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(1+2x)开根号-3/(x开根号-2) →上式当x趋向与4时求此式的极限,用什么方法求?
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这是一个0/0型的极限,所以用罗比塔法则,上下同时求导 分子=1/根号[(1+2x)] 分母=1/[2(根号x)] 原极限= 1/3
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扫描下载二维码　　“极限”是高中数学中的重要概念，也是高考必考的内容之一。在高中数学中深受广大师生的重视。其实很多题都有一些特点，能够抓住这个特点，对解题会带来方便、快捷。下面是根据自己在教学实践中的体会，介绍求极限的几种方法和应用，并附有习题与读者切磋。 　　数列极限： 　　一、∞∞型：应遵循三条规律 　　（1）分子次数高，分母次数低，则极限不存在；（2）分子次数低，分母次数高，则极限值为0；（3）分子、分母的次数相同，则极限值是分子、分母中最高次项前的系数的比值。 　　例1：填空 　　①limn∞5n2-12n2+n-5=52 　　解法1：limn∞5n2-12n2+n-5=limn∞5-1n22+1n-5n2=limn∞5-limn∞1n2limn∞2+limn∞1n-limn∞5n2=5-02+0-0=52 　　解法2：观察分子、分母就知道此式符合规律（3），又分子次数为5，分母次数为2，所以极限为52。 　　②limn∞n-12n4+2n-5=（0） 　　解：此式符合规律（2），所以极限为0. 　　③limn∞4n5-1n4+n（不存在） 　　解：此式符合规律（1），所以极限不存在。 　　例2：填空 　　①若limn∞n-1an3+bn-c=2，则a=（0），b=12，c=（任意实数） 　　解：此题符合规律（3），又分子次数为1，所以分母的次数也为1，即a=0。又由题意知1b=2，所以b=12。因为C对极限无影响，所以C值为任意实数。 　　②若limn∞n2+1n+1-an-b=0，则a=（1），b=（-1） 　　解：∵n2+1n+1-an-b=n2+1-an2-an-bn-bn+1=（1-a）n2-（a+b）n+（1-b）n+1，由已知limn∞n2+1n+1-an-b=0，得：∵1-a=0，a+b=0，即a=1，b=-1 　　二、00，∞±∞等类型要注意分子分母有理化策略 　　例3：求下列极限：（1）limn∞n+2-n；（2）limn∞4n2+3n-n2+1. 　　解：（1）原式=∵limn∞n+2-nn+2+nn+2+n=limn∞2n+2+n=0 　　（2）原式=limn∞4n2+3n+n2+13n-1=limn∞41+3n+1+1n23-3n=83 　　三、对于分子分母是分数指数幂形式的一般分子分母同除以底数较大的幂值 　　例4：（1）求limn∞2n-1-3n2n-3n-1，（2）已知a>0，b>0求limn∞anan+bn+1 　　解：（1）原式=limn∞2n-13n-1-32g2n-13n-1-1=3 　　（2）∵a>0，b>0，∴limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban 　　若ba>1，n∞时，ban∞，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=0 　　若ba=1时，ban=1，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=11+b 　　若0<ba<1，n∞时，ban0，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=1 　　注：含字母常数时要有分类讨论思想 　　四、对于无限项的数列的和或积，应先求其n项的和或积，然后再求极限 　　例5：求limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2 　　解：limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2=limn∞3n2-nn2=limn∞3-1n2=32 　　五、用“四则运算”法则求极限及逆向思维求参数的值 　　例6：已知limn∞（3an+4bn）=8，limn∞（6an-bn）=1，求limn∞（3an+4bn） 　　解：数列{3an+4bn}，{6an-bn}的极限存在，但{an}，{bn}的极限不一定存在，所以不能列出方程组求{an}，{bn}的极限，而应该把3an+4bn，6an-bn看成整体，再求解。 　　设m（3an+4bn）+n（6an-bn）=3an+bn则有（3m+6n）an+（4m+n）bn=3an+bn 　　∴3m+6n=34m-n=1解得m=13，n=13。limn∞（3an+bn）+an=limn∞13（3an+4bn）+13（6an-bn） 　　=limn∞13（3an+4bn）+limn∞13（6an-bn）=13limn∞（3an+4bn）+13limn∞（6an-bn）83+13=3。 　　