基于脉冲频响函数的MATLAB动力方程求解方法-海文库
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基于脉冲频响函数的MATLAB动力方程求解方法
１９卷２期２舳３年６月世界地震工程ＷＯＲＬＤＥＡＲＴＨＯＵ＾ＫＥＥＮＣＪＮＥＥ砌ＮＧＶｏｌ１９．Ｎｏ２Ｊｕｎ．．：００３文章编号：１００７―６０６９《２００３）０２一０１６８―０４基于脉冲频响函数的ＭＡＴＬＡＢ动力方程求解方法马乐为，吴敏哲，谢异同（西安建筑科技大学土木【＋程学院。陕西西安７１００５５）摘要：提出一种基于脉冲频响函数并利用ＭＡＴＬＡＢ求解的方法，由于脉冲频晌函数利用卷积公式进行动力微分方法计算，因此，从理论上讲，它适台于任意外力下的动力方程求解，同时，ＭＡＴＬＡＢ又提供了卷积函数ｃｏｎｖ，所以，在Ｍ＾ＴＬＡＢ下求解动力方程将变得十分容易。关键词：脉冲频响函数；ＭＡＴＬＡＢ；反应谱；动力方程求解中图分类号：Ｐ３１５．９文麓标识码：ＡＡｍｅｔｈｏｄｏｆｄｙｎａｌＩｌｉｃｅｑｕａｎ佃ｓｏｌｕｔｉｏｎｂａｓｅｄ佃￡ｈｅｊｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｒｅｓｐｏ璐ｅＭＡｃｏｌｌｅｇｅ甜ｃｉｖｉｌＭＡＴＬＡＢｋ―ｗｅｊ，ＷＵＭｊｎ―ｚ｝ｌｅ，ＸＪＥ¨?ｔｏ”ｇ０ｆＡ陀ｈ＆Ｔｃｃｈ．．ｘｉｈ７１∞５５，ｃｈｉ响）Ｅｎ矛ｎｃｃｄ“ｇ．ｘｉＡｎｕｎ｛ｖＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐ８ｐｅｒｈａｓｓｕｇｇｅｓｔｅｄａｎｄＭＡＴＬＡＢ．ａｓｏｌｕ蛀ｏｎｎｌｃｔｈｏｄｏｆｄｙｎａｍｉｃ８ｑｕａｔｉｏｎｂａｓｅｄｃａｎｏｎｔｈｅｉｍｐＩｊｌｓｅｒｅ８ｐｏｎｓｅｆｕｎｎｉｏｎｕｓｅ８ｃｃａｕｓｅｊｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃ￡ｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅ￡｝ｌｅｄｙ眦ｍｉｃｄ珊ｂｒ明ｔｉｄ８ｑｕａ￡ｉｏｎｂｙｏｆｃｏｎｍ】ｕｆｉｏｎｉｍ。ｇｒａｌ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｗｉｌｌｓｕｉ【ａｂｌｅｃｏｎｖｏｌｕ“ｏｎｓ０１ｖｅ山ｅ８ｑｕａｔｉｏｎｏｆａｎｙｃｘＬｅｒｎａｌｆｏｍｅ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅＭＡＴＬＡＢｐｒ０Ｖｉｄｅｓｌｈ。ｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａｄｏｎｂｙＭＡＴＬＡＢｃａｎｆｕｎｃｔｉｏｎ（ｃｏｎｖ），∞山ｅｂｅｃｏｍｅｖ。ｒｙｅａｓｙ．０ｆｄｙｎａｍｉｃｃｑｕａ“ｏｎＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｕｌｓｅｒｅｓｐｏｎｓｅｆｕｎｃｔｉｏ”；ＭＡｌｌＡＢ；ｅａ曲ｑｕａｋｅｓｐｅｃＬｎｌｍ；ｓｏｌｕｔｉｏｎ１引言对动力方程求解的方法是多种多样的，如果动力方程式的输入项可表示成函数形式．则有可能求出此一－阶常微分方程的解析表达式，但对于工程中常见的地震波输入，则无法求出方程的解析解。对此目前常用的方法是多种多样的，包括线性加速度法、ｗｉｌｌｓｉｏｎ―ｏ法、Ｎｅｗｍａｒｋ法以及目前较为流行的小波变换分析方法。