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能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被 2、3、4、5、6、7、8、9 等数整除的数的特征性质 1：如果数 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被 c 整除。 性质 2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的 积也能被这个数整除。 整除的数，个位上的数是 0、2、4、6、8、的数能被 2 整除（偶数都 能被 2 整除的数 能被 2 整除），那么这个数能被 2 整除 整除的数， 那么这个数能被 3 整除 能被 3 整除的数 各个数位上的数字和能被 3 整除， 整除的数， 那么这个数能被 能被 4 整除的数 个位和十位所组成的两位数能被 4 整除， 4 整除如果一个数的末两位数能被 4 或 25 整除，那么，这个数就一定能被 4 或 25 整除．例如：0＋75 由于 100 能被 25 整除，100 的倍数也一定能被 25 整除，4600 与 75 均能被 25 整除，它们的和也必然 能被 25 整除．因此，一个数只要末两位数能被 25 整除，这个数就一定能被 25 整除． 又如： 832＝8×100＋32 由于 100 能被 4 整除，100 的倍数也一定能被 4 整除，800 与 32 均能被 4 整除，它们的和也必然能被 4 整除．因此， 因此，一个数只要末两位数字能被 4 整除，这个数就一定能被 4 整除．整除的数，个位上的数都能被 5 整除（即个位为 0 或 5）那么这个数 能被 5 整除的数 能被 5 整除 整除的数，个数位上的数字和能被 3 整除的偶数， 能被 6 整除的数 如果一个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么这个数能被 6 整除 整除的数， 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 能被 7 整除的数 位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看 出是否 7 的倍数，就需要继续 上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到 能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所 以 133 是 7 的倍数；又例如 判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下：613－9×2＝ 595 ， 59－5×2＝49，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。 整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被 8 整除，那么这个 能被 8 整除的数 数能被 8 整除 整除的数， 那么这个数能被 9 整除 能被 9 整除的数 各个数位上的数字和能被 9 整除， 整除的数，如果一个数既能被 2 整除又能被 5 整除，那么这个数能 能被 10 整除的数 被 10 整除（即个 位数为零） 整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和 能被 11 整除的数 之差（大数减小 数）能被 11 整除，则该数就能被 11 整除。 11 的倍数检验法 也可用上述检查 7 的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！ 整除的数， 则这个数能被 12 整除 能被 12 整除的数 若一个整数能被 3 和 4 整除， 整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 能被 13 整除的数 位数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果差太大或心算不易 看出是否 13 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。 整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个 能被 17 整除的数 位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果差太大或心算不易 看出是否 17 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。 另一种方法：若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被 17 整除 能被 19 整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个 整除的数 位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果差太大或心算不易 看出是否 19 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。 另一种方法： 若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除， 则这个数能被 19 整除 整除的数， 能被 23 整除的数 若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23 整除 整除的数，十位和个位所组成的两位数能被 25 整除。 能被 25 整除的数 整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被 125 整除。 能被 125 整除的数 是指排列， 个进行排列 行排列。 公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。 是指组合， 不进行排列。 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。 N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－（n-r+1)＝r 举例： Q1: 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排 A1: 列 P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的组 合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位 数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公 式＝P（3，9) ＝9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积） 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟” Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”， 可以组合成多少个“三国联盟” 可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213 组合和 312 组合， 代表同一个组合， 只要有三个号码球在一起即可。 即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。 上问题中， 将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终 组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、 排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有 3 名学生和 4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人 数，因此共有 种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共 有 种不同方法．点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有 9 种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一 次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同 的选法？②从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少 种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中 选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列； ②由于每两人互握一次手， 甲与乙握手， 乙与甲握手是同一次握手， 与顺序无关， 所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手 （次）．（2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．（3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不同的积．（4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．排列组合、 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并 能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 三、知识点、能力点提示 知识点、 (一)加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、 组合中有关问题提供了理论根据. 例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种? 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都 有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=35(种) (二)排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究 的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶 数共有( ) A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位数， 万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P13;在首末两位数排定后，中间 3 1 3 1 3 个位数的排法有 P 3，得 P 3P 3P 2＝36(个) 由此可知此题应选 C. 例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数 字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法 有 3 种，即 214 3，；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填 法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为 3P13=9(种).
