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1.3 三角函数的诱导公式说课稿【一等奖】
三角函数的诱导公式 高中数学 & & & 人教A版2003课标版
4.1 第一学时
&&&&教学活动
活动1【导入】三角函数的诱导公式
导入新课&&& 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.&&& ②复习诱导公式一及其用途.&&& 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°( 到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.推进新课新知探究提出问题&&& 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?&&& 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?②它们与单位圆的交点的位置关系如何?③任意角α与180°+α呢?&&& 活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2&&& 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.&&& 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:&&& sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.&&& 并指导学生写出角为弧度时的关系式:&&& sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.&&& 引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.&&& 讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.&&& ②它们与单位圆的交点关于原点对称.&&& ③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么?②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?&&& 活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°;(2)(3)sin( );(4)cos(-2 040°).&&& 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°= ;(2)sin =sin(4π )=-sin = ;(3)sin( )=-sin =-sin(5π+ )=-(-sin )= ;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°= .点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练& 利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin( π).解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2;(2)sin( π)=sin( -3×2π)=sin = .例2 2007全国高考,1cos330°等于(&&& )A. &&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&& D.答案:C变式训练化简:解:=== .例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°) -sin45°+cos120°=cos45° +cos(180°-60°)= -cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证: .分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=== =tanθ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-(2)-sin1;(3)-(4)cos70°6′.点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1) ;(2) ;(3)0.642 8;(4) .点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结&&& 本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题1.3& A组2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”(2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.基本步骤是:任意负角的三角函数 相应的正角的三角函数 0到2π角的三角函数 锐角的三角函数 三角函数.即负化正,大化小,化为锐角再查表.(设计者：沈献宏)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.推进新课新知探究提出问题&&& 终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?&&& 活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.图3&&& 讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角 -α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角 -α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有sinα=y,cosα=x,cos( -α)=y,sin( -α)=x.从而得到公式五:cos( -α)=sinα,sin( -α)=cosα.&&& 提出问题&&& 能否用已有公式得出 +α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?&&& 活动:教师点拨学生将 +α转化为π-( -α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为 +α可以转化为π-( -α),所以求 +α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果:公式六Sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα.&&& 提出问题&&& 你能概括一下公式五、六吗?&&& 活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.讨论结果: ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一—六都叫做诱导公式.提出问题&&& 学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是 ±α, -α.其中 , 是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.&&& 教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.示例应用思路1例1 证明(1)sin( -α)=-cosα;(2)cos( -α)=-sinα.&&& 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.证明:(1)sin( -α)=sin[π+( -α)]=-sin( -α)=-cosα;(2)cos( -α)=cos[π+( -α)]=-cos( -α)=-sinα.点评:由公式五及六推得 ±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到 π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例2 化简&&& 活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.解:原式== = =-tanα.思路2例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?&&& 活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos( -x)或cosx=sin( -x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.证明:(1)f(sinx)=f[cos( -x)]=cos[17( -x)]=cos(8π+ -17x)=cos( -17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin( -x)]=sin[n( -x)]=sin( -nx)=故所求的整数n=4k+1(k∈Z).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练& 已知cos( -α)=m(m≤1),求sin( -α)的值.解:∵ -α-( -α)= ,∴ -α= +( -α).∴sin( -α)=sin［ +( -α)］=cos( -α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是 的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例2 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求 的值.&& &活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x= ,∵-1≤x≤1,∴sinα= .又∵α为第三象限角,∴cosα= = .∴tanα= .∴原式= =tana=点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练& 若函数f(n)=sin (n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin ( +2π)=sin ,∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+ .例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.&& &活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.&&& 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ),∵f(2 003)=-1,∴asinα+bcosβ=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=asinα+bcosβ=1.&&& 点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习4—7.4.ΑSinαCosα5.(1)-(2)-tan79°39′;(3)-(4)-tan35°28′.6.(1) (2) ;(3)-0..758 7(5) ;(6)-0.647 5.7.(1)sin2α;(2)cos2α+课堂小结&&& 本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.作业1.课本习题1.3& B组2.2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.答案:44.5.