ＭＡｌｌＡＢ其实是矩阵实验室（Ｍａ砸ｘｈｂｏｒａｔｏｒｙ）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交再：式程｝＃语言，该软件由美国Ｍａｔｈｗｏｒｋｓ公司于１９８４年正式推出，现已成为一种科技人员普遍使用的计算工具，美国已有３（）ｏ多种有关ＭＡＴＬＡＢ的书籍，我国目前有关此软件的图书也不下百种。ＭＡ７ｒＬＡＢ最大的优点就在于其极为丰富的函数库以及几乎能够满足各学科要求的工具箱（Ｔ００ｌｂｏｘ），人们可以用最少的语句完成最复杂的计算，这便是ＭＡＴｕＢ广泛应用的主要原因。因此，在地震反应分析中使用了ＭＡⅡＡＢ作为开发平台。收稿目期：２００２一０９―１５；修订日期：２００３一０１―１８怍者简介：马乐为（１９７１一），男，腆西西安人，讲师，主要从事结构工程脚腕万方数据　２期马乐为等：基于脉冲频响函数的ＭＡＴＬＡＢ动力方程求解方法２基于脉冲频响函数的动力方程对于单自由度动力方程，在已知结构阻尼比ｆ、自振频率ｍ及输入地震加速度口。的条件下，其动力方程可表示如下：对（１）式进行Ｌａｐｌａｃｅ变换￡ｆⅣ（￡）］＝ｉ＋２鲥＋∞２ｘ＝一‰ｆｚ（￡）ｅ一”ｄ￡＝ｊ（ｓ）ｆ１）Ｌ【叠（ｃ）］＝ｆ学一出玎“巾，Ｉ：』（一盯１巾）出＝一＊（ｏ）．＋洲ｓ）Ｌ［釜（￡）］＝一ｘ（ｏ）一矗（ｏ）＋ｓ２ｚ（５）Ｌ【一星。］＝一Ｆ（ｓ）令ｘ（０）＝０，ｉ（ｏ）＝０，则有（ｓ２＋２ｆ甜５＋脚２）肖（５）＝一，（ｓ）定义传递函数（２）设ｓ。ｓ２为系统特征方程（ｓ２十２ｆ¨＋∞２）＝０的根，则ｓ。ｓ：可表示成以下形式：屯２＝“±脚。上式可作如下分解Ｈ（５）２工（５）７Ｆ（５）一矿蕊而Ｈ（５）＝Ｆ搞＝啬了＋ｉ南１｛３）（４）式中ｓ，、ｓ：称为极点，则其对应的留数为：２壶２，将式（３）作Ｉｎｐｌａｃｅ反变换即得脉冲响应函数＾（Ｉ）因此，结构的地震反应便可利用卷积公式表示如下：●ｌｒ２＝日（ｓ）（５咱）ｋ１．２历１（５）＾（‘）＝工一［Ⅳ（５）］＝一［ｒｌｅｘｐ（ｓｌ￡）＋ｒ２ｅｘｐ（ｓ２￡）］（６）ｚ（ｔ）＝Ｉ＾（ｆ―ｒ）‰（ｒ）ｄｒ。Ｏ（７）３基于ＭＡＴＭＢ的动力方程求解现以下面实例来说明如何利用脉冲频响函数在ＭＡＴＬＡＢ下求解动力方程。例：设单自由度阻尼系统的质量ｍ＝ｌ蝇，弹簧刚度系数Ｋ＝５０Ｎ／ｍ，速度阻尼系数ｃ＝４Ｍ＆／ｍ，求它在如下外力，作用下的强迫振动，并作出ｌ＜１．２ｓ的波形。，，２ｒＩ／ｏ．０１５０≤‘≤Ｏ．１５ｓｏ．１５５＜￡≤１．２ｓｉ１０首先，按式（４）和式（５）求出系统的脉冲频晌函数，则强迫振动的波形就等于和外加力作卷积的结果在ＭＡＴＬＡＢ中，＾（‘）和八￡）都可用数组来表示，其采样间隔应相时间向同，便有ｚ＝ｃｏｎｖ（ｈ册×ｄ￡，卷积计算很繁琐，通常只有一些有解析表圈１强迫振动波形图示式的激励信号，如方波、正弦波等，而用ＭＡＴＬＡＢ就不必受限制，在本题中传递函数用极点留数函数万方数据　１７０世界地震工程１９卷ｒｅｓｉｄｕｅ求得，然后，用卷积函数ｃｏｎｖ，根据输人函数，（￡）和传递函数＾（ｚ）输出。ＭＡＴＬＡＢ程序如下，运行结果如图】所示。ｍ＝１；ｃ＝４；ｋ＝５０；ｄｔ＝Ｏ．０１５；％输入给定的参数ｗ。＝ｓｑｎ（ｋ／ｍ）；％求系统固有频率ｚｅｔａ＝ｃ／８ｑｒｔ（ｍ＋ｋ）／２；％求系统固有阻尼系数Ｈ；【Ｉ，２＋ｚｍ’ｗ０．ｗ０＾２］；ｂ＝１；％求分母、分子的系数［ｒ，ｐ］－『ｅｓｉｄｕｅ（ｂ，ａ）；％求极点、留数ｌ－０：ｄｔ：１．２；ｈ＝ｒ（１）＋ｅ。