【高等代数定义、定理汇集】多项式部分；【定义】数域；设P是由一些复数组成的集合；【定义】一元多项式；设n是一个非负整数；?所有系数在P中的一元多项式的全体，称为P上的一；【定义】带余除法；对于P[x]中任意两个多项式f和g（g不等于0）；【定义】整除；数域P上的多项式称为整除，若存在数域P上的多项式；〖定理〗整除判别法；非零多项式的充要条件是g除f的余项等于
【高等代数定义、定理汇集】多项式部分 【定义】数域
设P是由一些复数组成的集合。若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是P中的数，则P称为一个数域。
【定义】一元多项式
设n是一个非负整数。形式表达式
全属于数域P，则该形式表达式称为系数在P中的一元多项式，记作
? 所有系数在P中的一元多项式的全体，称为P上的一元多项式环，记作P[x]。
? 多项式f的次数（最高幂次）记作
【定义】带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f和g （g不等于0），一定有P[x]中的一个多项式q和r，使得f = q?g + r，其中
，或者r = 0。其中q是唯一的。
【定义】整除
数域P上的多项式
，若存在数域P上的多项式h使得
，则g称为f的因式，f称为g的倍式。
〖定理〗整除判别法
非零多项式
的充要条件是g除f的余项等于0。
是任意多项式。通常
称为多项式
的一个组合。
【定义】公因式
的因式，又是
的因式，则
称为f和g的公因式。
【定义】最大公因式
P[x]中的多项式
若满足以下条件，则称d为f、g的一个最大公因式：
1、d是f、g的公因式。
2、f、g的公因式全都是d的因式。
〖定理〗最大公因式组合定理
P[x]中的任意两个多项式f和g，必然存在一个最大公因式
俩多项式具有相同的最大公因式（仅差一个常数倍）。
首系数为1的那个最大公因式，记作
【定义】互素
若两个多项式f和g，
，则称f和g互素（互质）。
〖定理〗互素充要条件
f和g互素的充要条件是存在多项式u和v，使得
〖定理〗互素多项式整除分解定理
【定义】不可约多项式
数域P上的次数大于等于1的多项式
，若不能表示成P上的次数较低的两个多项式的乘积，则称
为不可约多项式。
? 多项式是否可约，取决于所属系数域。
〖定理〗不可约定理
对于不可约多项式p，以及两个任意多项式f和g，如果
〖定理〗因式分解唯一定理
P上次数大于等于1的多项式
，可以唯一地分解成P上一组不可约多项式的乘积。
? 多项式的标准分解式：
其中： c为首项系数。
为系数等于1的不可约多项式。
为正整数。
【定义】重因式
若对于不可约多项式
不可整除f，则p称为f的k重因式。
? 多项式的微商：设
。高阶微商记作
〖定理〗重因式定理
若不可约多项式p是多项式f的k重因式，则p是f' 的k-1重因式。
? 不可约多项式p是f的重因式的充要条件是p是f和f' 的公因式。
? 多项式f没有重因式的充要条件是
【定义】多项式函数
数域P上由多项式所定义的函数，称为数域P上的多项式函数。
〖定理〗余数定理
用一次多项式
除多项式f，所得的余数是常数f(a)：
，则称a为f的根。
是f的k重因式，则称a为f的k重根。
〖定理〗多项式根数定理
P[x]中多项式在数域P中的根的个数不超过多项式的最高次数。重根按重数计算。
对于两个次数不超过n的多项式f和g， 如果存在n+1个不同的数
， i = 1～n+1，则
〖定理〗代数基本定理
在复数域上的任意一个次数大于等于1的多项式：
1. 起码有一个根。
2. 起码有一个一次因式。
3. 可以唯一地分解成一次因式的乘积。
? 复系数域多项式标准分解式：
〖定理〗实系数多项式因式分解定理
每一个次数大于等于1的实系数多项式，在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。
? 实系数多项式的标准分解式：
数域实数，
属于正整数，
是不可约多项式。
【定义】本原多项式
一个非零整系数多项式的系数间都是互素的，则该多项式称为本原多项式。
〖定理〗高斯定理
俩本原多项式的乘积还是本原多项式。
若一个非0的整系数多项式，可以分解为两个较低次数的有理系数多项式的乘积，那么这个多项式一定能分解为两个较低次数的整系数多项式的乘积。
? 设f为整系数多项式，g为本原多项式。如果
，h为有理系数多项式，那么h必然是整系数多项式。
设整系数多项式
是一个有理根，r和s互素，则
为f的最高次项系数。如果
=1，则f的所有有理根都是整数，且都是
是f的0次项系数（常数项）。
〖定理〗Eisenstein判别法
设整系数多项式
，如果有一个素数p使得：
1. p不能整除
2. p能整除其余的系数。
在有理数域上不可约。
【定义】单项式、同类项、多项式
1. 在数域P中，对于多个变量
（I = 1～n）为非负整数，则称此形式表达式为“单项式”。
称作单项式的次数。
2. 若两个单项式中，相同文字（变量）的幂次全都一样，则称它们为“同类项”。
3. 一系列单项式的和称为多项式。非零系数的各个单项式中，最高的次数称为多项式的次数。
【定义】n元多项式环
