世纪，建筑工地上的 设 工人师傅们仍然离不开“三四五放线法” ． 计 “三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”譬如（ 建造房屋，房角一般总是成 90°，怎样确定房角的纵横两线呢？ 教 如右图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作：?一人手拿布尺学 或测绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出 A 点， 内 ?再由一人拿 9 尺处，把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线． 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？ 生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等． 据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角． 活动 4 问题： 命题 1 命题 2 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 它们的题设和结论各有何关系？ 生：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个 命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例 如把命题 1 当成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题． 生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同 位角相等，两直线平行”是互逆命题， “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等， 两直线平行”也是互逆命题． 如果直角三角形的两直角边长分别为 a， b， 斜边长为 c， 那么 a2+b2=c2．如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足生： “两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命 题． 教 学 过 程 设 计 问题：你对本节内容有哪些认识？ …… 三、课时小结能 力 测 评 题 作业33 页练习（1,2）课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目5 周年级8 班第 5 节课时教案17.2 勾股定理的逆定理（2） 知识目标: 一、知识与技能 1．了解证明勾股定理逆定理的方法． 2．理解逆定理，互逆定理的概念． 能力目标: 1．经历证明勾股定理逆定理的过程，?发展学生的逻辑思维能力和教学 目标空间想象能力． 2． 经历互为逆定理的讨论， 培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神． 感情、态度与价值观目标:1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，?培养学生 克服困难的勇气和坚强的意志． 2．培养学生与人合作、交流的团队意识．重点 互逆定理的概念．勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．难点教具 实验课 教学方式 一、创设问题情境，引入新课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 能构成直角三角形的是：①④⑥⑦． 活动 1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_______（填序号） ，能构成直角三角 形的是______． ① 12 3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5， 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺⑦7，25，24二、讲授新课 活动 2 教 问题：命题 2 是命题 1 的逆命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2 正确学 吗？如何证明呢？ 过 师：△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，如果△ABC 是直角三角形，它应与直程 角边是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗？ 设 我们画一个直角三角形 A′B′C′， 使 B′C′=a， A′C′=b， ∠C′=90° （如下图）计 把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC 上，它们重合吗？ （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 生： 我们所画的 Rt△A′B′C′， A′B′2=a2+b2， 又因为 c2=a2+b2，所以 A′B′2=C2， 即 A′B′=C． △ABC 和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠ C=∠C′=90°．? △ABC 为直角三角形． 即命题 2 是正确的． 师：很好，当我们证明了命题 2 是正确的，那么命题就成为一个定理．?由于命题 1 证明正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 1 的逆命题，在此，?我们就称定理 2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理． 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？ 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么 它们是对顶角”不成立． 师：你还能举出类似的例子吗？ 生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等． 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等． 显示原命题成立，而逆命题不成立．活动 3 练习：1．如果三条线段长 a，b，c 满足 a2=c2-b2，?这三条线段组成的三角形是不 教 是直角三角形？为什么？ 学 过 程 设 计 （ 教 2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等． （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （3）全等三角形的对应角相等． （4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 师：我们先来完成练习第 1 题． 生：a2=c2-b2，移项得 a2+b2=c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三学 角形是直角三角形． 内 容 生：2． （1）逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立． （2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等， ?