ｐ（ｐ（１）’ｔ）＋ｒ（２）＋ｃｘｐ（ｐ（２）’ｔ）；％求出系统的脉冲响应ｒ＝［１：１０，１０’ｏｎｅｓ（１，７０）］；％给出外加力的采样值ｘ＝ｃｏｎｖ（ｈ，ｆ）’ｄｔ；％把脉冲响应和外加力作卷积ｐｌｏＩ（Ｉ（１：８０，ｘ（１：８０））％绘图４基于ＭＡＴＬＡＢ的地震反应谱求解按以上理论对上海波ｓＨｗ２（图２（Ｂ））在结构阻尼比为ｏ，０５时的口谱曲线，编制的ＭＡＴＬＡＢ程序如Ｆ其结果如图３（ａ）所示。按同样方法也可作出Ｅｌｃｅｎｔｍ波的口反应谱，其结果如图３（ｂ）所示。强ｓ０＼趟制景０己＼螂制嚣一５００ｊＯ２０３０４０５０６０７０８０时问／ｓ时问／ｓ㈨ｓＨｗ２波巾）Ｅ１ｃ如晌波图２原始地震波记录巅曝杉螂Ｒ棍彬ｖ＼ｆ沁＾＼≮了～～耘瞒Ｋ挺采需。４‘“‘ｆ、ｒ周期（Ｔ）／ｓｆｂ】Ｅ１ｃｃＴ】ｈｕ波周期（丁）／ｓ（时ｓＨｗ２波图３地震波加速度的口反应谱ｋａｄ（舒ｗ２，；％加载上海波ｓＨｗ２ａｍａｘ＝ｍ“（ａｂｓ（ｓｈｗ２））；％求ｓＨｗ２的最大值ｄｔ＝ｏ．０２；％积分步长为ｏ．０２ｓ任＝ｓｈｗ２；％将加速度输入视为力的输入ｎ＝Ｏ；％将变量ｎ设为计数器ｚｃｔａ＝Ｏ．０５；％设结构的阻尼比为Ｏ．０５ｆｏｒｗ＝１００：一Ｏ．２：ｌ；％对结构的自振频率进行循环万方数据　２期马乐为等：基于脉冲频响函数的ＭＡＴＬＡＢ动力方程求解方法ｘ＝ｏ；ｖ＝Ｏ；８ｃｃ＝Ｏ；％设结构的初始条件为０ａ＝［１，２’ｚｅｔａ’ｗ，ｗ＾２］；ｂ＝１；［１，ｐ］＝ｒｅｓｉｄｕｅ（ｂ，ａ）；％求特征方程的极点ｐ与留数ｒｔ＝Ｏ：ｄｔ：ｌｅ“ｇｔｈ（８ｈｗ２）＋ｄｌ；ｈ＝ｒ（Ｊ）’ｅｌｐ（ｐ（１）＋【）＋ｒ（２）＋ｅｘｐ（ｐ（２）’ｔ）；％求脉冲响应函数ｈ（ｔ）ｘ＝Ｐｏｎｖ（ｈ，ｆｆ）＋ｄ‘；％求卷积ｖ＝ｄｉ仃（ｘ）／ｄ‘；％对位移求导数ａ（ｃ＝ｄｉｆｆ（ｖ）／ｄｔ；％对速度求导数ｎ＝ｎ＋ｌ；ｂｅｔａ（ｎ）＝ｍａ）【（ａｂｓ（ａｃｃ））／ａｍａｘ；％求动力放大系数Ｔ（ｎ）＝２’ｐ∥ｗ；ｅｎｄｐｌｃｎ（ＬｂｅＩａ）；％画出结构的加速度反应谱ｇ―ｄｏｎ：５结论另外，参考文献：［Ｉ］俞卉”，胡章贤荚于上海市‘建筑抗震设汁规程）巾长周期设｝ｔ反应ｊ苷的讨论［】】地震工程与］：程振动，２００２，２０（１）：２７―３２［２］ｊ）ｆｊＪ。ｓ一９―９２，建筑抗震设计规程ｆｓ］．万方数据　
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用MATLAB画零极点图
用MATLAB将传递函数化为零极点增益模型并绘制零极点图将传递函数化为零极点增益模型 并绘制零极点图? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? && num=[3 2 8]; && den=[1 3 8 4 2]; && G=tf(num,den) Transfer function: 3 s^2 + 2 s + 8 ----------------------------s^4 + 3 s^3 + 8 s^2 + 4 s + 2 && G1=zpk(G); && z=G1.z; && p=G1.p; && Z=z{:}; && P=p{:}; && k=G1.k; && pzmap(G); && pzmap(G1); && grid on将传递函数化为零极点增益模型 并绘制零极点图 ? ? ? ? ? Transfer function: 3 s^2 + 2 s + 8 ----------------------------s^4 + 3 s^3 + 8 s^2 + 4 s + 2 将上式化为零极点增益模型，并绘制零极 点图。? && num=[3 2 8]; ? && den=[1 3 8 4 2]; ? && G=tf(num,den)Transfer function: 3 s^2 + 2 s + 8 ----------------------------s^4 + 3 s^3 + 8 s^2 + 4 s + 2求传递函数。