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单项选择题有组数据：2，3，4，5，6，7，8。该组数据的平均数和标准差分别是5和2。如果给这组数据的每个数都加上3，再乘以2，那么可以得到一组新数据。其平均数和标准差分别是（ ）A．8，2B．8，5C．16，4D．16，10
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1A．百分等级B．2分数C．T分数D．CEEB分数2A．简单次数分布B．分组次数分布 C．累加次数分布D．相对次数分布3A．随着显著性水平α的增大而增大B．随着显著性水平α增大而减小C．与显著性水平α无关D．与显著性水平α的平方根成正比4A．－2，－1，0，1，2B．2 ，6，10，14，18，C．5.765,5.765，5.785，5.975D．1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,2.25,2.50,2.75,3.005A．内部效变B．外部效变C．构思效变D．统计结论效变
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最新相关试卷厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积；12．甲、乙两人同时从A地出E前往B地，甲每分钟；13．磁悬浮列车的能耗很低；14．有红球和绿球若干个，如果按每组1个红球2个；15．A、B、c、D四位同学看演出，他们同坐一排；二、解答题；16．假设有一种计算器，它由A、B、c、D四种装；这些装置可以连接，如在装置A后连接装置B，就记作；(1)若经过A→B→
厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是________平方厘米。
12．甲、乙两人同时从A地出E前往B地，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米。甲到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，甲离开B地15分钟后与正向B地行走的乙相遇。A、B两地相距________米。
13．磁悬浮列车的能耗很低。它的每个座位的平均能耗是汽车的70％，而汽车每个座位的平均能耗是飞机的10/21 ，则飞机每个座位的平均能耗是磁悬浮列车每个座位的平均能耗的________倍。
14．有红球和绿球若干个，如果按每组1个红球2个绿球分组，绿球恰好够用，但剩5个红球；如果自每组3个红球5个绿球分组，红球恰好够用，但剩5个绿球，则红球和绿球共有________个。
15．A、B、c、D四位同学看演出，他们同坐一排且相邻，座号从东到西依次是1号、2号、3号、4号。散场后他们遇到小明，小明问：你们分别坐在几号座位。D说：B坐在c的旁边，A坐在B的西边。这时B说：D全说错了，我坐在3号座位。假设B的说法正确，那么4号座位上坐的是________。 二、解答题。(每小题10分，共40分。)要求：写出推算过程。
16．假设有一种计算器，它由A、B、c、D四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数。各装置的运算程序如下： 装置A：将输人的数加上6之后输出； 装置B：将输入的数除以2之后输出； 装置c：将输入的数减去5之后输出； 装置D：将输入的数乘以3之后输出。 这些装置可以连接，如在装置A后连接装置B，就记作：A→B。例 如：输入1后，经过A→B，输出3.5。
(1)若经过A→B→C→D，输出120，则输入的数是多少?
(2)若经过B→D→A→C，输出13，则输入的数是多少?
17．如图4所示，长方形ABCD的长为25，宽为15。四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC平行。求阴影部分的面积。
18．在如图5所示的圆圈中各填人一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。请问这样的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。
19．40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗。这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如下页表中所示。如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员才能既完成挖树坑的任务，又使树苗运得最多?