此逆命题不， 成立． 方 （3）逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等， ?此逆命法 题不成立． ， 基 础 三、巩固提高 知 识 活动 4 【例 1】一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠ A 和∠DBC?都应为直 （4）逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．归 角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？ 纳 能 力 测 评 ） 解：在△ABD 中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角． 在△BCD 中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直 角． 因此这个零件符合要求．四、课时小结 教 学 问题：你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组过 勾股数． 程 设 计【例 1】 （1）判断以 a=10，b=8，c=6 为边组成的三角形是不是直角三角形． 能 力 测 评 题 作业 （2）已知：在△ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm． 求证：AB=AC．预习课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目6 周年级8 班第 1 节课时教案17.2 勾股定理的逆定理（3） 知识目标: 能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题． 能力目标: 1．经历将实际问题转化为数学模型的过程， ?体会用勾股定理的逆 定理解决实际问题的方法， 发展学生的应用意识． 2． 在解决实际问题的过程中，教学 目标体验解决问题的策略，?发展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题 的过程中， 学会与人合作， ?并能与他人交流思维过程和结果， 形成反思的意识． 感情、态度与价值观目标: 1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程 中获得成功的体验，?锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心． 2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立 思考问题的习惯． 运用勾股定理的逆定理解决实际问题．重点 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．难点教具 实验课 教学方式 一、创设问题情境，引入新课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 活动 1 问题 1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，?他俩很 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体，三角尺想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？ 问题 2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的 AD?边和 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺． （1）你能替他想想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得 AD 的的长是 30 厘米，AB 的长是 40 厘米， BD 的长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？ （3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂 直于 AB 边吗？BC 边与 AB 边呢？接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题． 二、讲授新课 教 学 过 程 设 计 活动 2 问题： 【例 1】判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形． （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15； （3）求证：m2-n2，m2+n2，2mn（m&n，m，n 是正整数）是直角三角形的三条边长． 生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较（ 小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 教 学 内 容 ， 解： （1）因为 152+82=225+64=289，172=289， 所以 152+82=172，这个三角形是直角三角形． （2）因为 132+142=169+196=365，152=365 所以 132+142≠152，这个三角形不是直角三角形． 生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，方 然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长． 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） （3）证明：m&n，m，n 是正整数 （m2-n2）+（m2+n2）=2m2&2mn， 即（m2-n2）+（m2+n2）&2mn． 又因为（m2-n2）+2mn=m2+n（2m-n） ， 而 2m-n=m+（m-n）&0， 所以（m2-n2）+2mn&m2+n2 这三条线段能组成三角形． 又因为（m2-n2）2=m4+n4-2m2n2 （m2+n2）2=m4+n4+2m2n2 （2mn）2=4m2n2， 所以（m2-n2）2+（2mn）2 =m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2 所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2（m&n，m，n 是正整数）这三边 是直角三角形的三边． 师：我们把像 15、8、7 这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，?称为勾股数． 而且我们不难发现 m2-n2，m2+n2，2mn 也是一组勾股数，而且这组勾股数由于 m，n? 教 取值的不同会得到不同的勾股数． 学 例如 m=2，n=1 时，m2-n2=22-12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2〓2〓1=4，而 3，4，5?就过 是一组勾股数． 程 设 你还能找到不同的勾股数吗？ 生：当 m=3，n=2 时，m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=2〓3〓2=12，所以 5，12，13计 也是一组勾股数． （ 当 m=4，n=2 时，m2-n2=42-22=12，m2+n2=20，2mn=2〓4〓2=16，所以 12，16，20?