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11高等数学第11章无穷级数教案1
《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第十一章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念； 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； 3、掌握几何级数与 p ? 级数的收敛与发散的条件； 4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法； 5、掌握交错级数的莱布尼茨定理； 6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛 的关系； 7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收 敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质， 8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的 和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件； 9、掌握 e x ， sin x ， cos x ， ln(1 + x) 和 (1 + x)α 的麦克劳林展开式，会用它 们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用； 10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会 将定义在 [ ? l , l ] 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 [0 , l ] 上的函数展开为 正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。二、本章各节教学内容（列出节名）及学时分配： （20 学时）第一节 常数项级数的概念及性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第七节 傅里叶级数 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 本章小结 2 学时 4 学时 3 学时 3 学时 2 学时 4 学时 1 学时 １学时．三、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收 敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．四、本章教学内容的深化和拓宽： 五、本章的思考题和习题：第一节 习题 11―1 教材 193 页：1 (4)；2 (3)；3 (1) (2)；4 (1) (5)． 第二节 习题 11-2 教材 206 页：1 (2) (3) (5)；2 (1) (3)；4 (1) (2) (3) (6)，5 (1) (2) (4) (5)． 第三节 习题 11-3 教材 215 页：1 (3) (4) (7) (8)，2 (1) (3)． 第四节 习题 11-4 教材 223 页：2 (2) (4) (5)；5． 第五节 习题 11-5 教材 229 页：1 (2) 第六节 习题 11-6 教材 250 页：1 (1)；2 (2)；6；7． 第七节 习题 12-7 教材 256 页：1 (3)；2 (1)．第十一章 无穷级数第 1 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数的一种工具，也是 研究函数的性质和进行数值计算的工具，并且是学习后继课程的基本础。第一节常数项级数的概念及性质讲稿内容 一、常数项级数概念： 在数学中，有限项相加的意义，大家是知道的，但是要把无穷多个项相加， 这又是什么意思呢？这就是无穷级数所要讨论的内容。 在生产实践中是否有无穷 多项相加的例子呢？特别是无穷多个数相加的例子呢？回答是肯定的， 下面我们 举一个无穷多个数相加的例子，以便说明无穷级数的概念。 引例 用逼近的方法计算半径为 R 的圆的面积。 具体做法如下： ① 作圆的内接正六边形，并计算出正六边形的面积为 a1 ， a1 可作为圆的面 积的粗糙近似。 ② 作圆的内接正十二边形：以正六边形的每一边为底边分别作一个顶点在 圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积为 a 2 ，则 a1 + a 2 为圆的内 接正十二边形的面积，它可以作为圆的面积的一个较好的近似； ③ 在十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，其面积 和为 a 3 ，则 a1 + a 2 + a 3 为圆的内接正二十四边形的面积，它可以作为圆的面积 的一个更好近似。 如此继续下去， 则内接正多边形的面积越来越来接近圆的面积， n 这样作了 n 次（即 3 × 2 边形）的面积为 a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a n ④如果边数无限增多，即 n → ∞ ，和式 a1 + a 2 + a 3 + ? ? ? + a n 的极限（必定存 在）则为圆的面积，这样就出现了无穷多项相加： a1 + a 2 + a3 + ? ? ? + a n + ? ? ? 事实上，定积分等的定义中，也出现了无穷多项相加。 定义 给定数列 u1 , u 2 ,? ? ?u n ,? ? ? ， u1 + u 2 + ? ? ? + u n + ? ? ? 叫做常数项无穷级数， 则∞ n =1或简称级数，记为 ∑ u n ，即∑un =1∞n= u1 + u 2 + ? ? ? + u n + ? ? ?其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项。 常数项无穷级数实际上就是无穷多个数相加，那么，这个和式是否具有“和 数”呢？从上面求圆的面积的例子来看，是有“和数”的，这个“和数”就是圆 的面积，但有些无穷级数就不一定有“和数” ，如 1 + ( ?1) + 1 + ( ?1) + ? ? ? 因此，无穷级数只是一种形式上的相加，是否具有“和数”还不一定，那么 这个“和数”的确切意又是什么呢？为了回答这个问题，我们引入部分和数列的 概念。 令 S1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 ,? ? ?, S n = u1 + u 2 + ? ? ? + u n ,? ? ?第十一章 无穷级数第 2 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞张谋∞则 S1 , S 2 ,? ? ?, S n ,? ? ? 构成一数列， 称为级数 ∑ u n 的部分和数列，∑ u n 的前 n 项n =1 n =1和称为级数 ∑ u n 的部分和。n =1∞我们用部分和的极限存在与否来定义级数的“和”是否有意义，即级数收敛 与发散的定义。 定义∞如果级数 ∑ u n 的部分数列 {S n } 有极限 s ，即 lim S n = s ，则称无穷级n =1n →∞ ∞∞数 ∑ u n 收敛，其极限值 s 叫做这个级数的和，即 ∑ u n = s 。n =1 n =1如果 {S n } 没有极限，称无穷级数 ∑ u n 发散。n =1∞注： 1．部分和数列 {S n } 与无穷级数 ∑ u n 有相同的敛散性，收敛时n =1 ∞s = lim S n = lim ∑ u k = lim (u1 + u 2 + ? ? ? + u n ) ，n→∞ n →∞ k =1 n→∞n这与处理反常积分的定义类似。 2． ∑ u n 收敛时， rn = s ? S n = u n +1 + u n + 2 + ? ? ? 称为 ∑ u n 的余项，易知：n =1 n =1 ∞ ∞∑un =1∞n收敛 ? lim rn = 0n →∞例讨论下列级数的敛散性 ∞ 1 （1） ∑ n =1 n ( n + 1) ? ? 1 1 1 （2） + + ??? + ? ? (5n ? 4)(5n + 1) ? + ? ? ? （提问：通项） ? 1 ? 6 6 ? 11 ? ? （3） ∑ n （4） ∑n =1 ∞ n =1 ∞ ∞(2 n +1a ? 2 n ?1 a)（5） ∑ aq n -------等比级数，或称为几何级数n=0a(1 ? q n ) ,q ≠ 1 1? q k =0 a ，收敛。 1）当 q & 1 时， lim S n = n →∞ 1? q 2）当 q & 1 时， lim S n = ∞ ，发散。解： S n = ∑ aq k =n ?1n →∞3）当 q = 1 时， q = 1, S n = na → ∞ ，发散。第十一章 无穷级数第 3 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋q = ?1, S n = a ? a + a ? a + ? ? ? + (?1) n a ，极限不存在，发散。综上所述：等比级数，当 q & 1 时收敛，其和为 当 q ≥ 1 时发散。 （6） ∑ 例∞ ln 2 2 9n ，∑ n n n =1 2 n =1 8 ∞第一项 1 ? 公比1 。 3 3 10 3 3 3 1 解： 0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ? ? ? = + 2 + 3 + ??? = = 10 10 1 ? 1 10 3 10试用无穷级数说明循环小数 0.3 =二、收敛级数的基本性质 性质 1：若级数 ∑ u n 收敛于和 s，则级数 ∑ ku n 也收敛，且其和为 ks． 即 ∑ ku n = ks = k ∑ u n .n =1 ∞ n=1 n=1∞∞∞证明：设 ∑ u n 与 ∑ ku n 的部分和分别为 S n , σ n ，则∞n =1∞σ n = ku1 + ku 2 + ? ? ? + ku n = kS n ? lim σ n = lim kS n = ks ，得证。n →∞ n →∞n=1n=1说明：① 级数的各项同时乘以一个不为 0 的常数，级数的敛散性不变； ② 可以提取级数各项的公因子。 性质 2：若级数 ∑ u n 、 ∑ v n 分别收敛于和 s、σ，则级数 ∑ (u n + v n ) 也收 敛，且其和为 s±σ．(证明) 说明：收敛级数的和差仍收敛，且和差的级数等于级数的和差。或者说收敛 级数可以逐项相加与逐项相减。 性质 3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．不过 收时其和一般要改变。(证明) 证明：设级数 A : ∑ u n 去掉前面 k 项得到级数 B :n =1 ∞∞∞∞n=1n =1n =1s n , σ n ，则 σ n = u k +1 + ? ? ? + u k + n = s n + k ? s k ，由极限理论知n→∞ n →∞n=k +1∑ u n ，其部分和分别为∞lim σ n = lim s n + k ? s k ，即 s n + k 与σ n 有相同的敛散性，即不改变敛散性。性质 4：若级数 ∑ u n 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收n =1∞敛，且其和不变．