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&matlab对复杂函数求导后结果很长，我想把求导结果写出来不现实，请问能否对结果简化？
matlab对复杂函数求导后结果很长，我想把求导结果写出来不现实，请问能否对结果简化？
作者 孙雯雯
matlab对复杂函数求导后结果很长很长，我想把求导结果写出来，写成正常的书写形式，请问能否对matlab计算的结果进行简化？求高手赐教~万分感谢！
做个图形说明一下也可以!
引用回帖:: Originally posted by wurongjun at
做个图形说明一下也可以! 我想用所得到的结果作为函数，必须得写出来，想问一下怎么才能将那么长的式子简化成分式结构写出来
我来回答，瞬间秒杀全场
是Simplify
MATLAB出来的结果很多情况下已经是最简形式了。。。
引用回帖:: Originally posted by 孙雯雯 at
我想用所得到的结果作为函数，必须得写出来，想问一下怎么才能将那么长的式子简化成分式结构写出来... 比如表达式有几页纸,你写出来也没有都多大意义!
而你画一个图形说明一下,完全可以，
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在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签
可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。 ）
回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由
个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量
的维度为 ，其中
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：
在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标
个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有
个不同的类别。
对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计
的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个
维的向量（向量元素的和为1）来表示这
个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数
形式如下：
是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号
来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将
按行罗列起来得到的，如下所示：
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中， 是示性函数，其取值规则为：
值为真的表达式
值为假的表达式 。举例来说，表达式
的值为1 ，的值为 0。我们的代价函数为：
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：
可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的
个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将
分类为类别
的概率为：
的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
让我们来回顾一下符号 "" 的含义。 本身是一个向量，它的第
是 对 的第
个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量
中减去了向量 ，这时，每一个
都变成了 ()。此时假设函数变成了以下的式子：
换句话说，从
完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 。
进一步而言，如果参数
是代价函数
的极小值点，那么
同样也是它的极小值点，其中
可以为任意向量。因此使
最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于
仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）
时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量
（或者其他
中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的
（其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
我们通过添加一个权重衰减项
来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：
有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数
的导数，如下：
通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当
时，softmax 回归的假设函数为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:
因此，用 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数
k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
Softmax回归
Softmax Regression
有监督学习
supervised learning
无监督学习
unsupervised learning
deep learning
logistic回归
logistic regression
intercept term
binary classification
类型标记 class labels
估值函数/估计值 hypothesis
cost function
multi-class classification
weight decay
曾俊瑀（）, 王方（），王文中（）
Softmax回归 |
Language&:
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This page was last modified on 8 April 2013, at 05:38.
This page has been accessed 372,860 times.确定一次函数表达式
3y=kx+bx=5y=2x=2y=1
4yx1x=5y=3
