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一个电容器的电容为100uf,接在频率50Hz、电压是220v的交流电源上,电路中的电流是多少,
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计算容抗 单位欧姆计算电流 I=V/R&1.&& cx=1/(2*3..00001 )&2.&& I=220/cx自己算去!
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问答题简答题在电容C为50μF的电容器上加电压U为220V、频率f为50Hz的交流电，求无功功率Q为多少？
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5.问答题 感抗XL=U/I=220/5=44（Ω）
L=XL/2πf=44/2×3.14×50=0.14（H）
答：线圈的电感L为0.14H。3．电阻元件的电压有效值与电流有效值的比值是电阻；7．在电压有效值一定时，频率愈高，则通过电感元件；??U?；4-3已知正弦电压u?311sin(314t?3；（3）当t?0和t?0.015s时的电压瞬时值；4-4有一正弦交流电流，它的有效值为20A，频率；??5????10?30?A，I?150?A，其；（1）两电流的瞬时值表达式；（2）两电流的相位差；u
3．电阻元件的电压有效值与电流有效值的比值是电阻R。（
） 4．电感元件的电压有效值与电流有效值的比值是电感L。（
） 5．电感元件在相位上电流超前于电压90?。（
） 6．电容元件在相位上电流超前于电压90?。（
） 7．在电压有效值一定时，频率愈高，则通过电感元件的电流有效值愈小。（
） 8．在RLC串联的电路中，串联电压U?UR?UL?UC。（
） 9．RLC串联电路的功率因数一定小于1。（
） ??U?。10．RLC串联电路发生谐振时，由于XL?XC，于是ULC（
） 4-3 已知正弦电压u?311sin(314t?30?)V，求 （1）有效值、初相位、频率和周期； （2）画出该电压的波形图； （3）当t?0和t?0.015s时的电压瞬时值。 4-4 有一正弦交流电流，它的有效值为20A，频率为50Hz，若时间起点取在它的正向最大值处，试写出此正弦电流的瞬时值表达式。 ??5????10?
?150?A，其频率4-5 已知两个同频正弦电流的相量分别为I12f?50Hz。求： （1）两电流的瞬时值表达式；（2）两电流的相位差。 4-6 已知某一支路的电压和电流分别为 u?10sin(103t?30?)V i?50cos(103t?50?)A （1）画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率和周期； （2）写出它们的相量表达式，求出相位差并且画出相量图； 4-7 已知一条支路中两串联元件的电压分别为u1?82sin(?t?60?)V，u2?62sin(?t?30?)V。试求支路电压u?u1?u2，并画出相量图。 4-8 已知两支路并联，总电流i?102sin(?t?60?)A，支路1的电流i1?82sin(?t?30?)A。试求支路2的电流i2，并画出相量图。 4-9 已知线性电阻R?10?，其上加正弦电压u?2Usin?tV，电压与电流取关联参考方向。此时测得电阻消耗的功率为1kW。求此正弦电压的有效值。 4-10 已知电感线圈L?20mH，电阻忽略不计，电压与电流取关联参考方向。求： （1）当通以正弦电流i?22sin314tA，线圈两端的电压u； ??127
30?V，f?50Hz时，其电流I?并画出相量图。 （2）当在电感两端加电压U4-11 已知电容C?10μF，电阻忽略不计，电压与电流取关联参考方向。 （1）当在电容上加正弦电压u?2202sin314tV时，求电流i； ?，并作相量图。 ??0.1
-30?A，求电压U（2）若电容上通过f?50Hz的正弦电流I4-12 某一元件的电压和电流取关联的参考方向时，若分别为下列四种情况，则它可能是什么元件？ u?10cos(10t?45?)Vu?10cotsV（1）
i?5sin(10t?135?)A
i?5sintA u?10sin314tVu?10sin(314t?45?)V（3）
i?5cos314tA
i?5sin314tA 4-13 将一个电感线圈接到20V的直流电源时，通过的电流为1A；将该线圈改接到2kHz，20V的交流电源时，电流为0.8A。求该线圈的电阻R和电感L。 4-14 已知电阻R?4?，电容C?354μF，电感L?19mH，将三者串联后分别接在220V，50Hz和220V，100Hz的交流电源上。求上述两种情况下，串联电路的电流I?，并分析电路性质。 4-15 如图T4.4所示RLC并联电路中，电流表A和 A1的读数均为5A，A2的读数为3A。求电流表A3的读数。 A?i?A1iAA1A2A2A3u?Ri1Li2Ci3u?R120?i1Ri2L图T4.4 题4-15图 图T4.5 题4-16图
4-16 如图T4.5所示电路为用三电流表测线圈参数的实验线路。已知电源频率f?50Hz，图中电流表A1和A2的读数均为10A，A的读数为17.32A。求线圈电阻R和电感L。 4-17 如图T4.6所示正弦交流电路中，已知电压表V、V1和V2的读数分别为10V、6V和3V。求电压表V3的读数，并且画出相量图。 V1?iVV2u?iCRiLL??UI?R1?I1R2jX2?I2?图T4.6 题4-17图 uV3?图T4.7 题4-18图 ?jX1图T4.8 题4-20图 4-18 如图T4.7所示电路中，已知f?50Hz，R?4?，L?12.75mH，C?796μF，IL?10A。求U和I的值，并做出相量图。 4-19 RLC串联交流电路中，已知R?1.5?，L?2mH，C?2000μF。试求： ?超前（1）?为多少时，I?比Uπ？ 4?同相？ （2）?为多少时，I?和U?比I?超前（3）?为多少时，Uπ？ 44-20 在如图T4.8所示电路中，U?220V，R1?10?，X1?103?，R2?20?，X2?203?。试求：（1）各支路电流；（2）有功功率和无功功率；（3）功率因数，并判断电路性质。 ?，电阻和电容上的电压分别为U?和U?。已知4-21 有一RC串联电路，电源电压为URC?与U?之间的相位差为30?。试求R和C的电路阻抗模为2k?，电源频率f?1kHz，并设UC?是超前还是滞后。 ?比U值，并说明在相位上UC4-22 某感性负载（可视为RL串联）接在220V，50Hz的电源上，通过负载的电流I?10A，消耗有功功率1500W。求负载的功率因数以及电阻R和电感L。 4-23 有一RLC串联的交流电路，R?30?，XL?40?，XC?80?，接在220V的交流电源上。求电路的总有功功率、无功功率和视在功率。 4-24 某台感应电动机，在额定工作状态下其从电网上取用的功率为1.1kW。当在工频220V的额定电压下工作时，电流I?10A。求： （1）感应电动机的功率因数； （2）若要使功率因数提高到0.9，应在电动机两端并联多大的电容？ 4-25 图T4.9所示日光灯电路接在220V，50Hz的交流电源上工作时，测得灯管电压为100V，电流为0.4A，镇流器的功率为7W。求： （1）灯管电阻R、镇流器电阻RL和电感L； （2）灯管消耗的有功功率、电路总的有功功率以及电路的功率因数； （3）要使电路的功率因数提高到0.9，需并联多大电容？ 4-26 在如图T4.10所示电路中，已知R1?30?，R2?50?，R3?100?，XC1?20?，XC2?100?，XL?50?。求输入端总阻抗Z；若U?200V，求I1、I2和I。 4-27 电路如图T4.11所示，已知Z1?(30?j40)?，Z2?(50?j20)?，Z3?(10?j20)?，U?100V。求各支路电流I1、I2和I，并求电路的总有功功率。 镇流器R1?jXC1?uCRLR灯管L??UI?R2?jXC2I?1R3jXL?I2??UI?Z1I?1?I2Z2Z3???图T4.11 题4-27图 图T4.9 题4-25图 图T4.10 题4-26图
4-28 在RLC串联电路中，R?50?，L?400mH，谐振角频率?0?5000rad/s，电源电压US?1V。求电容C及各元件电压的瞬时值表达式。 4-29 某收音机的接收电路的电感约为40mH，可调电容器的调节范围为30~375 pF。试问能否满足收听45～145kHz波段的要求？ 4-30 一RLC串联电路，接在100V，50Hz的交流电源上，R?4?，XL?6?，电容C可调。试求：（1）当电路电流为20A时，电容C是多少？ （2）电容C调节到何值时，电路电流最大？此时电流是多少？ 4-31 在如图T4.12所示电路中，电源包含两种频率的信号，?1?1000rad/s，?2?3000rad/s，C2?0.125μF。若使电阻上的输出电压uR只含有?1的信号，试问C1和L1应为何值？ 4-32 如图T4.13所示电路，已知电容C固定，要使电路在角频率?1时发生并联谐振，而在角频率?2时发生串联谐振，求L1、L2的值。 C1L1?C2??L1uuRuL2C?图T4.12 题4-31图 ? 参考答案 ?图T4.13 题4-32图
4-1 单项选择题 1、 D
10、D 4-2 判断题 1、 ×
3、 √ 4、 × 5、 × 6、
√ 8、 × 9、 × 10、 × 4-3 （1）220
（3）155.5V
28.4 4-4 i?202sin(314t?90?)A 4-5 （1）i1?52sin(314t?30?)A i2?102sin(314t?30?)A （2）0 4-6
（1）对于u：U?52V，f?159Hz，T?6.28ms 对于i：I?252A，f?159Hz，T?6.28ms ??25240?A
??0 ??5230?V
I（2）U4-7
u?102sin(?t?23.5?)V 4-8
i2?52sin(?t?112.5?)A 4-9
100V ??20.2?60?A 4-10 （1）u?12.562sin(?t?90?)V
（2）I4-11
（1）i?0.692sin(314t?90?)A
（2）u?322sin(314t?120?)V 4-12
（1）纯电阻 （2）纯电感 （3）纯电容 （4）电感性负载 4-13