(证明)； 证明： ∑ u n = u1 + u 2 + ? ? ? + u 5 + ? ? ? + u10 + u11 + ? ? ? + u 30 + ? ? ?n =1 ∞第十一章无穷级数第 4 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋加括号后新级数 ∑ v n = v1 + v 2 + 3 + ? ? ?n=1∞∑ u n 的部分和 sn 一定对应于 ∑ vn 的部分和 σ n ，数列 {σ n } 是 {sn } 一个子列，n=1n→∞∞n =1∞所以 lim σ n = lim s nn→∞注意： 1．加了括号后级数收敛，原级数（去掉括号后）不一定收敛。 如： ( a ? a ) + ( a ? a ) + (a ? a ) + ? ? ? 2．加了括号后级数发散，原级数（去抻括号后）一定发散。 性质 5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑ u n 收敛，则它的一般项 un 趋于零，n=1 ∞即 lim u n = 0 ．反之不成立；n →∞证明：设 ∑ u n 的部分和为 S n ， lim S n = s ，则n=1n →∞∞S n =u 1 + ? ? ? +u n ?1 + u n = S n ?1 + u n ? u n = S n ? S n ?1 ? lim u n = 0n →∞1 下面说明调和级数 ∑ 是发散的： n =1 n 依次将调和级数的两项、两项、四项、八项、…、 2 m 项括在一起， 1 1 1 1 1 1 1 (1 + ) + ( + ) + ( + ? ? ? + ) + ? ? ? + ( m + ? ? ? + m +1 ) + ? ? ? 2 3 4 5 8 2 +1 2 这个级数的前 ( m + 1) 项 1 1 1 1 1 1 1 S m +1 = (1 + ) + ( + ) + ( + ? ? ? + ) + ? ? ? + ( m + ? ? ? + m +1 ) 2 3 4 5 8 2 +1 2 1 1 1 1 & + + ? ? ? + & ( m + 1) → ∞ 2 2 2 2 即调和级数加括号后是发散的，故原级（调和级数）发散。∞讨论下列级数的敛散性 2 2 2 （1） 2 + + + ? ? ? + + ? ? ? 2 3 n 1 8 1 82 1 8n （2） ( + ) + ( 2 + 2 ) + ? ? ? + ( n + n ) + ? ? ? 6 9 6 9 6 9 1 1 1 （3） 10 + 20 + 30 + + 2 + ? ? ? + n + ? ? ? 3 3 3 2 3 4 （4） + + + ? ? ? （一般项不趋于 0） 3 4 5 1 3 5 2n ? 1 （5） + 2 + 3 + ? ? ? + + ??? 2 2 2 2n 1 3 5 2n ? 1 解： S n = + 2 + 3 + ? ? ? + 2 2 2 2n 1 1 3 5 2n ? 1 S n = 2 + 3 + 4 + ? ? ? + n +1 2 2 2 2 2第十一章 无穷级数第 5 页 共 41 页例《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋1 1 2 2 2 2 1 1 2 (1 ? (1 2) n ?1 ) 2n ? 1 两式相减得 S n = + 2 + 3 + ? ? ? + n ? n +1 = + ? n +1 2 2 2 2 1?1 2 2 2 2 2 1 2n ? 1 → 3 ，所以级数收敛，其和为 3。 S n = 1 + 2(1 ? n ?1 ) ? 2 2n 教学要求和注意点第十一章无穷级数第 6 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第二节讲稿内容∞正项级数∞1．正项级数的概念：给定级数 ∑ u n ，若 u n ≥ 0 ，则称 ∑ u n 为正项级数。???? ? 设 ∑ u n 为正项级数 ? 部分和数列 {S n } 为单调增加数列 ?附加条件:Sn有界→n=1∞n=1n=1lim S n = s ?n →∞若 ∑ u n 收敛 ? lim S n = s ? {S n } 有界。 从而得到正项级数收敛的基本定理。n=1n →∞∞n=1∑ u n 收敛。反之∞∞2．基本定理：正项级数 ∑ u n 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}n =1有界． 利用此充要条件，马上得到正项级数的比较审敛法。 3．比较审敛法：设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数，且un ≤ vn (n = 1, 2, …)．若 级数 ∑ v n 收敛，则级数 ∑ u n 收敛；反之，若级数 ∑ u n 发散，则级数 ∑ v n 发n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞ n =1 ∞ ∞ ∞ ∞散．(证明)推论：设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数，n=1 n=1 ∞∞∞若存在自然数 N，使当 n ≥ N 时有 un ≤ kvn (k & 0)成立，则 如果 ∑ v n 收敛 ? 如果 ∑ v n 发散 ?n=1 n=1 ∞ ∞ n =1 ∞ n =1∑ u n 收敛； ∑ u n 发散．注：用比较审敛做题，主要将要讨论的级数适当地放大或缩小，并且放大或 缩小后的级数的敛性是知道的。 什么是适当：放大或缩小后，级数的敛散性不变； 首先要猜测级数的敛散性， 若猜所讨论的级数 究竟是放大呢？还是缩小？： 收敛，则放大，放大后仍收敛，由比较审敛敛法知原级数收敛；若猜所讨论的级 数发散，则缩小，缩小后仍发散，由比较审敛敛法知原级数发散。 三个级数的敛散性是已知的，目前已知道两个：等比级数，调和级数。 （后 面还有一个P-级数） 。 例１ 用比较审敛法判别下列级数的敛散性 ∞ 1 （1） ∑ n(n + 1) n =1 解：分析：当 n 很大时，分母中的 1 忽略不计，该级数即是调和级数，发散。 ∞ 1 1 1 1 ，而 ∑ 发散，所以原级数发散。 un = ≥ ≥ 2 n +1 n(n + 1) n =1 n + 1 (n + 1)第十一章无穷级数第 7 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋1 ( a & 0) 2 n =1 1 + a 分析：级数的敛散性明显与 a 的取值有关。 ∞ ∞ 1 1 解：①当 a = 1 时，级数 ∑ = ∑ 发散。 2 n =1 1 + a n =1 2 1 ②当 0 & a & 1 时， u n = → 1 ，由收敛的必要条件知，原级数发散。 1+ an ∞ 1 1 1 1 （或当 0 & a ≤ 1 时，u n = ≥ = , 而∑ 发散，所以原级数发散。） n 1+1 2 1+ a n =1 2 ∞ 1 1 1 ③当 a & 1 时， u n = ≤ n , 而∑ n 收敛，所以原级数收敛。 n a 1+ a n =1 a（2） ∑∞（3） ∑1 ---------P-级数 p n =1 n∞∞ 1 1 1 ≥ , 而∑ 发散，所以原级数发散。 p n n n= n ② 当 p & 1 时，依次把 P-级数的一项、两项、四项、…、 2 n 项括在一 起，得一新级数： 1 1 1 1 1 1 1+ ( p + p ) + ( p + ??? + p ) + ( p + ??? + p ) + ??? 2 3 4 7 8 15 1 1 1 1 1 1 & 1+ ( p + p ) + ( p + ??? + p ) + ( p + ??? + p ) + ??? 2 2 4 4 8 8 1 1 1 1 1 1 = 1 + p ?1 + p ?1 + p ?1 + ? ? ? = 1 + p ?1 + ( p ?1 ) 2 + ( p ?1 ) 3 + ? ? ? 2 4 8 2 2 2 1 后一级数为等比级数，且公比 p ?1 & 1 ，所以收敛，从而原级数收敛（为什 2 么？）。 综上所述：P-级数，当 p & 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时发散。 ∞ 1 （4） ∑ n =1 ( n + 1)( n + 4) 1 1 ≤ 解： (n + 1)(n + 4) n ? n ∞ n! （5） ∑ n n =1 n n! n(n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2 ? 1 2 解： n = ≤ = 2 n ? n ??? n ? n ? n n?n n n解：① 当 p ≤ 1时, n p ≤ n ?∞ 1 （6） ∑ (1 ? cos ) n n =11 1 1 解：因为 0 ≤ (1 ? cos ) = 2 sin 2 ≤ 2 n 2n 2n1 1 即 0 ≤ (1 ? cos ) ≤ 2 n 2n第十一章无穷级数第 8 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞ ∞张谋而∑ 例1 收敛 2 n =1 2 n根据正项级数比较判别法得∞∑ (1 ? cos n ) 收敛。n =11设∑an =1∞n与 ∑ bn 收敛，且 a n ≤ c n ≤ bn ，证明n =1∑cn =1∞n收敛证明：∞因为 a n ≤ c n ≤ bn ，所以 0 ≤ c n ? a n ≤ bn ? a n∞ ∞又因为 ∑ a n 、 ∑ bn 收敛，所以 ∑ (bn ? a n ) 收敛n =1 n =1 n =1根据正项级数比较判别法得： ∑ (c n ? a n ) 收敛n =1∞又因为 c n = a n + (c n ? a n ) ， 所以 ∑ c n =∑ a n + ∑ (c n ? a n ) ， 故n =1 n =1 n =1∞∞∞∑cn =1∞n收敛。设 4． 比较审敛法的极限形式： ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数， 如果 lim （1）若 0 & l & +∞ ，则级数 ∑ v n 与级数 ∑ u n 有相同的敛散性； （2）若 l = 0 ， ∑ v n 收敛，则级数 ∑ u n 收敛． （3）若 l = +∞ ， ∑ v n 发散，则 ∑ u n 发散。n=1 n =1 n =1 ∞ ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ n =1 n=1 ∞ n =1 ∞∞∞un =l n →∞ v n证明： （1）因 limun l = l ，所以对 ε = , ?N , 当n & N时 ，有 n →∞ v 2 n∞ ∞ un 3l l l ? l & ? vn & u n & vn ， 由比较审敛法知 ∑ v n 与 ∑ u n 有相同的敛散 vn 2 2 2 n=1 n=1性。 （2）当 l = 0 时，对充分大的 n ，必有 u n & v n ，可知结论成立。 （3）类似。 例 用比较审敛法判别下列级数的敛散性。 ∞ 1 1 （1） ∑ ，取 v n = n n =1 1000 n + 11 ? n ? （2） ∑ ? ? ，取 v n = n 2 n =1 ? 2 n + 1 ? ∞ 2n + 1 1 （3） ∑ 2 ，取 v n = 3 2 n n =1 n ( n + 1) ∞ 1 1 （4） ∑ sin α (0 & α & +∞) ，取 vn = α 。 α & 1 时收敛； 0 & α ≤ 1 时发散。 n n n =1∞ n第十一章无穷级数第 9 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋∞5．