六、几个基本极限①limn∞l（-1）nn=0，②limn∞c=c，③limn∞qn=0（|q|<1）的应用 　　例7：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且limn∞a11+q-qn=12，则首项a1的取值范围是（D） 　　A.0　　C.0　　解：由题可知：01时，极限不存在；当|q|=1时，由a11+q知q≠-1，所以当q=1时，由limn∞a12-1=12得a1=3，故应选D 　　函数极限 　　连续函数的极限，直接代值即可 　　例8：求limx3（2x2-x-1） 　　解：limx3（2x2-x-1）=limx32x2-limx3x-limx31=2×32-3-1=14 　　二、分子与分母均是x的多项式时，x∞的极限，分式呈“∞∞”型，则与数列极限一的规律一样。 　　例9：求limx∞2x2-5x+3x2+x 　　解：由规律可知极限值为2 　　三、分子与分母均是x的多项式时，xx0的极限，分式呈“00”型，方法是将分子与分母进行因式分解，约去“零因式”，再代值即可 　　例10：求limx2x3+3x2+2xx2-x-6 　　解：求limx2x3+3x2+2xx2-x-6=limx2x（x+1）（x+2）（x+2）（x-3）=limx2x（x+1）x-3=limx2x（x+1）limx2x-3=2（2+1）2-3=-6 　　综上所述，本文提出的规律、结论确实给解题带来方便。这充分显示了解题的规律性、简捷性及应用的广泛性。
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广东技术师范学院学报２００８年第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＮｏ．３，２００８四种求极限的方法李伟加（揭阳职业技术学院，广东揭阳５２２０００）摘要：极限是高等数学各个章节的基础和基本工具，求极限的方法有很多种，但大多部分都可以由下面所介绍的四种方法解决，且有时变得更实用、更简单。常见又实用的求极限方法。关键词：极限；救解方法中图分类号：Ｏ１５１文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－４０２Ｘ（２００８）０３－００３９－０２１利用常用的已知极限和极限的四则运算来求极限ｘ常用的已知极限有：ｌｉｍｑ＝０，ｑ＜０；ｌｉｍａ＝０；ｘ→∞ｘ→∞ｘ（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝ｌｉｍｘ→∞（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＋ｘ\２\ａ＋ｂ＋ａｂｘ＝ａ＋ｂ２（１＋ａ）（１＋ｂ）＋１ｘｘｘ！ｘｘｌｉｍｘｘ＝０，（ａ＞１，ｋ为常数）；ｌｉｍ\ａ＝１，（ａ＞０）；ｌｉｍｘ＝１ｘ→∞ｘ→∞ｘ→∞ａｋ３．求ｌｉｍ２ｘ－１３ｘ－７ｘ→∞ｘ２－４９解：原式＝ｌｉｍ（２ｘ＋１）（ｘ－７）＝ｌｉｍ２ｘ＋１＝１５ｘ→∞（ｘ＋７）（ｘ－７）ｘ→∞ｘ＋７１４４．求ｌｉｍ（\２\２\２…\２）ｘ→∞３９２７３ｘ等。利用常用的已知极限结合极限的四则运算法则来求极限。这类题常需要结合实际的情况，如使用夹逼法则、对被求极限的式子进行分子或分母或分子分母同时有理化、除以分子分母的最高次项、因式分解、将函数化为指数或对数形式来求解。（１）求ｌｉｍｘ→∞解：令ｙ（\２\２\２…\２）则ｌｎｙ＝（１＋３９２７３ｘ３解：将原式适当放缩原式\ｎ１×３×５×２ｎ－１…×２４６２ｎ１－１１＋１＋…＋１）ｌｎ２＝３ｘｌｎ２９２７３ｘ２∴ｌｎｌｉｍｙ＝ｌｉｍｌｎｙ＝１ｌｎ２ｘ→∞ｘ→∞２ｌｉｍｙ＝\２ｘ→∞\３×５×２ｎ－１×１≥１原式１×…×\２４２ｎ－２２ｎ%２ｎ１＝１，由夹逼定理可得ｌｉｍ又因为ｌｉｍ\２ｎｎｎｎｘ→∞ｎ１×３×５×２ｎ－１≤１…×２４６２ｎｘ→∞\ｎ１×３×５×２ｎ－１＝１…×２４６２ｎ（２）求ｌｉｍ（\（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）－ｘ）ｘ→∞２利用两个重要极限ｌｉｍｓｉｎｘ＝１ｘ→∞ｘｘ１和ｌｉｍ（１＋）＝ｅｘ→∞ｘ０ｓｉｎ&Δ(极限。由基本形式可推广到一般形式ｌｉｍ＝１&→０Δ’&(Δｘ→∞ｘ→∞（１）基本形式：ｌｉｍｓｉｎｘ＝１其中ｌｉｍｓｉｎｘ是０型ｘｘ解：原式＝ｌｉｍｘ→∞（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）－ｘ\（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＋ｘ２＝ｌｉｍｘ→∞例１．求ｌｉｍ２ｘｓｉｎａｘ→∞２ｘ收稿日期：２００７－１０－１２作者简介：李伟加（１９８１－），男，汉族，广东揭阳人，揭阳职业技术学院数学系助教。?４０?李伟加：四种求极限的方法２２２２２第３期２ｓｉｎａ２ｘ×解：原式ｌｉｍａ＝１×ａ＝ａｘ→∞ａ２ｘｘｘ（２）基本形式：ｌｉｍ（１＋１）＝ｅ其中ｌｉｍ（１＋１）是ｘ→∞ｘ→∞ｘｘ１型极限。基本形式等价ｌｉｍ（１＋ｘ）＝ｅ，从而可推广到ｘ→∞∞ｃｏｓｘ＝ｌｉｍｓｉｎｘ＝ｘｃｏｓｘ原式＝ｌｉｍｓｉｎｘ＝ｘ２２４ｘ→ｏｘ→ｏｘｓｉｎｘｘ＝ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ×ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＝ｌｉｍ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）×３ｘ→ｏｘｘｘｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘｘ３１ｘ一般形式ｌｉｍ（１＋\）Δ#ｘ→∞ｘ→∞１\Δ$＝ｅ＝２ｌｉｍｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ＝２ｌｉｍｓｉｎｘ＝２２ｘ→ｏ３ｘ→ｏｘ３３ｘ２）ｘ２例２．