教 也是一组勾股数． 学 内 …… 师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种容 方法． ， 17 世纪，法国数学家费尔马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，方 想到了一个更一般的问题，1637 年，他提出了数学史上的一个著名猜想──费马大定 法 理，即当 n&2 时，找不到任何的正整数组，使等式 xn+yn=zn 成立，费马大定理公布以后， ， 引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明 基 它．1995 年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智 础 者 300 多年的谜． 知 识 活动 3 问题： 【例 2】 “远航”号， “海天”号轮船同时离开港口，?各自沿一固定方向航行，归 “远航”号每小时航行 16 海里， “海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半 纳 小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个 能 方向航行吗？ 力 生：我们根据题意画出图形， （如下图） ，可以看到，由于“远航”号的航向已知，测 如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 评 ） 解：根据题意画出右图 PQ=16〓1.5=24，PR=12〓1.5=18，QR=30． 因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2．所以∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，所以∠RPS=45°，即“海天” 教 号沿西北或东南方向航行． 学 过 三、课时小结 问题：谈谈这节课的收获有哪些？掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，程 会判断一个三角形是直角三角形． 设 计问题：A、B、C 三地两两距离如下图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地 能 的什么方向？ 力 测 评 题 作业34 页习题（1,2）课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目6 周年级8 班习题 17.2第 2,3 节课时教案知识目标: 1．了解证明勾股定理逆定理的方法． 2．理解逆定理，互逆定理的概念，能运用勾股定理的逆定理解决简单的实 际问题． 能力目标: 教学 目标 1．经历将实际问题转化为数学模型的过程，?体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识． 2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略， ?发展学生的实践能 力和创新精神． 感情、态度与价值观目标 : 1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，?培养学 生克服困难的勇气和坚强的意志． 2．培养学生与人合作、交流的团队意识．重点 互逆定理的概念．勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．难点教具 实验课 教学方式 演示课 电教课 多媒体课 √多媒体提 前 测 评 及 导 入 新 课1. 什么叫原命题？ 2. 什么叫逆命题？ 3. 说一说勾股定理的逆定理？ 4. 说一说命题 2？习题 18．2教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 （3）a2= （2）a2=2.25，b2=4，c2=6.25， 而 a2+b2=2.25+4=6.25， 所以，a +b =c ，根据勾股定理的逆定理，得由线段 a=1.5，b=2，c=2.5?可组成直 角三角形．2 2 21.判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形？ （1）a2=49，b2=576，c2=625 （2）a2=2.25，b2=4，c2=6.25， （3）a2=25 9 25 ，b2=1，c2= ，b2+c2=1+= 16 16 16（4）a2=1 600，b2=2 500，c2=3 600． 解： （1）a2=49，b2=576，c2=625 a2+b2=49+576=625，c2=625 所以，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段 a=7，b=24，c=25?能组成直角 三角形．25 9 25 5 3 ，b2=1，c2= ，b2+c2=1+= ．即 a2=b2+c2，所以，以 a= ，b=，c= 为 16 4 4 16 16识 边可组成直角三角形． 归 纳 能 力 测 评 ） 2．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）同旁内角互补，两条直线平行； （2）如果两个角是直角，那么它们相等； （3）全等三角形的对应边相等； （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等； （4）a2=1 600，b2=2 500，c2=3 600． 而 a2+b2=4 100≠3 600，即 a2+b2≠c2，不能构成直角三角形．解： （1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立． 教 学 （2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，此逆命题不成立． （3）逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等，此逆命题过 成立． 程 （4）逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等， ?此逆命题设 不成立． 计 （ 教 学 内 容 ， 根据题意，如下图所示 AB=80m ， BC=60m ， CA=100m ．因为， 802+602=1002 ， ? 即 3．解：方 AB2+BC2=AC2，所以△ABC 为 Rt△，即小明向东走了 80m 后又向北或向南走了 60m，最后 法 回到原地（A 点） ． ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） AB=13cm，AD=12cm 132=122+52，所以 AB2=AD2+BD2． △ABD 为 Rt△且∠ADB=90°，所以∠ADC=90°， AC= AD2 ? DC2 ? 122 ? 52 = 13． 4．解：AD 是 BC 边上的中线，且 BC=10cm，所以 BD=DC=1 BC=5cm， 27.3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）也是一组勾股数， 因为（3k）2+（4k）2=（5k）2； 教 学 过 程 设 计 同样 a，b，c 是一组勾股数， 则 a2+b2=c2， 而（ak）2=a2k2， （bk）2=b2k2， （ck）2=c2k2， ?