拒绝访问 | fanwen.bdfqy.com | 百度云加速
请打开cookies.
此网站 (fanwen.bdfqy.com) 的管理员禁止了您的访问。原因是您的访问包含了非浏览器特征(3ebebdd-ua98).
重新安装浏览器，或使用别的浏览器数学疑难问题解答_甜梦文库
数学疑难问题解答
一年级上册疑难问题解答一、 “数一数”单元教学目标过于单一，内容单调，能否将其与“比一比”单元合并为一个单元？ 1．为什么将两部分内容分开编排？ “数一数” “比一比”以及“分类”三部分内容在原通用教材中均编排在“准备课”一个单元中。实验教材 将它们分开编排，主要基于如下考虑： （1）在入学前，儿童对数学知识的掌握存在较大的个体差异。为了全方位的了解学生数数、认数的情况， “数一数” 单元编排时在原通用教材的基础上拓宽了场景， 丰富了情境中的资源， 将人物数量增加到 20 个， 给学生提供充分展示其已具备知识的机会， 以便老师在今后数的认识和加减法的教学中能够做到有的放矢， 因材施教。另一方面也有助于老师结合本单元的内容帮助学生熟悉自己的校园环境。从这个意义上讲， “数 一数”单元的内容虽然简单，但作用是很重要的，它对后面有针对性地教学非常有帮助。 （2）比较和分类是儿童学习数学知识的基础内容，也是解决数学问题时常用的方法。为了充实学生的相关 知识，编排时，在“同样多、多些、少些”的基础上，增加了比长短、比高矮等具体量的比较构成“比一 比”单元；在按单一标准分类的基础上，增加了按不同标准分类的内容，构成“分类”单元。 综上所述，各部分内容分开编排可以为学生提供更丰富的数学知识。 2．教学中面临的问题。 （1）这一单元反复让学生数图中事物的个数，学生会觉得比较枯燥，如何培养学生数数的兴趣？ 吸引学生兴趣的方法有很多。有的老师把主题图制成课件，使人物和情境动态化，学生对这样的画面很感 兴趣，也愿意数画中的事物；有的老师将学校的背景画在黑板上，边画边请学生说一说画了什么，有几个； 很多老师还在主题图的基础上让学生们数一数身边的事物，例如教室、校园里的事物，将数数活动和学生 的学习、生活紧密结合起来。学生对这样的活动会很感兴趣。 （2）如何把握教学要求？ 本单元是准备课，虽然出现了 1～10 各数，但并不是正式教学，不要求学生掌握 10 以内的数数，也不要求 学生认识 1～10 各数。只是让老师全面、充分地了解学生数数和认数的情况，不仅要了解学生是否会口头 数数、会认数，还要了解每一个学生是否能按要求正确地数出物体的个数来。二、在本册教材中出现了“从左数……”，“从右数……”的要求，但是学生尚未正式学习左、右 在本册教材中出现了“从左数……”， 从右数……”的要求，但是学生尚未正式学习左、 ……” ……”的要求 的概念，这样的要求对学生是否会太难？ 的概念，这样的要求对学生是否会太难？左右的正式教学安排在一年级下册进行。但是在一年级上册的某些习题中出现了“从左 数……”“把右数的……”等要求，很多老师担心学生不能正确理解。其实，这里说的左右不涉及左右的 相对性，仅仅是指学生以自我为中心确定左右。学生根据自己的身体线索──左手、右手，左眼、右眼以 及写字、读书的顺序等日常生活经验完全可以进行判断。如 果个别学生判断困难，老师可以进行适当的提示，例如，“给从左数第 4 只小鸟涂上颜色，也就是从你的左手边数第……”以帮助学生明确题目中左、 右的含义。三、在分类教学中，有的学生分类的结果与答案不符，老师应如何评价？ 在分类教学中，有的学生分类的结果与答案不符，老师应如何评价1学生已有的知识经验不同，对问题的认识和理解也存在差异。例如，题目的要求是“找出上图中不 同的是什么？”个别学生的答案是护士，因为只有护士戴帽子。对学生的这类看似有一定道理的答案该如 何评价呢？我们认为，当学生出现这种答案时，老师首先要肯定他积极回答问题，但是老师不要鼓励学生 这样的思考方式，而是引导学生抓住事物间的本质特征进行分类，否则学生会认为这种“标新立异”的分 类结果是值得提倡的，从而导致头绪众多，结果繁杂，失去了分类教学的意义，也达不到教学目标。可以？ 四、在看图列式时，已知总体求部分，学生列加法算式是否 可以？ 在看图列式时，已知总体求部分，由于图中两部分的数目都可以数出来，所以学生这样列式是有一定道理的， 老师不应该断然否定。但这不等于可以放任学生的想法，老师还是要正确引导学生 理解题意，明确图中的条件和问题，否则一旦形成了这种解决问题的模式，学生今 后解决类似问题时会遇到一定的困难。例如，当数目增大，不能通过数数知道两部 分的确切数目，学生的这种解题思路就会受挫。如果在教学中遇到这类情况，建议 老师不要急于对学生的答案作对错的评价，可以先请学生依次说一说这张图提供了 什么信息，问题是什么，然后逐步帮助学生理清图中的条件和问题，明确这类问题 应用什么方法解决，从而达到学生正确列式计算的目的。在数的认识和加减法单元教学数的分解、组成是否有必要？ 五、 在数的认识和加减法单元教学数的分解、组成是否有必要？ 数的分解、组成作为数概念的一部分，是一种非常直观的表达方式，在数的认识和加减运算中起着 很重要的作用。 首先，它可以加深学生对数概念的理解，巩固对数的大小和数序的认识；其次，数的分解组成对学 生建立一图四式的表象、理解加减运算的关系是很有帮助的；再次，数的分解、组成也是进行加减计算的 基础，尤其是 10 的分解和组成，在计算进位加法与退位减法时要经常用到。基于以上考虑，仍然应将“数 的分解、组成”作为重要的内容进行教学。 认识物体和图形”单元教学中的两个争论。 六、 “认识物体和图形”单元教学中的两个争论。 1．能否先教学平面图形，再过渡到立体图形。 我们提倡老师根据学生的具体情况灵活使用教材。如果在教学中，老师认为先教学平面图形的效果 更好，是可以进行调整的。教材先编排立体图形，之后再是平面图形，主要是基于以下考虑:(1) 在现实生活中学生直接接触的基本是立体图形，而对平面图形的感知比较少，将立体图形的认识编排 在平面图形之前， 可以借助学生日常已有的图形经验以及对物体的操作活动帮助学生感知几何形体的特征， 建立清晰的表象。(2) 教材通过立体图形和平面图形的关系引入对平面图形的认识，在向学生渗透面构成体的关系的同时， 也帮助学生感受知识转化和形成的过程。2．用球是否可以画出圆？在完成练习五第 5 题时，老师们在“用球是否能画出圆”这一问题上存在争论。从理论上讲，如果 通过一些工具把球固定住，让铅笔始终垂直纸面，沿着球画大圆，就能够画出圆来。虽然在理论上可行， 但在实际操作中存在着很大的难度。不过在实际教学中确实有过学生解决了这一难题。学生用硬纸板把球 紧紧地包裹起来，形成一个圆柱竖在桌子上，然后沿着这个圆柱的底的边缘画出圆。这种方法成功地运用 了“转化”的思想，巧妙地将“用球画圆”转化为“用圆柱画圆”，对变换思路、解决问题颇具启发。七、教学“认识钟表”单元时的几点困惑。 教学“认识钟表”单元时的几点困惑。 1．学生对半时的认识比较困难。 “认识钟表”这一单元在认识整时的基础上，增加了认识半时。有老师提出由于学生没有学过 1 时 ＝60 分，在用电子表显示半时的时候，学生对双点右边的“30”表示半时不易理解。其实，在这部分内容 的教学中，学生只要知道 “30”表示半时，知道半时怎么写就达到要求了，不要求学生根据时、分的关系2进行推理。所以，教学时注意不拔高要求，并在日常生活中培养、巩固学生对时间的认识，学生基本能够 达到教学目标。 2．一段时间是否也用“时”表示？ 有关时间叙述和书写的问题， 我们依据的是国家计量局颁布的 《常用法定计量单位名称与符号简表》 。 简表中有关“时间”的具体规定如下： 量的名称 单位的中文名称 （亦读法） 时间 年 小时 分 秒 点钟 分钟 秒钟 国际符号 a h min s 中文符号 年 时 分 秒 错误的单位名称 正确的单位符号根据此规定，在书写单位名称时，只使用“年”“时”“分”和“秒”，在叙述时可以使用“小时” 和“分钟”。 八、关于实践活动的几点疑问。 关于实践活动的几点疑问。 1．实践活动中的个别内容在课堂上操作有困难。 在本套教材中，低年级的实践活动主要是采用一些具有现实性和趣味性的活动材料，以游戏的形式 帮助学生巩固所学数学知识，在活动中经历数学知识的应用过程。 有的老师认为，个别实践活动的内容在课堂上不好操作。其实，教材中实践活动的内容仅仅是提供 学生活动的资源或线索，在实际教学中，老师可根据学生的情况进行增减或修改，从而使活动的可操作性 更强，切实提高学生从实际生活中提出数学问题的能力和“用数学”的意识。 2．实践活动内容较多，一节课很难完成所有活动。 教学中，可以灵活安排实践活动的时间，老师不必在一堂课内完成所有的游戏，可以将活动分散进 行。例如，在学习加减法后进行送信的活动，在学习序数后进行起立的游戏……此外，活动的形式也可以 多样。例如，将学生分为几个小组，由老师安排或小组选择要做的活动，这样做既提高教学效率，也可以 让学生在共同活动中体会同伴合作和游戏的乐趣。一年级下册疑难问题解答一、为什么“上下、前后、左右”的认识安排在一年级下册？ 为什么“上下、前后、左右”的认识安排在一年级下册？有的老师认为上下、前后、左右的概念比较简单，一年级上册教学序数时（如下图），就要辨别左 右，所以这部分内容安排在一年级上册比较合适，安排在一年级下册晚了些。从左数，小女孩排第几？妈妈排第几？教材现在这样的编排有如下考虑。3（1）在认识左右的教学内容中，包含着对左右的相对性的认识。而左右的相对性对儿童来说理解起 来比较困难。心理学研究表明，儿童一般要在 7～9 岁，才能逐渐形成以他人为标准辨别左右的能力。如果 按此规律，学生在 8 岁时，也就是在二～三年级时，学习左右相对性比较适宜。但考虑到学前教育，以及 后续知识的学习等因素，教材把左右的相对性内容安排在一年级下册。当然如果不涉及左右的相对性，这部分内容完全可以安排在一年级上册。考虑到左右的相对性在日 常生活不可避免，因此有必要让学生初步感知体会，所以教材中安排了左右的相对性内容。（2）一年级上册教学中，学生在没有认识左右时，就要回答类似“从左数起（或从右数起），谁在 第几？”的问题，这时就要先辨别左右再数数。由于我们读书、写字等都是按从左往右的顺序进行，所以 在教学序数时可以利用学生这些已有的生活经验。二、左右的相对性教学尺度问题。 