求用高中数学向量解题技巧发解这道题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-01-13 10:58 标签： 向量法解立体几何例题
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一道习题的解法
　　关键词：正方体；距离；转化；向量法 中国论文网 http://www.xzbu.com/2/view-659806.htm　　[中图分类号]G634.6[文献标识码]A [文章编号]（0-02 　　问题:已知正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离。(《人教版》高中必修教材九B版P50习题9、8第4题)。本文给这道习题的几种解法和同仁们商讨： 　　解法1：将线线距离转化为面面距离：如图① 　　∵AC∥A'C'，A'D∥B'C 　　A'D∩A'C'=A'，AC∩B'C=C 　　∴平面AB'C∥平面A'DC' 　　故两个平面AB'C与平面A'DC'间的距离是DA'与AC间的距离，连结BD'，由三垂线定理可证BD'⊥平面AB'C，BD'⊥平面A'DC'，垂足分别为O，O1，根据射影长定理知O1，O分别是正△A'DC'、△AB'C的中心，且AC=AB'=BC'=，∴BO=D'O1=，又∵BD'=，∴OO1=。 　　即平面AB'C与平面A'DC'间的距离为。 　　∴异面直线DA'与AC间的距离为。 　　解法2：将线线距离转化为线面距离。 　　如图②，在正方体ABCD―A'B'C'D'中，∵AC∥A'C'，A'C'平面A'DC'。∴AC∥平面A'DC'。 　　故DA'与AC的距离即为直线AC与平面A'DC'的距离。 　　∵DD'⊥平面A'B'C'D'，B'D'⊥A'C'于O1。 　　∴由三垂线定理的A'C'⊥DO1，取AC中点O，∵OO1∥DD' 　　∴OO1⊥A'C'，∴A'C'⊥平面DD'O1O，又∵A'C'平面DA'C'， 　　∴平面DA'C'⊥平面DD'O1O交线且它们的交线为DO1。 　　过O作OH⊥DO1于H，则OH⊥平面DA'C'，在Rt△DO1O中， 　　DO1=，DO=，OO1=1。∴OD?OO1=DO1?OHOH= 　　解法3：将线线距离转化为点面距离(等积法) 　　如图②∵AC∥平面DA'C'，∴AC与DA'间的距离即为C到平面DA'C'的距离。∵VCDA'C'=VA'DCC' 　　∴DA'DC'Sin60?DCCC'A'D' 　　== 　　故C到平面DA'C'的距离为。 　　解法4：利用代数法求分别在两异面 　　直线上两点违线长度的最小值如图③，在DA'上取点N，作NE⊥DA于E，则 　　NE⊥平面ABCD,可得NE⊥AC，再过E作EM⊥AC于M，连结MN。 　　∴AC⊥平面MNE，又∵MN<平面MNE。 　　∴AC⊥MN，即MN是DA'上各点到AC上各点距离中的最短者。 　　∴两异面直线AC、DA'间的距离是MN的最小值 　　令DE=，则EN=DE=1，又=EM= 　　∴MN== 　　= 　　∵0<<1∴=时，MNmin= 　　故AC、DA'的距离为。 　　解法5：利用向量法求解，∵两异面直线AC、DA'间的距离为在它们的垂线上的射影长。如图④ 　　可用三垂线定理证明BD'⊥AC，BD'⊥DA' 　　∴为异面线AC，DA'的垂线。 　　又∵<、＞=∠B'BD' 　　且cos<，＞=，||=1 　　∴在方向上的射影长为||cos　　解法6：设出公垂线段利用向量法求解，建立如图⑤所示的空间直角坐标系，则 　　A'(1，0，0)、D(0，0，1)、A(1，0，1)、 　　C(0，1，1)，设DA'与AC的公垂线段为M\overdotN 　　且设 =A'D =(1,0,1)=(, 0,) 　　 ==(1,1,0)=(,,0) 　　∴M(1，0，)，N(1，，1),(,,1) 　　又∵⊥⊥ 　　∴ 　　解得 　　∴（）||= 　　故AC和DA'间的距离为。 　　以上几种解法中1、2、3充分利用了线面距离、面面距离、点面距离的转化，第4种解法从两条异面直线公垂线段的几何意义出发利用函数知识解，有一定的综合性。第5种解法从向量的正射影的几何意义出发转简单，但对思维能力的要求较高。第6种解法从两条异面直线的公垂线定义出发利用向量法求解。这道题具有一定的综合性、示范性，为同学们提供了求两条异面直线间距离的方法和思想。以上各种解法中第3种最简单，同学们在复习中应该出一题多解的训练，从中选择出适合自己的简便解法，另外也训练了思维方法。
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第二题我觉得有毛病，里没有平行有没有垂直
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用向量方法解一道题
BD在平面阿尔法内已知线段AB，BD＝b，AC＝c，求C、D间的距离。不用向量解貌似很简单，BD垂直AB，线段AC垂直阿尔法，如果AB＝a
我有更好的答案
。。。。。。中间的abCD即向量CD 的模长。记向量CD为d，则由题知d= -c+a+b（小写字母代表对应的向量）CD=d平方再开2次方=（-c+a+b）平方再开2次方=（c平方+a平方+b平方）再开根号。。。
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解的是什么题
则向量AB记作（AB）=（a,0,0），0,过A点垂直于AB且在阿尔法平面内的直线为Y轴，则有（BD）=（a,b,0），AB所在直线为X轴，则有（AC）=（0记A点为坐标原点,AC所谓直线为Z轴，则A（0，0，0）
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谢了4.7那道
这题简单。但如果遇到复杂的题目，又不是大题的话，完全可以取特殊点做。
回复5楼:谢谢，我懂了
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