所以 a2k2+b2k2=c2k2， 则 ak，bk，ck， （k 为正整数）也是一组勾股数．1．已知 a，b，c 为△ABC 三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 能 的形状． 力 测 评 题 作业练习册课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目6 周年级8 班17 章小结第 4，5 节课时教案知识目标: 1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结． 2．让学生回顾本章的知识，?同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和 验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．3．了解勾股定理的历史． 教学 目标 能力目标: 1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法． 2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力， ?鼓励 学生具有创新精神． 感情、态度与价值观目标 :1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的 乐趣．2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神， ?体验科学 给人类带来的力量． 1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、? 重点 角之间分别存在的关系．2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用． 难点 1．勾股定理及其逆定理的广泛应用． 2．建立本章的知识框架图． 教具 实验课 教学方式 一、引入新课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有 体验． 勾股定理是我们数学史的奇迹， 我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下 来的宝贵的财富， 这节课， 我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定 理的历史，勾股定理的应用． 问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ 问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形． 问题 3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它． 演示课 电教课 多媒体课 √ 多媒体二、回顾与思考 问题 1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ 教 师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角学 三角形的性质．现在我们来回答问题 1，从直角三角形的边、?角的特殊性角度全面地 过 进行总结． 程 生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中设 有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余． 计 生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是 30°，那么（ 30°的角所对的直角边是斜边的一半． 教 师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学 学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第 2 个问题． 内 容 ， 问题 2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形． 生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断． 例如：①在△ABC 中，∠B=75°，∠C=15°，根据三角形的内角和定理，?可得∠方 A=90°．根据定义可判断△ABC 是直角三角形． 法 ， ②在△ ABC 中，∠ A=1 1 ∠ B= ∠ C ，由三角形的内角和定理可知∠ A+2 ∠ A+3 ∠ 2 3基 A=180°，所以∠A=30°，∠B=2∠A=60°，∠C=3∠A=90°，△ABC 是直角三角形． 础 知 上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形． 生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直识 角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理） ． 归 例如：①△ABC 的三条边分别为 a=7，b=25，c=24，而 a2+c2=72+242=625=252=b2，即纳 a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形．但这里要注意的是 b?所对 能 的角∠B=90°． 力 ②△ ABC 三条边的比为 a ： b ： c=5 ： 12 ： 13 ，则可设 a=5k ， b=12k ， c=?13k ，测 ?a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=（13k）2=169k2，所以，a2+b2=c2，△ABC 是直角三角形． 评 师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们） 不妨重温一下勾股定理的获得和验证的，体会验证过程中的数形结合的思想和方法， 对于我们将来学习和研究数学会大有益处． 生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出 三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发 教 现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们 学 设直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，大正方形的面积是 c2，两个小正方形的 过 面积为 a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有 a2+b2=c2 这个 程 结论呢？ 设 计 师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢？ 师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量（ 的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个 教 伟大的成果就诞生了．掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，就不一定你 学 就是未来的商高，第二个赵爽． 