积分判别法： 若单调不增函数 f (x ) 在 [1,+∞ ) 上非负，则 ∑ f (n) 与广义n =1积分 ∫+∞1f ( x)dx 具有相同的敛散性。因为 f (x ) 在 [1,+∞ ) 上单调不增，所以对任意 j & 1 有 f ( j ) ≥ f ( j + 1) ，证明 从而有∫m1f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ? ? ? + ∫1 223nn ?1f ( x)dx + ? ? ? + ∫m m ?1mm ?1f ( x)dx≥ ∫ f (2) + ∫ f (3)dx + ??? + ∫1 223nn ?1f (n)dx + ??? + ∫m n=2f (m)dx= f (2) + f (3) + ??? + f (n) + ??? + f (m) = ∑ f (n)∫m1f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ? ? ? + ∫1 223nn ?1f ( x)dx + ? ? ? + ∫mm ?1f ( x)dx.≤ ∫ f (1) + ∫ f (2)dx + ??? + ∫1 223nn ?1f (n ? 1)dx + ??? + ∫mm ?1f (m ? 1)dx= f (1) + f (2) + ??? + f (n ? 1) + ??? + f (m ? 1) = ∑ f (n)n =1m ?1∑n =1m ?1f ( n) ， ∑ f ( n) 在几何上分别表示图 11-2 和图 11-3 中的阴影部分的面积，n=2m∫m1f ( x)dx 表示由 y = f ( x), x = 1, x = m 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，从而有∑ f ( n) ≤ ∫n=2mm1f ( x) dx ≤ ∑ f ( n)n =1m ?1yf (1) f (2) f (m ? 1)yf (2)f ( m)x o1 2图11 ? 3mo12m∞x图11 ? 2由比较判别法知： ∑ f (n) 与 ∫n =1+∞1f ( x)dx 具有相同的敛散性。例利用积分判别法的判别下列级数的收散性1 （前面已讲过的 P-级数） p n =1 n∞（1） ∑第十一章无穷级数第 10 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋∞解因为 f ( x) =1xp在 [1,+∞ ) 上单调递减非负,所以 ∑+∞ 1 1 与∫ dx 有相同 p 1 xp n =1 n的敛散性. 当 p ≠ 1 时，∫+∞1A A 1 1 x 1? p dx = lim ∫ x ? p dx = lim A→ +∞ 1 A→ +∞ ? p + 1 1 xp? 1 1 ? 1? p = lim A ? 1 = ? p ? 1 A→ +∞ 1? p ?+ ∞ ?()p &1 p &1当 p = 1 时， ∫∞+∞1+∞ 1 +∞ 1 dx = ∫ = ln x = +∞ p 1 1 x x综上所述: （2） ∑n =2 ∞∑nn =11p在 p & 1 时收敛；在 p ≤ 1 时发散。n(ln n )1s解因为 f ( x) =∞1 在 [2,+∞) 单调递减非负 x(ln x) s+∞所以 ∑n =2n(ln n )11s与∫2x(ln x )+∞1sdx 的敛散性相同u = ln x又因∫+∞2x(ln x )sdx = ∫2(ln x )1sd ln x =∫1 du ln 2 u s+∞由（1）知该广义积分在 s & 1时收敛， s ≤ 1 时发散。 故∑n =2 ∞n(ln n )1s当 s & 1时收敛，当 s ≤ 1 时发散。∞6．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设 ∑ u n 为正项级数，如果n =1u n+1 =ρ， n →∞ u n u 则当ρ & 1 时级数收敛；ρ & 1(或 lim n +1 = +∞ )时级数发散；ρ = 1 时级数可能收 n →∞ u n 敛也可能发散． 证明：当ρ & 1 时，可选适当小的 ε & 0使ρ + ε = r & 1 lim第十一章无穷级数第 11 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋又因 lim 即u n+1 u = ρ ，对上 ε , ?m,当n ≥ m时 ，有 n+1 ? ρ & ε n →∞ u un nu n +1 & ρ + ε = r & 1 ? u n +1 & ru n un亦即当 n ≥ m时, u m +1 & ru m , u m + 2 & ru m +1 & r 2 u m ,? ? ?, 这样 级数 A : u m +1 + u m + 2 + u m +3 + ? ? ? 的各项小于 级数 B : ru m + r 2 u m + r 3 u m + ? ? ? 而级数 B 是收敛的， 所级数 A 收敛； 原级数是级数 A 加上前面有限项而得， 所以原级数也收敛。 当 ρ & 1 时，总存在适当小的 ε & 0使ρ ? ε = r & 1 又因 lim 即u n+1 u = ρ ，对上 ε , ?m,当n ≥ m时 ，有 n+1 ? ρ & ε n→∞ u un n u n+1 & ρ ? ε = r & 1 ? u n +1 & u n (n & m) ? lim u n ≠ 0 ? 发散。 n →∞ un∞当 ρ = 1 时， ∑ u n 可能收敛，可能发散。如 P-级数 ∑n=11 p n=1 n∞ρ = lim例u n +1 np = lim = 1 ，但当 p & 1 时，收敛；当 p ≤ 1 时发散 n→∞ u n →∞ ( n + 1) p n 用比值审敛法判别下列级数的敛散性。 3 4 6 （1） + 2 + 3 + ? ? ? 2 2 2 ∞ n! （2） ∑ n n =1 10 ∞ 3 n ? n! （3） ∑ n ，发散 n =1 n ∞ π （4） ∑ n sin n 2 n =1 （5） ∑n =1∞αnns( s & 0,α & 0)s ?& 1, 收敛 u n +1 α n +1 n s ? n ? 解： lim = lim ? n = lim α ? ? =α? s n →∞ n→∞ u n → ∞ ( n + 1) α ? n + 1? n ?& 1, 发散 ∞ ∞ ?s ≤ 1, 发散 1 αn 当 α = 1 时，原级数 = ∑ s = ∑ s ?? n =1 n n =1 n ?s & 1, 收敛（6） ∑ n 2 e ? n ，收敛n =1∞第十一章无穷级数第 12 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞张谋7．根值审敛法(柯西判别法)：设 ∑ u n 为正项级数，如果n=1lim n u n = ρ ，n→∞则当ρ & 1 时级数收敛；ρ & 1(或 lim n u n = +∞ )时级数发散；ρ = 1 时级数可能收n →∞敛也可能发散．(证明)； 用根值审敛法判别下列级数的敛散性。 ∞ 1 （1） ∑ n n =1 n ∞ 2 + (?1) n 1 2 + (?1) n 3 1 ≤ n ，故 lim n un = & 1 ，收敛 （2） ∑ ，因 n ?1 ≤ n n n →∞ 2 2 2 2 2 n =1 n ∞ 3 （3） ∑ 1 n =1 (2 + ) n n ∞ u 8． 拉贝判别法 （Raabe Test） 设 ∑ u n 为正项级数， 且极限 lim n(1 ? n +1 ) = r n→∞ un n =1 存在，则 （1）r & 1 时， ∑ u n 收敛n =1∞ ∞例（2）r & 1 时， ∑ u n 发散n =1∞（3） r = 1 时， ∑ u n 的敛散性无法判断n =1例 讨论级数 ∑ (n =1∞1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) s ) 当 s = 1,2,3 时的敛散性。 2 ? 4 ? ? ? ( 2n)解 无论 s 取 1、 3 中哪一个值， 2、 都有 limn →∞u n +1 = 1， 所以用比值判别法失效。 un现应用 Raabe 判别法： 10 s=1 时， lim n(1 ?n→∞u n +1 2n + 1 1 n ) = lim n(1 ? ) = lim = &1 n →∞ un 2 n + 2 n →∞ 2 n + 2 2 u n+1 2n + 1 2 n(4n + 3) ) = lim n[1 ? ( ) ] = lim =1 n →∞ n →∞ ( 2n + 2) 2 2n + 2 un20s=2 时， lim n(1 ?n→∞30u n +1 2n + 1 3 n(12n 2 + 18n + 7) 3 s=3 时， lim n(1 ? ) = lim n[1 ? ( ) ] = lim = &1 n→∞ n →∞ n →∞ 2n + 2 2 un (2n + 2) 3第十一章无穷级数第 13 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞张谋∞s = 1时，∑ u n 收敛；s = 2 时，Raabe 判别法失效； s = 3 时，∑ u n 收敛。n =1 n =18．极限审敛法：设 ∑ u n 为正项级数，n =1∞(1) 如果 lim nu n = l & 0 (或 lim nu n = +∞ )，则级数 ∑ u n 发散；n→∞ n →∞∞(2) 如果 p&1，而 lim n p u n = l (0 ≤ l & +∞) ，则级数 ∑ u n 收敛．(证明)n →∞n =1 ∞n=1判别下列级数的敛散性 ∞ 1 ? ? （1） ∑ ln?1 + 2 ? 解： lim n 2 u n = 1 ，收敛 n →∞ ? n ? n =1 （2） ∑n =1∞例π? ? n + 1?1 ? cos ? n? ?解： lim n u n = lim nn→∞ n →∞3 22n +1 1 ?π ? 1 ? ? ? = π2 n 2? n? 22判别下列级数的敛散性。 ∞ n + sin x 1 （1） ∑ 取 v n = ，比较审敛法极限形式，发。 , x ∈ (?∞,+∞) ， 2 n n n =1 ∞ n nπ （2） ∑ n cos 2 3 n =1 2 n nπ n 解：首先，比较审敛法： u n = n cos 2 ≤ n = vn 3 2 2 其次，比值审敛法： ∑ v n 收敛。所以原级数收敛。n =1∞例（3） ∑∞n! ， 2 n =1 n∞解：当 n ≥ 4时, u n & 1 ，发散。 法 1：比值；法 2：取 v n =∞ ∞（4） ∑ tann =1π2n1 ，比较审敛法极限形式。 2n例∞2 2 已知级数 ∑ a n (a n & 0), ∑ bn (bn & 0) 收敛，问n =1n =1∑ a b , ∑ (an =1 n n n =1∞n+ bn ) 2 , ∑an 敛散性。 n =1 n∞注意： a n bn ≤1 2 1 1 1 2 2 2 ( a n + bn ) ， ( a n + bn ) 2 = a n + 2a n bn + bn2 ， a n ≤ ( 2 + a n ) 2 n 2 n第十一章无穷级数第 14 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第三节一般项级数一、交错级数及其审敛法: 1．交错级数的概念：形如 ∑ (?1) n u n 或 ∑ (?1) n ?1 u n (u n & 0) ，即级数的各项n=1 n =1 ∞ ∞正负交替，这样的级数称为交错级数。2．