R?20?，L?1.2mH ??25.962?A，电路呈感性 ??44?37?A
电路呈容性
R?10?,L?55.2mH 4-17
U?40V，I?102A 4-19
（1）??500rad/s
（2）??500rad/s
（3）??500rad/s 4-20
（1）I1?11A，I2?5.5A，I?9.53A
（2）P?1815W，Q?1048var （3）??3/2，电路呈感性 4-21
R?1k?，C?0.09?F
??0.684，R?15?，L?51mH 4-23
P?58.08W，Q??774.4var，S?968V?A 4-24
（1）??0.5
（2）C?90.3?F 4-25
（1）R?250?，RL?43.75?，L?1.48H；（2）灯管消耗的有功功率40W，电路总的有功功率47W，电路的功率因数0.534；（3）3.4?F 4-26
Z?105?j45?114.2?23.2??；I1?0.71A，I2?1.79A，I?1.93A 三亿文库包含各类专业文献、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、专业论文、各类资格考试、30电工学部分习题参考答案等内容。　
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第4章 正弦交流电路
第4章 正弦交流电路4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路 4.5 阻抗的串联与并联 4.6* 复杂正弦交流电路的分析与计算 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高 4.9 非正弦周期电压和电流SDST4.1 正弦电压与电流直流电流和电压I, U正弦电流和电压i, u+oot_ti i 正弦电压和电流是按照 正弦规律周期变化的。 + + u u R R 正弦交流电的优越性： _ _ 便于传输；易于变换； 负半周 正半周 便于运算； 有利于电器设备的运行;正弦电压与电流统称正弦量。 …SDST4.1 正弦电压与电流设正弦交流电流ImiO??tTi ? Im sin?? t ?? ?初相位：决定正弦量起始状态角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小 幅值、角频率(频率) 、初相位成为正弦量的三要素。SDST4.1.1 频率与周期周期T：正弦量变化一周所需的时间 ( s )。 1 i 频率 f ：f ? (Hz) T 角频率： OT2π ω? ? 2πf ( rad/s ) T* * * * *SDST?t电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz 。 高频炉频率：200 ~ 300 kHz (中频炉500 ~ 8000 Hz)。 收音机中频段频率：530~1600 kHz。 移动通信频率：900~1800 MHz。 无线通信频率： 高达 300GHz。4.1.2 幅值与有效值幅值大写,下标加 m幅值：Im、Um、Em 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的 有效值。?则有有效值 必须大写T 0i R dt ? I RT22交流直流I ?1 T?TT0i 2dt2同理SDSTIm ? ?0 I sin ω t dt ? 2 Um Em U? E? 2 21 T2 m注意： 交流电压表、电流表测量数据为有效值。 交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。 正弦量所取计时起点不同， i 其初始值 ( t = 0时的值)就不同， i ? Imsin( ωt ? ψ ) 到达幅值或某一特定值的时间 就不同。 ?t O ψ 相位： ?t ? ψ 反映正弦量变化的进程。 初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。4.1.3 初相位ψ ? (? t ?? )? : 给出了观察正弦波的起点或参考点。SDSTt ?0相位差? ：两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： u ? Umsin(ω t ? ψ1 )i ? I msin(ω t ? ψ2 ) ? ? (? t ?? 1 ) ? (? t ?? 2 )? ψ1 ?ψ2uu, iio相位差 = 初相位之差。 图中? ? ψ1 ?ψ2 ? 0?2 ??t电压超前电流 ? 角 或称 i 滞后 u ? 角SDST?1? ? ψ1 ? ψ2 ? 0 电流超前电压 ?u i i u? ? ψ1 ? ψ2 ? ?90? 电流超前电压90 ?u i i u?O?tO90°ωt电压与电流同相 u i u iO? ? ψ1 ? ψ2 ? 0? ? ψ1 ? ψ2 ? 180?电压与电流反相 u i u?tOi?tSDST注意: (1) 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与 计时起点的选择无关。i i 1i2?t?O(2) 不同频率的正弦量比较无意义。SDST4.2 正弦量的相量表示法1. 正弦量的表示方法 波形图u ωtO瞬时值表达式 u ? Umsin( ? t ?? )? ?U ψ 相量 U重点必须 小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。SDST正弦交流电与相量的关系(a) 旋转矢量 +jωt1 ωt2 ω(b) 正弦交流电ψ O +1Oψωt1ωt正弦交流电可以用 一个固定矢量表示 最大值相量 Im 有效值相量 ISDSTωt2 +j I +1 Im ψ O由上可知： 复数由模和辐角两个特征来确定，而正弦量由 幅值、频率、初相位三个特征来确定。在分析线 性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量， 频率是已知的，可以不考虑。因此，一个正弦量由 幅值(或有效值)和初相位就可确定。比照复数和正 弦量，正弦量可用复数表示。 复数的模即为正弦量的幅值(或有效值) 复数的辐角即为正弦量的初相位 相量: 表示正弦量的复数称相量。SDST2. 正弦量的相量表示 +j A b 实质：用复数表示正弦量。 r 复数表示形式 ? 设A为复数: +1 a O (1) 代数式 A =a + jb 2 2 式中，a ? r cos ψ r ? a ? b 复数的模 b b ? r sin ψ ψ ? arctan 复数的辐角 a (2) 三角式A ? r cos ψ ? j r sin ψ ? r (cos ψ ? j sin ψ ) (3) 指数式 A ? r e j ψ (4) 极坐标式 A ? r ψjψ 加、减运算时用代数式 *A 有关相量的运算 ? a ? jb ? r cos? ? j r sin? ? re ? r ψ 乘、除运算时用指数式SDST设正弦量 u ? U msin( ω t ? ψ ) 电压的有效值相量 用相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 jψ ? U ? Ue ? U ψ 相量辐角=正弦量的初相位 或 ? ? U e jψ ? U ψ 相量的模=正弦量的最大值 U m m m 相量辐角=正弦量的初相位注意:电压的幅值相量(1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。i ? Imsin(ω t ? ψ ) = ? I me jψ ? I m ψ正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量 的复数，两者不能划等号！ (2) 只有正弦量才能用相量表示。SDST？(3) 相量的两种表示形式 ? ? Ue jψ ? U ψ ? U ( cos ψ ? jsinψ) 相量式: U 相量图: 把相量表示在复平面的图形 ? I 可不画坐标轴 ? ? U只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 (4) 正弦量表示符号的说明 瞬时值?小写（u ,i） 有效值?大写（U , I） 最大值?大写+下标（Um , Im） 相 量?大写 + D.‖ （Um , Im ? 最大值相量） ? ? （U , I ? 有效值相量）SDST(5) Dj‖的数学意义和物理意义 ? j 90? 旋转 90? 因子：ee? j90?? cos 90 ? ? j sin 90 ? ? ? j? B+j设相量?。 逆时针旋转 90 ° ，得到 Bjψ ? A ? re j 90? ? ? 相量 A 乘以 e ， A将 -j 90?? AO? 乘以 e ， ?将 相量 A A ?。 顺时针旋转 90 ° ，得到 C?+1? CSDST正误判断u ? 220 sin(ω t ? 45?)V220 U? 45? V？ 2?有效值1.已知：3.已知：j30 ? ? I ?4e A复数? 4 2 sin (ω t ? 30 ?)A ？瞬时值j45?? ? 220 e45 ? V？ U m? ? 10 60?A 2.已知： Ii ? 10 sin ( ω t ? 60? )A ？最大值SDST4.已知：? ? 100 ? 15?V U负号 U? ? 100 V ？? ? 100 e Uj15 ?V？例 1: 已知选定参考方向下正弦量的波形图如图 所示, 试写出正弦量的表达式。 ?250 200 u/ V u1 u260? ? 30?O?2??t解： u ? 200sin( ?t ? 60?) V 1u2 ? 250sin( ?t ? 30?) VSDST例 2: 已知同频率的正弦量的解析式分别为 ?i = 10sin(ωt + 30°)A, u ? 220 2 sin( ?t ? 45?)V, 写出 ?、U ? , 并绘出相量图。 ? 流和电压的相量 I 解: (1) 相量式 10 ? I? 30? A ? 5 2 30? A 2＋j? I＋1220 2 ? U? ? 45? V 2 (2) 相量图O30° 45°? USDST例3: 已知 i1 ? 12 .7 2 sin (314 t ? 30 ?)A? ? 