4y=kx1k51=3
y=2x+3y=3x+8Cxy
6yxy=1.5x1x6
6yxy=9+6x6=6x27x&6
y=6x27=6827=21
x=8y=6x27x&6
　　故此函数的表达式为．y=3x－4．
　　点拨：解此类题要用整体观点，即把y+b、x+a及ka－b分别看成整体．
　　例2& 判断三点A(1，3)、B(－2，0)、C(2，4)是否在同一条直线上，为什么?
　　点悟：三点共线的判定方法是：先任取两点，求出这两点所在直线的解析式，然后验证第三点是否满足所求出的解析式，如果满足，则三点共线；如不满足，则三点不共线．
　　解：设过A(1，3)、B(－2，0)两点的直线的解析式为y=kx+b．
　　∴& 过A、B两点的直线的解析式：y=x+2．
　　将点C(2，4)代入y=x+2检验：
　　∵& 当x=2时，y=2+2=4．
　　∴& C(2，4)满足y=x+2．
　　∴& 点C也在直线y=x+2上．
　　故A、B、C三点在同一条直线上．
　　点拨：直线的函数解析式均可设为y=kx+b．
　　例3& 已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应的函数值范围是－11≤y≤9，求此函数的解析式．
　　解：当k&0时，∵y随x的增大而增大，
　　∴& 由－2≤x≤6& 得：6k+b≤kx+b≤－2k+b，
　　即：－2k+b≤y≤6k+b．
　　又∵& －11&y≤9，比较可得：
　　& 解得
　　∴& 此函数的解析式为．
　　当k&0时，∵y随x的增大而减小．
　　∴& 由－2≤x≤6得6k+b≤kx+b≤－2k+b，
　　即& 6k+b≤y≤－2k+b．
　　又∴& －11≤y≤9，比较可得：
　　&&& 解得
　　∴& 此函数的解析式．
　　故本题有两个解．
　　例4& 如图6－9，已知一次函数y=mx+4具有性质：y随x的增大而减小．又直线y=mx+4分别与直线x=1、x=4相交于点A、D，且点A在第一象限内，直线x=1、x=4分别与x轴相交于B、C．
时，求这个一次函数的解析式；
　　(3)在(2)的条件下，设直线y=mx+4与y轴相交于点F．求证：点D是△EOF的外心．
　　点悟：(1)由已知一次函数y=mx+4的值随x的增大而减小，说明m&0，直线y=mx+4呈下降趋势．由图象与直线x=1的交点A在第一象限内可知，要使四边形ABCD是凸四边形，交点D应在第一象限，因此点D的纵坐标大于0．解不等式即可求出m的取值范围．(2)由平行线的对应线段成比例的性质，可得关于m的方程，解方程即可．(3)△EOF是Rt△，只要证明点D为斜边EF的中点即可．
　　解：(1)∵& y随x的增大而减小，
　　∴& m&0．
　　∵& 直线y=mx+4分别与直线x=1，x=4相交于A、D．
　　∴由&&&
　　解得& A(1，m+4)，D(4，4m+4)．
　　∵& 点A在第一象限内，
　　∴& m+4&0，即m&－4．
　　又∵& 四边形ABCD为凸四边形，
　　∴& 4m+4&0，即m&－1．
　　综上所解m值，得m的取值范围是－1&m&0．
　　(2)∵& 四边形ABCD为凸四边形，
　　∴& m+4&0，4m+4&0，
　　∴& AB=m+4，CD=4m+4．
　　又∵& AB、CD都垂直于x轴，
　　∴& AB∥CD．
　　解得& 。
　　∴& 此一次函数的解析式为．
　　(3)由可得此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为E(8，0)，F(0，4)．
　　∵& 点C(4，0)，∴& OC=4．
　　∵& CE=OE=OC=8－4=4，
　　∴& OC=EC，即C是OE的中点．
　　又∵& 在Rt△EOF中，DC∥OF，
　　∴& CD是Rt△EOF的中位线，
　　∴& D是EF的中点．&&
　　因此点D是Rt△EOF的外心．
　　点拨：本题是函数与几何知识的综合题，解这类题的关键是运用数形结合思想，借助图形，紧紧抓住几何图形的性质，以几何推理为基础，寻找相关量之间的关系，从而达到求解的目的．
　　例5 &已知：如图6－10，直线PA是一次函数y=x+n(n&0)的图象，直线PB是一次函
　　数y=－2x+m(m&n)的图象．
，AB=2，试求点P的坐标，
　　并写出直线PA与PB的表达式．
　　点悟：(1)把y=0代入y=x+n，即可求得A点坐标，同法再求点B的坐标；(2)由面积和AB=2，求m、n的值即可．
　　解：(1)∵& 点A是直线y=x+n上的点，且在x轴上．
　　∴& 把y=O代入y=x+n，得x=－n，
　　∴& 点A的坐标为(－n，0)，
　　同理可求出点B的坐标为(，0)．
　　因为点P是直线y=x+n与直线y=－2x+m的交点，所以点P的坐标是方程组
　　的解&&& 为
　　∴& 点P的坐标是．
　　(2)如图，连结PO，则有
　　由已知，及AB=AO+OB=2，
　　整理，得，解得n=±1．
　　∵& n&O，∴& 只能取n=1．
　　把n=1代入②，得& m=2．
　　∴& m=2，n=1．
　　把m=2，n=1代入①中求得的，得点P的坐标为．
　　把m=2，n=1分别代入y=x+n，y=－2x+m中，得PA、PB的表达式分别为
　　y=x+1和y=－2x+2．
　　点拨：(1)是应用了坐标轴上的点的坐标的特点；(2)是利用割补法求面积，基本思想是全面积等于各部分面积之和．割补的原则一般是：尽可能地使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上．因为这样的三角形面积比较容易计算．
　　2．若点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，a)在同一直线上，则a的值为(&&& )
　　(A)6&&& (B)－6&&& (C)±6&&& (D)3或6
　　3．a为任意实数，一次函数y=ax－2a+1的图象必过一定点，此定点坐标是(&&& )
　　(A)(0，1)&&& (B)(1，2)
　　(C)(2，1)&&& (D)(2，0)
　　4．若直线y=kx+2k+l与直线的交点在第一象限，则k的范围是(&&& )
　　(A)&&& (B)
　　(C)&&&&&&&& (D)
　　5．若直线y=x+3k与直线y=2x－6的交点在y轴上，则k等于&& (&&& )
　　(A) &&&&(B)2&&& (C)－2&&& (D)
　　6．如果函数y=ax+2的图象与y=bx－3的图象交点在x轴上，则等于(&&&
　　(A) &&&&&(B) &&&(C)&&& (D)
　　7．在同一坐标系内，直线y=－2x+5，y=－2x－5，y=x+5，y=x－5所围成的图形是(&&& )
　　(A)矩形&&& (B)平行四边形
　　(C)菱形&&& (D)正方形
　　8．直线y=mx+4，x=1，x=4及x轴围成的图形的面积为7，则m等于(&&& )
　　(A)&&& (B)&&& (C)&&& (D)－2
　　二、填空题
　　9．若一次函数，（，，，均不为零）的图象交于x轴上一点，则字母系数，，，的关系式是________.