莱布尼茨定理：如果交错级数 ∑ (?1) n ?1 u n 满足条件：n=1∞(1) (2)un ≥ un + 1 (n = 1, 2, 3, …)； lim u n = 0n →∞则级数收敛，且其和 s ≤ u1，其余项 rn 的绝对值| rn | ≤ un + 1． 证明：在上册有这样一个习题：对于数列 x n ，若 x 2 k → a, x 2 k +1 → a(k → ∞) ， 则 x n → a (n → ∞) ，我们利用这个结论来证明莱布尼兹定理。 部分和数列 S 2 n = (u1 ? u 2 ) + (u 3 ? u 4 ) + ? ? ? + (u 2 n ?1 ? u 2 n ) 单调增加； 且 S 2 n = u1 ? (u 2 ? u 3 ) ? (u 4 ? u 5 ) ? ? ? ? ? (u 2 n ? 2 ? u 2 n ?1 ) ? u 2 n & u1 有界。 所以 lim S 2 n = s ≤ u1 ，又 S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1n →∞所以 lim S 2 n +1 = lim ( S 2 n + u 2 n +1 ) = s ≤ u1 ，故 lim S n = s ≤ u1 ，交错级数收敛。n→∞ n→∞ n→∞例判别交错级数的敛散性。 ∞ 1 （1） ∑ (?1) n ?1 ；收敛。 n n =1 n ∞ (?1) （2） ∑ 1 ；收敛。 n =1 n 2 ∞ n(?1) n （3） ∑ ；发散 n =1 n + 1 二、绝对收敛与条件收敛： 1. 绝对收敛与条件收敛的概念：∞∞对于任意项级数 ∑ u n （ u n 为实数） ∑ u n 收敛，则称 ∑ u n 为绝对收敛。 ，若 若 ∑ u n 发散，但 ∑ u n 收敛，则称 ∑ u n 为条件收敛。n =1∞∞n=1 ∞∞n =1n =1n=1n =1例如 ∑ (?1) n ?1n =1∞1 1 为绝对收敛，而 ∑ (?1) n ?1 为条件收敛。 3 n n n =1∞ ∞ n=1 n=1∞2. 定理：如果级数 ∑ u n 绝对收敛，则级数 ∑ u n 必定收敛．反之不成立。 证明：已知 ∑ u n 收敛，要证 ∑ u n 收敛。n =1∞∞n=1第十一章无穷级数第 15 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞张谋∞对于级数 ∑ u n ， 我们将它的正项保留、 负项换为 0， 组成一个新级数 ∑ v n ，n=1 n=1则三个一般项 u n , u n , v n 有关系： v n =∞?u n , u n & 0 1 (u n + u n ) = ? , 且0 ≤ v n ≤ u n 0, u n ≤ 0 2 ?∞ n=1因 ∑ u n 收敛，由比较审敛法知， ∑ v n 收敛。n =1注意 u n = 2v n ? u n ，所以 ∑ u n 收敛。n=1∞应注意的几点： 1．比较、比值、根值审敛法，只适用于正项级数，对于一般项级数的收敛 性，主要用该定理来判定。 2．∑ u n 发散， 不能断定 ∑ u n 发散； 但若是用比值法、 根值法判定 ∑ u n 发 散，则 ∑ u n 也发散。 （因为比值法、根值法判别级数发散，是根据一般项不趋于n=1 ∞n =1∞∞∞n=1n =10 而得的） 例 判别下列级数的收散性，若收敛，说明是绝对收敛或是条件收敛。 ∞ sin nα （1） ∑ 绝对收敛 n4 n =1 ∞ n3 （2） ∑ (?1) n+1 n 绝对收敛 2 n =1 ∞ 1 （3） ∑ (?1) n ?1 p n n =1 ∞ ∞ 1 1 解： ∑ (?1) n ?1 p = ∑ p n n =1 n =1 n 所以当 p & 1 时，原级数绝对收敛； 当 0 & p ≤ 1 时，原级数为收敛的交错级数，故原级数为条件收敛； 当 p ≤ 0 时，原级数发散。 ∞ ln n （4） ∑ (?1) n ?1 n n =3 ∞ ∞ ln n ln n ln n 1 解： ∑ (?1) n ?1 =∑ & , n n n n =3 n =1 n ln x 又 原 级 数 为 交 错 级 数 ， f ( x) = 当 x≥3 时单调减少趋于 0，即 x ln n f ( n) = (n ≥ 3) 单调减少趋于 0，所以原级别数为条件收敛。 n ∞ x （5） ∑ (?1) n sin ( x & 0) n n =1 因为 x & 0x π ? 2x ? 所以 ?N = ? ? + 1 ，当 n & N 时， 0 & & n 2 ?π ?第十一章无穷级数第 16 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋x 从而 ∑ u n = ∑ sin ，由 lim n →∞ n n = N +1 n = N +1∞∞sin x nx n = 1 ，知x 发散，即原级数不是绝 n = N +1 n∑∞对收敛。但原级数是交错级数，且有 lim sinn →∞x x x = 0,sin & sin n n n +1(n &2xπ)故n = N +1∑ (?1)∞nsin∞x 是收敛的交错级数 n（6） ∑ sin( n +n =1∞1 n2)π∞ 1 π ) π = ∑ (?1) n sin ，故由（5）知，原级数为条件 n n n =32解 收敛。因为 ∑ sin( n +n =3（7） ∑n=2∞(?1) n n + (?1) n解因为 u n =(?1) n n + (?1)∞n=1 n + (?1)n≥1 n +1，且 ∑n=2∞1 n +1发散 ，所以根据比较判别法知： ∑ u n 发散n=2又因为 u n = 又因 ∑∞(?1) n n + (?1) n=(?1) n [ n ? (?1) n ] (?1) n n 1 = ? n ?1 n ?1 n ?1(?1) n n 收敛 ， 而 n ?1 n=2∑ n ? 1 发散，故原级数发散n=2∞1教学要求和注意点第十一章无穷级数第 17 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第四节幂级数讲稿内容 一、函数项级数的概念 给定一个在区间 I 上有定义的函数列 {u n (x)}，则和式u1 ( x) + u 2 ( x) + ? ? ? + u n ( x) + ? ? ?叫做函数项无穷级数，记为 ∑ u n ( x) ，即n =1∞∑un =1∞n( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ? ? ? + u n ( x) + ? ? ?∞（1）类似地，用 S n (x) 表示级数的前 n 项和（称为函数项级数的部分和） 。x0 ∈ I ，则（1）式变为常数项无穷级数 ∑ u n ( x0 )n =1（2）当然，常数项级数（2）可能收敛，也可能发散。 若 ∑ u n ( x 0 ) 收敛，则称函数项级数 ∑ u n ( x) 在 x 0 收敛， x 0 称为收敛点，收n =1 n =1∞ ∞敛的全体称为收敛域。若 ∑ u n ( x 0 ) 发散，则称函数项级数 ∑ u n ( x) 在点 x 0 发散，n =1 n =1∞∞x 0 称发散点，发散点的全体称为发散域。 对于收敛域内的每一点 x ，函数项级数都成为一收敛的常数项级数，因而都有一确定的和 s (x ) ，该和显然是 x 的函数，称函数项级数 ∑ u n ( x) 的和函数，即n =1∞s ( x ) = ∑ u n ( x) ，也有 lim S n ( x) = s ( x)n =1 n→∞∞二、幂级数及其收敛性： 1.幂级数的概念： 形如 a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ? ? ? + a n x n + ? ? ? = ∑ a n x n ，称为幂级数， a n 称为幂级数n =0∞的系数。 （为什么叫幂级数？各项均由幂函数组成） ∞ ∞ 1 如： ∑ x n , ∑ x n 等均为幂级数。 n =1 n =1 n! ∞ ∞ a 形如 ∑ a n ( x ? x0 ) n , ∑ n 等级数，称为广义幂级数，它们可以通过代换化为 n n=0 n=0 x 标准幂级数。 当然我们主要的任务是讨论幂级数的收敛性。也就是说，给了一个幂级数∑an =1∞nx n ， x 取哪些点时，该幂级数收敛， x 取哪些值时，该幂级数发散，它的∞收敛域、发散域怎样？ 如前面讨论过的级数 ∑ x n ，当 x & 1 时，该级数收敛； x ≥ 1 时，该级数发n =1第十一章无穷级数第 18 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋散。即收敛域为 (?1,1) ，发散域为 ( ?∞,?1] ∪ [1,+∞ ) 。从该看到幂级数的收敛或发 散域是一个区间，这个结论对其它幂级数也成立。 2.幂级数的收敛性： 定理 1(阿贝尔(Abel)定理)∞如果级数 ∑ a n x n 当 x = x0(x0 ≠ 0)时收敛，则适n=0合不等式| x | & | x0 |的一切 x 使这幂级数绝对收敛． 反之， 如果级数 ∑ a n x n 当 x =n=0∞x0 时发散，则适合不等式| x | & | x0 |的一切 x 使这幂级数发散．证明：已知 ∑ a n x∞ n=0 0 ∞ n 0收敛，要证当 x & x0 时 ∑ a n x n 收敛。n=0n →∞∞n 由 ∑ a n x n 的收敛性知， lim(a n x0 ) = 0 ，再由收敛数列必有界知：n=0n ?M & 0 使 a n x 0 ≤ M , ?n ，所以xn x n a n x = a n x ? n = a n x0 ? x0 x0n n 0nx ≤M x0nx 而等比级数 ∑ M x0 n =0∞n当 x & x0 时收敛，所以当 x & x0 时级数 ∑ a n x n 绝对收n=0∞敛。第 2 部分用反证法。 该定理说明：幂级数 ∑ a n x n 在 x0 ≠ 0 收敛，则在区间 (? x0 , x0 ) 内均收敛；n=0 ∞若在 x 0 发散，则在 (?∞,? x0 ) ∪ ( x0 ,+∞) 均发散。若幂级数 ∑ a n x n 在数轴上既有n=0∞收敛点，又有发散点，则从原点出发，不论向左还是向右，最初碰到的点总是收 敛点，一旦碰到发散点，则后面的点均为发散点，不会出现收敛点、发散点交替 的情况，且收敛点与发散点的分界点与原点等距，都为 R （称为收敛半径）由此 得推论： 定理 1 推广(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数 ∑ a n ( x ? x ) n 当 x = x1 ≠ x0 时收n =0 0 ∞敛，则适合不等式 x ? x0 & x ? x1 的一切 x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级 数 ∑ a n ( x ? x ) n 当 x = x1 ≠ x0 时发散，则适合不等式 x ? x0 & x ? x1 的一切 x 使n =0 0 ∞这幂级数发散． 推论： 如果幂级数 ∑ a n x n 不是仅在x = 0 一点收敛， 也不是在整个数轴上都n=0 ∞收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得 当| x | & R 时，幂级数绝对收敛; 当| x | & R 时，幂级数发散；第十一章 无穷级数第 19 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋当 x = R 或 x = ?R 时，幂级数可能收敛也可能发散． 定理２：如果 a lim n +1 = ρ ， n →∞ a n 其中 an、an + 1 是幂级数 ∑ a n x n 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径n=0 ∞证明：考虑级数 ∑ a n x n = ∑ u n ，利用比值判别法n =0n =1∞? 