左右的相对性教学尺度问题。1．如何把握左右的相对性的教学要求？考虑到左右的相对性认识的难度，教材只是通过游戏和活动让学生初步感知体会，没有安排脱离操 作判断左右相对性的习题。教学时，也应该根据一年级学生的年龄特点，组织适宜的活动。如两个同学面 对面，老师发口令：拍拍自己的左（右）肩，拍拍对面同学的左（右）肩……学生按口令活动，让学生在 活动中体会左右的相对性。所以这部分内容不宜作书面考试。2．在练习中如何判断左右的相对性？有老师反映，在左右的练习中，有时左右的相对性回避不了。如上图“女孩的左边是谁？”就有不 同的答案，引起了不必要的麻烦。其实上述问题就是判断左右时以谁为标准的问题。以谁为标准，一般要根据具体情况来确定。为了 便于说明我们把观察的对象按属性进行分类。（1）观察的对象是无生命的物体（如下图），一般确定左右的标准是观察者。圆的左边有（3）个三角形，右边有（4）个三角形。（2）观察的对象是人或动物，有两种情况。①当问及的问题涉及到人或动物身体的左右时（如下图），一般以人或动物为标准。他（右）手拿着计算器。小猫抬的是（左）爪。4②当问及的问题不涉及到人或动物身体的左右时（如下图），以谁为标准皆可。女孩的左边是谁？小狗的右边是谁？如上左图，如果以观察者为标准，女孩的左边就是奶奶；如果以女孩为标准，女孩的左边就是爷爷。 像这样判断照片中某人的左边或右边是谁时，以照片中的人或看照片的人为标准都是可以的。但为了避免 不必要的麻烦，最好是标明参照的标准，如给下图中的某人或某动物加上标明参照标准的说话框，这样就 没有异议了。三、有关计算教学的问题。 有关计算教学的问题。1．有关算法多样化的问题。计算教学提倡算法多样化，是这次课程改革中计算教学方面的一个显著特点。其内涵主要是尊重学 生的个体差异，鼓励学生独立思考，积极主动地解决问题。这一点也得到了老师们的认可，并很快在课堂 中得到明显体现。但随着改革的逐步深入，一些问题浮现出来，老师们也由最初的激情实践，转为理性思 考。（1）是不是算法越多越能体现多样化？答案是否定的，因为算法多样化追求是尊重差异、尊重本色、尊重真实，学生自发想出的算法是最 真实、最本色的。因此教学应实事求是，应主要呈现学生自发想出的算法，然后进行分析比较，在此基础 上再选择或推荐一般性的算法。不能为多样而多样，让学生绞尽脑汁，想出与众不同的，费解的算法。（2）如何处理学生的多种算法？对于学生出现的算法，不能散乱的摆放在黑板上，应该进行分类梳理，逐一分析算理。我们结合“20 以内的退位减法”来说明。如 12－9，学生可能会出现下面一些算法。①破十法：10－9＝1，2＋1＝3。②连续减：12－2＝10，10－7＝3。③想加算减：9＋3＝12，12－9＝3。 5④其他，如数数，联想：11－9＝2，2＋1＝3 等。对于这些方法，不能只停留在罗列的层面上，应在分类梳理的基础上选择一般性的算法，如第①～ ③种，让学生理解其算理。可采用先让汇报学生讲算理，再让其他学生复述算理的方式，使学生了解他人 算法，修正自己的算法，在原有的基础上得到进步和提高。（3）在多种算法中教师能否有一定的倾向性？在诸多算法中，有特殊算法和一般性算法。特殊算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响， 某种特殊算法对某人或某一题比较适合，但对另一人或另一题可能就不方便了，有的虽然可行，但操作烦 琐，效率比较低。而一般性算法具有通用性和简捷性，一般不受个体和题目的限制，是通法通则。如上面 呈现的“破十法”“连续减”以及“想加算减”都是一般性算法，其中最具优势的是“想加算减”。其原 因是：第一，简便快捷。 因为“破十法”、“连续减”都需要两步，而“想加算减”只需一步。它对后续 学习非常重要，如在多位数减法中，当某一步需要退位时，如果用“破十法”或“连续减”计算，仅退位 这一步就需要两步计算，如此下来整个计算步骤就会增加，出错率也会增加，如果用“想加算减”整个计 算就变得简捷明了。第二，沟通了加减法的内在联系。第三，能帮助学生进一步巩固 20 以内的进位加法， 具有一举两得的功效。既然“想加算减”有如此多好处，那么教师能否倾向于“想加算减”？回答是当然 可以，但要注意处理好算法多样化与一般方法之间的关系。在开始学习时，几种一般性算法可以由学生根 据自己的特点灵活选择，在以后的学习中再采取一定策略，让学生逐步体会“想加算减”的优势，促使学 生自发选择和掌握“想加算减”的方法。2．本册的计算，在熟练程度上有无量化标准？本册的计算都是最基本的，按照《数学课程标准》第 56 页评价建议中提出的相关目标，到学期末学 生应能比较熟练地进行计算，“20 以内的退位减法”绝大多数学生应达到每分钟做 8～10 题，“100 以内 的加减法” 绝大多数学生应达到每分钟做 2～3 题。教学时，教师可以根据学生的实际情况按此标准适当 调整。3．如何处理练习量不够的问题？本册计算非常重要但练习量不够，学生要达到计算熟悉仅靠课本上的习题远远不够。借助一些常规 性的口算训练方式，可能对熟练掌握本册计算有所帮助，现简要介绍几种，供参考。（1）制作口算卡片，经常练习。可以用硬纸自制，每张纸大约长 25 厘米，宽 10 厘米，上面写一道算式，供课堂练习用。练习时， 可以根据一年级儿童的特点，以“开火车”“找朋友”“给小动物找家”“对号入座”等游戏、比赛方式 进行。最好每天坚持课前 5 分钟的“开火车”口算训练。（2）印制口算题单。在 32 开大小（即课本大小）的纸上印制口算题，每页印 3 栏，每栏 20 题（带等号），共 60 题。教 学时，可以根据进度和需要选择合适的条目进行练习。练习时，学生可以拿一张纸放在一栏试题的右边， 对准每道题直接写出得数。可以分别记出所用时间，全部算完以后，大家一起对得数，看谁算得又对又快； 也可以全班同学同时进行练习，规定一个时间，在同一时间内看谁算得又对又快。这种练习，不费多少时6间，全班每人都能得到练习。经常做这样的练习，还可记录每个学生的进步情况。这种题单，可以反复使 用。除此之外，还应经常了解学生的情况，不断采取针对性的措施帮助有困难的学生逐步达到要求。四、“图形的拼组”教学应注意的问题 图形的拼组”“图形的拼组”是在一年级上册初步认识了常见的立体图形和平面图形的基础上编排的，其目的是 让学生用所学的平面图形和立体图形拼摆出新的图形，体会平面图形间和立体图形间的关系。但这部分内 容容易上成手工课或拼摆各种有趣图案的活动课，使教学重点偏离教材编排的初衷。因此教学中应注意以 下一些问题。1．在动手操作中，突出图形的变换。本单元所设计的活动，不论是做风车、折飞机，还是图形的拼组，都是为了让学生在活动中体会图 形间的关系，因此在操作时要注重让学生描述图形的变换过程。（1）在折纸活动中描述图形的变化。如做风车，不能只是让学生学习如何做风车，而且还应该让他们边折边按下图中的文字说明图形的 每一步变换过程。（2）在拼组活动中描述图形的变换。在拼组活动中，应让学生说明是用什么形状的图形拼成了什么新的图形，由此体会图形间的变换关 系（如下图）。（3）在剪、卷活动中描述平面图形和立体图形的变换关系（如下图）。72．注意通过多种层次的拼组活动体会图形间的变换关系。拼组活动，教材只呈现了一些简单的范例。教学中，教师可以组织丰富的有层次的活动，让学生体 会图形间的变换关系。如平面图形之间的变换关系可以分这样几个层次：（1）用相同形状的图形拼出同样形状的图形。（2）用相同形状的图形拼出不同样形状的图形。（3）用不同形状的图形拼出新的图形。立体图形之间的变换关系的活动层次可以参照平面图形。五、有关“人民币的认识”的教学问题。 有关“人民币的认识”的教学问题。1．小数表示的人民币的计算要求到什么程度？有老师反映在“人民币的认识”中，用小数表示的人民币计算，思维步骤较多，学生学习起来比较 困难。如下图，思维步骤有（1）将 1.20 元转化成 1 元 2 角，0.8 元转化成 8 角，列出加法算式。（2）将 1 元 2 角变换成 12 角。（3）计算 12 角＋8 角，等于 20 角。（4）将 20 角变换成 2 元。像这样涉及复名和 进或退位的计算要不要学生掌握？8人民币的认识离不开商品价钱，而在实际生活中，商品的标价大多是用小数表示的，因此教材出示 了用小数表示的人民币。但考虑到学生还未学习小数，所以这里出现的商品标价只出到角，并且只要求学 生知道几点几元（如 1.30 元）表示几元几角就可以了。而相应的小数表示的人民币的计算也主要是为认识 人民币服务的。像上面那样的计算，如果学生接受起来困难，可以在练习和考试时降低难度，如限定计算 范围，只出单名数的计算（如 0.4 元＋0.7 元）；如果要出复名数的题目，也不要涉及进位或退位，（如 1.2 元＋0.5 元）。这样调整后，学生接受起来可能会容易些。2．有些计算题超出所学范围怎么处理？人民币的计算，有个别题目的计算超出了所学范围。如第 55 页第 11 题（下图），一袋大米 20 元， 一桶油 39 元，问买这两样东西共要多少钱？解决这一问题，要算 20＋39，这样的计算要到下一单元“100 以内的加减法”才学，计算超出了范围，这样的练习如何处理？这样的习题在“100 以内的加减法”之前出现确实不妥， 在教材修改前， 可选用下面两个办法。 一是， 改变数据使计算限定在所学范围。 二是将 “人民币的认识”整个单元移到“100 以内的加法和减法 （一） ” 之后教学。以内的退位减法中的问题。 六、关于 100 以内的退位减法中的问题。教材第 68 页， 通过 36－8 教学两位数减一位数的退位减法， 呈现了学生摆小棒的计算过程 （如下图） 。 左边学生提出疑问：“36－8，6 减 8 不够减怎么办？”右边学生用“想加算减”的方法算：先从 3 捆中拿 出一捆打开和原来的 6 根合起来，变成 16 根，算 16－8＝8，再算 20＋8＝28。但实际教学中，如果摆小棒计算，学生不一定用这种方法。他们通常用“连续减” 和“破十法”。“连续减”这样想：36－8，先从 36 根中拿走 6 根，再打开一捆，拿出 2 根，最后剩下 28 根，所以 36－8＝28。“破十法”这样想：36－8，6 减 8 不够减，从 3 捆中打开一捆拿出 8 根剩下 2 根， 和原来的 2 捆零 6 根合起来，就是 28 根，所以 36－8＝28。那么现在如何处理学生的实际算法和教材算法 的关系？