12.7 30?A 解: I 1求：i ? i1 ? i2 。i2 ? 11 2 sin(314t ? 60 ?)A? ? 11 ? 60?A I 2 ??I ? ?I ? ? 12.7 30?A ? 11 ? 60?A I 1 2 ? 12.7( cos 30 ? ? j sin 30 ?)A ? 11( cos 60 ? ? j sin 60 ?)A ? (16.5 - j3.18)A ? 16.8 ? 10.9 ?A i ? 16.8 2 sin( 314 t ? 10.9 ?) A有效值 I =16.8 ASDST4.3 单一参数的交流电路4.3.1 电阻元件的交流电路1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律 u ? iR 设 u ? U msinω t+ u _iR相量图 (1) 频率相同。 U I? 。 相量式： (2)大小关系： R ? ? (3)相位关系 ：u、i 相位相同。 I ? I 0 ? ? U 0? ? I ?R ? ? ? u ?? i ? 0 。 U 相位差 ? ：SDSTu U msinω t 2U i? ? ? sinω t R R R ? Imsin ω t ? 2 I sin ω t? I? U2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积。i ? 2 I sin ω t u ? 2 U sin ω t小写u iOi u ωtp ? u?i 2 ? Um I m sin ω t1 ? U m I m (1 ? cos 2 ω t ) 2结论:SDSTppOωtp≥ 0（耗能元件）,且随时间变化。(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值。i+ u _ R1 T 1 T P ? ? p dt ? ? u ? i dt T 0 T 0 p 大写 1 T1 ? ? U m I m (1 ? cos 2 ω t ) dt T 0 2 1 T ? ? UI (1 ? cos2 ω t )d t ? UI O T 0 2 U 2 单位: W (瓦) P ?U?I ? I R ? RPωt注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。SDST例： 一只额定电压为220V, 功率为100W的电烙铁, 误 接在380V的交流电源上, 问此时它接受的功率为多少？ 是否安全？若接到110V的交流电源上, 功率又为多少？ 解 : 由电烙铁的额定值可得 2 UR 2202 R? ? Ω ? 484Ω P 100 当电源电压为 380V时, 电烙铁的功率为2 UR 3802 P1 ? ? W ? 298W ? 100W P 484此时不安全, 电烙铁将被烧坏。 当接到110 V的交流电源上, 此时电烙铁的功率为 2 UR 1102 P2 ? ? W ? 25W ? 100W R 484 此时电烙铁达不到正常的使用温度。SDST4.3.2 电感元件的交流电路1. 电压与电流的关系 di 基本关系式 u ? ?e L ? Li+设 i ? 2 I sin ω tdtd( I msinω t ) u?L dt ? 2 Iω L sin(ω t ? 90?)u?? eL L +u i? 2 U sin( ω t ? 90?)ui ωtO90°(1) 频率相同。 (2) U =I? L。 (3) 电压超前电流90?。 相位差 ? ? ψu ? ψi ? 90 ?SDST定义：感抗XLX L ? ?L ? 2 πf L ( ? )U ? I? L ? I X LOX L ? 2?fLf则XL与 f 的关系直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路 X L ? 2 π fL XL 交流：f ? ? 所以电感L具有通直阻交的作用。 相量式? UU 超前 I 90 ?? ? jI ?ωL ? I ? ? (jX ) U L电感电路相量形式的欧姆定律。SDST相量图? I2. 功率关系 (1) 瞬时功率i ? 2I sinω t u ? 2I ω L ? sin ( ω t ? 90 ?)p ? i ? u ? Um I m sinω t sin( ω t ? 90?)? UI si n2 ω tL是非耗 能元件(2) 平均功率 1 T P ? ? UI si n (2 ω t ) dt ? 0 T o(3)无功功率Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。Q ? U I ? I XL ? U2SDST2XL单位：var分析：瞬时功率uOp ? i ? u ? UI sin2 ω t结论： 纯电感不消 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。 ? 电感L是储 能元件。iu i ωt可逆的能量 p 转换过程Ou -+iu+iu+iu -+i+ p &0 + p &0 p &0 p &0ωt储能 放能 储能 放能SDST例: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦 电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz , 这时 I 为多少？ (1) 当 f = 50Hz 时 解：XL ? 2 πfL ? 2 ? 3.14? 50? 0.1Ω ? 31.4 Ω U 10 I? ? A ? 318mA XL 31.4（2）当 f = 5000Hz 时 XL ? 2 πfL ? 2 ? 3.14? Ω ? 3140 Ω U 10 I? ? A ? 3.18m A XL 3140 所以电感元件具有通低频阻高频的特性。SDST4.3.3 电容元件的交流电路du 基本关系式 i ? C dt 设 u ? 2 U sin ω t du 则 i ?C ? 2 UC ω cos ω t dt ? 2 UωC sin( ωt ? 90?)u i iO1. 电流与电压的关系i+u _ C(1) 频率相同。u ωtU 1 (2) I =U?C 或 I ? ? C 。 (3) 电流超前电压90?。相位差SDST? ? ψu ? ψi ? ?90?定义：容抗 X C ?XC1 1 (?) ? ωC 2 π f CO1 XC ? 2? fC，电容C视为开路 XC ? 超前U ? 90 ? I ? 所以电容C具有隔直通交的作用。 I 相量式 ? ? 1 ?1 则 U?I ? IX C ωC 1 直流： XC XC ? 2π f C 交流：fU ? ? jIfXC 与 f 的关系?ωC? ? jI X C电容电路中相量形式的欧姆定律。SDST相量图? U2. 功率关系 由 u ? 2Usinω tii?2Uω C ? sin( ω t ? 90?)+u _ C(1) 瞬时功率p ? u ? i ? UI sin2 ω t1 P? T(2) 平均功率 Ｐ?T 0UI si n (2 ω t ) dt ? 0C是非耗 能元件(3) 无功功率 Q2 U Q ? ?UI ? ? I 2 X C ? ? XCSDST单位：var瞬时功率 p ? i ? u ? UI sin2 ω tu iOiu ωtu p+iu -+iu+iu+i结论： 纯电容不消 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。所以电容C是储 能元件。+ p &0o+ p &0 p &0p &0ωt充电 放电 充电 放电SDST例 ：下图中电容 C = 23.5 ?F，接在电源电压 U = 220 V、频率为 50 Hz、初相位为零的交流电源上， 求电路中的电流 i 、P 及 Q。该电容的额定电压最 少应为多少伏？ i 1 1 + ? ? 135.5 ? 解：容抗 X C ? ?C 2 π fC u C U _ I? ? 1.62 A XCi ? Im sin( ? t? 90? ) ? 2.3 sin( 314t ? 90?) AP?0 Q ? ?UI ? ?356.4 var额定电压 ≥ 311 VSDST单一参数交流电路主要结论列表项目 参数电阻R电感电容1 XC ? 2π f C阻抗或电抗 u 与 i 的 关 系 基本关系XL ? 2 πf Lu ? iRU ? IR ??I ?R Udi u?L dtu超前 i 90?du i ?C dtu 滞后 i 90?相位关系 u 与 i 同相位 有效值 相量式U2 2 P ? UI ? ? I R 有功功率 功 RU ? IX L ? ? jX I ? U L02 U Q ? U I ? I XL ? 2U ? IX C ? ? ? jX I ? U C0XL2 U Q ? U I ? I XC ? 2率SDST无功功率0XC4.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路1. 电流、电压的关系 直流电路两电阻串联时 i+R L C + u _R +U ? IR1 ? IR2RLC串联交流电路中，设u__ + u _CuLi?2 I sinω tU= ? UR+ U L + UCSDST实验思考：为什么总电压小于各分压的代数和？SDST4.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路1. 电流、电压的关系+iu_R R u _R + ? jXL L uL U _ + C uC _ -jXC _++? I? U R+ _ +(1) 相量式 ? ? I 0? （参考相量） 设 I ? ?I ?R 则 U R? U L_ + ? U _C? ?I ?(jX ) U L L ? ?I ?(? jX ) U C C如用相量表示电压 与电流关系,可把电路模 型改画为相量模型。 总电压与总电流的相量关系式SDST? ?U ?R ?U ?L ?U ?C U ?R ? I ?jX ? I ?(? jX ) ?I L C ??R ? j( X ? X )? ?IL C? ?I ??R ? j ? X ? X ?? 根据 U L C令 Z ? R ? j ?X L ? XC ? 