命令后无 “;”则屏幕立即显示，否 则不显示。? ? ? ?&& G1=zpk(G);%化为零极点增益形式 && z=G1.z;%将G1零点存入z %下面语句也可获得零极点。 && p=G1.p; %将G1极点点存入p && [z,p,k]=tf2zp(num,den) && k=G1.k;%将G1增益存入k&& Z=z{:} Z= -0.3333 + 1.5986i -0.3333 - 1.5986i 显示极点 && P=p{:} P= -1.2496 + 2.2082i -1.2496 - 2.2082i -0.2504 + 0.4980i -0.2504 - 0.4980i 显示零点&& pzmap(G1);%绘制零极点图 && grid on %打开绘图网络鼠标指向某零点或极点会显示该方 框。 极点、阻尼比ζ、超调量、固有频率 wn.Pole-Zero Mapwnwn 1 ? ξ 22.5 2 1.5 1 Imaginary Axis 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1.4ζ由斜边和实部求出。超调量由ζ求出。-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Real AxisζwnMp =e?ξπ / 1?ξ 2化传递函数为零极点形式Transfer function: z^2 + 2 z + 1 ----------------------------z^4 + 5 z^3 + 3 z^2 + 8 z + 9 ，Sampling time: 0.2&& num=[1 2 1]; && den=[1 5 3 8 9]; && t=0.2; && G2=tf(num,den,t)Transfer function: z^2 + 2 z + 1 ----------------------------z^4 + 5 z^3 + 3 z^2 + 8 z + 9 Sampling time: 0.2%有采样时间 t，则显示为脉冲传递函数，自变量为 z&& G22=zpk(G2) %求离散系统G2零极点Zero/pole/gain: (z+1)^2 ---------------------------------------(z+4.635) (z+1) (z^2 - 0.6347z + 1.942) Sampling time: 0.2&& num=[1 2 1]; && den=[1 5 3 8 9]; && t=0.2; && G1=tf(num,den)%没有采样时间 t，则显示为传递函数,自变量为 sTransfer function: s^2 + 2 s + 1 ----------------------------s^4 + 5 s^3 + 3 s^2 + 8 s + 9&& G11=zpk(G1) %求连续系统G1零极点Zero/pole/gain: (s+1)^2 ---------------------------------------(s+4.635) (s+1) (s^2 - 0.6347s + 1.942)? && num=[1 2 1]; ? && den=[1 5 3 8 9]; ? && [z,p,k]=tf2zp(num,den)%化传递函数为零极点增益形式z= -1 -1p= -4.4 + 1.4 - 1.3569i -1.0000k= 1化零极点增益形式为传递函数&& [num1,den1]=zp2tf(z,p,k) %化零极点增益形式为传递函数num1 = 0 0 1 2 1den1 = 1.0 3.0 9.0000系统的串、并联的传递函数? 2 s^2 + 6 s + 5 ? G1= --------------------? s^3 + 4 s^2 + 5 s + 2 ? s^2 + 7 s + 12 ? G2= -------------? s^2 + 3 s + 2 ? 分别求G1、G2串、并联后的传递函数。&& num1=[2 6 5]; && den1=[1 4 5 2]; && G1=tf(num1,den1)； && num2=[1 7 12]; && den2=[1 3 2]; && G2=tf(num2,den2)； && G=series(G1,G2) 或 && G=G1*G2 %串联Transfer function: 2 s^4 + 20 s^3 + 71 s^2 + 107 s + 60 ---------------------------------------s^5 + 7 s^4 + 19 s^3 + 25 s^2 + 16 s + 4 && Gp=parallel(G1,G2) 或&& Gp=G1+G2 %并联 Transfer function: s^5 + 13 s^4 + 57 s^3 + 112 s^2 + 101 s + 34 -------------------------------------------s^5 + 7 s^4 + 19 s^3 + 25 s^2 + 16 s + 4用零阶保持器将连续系统离散化G (s) = 1 s ( s + 1) 1 ? e ? sT 零阶保持器：Gh ( s ) = s 求G ( z ) ? G ( z ) = Z [Gh ( s ) ? G ( s )]连续转化为离散（系统，采样 && num=[1]; 时间，’方法‘） && den=conv([1 0],[1 1]); && G=tf(num,den); && G1=c2d(G,1,'zoh') %G1=c2d(sys,Ts,‘method’) Transfer function: 0.3679 z + 0.2642 ---------------------z^2 - 1.368 z + 0.3679 Sampling time: 1网站已改版，请使用新地址访问：
windowsfunction 用matlab编程，采用512个频率点绘制各种窗函数的幅频特性。
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&详细说明：用matlab编程，采用512个频率点绘制各种窗函数的幅频特性。
-Using matlab programming, 512 frequency points using a variety of window functions mapping amplitude-frequency characteristics.