1 ρ ≠ 0, ? ρ, ? ? R = ?+ ∞, ρ = 0, ? ? 0, ρ = +∞. ? ?∞lima n +1 x u n +1 = lim n →∞ u n →∞ an x n nn +1= lima n +1 ?x =ρx n →∞ a n1（1）若 ρ ≠ 0, ∞ ，当 ρ x & 1 即 x & 收敛；当 x &ρ时，级数 ∑ a n x n 收敛，亦即 ∑ a n x n∞∞∞1ρ时，级数 ∑ a n x n 发散，亦即 ∑ a n x n 发散。所以 R =n=0 n=0n →∞∞n=0n=01ρ。u n +1 = 0 & 1 ，原级数全平面收敛， R = +∞ 。 un u （3）当 ρ = ∞，x ≠ 0 时 lim n +1 = ∞ & 1 ，原级数仅在 x = 0 收敛， R = 0 。 n →∞ u n 利用该定理可求函数的收敛区间。 1 1. 求出 ρ ，得到收敛半径 R =（2）当 ρ = 0 时， limρ2. 讨论区间端点 x = ± R 的敛散性，得收敛区间。例 求下级数的收敛区间 ∞ xn （1） ∑ (?1) n ?1 n n =1 解： ρ = lima n +1 n +1 = lim =1 n →∞ a n →∞ n n∞ n =1x = ?1 时，原级数发散； x = 1 时原级数为 ∑ (?1) n ?所以级数的收敛区间为 (?1,1] . （2） ∑1 ，是收敛的交错级数。 n( x ? a) n n n =1∞第十一章无穷级数第 20 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋tn n =1 n 易知 ρ = 1，R = 1 ；收敛区间为 t ∈ [?1,1) ，所以 x ∈ [ a ? 1, a + 1) . 另解：用比值判别法 u ( x ? a ) n +1 n lim n +1 = lim ? = x?a n →∞ u n →∞ n +1 ( x ? a) n n解：令 x ? a = t ，原级数变为 ∑ 当 x ? a & 1 即 a ? 1 & x & a + 1 时幂级数收敛。∞ 1 当 x = a + 1 时，原级数为 ∑ ，发散； n =1 n ∞ 1 当 x = a ? 1 时，原级数为 ∑ (?1) n ，收敛。 n n =1 故收敛区间为 [a ? 1, a + 1) 。 ∞ 2n ? 1 （3） ∑ n x 2 n ? 2 2 n =1∞解： lim 当u n +1 (2n + 1) x 2 n 2n 1 2 = lim ? = x 2 n?2 n +1 n →∞ u n →∞ 2 2 (2n ? 1) x n1 2 x & 1 时，即 x & 2 时，原级数收敛。 2 ∞ ∞ 2n ? 1 2n ? 1 当 x = 2 时，原级数 = ∑ n 2 n ?1 = ∑ 发散。 2 2 n =1 n =1 ∞ 2n ? 1 当 x = ? 2 时，原级数 = ∑ (?1) n ?1 发散。 2 n =1故收敛区间为 (? 2 , 2 ) 例 如果级数 ∑ a n ( x ? 1) n 在 x = ?1 收敛，则级数在 x = 2 处n =1 ∞。（A）条件收敛； B）绝对收敛； （C）发散； D）有能确定 （ （ 解：由定理知，级数在 x ? 1 & ? 1 ? 1 = 2 内绝对收敛，即在 ? 1 & x & 3 内绝对 收敛，故选（B）3．幂级数的运算： 设有两个幂级数 ∑ a n x n , x ∈ (? R, R )∞∑b xn=0 nn=0 ∞n, x ∈ (? R ′, R ′)则这两个幂级数可以进行四则运算：第十一章无穷级数第 21 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案∞ ∞ ∞张谋（1） ∑ a n x n ± ∑ bn x n = ∑ (a n ± bn ) x n , x ∈ (?l , l ), l = min{R, R ′} （2） (∑ a n x n )(∑ bn x n ) = ∑ (a 0 bn + a1bn ?1 + ? ? ? + a n b0 ) x n , x ∈ (?l , l ) （3） ∑ a n x nn =0 ∞ ∞ n =0 ∞ n=0 ∞ n=0 ∞ n =0 ∞∑b xn =0 nn =0 ∞n= ∑ c n x n ，其中 cn 由n=0n=0 ∞(∑ c n x n )(∑ bn x n ) = ∑ a n x n 比较同次幂的系数确定。n =0 n =0 n=0∞4．幂级数的和函数的性质： 性质 1：幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上连续．即n=0n ?x 0 ∈ I , lim s ( x) = s ( x 0 ) ? lim ∑ a n x n = ∑ a n x 0 ? lim ∑ a n x n = ∑ lim a n x n x → x0 x → x0 n=0 n=0 x → x0 n =0 n=0 x → x0 ∞ ∞ ∞ ∞∞亦即幂级数在收敛范围内其极限运算与求和运算可交换运算次序。 性质 2： 幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s(x)在其收敛域 I 上可积， 并有逐项积分公n=0∞∞式a n n +1 x , n =0 n=0 n=0 n + 1 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．∫x0s ( x)dx = ∫ [∑ a n x n ]dx = ∑ ∫ a n x n dx = ∑x x 0 0∞∞x∈I ．性质 3：幂级数 ∑ a n x n 的和函数 s(x)在其收敛区间(?R , R)内可导，并有逐n=0∞项求导公式′ ∞ ∞ ? ? ∞ s ′( x) = ? ∑ a n x n ? = ∑ (a n x n )′ = ∑ na n x n ?1 ( x & R), n =1 ? n =0 ? n =0 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．例 求下列级数在收敛区间内的和函数 ∞ ∞ 2n ? 1 2n ? 1 （1） ∑ n x 2 n ? 2 , x & 2 ,并求 ∑ n . 2 2 n =1 n =1 ∞ 2n ? 1 解：设 s ( x) = ∑ n x 2 n ? 2 , x & 2 2 n =1 则 ∫ s ( x)dx = ∑ ∫0 x ∞ ∞ 1 2n ? 1 2 n ? 2 x 2 n ?1 x2 x x dx = ∑ n = ∑ ( ) n ? = n x 2 ? x2 2 n =1 2 n =1 2 n =1 0 ∞ xd ? x ? 2 + x2 ,x& 2 ? ?= dx ? 2 ? x 2 ? (2 ? x 2 ) 2 ∞ 2 + x2 2n ? 1 即有 ∑ n x 2 n ? 2 = ,x& 2 (2 ? x 2 ) 2 2 n =1所以 s ( x) =第十一章无穷级数第 22 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋特别地，令 x = 1 得 ∑∞2n ? 1 = 3. 2n n =1∞ 2n?22n ? 1 ∞ 2n ? 1 ? 1 ? 若求 ∑ 3n ? 2 = ∑ n ? ? 2 ?2? n =1 2 n= 2n ? 1 ∞ 2n ? 1 ? 1 ? ∑ 2 3n = ∑ 2 n ? 2 ? ? ? n =1 n =1∞1 = s( ) 2∞ 2n?22n2n ? 1 ? 1 ? =∑ n ? ? 2 ?2? n =11 1 ?1? ? ? = s( ) 4 2 ?2?2（2） ∑ nx n , x & 1 解： ∑ nx n = ∑ (n + 1) x n ? x n = ∑ (n + 1) x n ? ∑ x nn =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞∞[]∞∞令 s1 ( x) = ∑ (n + 1) x n ? ∫ s1 ( x)dx = ∑ x n +1 =n =1 0 n =1∞x∞2x ? x 2 x2 ? s1 ( x) = 1? x (1 ? x) 2所以 ∑ nx n = s1 ( x) ?n =1∞ ∞∞x x = , x &1 1 ? x (1 ? x) 2或利用 ∑ nx n = x ∑ nx n ?1 求和函数n =1 n =1 ∞ (?1) n ?1 2 n ?1 (?1) n ?1 ? 3 ? x , x & 1 ，并求 ∑ （3） ∑ ? ? n =1 2 n ? 1 ? 4 ? n =1 2n ? 1 ∞ n(n + 1) n ?1 （4） ∑ x , x &1 2 n =1∞n例 利用幂级数，求下列常数项级数的和 ∞ ∞ xn 1 （1） ∑ ，取幂级数 ∑ n n =1 n ? 3 n =1 n ∞ n(n + 1) （2） ∑ (?1) n ， 2n n =1 解：取幂级数 ∑ (?1) n n( n + 1) x n = x ∑ ( ?1) n n( n + 1) x n ?1 = xs ( x)n =1 n =1 ∞ ∞? ? ? x2 ?2 n n +1 因 ∫ ? ∫ s( x)dx ? dx = ∑ (?1) x = ，所以 s ( x) = (1 + x)3 1+ x n =1 0?0 ? ∞ n(n + 1) 1 1 8 故 ∑ (?1) n = s( ) = ? n 2 2 2 27 n =1x x ∞例 利用∞ 1 = ∑ x n 求下列数项级数的和 1 ? x n=0①1 ?1 1 1 1 + ? + ? ? ? + (?1) n +1 + ? ? ? 2 3 4 n第十一章无穷级数第 23 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋1 1 1 1 ② 1 ? + ? + ? ? ? + (?1) n ?1 + ??? 3 5 7 2n ? 1解 ①因为∞ 1 = ∑ xn 1 ? x n =0| x |& 1∞ ∞ 1 1 n = = ∑(?x) = ∑(?1)n xn 所以 1+ x 1?(?x) n=0 n=0| x |&1两边积分∞ x 1 dx = ∑ (?1) n ∫ x n dx ， 即 ∫0 1 + x 0 n=0 xln(1 + x) = ∑(?1) n n +1 ∞ (?1) n +1 x n x =∑ n n =0 n + 1 n =1∞?1 & x ≤ 1令 x = 1 , ln 2 = 1 ? ② 因为∞ 1 = ∑ xn 1 ? x n=01 1 1 1 + ? + ? ? ? + (?1) n + ? ? ? 2 3 4 nx &1所以∞ 1 1 = = ∑ (? x 2 ) n 1 + x 2 1 + (? x 2 ) n =0即∞ ∞ x x 1 1 = ∑ (?1) n x 2 n ， ∫ dx = ∑ ∫ (?1) n x 2 n dx 2 2 0 1+ x 0 1+ x n=0 n =0x arctgx 0 = ∑ (?1) n n =0∞∞ x 2 n +1 x 2 n ?1 = ∑ (?1) n ?1 2n + 1 n =1 2n ? 1arctgx = 1 ?令 x = 1，x3 x5 x7 x 2 n +1 + ? ? ? ? +(?1) n ?1 + ??? 3 5 7 2n + 11 1 1 1 + ? ? ? ? + (?1) n ?1 + ??? 3 5 7 2n ? 1π4= 1?