阻抗复数形式的 欧姆定律则? ?I ?Z U? U ? U U u Z? ? ? ? Z ? ? ? u ?? i I I ?i IZ 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角） 为 u、i 的相位差。注意SDSTZ 是一个复数，不是相量，上面不能加点。Z ? Z ? ? R ? j ?X L ? XC ?U 2 2 ? R ? ( X L ? XC ) 阻抗模： Z ? I X L ? XC ω L ? 1 / ?C ? ? ψu ? ψi ? arctan ? arctan 阻抗角： R R? 由电路参数决定。电路参数与电路性质的关系：当 XL &XC 时， ? & 0 ，u 超前 i ─呈感性 当 XL & XC 时 ，? & 0 ， u 滞后 i ―呈容性 当 XL = XC 时 ，? = 0 ， u、 i 同相 ―呈电阻性SDST(2) 相量图+R? I? UjXL ?jXC_+ ? U ? ? ?U ? U _R U L C + ? XL & XC ? U L _ ? ? U I R + ? ( ? & 0 感性) U C ? UC _? U L参考相量? U LXL & XC ? ?U ? U L C? U C?? U R? U? I( ? & 0 容性)? U?SDST? ?U ? ?U ? U L C X由电压三角形可得:? U R电压 三角形U R ? Ucos? U X ? Usin?(2) 相量图? U由相量图可求得? ? ?U ? ?U U X L C?ZU ? U R ? (U L ? U C ) 2 ? I R ? (X L ? XC )2 22? U R电压 三角形?X ? X L ? XC阻抗 三角形?I R ?X22R?I ZR ? Z cos? X ? Z sin?SDST由阻抗三角形得Z ? R 2 ? ( X L ? X C )2 X L ? XC ? ? arctan R2. 功率关系i(1) 瞬时功率 设i ? I m sinω t+R L Cu__ + u _CuL+ u _R +u ? U msin(ω t ? ? ) p ? u ? i ? Um sin(ω t ? ? ) ? Imsinω t 2 ? Um I mcos ? sin ω t ? UI sin? sin 2ω t耗能元件上 的瞬时功率 储能元件上 的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。SDST(2) 平均功率P (有功功率)1 T P ? ? pdt T 0 1 T ? ? [UI cos? ? UI cos(2 ω t ? ? )]d t T 0 ? UI cos? 单位: W所以P ? UI cos ?总电压 总电流 u 与 i 的夹角cos? 称为功率 因数，用来衡 量对电源的利 用程度。SDST根据电压三角形可得? U2P ? UI cos ? ? U R I ? I R(3) 无功功率Q电阻消耗 的电能?? U X? U RQ ? U L I ? U C I ? (U L ? U C ) I ? I 2 ( X L ? X C )根据电压三角形可得：Q ? UI sin?总电压SDST单位：varu 与 i 的夹角总电流电感和电 容与电源 之间的能 量互换(4) 视在功率 S 电路中总电压与总电流有效值的乘积。S ? UI ? Z I 2单位：V? A注： SN＝UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备 的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最 大有功功率。S?P 2 ? Q2S ? P?Q? P、Q、S 都不是正弦量，不能用相量表示。SDST阻抗三角形、电压三角形、功率三角形。将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形。 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形。 S 2 2 ? U ? U R ? (U L ? U C ) U Z U R ? U cos? Q ? ?U ? UU X ? U si n ??2X L ? XCLCZ ? R 2 ? ( X L ? X C )2R? U R2PR ? Z cos? X ? Z si n?SDSTS ? P ?Q P ? S cos ? Q ? S sin ?例 1： 在RLC串联交流电路中，已知R ? 30Ω , L ? 127mH, C ? 40μ F,u ? 220 2 sin ( 314t ? 20 )V?求: (1)电流的有效值 I与瞬时值 (2) 各部分电压的有 效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功 率Q。 解：X L ? ω L ? 314? 127? 10?3 ? ? 40Ω1 1 XC ? ? ? ? 80Ω -6 ω C 314? 40? 10Z ? R 2 ? ( X L ? X C )2 ? 30 2 ? (40 ? 80) 2 ? ? 50 ΩSDST方法1： (1) I ? U ? 220 A ? 4.4AX L ? XC 40 ? 80 ? ? arctan ? arctan ? ?53? R 30 因为? ? ψ u ? ψ i ? ?53?, 所以ψi ? 73? 。Z50i ? 4.4 2 sin ( 314t ? 73?)A(2) UR ? IR ? 4.4? 30V? 132VuR ? 132 2 sin ( 314t ? 73? )VUL ? IX L ? 4.4? 40 V ? 176VuL ? 176 2 sin ( 314t ? 163? )VSDST方法1：UC ? IX C ? 4.4? 80V ? 352V通过计算可看出? U RuC ? 352 2 sin ( 314t ? 17? )V? U L 53?? IU ? U R ? U L ? UC而是 (3)相量图? U? ?U ? ?U ? ?U ? U R L C? ?U ? U L C ? U C(4) P ? UI cos? ? 220? 4.4 ? cos( ?53?)W? 580.8W或 P ? U R I ? I 2 R ? 580.8WSDST? ? 220? 4.4? sin( ?53?)var (4) Q ? UI sin? ?774.4 var (电容性)方法2：复数运算? ? 220 20?V UZ ? R ? j ( X L ? X C ) ? (30 ? j40)? ? 50 ? 53? Ω? 220 20? U ?? ? I A ? 4.4 73? A Z 50 ? 53?? ?I ?R ? 4.4 73? ? 30V? 132 73?V U R ? ? jI ?X ? j4.4? 40 73?V ? 176 163?V U L L ? ? ? jI ?X ? ? j4.4? 80 73?V ? 352 ? 17?V UC CSDST例 2： 在RC串联交流电路中，? I已知 R ? 2kΩ , C ? 0.1μ F, 输入电压 U1 ? 1V, f ? 500Hz 。+ ? U _1CR+ ? U _2(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大 小和相位关系； (2)当将电容C改为 20μ F时,求(1)中 各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。 解： 方法1 1 1 (1) X C ? ? Ω ? 3.2kΩ -6ωC 2 ? 3.14? 500? 0.1? 102Z ? R ? X C ? 22 ? 3.22 kΩ ? 3.77kΩ2SDSTU1 1 I? ? mA ? 0.27mA Z 3.77 U2 ? IR ? 0.27? 2V ? 0.54V ? XC ? 3.2 ? ? arctan ? arctan ? ?58? R 2大小和相位关系 U 2 ? 54%， ? 比U ? 超前 58?。 U 2 1方法2：复数运算 解：设U1? ? 1 0?V U 1R ? 2 2 ? U 2 ? U1 ? ? 1 0?V ? V ? 0.54 58?V Z 2 ? j3.2 3.77 ? 58?SDST方法3：相量图 ? ? 1 0?V 设 U 1? U 2? I58? ? ? XC ? 3.2 U 1 ? ? arctan ? arctan ? ?58? R 2 ? U 2 ? U1cos? ? 1 ? cos58 ?V ? 0.54V U C 1 1 (2) X C ? ? ? ? 16Ω ?? R -6 ω C 2 ? 3.14? 500? 20? 10U2 ? U1 cos? ? U1 ? 1VSDSTZ ? R ? X C ? 2 kΩ ? XC ? ? arctan ? 0? R22? ?U ? U 2 1? I1 1 （ 3） XC ? ? ? ? 400Ω -6 ω C 2 ? 3.14? ? 10Z ? R ? XC22U 2 ? U1cos? ? 0.98V大小和相位关系? XC ? 2.04kΩ , ? ? arctan ? ?11.3? R11.3 ?? U 2I?从本例中可了解两个实际问题： (1) 串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适 的C，使 X C ?? R)。 (2) RC串联电路也是一种移相电路, 改变C、R或 f 都 可达到移相的目的。SDSTU2 ? 比U ? 超前11 .3? U ? 98%， 2 1 U1 ? U C? U 1正误判断在RLC串联电路中 ? ? I 0? U I 设 I ??Z？U L ? UC ? ? ? arctan ？ U ? Z ? R ? j( X L ? X C ) ？ I ? U ？ZSDSTX L ? XC ? arctan U ?? ？ I ? R ？ u? ? uR ? uL ? uC ？ Z ωL?ω C ? ? arctan u ？ i? R Z ? R ? X L ? XC ？ ？ Z? U ?? I ? Z？U L ? UC ?? ?arctan U ？ RI?U R ? X L ? XC？U ? U R ? U L ? UC ？