9这一问题实质上是如何处理“连续减”“破十法”和“想加算减”三种方法的问题。前面我们已经 谈到过，“想加算减”在多位数的退位减法中较其他两种算法有明显优势，在脱离操作，计算多位数的退 位减法时，用的都是“想加算减”的方法，所以教材主要呈现的是这种方法，提示教师在学生多样化的算 法基础上，引导学生学习和掌握这种方法。但要注意我们主张这种方法，并不是否定学生的算法，学生的 真实算法，可以反应出他们对已有知识掌握的程度，有助于对“想加算减”方法的理解和掌握。因此一定 要给予充分的肯定和鼓励，以保护学生积极主动解决问题的积极性和独立思考的良好习惯。七、如何克服认识时间的难点？ 如何克服认识时间的难点？一年级下册，教材安排了认识几时几分的内容，由于几时几分时，时针不是正好指着几时，学生分 不清到底是几时，所以认识比较困难，那么怎样才能克服这一难点？在这方面，不少教师探索出了一些好的经验，这里介绍给大家。一是，在整时的基础上，经常做一 些认几时多（差）一些的练习，以帮助学生分清在几时多（或少）时，时针的位置。二是，在教室里放一 钟表，把认识时间和学习生活联系起来，经常进行认读。二年级上册疑难问题问答 1一、关于加减法估算的问题1．估算的意义是什么？笔算、口算、心算和估算是小学生计算的几种主要方式，从计算结果的角度来看，笔算、口算、心算可归 入精确计算，而估算则可看作是一种近似计算方法。估算是对事物的数量或计算的结果做出粗略的推断或 预测的过程，也是学生计算能力的重要组成部分。在以往的小学数学教学中，比较注重学生笔算、口算能力的培养，对估算的要求较低。但在日常生活中， 人们往往又离不开估算，比如：从家到学校估计有 2 千米，步行上学估计要用 15 分钟；带了 10 元钱去买 菜，估计只能买一斤猪肉和 2 斤西红柿，18+23 经估算知结果应是 40 左右……所以《数学课程标准》明确 提出“应重视口算，加强估算”“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯” “能结合具体情况进行估算，并能解释估算的过程”。此外，估算与精确计算也并不是完全对立的，二者 也是互有联系。如笔算除法中的试商、粗略估计计算器得到的结果是否正确等都要用到估算；同样，估算 时也常常离不开基本口算，并且为了提高估算的精度，调整估算的策略，往往也需要以精确计算的结果作 为支撑。可见，从加减法运算开始逐步培养孩子的估算意识是非常必要的。2．加减法估算的方法与策略有哪些？与笔算和口算相比，估算的方法更加多样化，可采用的策略也是极为丰富的。就加减法估算而言， 主要就有：四舍五入法：48+3450+30=80；取‘整’*法：72－2670－20=50；前后协调法：54+2450+30=80……例如：教科书第 31 页的例 4，要计算 100 元钱买 3 种商品够不够，除已经呈现的 2 种算法外，还可 以先估计买茶杯和水壶大约要 50 元，剩下 50 元买茶壶够了等等。学生采用的估算方法不同，得到的结果 也会不一致，即使估算的结果相同，所采取的估算策略也可能是不同的。学生的估算方法，只要合理可行，10体现了估算的思想，都应给予鼓励。不要对学生的估算方法进行过多的评判，尤其不能以是否接近精确结 果为依据来判断估算方法的优劣。另外，教学中还应让学生意识到是否采用估算，以及估算方法与策略的选用也是跟具体的问题密切 相关。如一套水杯 24 元，一个热水壶 28 元，问带 50 元钱够吗？则就不应把 24 估得太低。二、有关长度单位的问题。 有关长度单位的问题。1．如何体现统一长度单位的意义？学生在一年级上册通过“比长短”的学习，已对长度概念有了一些直观认识，并会用“长、短、一 样长、短一些、长得多”等词语来形象描述物体的长度特征。但要精确描述一个物体究竟有多长，则只有 采用量化的结果才能完成。而量化的基础便是长度单位的确定，这即是第一单元教学内容的现实来源。在如何确定长度单位的问题上，教材引导学生自己选择感兴趣的物体作为长度单位来进行测量，进 而得出“为什么同一边量出的结果不一样呢？”和“不同边两个人量出的数据都相等”这样的疑问（见下 图），为探讨“统一长度单位”作了孕伏。教材仅是提供一个探究的线索，教学中还可结合古今中外有关量与计量制度演变的资料，让学生在 更广阔的视角下来审视统一长度单位的必要性。如可介绍中国古代秦始皇采取的“车同轨,书同文,统一度 量衡”等举措在促进国家统一方面的巨大意义，当今大多数国家采用的国际单位制**在科技、文化、商贸 交流等方面所具备的重要作用等等。实际教学时可把这些资料做成课件等形式向学生展示，如有位老师为 强调统一长度单位的意义，就做了一个动画，讲两个国家的商人在做生意时，因使用的长度单位不一致发 生了争执，生意做不成了，等等。2．教学长度单位时应注意哪些问题？（1）加强探究活动，经历统一长度单位的过程。在提出“统一长度单位”这一命题前，应放手让学生采用各种物品作为单位来测量长度，让学生在 活动过程中发现问题，引起认知冲突，从而感受到统一长度单位的必要性，同时又为后面教学活动的开展 作好了铺垫。（2）通过多种方式，帮助学生形成厘米和米的正确表象。厘米和米是最常用的两个长度单位，也是学生进一步学习其他长度单位的基础，故对厘米和米的正 确表象的建立尤为重要。为此，教材编排了不少生活中的实物，如图钉、指甲、米尺等，籍此可给学生以 直观的表象。 11三、认识线段和角的教学尺度应如何把握？ 认识线段和角的教学尺度应如何把握？为遵循儿童的认知规律和认知心理，实验教材对线段和角的定义采用的是直观描述（见下图）。这 与以往利用“线段是直线上两点间的一段”来定义不同，由于这一定义本身就涉及到两个抽象的数学名词 “点”和“直线”，学生理解起来较为困难。因此，关于线段比较严格的定义安排在学生认识了射线、直 线之后给出（本套教材编排在四年级上册）。教学线段时，注意不要拔高要求，只要学生直观认识什么是线段，其主要特征是“直”和“长度可 测”就行了，不要把线段与直线、射线的联系与区别在这里教学。和线段的认识相似，教材关于角的初步认识的编排，也是从对实物的观察的角度来直观地、形象地 描述什么是角、什么是直角，让学生在观察、操作中逐步建立起角的初步表象：有一个顶点、两条边等。对角的更严格定义，将在四年级上册学习了“射线”后给出：从一点引出两条射线所组成的图形叫 做角。故教学时不要拔高要求，只要学生通过各种实际活动（如折一折、画一画、做一做等）对角和直角 有感性认识即可。四、乘法计算中还要强调“几个几”吗？两个因数的地位有何区别吗？ 乘法计算中还要强调“几个几” 两个因数的地位有何区别吗？在实验教材里，乘法算式中两个相乘的数都称为“因数”，不作“被乘数”和“乘数”的区分，这 样编排主要是为了更好地体现乘法在数学上的含义。在数学研究中，对“加、减、乘、除”四种运算而言， 真正有意义的研究是“加”和“乘”这两类运算，因为“减”和“除”在本质上仅仅是“加”和“乘”的 诱导变形，即：在学生学了负数和倒数后，“减”和“除”就已经被吸纳进“加”和“乘”的运算中了。如：。在数学上，当一种运算具备“可交换性”（即交换律）时，则各个元素在运算中的地位就是完全平 等的，孰前孰后无关紧要，故乘法运算中区分“被乘数”和“乘数”是没有意义的，因为二者在运算过程 中的作用和地位是完全对等的，正如加法运算中两个加数彼此地位相等一样。结合我国小学数学教学的历史与现状，不少老师对下面的问题还有疑惑：在实际教学中，还要强调 “几个几”吗？我们认为这与两个因数地位是否相等是两个不相关的问题，理由如下：在描述或说明特定12的情景时，是可以而且应该使用“几个几”这样的词语的，但根据“几个几”来列乘法算式时，则两种列法都是正确的。如：该图用文字描述可为“3 个 5”， 但据此写出乘法算式时， 3×5 和 5×3 都可以。 又如： 3+3+3+3+3+3=18， 表示 6 个 3 相加得 18，改写成乘法算式时，3×6 和 6×3 也都对。五、观察物体的教学应注意哪些问题？ 观察物体的教学应注意哪些问题？观察物体的教学对发展学生的空间观念很有帮助。本册教材编排的例题和习题都是从三个不同的位 置来观察物体，故有的老师就疑惑：这是否是要教学几何中的“三视图”内容？回答是否定的，原因有二： （1）“三视图”构图的基本原理是从正、侧、上三面来观察物体，而我们教材里则主要是从前（正）、后、 侧三个位置作为视角切入观察的，不满足“三视图”的观察维度；（2）“三视图”的教学功能主要是通过 三个角度的观察，真实地反映物体的长、宽、高等立体要素，准确描述物体的空间几何轮廓，这也与教材 的编写思想不同。二年级上册主要教学从不同位置观察同一物体，目的是让学生初步理解：即使同一物体，因观察的 位置不同，所看到的形状也是不一样的，从而初步培养学生的空间观念，同时让学生体会局部与整体的关 系，渗透一点辨证唯物主义的思想。更复杂的观察物体问题，我们在高年级还有安排。六、如何把握“对称”的教学尺度？ 如何把握“对称”的教学尺度？对称作为一种基本的图形变换，在自然界和社会生活中处处都有体现，与学生的日常实际联系较多， 故在二年级上册引入“对称”这一常见变换应该说是必要的。对称的表现方式很多，如中心对称、平移对 称、旋转对称、轴对称、镜面对称等，囿于学生的年龄特征和认知水平，教材只对轴对称和镜面对称作了 介绍，其中镜面对称是原通用教材没有的，是本次教材编排新增加的内容。教学中有老师反映这部分内容较难，学生不易掌握。这个问题我们认为与对“对称”这一内容的教 学尺度的把握有关。在原通用教材中，“对称”是安排在高年级的，这次在二年级上册安排主要是让学生 初步认识和判断哪些物体是对称的，会找出对称轴，体会和欣赏对称美就行了；对于轴对称、镜面对称的 定义及性质不作探讨。故教学时重点应放在观察图形上，由直观来判断是否对称，会找出给定图形中的对 称图形；可让学生画一画最简单的轴对称图形，但应注意所画图形的线条要简洁明了，并且应在方格纸上 进行（如教材第 70 页第 3 题）。七、关于“统计”的教学问题。 关于“统计”的教学问题。在一年级下册简单的条形统计图（1 格表示 1 个单位）的基础上，本册教材编排了 1 格表示 2 个单位 的条形统计图。对于该内容的教学，我们认为应从培养学生的统计观念这个角度来认识和分析。