　　10．若直线y=kx+b与y=bx+k相交于点(2，3)，则k=______，b=_______.
　　11．直线y=2x－1的图象沿x轴向________平移_______个单位图象恰好通过点(1，3)．
　　12．把直线沿y轴正向平移5个单位后，所得直线的表达式为________.
　　三、解答题
　　13．已知，y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=－1．
　　(1)写出y与x之间的函数关系式；
　　(2)如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
　　14．求一次函数y=－2x－3图象与坐标轴的交点和增减性．
　　15．已知一个一次函数，当x=3时，y=－2；当x=2时，y=－3．求这个一次函数的表达式．
　　16．已知一次函数．
　　(1)求其图象与坐标轴围成的图形的面积；
　　(2)求其图象与坐标轴的两个交点间的线段AB的长度；
　　(3)求原点到该图象的垂线段OC的长度．
Am=2&&&&&&&&&&&&&&& Bm=0&&&&&&&&&&&&&&& Cm=02&&&&&&&& D
2y=mx+n(&&& )
Am&&&&&&&&&&&&&&&&&&& Bm&&&&&&&&&&&&&&& C2mn&&&&&&&&&&&& Dm2n
3y=3x2(&&& )
A&&&&&&&&&&&&&& B&&&&&&&&&&&&&&&&&& C&&&&&&&&&&&&&&&&& D
40x3y(&&& )
A0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B&&&&&&&&&&&&&&&&&& C&&&&&&&&&&&&&& D2
5y=kxk&0_________yx_________
6y=2x+b21b=_________
7y=ax+b036a=_________b=_________
8yzz+1xx=1y=1x=0y=3yx
131k0y=p+kx2131
14x=0y03y=0x
1y=0x=0A30B04
　　则& ，∴& 。
【同步达纲练习二】
　　1．A；2．D；3．B；4．A；5．一、三方；增大；
　　6．3；7．（别遗漏）；－3
　　8．设z+1=kx，则z=kx－1，又设y=mz=m（kx－1）=mkx－m．
　　当x=1时，y=1，∴& 1=mk－m，
　　当x=0时，y=－3，∴& －3=0－m，
　　解得m=3．，
　　∴& y=4x－3；
　　9．令x=0，∴& y=4a－1&0，∴& ，
　　又∵& y随x的增大而增大，∴& 1－a&0，∴& a&1，
　　∴& a的取值范围是；
　　10．（1）如图所示；
　　（2）；
　　（3）C点坐标为（0，4），∴& AC=8，BO=3，
　　∴& △ABC的面积为，
　　周长为AB+BC+CA=5+5+8=18．
　　11．（1）∵& 购买桔子为x千克，则购买苹果为（1000－x）千克，
　　根据题意得y=3000－4x－2（1000－x），
　　即y=1000－2x．（要注意实际问题中的数量关系与等量关系）
　　∴& y与x之间的函数关系式为y=1000－2x．
　　（2）∵& 购买桔子不少于100千克，∴&
x≥100，又∵& y≥0，
　　∴& 1000－2x≥0，∴& x≤500，
　　当x=500时，1000－x&100．
　　（解决实际问题的关键是将实际问题转化成数学问题，所以考虑自变量取值范围要使实际问题有意义）
　　（3）当y=0时，x=500．
　　∴& 小李想把3000元都花掉，应买500千克桔子，500千克苹果，
　　（4）当y=100时，x=450，
& 100450550当前位置：
＞＞＞如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式..
如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式，并写成的形式； （2）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
题型：解答题难度：偏难来源：江苏模拟题
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入& 得&& 解得&&&&∴二次函数的表达式为． && 即（2）将（m，m）代入，得 ，&& 解得。& &∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴ m=6& &∵点P与点Q关于对称轴对称，&& ∴点Q到x轴的距离为6．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
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