教学要求和注意点第十一章无穷级数第 24 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第五节讲稿内容函数展开成幂级数一、泰勒级数(Taylor) 幂级数不仅形式简单，而且有很多的特殊性质，这就使我们想到能否把一个 函数表示成幂数级进行研究。 首先，假设函数 f (x ) 在 x 0 点的某邻域内能表为幂级数，即有f ( x ) = a 0 + a1 ( x ? x 0 ) + a 2 ( x ? x 0 ) 2 + ? ? ? + a n ( x ? x 0 ) n + ? ? ?( ai 待定)那么，在此邻域内必有 f (x ) 任意阶导数,并且 (n + 1)! ( n + 2)! f ( n ) ( x) = n!a n + a n +1 ( x ? x0 ) + a n + 2 ( x ? x0 ) 2 + ? ? ? 1 2! f ( n ) ( x0 ) 从而 a n = (n = 0,1,2,3,? ? ?) n! f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 ′( x 0 )( x ? x0 ) + 即 f ( x) = f ( x0 ) + f ( x ? x0 ) + ? ? ? + ( x ? x0 ) n + ? ? ? 2! n! 这样 f (x ) 就表成了幂级数的形式，注意这是在假定 f (x ) 能表示成幂级数，从而 有任意阶导数的前提下得到的。反过来，若 f (x ) 只有任意阶导数， f (x ) 是否一 定能展为上面的幂级数形式呢？回答是否定的。 2 ?e ?1 x x ≠ 0 ? 例如 f ( x) = ? ? 0 x=0 ? 可以验证它在原点的任何一个邻域内有任意阶导数，且 f ( n ) (0) = 0 ，从而幂级数 的系数 a n = 0(n = 1,2,3,? ? ?) ，即 f ( x) ≡ 0, ?x ∈ U ( x0 ) ，事实上,当 x ≠ 0 时 f ( x) ≠ 0 . 那么，我们要问，在怎样的条件下，一个任意阶可导函数能够表示为一个幂级数 呢？下面的定理回答了这个问题。 定理 设函数 f (x ) 在点 x 0 的某一邻域 U ( x0 ) 内具有各阶导数， f (x ) 在该邻 则 域内能展开为成泰勒级数的充分必要条件是 f (x ) 的泰勒公式中的余项 Rn (x) 当n → ∞ 时的极限为零,即 lim Rn ( x) = 0n →∞证明：必要性。设 f (x ) 在 U ( x0 ) 内能展成幂级数，即f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 ( x ? x0 ) + ? ? ? + ( x ? x0 ) n + ? ? ? 2! n! 亦即 f ( x) = S n +1 ( x) + Rn ( x) ? Rn ( x) = f ( x) ? S n +1 ( x), 注意 lim S n +1 ( x) = f ( x) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x 0 )( x ? x0 ) +n →∞所以 lim Rn ( x) = 0n →∞充分性。若 lim Rn ( x ) = 0 ，由 S n +1 ( x ) = f ( x ) ? Rn ( x ) ? lim S n +1 ( x ) = f ( x )n →∞ n →∞注：①函数 f (x ) 在 x 0 处的幂级数展开式是唯一的。 ②当 x0 = 0 时的幂级数称为麦克劳林级数。第十一章无穷级数第 25 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋二、函数展开成幂级数 函数展开为幂级数的方法有两种：直接展开，间接展开。 例 将 f ( x) = e x 展成麦克劳林级数。 解：第一步，求 f (x ) 的各阶导数： f ( n ) ( x) = e x ； 第二步，算出导数值： f ( n ) (0) = 1 ； 第三步，写出幂级数，并求出收敛半径： 1 1 f ( x) ~ 1 + x + x 2 + ? ? ? + x n + ? ? ? 2! n! 收敛半径 R = +∞ 第四步，证明 lim Rn ( x) = 0n →∞x eξ x 因为 Rn ( x) = ，注意 ξ在0与x之间 。 x n +1 ≤ e ? (n + 1)! (n + 1)!n +1且无穷级数 ∑n =1n →∞= 0 （注意利用此方法求极限） 收敛，所以 lim n →∞ ( n + 1)! (n + 1)! 故 lim Rn ( x ) = 0 ，从而 f ( x) = 1 + x +∞ 1 2 1 xn x + ? ? ? + x n + ? ? ? = ∑ , x ∈ (?∞,+∞) 2! n! n = 0 n!∞xn +1xn +1可从几何上看一下多项式逼近 f (x ) 的过程：f ( x) = e xy1 1 P1 ( x) = 1 + x + x 2 + x 3 1 2 3! 2 P1 ( x) = 1 + x + x 2 P1 ( x) = 1 + xox例 将 f ( x) = sin x 展成麦克劳林级数。 nπ 解：① f ( n ) ( x) = sin( x + ) 2 nπ ② f ( n ) (0) = sin = 0,1,0,?1,? ? ?, (n = 0,1,2,3,? ? ?) 2 1 1 1 x 2 n +1 + ? ? ?, R = +∞ ③ f ( x) ~ x ? x 3 + x 5 + ? ? ? + (?1) n 3! 5! (2n + 1)!x 1 (n + 1)π sin(ξ + ④ Rn ( x ) = ) ? x n +1 ≤ → 0, n → ∞ (n + 1)! 2 (n + 1)!n +1第十一章无穷级数第 26 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋同样是因为正项级数 ∑n =1∞xn +1(n + 1)!收敛，其一般项趋于 0。所以f ( x) = x ?∞ 1 x 2 n +1 1 3 1 5 ,x∈R x + x + ? ? ? + (?1) n x 2 n +1 + ? ? ? = ∑ (?1) n (2n + 1)! (2n + 1)! 3! 5! n =0例 将 f ( x) = sin x 展成麦克劳林级数。 解：利用间接展开法：利用已知的展式来求要展的函数。 1 ? ∞ (ix) n ∞ (?ix) n ? 1 ? ∞ xn ? 1 = ?∑ (1 ? (?1) n )i n ? ?∑ sin x = (e ix ? e ?ix ) = ?∑ ? 2i ? n =0 n! n! ? 2i n! ? 2i ? n =0 n =1 ∞ x 2 n +1 = ∑ (?1) n ,x∈R (2n + 1)! n =0x 2n , x ∈ (?∞,+∞) 例 利用导数可得： cos x = ∑ (?1) (2n)! n =0 常见的幂级数展式：n∞①∞ 1 = ∑ x n , x ∈ (?1,1) 1 ? x n =0② ex = ∑n =0∞xn , x ∈ (?∞,+∞) n!∞③ sin x = ∑ (?1) nn =1 ∞x 2 n +1 , x ∈ (?∞,+∞) (2n + 1)! x 2n , x ∈ (?∞,+∞) (2n)!n④ cos x = ∑ (?1) nn =0 ∞x n +1 , x ∈ (?1,1] ⑤ ln(1 + x) = ∑ (?1) n +1 n =0 m( m ? 1) 2 m(m ? 1) ? ? ? (m ? n + 1) n ⑥ (1 + x) m = 1 + mx + x + ??? + x + ??? 2! n! x ∈ (?1,1)例 将下列函数在指定点展开成幂级数。 1 （1） f ( x) = ,x = b ≠ a a?x 1 （2） f ( x) = 2 ,x =1 x + 4x + 3 1+ x2 （3） f ( x) = ,x = 0 1? x2 ∞ 2 解： f ( x) = ?1 + = ?1 + 2∑ x 2 n , x ∈ (?1,1) 1? x2 n =0 （4） f ( x) = a x , x = 0 （5） f ( x ) = ln x, x = 5第十一章 无穷级数第 27 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋（6） f ( x) = arctan 解： f ′( x) = ?2 ? 2x ,x = 0 1 + 4x∞ 2 = ?2∑ (?1) n (4 x 2 ) n ，两边积分 1 + 4x 2 n =0∫0xf ′( x)dx = ?2∑ ∫ (?1) n 4 n x 2 n dx = ?2∑ (?1) n ? 4 n ?n =0 0 0 ∞ 2 n +1∞ x∞x 2 n +1 2n + 1f ( x) = arctan 2 ? ∑ (?1) n 2 2 n +1n =01 1 x , x ∈ (? , ) 2n + 1 2 2（7） f ( x) = ∫t ? sin t dt , x = 0 t3 0x1 ? ? 例 求极限 lim ? x ? x 2 ln(1 + )? x → +∞ x ? ? 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 解： lim ? x ? x 2 ln(1 + )? = ? x ? x 2 ( ? 2 + 3 + ? ? ?)? = x → +∞ x ? ? x 2x 3x ? ? 2第十一章无穷级数第 28 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋教学内容 1．泰勒级数和麦克劳林级数的概念； 2．定理：设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数，则 f(x)在该 邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x) 的泰勒公式中的余项 Rn(x) 当 n→∞时的极限为零，即 lim Rn ( x) = 0 ( x ∈ U ( x 0 )).n →∞(证明)． 函数展开成幂级数的方法： 1．直接展开法: 例 1 (e x 的展开)；例 2 (sinx 的展开) 2．间接展开法： 例 3 (ln(1+x)的展开)，例 4 (cosx 的展开) , 例 5～例 9． 二、教学要求和注意点第十一章无穷级数第 29 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第五节函数的幂级数展开式的应用一、内容要点 近似计算： 例 1 ～ 例 3； 欧拉(Euler)公式： (1) 复数项级数的概念： 复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛； (2) 欧拉(Euler)公式：eix = cosx + I sinx . 二、教学要求和注意点第十一章无穷级数第 30 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋第七节讲稿内容傅立叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性 由三角函数所组成的函数项无穷级数称为三角级数， 由正弦函数组成的无穷 级数称为正弦级数，由余弦函数组成的无穷级数称为余弦级数。 联系到函数可以展成幂级数，这里也想把函数展成三角级数进行深入研究。 在工程技术中，常碰到周期运动，正弦函数是一种简单的周期函数，如描述 2π 简谐振动的函数 y = A sin(ω x + ? ) 就是一个以 T = 为周期的正弦函数，其中 A ω 为振幅， ? 