小学生的统计观念主要有三层含义：一是数据的收集、记录和整理能力；二是对数据的分析、处理 并由此做出解释、推断与决策的能力；三是对数据和统计信息有良好的判断能力。对于第一学段的小学生13来说，他们的统计观念则主要包含前两个层次，故教学中应加强学生经历统计的过程，探索统计的方法和 体会统计的作用。首先，让学生经历收集数据、整理数据、记录数据的过程，感受统计的现实意义。在根据数据绘制 统计图的时候，学生会发现当统计的数据较大时，用 1 格表示 1 个单位就不方便了，从而引起他们的认知 冲突，寻求解决问题的方法。实际教学时，可放手让学生自主探索或小组交流画图的方法，然后再总结归 纳出 1 格表示 2 个单位的条形图的画法。在此基础上，学生可能会进一步提出“1 格表示 2 个单位，则半 格就表示 1 个单位”“数据很大时，还可以用 1 格表示 3 个单位、4 个单位……”这样一些闪烁思维火花 的推断。教学时有的老师考虑到“以 1 当 5，以 1 当 10”等内容后面的教材还有安排，故不愿意让学生对 本册结论作进一步的拓广，我们认为可以放手让学生去探索，教师可结合学生的具体情况对这些推断进行 适当分析，但不要求学生掌握。“以 1 当 2”与“以 1 当 5，以 1 当 10，以 1 当 n”在思维的链条上是前环 扣后环的关系，处理问题的方法在本质上是相同的。其次，应加强学生对统计作用的认识，让其逐步学会根据统计结果做出相应的决策和预测。如统计 显示本班喜欢跳绳的同学比喜欢踢毽的多，则我们在采购体育用品时，跳绳就应多买些；某停车场停放了 21 辆小汽车，4 辆面包车，则说明该地区小汽车的拥有量比面包车高；等等。二年级下册疑难问题问答 1有关“解决问题”教学中的问题。 一、 有关“解决问题”教学中的问题。1．“解决问题”教学目标如何把握？实验教材中没有了以往教材中“应用题”的编排，而安排了若干“解决问题”的单元，很多老师对 如何把握这部分的教学要求，以及它和以前的“应用题”教学有何区别等存在疑惑，所以在这里首先说明 一下。从实质上说，“解决问题”教学的目标与“应用题”教学是相同的，都是让学生学会应用所学的数 学知识解决简单的实际问题。但是，在编排上“解决问题”教学与原“应用题”有着很大的不同。以前的 “应用题”是独立于其他知识单独编排的，与其他知识的结合不够紧密，另外，教师们通过长期的实践， 在“应用题”教学中积累了丰富的经验，对应用题的解题方法形成了固定的格式，这对于学生掌握解题技 巧确实很有帮助。但是当学生掌握了这种解题模式，就不去分析数量关系了，使得解应用题变成了机械的 训练，也就失去了“应用题”教学培养学生思维能力、应用意识等的作用。实验教材中，“解决问题”的编排是融于其他知识中的，在学生掌握了相关的数学知识后，给学生 创设现实的具体情境，让学生运用这些知识来解决一些相应的实际问题。比如第一单元和第四单元，就是 结合计算知识教学应用这些知识解决相应的实际问题；又如在空间与图形的有关单元，教学利用这些知识 解决相应的实际问题；等等。这样就使解决问题教学和各部分数学知识的教学有机的结合在一起，同时从 现实情境中提出问题还可以让学生体会数学在实际生活中的应用。“解决问题”的教学目标是培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会数学知识在解决 实际问题中的作用。这里让学生学会分析数量关系，明确解题方法是不变的初衷。2．如何引导学生学习解决问题的方法和思路?有些老师提出在教学用两步计算的方法解决问题时，很多学生往往只解决一步就结束了。14要解决这个问题，首先要让学生学会看图，明确题意。因为现在的实际问题大都用图示来呈现，要 让学生能从图中找出有用的信息，为解决问题做好准备。接下来，引导学生学会分析数量关系。因为本单 元解决的是两步运算的实际问题，在引入时，老师可以从一步过渡到两步。比如教学例 1 时，老师可以先 从一步计算的实际问题引入，创设这样的情境：原来看木偶戏的有 22 人，现在走了 6 人。让学生根据这些 信息自己提出问题：现在看戏的还有多少人？然后自己解决。接下来，老师再出示又有 13 人来看戏，再让 学生提出问题：现在一共有多少人看戏？学生有了前面的铺垫，知道用剩下的人加上新来的人数就可以了， 也就是 16+13=29 人。在此基础上，老师再把中间的过渡问题去掉，让学生直接解决：原来看木偶戏的有 22 人，现在走了 6 人，又有 13 人来看戏。现在一共有多少人看戏？在学生交流分析思路时，老师要强调 为什么用两步，在学生汇报用两步计算解决问题的时候，老师要问一问每一步解决的是什么，帮助学生理 清思路，培养学生学会分析问题，找到解决问题的方法。3．书写格式的要求。教材在用两步计算解决问题的时候，出现了分步计算和列综合算式的两种形式，而且在连减中的不 同方法中认识了小括号，在第四单元“表内除法（二）”的解决问题中出现了用递等式的书写形式计算综 合算式。老师也就自然想知道：学生在解决实际问题的时候是不是要求必须列综合算式和使用小括号呢？ 综合算式是否一定要用脱式计算？还有要不要写答语等。解决问题教学的重点是培养学生分析数量关系，找出解决实际问题的方法。至于是用分步列式还是 列综合算式，只是书写形式的不同，对解决问题的要求没有影响。教材在这里介绍了综合算式和小括号， 是让学生知道两步计算也可以用综合算式表示，同时也是初步渗透四则运算的计算顺序。在实际教学中， 如果学生没有出现列综合算式解决的，老师可以加以引导和介绍，但对列综合算式或有小括号的综合算式 解决问题不作统一要求。另外，教材中缺少四则运算的练习，为了后续的学习，老师可以适当增加一些这 部分的单项练习，让学生通过练习掌握四则运算的计算顺序并初步体会小括号的作用。关于写答语，在本册教材不作要求，学生可以口答完成。到了四年级，会作具体的要求。至于用递 等式的脱式计算，教材在这里也只是介绍了这种写法，对学生也不做统一要求，在后面的学习中还会正式 教学。二、是否要求学生看除法算式说意义。 是否要求学生看除法算式说意义。有老师问：要不要求学生看除法算式说意义，比如：18÷6＝3 表示 18 里面有 3 个 6 还是 6 个 3？对于这个问题，我们认为对于单独的除法算式，一般不要讨论它的意义，除法的意义最好结合具体 的情景来理解。对于除法的意义，要建立在平均分的基础上，让学生通过操作体会除法的意义。三、“平移和旋转”教学中的问题。 平移和旋转”教学中的问题。 和旋转1．如何准确的数出平移的格数。关于平移的教学，老师们反映，学生通过现实生活中的实例能够认识到什么样的现象是平移，但比 较困难的是当图形在方格纸上平移时，如何准确地数出图形平移了几格。如下图中，学生很容易认为房子 向上平移了 2 格。教学中教师要让学生体验到，判断房子平移了几格，可以在房子上选择一个点，看这个点移动了几 格，房子也就移动了几格。有的老师是这样处理的：先创设一个有趣的情境，比如蚂蚁搬家。两只蚂蚁分 15别位于房子的两个点上（当然最好是方格纸的格点上， 这样方便学生数格子数），比如房子左上角和右下角的 点上，它们把房子向左平移到虚线处后，两只小蚂蚁争 吵起来。一只蚂蚁说：“我搬得远！我搬得远！”另一 只也不示弱：“我搬得比你远！”老师根据小蚂蚁的争 吵提出问题：“同学们，你们快帮小蚂蚁数一数，哪只 蚂蚁平移的格数多？”接下来引导学生在方格纸上分别 数出两只小蚂蚁平移的格数，让学生发现虽然是房子上 两个不同的点，但是它们平移的格数相等。进一步还可 以继续创设情境：假如房顶上有一只小蝴蝶，小蝴蝶平 移的格数又是多少呢？它和小蚂蚁平移的格数相等吗？ 通过数格数，让学生明确在数物体平移的格数时，只要确定一个点，数出这个点平移的格数，就是物体平 移的格数了。当然，还可以看一条线段，比如上下平移时，可以观察最下面的这条线段，左右平移时，看左右两 边的线段都可以。实际上这里也渗透了物体平移的特性：物体上每个点的平移方向和距离都一样。所以在 数格数时，选择一个点或一条线的平移格数就是这个物体平移的格数。当然，在这里还不要求学生掌握平 移的特性，学生在五年级还会进一步来学习有关平移和旋转的知识。2．在方格纸上画图形平移后的图形。教材中平移练习中安排了判断图形平移后的位置和在方格纸上画出平移后的图形。对于后一种练习， 我们只要求学生能画出顶点在方格纸的格点上的图形平移后的图形。让学生理解只需把每个顶点按要求平 移后，连接起来就可以得到平移后的图形，比如教材第 43 页练习十的第 2 题。但是第 44 页第 5 题中平移 图形的一个顶点不在格点上，而是在两个格点中间，如果学生有困难的话，可以把这个图形稍作改动，让 每个顶点都落到格点上，如下图：3．旋转的定义。旋转的教学主要是让学生结合生活实例初步感知旋转现象，能找出生活中的旋转现象，至于有关旋 转的特性等更多的知识我们安排在五年级继续学习。在这里，很多老师对如何把握旋转的概念有疑惑，比 如学生列举的秋千、钟摆、跷跷板等的运动是不是旋转呢？在教师教学用书中提到物体以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，就可以近似的看作是旋转现象， 以此来判断秋千、跷跷板不是旋转现象，属于摆动现象。事实上，旋转的定义是：如右图这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。 也就是说旋转是物体在以一个点或一个轴为中心的圆周上运动的现象，不一定要作圆周运动。因此摆动也 16是旋转，所以秋千、钟摆、跷跷板的运动是摆动，同时也是旋转。但这里我们主要还是要让学生认识作圆 周运动的旋转，比如风车、飞机的螺旋桨、转椅等的运动。学生如果说出秋千，老师也应该给予肯定，但 还是尽量让他们从生活中寻找像电风扇扇叶的转动这样的旋转现象。四、“万以内数的认识和加减法”教学中的问题。 万以内数的认识和加减法”教学中的问题。1．“1000 以内数的认识”教学中的问题。有些老师觉得这部分内容比较简单，认为学生已经有了 100 以内数的认识，1000 以内数的认识中数 的组成、计数关系等就不是教学的重点，教学中更重视培养学生的数感，注重联系学生的生活实际，给学 生提供更加丰富的素材，而忽略了基础知识、基本技能的培养。比如有的老师整堂课都在让学生估数，认 为这样能培养学生的数感，而把计数单位、数的组成等作为练习让学生自己完成。