三角函数的诱导公式
课时设计 课堂实录
三角函数的诱导公式
&&&&教学活动
活动1【导入】三角函数的诱导公式
导入新课&&& 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.&&& ②复习诱导公式一及其用途.&&& 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°( 到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.推进新课新知探究提出问题&&& 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?&&& 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?②它们与单位圆的交点的位置关系如何?③任意角α与180°+α呢?&&& 活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2&&& 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.&&& 利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:&&& sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.&&& 并指导学生写出角为弧度时的关系式:&&& sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.&&& 引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.&&& 讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.&&& ②它们与单位圆的交点关于原点对称.&&& ③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么?②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?&&& 活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°;(2)(3)sin( );(4)cos(-2 040°).&&& 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°= ;(2)sin =sin(4π )=-sin = ;(3)sin( )=-sin =-sin(5π+ )=-(-sin )= ;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°= .点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练& 利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin( π).解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2;(2)sin( π)=sin( -3×2π)=sin = .例2 2007全国高考,1cos330°等于(&&& )A. &&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&& D.答案:C变式训练化简:解:=== .例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)=cos(-45°) -sin45°+cos120°=cos45° +cos(180°-60°)= -cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证: .分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=== =tanθ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3.解答:1.(1)-(2)-sin1;(3)-(4)cos70°6′.点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1) ;(2) ;(3)0.642 8;(4) .点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结&&& 本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题1.3& A组2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”(2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.基本步骤是:任意负角的三角函数 相应的正角的三角函数 0到2π角的三角函数 锐角的三角函数 三角函数.即负化正,大化小,化为锐角再查表.(设计者：沈献宏)第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.推进新课新知探究提出问题&&& 终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?&&& 活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.图3&&& 讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角 -α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角 -α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有sinα=y,cosα=x,cos( -α)=y,sin( -α)=x.从而得到公式五:cos( -α)=sinα,sin( -α)=cosα.&&& 提出问题&&& 能否用已有公式得出 +α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?&&& 活动:教师点拨学生将 +α转化为π-( -α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为 +α可以转化为π-( -α),所以求 +α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.讨论结果:公式六Sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα.&&& 提出问题&&& 你能概括一下公式五、六吗?&&& 活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.讨论结果: ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一—六都叫做诱导公式.提出问题&&& 学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是 ±α, -α.其中 , 是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.&&& 教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.示例应用思路1例1 证明(1)sin( -α)=-cosα;(2)cos( -α)=-sinα.&&& 活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.证明:(1)sin( -α)=sin[π+( -α)]=-sin( -α)=-cosα;(2)cos( -α)=cos[π+( -α)]=-cos( -α)=-sinα.点评:由公式五及六推得 ±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到 π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例2 化简&&& 活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.解:原式== = =-tanα.思路2例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?&&& 活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos( -x)或cosx=sin( -x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.证明:(1)f(sinx)=f[cos( -x)]=cos[17( -x)]=cos(8π+ -17x)=cos( -17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=f[sin( -x)]=sin[n( -x)]=sin( -nx)=故所求的整数n=4k+1(k∈Z).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练& 已知cos( -α)=m(m≤1),求sin( -α)的值.解:∵ -α-( -α)= ,∴ -α= +( -α).∴sin( -α)=sin［ +( -α)］=cos( -α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是 的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.例2 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,求 的值.&& &活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x= ,∵-1≤x≤1,∴sinα= .又∵α为第三象限角,∴cosα= = .∴tanα= .∴原式= =tana=点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练& 若函数f(n)=sin (n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.解:∵=sin ( +2π)=sin ,∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+f(2)+f(3)］=2+ .例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.&& &活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.&&& 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ),∵f(2 003)=-1,∴asinα+bcosβ=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=asinα+bcosβ=1.&&& 点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习4—7.4.ΑSinαCosα5.(1)-(2)-tan79°39′;(3)-(4)-tan35°28′.6.(1) (2) ;(3)-0..758 7(5) ;(6)-0.647 5.7.(1)sin2α;(2)cos2α+课堂小结&&& 本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.作业1.课本习题1.3& B组2.2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.答案:44.5.
精品导学案
中小学教师帮