内 容 问题 3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它． （这个问题可让学生在小组内交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推， 荐一个最好的实例，展示给全班同学．在全班进行交流） 方 生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成法 气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市 A?的正南方向 260 千 ， 米 B 处有一台风中心，沿 BC 的方向以 15 千米/时的速度向 D 移动，已知 AD?是城市 A 基 距台风中心的距离最短，且 AD=100 千米，求台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？ 础 知 识 解：根据题意可知 AD⊥BC． 在 Rt△ABD 中，AB=260 千米，AD=100 千米，AB2=AD2+BD2，所以归 BD2=AB2-AD2=02，BD=240 千米．则台风中心经过 240 千 纳 米〔15 千米/时=16（小时）从 B 点移到 D 点． 能 生：例如：一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为 8力 米，梯子的顶端下滑 2 米后，底端将水平滑动 2 米吗？试说明理由． 测 评 ） 在 Rt△ABC 中，BC=AB-AC=10-8=36，BC=6 米，在 Rt△CDE 中， CE2=DE2-CD2=102-62=82，?CE=8 米，则 BE=CE-CB=8-6=2 米． 所以顶端向下滑动 2 米，底端也水平滑动 2 米． 解：根据题意，可知：下图中 AB=DE=10 米，AC=8 米，AD=2 米，所以 DC=8-2=6 米．…… 师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料．现在 教 我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧． 学 过 程 设 计 三、课时小结 通过回顾与思考中的问题的交流．由同学们自己建立本章的知识结构图．?三边关系 ? ?勾股定理 ? 历史,应用 直角三角形 ? ?直角三角形的判别 ?如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD，点 D 落在 BC?边的点 F能 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长． 力 测 评 题 作业38 页复习题（1,2）课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格年新科题目7 周年级8 班复习题 17第 1.2 节课时教案知识目标: 1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结． 2．让学生回顾本章的知识，?同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和 验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．3．了解勾股定理的历史． 教学 目标 能力目标: 1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法． 2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力， ?鼓励 学生具有创新精神． 感情、态度与价值观目标 :1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的 乐趣．2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神， ?体验科学 给人类带来的力量． 1．回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、? 重点 角之间分别存在的关系．2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用． 难点 1．勾股定理及其逆定理的广泛应用． 2．建立本章的知识框架图． 教具 实验课 教学方式 演示课 电教课 多媒体课 √ 多媒体提 前 测 评 及 导 入 新 课1.直角三角形三边长有什么特殊的关系？ 2.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？ 3.什么叫原命题？ 4.什么叫逆命题？ 5.说一说勾股定理的逆定理？ 6.说一说命题 2？复习题 18教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） 5〓6-（1 1 1 1 〓2〓4+ 〓1〓5+ 〓2〓1+ 〓1〓4+1〓5） 2 2 2 21.解：两人从同一地点同时出发 10 分后，一人向北直行 200 米，?一人向东直行 300 米， 此时，他们相距 2002 ?
米．3．解：根据题意 AC= AB2 ? BC2 ? 1342 ? 772 =110mm． 所以两孔中心的垂直距离 110mm．4.解：覆盖在顶上的塑料薄膜需2 a2 ? b2 ? d ? 32 ?1.52 〓10≈33.5m ．5．解：根据题意，设三角形的三边分别为 k， 3 k，2k， （ 3 k）2+k2=（2k）2， 所以这个三角形是直角三角形．6． （1）逆命题：同位角相等，两条直线平行．此逆命题成立； （2）逆命题：如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，此逆命题不成立； （3）逆命题：锐角三角形是等边三角形，此逆命题不成立； （4）逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．此逆命题成立．9．解： （1）四边形 ABCD 的面积为：=30-（4+ =30-13教 学 过 程 设 计 （ 教 学 内 容 ， 方 法 ， 基 础 知 识 归 纳 能 力 测 评 ） =14.5．5 25 +1+2+6） 2四边形 ABCD 的周长为：22 ? 42 ? 12 ? 22 ? 12 ? 42 ? 12 ? 52=2 5 + 5 + 17 + 26 =3 5 + 17 + 26 （2）BC=2 5 ，CD= 5 ，BD=5． （2 5 ）2+（ 5 ）2=25． 所以 BC2+CD2=BD2，即∠BCD 为直角．10．解：设折断处离地面的高度是 x 尺，根据题意，得 （10-x）2=x2+32, 解得 x=91 ； 20 91 尺． 20所以折断处离地面的高度是为12．解：圆柱底面的周长为 12 ? cm，则 蚂蚁从 A 点爬到 B 点的最短路程= (6? ) 2 ? 102 ≈14.6cm．13．解：根据题意长方体的斜对角线的长度= 302 ? 402 ? 502 ≈70.7cm．70cm&70.7cm． 所以一根 70cm 长的木棒，可以放在长、宽、高分别是 30cm、40cm、50cm?的长方 教 体木箱中． 学 过 程 设 计如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD，点 D 落在 BC? 能 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长． 力 测 评 题 作业预习课 后 反 思 备课 评价 教研组长 意见 年 月 日 优 良 合格 不合格
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