4.5 阻抗的串联与并联4.5.1 阻抗的串联 ? I ? ?U ? ?U ? ?ZI ?? Z I ? U 1 2 1 2 + + ? ? Z1 U ? ( Z1 ? Z 2 )I 1 ? ? U U + ?? Z ? Z ? Z I 1 2 ? Z2 U 2 Z 通式: Z ? ? Zk ? ? Rk ? j? X k? I+? UZ对于阻抗模一般 注意： 分压公式：Z ? Z1 ? Z 2 。SDSTZ2 Z 1 ? ? ? ? U ? U U1 ? U， 2 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2例: 有两个阻抗 Z1 ? (6.16? j9)Ω , Z 2 ? (2.5? j4)Ω ? ? 220 30?V 的电源上。 它们串联接在 U ? 和U ? ,U ? , 并作相量图。 求: I 1 2? I+? U? (8.66 ? j5) Ω ? 10 30?Ω ? 220 30? ? Z2 U U 2 ?? ? I A ? 22 0? A Z 10 30? ? ?ZI ? ? (6.16 ? j9) ? 22V ? 10.9 55.6? ? 22V U 1 1+Z1 U1+ 解： Z ? Z1 ? Z 2 ? [(6.16 ? 2.5) ? j(9 ? 4)]Ω ?-? 239.8 55.6? V ? ?Z I ? ? (2.5 ? j4) ? 22V ? 103.6 ? 58?V 同理 U 2 2SDST或利用分压公式? I+? U? Z1 U 1+? ? U 1Z1 6.16 ? j9 ? U ? ? 220 30? V Z1 ? Z 2 8.66 ? j5-? Z2 U 2+? 239.8 55.6? V-? ? U 2? U 1Z2 2.5 ? j4 ? U ? ? 220 30?V Z1 ? Z 2 8.66 ? j5 ? 103.6 ? 58?V58? ? U 2 ? U相量图55.6 ?? ?U ? ?U ? 注意：U 1 2U ? U1 ? U 230?SDST? I下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？+? U3? 4? (a)V1 6V V2+? U6? 8? (b)V1 30V V2 40V_8V_Z ? 7Ω U=14V ?Z ? 32 ? 42 ? 5 ΩZ ? 10Ω U=70V ?Z ? 14 ΩU=70VU ? 6 ? 8 ? 10 V2 2SDST两个阻抗串联时, 在什么情况下 Z ? Z1 ? Z2 成立?4.5.2 阻抗并联+? IZ1? U? I? I 1Z2? I 2? ? U U ??I ? ?I ? ? I ? 1 2 Z1 Z 2 ? U 1 1 1 ? I? ? ? Z Z Z1 Z 2 Z1 ? Z 2 Z? Z1 ? Z 2通式1 1 ?? Z Zk+? UZ-1 1 1 ? 。 注意： 对于阻抗模，一般 ? Z Z1 Z 2? ? 分流公式： I 1SDSTZ2 ? ? Z1 ? I ， I2 ? I。 Z1 ? Z 2 Z1 ? Z 2例: 有两个阻抗 Z1 ? (3 ? j4)Ω , Z 2 ? (8 ? j6)Ω , ? ? 220 0?V 的电源上。 它们并联接在 U ? 并作相量图。 ? 、I ? 和I 求: I 1 2+? IZ1? U-Z1 ? Z 2 5 53? ? 10 ? 37? Z? ? ? Z1 ? Z 2 3 ? j4 ? 8 ? j6 50 16? Z2 ? ? ? 4.47 26.5?Ω ? ? I1 I2 11.8 ? 10.5?解:? U 220 0? ? I1 ? ? A ? 44 ? 53? A Z1 5 53? ? U 220 0? ? 同理 I 2 ? ? A ? 22 37? A Z 2 10 ? 37?SDST? U 220 0? ? I? ? ? 49.2 ? 26.5 ?A Z 4.47 26.5 ?或 I ??I ? ?I ? ? 44 ? 53? A ? 22 37? A 1 2? 49.2 ? 26.5 ?A ?相量图I237 ?53?? U26.3 ?? I? I 1??I ? ?I ? 注意： I 1 2SDSTI ? I1 ? I 2下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？? I? I4A A1 4A A2 4? 4?4A A1 4A A2 4? 4?(c) Z ? 2Ω I=8A ?(d) Z ? 2Ω I=8A ?Z ? 4//4 ? 2 Ω I= 8A两个阻抗并联, 在什么情况下SDSTZ ? 4//j4 Ω Z ?4 2 Ω I ?4 2A1 1 1 ? ? 成立? Z Z1 Z2正弦交流电路的分析和计算若正弦量用相量 U ? 、I ? 表示，电路参数用复数阻抗 1 （ )表示，则直流电路中 R ? R、L ? j ω L、C ? ? j ωC 介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电 路中都能使用。 相量(复数)形式的欧姆定律 电阻电路 纯电感电路 纯电容电路 一般电路 ? ?I ?(j X ) U ? ?I ?( ? j X ) U ? ?I ?R U ??I ?Z U L C 相量形式的基尔霍夫定律KCLSDST? I ? ?0KVL? U ? ?0有功功率 P 有功功率等于电路中各电阻有功功率之和， 或各支路有功功率之和。P ? ? I Ri2 i 1i或P? ? U i I i cos?1ii无功功率 Q? 与I ? 的相位差 ? i为U i i无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之 和，或各支路无功功率之和。Q ? ? I i2 ( X Li ? X Ci ) 或 Q ?1SDSTiUI ∑1ii isin?i一般正弦交流电路的解题步骤1. 根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)。R ? R、 L ? jX L、 C ? ? jX C ?、 i ? I ?、 e ? E ? u ?U2. 根据相量模型列出相量方程式或画相量图。3. 用相量法或相量图求解。4. 将结果变换成要求的形式。SDST例 1： 已知 u ? 220 2 sinω t V, R1 ? 10 Ω, X L ? 10Ω ,X C ? 20 Ω, 求 : i , i1 , i2。? I分析题目： 已知电源电压和电路参数， 电路结构为串并联。求电流的瞬 时值表达式。 一般用相量式计算:+R1? I 1? I 2? UjX L- jX C-??I ? 、I ? ? i ,i (2) I 1 2 1 2SDST??i (1) Z1 、Z 2 ? Z ? I解：用相量式计算? I? ? 220 0? V U Z1 ? R 1? j X L ? (10 ? j10) Ω+R1? I 1? I 2? 14.1 45? Ω Z2 ? ? jX C ? ? j 20 Ω ? U 220 0? ? I1 ? ? A ? 15.6 ? 45? A Z 1 14.1 45? ? 220 0? U ? ? I ? A ? 11 90? A 2 Z 2 20 ? 90? ??I ? ?I ? ? 11 A I 1 2 i ? 11 2sin314t ASDST? UjX L- jX C例2: 图示电路中，已知 u ? 220 2 sin314t V , i2 ? 11 2 sin(314t ? 90?) A 。 i1 ? 22sin(314t ? 45?) A， 试求: 各表读数及参数 R、L 和 C。 i A 分析方法: (1) 用相量法计算; + A1 A2 (2) 相量图求解。 i2 i 1 解： 求各表读数 R u V C (1) 相量法计算 L ? U ? 220 0?V22 ? ? ? 11 90? A I1 ? ? 45? ? 15.6 ? 45? A I 2 2 ??I ? ?I ? ? (15.6 ? 45? ? 11 90?)A ? 11 A I 1 2 所以U ? 220V, I1 ? 15.6 A, I 2 ? 11 A, I ? 11 ASDST(2) 相量图45?i? I? U? I 2? I 1+AA1 V A2? U LuR Li1Ci2? U R-根据相量图可得 I ? 15.62 ? 112 A ? 11 A 求参数 R、L、C 方法1：? U 220 0 ? Z1 ? ? ? Ω ? 14.1 45 ?Ω ? （10 ? j10） Ω I1 15.6 ? 45? XL ? R ? X L ? 10Ω L ? ? 0.0318H 2π fSDST? 220 0 ? U Z2 ? ? ? ? ? 20 ? 90? Ω 所以X C ? 20 Ω I 2 11 90? 1 1 C? ? F ? 159 μ F 2 π f X C 314? 20 Z 方法2： XL U Z1 ? ? 14.1Ω 45 I1 R R ? Z cos45? ? 10 Ω?1U Z2 ? ? 20Ω I2即 XC=20?SDSTX L ? Z1 sin45? ? 10 ΩXL L? 2π f? 0.0318H1 1 C? ? F ? 159 μ F 2 π f X C 314? 20例 3： 下图电路中已知 I1=10A、UAB =100V， 求：总电压表和总电流表 的读数。j10Ω? IA? I 1A? I 2VC1B5Ω j5Ω分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数,求总 电流和电压。 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算; (2) 利用相量图分析求解。SDSTj10Ω? I? I 1AA? I 2C1B已知：I1= 10A、 UAB =100V， 求：A、V 的读数。5Ω j5ΩV解法1: 用相量计算 ? 为参考相量， 即 U ? ? 100 0? V 设 U AB AB? ? [100/(5 ? j5)]A ? 10 2 ? 45?A 则I 2? ? 10 90? A ? j10 A I 1 ??I ? ?I ? ? 