查看: 11253|回复: 7
先求导再积分与先积分再求导的区别，李永乐的全书好像没讲，求教
主题帖子积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
考研年份2015
报考学校北京航空航天大学
本科学校澳门科技大学
本帖最后由 R9Wii 于
09:20 编辑
自学的高数，有些问题有些困惑，求教大家：
幂级数求和函数时候主要方法就是先积分再求导或者先求导再积分，先求导再积分可能会丢掉常数项，这个我明白，但是有以下问题，
1：什么时候在计算完要验证S(0)或者S(1)？是不是在一般求和函数的过程中，使x无意义的点经常是0和1这两个点，所以最后用和函数的连续性或者把x=0或者x=1代入和函数最后写成分段函数的形式，请问我的理解对吗？
2：先求导再积分时候要检查有无常数项，因为先求导再积分会丢掉常数项，不明白的是什么时候是常数项？是使x的指数是0的项吗？，但是为什么我觉得下面的两个图里面的题有点冲突？
第二张图里面说的后面的求和式子是非常数项？但是n=1时候不是x的指数是0，这时候就是1，就是含有常数项啊
第三张图了里面又为什么含有常数项？是因为n=0时候x的指数是0吗？
本帖子中包含更多资源
才可以下载或查看，没有帐号？
主题帖子积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
考研年份2014
报考学校国立台湾大学
本科学校国立台湾大学
这两者区别是非常大的。你可以稍微想象一下，先积分后求导，积分出来的C求导后就没有了，不改变函数。而先求导后积分，这时候会产生一个常数C，这里的常数不一定是当时的那个常数啊。所以我们对先导后积的问题都是采用牛顿莱布尼兹公式去解决。这里的S(0)可不一定是0啊，一定要自己检验一下，真题中如果在这个点设下陷阱会让很多人出错的。加油！
主题帖子积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
考研年份2015
报考学校北京航空航天大学
本科学校澳门科技大学
这两者区别是非常大的。你可以稍微想象一下，先积分后求导，积分出来的C求导后就没有了，不改变函数。而先求 ...
lxkb9108 发表于
& & 谢谢你，两者的区别我明白的，但是先求导再积分的验证我没有明白，什么时候需要验证？有常数项时候吗？什么时候有常数项，而且我觉得图片里面的题是不是冲突了？
主题帖子积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
考研年份2014
报考学校国立台湾大学
本科学校国立台湾大学
& & 验证的问题只要是先导后积的题目都是需要的，因为用的牛莱公式是对两个断点啊，只是有时候某端点为零误以为不用验证似的。
主题帖子积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
考研年份2015
报考学校北京航空航天大学
本科学校澳门科技大学
回复&&R9Wii
& & 验证的问题只要是先导后积的题目都是需要的，因为用的牛莱公式是对两个断点啊，只是 ...
lxkb9108 发表于
& & 恩，是的，凡是先求导后积分都需要验证，我的问题是验证是取n的开始项，比如n从0开始，还是验证x=0时候的幂级数和，简单的说是把n=0还是x=0代入验证？验证的意义就是怕丢掉常数项，我在一本书上看到可以求和之前先分离常数项，然后求和就不需要验证了，但是你看看我图里面的题，什么时候才是常数项？
主题帖子积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
考研年份2014
报考学校国立台湾大学
本科学校国立台湾大学
& & 爪机看不到图啊，中午回去用电脑看看
主题帖子积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
王道论坛中级道友, 积分 546, 距离下一级还需 454 积分
考研年份2015
报考学校北京航空航天大学
本科学校澳门科技大学
回复&&R9Wii
& & 爪机看不到图啊，中午回去用电脑看看
lxkb9108 发表于
& & 好，谢谢，这个问题一直没想明白，很多辅导书不同解释
主题帖子积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
王道论坛高级道友, 积分 1082, 距离下一级还需 1918 积分
考研年份2014
报考学校国立台湾大学
本科学校国立台湾大学
& & 擦，尼玛上传图片搞了我好久也没传上去，就打字说吧。s(0)其实就是算级数的常数项，把n当作0处理。高数 一个原函数积分之后再求导等于什么_百度知道
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。
高数 一个原函数积分之后再求导等于什么
我有更好的答案
采纳率：70%
变限积分求导公式
没有简便方法吗
就是不通过先计算微分，再求导的方法 可以吗
我不懂什么叫变限积分
能看见我的图么
😂我的天，你采纳的那人方法和我一样的，而且我的更严谨
我之前没有看懂你的
先把积分求出来，再求导，积分是面积面积求导是常数。
他们之间就没有关系吗
你要什么关系
我们老师说有简便方法，如果按照老思路去做题，就浪费时间了
你知道简便方法是什么吗
而且积分与可导就是互逆运算啊
这个，你是大学生
但是积分带入数值了
不止是原函数了
我基础很弱
可是我们老师上课真的讲了简便方法的
这个，可以推啊
但是我推不出来
为您推荐：
其他类似问题
求导的相关知识
换一换
回答问题，赢新手礼包登录网易通行证
使用网易通行证(含网易邮箱)帐号登录
提交您的投诉或建议
视频画面花屏
视/音频不同步
播放不流畅
分享给朋友:
扫描分享给微信好友和朋友圈
扫一扫分享给微信好友和朋友圈
通过代码可以让这个视频在其它地方上播放！
复制FLASH代码
复制HTML代码
复制页面地址
使用公开课APP下载视频
扫描二维码 手机继续看
扫描二维码在手机上继续观看，
还可分享给您的好友。
没有公开课客户端？
登录后才能查看我的笔记
暂时没有笔记!