求ｌｉｍ（１＋－２ｘ＋１２）ｘ＝ｌｉｍ（１＋－２）解：原式ｌｉｍ（１＋－２２２ｘ→∞（ｘ＋１）（－２２ｘ）－２ｘ＋１２２４利用泰勒展式求极限对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则，须用泰勒公式去求极限。在用泰勒公式求极限时，应灵活运用，分清哪些项需展开，哪些保留，同时结合无穷小性质及等价无穷小代换求极限。例１．求ｌｉｍ１（１－ｃｏｔｘ）ｘ→ｏｘ＋１２ｘ→∞ｘ＋１２）＝ｌｉｍ（１＋－２ｘ→∞ｘ＋１（ｘ＋１）□ｌｉｍ（－２２ｘ）ｘ→∞－２ｘ＋１２＝ｅ－２３用洛必达法则求极限洛必达法则主要有两个基本型，分别为：ｌｉｍｆ（ｘ）ｘ→ａｘｘｘｃｏｓｘ解：原式＝ｌｉｍ１（１－ｃｏｓｘ＝ｌｉｍｓｉｎｘ－２ｘ→ｏｘｘｓｉｎｘｘ→ｏｘｓｉｎｘ３２４＝０，ｌｉｍｇ（ｘ）＝０，ｘ→ａ４４∵ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ＋０（ｘ），ｃｏｓｘ＝１－ｘ＋ｘ＋ｏ（ｘ）３！２！４！４４ｘ－ｘ＋０（ｘ）－ｘ（１－ｘ＋ｘ＋０（ｘ））３！２！４！原式＝ｌｉｍ＝２ｘ→ｏｘｓｉｎｘ４－ｘ＋ｘ＋０（ｘ）６２３３３２４（ｘ）＝Ａ（０型）和ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞，ｌｉｍｇ则ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ′ｘ→ａｇ（ｘ）ｘ→ａｇ′ｘ→ａｘ→ａ（ｘ）０（ｘ）＝∞（ｘ）＝Ａ，其中作为分母的ｇ′则ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ′（ｘ）≠ｘ→ａｇ（ｘ）ｘ→ａｇ′（ｘ）（ｘ）存在。其它不定型可以经一系列变换转０且ｌｉｍｆ′ｘ→ａｇ′（ｘ）化为０或∞，尽可能化简函数，利用等价无穷小代０∞换，对满足条件的情况洛必达法则可以多次使用。例１．求ｌｉｍｘ－（１＋ｘ）ｌｎ（１＋ｘ）２ｘ→ｏｘ解：原式＝ｌｉｍ１－ｌｎ（１＋ｘ）－１＝ｌｉｍ－ｌｎ（１＋ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｏｘ→ｏｘ→ｏ２ｘ２ｘｘｓｉｎｘ＝－１＋１＝１６２３求极限的方法有很多种，这里主要介绍四种。在解题时，这些方法不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法，选择适当的方法往往能事半功倍。参考文献：［１］徐小湛．高等数学学习手册［Ｍ］．科学出版社，２００５．［２］闵祥伟．高等数学学习指导与例题分析［Ｍ］．北京邮电大学出版社，２００３．［３］邹本腾，漆毅，王奕倩．高等数学辅导［Ｍ］．科学技术文献出版社，１９９６．２－１１＋ｘ＝－１２２２例２．ｌｉｍ（１２－ｃｏｔｘ）ｘ→ｏｘ解：这是∞－∞型未定式，通分化为０型，再利０（下转第６０页）用等价无穷小代换ｓｉｎｘ□ｘ，得?６０?陈琼赵磊：新的基于奇异值分解和小波变换的图像水印技术第３期ＡＮｅｗＡｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆＩｍａｇｅＷａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇＢａｓｅｄｏｎＳＶＤ－ＤＷＴＣＨＥＮＱｉｏｎｇＺＨＡＯＬｅｉ（ＴｈｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｎａｎ４２１００８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｅｗｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇｂａｓｅｄｏｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌＳＶＤａｎｄＤＷＴ．Ｉｎｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｇｒａｙｗａｔｅｒｍａｒｋｉｍａｇｅｓｗａｓｅｍｂｅｄｄｅｄｉｎｔｏｔｈｅｍｉｄｄｌｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｂａｎｄｓｗｈｉｃｈｗｅｒｅｇｏｔｆｒｏｍＤＷＴ．Ｅｘ－ｐｅｒｉｍｅｎｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｓｃｈｅｍｅｉｓｖａｌｉｄ，ｉｎｖｉｓｉｂｌｅａｎｄｒｏｂｕｓｔａｇａｉｎｓｔｃｏｍｍｏｎｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＤＷＴ）；ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＳＶＤ）；ａｒｎｏｌｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（上接第４０页）ＦｏｕｒＭｅｔｈｏｄｓｔｏＳｏｌｖｅｔｈｅＰｒｏｂｌｅｍｓｏｆＬｉｍｉｔＬＩＷｅｉｊｉａ（ＪｉｅｙａｎｇＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅ，ＪｉｅｙａｎｇＧｕａｎｇｄｏｎｇ５２２０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｌｉｍｉｔｉｓｔｈｅｂａｓｉｓａｎｄｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｏｏｌｏｆｅａｃｈｃｈａｐｔｅｒｓｏｆｈｉｇｈｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅｒｅａｒｅｍａｎｙｍｅｔｈｏｄｓｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｌｉｍｉｔ，ｂｕｔｍｏｓｔｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄｂｙｔｈｅｆｏｕｒｋｉｎｄｓｏｆｍｅｔｈｏｄｓｗｈｉｃｈａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｍｙａｒｔｉｃｌｅ．Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓｉｔｃａｎｂｅｃｏｍｅｍｏｒｅｐｒａｃｔｉｃａｌａｎｄｓｉｍｐｌｅｒｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔ；ｓｏｌｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ三亿文库3y.uu456.com包含各类专业文献、中学教育、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、行业资料、高等教育、10四种求极限的方法等内容。　
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高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x??时函数的极限和x?x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）数列?xn?收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）limf(x)?A?limf(x)?lim?A limf(x)?A， x??x?????x??? (iii)x?x0limf(x)?A?x?x0limx?x0lim?A ? (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limx?x0f(x)存在的充分必要条件是：o???0,???0,使得当x1、x2?U?(x0)时，恒有|f(x1)?f(x2)|?? 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 ．．2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： 0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。 1 0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)， 3.泰勒公式(含有e的时候，含有正余弦的加减的时候） xx2xne?x
e?1?x?????xn?1 ； 2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3m sinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx
cos=1? ????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xnln（1+x）=x- ????(?1)?(?1)23n(n?1)(1??x)n?1(1+x)=1?ux?uu(u?1)2x???Cunxn?Cun?1(1??x)u?n?1xn?1 2!以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零， P（x）=anxn?an?1xn?1???a1x?a0,Q(x)?bmxm?bm?1xm?1???b1x?b0 ?an?b,(m?n)nP(x)P(x0)P(x)?? (i)（ii）若，则 Q(x)?0?0limQ(x)??0,(n?m)Q(x)Q(x)0x?x0??,(n?m)x?????lim5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。 面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。 6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设a?b?c?0，xn?nan?bn?cn，求limxn n??
解：由于a?xn?an3,以及
（2）求lima?a,lim(an??n??n3)?a，由夹逼定理可知limxn?a n??limn???111? ?????n2(n?1)2(2n)2???111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnn
解：由0?1?2nlimn??0?limn??1?0可知，原式=0 n