为初相角，ω为角频率。 较为复杂的周期运动，可看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，即f ( x) = A0 + ∑ Ak sin(kω x + ? k )k =1 ∞为了讨论方便上式变形为a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n =1下面的问题是： 如何把一个周期函数展开成三角级数呢？即如何确定三角级数的 中系数 an , bn . 以及三角级数的收敛性问题。首先介绍三角函数系的正交性。 所谓三角函数的正交性，就是三角函数系 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,? ? ? cos nx, sin nx,? ? ? 中，任何两个不同函数的乘积在区间 [?π , π ] 上（或长度为 2π 的区间上）的积分 等于零，而每个函数自身的乘积的积分非零。即π?π∫ cos nxdx = 0(c + 2π∫ cos nxdx = 0, ∫ cos nxdx = 0) ,c c ?πc +ππ?π∫ sin nxdx = 0 (其余类似) ∫ cos kx cos nxdx = 02π?π∫ sin kx cos nxdx = 02 ∫ sin nxdx = ππ?π∫ sin kx sin nxdx = 0?π?πππ?π?π2 ∫ cos nxdx = ππ∫π1 dx = 2π为什么称为三角函数系有正交性？可用空间直角坐标中的基本向量 i , j , k 作类比。 i , j , k 具有正交性，即 i ? j = 0 ， i ? k = 0 ， j ? k = 0 （不同单位向量的 乘积等于 0） ，而 i ? i = 1, j ? j = 1, k ? k = 1 (自身乘积非 0)。容易看出它们是十分相 似的。 二、函数展开成傅立叶（Fourier）级数 设 f (x ) 是周期为 2π 的函数，我们假设 f (x ) 能展成三角级数：第十一章无穷级数第 31 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋a0 ∞ (*) + ∑ (a k cos kx + bk sin kx) 2 k =1 其中 a 0 , a k , bk 为待定系数。利用三角函数的正交性，在式中两边积分，有 f ( x) =π?π∫f ( x)dx = 1ππ π ∞ a0 dx + ∑ [a k ∫ cos kxdx + bk ∫ sin kxdx] ∫2 n =1 ?π ?π ?ππ得 a0 =π?π∫ f ( x)dx(*)式两边同时乘以 cos nx ，再积分 π π π π ∞ a f ( x) cos nxdx = ∫ 0 cos nxdx + ∑ [a k ∫ cos kx cos nxdx + bk ∫ sin kx cos nxdx] ∫ 2 n =1 ?π ?π ?π ?π= a n ∫ cos 2 nxdx, n = 1,2,3,? ? ??ππan =1ππ?π∫ f ( x) cos nxdx(*)式两边同时乘以 sin nx ，再积分，类似可得 π 1 bn = ∫ f ( x) sin nxdxπ?π这样我们求出了三角级数的系数 a 0 , a n , bn 称为傅里叶系数，得到的级数 a0 ∞ + ∑ (a n cos kx + bn sin kx) ----------称为傅里叶级数 2 k =1 下面的问题是： 这个级数是否收敛？或者说， 在什么条件下收敛， 收敛于谁？ 收敛性定理：设 f (x ) 是周期为 2π 的函数，如果它满足条件：在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则 f (x ) 的傅里 叶级数收敛，并且 （1） 当 x 是 f (x ) 的连续点时，级数收敛于 f (x ) 。 f ( x ? 0) + f ( x + 0) （2） 当 x 是 f (x ) 的间断点时，级数收敛于 （即间断处 2 左、右极限的运算平均值） f ( x) x为连续点 ? ∞ a ? 即 0 + ∑ (a n cos kx + bn sin kx) = ? f ( x + 0) + f ( x ? 0) x为间断点 2 k =1 ? 2 ? 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多. 1 ? ? 为了方便，记 C = ? x f ( x) = [ f ( x ?) + f ( x +)]? 2 ? ? ∞ a 则 0 + ∑ (a n cos kx + bn sin kx) = f ( x), x ∈ C 2 k =1 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时，常只给函数 f (x ) 在（ ? π , π ] （或 [ ? π , π ) ）上的解析表达式，但读者应理解为它是定义在整个数轴上以 2π 为周期第十一章 无穷级数第 32 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋的函数，即在（ ? π , π ] 以外的部分按函数在（ ? π , π ] 上的对应关系作周期延拓， 那么周期延拓后的函数为：x ∈ (?π , π ] ? f ( x) f * ( x) = ? ? f ( x ? 2kπ ) x ∈ ((2k ? 1)π , (2k + 1)π ) k = ±1,±2... f (x) 的傅里叶级数就是指函数 f * ( x ) 的傅里叶级数。?? 1 ? π ≤ x & 0 例 将 f ( x) = ? 展开为 Fourier 级数。 0≤ x&π ?1 解： f (x ) 的图形为：y 1?2π?πoπ2πx?1f (x ) 在 [? π , π ] 上只有一个第一类间断点，满足收敛性定理。0 π ? 1? a 0 = ∫ f ( x)dx = ? ∫ ? 1dx + ∫ 1dx ? = 0 π ?π π ? ?π 0 ? π 0 π ? 1 1? a n = ∫ f ( x) cos nxdx = ? ∫ ? cos nxdx + ∫ cos nxdx ? = 0 π ?π π ? ?π 0 ?1πbn =1π?π2 ∫π f ( x) sin nxdx = nπ [1 ? (?1) ]n所以 f ( x) = ∑当 x = kπ 时，级数收敛于 即f (kπ ? 0) + f (kπ + 0) ? 1 + 1 =0 = 2 2 ∞ ? f ( x) x ≠ kπ 2 ∑ nπ 1 ? (?1) n sin nx = ? 0 x = kπ n =1 ?2 1 ? (?1) n sin nx, x ≠ 0,±π ,±2π ,? ? ? n =1 nπ 4? 1 1 ? sin(2k ? 1) x + ???? = ?sin x + sin 3 x + ??? + 3 2k ? 1 π? ?∞[][]?x 例 设 f ( x) = ? ?00≤ x ≤π ，求 f (x) 的傅里叶数展开式。 ?π & x & 0解，显然 f (x) 满足收敛性定理，因此它可以展开成傅里叶级数。 f (x) 及其周期第十一章无穷级数第 33 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋延拓后的图象为：π?2πy?πoπ2π 3πx由于an =a0 =1ππ ∫π?1πf ( x)dx =π∫1ππ∫1π0xdx =π2π 1 1 x sin nx ? 0 nπ nπn为奇数 n为偶数ππ∫?πf ( x) cos nxdx =0x cos nxdx =∫0sin nxdx? 2 ?? = 2 cos nx = 2 (cos nπ ? 1) = ? n 2π 0 nπ nπ ?0 ? 1π1bn =f ( x) sin nxdx = ∫ π ∫π π?1π1π0x sin nxdx = ?π 1 1 x cos nx + 0 nπ nπ∫π0cos nxdx=π (?1) n +1 (?1) n +1 1 + 2 sin nx = 0 n nπ n∴ f ( x)在((2k ? 1)π , (2k + 1)π ) 上f ( x) ==a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =11 2 1 cos x + sin x) + ( ? sin 2 x) + ( ? cos 3 x + sin 3 x) + ... 4 2 9π 3 π f (π ? 0) + f (?π + 0) π + 0 π x = ( 2k ± 1)π 上式右端收敛于 = = 2 2 2 + (?π2第十一章无穷级数第 34 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋例 2 把函数 f (x ) 展开成傅里叶级数,其中?x 2 0& x &π ? ， f ( x) = ?0 x =π ?? x 2 π & x ≤ 2π ?并求级数 ∑1 的和。 2 n = 0 (2 n + 1)∞解 f (x) 及其周期延拓的图形如图 6.3，显然f (x) 是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。a0 = an ==1π1∫π2π0f ( x)dx =1π∫π0x 2 dx +π ∫π12π(? x 2 )dx =π 2 7π 2 ? = ?2π 2 3 3π0∫2π0f ( x) cos nxdxπ∫11x 2 cos nxdx +2ππ ∫π12π( ? x 2 cos nx )dx =4 [(?1) n ? 1] 2 nbn = =π∫10f ( x ) sin nxdx x 2 sin nxdx + 1π∫π0π∫π2π(? x 2 ) sin nxdx =π2 2 2 π2 { +( ? 3 )[1 ? (?1) n ]} n n π n所以 f ( x)在x ∈ (0, π ) ∪ (π ,2π ) 时,f ( x) = ?π 2 + ∑ {n =1∞4 2 π2 π2 2 [(?1) n ? 1] cos nx + [ +( ? 3 )(1 ? (?1) n )] sin nx 2 π n n n n1 1 cos 3 x + cox5 x + 32 52 )= ?π 2 ? 8(cos x ++2π{(3π 2 ? 4) sin x +3π 2 4 π2 π2 sin 2 x + ( ? 3 ) sin 3x + sin 4 x + } 2 3 4 3)当 x = π 时,由于1 1 1 f (?π ? 0) + f (π + 0) = 0 ,所以 0 = ?π 2 + 8( + + + 2 12 32 521 1 1 + 2 + 2 + 即 2 1 3 5当 x = 0 或 2π 时，由于+π2 = 8f ( 0 ? 0) + f ( 0 + 0) 1 = (?4π 2 + 0) = ?2π 2 2 2第十一章无穷级数第 35 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋所以1 1 1 ? 2π 2 = ?π 2 ? 8( 2 + 2 + 2 + 1 3 5即)1 1 1 + 2 + 2 + 2 1 3 5=π2 8三、函数展开成正弦或余弦级数（奇偶函数的傅里叶级数） 一般地，一个函数的傅里叶级数既含正弦项，又含有余弦项。特别地： 1．若 f (x) 是以 2π 为周期的奇函数，an = bn = f ( x) cos nxdx = 0 π ∫π?1π(n = 0,1,2 )πf ( x) sin nxdx = ∫ π ∫π π?1π20f ( x) sin nxdx n = 1,2,3∞即奇函数的傅里叶级数，只含正弦函数的项，即 ∑ bn sin nxn =12．