确定删除笔记？
即将播放下一集，请您保存当前的笔记哦！
对字幕纠错要登录哦！
内容不能少于3个字
本集以飞人博尔特的百米短跑为例子，详细讲解了平均速度、瞬时速度以及导函数之间的联系和区别。
该视频通过讲解自定义的两个函数并辅以计算器演示，形象化地引入了极限的基本概念。
该视频通过两个例子的比较，说明了函数在某点的极限并不是估计该点的函数值这一概念。
该视频对几个关于极限的例题，用画图分析的方法给出了解答，给学生一种直观上的感受。
该视频接着上部视频讲解极限的具体例子，并给出了左右极限的概念。
该视频介绍了使用代入法计算当x趋向某个值或者无穷时函数的极限。
该视频讲解了三道很经典且有代表性的极限题目，对很多类似题目有很好的借鉴作用。
该视频给出了夹挤定理的内容，并通过举例和画图帮助理解定理的意思。
该视频结合画图以及三角形知识，运用夹挤定理证明了重要极限six/x=1
该视频除了一些求极限的题目并进行了详细的讲解，其中多次用到sinx/x的重要极限。
该视频介绍了并详细解释了极限的ε-δ定义。
该视频介绍了利用极限的ε-δ定义来解决相关证明题。
本集是微积分中初步学习曲线斜率的第一集。首先回顾了直线斜率的定义和求法，然后用割线无限趋近切线的方法，引出了曲线上一点的斜率的定义。
本集是微积分中初步学习曲线斜率的第二集，详细讲解了求曲线y=x^2在x=3这点的斜率的具体过程。
本集是微积分中初步学习曲线斜率的第三集，详细讲解了一个函数的导函数的一般定义。
本集以方程f(x)=2x^3为例，讲解了如何利用一个专门计算机模块，用描点法得到已知函数的导函数。
[第17课]导数1
本集从直线斜率定义的讲解开始，过渡到曲线上割线斜率的求解，一步步引出导函数的定义。
本集运用导函数的定义，先求方程f(x)=x^2在x=3点处的斜率，然后推广到求曲线上任意点处斜率的一般化概念。
本集在导函数极限定义的基础上，得到指数函数的导函数的通用表达式；然后介绍了两项求导运算的法则及例子说明。
本段视频分别讲了直接对多项式求导和用链式法则求导的例子。
本段视频介绍了如何用链式法则对函数求导。
本段视频介绍了链式法则的定义和几个用链式法则求导的例子。
本段视频介绍了乘积法则的定义，并讲了乘积法则和链式法则的例子。
本段视频讲了如何用乘积法则对分式求导，并介绍了一些常用函数的导数。
本段视频结合一些常用函数的导数、乘积法则和链式法则，举例讲了几个求导问题。
本段视频用二项式定理证明了x^n的导数是n·x^(n-1)。
本段视频证明了√x的导数是(1/2)x^(-1/2)。
本段视频用导数定义证明了lnx的导数是1/x。
本段视频证明了e^x的导数是e^x。
本段视频是证明(lnx)'=1/x和(e^x)'=e^x的第二个版本，强调这不是循环证明。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课 可汗学院
课程简介：微分学的内容主要包括：极限的介绍，ε的含义，夹逼定理，导数，链式法则，基本导数的证明，洛必达法则及举例等等。视频由可汗学院免费提供，详见：（All Khan Academy materials are available for free at ）
扫描左侧二维码下载客户端维基教科书，自由的教学读本
{\displaystyle y=f(x)\,\!}
{\displaystyle \;x_{0}\;}
的某个内有定义，当自变量
{\displaystyle \;x\;}
{\displaystyle \;x_{0}\;}
处取得增量
{\displaystyle \Delta }
{\displaystyle \;x\;}
{\displaystyle \;x_{0}+\Delta }
{\displaystyle \;x\;}
仍在该邻域内）时，相应地函数
{\displaystyle \;y\;}
{\displaystyle \Delta }
{\displaystyle y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\,\!}
{\displaystyle \Delta }
{\displaystyle \;y\;}
{\displaystyle \Delta }
{\displaystyle \;x\;}
{\displaystyle \Delta }
{\displaystyle x\to 0}
时的极限存在，则称函数
{\displaystyle y=f(x)\,\!}
{\displaystyle \;x_{0}\;}
处，并称这个极限为函数
{\displaystyle y=f(x)\,\!}
{\displaystyle \;x_{0}\;}
处的导数，记为
{\displaystyle f'(x_{0})\;\!}
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
{\displaystyle \left.y^{\prime }\right|_{x=x_{0}}}
{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=x_{0}}}
{\displaystyle \left.{\frac {df(x)}{dx}}\right|_{x=x_{0}}}
若将一点扩展成函数
{\displaystyle f(x)}
在其定义域包含的某
{\displaystyle I}
内每一个点，那么函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle \;I\;}
内可导，这时对于
{\displaystyle \;I\;}
内每一个确定的
{\displaystyle \;x\;}
值，都对应着
{\displaystyle f(x)}
的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作
{\displaystyle f(x)}
的导函数，记作：
{\displaystyle y'}
{\displaystyle f'(x)\;\!}
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}
导函数的定义表达式为：
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
值得注意的是，导数是一个数，是指函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle x_{0}}
处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。
如右图所示，设
{\displaystyle P_{0}}
为曲线上的一个定点，