10 0? A 所以 A 读数为 10A I 1 2SDSTj10Ω? I? I 1AA? I 2C1B已知：I1= 10A、 UAB =100V， 求：A、V 的读数。5Ω j5ΩV??I ? ?I ? ? 10 0? A 因为I 1 2 ? ?I ? ( j10)V ? j100 V 所以U L? ?U ? ?U ? ? 100 ? j100V U L AB ? 100 2 45 ? V所以 V 读数为141VSDSTj10 Ω? IA? I 1A? I 2VC1B已知：I1=10A、 UAB =100V，求：A、V 的读数。 画相量图如下：? I 15Ω j5Ω解法2: 利用相量图分析求解 ? 为参考相量 设 U AB ? 超前U ? 90? I1 ? 10A I 1 AB 100 I2 ? A ? 10 2A 52 ? 5210 45°10 2? I? U AB? 滞后U ? 45° I 2 AB由相量图可求得 I =10 ASDST? I 2j10 Ω? IA? I 1A? I 2VC1B已知：I1=10A、 UAB =100V，求：A、V 的读数。5Ω j5Ω? 为参考相量 设 U AB? U L100 10? I 1? UUL= I XL =100V ? 超前I ? 90° UL由相量图可求得? 45° I ? U AB 45° 100V =141V所以 V 读数为141VSDST10 2? I 2例4: 已知?。 I?= 18 45? A，求: UAB j8 ? 解: I1 = ―――×18 45?A 30+j8 10? = 4.64 120? A ? A I 30 ―――×18 45?A I? 2 = 30+j820?j2? ? UABI2B?? I1j6?= 17.4 30? A? = 20 ? V I1 = 92.8 120? V A? = j6 I ? = 104.4 120? V V B 2? = (92.8 120? C 104.4 120? )V ? =V ? CV U AB A B= C 11.6 120? V = 11.6 C 60? VSDST4.6 复杂正弦交流电路的分析与计算同第 2 章计算复杂直流电路一样, 支路电流法、 结点电压法、叠加定理、戴维宁定理等方法也适用 于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相 量表示，电阻、电感和电容及组成的电路用阻抗或 导纳来表示, 采用相量法计算。下面通过举例说明。例1: 图示电路中，已知 ? ? 230 0? V, U ? ? 227 0? V, U 1 2Z 1 ? Z 2 ? (0.1 ? j0.5) Ω, Z 3 ? ( 5 ? j5)Ω 。 试用支路电流法求电流 I3。SDST? I 1+? I 2Z2? I 3+? U 1-Z1 Z3-? U 2解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程 ? ? I I ? ? ? 1 2 I ?I ?I ?01 2 3? ?Z I ? ?U ? Z1 I 1 3 3 1+? ?Z I ? ?U ? Z2 I 2 3 3 2代入已知数据，可得 ? ?I ? ?I ? ?0 I1 2 3? U 1-Z1 Z3Z2? I 3+? U 2 -? ? (5 ? j5) I ? ? 230 0? (0.1 ? j0.5) I 1 3 ? ? (5 ? j5) I ? ? 227 0? (0.1 ? j0.5) I 1 3? ? 31.3 - 46.1? A 解之，得 I 3SDST例2: 应用叠加定理计算上例。? I 1Z1 Z3=? I 2Z2? I 3Z2?? I 3++? 单独作用时 解: 当 U 1+? U Z 1 2 ?′ I = × 3 Z1 + Z 2 //Z 3 Z 2 + Z 3? U 1+? U 1? U 2 -? 单独作用时 同理 当 U 2? U Z1 2 ? ?? ? I3 ? Z 2 ? Z1 // Z 3 Z1 ? Z 3-Z1 Z3? ?I ?? ? I ??? ? 31.3 - 46.1? A I 3 3 3SDSTZ1 Z3Z2??? I 3+ ? U 2-例3: 应用戴维宁定理计算上例。? 解：(1)断开Z3支路，求开路电压U 0 ? ?U ? U + 1 2 ? ? U0 ? ? Z2 ? U2 ? U Z1 ? Z 2 1? 228.85 0? V(2)求等效内阻抗 Z 0+? I 1Z1 Z3? I? I 2Z2? I 3+ Z2+? U 2 -Z1 Z 2 Z1 Z0 ? ? Z1 ? Z 2 2? U 1Z1Z1 Z0? U 0+-Z2? U 2? (0.05 ? j0.25) Ω ? U 0 ? ? (3) I ? 31.3 ? 46.1? A 3 Z0 ? Z3SDST4.7 交流电路的频率特性前面几节讨论电压与电流都是时间的函数, 在 时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。本节主 要讨论电压与电流是频率的函数，在频率领域内对 电路进行分析, 称为频域分析。 当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容 抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电 流（响应）的大小和相位也随之改变。 频率特性或频率响应：研究响应与频率的关系。 幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。 相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。SDST4.7.1 滤波电路滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特性, 对不同频率的输入信号产生不同的响应, 让需要的某 一频带的信号通过, 抑制不需要的其它频率的信号。 滤波电路主要有： 低通滤波电路、高通滤波电路、带通滤波电路等。R1. 低通滤波电路 (1) 电路U1 ?jω? 输入信号电压 U 2 ?jω? 输出信号电压SDSTU 1 ? jω? C+CU2 ?jω?+C均为频率的函数(2) 传递函数(转移函数)R电路输出电压与输入 + + C U2 ?jω? 电压的比值。 U1 ?jω? 1 C C U 2 ? jω? 1 j ωC T ? jω? ? ? ? 1 U 1 ? jω? 1? j ω RC R? j ωC 1 设 ?0 ? RC 1 1 ω 则 T ? jω? ? ? ? arctan 2 ω ω 0 ? ? ω 1? j 1? ? ω0 ?ω ? ? ? 0?? T ?jω? ? ?ω?SDST频率特性T ? jω? ?1 ω 1? j ω0?1 ? ω? 1? ? ?ω ? ? ? 0? 12ω ? arctan ω0幅频特性相频特性ω 2 1? ( ) ω0 ω ? ?ω? ? ?arctan (ω R C ) ? ?arctan ω0 1 ? (ω R C )2T ? jω? ??1(3) 特性曲线?T ?jω?0 1?00.707? 0? (? )SDST0?- 45 ? - 90 ?频率特性曲线T ? j? ?? T ?jω?? (? )0 1 0?R?00.707? 00.707 01- 45 ? - 90 ?? ?? ?C?0 ?0? ?U1 ?jω? C++ U2 ?jω?C0- 45 ? - 90 ?当? &?0时,|T(j? )| 变化不大，接近等于1； 当? &?0时,|T(j? )| 明显下降,信号衰减较大。 一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性SDST频率特性曲线RU1 ?jω? CT ? j? ?+C+ U2 ?jω?C0.70710通频带： 0& ? ≤?0 截止频率: ?0=1/(RC)? ?? ?0- 45 ? - 90 ??0??0?通频带： 把 0& ? ≤?0的频率范围称为低通滤波电路的通 频带。?0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。SDST2. RC高通滤波电路(1) 电路(2) 频率特性(转移函数)+ C R U1 ?jω?C+ U2 ?jω?CU 2 ? jω? T ? jω? ? ? U 1 ? jω?R 1 R? jωC1 1? j ω RC 1 1 幅频特性 T ? jω? ? ? 1 2 ω0 2 1? ( ) 1? ( ) ?RC ωω0 1 ? arctan 相频特性 ? ?ω? ? arctan ωRC ω?1SDST(3) 频率特性曲线T ? j? ??T ?jω?0 090 ??00.70745 ?? 10?1 0.707? (? )090 ? 45 ?通频带： ?0 ≤ ? &? 截止频率: ?0 = 1/RC? ?? ??0?0当? &?0时,|T(j? )| 较小，信号衰减较大； 当? &?0时, |T(j? )| 变化不大，接近等于1。一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性SDST?0?3. RC带通滤波电路 (1) 电路 U1 ?jω? 输入信号电压U 2 ?jω? 输出信号电压R + C + U 2 ?jω? CU1 ?jω?CR C(2) 传递函数U ?jω? T ?jω? ? 2 ? U ?jω? 1R jω C 1 R? jω CR 1 jω C R? ? jω C R ? 1 jω C?1 1 3 ? j( ω R C ? ) ω RCSDST频率特性T ?jω? ?设11 ? ω ω0 1 ? ) 3 ? j(ω R C ? ) 3 ? j( ω0 ω ω RC ω ω0 ? ω0 ω 1 ? ? arctan 3 ω ω0 2 2 3 ? (ω ? ω ) 01 ω0 ? RCω ω0 2 3 ?( ? ) ω0 ω ω ω0 ? 相频特性： ω0 ω ? ?ω? ? ?arctan 32SDST幅频特性： T ? jω? ?1(3) 频率特性曲线T ?jω??T ?jω?0?01/30?C?090 ?R +0- 90 ?? ?? ?1 3 0.707 30? ?? ?R C + U 2 ?jω? C90 ??1 ?0 ?2?U1 ?jω?C0- 90 ??0?RC串并联电路具有带通滤波特性SDST由频率特性可知： 在?