当然，重视培养学生的数感也是应该的，但是应该建立在学生掌握了基础知识的基础上，否则就会 出现舍本逐末的现象。另外也要注意估数只是培养学生数感的一方面，而且估数也要有一定的方法，例如 要有一个参照物，因此学生首先要结合现实情境感受大数的意义。教学中要从以下几个方面培养学生的数 感：1） 数的现实含义；2） 与自己熟悉的数建立联系；3） 建立数的表象。首先，老师要给学生提供现实的素材，教材第 69 页做一做第 2 题中有 868 人跑马拉松，让学生结合 现实的情境来理解。为了了解 868 到底有多大，学生要将 868 和自己熟悉的数建立起联系，比如学生对 100 都很熟悉，这里就可以将 868 和 100 建立起联系，学生知道 868 大约有 8 个 100。在这个基础上建立 868 的表象，比如学生可以想象有一个 10×10（100 人）的方阵，那么 868 有几个这样的方阵呢？从而建立起 868 人的表象。那么如何把“1000 以内数的认识”的教学落到实处呢？教学中还是要从计数单位、数的组成等各个 方面全面认识 1000 以内的数。首先让学生通过数数，从一个一个的数，10 个一是十，到十个十个的数， 10 个十是一百，再一百一百的数，10 个百是一千，认识记数单位个、十、百、千，同时渗透相邻记数单位 之间十进的关系。接下来借助计数器来数数，由于学生对接近整十整百的数，往往弄不清楚下一个数到底 是几十、几百，借助计数器能很好的帮助学生解决这个数数的难点。然后再让学生口头数数。再接下来通 过计数器拨数结合数位表教学写数和数的组成， 最后通过丰富多彩的练习形式巩固对 1000 以内数的认识， 同时结合估算，培养学生的数感。2．两位数减两位数的口算要求。教材第 93 页教学两位数减两位数的口算时，既呈现了一般的口算方法，还出现了在脑中想竖式的方 法，很多老师就问是不是要让学生掌握这种方法。关于口算，不同的学生会有不同的方法，因此教材呈现了不同的口算方法，我们觉得有的学生可能 会有通过想竖式来口算，所以就呈现了这种方法，主要也是体现了算法多样化。教学时，要鼓励学生用他 喜欢的方法正确的口算，对于这种想竖式口算的方法不作统一要求。17五、克和千克到底是质量单位还是重量单位? 克和千克到底是质量单位还是重量单位? 质量单位还是重量单位克与千克是质量单位。 物理学中，物体所含物质的多少叫做质量，质量单位有千克、克，还有吨和 毫克等。而重量是指物体所受重力的大小，它的单位是力学单位牛顿。在日常生活中，我们经常说的重量、 一个物体有多重，都是指它的质量。有些地方已经开始纠正这种说法了，比如以前说汽车的“载重量”， 现在已经改为“载质量”等等。所以教学中，老师要尽量使用标准的语言。六、“统计”教学中的问题。 统计”教学中的问题。1．“复式统计表”教学中的问题。“复式统计表”教学时老师们都能注意让学生从复式统计表中寻找信息、提出问题并解决，但是在 从单式统计表到引入复式统计表时，没有体现出让学生经历引入复式统计表的必要性，没能很好的体现复 式统计表的优点：通过对比，便于比较。所以在让学生把几个单式统计表合并成复式统计表时，应该创设 这样的问题情境：为了方便比较，你们能把这两个统计表的内容在一个表中表示出来吗？最后，还可以让学生通过单式统计表和复式统计表的对比，加深对复式统计表优点的感受。2．“以一当五的条形统计图”教学中的问题。在绘制条形统计图时，学生已经会根据数据的大小和统计图的大小选择以一当二的条形统计图，因 此在教学以一当五的条形统计图时，可以放手让学生自己去完成。为了让学生体会引出以一当五的必要性， 这里可以给学生准备能用以一当二完成的统计图，让学生在绘制过程中，充分的感受根据数据的大小和特 点，可以用以一当五的统计图来完成。在练习中还可以设计个别不是 5 的倍数的数据，让学生进一步完善 以一当五的条形统计图的绘制方法。同时还可以渗透以一当 10，100，200 等的条形统计图，让学生深刻的 体会到一格表示几要结合数据的特点和大小来合理确定。三年级上册疑难问题解答 1一、对于千米和吨这样比较大的长度单位和质量单位，怎样帮助学生建立相应的长度观念和质量观念？ 解答：对于长度单位、面积单位、体积单位、质量单位、时间单位的教学，除了要求学生掌握单位之间的 换算关系和相关的计算以外，更重要的是建立起相应的长度、面积和体积的表象以及质量观念、时间观念。 对于一些比较小的长度单位（如毫米、厘米、分米和米）和质量单位（如克和千克） ，我们经常借助学生身 边的物品帮助他们建立相应的长度观念和质量观念。例如，一个硬币的厚度大约是 1 毫米，一枝铅笔的长 度大约是 18 厘米，一袋盐大约重 500 克，一分钟大约能跳绳 80 下，大拇指的指甲盖面积大约是 1 平方厘 米，等等。 但是，对于一些比较大的长度单位和质量单位，如本册教材中的千米和吨，虽然学生在生活中能经常见到 这样的单位，但无法直接通过用手比一比、用尺量一量、掂一掂等方式来建立相应的表象。因此，要建立 这样的长度观念和质量观念，需要运用间接的方式，让学生通过想像来加以培养。具体来说，可以有以下 两种方式。第一种方式是让学生通过对千米和吨的间接感受来建立相应的观念。例如，让学生实际步行 1 千米，数一数走了多少步，看看用了多少时间，体会一下走 1000 米的疲劳程度。也可以先走 100 米，再去 想像如果走 10 个 100 米，会是怎样的一种感觉。教学吨的时候，可以让几个学生尝试着抬一袋 50 千克的 大米，再想像如果有 20 袋这样的大米会有多重，也可以让学生通过观察 1 吨大米、1 吨棉花大约占多大的 体积来建立吨的质量观念。第二种方式是借助生活中的实际素材帮助学生建立相关观念。例如，告诉学生 从学校到附近某一地点的距离是多少千米，从 A 城市到 B 城市大约是多少千米，告诉学生一辆卡车的载重 量大约是多少吨，告诉学生像鲸鱼、大象这些大型动物的体重大约是多少吨。18需要说明的是，长度观念、质量观念的建立不是一节课所能完成的任务，也不必仅仅局限于数学课堂，更 需要学生在日常生活中经常观察、体验、感受，逐步地培养。 二、教材第 15 页主题图表格中的相关概念离学生生活太远，学生不易理解，如何更好地利用此表格？ 解答：让学生在实际问题情境中学习计算内容是《数学课程标准》所倡导的一个重要理念，在数学教学中 渗透思想品德教育也一直是教材编写所坚持的一个重要原则。 教材第 15 页的主题图以中国部分动物种数的 题材引入，为后面几个例题的计算问题提供现实素材，主要也是基于以上两方面的考虑。一方面为学生介 绍动物种数方面的知识，帮助学生从小树立保护野生动物的思想意识，另一方面可以鼓励学生根据现实素 材提出各种各样的数学问题，培养学生的问题意识，提高提问题和根据问题列式的能力。 但是，在教学中也发现，小学生确实不能很好地理解“已知种数” “中国特有种数” “濒危和受威胁种数” 等概念，对于这三个概念之间的关系不能清楚地辨析，以至提出的问题五花八门，不符合逻辑，没有实际 意义，如“已知的哺乳类种数比中国特有的鸟类种数多多少种？”针对这种情况，一方面，教师可以用通 俗的语言对这些概念加以解释，引导学生提出合适的问题。另一方面，可以根据教学的进度将表格的三列 数据分别呈现，而不是放在同一个统计表中加以呈现。例如，教学例 1 时，只呈现“中国特有种数”一列， 引导学生提问题，列算式。教学例 2 时，只呈现“已知种数”一列。这样就可避免学生的思维混乱，学生 也不至于提出前文所述的无实际意义的问题。 三、为什么教材中要编入不规则图形周长的内容？ 解答：过去对于周长、面积、体积的教学，往往把教学重点放在特殊图形的周长、面积和体积的公式推导 以及利用公式计算这两方面。因此,学生没有形成对这些概念的一般性理解，以至于在教学中出现了这样的 问题：学生虽然会计算长方形、正方形的周长，却不会计算平行四边形、三角形以及一般多边形的周长， 理由是老师没有教过这些图形的周长计算公式。出现这种情况的原因就是学生对“周长即封闭图形一周的 长度”这个概念没有形成一般意义上的理解。因此，实验教材在编排上使学生先充分理解周长的一般含义， 知道平面上任一封闭图形都有周长，并可以用绳子、直尺等工具来测量一个一般封闭图形的周长，知道任 一多边形的周长即是各边长度之和。在此基础上再学习长方形、正方形的周长计算，就只是一个从一般到 特殊（对边相等或四边相等）的过程，具体的方法可以让学生自主探索。 同样的道理，在后面学习面积、体积时，也应加强学生对这两个概念的一般性理解。 四、如何把握“有余数的除法”这一单元的教学层次？ 解答：本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次：第一层次是借助分实物的过程，学习除法竖式的 写法，掌握余数比除数小的原理。第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法式题。第三层次是利 用有余数除法解决实际问题。下面作一具体说明。 第一层次，利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法。重点教学除法竖式的写 法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系。 1．如果平均分后正好分完，利用已学知识“表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是第一次接 触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法。 2．如果平均分后还有多余的，根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式，重点掌握余数的含义，即分到 不能再分时剩下的数量。需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“分”得到的，而不是计算 出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面。 3．保持总数不变，改变每份数（或保持每份数不变，改变总数） ，使学生发现分到不能再分时，剩下的数 量总是比每份数少，即余数比除数小。 第二层次，不再借助分实物，而是给出一个抽象的除法算式进行计算。