{\displaystyle P}
为曲线上的一个动点。当
{\displaystyle P}
沿曲线逐渐趋向于点
{\displaystyle P_{0}}
时，并且割线
{\displaystyle PP_{0}}
的极限位置
{\displaystyle P_{0}T}
存在，则称
{\displaystyle P_{0}T}
{\displaystyle P_{0}}
处的切线。
若曲线为一函数
{\displaystyle y=f(x)}
的图像，那么割线
{\displaystyle PP_{0}}
的斜率为：
{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
{\displaystyle P_{0}}
{\displaystyle P_{0}T}
{\displaystyle PP_{0}}
的极限位置存在时，此时
{\displaystyle \Delta x\to 0}
{\displaystyle \varphi \to \alpha }
{\displaystyle P_{0}T}
{\displaystyle \tan \alpha }
{\displaystyle \tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}\tan \varphi =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则
{\displaystyle f'(x_{0})=\tan \alpha }
，故导数的几何意义即曲线
{\displaystyle y=f(x)}
{\displaystyle P_{0}(x_{0},f(x_{0}))}
处切线的斜率。
如果一个的为全体，即函数在
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个（存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
上式中，后两个式子可以定义为函数在
{\displaystyle x_{0}}
处的左右导数：
{\displaystyle f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}}
用两个函数的例子来说明函数可导的条件。
sgn函数，符号函数
1.上面这个符号函数在
{\displaystyle x=0}
处可导吗？
绝对值函数
2.上面这个函数在
{\displaystyle x=0}
处可导吗？
以上两个函数都是在定义域内连续的函数，由此就可以得出一个结论：连续的函数不一定处处可导。
但处处可导的函数一定处处连续。
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \Delta x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x=0}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle x_{0}}
在解决函数的导数问题上，利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则，以利于更好地解决各类求导的问题。
{\displaystyle [u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)}
{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
{\displaystyle \left[{\frac {u(x)}{v(x)}}\right]'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}}
特别地，对于常数
{\displaystyle C}
{\displaystyle [Cv(x)]'=Cv'(x)}
{\displaystyle \left[{\frac {C}{v(x)}}\right]'={\frac {-Cv'(x)}{v^{2}(x)}}}
以上法则的证明中，对于1，可以利用极限的运算法则验证；对于2，可以直接使用导数定义证明，证明如下：
{\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}
{\displaystyle [u(v(x))]'=u'(v)v'(x)}
{\displaystyle y=f(x)}
{\displaystyle x}
的某个邻域内连续，严格单调，且在
{\displaystyle x}
{\displaystyle f'(x)\neq 0}
成立。则它的反函数
{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
{\displaystyle y}
可导，且有：
{\displaystyle [f^{-1}(y)]'={\frac {1}{f'(x)}}}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}}
我们可以用一个例子来说明：试求函数
{\displaystyle y=\arcsin x(|x|&1)}
的导函数。
{\displaystyle y=\arcsin x(|x|&1)}
{\displaystyle x=\sin y(\left|y\right|&{\frac {\pi }{2}})}
的反函数，且
{\displaystyle x=\sin y}
{\displaystyle I_{y}=\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}
开区间上严格单调、可导，且
{\displaystyle (\sin y)'=\cos y&0}
因此由反函数求导法则可得：在对应区间
{\displaystyle I_{y}=(-1,1)}
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{(\sin y)'}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle {\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}(\alpha \leq t\leq \beta )}
{\displaystyle \phi (t)}
{\displaystyle \psi (t)}
{\displaystyle x=\psi (t)}
严格单调(?)，
{\displaystyle \psi '(t)\neq 0}