(3)求lim?n???1?11? ?????2?22n?2n?n??n?n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n2 解：由,以及 1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如： n??n??lim1?limnn?n2?limn??11??1得，原式=1
求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1
(|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。 ?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：
=111?1??1 lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3???n?(n?1)??lim?(n?1)??????n???111??111???n??n??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：
（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知liman存在，求该极限值。 ann??
解:设liman=A，（显然A?0）则A?2?1，即A2?2A?1?0，解得结果并舍去负值得A=1+2 n??A
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
设x1?2,x2?2?2,?,xn?2?xn?1,求limxn n??
解：（i）显然x1?x2?2（ii）假设xk?1?xk?2,则2?xk?1?2?xk?2?2，即xk?xk?1?2。所以，2?A，即A2?A?2?0。?xn?是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim?A，（显然A?0)则A?n??解方程并舍去负值得A=2.即limxn?2 n?? 10.两个重要极限的应用。
（i）limx?0sinx?1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 0x1(ii)lim?1?x?x?e，在“1”型未定式中常用 ?x?011.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。 12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限nnlimx?0arccosx??2。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。 22sin2x2xsin2xarccosx?2x?2?limx?0原式=limx?0arccosx?2x?2?limt?0t1?? ?2sint21n13．利用定积分求数列极限。例如：求极限limn??11?。由于1?1，所以???????in?in?n??n?1n?21?n3
??????lim?n?n?lim?n?1n?2n??n???111????121???1?1?ln2 ??1n?n?1x?1???1?nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这0'种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义） 例:设f(a)?0,f(a)存在，求limn??'??1??fa?????n??? ?f?a???????f(a)?1f(a?)?f(a)n1f(a?)?f(a)nnf(a)n解：原式=limn????1????fa??fa????n???1???limf(a)??n??????1f(a?)?f(a)1n1f(a)nf'(a)f(a)n1??f(a?)?f(a)??n1???f(a)????
=limen???e 4 三亿文库3y.uu456.com包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、各类资格考试、专业论文、中学教育、高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)51等内容。　
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　　求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。求极限的方法很多，包括：利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形(指数化，有理化，三角变换等)、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法，供各位考生参考。
　　上面就是考研数学中如何用定积分定义求极限这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，考研辅导老师还会陆续向考生们介绍其它求极限的方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。
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