在此过程中，需要学生学会如何定 商，而定商的原则就是除数和商的积必须小于（或等于）被除数，但同时又必须满足“余数小于除数”这 一条件。与第一层次不同，这儿的商和余数不是分实物的结果，而是利用定商原则通过抽象的计算得到的。 这一层次的内容在教材编写中体现得不是很充分，在教学时应作适当补充。 第三层次，利用所学的有余数除法的计算方法解决实际问题。这一层次的教学重点是引导学生结合商和余 数在实际情境中的含义正确写出相应的单位名称。19五、 “时间的计算”中要求换算，但还没有学习整十数乘一位数，怎么处理？ 解答：在进行类似于“3 时等于多少分” 分等于多少秒”的换算时，由于还没有学习整十数乘一位数， “5 学生还不会计算 60×3、60×5。教学时，可以让学生用连加的方法进行计算，并注意出题时数据不要太大。 此外，还可以创造性地使用教材，先教学第六单元，再教学第五单元，这样，学生可以灵活地运用连加和 乘法这两种方法进行换算。 六、教材第 69 页例 1 第（1）小题在具体情境中把 2×10 看成 2 个 10 进行计算是否会造成学生对乘法意义 的理解错误？ 解答：自九年义务教育教学大纲修订后，不再把“几个几相加”和一个乘法算式唯一地对应。 个 3 相加” “2 和“3 个 2 相加”都既可以列成“3×2” ，也可以列成“2×3” ，因此，本例中“每人 2 元，10 人要多少钱” 表示“10 个 2 相加” ，这一具体含义是固定不变的，但列式可以是“2×10” ，也可以是“10×2” 。在计算 列出的抽象算式“2×10”时，我们可以脱离例题中的具体情境，既可以把它看成“10 个 2 相加” （与情境 中的一致） ，也可以看成“2 个 10 相加” ，这样可以达到计算简便的目的。因此，此题中的“也可以把 2× 10 看成 2 个 10”并非指具体情境中的乘法含义变成了“2 个 10 相加” ，而仅仅是为了使计算更便捷。 七、教材第 70 页的 29×8 估算成 30×8，正好可以解决问题，如果改成 32×8，仍然估算成 30×8，如果 仍用估算值来判断，就会发生错误，怎么处理？ 解答：与原通用教材相比，实验教材在估算内容的编排上作了一些改变。 首先，估算的内容大大增加，估算的地位大大提高。从许多角度来讲，估算都是非常重要的一种计算策略， 我们可以将它作为解决实际问题的必要工具，也可以作为精确计算的重要基础，还可用于检验计算结果是 否大致合理。例如，我们在购物时，经常只需用估算就可以解决问题。在精确计算 325÷51 时，一般都是 先估算成 300÷50 进行试商。再如，对于 34×6＝2004 的运算结果，运用估算就可以判断是否正确。 其次，估算的教学重点由单纯的技巧性训练转变到估算意识的培养。过去，我们教给学生的是相对固定的 估算方法，即先用“四舍五入”法求出算式中各项的近似值，再对近似值进行运算。实际上，在解决实际 问题时，根据不同的需要，我们可以采取不同的估算策略，只要能达到解决问题的目的即可。用“四舍五 入”法先求近似值再进行计算，固然是一种重要的估算方法，但不是唯一的方法。在估算的教学中，更重 要的是使学生形成估算的意识，根据不同的问题情境选择适当的估算策略，并能加以解释。在平时的计算 过程中也要引导学生自觉地运用估算方法对计算结果的合理性加以判断。应该说，培养估算意识不仅仅是 某一节课的目标，而应该将估算教学融于日常的计算教学中。 具体到第 70 页的例 2，要使学生理解，在解决实际问题时，有时不需要精确计算，用估算就可以了。但也 并不意味着只用估算就一定能解决问题，还要看所采用的估算策略对于具体的问题情境是否合适。估算仅 仅是解决实际问题的步骤之一。如本例中，把 29 估成 30，是估大了，说明即使有 30 个同学参加，才需要 240 元，因此带 250 元肯定是够了。如果把 29 改成 32，把 32 估成 30，估算方法相同，但却还没解决问题， 还需要进一步考虑“少估了 2 个 8，即 16 元，而 240 元与 250 元相差 10 元，因此钱不够” ，这样才算是真 正解决了问题。如果把 29 改成 23，照样可以把 23 估成 30，这里所用的方法就不是“四舍五入”法，但对 于解决这个问题却是非常有效的。 因此，脱离问题情境，孤立地说某种估算方法好或不好，是没有意义的。对于不同的问题情境，甚至同一 问题情境，可以灵活采用多样的估算策略。 八、教材第 83 页例 5“0 的乘法”与前后内容的教学难度不太一致，感觉深一脚浅一脚，是否可以放到二 年级上册“表内乘法”一单元？在教学这一内容时是否必须按教材所提供的思路进行？ 解答： 的乘法”一直以来都是编排在“多位数乘一位数”这一单元，这样做的主要目的是为后面学习“一 “0 个因数的中间或末尾有 0 的乘法”打下必要的知识基础，使前后知识的联系更紧密。当然， 的乘法”的 “0 计算难度并不大，如果放到二年级上册学习，学生应该也是能够接受的。但是因为“表内乘法”主要学习 1 到 9 的乘法口诀，而 0 是没有乘法口诀的，如果生硬地编排在一起，也是不太妥当的。 在编排上，教材采用的是顺向的思路，即通过情境列出 7 个 0 连加的算式，再根据乘法的意义改写成乘法 算式 7×0＝0 和 0×7＝0，再类推出其他的算式。教学时，也可以创造性地使用教材，先复习 0 的加法和20减法，知道 0 和任何数相加仍得该数，任何数减去 0 仍得该数，然后直接从 0 的乘法算式 7×0 和 0×7 入 手，让学生猜想这两个算式的得数，引导学生利用乘法的意义把这两个算式转化为相应的连加算式，求出 得数。 九、因为以后还要正式学习“分数的意义和性质” ，应该如何把握好本册教材中“分数的初步认识”的教学 要求？ 解答：本册教材主要是利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解分数的 意义，掌握分数的大小比较方法和分数的简单加减法。由于是初步认识，本册教材涉及到的分数，分母都 不超过 10。而以后要学的“分数的意义和性质” ，逐渐脱离了直观方式的支持，更多的是从数系发展的角 度，认识分数产生的必要性，抽象地学习分数的一般意义和各种性质，并且，所有形式的分数都在研究范 围之内。 十、如何让学生理解“世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？ 解答：在这里需要注意两个问题。第一，本单元所涉及到的“一定” “不可能” “可能”是概率论中的术语， 与生活用语完全不同，是指当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现在一定的条件下，许多事情必 然会发生，许多事情必然不会发生，还有许多事情是可能发生的。因此，我们讨论的事件一般指的是客观 事件，同时，又是在我们经验范围内发生的事件。所以，在教学时应避免举出“我一定会好好学习的”的 例子，这里的“一定”是一种生活用语，带有强烈的主观色彩，与概率论中“概率等于 1”的含义截然不 同。对于学生提出的超出人类认识经验的说法，如“如果太阳系爆炸了， ‘地球每天都在转动’这句话就不 是一定的了。 ”教师也应正确地加以引导。第二，如果有些事件超出了学生的认识范围，教师应提供一些证 据帮助学生理解。例如，学生无法理解“世界上每天都有人出生” ，教师可以通过本地区或全国、全世界每 天有多少婴儿出生的数据使学生认识到世界上每天一定有人出生， “中国平均每 4.15 秒就出生一个孩子， 如 中国每天出生的人口大约是 2.08 万。 ” 十一、教材第 108 页例 3 中的实验结果如果与理论的发生矛盾怎么处理？ 解答：我们都知道，如果一个盒子里有 4 个红棋子和 1 个蓝棋子，随机地从盒子里摸出一个棋子，摸出红 棋子和蓝棋子的可能性都是存在的，如果把以上过程重复若干次，会发现在一般情况下，摸出红棋子的次 数比摸出蓝棋子的次数多，因此，我们说摸出红棋子的可能性更大。这种可能性的大小都是一种理论上的 值，与实验的结果有时会不一致，因为在实验中过程，有时小概率事件也有可能会发生，虽然发生的可能 性比较小。例如，在抽奖活动中，中奖的可能性比较小，不中奖的可能性比较大，但人们并不会因为不中 奖的可能性很大就不去抽奖了，而是满心期待小概率事件（中奖）的发生。 但是在小学阶段，学生对于抽象的、理论的可能性概念理解起来有一定的困难，只能借助实验的结果来加 以论证。虽然在一般情况下，不会出现小概率事件，但如果真的出现了，我们可以用以下的方式来加以修 正。例如，在实验之前，先不限定重复的次数，如果个别小组出现了这样的小概率事件，第一种方法是继 续增加实验的次数，因为从理论上说，实验的次数增加到无穷大，摸出某种颜色棋子的次数所占的比就是 摸出该种颜色棋子的概率。第二种方法是把全班所有小组的数据都整合起来，实际上原理与第一种方法也 是一样的，都是增加实验的次数。 十二、数学广角的“排列组合”问题与二年级上册的相关内容如何区分教学层次？ 解答：这两册教材中都编入了“排列组合”的内容，但教学要求是有所不同的。二年级只是让学生通过动 手操作的方式让学生排一排，初步感受排列组合的思想和方法，所用的材料数量也比较少，例如，用 3 张 数字卡片能摆出多少个两位数，2 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配。而本册的教学重点则是让学生用不同 的方式（如学具操作，画简图、文字形式、字母形式）把排列组合的结果罗列出来，使学生学会用更简洁、 更抽象的方式来表达排列组合的方法。更为重要的是通过以上过程，引导学生思考如何搭配才能不重复、 不遗漏地把所有结果都呈现出来，发展学生有序思考的意识和能力。所用的材料数量也有所增加，如，3 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配，用 3 张数字卡片能摆出多少个三位数。 当然，如果教学实践证明分为这样两个层次进行教学没有太大必要，在下一轮教材修订时我们也可以考虑 将这两个层次进行整合。21三年级下册疑难问题解答 1一、有关第一单元“位置与方向”的教学问题。 关第一单元“位置与方向”的教学问题。1.教材中为什么要安排这一内容？《数学课程标准》在第一学段的“空间与图形”内容标 准中规定，“在东、南、西、北和东北、西北、东南、西南中， 给定一个方向（东、南、西或北）辨认其余七个方向，并能用 这些词语描绘物体所在的方向；会看简单的线路图”。