所有系数在数域P中的n元多项式的全体，称为n元多项式环，记作
【定义】字典排列
两个相同长度的数组：
。当俩数组相应元素第一次不相等时有
，则称数组
每一个单项式
（i = 1～n)都可以按照变量出现顺序，将相应的幂次数排列成一个数组。
将多项式中每一个单项式都按照次数先后顺序排列，称为“字典排列”。第一个非零系数的单项式称为该多项式的首项。
? 首项不一定是最高次数的单项式。
? 当n = 1（只有一个变量）时，字典排列就是降幂排序。
两个非零多项式
的乘积的首项，等于f首项和g首项的乘积。
? 若多项式每个单项式都具有相同的次数m，则称此多项式为m次齐次多项式。
【定义】对称多项式
若对任意的i和j（1 <= I < j <= n）都有
则称次多项式为对称多项式。
〖定理〗对称多项式基本定理
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简介：本文档为《高等代数：定理·问题·方法_pdf》，可适用于高等教育领域，主题内容包含封面书名版权前言目录前言记号与约定第一章多项式一般理论复与实多项式第二章矩阵与向量行列式矩阵运算向量与向量空间线性方程组第三章特征值与标准形特征值与符等。
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高等代数中在整数系上求它的有理根，书上给了定理12可求出，但答案上却是说得结合综合除法才能确定全部
等代数中在整数系上求它的有理根，但答案上却是说得结合综合除法才能确定全部有理根，我想问必须结合综合除法吗？我怎么感觉只要定理12就足够了呢，书上给了定理12可求出
我有更好的答案
主要是因为有重根的情形一般是求出一个根后，用综合除法化简，再求第2个根。比如第1个根是2，那我们怎么知道还有没有也是2的根呢？如果不化简，把2往原式里代，那么永远是0，无法知道还有没有另一个是2的根
那利用求导不就可以了吗
总之要加上别的方法，或者综合除法，或者求导，仅用定理12是不行的。
嗯嗯。。好的，非常感谢
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2O14年 1月
教 育 教 学论 坛
EDUCATION TEACHING FORUM
【学法指导】
高等代数中替换定理的一种证明
(I~IJJl文理学院 数学与财经学院，四川 达州 635000)
摘要：在向量的有关证明中，替换定理是高等代数 中比较重要的一个定理，利用线性方程组和矩阵的相关理论给出
了此定理的一个证 明。
关键词 ：替换定理 ；线性方程组 ；矩阵的秩
中图分类号：G642．4l
文献标志码：A
文章编号：(94—02
高等代数是师范院校本专科学生必修的一门基础数学
一 、预备知识
课 。通过本课程的教学，学生要掌握基本理论、基本方法和
定理1：若含有n个未知量的非齐次线性方程组有解 ，且
基本技能，培养学生的科学思维、逻辑推理、运算能力及高
其系数矩阵A的秩为r，那么当r&n时，此方程有唯一解，当
观点处理中学教材的能力。教师在定理的教学中，不仅要
r&n时，此方程有无穷多解 。定理2：(替换定理)设向量组
讲清定理内容，而且要讲清定理的证明和应用，以便学生深
{仅，仅，…，d)(1)线性无关，并且它可由向量组{p，p：，
刻理解定理内容。替换定理是 《高等代数》中一个十分重要
… ， B1(2)线性表示。那么r≤s，并且必要时可以对(2)中向
的基本定理。 高《等代数》是对向量的个数r作数学归纳法 ，
量重新编号，使得{131．，0．／，…，r)替换{B。，p：，…，p}后 ，
应用向量等价理论证明此定理，两个结论同时证明，证明过
所得到的向量组 {0．／。， ：，…，仅，p pm，…，p)(3)与
程清楚明了，但证明篇幅较长；在高等代数中，证明篇幅虽
然很短，但初学者理解起来有些困难，而且学生很难理解其
二、替换定理的证明
证明过程 ，最终将导致学生失去学习兴趣。本文将利用线
通过线性方程理论和矩阵理论的学习后，应用此理论
性方程组和矩阵的相关理论给出替换定理的另一个证明，
给出替换定理的证明。证明：．‘。，0．／：，…，0．／线性无关 ，．．．
力求给出该定理的比较简洁的证明过程，便于学生理解 。
当且仅当数k1=k2=…=kr=O时，使k1d1+k2d2+…+k r=O成
立．．·’(1)可以由(2)线性表示，即：
系下进行教学活动，才能够提高体育老师的教学水平和教
具体的教学问题进行分析，做到小学体育课前筹划与实际
学质量。但是由于各种因素的影响，在体育综合评价体系
体育教学的有效结合，提高小学体育教学质量与水平 。
这方面，并没有建立完整规范的评价体系，调查表明很多学
3．创新体育合作教学方法，提高学生体育兴趣。在以往
校都没有建立完整的评价体系，即使建立了这种体系，在执
的教学中，受到传统教学观念的影响，小学体育教学质量没
行的过程中也存在一些问题。所以要加强建立体育评价体
有办法提高，因为，老师应该利用 自主合作的方式教学。首
系，提高老师体育教学的质量，不断地满足所有学生的学习
先，通过考察，了解学生的实际学习情况，多多走进学生的
需求，促进学生体育学习能力的有效提高。
学习和实际生活，根据学生的学习情况，进行 自主合作体育