若 f (x) 是以 2π为周期的偶函数，an = bn = f ( x) cos nxdx = ∫ π ∫π π?1π2π0f ( x) cos nxdx n = 1,2,n = 0,1,2,f ( x) sin nxdx = 0 π ∫π?1π即偶函数的付里叶级数只含有余弦函数的项，即∞ a0 + ∑ a n cos nx 。 2 n =1但在实际中，有时需要把定义在[ 0, π ]上的函数 f (x ) 展成正弦级数，为此， 先把定义在[ 0, π ]上的函数作奇延拓到[ ? π , π ]上得：x ∈ [0, π ] ? f ( x) f * ( x) = ? x ∈ [?π ,0) ?? g ( ? x )也可把定义在 [0, π ] 上的函数展开成余弦级数,为此,先把定义在 [0, π ] 上的x ∈ [0, π ] ? f ( x) 函数 f (x ) 作偶式延拓到 [?π , π ] 上得 f * ( x) = ? ? f (? x) x ∈ [?π ,0]例3 设 f (x) 以 2π 为周期， 在一个周期内 f ( x) = x ( ?π ≤ x & π ) 将 f (x) 展开为傅 里叶级数。第十一章无穷级数第 36 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋解由于此函数为奇函数，所以其傅里叶级数中只含正弦函数项。 所以an= 0 n = 0,1,2,πbn =f ( x) sin nxdx = ∫ π ∫π π?12π0f ( x) sin nxdx =x sin nxdx = ( ?1) π ∫π?2πn +12 n所以 f (x) 的傅里叶级数为1 1 2(sin x ? sin 2 x + sin 3 x ? 2 3且当 2kπ ? π & x & 2kπ + π 当 x = ( 2k + 1)π+(?1) n +1 sin nx + n级数收敛于 x 级数收敛于 0。例 4 把定义 [0, π ] 上的函数 f (x) 展开成正弦级数。?1 ?1 ? f ( x) = ? ?2 ?0 ? 0& x&h x=h h & x ≤π (0 & h & π )解：bn = =π∫2π0f ( x) sin nxdx =π∫2h0sin nxdx2 ? cos nx h 2 ( ) 0= (1 ? cos nh) n nπ π0 & x & h, h & x & π x=h x = 0, π? f ( x) ? 2 (1 ? cos nh) ?1 sin nx = ? 所以 f ( x) ~ ∑ n =1 π n ?2 ?0 ?∞本题中若 h = π 时，傅里时级数为：1 ? (?1) n 4 1 1 ∑ n sin nx = π (sin x + 3 sin 3x + 5 sin 5 x + π n =1 2∞? f ( x) )=? ?00& x &π x = 0, π例5设 f (x) 是以 2π为周期的函数，它在一个周期内的表达式为：f ( x ) =| sin x |（?π ≤ x & π ） ，将 f (x) 展为付里叶级数解显然 f (x) 是按段光滑函数，可以展开为付里叶级数，由于 f (x) 为偶函数，所以该级数为余弦级数。第十一章无穷级数第 37 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋a0 = an ==π∫22π0sin xdx =4π, a1 =π∫22π0sin x cos xdx =0 sin x cos nxdxn ≠1π∫1π0| sin x | cos nxdx =π∫π02 [cos(n ? 1)π ? 1] π n ?12?0 ? =? 4 1 ?? π n 2 ? 1 ?n = 3,5 n = 2,4sin x =2π?∑2∞ 2 cos 2mx 4 ) cos 2mx = (1 ? 2∑ 2 2 π m =1 π ( 4m ? 1) m =1 4m ? 1∞(?∞ & x & +∞)x = 0时, 有0 =π(1 ? 2∑∞1 4m 2 ? 1 +) = 1 2∞ (?1) n 1 和∑ 2 。 2 n =1 n n =1 nm =1∑ 4mm =1∞12?1=1 1 + + 1 .3 3 .51 + (2m ? 1)(2m + 1)例 6 将函数 f ( x) = x 2 (0 & x & π ) 展成余弦级数,并计算 ∑ 解 首先将函数 f (x) 进行偶式延拓，得到 f * ( x) = x 2∞?π & x & π因为 f * ( x) 为偶函数，即可展成余弦级数。所以 bn = 02 x 2 dx = π 2 3 π π 2 2 2 4 a n = ∫ f ( x)dx = ∫ x cos nxdx = (?1) n 2 (n = 1,2,3 ) 0 0 π π n ∞ π2 (?1) n + 4∑ 2 cos nx f (x) 的傅里叶级数为 a0 =π ∫π?1πf * ( x)dx =π∫2π0f ( x)dx =π∫2π03n =1n因为 f (x) 在 (?π , π ) 内连续，所以此级数在 (?π , π ) 内收敛于 f (x) 。当 x = ±π ， 级数收敛于f (?π + 0) + f (π ? 0) = π 2 = f (?π ) = f (π ) 2所以(?1) n x = + 4∑ 2 cos nx 3 n =1 n∞ 2π2(x ≤π)1 1 1 1 ? 2 + 2 ? 2 + 2 1 2 3 4令 x = 0 时，得 0 =π23+ 4∑(?1) n 2 n =1 n∞即=π2 12第十一章无穷级数第 38 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋当 x = π 时，得 π 2 =π23+ 4∑1 2 n =1 n∞即：1 1 + 2 + 2 1 2+1 + n2=π2 6四、一般周期函数的傅立叶级数前面我们所讨论的函数的傅里叶级数必须是以 2π 为周期的函数，而在实际 应用中，遇到的函数的周期不一定是 2π ，可能是 2l (l & 0) ，还需研究以 2l 为周 期的函数的傅里叶级数，要解决此问题，我们可通过线性变换 x =lπt 把 f (x ) 变l 换成以 2π 为周期的 t 的函数 F (t ) = f ( t ) 。 π 定理：设周期为 2l 的为周期函数 f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级 数展开式为 ∞ a nπx nπx f ( x) = 0 + ∑ (a n cos + bn sin ), (x ∈ C) l 2 n =1 l 其中 nπx 1 l a n = ∫ f ( x) cos dx (n = 0, 1, 2, 3, ), ?l l l nπx 1 l bn = ∫ f ( x) sin dx (n = 1, 2, 3, ). l ?l l ? ? 1 C = ? x f ( x) = [ f ( x ? ) + f ( x + )]? 2 ? ? 当 f(x)为奇函数时， ∞ nπx f ( x) = ∑ bn sin , (x ∈ C) l n =1 nπx 2 l 其中 bn = ∫ f ( x) sin dx (n = 1, 2, 3, ). l 0 l 当 f(x)为偶函数时， ∞ a nπx f ( x) = 0 + ∑ a n cos , (x ∈ C) 2 n =1 l nπx 2 l 其中 a n = ∫ f ( x) cos dx (n = 0, 1, 2, ). l 0 l例7把函数 f ( x) = ??0 ?3?5& x & 0 展成傅里叶级数。 0≤ x&5解由于 f (x ) 在（-5，5）上按段光滑，因此可以展开成傅里叶级数，根据a 0=1 5 1 5 ∫?5 f ( x)dx = 5 ∫?5 3dx = 3 5第十一章无穷级数第 39 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋an =1 5 nπ ∫?5 f ( x) cos l xdx = 5 3 5 nπ x 5 = sin 0 =0 5 nπ 55 nπx nπx 1 0 dx + ∫ 3 cos dx ] [ ∫ cos 0 5 ?5 5 5n = 1, 2bn =1 5 nπ x 1 5 nπ x ∫?5 f ( x) sin 5 dx = 5 ∫?5 3sin 5 dx 5nπ x 5 3(1 ? cos nπ ) 3 5 6 cos ]0= = [? = nπ 5 nπ 5 (2k ? 1)π所以 f (x ) 的付里叶级数为k = 1, 2πx 1 3πx 1 5πx 3 ∞ 6 (2k ? 1)πx 3 6 sin +∑ = + (sin + sin + sin + 2 k =1 (2k ? 1)π 5 2 π 5 3 5 5 5?x ? = ?3 ?2 ? x ∈ (?5,0) ∪ (0,5) x = 0,±5)例 8 f ( x) = x 在(0,2)内展开成： ①正弦级数 ②余弦级数 解 ①要把 f (x ) 展为正弦级数，对 f (x ) 作奇式延拓， 这时a n = 0,bn =n = 0,1,2n = 1, 2,2 2 nπ x 4 n +1 ∫0 x sin 2 dx = nπ (?1) 2∑ nπ (?1)n =1∞4n +1sin2πx 1 3πx nπx 4 πx 1 = (sin ? sin + sin + 2 2 2 2 3 2 π?x )=? ?0x ∈ (0,2) x = 0,2②要把 f (x ) 展成余弦级数，对 f (x ) 作偶式延拓 这时 bn = 0,an =n = 1,2a0 = ∫ xdx = 2022 2 nπx 4 n ∫0 x cos 2 dx = n 2π 2 [(?1) ? 1] 2n = 1,2...x = 1+ ∑?8 (2k ? 1)πx cos 2 2 2 k =1 ( 2k ? 1) π πx 1 8 3πx 1 5πx = 1 ? 2 (cos + 2 cos + 2 cos + 2 3 2 2 π 5∞)第十一章无穷级数第 40 页 共 41 页《高等数学》Ⅱ―Ⅱ备课教案张谋本章小结． 二、教学要求和注意点 概念： 1．三角函数系及其正交性； 性质：三角函数系在[?π , π ]上正交(证明)． 2．三角级数； ∞ a 3．傅立叶级数： 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) ，其中 2 n =1 1 π a n = ∫ f ( x) cos nxdx (n = 0, 1, 2, 3,π?π), ).π ∫?π 函数展开成傅立叶级数的条件： 狄利克雷定理：设 f(x)是周期为 2π的周期函数，如果它满足： (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点， 则 f(x)的傅立叶级数收敛，并且 当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)；bn = f ( x) sin nxdx (n = 1, 2, 3,1π当 x 是 f(x)的间断点时，级数收敛于1 f (x? ) + f (x+ ) . 2[]将函数展开成傅立叶级数： 1．f(x)以 2π 为周期，且满足收敛条件，则 f(x)可展成(?∞ , +∞)上的傅立叶 级数． 例 1～例 3． 2．f(x)在[?π , π ]上有定义，且满足收敛条件，则 f(x)可展成[?π , π ]上的傅 立叶级数． 例 4． 3．f(x)在[０, π ]上有定义，且满足收敛条件，则 f(x)既可展成[０, π ]上的正 弦级数，也可展成[０, π ]上的余弦级数． 例 5．第十一章无穷级数第 41 页 共 41 页