我们根 据《数学课程标准》的规定在本册教材中安排了“位置与方向” 这个单元。对三年级的学生来说，东、南、西、北等方位概念是比较抽象的，学生需要大量的感性支柱和丰富 的表象积累。因此，教材在这部分内容编排上有以下几点考虑。⑴ 充分利用学生已有的上、下、前、后、左、右的方位知识设计教学情境，帮助学生掌握本单元内 容。因为有研究证明儿童只有在牢固掌握了上、下、前、后、左、右这几个基本空间方位之后，才能够掌 握按水平方向分出的东、南、西、北等方位概念。⑵ 依据学生的年龄特点和生活经验，创设了许多既符合这一阶段儿童认知特点又便于操作的活动情 境，使学生一方面亲身体验方位的知识，另一面又体会到方位知识与日常生活的密切联系。例如，教科书 中设计了让学生到操场上学习辨认东、南、西、北等八个方向的活动情境，让学生在熟悉的环境中，在观 察、描述和交流的过程中体验方位的知识。2.“位置与方向”比较脱离学生的生活经验，不好上，如何更好地进行教学？这些方位概念对三年级的学生来说，确实比较抽象。而且由于地域的因素，有些学生在生活中也没 有相应的经验支撑。因此，在教学时要以学生已有的知识和生活经验为基础，创设大量的活动情境，充分 调动学生的积极性，让所有的学生都参与到活动中来。使学生在观察、操作、想像、描述、表示和交流等 数学活动中，丰富对方位知识的体验，使学生获得大量的感性支柱和丰富的表象积累。例如，在认识东、南、西、北四个方向时，就可以把学生带到操场上，让他们面向太阳升起的方向， 确定东方，再与前、后、左、右这几个基本空间方位相联系：明确后面是西，左手指向北，右手指向南， 认识四个方向。通过这样一个简单的操作活动，就让所有的学生在参与活动的过程中，利用已有的基本空 间方位知识（前、后、左、右）为基础，与新知识（东、南、西、北四个方向）建立了联系，获得了对新 知识的理解。二、第二单元“除数是一位数的除法”，例题、习题的编排上学生接受起来吃力。如，例 3 和例 2 第二单元“除数是一位数的除法” 例题、 习题的编排上学生接受起来吃力。 跨度太大，学生较难适应。 跨度太大，学生较难适应。1．教材为什么改变了原来的编排，减少了例题？《数学课程标准》在第一学段“数与代数”内容标准中规定，“能计算三位数除以一位数的除法”。 在《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《教学大纲》）中要求学生“掌22握一位数乘、除多位数的笔算法则，能够比较熟练地计算”。可见《数学课程标准》与《教学大纲》相比， 降低了笔算的复杂性与熟练程度。*我们在整套教材“计算教学内容”的编排上注意体现《数学课程标准》的基本理念，注重培养学生 灵活的计算能力，发展学生的数感。在本册教材中“除数是一位数的除法”这个单元里，精心设计教学顺 序，加大教学的步子，从原通用教材的 17 课时减少为 13 课时，例题也从 16 个减少为 9 个，留给学生更大 的探索和思考空间；让学生在自主探索中获得对笔算过程与算理的理解；加强估算。2.例 3 和例 2 跨度较大，如何进行教学？例 3 从整理照片为素材引出除法算式 238÷6，然后呈现了两个学生估算和笔算的过程，一方面注意 培养学生的估算意识、另一方面体现估算、笔算各自不同的特点。这个例题里面难点比较集中，估算与笔 算同时出现，要进行比较；被除数的最高位不够商 1；除不尽，有余数。在教学例 3 时，可先放手让学生 自主探索，如果大多数学生都有困难，教师可增加“一位数除三位数（商是两位数能整除）”的题目，在 学生突破了“被除数的最高位不够商 1”这个笔算难点之后，再呈现例 3。三、有关第三单元“统计”的问题 有关第三单元“统计”1.为什么从一年级下册开始，几乎每一册书中都安排统计的内容？《数学课程标准》在第一学段“统计与概率”内容标准中规定“在本学段中，学生将对数据统计过 程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题”。而 要使学生形成统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程。**因此，我们根据《数学课程 标准》的精神，从一年级开始安排统计知识的教学，以后的各年级都联系学生的生活实际安排了统计的教 学内容。为学生提供了大量日常生活中各种各样的例子，让学生在经历收集、整理、描述、分析数据的过 程中加深对有关概念、以及统计的意义和作用的理解，逐步形成统计观念。2．本册“统计”中认识横式统计图，与认识竖式统计图在其他要求上没有太大的区别，因此感到这 样的内容安排过长，可以在二年级统计知识的教学中，使学生对竖式统计图与横式统计图比较观察，更容 易理解。在本册的“统计”这一单元里，我们安排的“简单的数据分析”这一小节，除了要利用学生已有的 知识学习新的统计知识（了解不同形式的条形统计图）之外，还有一个十分重要的目的，就是结合实际问 题，进一步教学根据统计图表进行简单的数据分析，作出合理的推断。《数学课程标准》强调统计过程性 目标的达成及对统计表特征和统计量实际意义的理解。***本单元主要是通过这样一个素材作载体，把数据 分析与解决问题结合在一起，使学生再一次经历统计的全过程，更好的理解统计在解决问题中的作用，逐 步形成统计观念。四、第六单元“面积”题中，出现平方千米、公顷学生理解起来比较费劲，希望后移。 第六单元“面积”题中，出现平方千米、公顷学生理解起来比较费劲，希望后移。1.教材为什么在六册安排“平方千米、公顷”这一内容？教材是如何处理的？《数学课程标准》在第一学段的“空间与图形”内容标准中规定“体会并认识面积单位（厘米 2、米 2、千米 2、公顷）”。在原通用教材中，这一内容是安排在六年制第七册。我们根据《数学课程标准》的 规定将此内容提前到第一学段的最后一个学期，也就是本册教材中进行安排。教材在编排中，以学生对体23育场的广阔面积的感性认识为基础，帮助学生认识和理解这两个较大的土地面积单位，并且考虑到学生尚 未学习 100×100、 等计算，所以平方千米、公顷与平方米之间的进率不要求学生推算，只是介 绍 1 公顷、1 平方千米的具体规定。2.如何帮助学生理解这两个土地面积单位？“公顷”和“千米 2”这两个土地面积单位比较大， 对三年级的学生来说， 形 成表象确实有些因难。在教学中，可以先带领学生到操场进行实地测量，量出边长 是 100 米的正方形土地，让学生看一看 1 公顷的土地有多大，以便使学生对 1 公顷 有多大形成明确的表象。 再结合学生熟悉的场地， 如教室的面积一般是 50 米 2， 200 个教室的面积大约是 1 公顷，通过学生的想像，加深学生对“公顷”这个土地面积 单位的认识。在使学生明确了边长是 1000 米的正方形面积是 1 平方千米之后，教 师可以在学生对 1 公顷形成了表象之后，让学生想象一下 100 块 1 公顷的土地，就是 1 平方千米大。还可 以通过其他的素材帮助学生认识和想象，如，一个足球场的面积约 7000 平方米，140 个足球场的面积约 1 平方千米。五、有关第七单元“小数的初步认识”的问题。 有关第七单元“小数的初步认识”的问题。1．与四年级下册“小数的意义与性质”太重复，教材为什么安排“小数的初步认识”这一单元？《数学课程标准》在第一学段“数与代数”内容标准中规定，“能认、读、写小数”及“一位小数 的加减运算”，所以我们本册安排了“小数的初步认识”这一单元。教材在编排这一部分内容时，充分利用了小数与日常生活的密切联系，创设了较为丰富的，贴近儿 童生活实际的情境，让学生在熟悉的情境中感悟小数的含义，并以元、角、分等常用计量单位的知识为学 习小数认识和计算的形象支撑，到以后系统学习小数时，再作抽象。2．在教学中如何把握要求？教师在教学本单元时，在把握教学要求注意以下三点。一是本单元不要求离开现实背景和具体的量， 抽象地讨论小数。二是小数的认、读、写，限于小数部分不超过两位的小数。三是简单的小数加减法原则 上限于一位小数，并且是结合元、角进行计算。3.例 1 学生掌握起来有困难，如何进行教学？例 1 是教学一位小数、两位小数的含义及写法。虽然教材设计了米、分米、厘米这一学生熟悉的素 材，但由于学生只是通过比较直观的方式初步认识了分数，如果仅从长度单位间的进率让学生来思考小数 的含义，对学生来说还是比较抽象的。所以，教师在教学时，可以借助一些直观的方式帮助学生来理解。 例如，有的教师创设卡通动物（身高 1 分米）和积木块（厚 1 厘米）比高矮的场景，并用米尺进行测量。 这样就为学生提供了一个直观、形象的支撑，避免了仅从抽象的关系去思考。除了教材上所涉及的“分米 和米”“厘米和米”这两种关系之外，教师还可以增加“3 厘米=0.3 分米”这种类型；而且，教师还可以 让学生反过来思考“0.1 米等于多少分米”“0.01 米等于多少厘米”， 进一步加深学生对小数含义的理解。24六、第八单元“解决问题”，练习形式过于活，学生对于两步计算不是很熟悉，形式过多更难以把 第八单元“解决问题” 练习形式过于活，学生对于两步计算不是很熟悉， 握。1.为什么安排这一单元？教材是如何处理的？答：《数学课程标准》在第一学段对“解决问题”的教学目标是：“能在教师引导下，从日常生活 中发现并提出简单的数学问题。了解同一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初 步学会表达解决问题的大致过程和结果。”对第一学段的学生而言，首先是能够从日常生活中“看到”一 些数学现象，其次是能够运用基本的数学知识去解决一些简单的问题。我们根据《数学课程标准》的精神，将解决问题的教学融合于各部分内容的教学中。本册书中“解 决问题”的单元专门教学用所学的计算知识解决简单的生活中的问题。教材安排了需要应用乘除法知识解 决的实际问题，并呈现了不同的算法。在相应的练习中，教材设计了丰富多彩的现实素材，如体育锻炼、 货物装车、公园购票、集体租船等等。通过练习，不仅可以使学生获得充分的解决问题的经验，了解数学 的广泛应用，逐步形成从数学的角度提出问题、理解问题的思维习惯，并且为使学生掌握解决问题的基本 策略，体验解决问题策略的多样提供了有效而丰富的资源。2.教学应注意哪些问题？学生在二年级学习时，已经会用表内乘、除法以及加、减法解决简单两步计算的实际问题。