，根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为：
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}}
{\displaystyle {\begin{cases}x=\rho (\theta )\cos \theta \\y=\rho (\theta )\sin \theta \end{cases}}}
，根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为：
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\left[\rho (\theta )\sin \theta \right]'}{\left[\rho (\theta )\cos \theta \right]'}}={\frac {\rho _{\theta }^{'}\sin \theta +\rho \cos \theta }{\rho _{\theta }^{'}\cos \theta -\rho \sin \theta }}}
有关隐函数的定义，参见。
隐函数的求导方法的基本思想是要把
{\displaystyle F(x,y)=0}
{\displaystyle x}
{\displaystyle y(x)}
，方程两端对
{\displaystyle x}
求导，然后再解出隐函数的导数
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
给出一个例子来进一步说明：
试求由方程
{\displaystyle {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}={\sqrt {a}}}
{\displaystyle y}
{\displaystyle x}
的隐函数的导数
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
{\displaystyle (x,y&0)}
方程的两边同时对
{\displaystyle x}
{\displaystyle {\frac {d(x^{\frac {1}{2}}+y^{\frac {1}{2}})}{dx}}={\frac {d{\sqrt {a}}}{dx}}}
{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=0}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\sqrt {\frac {y}{x}}}(x,y&0)}
通过例题，应当注意方程两边求导的对象是
{\displaystyle x}
{\displaystyle y}
{\displaystyle x}
表示的，相当于一个
{\displaystyle x}
的复合函数，故根据复合函数的求导法则：
{\displaystyle [f(y)]'=f'(y)\cdot y_{x}^{'}}
{\displaystyle f(y)={\sqrt {y}},f'(y)={\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}},y_{x}^{'}={\frac {dy}{dx}}}
参数方程的高阶求导
{\displaystyle {\begin{cases}x=\psi (t)\\y=\phi (t)\end{cases}}}
{\displaystyle \phi (t)}
{\displaystyle \psi (t)}
二阶可导，且
{\displaystyle \psi '(t)\neq 0}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}}
{\displaystyle {\frac {{{\rm {d}}^{2}}y}{{\rm {d}}{x^{2}}}}}
{\displaystyle ={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}\right)}
{\displaystyle ={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)}
{\displaystyle ={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\phi '(t)}{\psi '(t)}}\right)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}x}}}
{\displaystyle ={\frac {\phi ''(t)\psi '(t)-\phi '(t)\psi ''(t)}{{[\psi '(t)]}^{2}}}\cdot {\frac {1}{\psi '(t)}}}
基本导数公式
{\displaystyle C'=0}
{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
{\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{{\cos ^{2}}x}}={\sec ^{2}}x}
{\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{{\sin ^{2}}x}}=-{\csc ^{2}}x}
{\displaystyle (\sec x)'={\sec x}{\tan x}}
{\displaystyle (\csc x)'=-{\csc x}{\cot x}}
{\displaystyle (\ln |x|)'={\frac {1}{x}}}
{\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
{\displaystyle a&0,a\neq 1}
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
、、等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如，在物理学中，速度被定义为位置函数的导数，即：
{\displaystyle v(t)={ds \over dt}}
；而加速度被定义为速度函数的导数，即：
{\displaystyle a(t)={dv \over dt}}
。另外，导数还可以表示曲线在一点的，以及经济学中的和。
中的相关条目：