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级数(习题)解答
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··········
··········
第四章　级数（习题四）解答
１．设已给复数序列｛｝，如果，其中是一有限复数，那么
（复数列极限的算术平均法则）
证明　（方法１）记，，则
由复数列收敛与实数列收敛的关系以及实数列极限的算术平均法则得
于是再由复数列收敛与实数列收敛的关系得
（方法２）由得，对任意，存在正整数，当时，．
于是，当时，
又，所以存在正整数，当时
从而取，当时，
注意：此题中，当时，结论不一定成立．例如，取
显然，从而，但
不存在．这表明关于复数列的算术平均法则对无穷大量的情形不一定成立，这一点与实数列的算术平均法则有所不同．
２．证明：任何有界的复数序列一定有一个收敛的子列．（复数域上的致密性定理）
证明　记有界的复数序列为｛｝，，由，知，实数列
｛｝和｛｝也有界．由实数域上的致密性定理得｛｝有收敛的子列｛｝，同理
｛｝的子列｛｝也有收敛的子列，我们把它仍记为｛｝，于是由复数列收敛与实数列收敛的关系得｛｝的子列也收敛．
３．证明在两相乘级数中，一个收敛，一个绝对收敛时，它们的柯西乘积一定收敛，且和为这两个级数的和的乘积．
证明　记级数收敛，级数绝对收敛，其和分别为，．
（方法１）记，，由复级数收敛与实级数收敛的关系得
和都收敛，和都绝对收敛．
由数学分析中柯西乘积的收敛性得
都收敛．所以再由复级数收敛与实级数收敛的关系得收敛，且　　
（方法２）由级数收敛，级数绝对收敛知，存在正数，使得对任何正整数，有
，　　　　　　①
又由柯西准则，对任意，存在正整数，当时，对任意自然数，有
再注意到，记为的部分和，
当为奇数时，
当为偶数时，
于是当充分大时（如时），有，由①②易得
注意：课本上Ｐ61面顺数第13行的等式有误，应分两种情况改为
当为奇数时，
当为偶数时，
（方法３）设级数收敛，级数绝对收敛，并记
由题设，，．因为
成立，只须证明
成立即可．下面我们证明这一事实．
事实上，由和绝对收敛，并注意到收敛数列的有界性和数列收敛的定义以及级数收敛的柯西准则可得，存在正数，使得
且对任意，存在正整数，当时，
于是，当时，
4．证明定理2.1（考虑内闭一致收敛的情形，课本上一致收敛的情形是此情形的特殊情况）和定理2.2．
证明　任取，并取，使得，
注意到在上一致收敛于，且在连续，以及
易得在点连续，从而在上连续．
由于在简单曲线上一致收敛于，且在简单曲线上连续，由定理2.1，在简单曲线上也连续，再注意到
由积分的估值性易得
５．试求下列幂级数的收敛半径：
（１）（）；（２）；（３），其中是一正整数；
（４）；（５）；
其中，和是复常数，但不是零或负整数．
解　（１）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（２）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（３）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（４）由于，，所以收敛半径为，此时收敛圆为．
（５）由知，收敛半径为，此时收敛圆为．
（６）当是零或负整数或当是零或负整数时，易得收敛半径为，此时收敛圆为．当不是零或负整数且当也不是零或负整数时，由
知，收敛半径为，此时收敛圆为．
６．设在内解析的函数有泰勒展式
试证：（１）令，我们有
（关于幂级数展式的系数的柯西不等式），
在这里；．
（２）由（１）再证刘维尔定理．
（３）当时，
证明（１）由幂级数的系数与和函数的关系（或泰勒定理及幂级数展式的惟一性）得，
再注意到第３章的柯西不等式即得
（２）设为整函数且有界，即在复平面上解析，且存在，使得在复平面上，．由泰勒定理，在复平面（）上，
取为任意大的正数，显然，由（１）得，当时，
所以在复平面上，．
（３）因圆周为闭集，由幂级数的收敛性，
在上一致收敛且绝对收敛，从而也在上一致收敛且绝对收敛（这是因为
于是，由绝对收敛级数的乘积性得，在圆周上
绝对收敛且一致收敛（注意上式变形中用到了）．令，则
在上绝对收敛且一致收敛．由一致收敛级数的逐项积分性并注意到
７．证明：如果在及内，我们分别有
其中，而且在上连续，那么在内
证明　（方法１）对任意，当时，有，所以由幂级数的内闭一致收敛性
在上一致收敛．又由题设易知在上有界，所以
在上也一致收敛．于是由逐项积分性并注意到即得
（方法２）由题设和幂级数的内闭一致收敛性及绝对收敛性易得
在圆周上一致收敛，于是，由逐项积分性并注意到，当时，
８．设是任一复数，证明．
证明　因对任意复数，，所以