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&[] - MATLAB仿真各种窗函数（汉明窗、矩形窗、凯瑟窗等）的性能分析
设信号 ，用 对x(t)采样得x(n)，是否会发生频谱混叠？现利用FFT分析其频谱。
1．编程绘制该信号的波形。
2．若令N=16，编程对x(n)做FFT运算，并绘制其幅频特性曲线。
3．令N=1024，编程对x(n)做FFT运算，并绘制其幅频特性曲线。
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如何用matlab画方程曲线?怎么画x^2=112.5(y-12)^2+225/8(20-y)^2+90/64(y-12)(20-y),x在0到30之间,y大于0的图像
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当你的x在0到30之间取值时,y是复数.可以通过solve函数先解出y来,然后再画出y的模关于x的函数.syms x yf=223/2*(y-12)^2+225/8*(20-y)^2+90/64*(y-12)*(20-y)-x^2;t=solve(f,y);a=0:0.1:30;b=double(abs(subs(t,a)));plot(a,b)
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扫描下载二维码(4)求下列微分方程所描述系统的频率响应，并画出；y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f?(t；五、实验报告要求；整理并给出“实验内容与步骤”（1）、（2）、（3；(1)在“实验内容与步骤”(1)，采用三角函数和；(2)综合考虑“实验内容与步骤”(2)和(3)，；16；实验四、连续时间系统的复频域分析；一、实验目的；(1)深刻理解和掌握拉普拉斯变换的运算
(4) 求下列微分方程所描述系统的频率响应，并画出幅频、相频响应曲线： y??(t)?3y?(t)?2y(t)?f?(t) 五、实验报告要求 整理并给出“实验内容与步骤”（1）、（2）、（3）、（4）中的程序代码与产生的图形；并回答下面的问题。 (1) 在“实验内容与步骤”(1)，采用三角函数和指数形式的的傅里叶分解有何不同，它们之间的关系是什么？采用不同项数的分解形式对原始函数进行逼近，效果有何不同？为什么？ (2) 综合考虑“实验内容与步骤”(2)和(3)，比较傅氏变换时移和平移的不同效果。
实验四、连续时间系统的复频域分析 一、实验目的 (1)
深刻理解和掌握拉普拉斯变换的运算方法及其性质； (2)
熟练掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换，并能利用MATLAB实现； (3)
理解复频域系统函数H(s)的意义，并能熟练画出其频谱； (4)
利用复频域系统函数H(s)的零、极点分布对连续时间系统进行复频域分析原理和方法。 二、实验原理 (1) 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是分析连续时间信号的有效手段。信号f(t)的拉普拉斯变换定义为： F(s)??f(t)e?stdt ???其中s???j?，若?以为横坐标（实轴），j?为纵坐标（虚轴），复变量s就构成了一个复平面，称为s平面。 (2) 部分分式展开法求拉普拉斯逆变换 如果F(s)是s的实系数有理真分式，则可写为： B(s)bm?bm?1sm?1???b1s?b0 F(s)??nn?1n?1A(s)s?as???a1s?a0式中分母多项式A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)?0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。为将F(s)展开为部分分式，要先求出特征方程的n个特征根，这些特征根称为F(s)极点。根据F(s)的极点或特征根的分布情况，可以将F(s)展开成不同的部分分式。 利用Matlab中的residue函数可得复杂的s域表示式F(s)的部分分式展开 17