第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛 五年级 第1试 以下每题6分，共120分 2÷= ______。 a?b?c2．对不为0的自然数a,b,c 规定新运算“☆”：☆(a,b,c)=a?b?c则☆(1,2,3)= ______。 3．判断：“小明同学把一张电影票夹在数学书的51页至52页之间”这句话是
______（填“正确”或“错误”） 4．已知a,b,c是三个连续自然数，其中a是偶数。
根据图1中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是______ 。 5．某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是
。 35pp6．当p和 +5都是质数时，+5=______。 7．下列四个图形是由四个简单图形A、B、C、D（线段和正方形）组合（记为*）而成。
则图①―④中表示的是______。（填序号）
8．下面四幅图形中不是轴对称图形的是______ 。（填序号） （注：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。）
9．小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的______。（填序号）
图3 10．图3中内部有阴影的正方形共有______个。 11．图4中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是
厘米。 12．图5中的熊猫图案的阴影部分的面积是______平方厘米。（注：阴影部分均由半圆和正方形组成，图中一个小正方形的面积是1平方厘米，?取3.14）
表显示：（24944）
图6 13．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有______页。 14．在一副扑克牌中（去掉大、小王），最少取
____张牌就可以保证其中有3张牌的点数相同。 15．如图6，摩托车里程表显示的数字表示摩托车已经行驶了24944千米，经过两小时后，里程表上显示的数字从左到右与从右到左的读数相同，若摩托车的实速不超过90千米，则摩托车在这两个小时内的平均速度是______千米/时。 16．一名搬运工从批发部搬运500只瓷碗到商店，货主规定：运到一只完好的瓷碗得运费3角，打破一只瓷碗陪9角，结果他领到的运费136.80元，则在运输中搬运工打破了_____只瓷碗。 17．李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平常早到5分钟。则李经理乘车的速度是步行速度的_____倍。（假设车速、步行速度保持不变，汽车掉头与上下车时间忽略不计） 18．将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有_____ 种不同的放法。 11119．在算式“希＋望＋杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝
。 20．A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/、6米/分、5米/分。如果甲、乙、从A地，丙从B地同时出发相向而行，那么，在
分钟后，丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍。 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛 五年级 第2试 一、填空题(每小题5分，共60分。) 1．将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，再展开正方形纸片，得到图中的______。(填序号)
2．(7.88＋6.77＋5.66)×(9.31＋10.98＋10)－(7.88＋6.77＋5.66＋10)×(9.31＋10.98)＝______。 3．对于非零自然数a，b，c，规定符号的含义：(a,b,c)＝，那么＝______。
4．如下左图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，左图能变成的象形汉字是右图中的______。(填序号)
5．小芳在看一本图画书，她说：
由她所说．可知这本书共有______页。
6．某商场每月计划销售900台电脑，在5月1日至7日黄金周期同，商场开展促销活动。但5月的销售计划增加了30％．已知黄金周中平均每天销售了54台，则该商场在5月的后24天平均每天至少销售______台才能完成本月销售计划。
7．如图，正方形硬纸片ABCD的每边长20厘米，点E、F分别是AB、BC的中点，现沿图(a)中的虚线剪开，拼成图(b)所示的一座“小别墅”，则图(b)中阴影部分的面积是______平方厘米。 题11
8．在一次动物运动会的60米短跑项目结束后，小鸡发现：小熊、小狗和小兔三人的平均用时为4分钟，而小熊、小狗、小兔和小鸭四人的平均用时为5分钟。小鸭在这项比赛中用时______分钟。
9．在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地裁一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗______棵。
10．小强练习掷铅球，投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.73米，去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米，去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米。小强最好成绩与最差成绩相差______米。
11．在如图所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都足12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是______。
12．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A、B两地间的距离是______千米。 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分。)
要求：写出推算过程。
13．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：
第一次，沉入小球；
第二次，取出小球，沉入中球；
第三次，取出中球，沉入大球。 已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。 14．2006年夏天．我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注人池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问几小时可以把这池水抽完?
15．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、再三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。 请问：开始时，甲手上有多少点?(每局三人的点数总和保持不变)
16．农科所向农民推荐丰收I号和丰收Ⅱ号两种新型良种稻谷。在田间管理和土质相同的情况下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20％，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比I号稻谷高。已知政府对I号稻谷的收购价是1.6元／千克。
(1)当政府对Ⅱ号稻谷的收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
(2)去年王伯伯在土质和面积相同的两块田里分别种植I号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的田间管理。收获后，王伯伯把稻谷全部卖给政府。卖给政府时，Ⅱ号稻谷的收购价为2.2元／千克，I号稻谷的收购价不变，这样王伯伯卖Ⅱ号稻谷比卖I号稻谷多收人1040元。求王伯伯去年卖给政府的稻谷共有多少千克? 三亿文库包含各类专业文献、中学教育、专业论文、高等教育、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、15希望杯第1-8届五年级数学试题等内容。
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