=?0 频率附近, |T(j? )| 变化不大,接近等于 1/3; 当?偏离?0时,|T(j? )|明显下降,信号衰减较大。 通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处 (|T(j? )|下降到 0.707/3 时),所对应的上下限频率之差。 即 ?? = (?2-?1) 值，对其他频率不会产生这样的结果。因此该电路具 有选频作用，常用于正弦波振荡器。SDST1 ? 与U ? 同相，U2=U1/3 为最大 仅当 ω ? ω0 ? RC 时， U 1 24.7.2 谐振电路谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和 总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源 之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相 研究谐振的目的, 一方面在生产上充分利用谐振 的特点 (如在无线电工程、电子测量技术等许多电路 中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。SDST1. 串联谐振 串联谐振电路i(1) 谐振条件?、 ?同相， 由定义，谐振时： U I即+R L Cu__ + u _CuL+ u _R +X L ? XC ? ? arctan ?0 R谐振条件 或X L ? XC1 谐振时的角频率 ?0 L ? ? 0C(2) 谐振频率1 根据谐振条件： ω0 L ? ω0 CSDST(2) 谐振频率 或 2π f 0 L ?1 2π f 0 C或可得谐振频率为?0 ?1 LC1 f0 ? 2? LC电路发生谐振的方法：① 电源频率 f 一定，调参数L、C ，使 f0= f ， ② 电路参数L、C 一定，调电源频率 f，使 f = f0 。 (3) 谐振特怔 ① 阻抗最小Z ? R 2 ? ( X L ? X C )2 ? RSDSTU 当电源电压一定时 I ? I 0 ? R ? 、I ? 同相 ③U X L ? XC ? ? arctan ?0 R 电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， QL 和 QC 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。④ 电压关系② 电流最大电阻电压：UR = I0 R = U? ? ?U ? 电容、电感电压： U L CU L ? I0 X L ? UC ? I0 X CSDST大小相等、 相位相差180?当 X L ? X C ?? R 时有U L ? UC ?? U R ? UUC 、UL将大于 电源电压U由于 U L ? UC ?? U , 可能会击穿线圈或电容的绝缘, 因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振, 但在无 线电工程上,又可利用这一特点达到选择信号的目的。 令U L UC ? 0 L 1 Q? ? ? ? U U R ? 0 RC品质因数Q 表征串联谐振电路的谐振质量。SDST有 U L ? U C ? QU所以串联谐振又称为电压谐振。? ? 与U 谐振时 U 相互抵消，但其本身不 L C 为零，而是电源电压的Q倍。R 1 UC ? I0 X C ? U ? QU ? 0CR如 Q = 100, U = 220V, 则在谐振时U L ? I0 X L ??0 LU ? QU? U L相量图：? ?U ? U R? IU L ? UC ? QU ? 22000V所以电力系统应避免发生串联谐振。SDST? U C(4) 谐振曲线① 串联电路的阻抗频率特性 阻抗随频率变化的关系。Z ? R ? j( X L ? XC )Z ? R ? [?L ? 1 /(?C )]2 2XL ? 2 πf L 1 XC ? 2 πfCXCXL? ?? 0 ? Z ?? ?? 0 ? Z ? R? ?? 0 ? Z ?SDSTZ容性 (? ? ?0 )O感性 (? ? ?0 )Rf0f2) 谐振曲线电流随频率变化的关系曲线。U I (? ) ? ? Z谐振电流 分析：R ?U? R ? (?L - 1 ?C ) I 0 U I0 ? R I02 2Z, IQ大ZQ小I0 ?Q ???0LR?Of0f电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力 ――称为选择性。 Q值越大，曲线越尖锐，选择性越好。SDST通频带： 当电流下降到0.707I0时所对应的上下限频率之 差，称通频带。即 ??= ?2－?1。f 0 : 谐振频率。II00.707I 0Q大 Q小f 1 : 下限截止频率。f 2 : 上限截止频率。通频带宽度越小(Q值越大)， o 选择性越好，抗干扰能力 越强。SDSTf1 f 0 f 2f?f(5) 串联谐振应用举例 接收机的输入电路R+LL1LC电路图 L1：接收天线e1 e2 e3f1 C f2uC-调C, 对所 需信号频 率产生串 联谐振f3则 I0? I max ?U C ? QU 最大LC：组成谐振电路的电动势信号。SDST等效电路e1、e2、e3 为来自3个不同电台(不同频率)例1：将一线圈( L = 4 mH, R = 50Ω)与电容器 (C =160pF)串联，接在U = 25 V的电源上。 (1) 当 f0 = 200 kHz 时发生谐振，求电流与电容器 上的电压。 (2) 当频率增加10%时，求电流与电容器上的电压。 解： (1) 当 f0 = 200 kHz 电路发生谐振时XL ? 2 πf0 L ? 2 ? 3.14? 200? 103 ? 4 ? 10-3 Ω ? 5000Ω 1 1 XC ? ? Ω ? 5000Ω 3 -12 2 πf 0C 2 ? 3.14? 200? 10 ? 160? 10U 25 I0 ? ? A ? 0.5 A R 50UC ? X C I 0 ?
V ? 2500 V (? U )SDST例1：将一线圈( L = 4 mH, R = 50Ω)与电容器 (C =160pF)串联，接在U = 25 V的电源上。 (1) f0 = 200 kHz 时发生谐振，求电流与电容器上的 电压。 (2) 当频率增加10%时，求电流与电容器上的电压。(2) 当频率增加10%时 解： 可见, 偏离谐振频率10% X L ? 55 00 Ω 时，I和UC就大大减小。 X C ? 4500ΩZ ? 50 2 ? (5500 ? 4500 ) 2 ? ? 10 00 ? (? R ) U 25 I? ? A ? 0.025 A(? I 0 ) Z 1000 UC ? X C I ? V ? 112.5 V (? 2500 V)SDST例2：某收音机的输入电路如图所示。线圈L的电 感L = 0.3 mH，电阻R = 16?。今欲收听640kHz某 电台的广播，应将可变电容器调到多少皮法？如果 调谐回路中感应出电压 U = 2μV，试求这时回路中 的该信号的电流多大，并在线圈(或电容)两端得出多 大电压？ + R 1 解： 根据 f ? 可得 L 2 π LC 1 uC 3 e1 f1 C 640? 10 ? 2 ? 3.14 0.3 ? 10? 3 C f2 e2由此求出 C ? 204 pFSDSTe3f3-例2：某收音机的输入电路如图所示。线圈L的电 感L = 0.3mH，电阻R = 16?。今欲收听640kHz某 电台的广播，应将可变电容器调到多少皮法？如果 调谐回路中感应出电压 U = 2μV，试求这时回路中 的该信号的电流多大，并在线圈 (或电容) 两端得出 多大电压？ + R 解： L U 2 ? 10?6 A ? 0.13 μA 则 I? ? R 16 uC f1 C e1XC ? X L ? 2 π fL ? 1200?UC ? U L ? X L I ? 156μ VSDSTe2 e3f2f3-2. 并联谐振+(1) 谐振条件? IR? UXC? I 1? I C?XL1 ( R ? jω L) jω C Z? 1 ? ( R ? jω L) jω C R ? jω L ? 1 ? j ω RC ? ω 2 LC实际中线圈的电阻很小, 所以在谐振时有 ω 0 L ?? R 则 jω L 1 Z? ? 2 1 ? ω LC ? j ω R C RC ? j ?ω C ? 1 ? L ? ( ω L)? ? ?SDST(1) 谐振条件 jω L 1 ? 由Z? 2 1 ? ω LC ? j ω R C RC ? j ?ω C ? 1 ? L ? ( ω L)? ? ? 可得出 1 谐振条件 ω0C ? ?0 ω0 L (2) 谐振频率ω0 ?1 LC或 f ? f 0 ? 2π LC1(3) 并联谐振的特征L 1) 阻抗最大，呈电阻性。 Z 0 ? RC (当满足 ? 0L ?? R时)SDST2) 恒压源供电时，总电流最小。I ? I0 ?U L RCU ? Z0Z ,IZ0ZI恒流源供电时，电路的端电压最大。U ? I S Z03) 支路电流与总电流 的关系。 当? 0L ?? R时I0ω0?U I1 ? ? R 2 ? (2π f 0 L)2 2π f 0 LSDSTUICU ? ? U ? 2π f 0C 1 2π f 0C相量图? I CIC U (2 πf 0C ) U ( 2 πf 0C ) ? ? L I0 U Z0 U2 πf 0 L ? 0 L ? ? ?Q R RRC?1? I? U? I1 ? I C ? QI0支路电流是总电流的 Q倍 ? 电流谐振。SDST? I 1L ? 0.25 m H，R ? 25Ω，C ? 85pF 例1： 已知：试求：ω0 、 Q、 Z0 。解：+? IRω 0?1 1 ? ? rad/s U LC 0.25? 85? 10?15?XC? I 1? I CXL? 6.86? 106 rad/sω 0 L 6.86? 106 ? 0.25? 10?3 Q? ? ? 68.6 R 25L 0.25? 10?3 Z0 ? ? Ω ? 117 kΩ -12 RC 25? 85? 10SDST例2： 图示电路中U = 220V, C ? 1μ F 。 (1) 当电源频率 ω 1? 