式，其调用形式为： [r,p,k]=residue(num,den) 其中，num(numerator)、den(denominator)分别为F(s)分子多项式和分母多项式的系数向量,r为所得部分分式展开式的系数向量，p为极点，k为分式的直流分量。 (3) 连续系统复频域分析 拉普拉斯变换可以将连续系统从时域转化到复频域进行分析，将描述系统的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，便于运算和求解。在复频域中描述系统的代数方程一般可表示为： Y(s)?Yx(s)?Yf(s)?M(s)B(s)?F(s) A(s)A(s)即系统响应在复频域中也可以分解成零输入响应和零状态响应。 (4) 系统函数与频率响应函数 系统零状态响应的象函数Yf(s)与激励的象函数F(s)之比称为系统函数，即： H(s)?Yf(s)F(s)?B(s) A(s)系统函数只与描述系统的微分方程系数有关，即只与系统的结构、元件参数有关，而与外界因素（激励、初始状态等）无关。系统函数为复频域中的函数，因此也存在着相频特性和幅频特性。而在系统分析时，经常采用的是系统的频率响应H(j?)。系统函数与频率响应之间存在一定的关系。对于连续系统，如果其系统函数的极点均在左半开平面，那么它在虚轴上也收敛，从而得到系统的频率响应函数为： H(j?)?H(s)s?j? 如果已经知道系统的零极点分布，则可以采用几何矢量法求出系统的频率响应函数，画出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线（参考第七章第一节系统函数与频率响应函数部分）。 如果利用Matlab来求解系统的频率响应特性曲线，也可以用impulse函数求出系统的冲激响应，然后再利用freqs函数直接计算系统的频率响应。它们的调用形式分别为：sys=tf(b,a)，y=impulse(sys,t)。其中tf函数中的b和a参数分别为LTI系统微分方程右端和左端各项系数向量，分别对应着系统函数的分子和分母多项式的系数；implulse函数直接求解系统冲激响应。freqs函数直接计算系统的 18
频率响应，其调用形式为H=freqs(b,a,w)。其中b为频率响应函数分子多项式系数向量，a为分母多项式系数向量，它们也分别对应着系统函数相应的系数向量；w为需要计算的频率抽样点向量。值得注意的是，这种方法的前提条件是系统函数的极点全部在复平面的左半开平面，因此必须先对系统函数的零极点进行分析和判断，只有满足了条件才可以如此求解。 (5) 系统函数的零极点与系统的稳定性 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。如上所述，分母多项式的根对应着其极点，而分子多项式的根则对应着其零点。若连续系统系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。即系统函数的零、极点分布完全决定了系统的特性。 根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。在复频域中，连续系统的充要条件是系统函数的所有极点均位于复平面的左半平面内。因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。 在Matlab中，求解系统函数的零极点实际上是求解多项式的根，可调用roots函数来求出。求出零极点后，可以直接画出零极点图也可以调用pzmap(sys)函数来画出由sys所描述的系统的零极点分布图。 三、程序示例 示例1：求函数F(s)?s的拉普拉斯逆变换。 (s?2)(s?4)源程序： num = [1 0]; den = [1 6 8]; [r,p,k] = residue(num, den); 运行结果为： r＝2
－1 p＝－4
－2 k=0 由运行结果可知，F(s)有2个极点，分别是p＝－4
－2，所对应的系数向量分别是r＝2
－1，因此可得F(s)的展开式为： F(s)?2?1? s?4s?2再由基本的拉普拉斯变换可知，F(s)的拉普拉斯逆变换为：
f(t)?(2e?4t?e?2t)?(t) 示例2：求函数F(s)?1的拉氏逆变换。 s(s?1)2F(s)的分母不是多项式，可以利用conv函数将现在的因子相乘的形式转换为多项式的形式，然后再调用residue函数。 源程序如下： num = [1]; a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); [r,p,k] = residue(num, den); 运行结果为： r＝-1
0 k=0 由运行结果可知，F(s)有1个单极点p?0和一个重极点p?1，所对应的系数向量分别是r＝0，－1，1，因此可得F(s)的展开式为： F(s)??111?? 2s?1(s?1)s再由基本的拉普拉斯变换可知，F(s)的拉普拉斯逆变换为： f(t)?(?e?t?te?t?1)?(t) s2?4示例3：求函数F(s)?2的拉氏逆变换。 2(s?4)同样，F(s)的分母不是多项式，可以利用conv函数将现在的因子相乘的形式转换为多项式的形式，然后再调用residue函数。 源程序如下： num = [1 0 -4]; den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den); 运行结果为： r＝-0.0i
0.0i p＝-0.0i
-0.0i k=0 由运行结果可知，F(s)有2个重极点p??2j，所对应的系数向量分别是
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