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已知Fibonacci级数的定义为： （1）F(1)=F(2)=1； （2）F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n&=3） 要求输入Fibonacci级数的项数，单击“计算”按钮，在窗体上显示各个级数项，显示时每行5个，如下图所示。请用递归算法写出过程程序实现之。
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级数收敛证明已知级数 An^2（n=1到正无穷） 收敛
|An|/n收敛
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扫描下载二维码已知级数Un收敛,limVn Un=0
对于正项级数来说是成立的,但对于任意项级数来说则不一定成立了 再问： 能举个例子吗？ 再答： 比如说级数un=(-1)^n/√n显然交错级数收敛 而vn=(-1)^n/√n+1/n 易知limvn/un=1 但vn发散(vn可表示为一个收敛级数与一个发散级数之和，显然是发散的)
不妨考虑上述的例子.(引自中科大的数学分析教程上册)
在∑|an|收敛的前提下, 不能确定∑n·an的敛散性.例如an = 1/n³, 此时∑n·an = ∑1/n²收敛.而对an = 1/n², 此时∑n·an = ∑1/n发散.而∑an/n一定是收敛的.因为∑|an|收敛, 由比较判别法知∑|an|/n收敛.即∑an/n绝对收敛, 从而也
1.发散,因为0.001n会趋于无穷2.发散.因为1/Un会趋于无穷
第一题记得用abel变换可以做(另外括号里是ak吧?) 第二题把相同的项合并,因为|(-1)/n|->0所以两个级数收敛性等价.然后证明每个(-1)的系数正负交替且递减就行了补充：第一题过程如下：Sn为部分和,S为和,那么原式等于(nSn-S1-S2-...-S(n-1))/n=M.取e>0,那么存在N>0使得n>N=
极限是-1/2.级数收敛的必要条件是加项趋于0,所以(2+1/un)→0,从而1/un→ -2,即un→ -1/2.
级数收敛的必要条件是一般项必须趋于0,这是级数的定理.因此：lim[n→∞] un=0 ∫∫ 1 dxdy=∫[0→2] 1dy∫[1→4] 1 dx=2×3=6
你的定理一是错的,定理二是因为得证了奇数偶数项级数收敛于同一个极限才有的
这题题目错了.既然题目里面没有说∑an的极限和∑cn的极限相等,又没有说an、bn、cn都大于零之类的条件,是不能判断收敛性的,有可能出现∑bn是震荡的而不是收敛的.
收敛的这是比较标准的敛散判定例题判定方法如下a1=√2=2cospi/4a2=√(2-√2)=√(2-2cospi/4)=2sinpi/8a3=2sinpi/16an=2sinpi/2^(n+1)所以,所给级数可化为：2(sinpi/4+sinpi/8+sinpi/16+...+sinpi/2^(n+1)+...那个和
∑an(2^n)和∑an(-2^n)第一个收敛,第二个发散不矛盾.题目没说an是正项级数,不要先入为主的这么认为.绝对级数收敛原级数一定收敛跟这个不矛盾,注意看绝对级数的定义,加了绝对值的.本题选D.
|an*bn|=|an|*|bn| 再问： 此解，大大出乎我的意料，因没有用不等式解题的意识！
n^2+x^2≥n^2级数的一般项的绝对值≤|an|/n≤(an^2+1/n^2)/2 由比较判别法,原级数绝对收敛故收敛域为一切实数
用Un=Sn-Sn-1代入2Sn^2=2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)Sn-1-Sn=2SnSn-11/Sn-1/Sn-1=2所以1/Sn=1/2+2(n-1)得到Sn=1/(2n-3/2)U1+U2+...+Un=Sn=1/(2n-3/2)当n趋向无穷时,Sn趋向0,所以是收敛的.
设xn收敛于a则对xn＝1+xn/xn+1的等式两边取极限有：a=(1+a)/a解得a=(1±5^0.5)/2又由于x(n+1)=1+1/xn且x1=1>1所以任意xn>0故a=(1-5^0.5)/2(∞)=(1+5^0.5)/2 再问： 两边极限是不是a＝1 a/a 1啊 再答： 两边取极限是a=(1+a)/a啊~
要使气球升空，其所受浮力应等于球及仪器的总重力，由氢气球排开空气的体积与自身的体积相同可得，ρ空气gV空气=ρ氢气gV氢气+m总g．则ρ空气V空气=ρ氢气V氢气+m总，将氢气球的密度为0.09kg/m3，空气的密度为1.29kg/m3，气球所载仪器及球皮的总质量为2.7kg等数据代入，解得V氢气=2.25m3，故答案为
生理盐水每瓶250mL,四瓶共1000mL,密度近似为1g／mL,溶质质量分数为0.9℅,1000mL*1g／mL*0.9℅=9g答：4瓶生理盐水所含氯化钠的质量约为9g
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