本单元 提供的需要用两步计算解决的实际问题，选材范围扩大了，提供的信息数据范围扩大了。在教学中，教师 应充分利用教材创设的丰富的解决问题的资源空间，注意调动学生的学习经验和生活经验，并放手让学生 主动探索解决问题的方法。立足于让学生自主收集、理解数学信息，寻找解决问题的方法，逐步提高解决 问题的能力。四年级上册疑难问题解答一、教材第 20 页提到“0 也是自然数，最小的自然数是 0”，这与九年义务教育小学数学教科书中的 说法不一致。这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。一种观点认为 0 不是自然数。例如, 意大利数学家皮亚诺于 1889 年提出了一组刻画自然数特征的公 理，包括以下五条：（1）1 是自然数。（2）任一自然数都有唯一自然数为其后继数。（3）没有两个相异 的自然数有同一后继数。（4）1 不是任何自然数的后继数。（5）如果 1 具有性质 P，且任何具有性质 P 的 自然数其后继数也具有性质 P，则一切自然数都具有性质 P。从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把 0 划归 在自然数之外的。再如，上海辞书出版社出版的《辞海》（1999 年版）把自然数解释为：在人类历史发展 的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等 等， 统称为 “自然数” 建国以来， 。 我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义， N={1， 3， 5， 用 2， 4， …} 来表示自然数集，而用 N*={0，1，2，3，4，5，…}表示扩展的自然数集。还有一种观点把 0 划归为自然数的范畴。 例如， 对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴基学派的 《数 学原本》中，从集合论的角度，把 0 作为空集的基数，这样，所有有限集合的基数就都可以用自然数来刻 画了。目前，国际上大多数国家也把 0 纳入自然数集中。为了国际交流的方便，国家技术监督局于 1993 年 12 月 27 日发布的《中华人民共和国国家标准》（GB-93）《量和单位》第 311 页，就已经规定 自然数集 N={0，1，2，3，…}。在《现代汉语词典》2005 年 6 月第 5 版中也把自然数定义成：零和大于零 的整数，即 0，1，2，3，4，5，…。根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准实验教材时，依 据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定 0 属于自然数。25二、对于亿这样比较大的计数单位，怎样帮助学生建立相应的数感？ 新课标非常强调对学生数感的培养，教材中也在相关的单元编入了大量帮助学生建立数感的素材。例如， 在认识 20 以内的数、100 以内的数时，教材就注意通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数 量大小的感觉。但是，对于一些比较大的计数单位（如万、亿） ，如何建立相应的数感？确实成为教师们教 学中的困惑。 首先要说明一点，为了叙述方便，这儿所讲的数感仅仅指对一个数量相对大小的感觉（事实上，数感有着 更丰富的内涵，指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感 悟） 。 数感的培养不是一两堂课就能达到目标的。因此，在日常教学中，需要时时处处进行这方面的渗透，不断 积累这方面的经验。例如，为了帮助学生形成对 100 这个数的感觉，教师可以通过让学生看百羊图、数 100 粒花生、数 100 根小棒、估计一堆水果的数量等活动，来建立相应的数感。 由上面的例子也可以看出，数感的培养不可能是一个抽象的过程。空泛地让学生说一说“1 万有多大？1 亿 有多大？”并没有太大的意义，应该借助大量的生活经验，帮助学生感受某种具体事物某个数量的相对大 小。 即便是借助直观的物体， 学生也未必能建立起很好的数感。 例如， 我们可以让学生观察一个由 1000 （10 ×10×10）个小正方体组成的大正方体，感受 1 千有多大，也可以让他们看十个这样的正方体，感受 1 万 有多大，但如果想通过同样的方式来建立 1 亿的数感，恐怕在操作层面上是难以实行的。要建立 1 亿的数 感，需要发挥学生的想像力，凭借生活经验，形成一种大致的感觉就可以了，教学时要求不宜过高。 教材中提供了一些帮助学生建立数感的范例，教学时可以参考借鉴。例如，第 12 页的第 15 题，让学生通 过一些数学策略和生活经验判断某个数据信息的合理性，就是一种很好的建立数感的方式。再如，第 4 页 的“你知道吗”以及第 33 页的“1 亿有多大” ，都是借助一些具体活动，通过计算，帮助学生感受 1 亿的 相对大小。但要感受 1 亿，并不像较小的计数单位那样，仅仅凭用眼看、用手摸等直观活动就能达到目的， 还需要学生能更好地利用数学工具，同时，要具备很好的长度观念、质量观念、时间观念，更需要学生有 较强的想像能力，所有这些，都可以辅助学生较好地建立 1 亿的数感。例如，1 亿名小学生手拉手可以绕 地球赤道 3 圈半，学生虽然不可能对地球赤道的长度有亲身体验，但可以利用想像和简单的科学知识，进 行粗略的感受。 除了教材上提供的这些素材以外，教师还可以充分发挥学生的创造性，让学生自行选择素材，设计各种活 动，感受丰富多样的“1 亿” ，如：一亿名小学生站在一起，占地面积大约是多少；1 亿粒大米有多少；1 亿粒黄豆有多少；1 亿滴水有多少；等等。 三、教材中介绍了计算器的使用，但实际教学中一般不允许使用计算器，应如何处理这一矛盾？ 随着经济、科技的快速发展，计算器、计算机在生活中的使用越来越广泛。对于社会生活中一些大数目、 多步骤的复杂计算，纸笔运算、珠算等显然已经不能完全满足新的要求，需要有更先进的计算工具来代替。 因此，计算器乃至计算机的使用已经成为现代社会公民的一项基本技能要求，在小学阶段要求学生学会使 用计算器，是符合社会发展的要求的。新课标在第二学段中明确要求学生： “能借助计算器进行较复杂的运 算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。 ”根据社会的发展状况和课标的精神，教科书中除了介绍 计算器的基本使用方法以外，还编入了一些利用计算器探索数学规律的习题。 与此同时，我们也应看到，在小学阶段，学生的主要任务是较好地掌握口算、笔算、估算技能。在此次小 学数学课程和教材改革中，虽然删去了大量的数目较大、步骤较多的计算内容，计算要求也相应降低，但 是值得注意的是，基本的计算能力仍然要求学生熟练掌握，这一点不会因为教材中引入计算器而有所改变。 学生对四则运算的意义、算理、算法的理解和掌握，仍然是小学数学教学的重点。 因此，要求学生熟练掌握口算、笔算、估算技能与学习使用计算器不是对立的，而应该和谐统一、互为促 进。 在计算教学中，首先要使学生学会判断何时使用口算，何时使用笔算，何时使用估算就足够了，何时又最 好使用计算器。根据不同的情境、不同的要求，选择合适的算法，是对学生计算能力的基本要求。试想一 下，学生学会计算器以后，如果面对 6×7 这样的简单计算也用计算器去计算，我们该如何评价其计算能力26呢？但如果碰到的是像 .7 这样的计算，又何必为难学生，非得要求他们用笔算呢？我们认为除 了学习基本的按键方法以外，学生可以在以下情况使用计算器：计算涉及到的数目较大，计算涉及的步数 较多，验算（要求笔算验算的除外） ，利用计算器探索和验证数学规律。 当然，计算器不是万能的。有时，对于一些特殊的题目，如 00+，运用巧妙的简算 方法，速度更快，准确率更高。再如，有时由于按键失误，反而引起错误，此时利用口算、估算的技能， 也可以帮助验证计算器计算的准确性，如计算 325×125，如果积的个位不是 5，就可以判断一定是按错键 了。 因此，在学习这部分内容时，要避免两种极端的做法。一是因为教材中编入了计算器的内容，一遇计算就 使用计算器，使得学生的口算、笔算能力大幅滑坡。二是怕学生养成对计算器过分依赖的坏习惯，索性就 不教学生使用计算器，这种讳疾忌医的做法也是没有必要的。关键是在教学中根据具体情况灵活把握尺度， 既要保证学生的基本计算能力得以牢固掌握，又要使学生掌握先进的计算工具，在一个信息化的时代，这 种技能的培养也是不可或缺的。 四、教材第 60 页的问题解决中，运用了乘法估算，并把两种估算方法加以比较。估算方法有好坏之分吗？ 应怎样展开估算教学？ 估算能力是学生计算能力中很重要的一个方面，新课改中加大了估算内容的比重，这也是符合各国数学课 改的潮流的。 估算的功能分为两方面，一是数学上的功能，例如培养数感（如判断 24×12=2408 计算结果的合理性） ，为 精确计算作准备（如要计算 492÷12 时，往往先用 480÷10 或 490÷10 或 500÷10 来试商） 。二是估算在生 活中的应用，当无法精确计算或没有必要精确计算时，有时用估算也能解决问题。下面谈的主要是第二种 情况。 在进行估算教学时，可以从以下几方面去思考，以供参考。 一、估算意识与估算技能的培养同样重要，前者的重要性有时甚至超过后者。过去的教学中，教师往往把 更多的注意力放在“如何估算”上，例如，先用“四舍五入法”求出算式中的近似数，再对近似数进行精 确计算，这样，估算就变成了一种僵化的固定的方法。对于“为什么要估算” ，过去关注得比较少。实际上， 学生能否根据不同的情境灵活选择合适的算法，是考查其解决问题能力的重要方面。对面对一个数据模糊 不清甚至残缺的问题情境时，有的学生束手无策，因为数据不完整，无法精确计算，但有的学生却能利用 已有信息，灵活运用估算策略，把问题解决，这就反映出两类学生不同层次的解决问题水平。 二、估算策略的灵活性问题。上面已经谈到，过去教学估算，策略往往是唯一的、固定的，但实际生活中 解决一个现实问题时，常常是“条条大路通罗马” ，选择何种估算策略，并没有一定之规。例如，要解决这 样一个问题： “燕鸥每