1000rad/s 时，UR = 0 ； (2) 当电源频率 ω 2 ? 2000rad/s 时，UR = U。 ? I 试求电路的参数L1和L2。+L2解: (1) 因为UR = 0，即 I = 0 ,所以 L1C 并联电路产生谐振,? UCL1CRC U + RR 1 L1 。 ? ? ，故 ω 1 L1 ? 即 Z0 ? ω 1C R1C 1 1 所以，L1 ? 2 ? H ? 1H 2 ?6 ω1 C 1000 ? 1 ? 10SDST(2) 因为 U R ? U , 所以电路产生串联谐振。L1C 并联电路的等效阻抗为? I1 C ? (jω2 L1 ) U ω2 L1 jω2 C R C Z1 ? ? ?j 2 1 ω2 L1C - 1 C UR + ? ( jω2 L1 ) R jω2 C ω2 L1 总阻抗 Z ? R ? jω 2 L2 ? Z1 ? R ? j (ω 2 L2 ? 2 ) ω2 L1C - 1 串联谐振时, 阻抗Z虚部为零, 可得1 1 L2 ? 2 ? H ? 0.33H 2 ?6 ω 2C ? 1 L1 2000 ? 1 ? 10 ? 1SDST+L2L14.8 功率因数的提高 1. 功率因数 cos?对电源利用程度的衡量。 ?的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角? I+? U? UZZ? Z ? R ? jX?? I?RX当 cos?? 1时,电路中发生能量互换, 出现无功功率 Q ? UI sin? , 这样引起两个问题。SDST(1) 电源设备的容量不能充分利用SN ? UN ? I N ? 1000kV? A 若用户 cos? ? 1，则电源可发出的有功功率为P ? U N I Ncos? ? 1000kW无需提供无功功率。 若用户cos? ? 0.6，则电源可发出的有功功率为P ? U N I Ncos ? ? 600kW而需提供的无功功率为: Q ? U N I N sin ? ? 800kvar 所以 提高 cos? 可使发电设备的容量得以充分利用。SDST(2) 增加线路和发电机绕组的功率损耗 设输电线和发电机绕组的电阻为 r 。 要求 P ? U I cos? (Ｐ、Ｕ定值)时P I? Ucos??P ? I 2 r(费电)所以提高 cos?可减小线路和发电机绕组的损耗。 可见提高电网的功率因数对国民经济的发展有重 要的意义。 2. 功率因数cos ?低的原因 日常生活中多为感性负载，如电动机、日光灯， 其等效电路及相量关系如下图。SDSTIA (导线截面积)L?L?cos ?I? I+例: 40W、220V白炽灯 cos? ? 1P ? U I cos? P 40 I? ? A ? 0.182 A U 220 40W、220V日光灯 cos? ? 0.5? U? R U R+?+?? XL U L ?感性等效电路P 40 I? ? A ? 0.364 A Ucos? 220 ? 0.5 供电局一般要求用户的 cos? ? 0.9 ，否则受处罚。SDST? U L? U?相量图? U R? I常用电路的功率因数纯电阻电路 纯电感电路或 纯电容电路 RLC串联电路 电动机 空载 电动机 满载 日光灯 （RL串联电路）SDSTcos? ? 1 (? ? 0) cos? ? 0 (? ? ? 90?) 1 ? cos? ? 0 (?90? ? ? ? ?90?) cos? ? 0.2 ~ 0.3 cos? ? 0.7 ~ 0.9 cos? ? 0.5 ~ 0.63.功率因数的提高 (1) 提高功率因数的原则 必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至原负载上的电压和负载的有功功率不变。 (2) 提高功率因数的措施 ? cos ?在感性负载两端并电容 ? I? Icos ?IC+R? UL? I 1C? I C?1?? I 1? U? ISDST结论 (1) 电路的总电流 I ，电路总功率因数 cos?(2) 原感性支路的工作状态不变。 感性支路的功率因数 感性支路的电流 I1 不变。 (3) 电路总的有功功率不变。 因为电路中电阻没有变， 所以消耗的功率也不变。 并联电容 C 后。cos?1不变。? I C?1?? I? I 1? USDST4. 并联电容值的计算? I+R相量图: ? IC? UL? I 1C? I C-由于 I C ? Uω C由相量图可得? ?1 I ?I1sin ?1? U? I CIsin ?IC ? I1sin ?1 ? I sin ?? I 1即 Uω C ? I1sin ?1 ? Isin?SDSTP P U ωC ? sin?1 ? sin? Ucos?1 Ucos?P C? (tan? 1 ? tan? ) 2 ωU思考题: 1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率 因数？为什么? 2.原负载所需的无功功率是否有变化？为什么? 3.电源提供的无功功率是否有变化？为什么?SDST例1: 一感性负载,其功率P = 10kW, cos?1 ? 0.6 ， 接在电压U = 220V , ? = 50Hz的电源上。 (1) 如将功率因数提高到 cos? ? 0.95 , 需要并多 大的电容C ？求并C前后的线路的电流。 (2) 如将 cos ? 从0.95提高到1，试问还需并多大的 电容C ？ P 解：(1) C ? (tan ?1 ? tan? ) 2ωU cos?1 ? 0.6 , 即?1 ? 53? cos? ? 0.95, 即? ? 18? 10 ? 10 3 C? (tan53 ? ? tan18 ?) F ? 656 μ F 2 314 ? 220SDST求并C前后的线路电流P 10? 10 ? A ? 75.6A 并C前: I1 ? Ucos?1 220? 0.6 P 10? 103 并C后: I ? ? A ? 47.8 A Ucos? 220? 0.95 (2) cos ? 从0.95提高到1时所需增加的电容值 3 10 ? 10 C? (tan18 ? ? tan0 ?)F ? 213.6 μ F 2 314 ? 2203可见 cos ? ? 1时再继续提高，则所需电容值很 大(不经济)，所以一般不必提高到1。SDSTA， 例2: 已知电源UN = 220V , ? = 50Hz，SN = 10kV? 向PN = 6kW, UN = 220V， 的感性负载供电， cos? N ? 0.5 (1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？ (2) 如并联电容将 cos ? 提高到0.9，电源是否还有 富裕的容量？ 解： (1)电源提供的电流为P 6 ? 103 I? ? A ? 54.55A Ucos? 220? 0.5电源的额定电流为SN 10? 10 IN ? ? A ? 45.45A UN 2203SDST例2:所 以 I ? IN 该电源供出的电流超过其额定电流。（2）如将 cos ? 提高到0.9，电源提供的电流为P 6 ? 10 I? ? A ? 30.3A Ucos? 220? 0.93所 以 I ? IN该电源还有富裕的容量，即还有能力再带负载。 所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。SDST4.9 非正弦周期电压和电流前面讨论的是正弦交流电路，其中电压和电流 都是正弦量。但在实际的应用中还常常会遇到非正 弦周期电压或电流，如下面所列举的波形。u UmOu Um?2??tO2?u4? ? tu UmO矩形波Um矩齿波?2??tO2?4? ? t三角波SDST全波整流波形1.非正弦周期量的分解 设周期函数为f( ? t )，且满足狄里赫利条件，则 可以分解为下列傅里叶级数f (? t) ? A0 ? A1m sin(? t ? ? 1 ) ? A2m sin(2? t ? ? 2 ) ? ?? A0 ??Ak ?1?km sin ( kω t? ψk )直流分量高次谐波基波（或 一次谐波）二次谐波 （2倍频）2.几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式4U m 1 1 (sin ? t ? sin 3? t ? sin 5? t ? ?) 矩形波电压 u ? ? 3 5 矩齿波电压 u ? U m ( 1 ? 1 sin ? t ? 1 sin 2? t ? 1 sin 3? t ? ?) 2 ? 2? 3?SDST全波整流电压8U m 1 1 三角波电压 u ? 2 (sin ? t ? sin 3? t ? sin 5? t ? ?) ? 9 252Um 2 2 u? (1 ? cos2ω t ? cos4ω t ? ......) π 3 15从上面几个式子可以看出傅里叶级数具有收敛性。 3. 非正弦周期电流 i 的有效值 结论：周期函数 1 T2 I? i dt 的有效值为直流 T 0 计算可得 分量及各次谐波 2 2 2 I ? I 0 ? I1 ? I 2 ? ? 分量有效值平方 I 1m I 2m 式中 I1 ? I2 ? 和的方根。 2 2?SDST同理，非正弦周期电压 u 的有效值为 2 2 U ? U0 ? U 12 ? U 2 ?? ? 例:图示电路是一可控半波整流电压的波形, 在 ?? 3 之间是正弦波，求其平均值和有效值。 解: 平均值1 ? U0 ? ? ud(? t) ? 2? 31 ? ? 10 sin ? td(? t) ? 2.39 V ? 2? 3 有效值 1 π 2 1 π 2 2 U? π u d(? t) ? π 10 sin ? td(? t) V ? 4.49 V ? ? 2π 3 2π 3?SDST4. 非正弦周期电流电路中的平均功率1 P? T?T0?u ? id t设非正弦周期电压和电流如下u(ω t ) ? U 0 ? ? U kmsin( kω t ? ψk )i (ω t ) ? I 0 ? ? I kmsin( kω t ? ψk ? ? k )利用三角函数的正交性，整理得 ?k ?1k ?1 ?P ? U0 I0 ?? U I cos ?k k k ?1k? P0 ? P1 ? P2 ? ? ? ? ? ? ? 结论 P ? P0 ? P1 ? P2 ? ? ? ? ? ? ?SDSTSDST