二、创新角度的小学体育教学
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高等代数第二版课件§1[1].8复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、C上多项式 定理1.8.1（代数基本定理）： 每一个次数大于零的多项式在复数域上至少有 一个根。 定理1.8.2： 任何n（n&0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都 是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项 式。推论2：任一个n（n&0）次多项式 f ? x ? 在第一章 多项式C ? x ? 上都能分解成一次因式的乘积，即f ? x ? ? a0 ? a1x ??? an x 的标准分解式是：nf ? x ? ? an ? x ? ?1 ?k1? x ? ?2 ?k2?? x ? ? r ?kr其中 ?1 ,?, ? r 是不同的复数， k1 ,?, kr 是自然数且?ki ?1ri? n.韦达定理： ?1,?2 是 ax 2 ? bx ? c 的两个根，则 设?1 ? ? 2 ? ? , ?1? 2 ?b a c a第一章多项式C上多项式的根与系数关系：n n?1 设 f ? x ? ? x ? a1x ??? an?1x ? an―（1）是一个n（n&0）次多项式，则它在C中有n个根，记 为 ?1 ,? 2 ,?, ? n 则f ? x ? ? ? x ? ?1 ?? x ? ?2 ??? x ? ?n ?? x n ? ??1 ? ? ? ? n ? x n ?1 ?1?i ? j ? n??i? j xn?2? ? ? ? ?1? ?1? 2 ?? nn―（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，第一章 多项式得根与系数的关系为：a1 ? ? ??1 ??? ?n ?a2 ? ??1?2 ? ?1?3 ??? ?n?1?n ?a3 ? ? ??1?2?3 ? ?1?2?4 ??? ?n?2?n?1?n ??????an ?1 ? ? ?1?n ?1??1? 2 ?? n?1 ? ?1? 3 ?? n ? ? ? ? 2? 3 ?? n ?an ? ? ?1? ?1? 2 ?? nn如果 f ? x? ? a0 xn ? a1xn?1 ??? an?1x ? an 根与系数的关系又如何？第一章 多项式f ? x ? ? a0 xn ? a1xn?1 ??? an?1x ? an? n a1 n?1 an?1 an ? ? a0 ? x ? x ? ? ? x? ? a0 a0 a0 ? ?? a0 ? x ? ?1 ??? x ? ?n ?? a1 a0 ? ? ??1 ? ?? ?n ?a2 a0 ? ? ai a j?????ak a0 ? ? ?1??????kr1 ,?rk 互 不相同?? r ? r ?? r1 2kan a0 ? ? ?1?第一章 多项式n??i ?1ni利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式， 使其恰以 ?1 , ? 2 ,?, ? n 为根。例1.8.1： 求一个首项系数为1的4次多项式，使 它以1和4为单根，-2为2重根。解：设 f ? x ? ? x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ,则 a1 ? ? ?1? 4 ? 2 ? 2? ? ?1, a2 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 8 ? 8 ? 4? ? ?12,a3 ? ? ? ?8 ? 8 ?16 ? 4? ? ?4,a4 ? ? ?1? 16 ? 16.4f ? x ? ? x4 ? x3 ?12x2 ? 4x ?16.第一章 多项式二、实数域上的多项式 定理1.8.3：如果 ? 是实数系数多项式 f ? x ? 的 非实复根，则 ? 的共轭复数 ? 也是 f ? x ? 的根，且 ? 与 ? 有相同的重数。定理1.8.4 每个次数 ? 1 的实系数多项式都可唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积。 推论3 R ? x? 中不可约多项式除一次多项式外， 只有含非实共轭复根的二次多项式。第一章 多项式推论4 n（n&0）次实系数多项式 f ? x ? 在R上 具有标准分解式： k1 kr f ? x ? ? a0 ? x ? b1 ? ? ? x ? br ??x2? p1 x ? q1 ? ? ? x ? pt x ? qt ?l1 2ltx2 ? pi x ? qi 不可约，即满足pi 2 ? 4qi ? 0, i ? 1, 2,?, t.第一章多项式
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