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如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有无数&个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
本题难度：
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有____个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点...”的分析与解答如下所示：
解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，
×60°=30°．
∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴点C的坐标为（3，2
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，
∵点C的坐标为（3，2
∴CD=3，OD=2
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，
∴∠AP1B=∠AP2B=30°．
∵CP2=CA=4，CD=3，
∵点C为圆心，CD⊥P1P2，
∴P1D=P2D=
∴P2（0，2
）．P1（0，2
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P3（0，-2
）．P4（0，-2
综上所述：满足条件的点P的坐标有：
）、（0，2
）、（0，-2
）、（0，-2
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，-
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，
）和（0，-
（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
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如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有____个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； ...
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经过分析，习题“如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有____个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点...”主要考察你对“24.3 正多边形和圆”
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24.3 正多边形和圆
与“如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有____个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点...”相似的题目：
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2014年高二数学课堂基础规范教案：1.2.1《任意角的三角函数》（新人教A版必修4）
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备战2013中考数学压轴题1
备战 2013 中考数学压轴题集锦1． （北京市）在□ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线 段 EF（如图 1） ． （1）在图 1 中画图探究： ①当 P1 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 点重合）时，连结 EP1，将线段 EP1 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG1，判断直线 FG1 与直线 CD 的位置关系并加以证明； ②当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时， 连结 EP2， 将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG2，判断直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． （2）若 AD＝6，tanB＝4 3，AE＝1，在①的条件下，设 CP1＝x，S△P1FG1＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． F FA BE CD BAE CD图1图 2（备用）2． （北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－6，0)，B(6，0)， C(0， 43)，延长 AC 到点 D，使 CD＝1 2AC，过 D 点作 DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E．（1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 y ? kx ? b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y＝kx＋b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点 按照上述要求到达 A 点所用的时间最短． （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）yE CD1AO 1B x3． （天津市）已知一个直角三角形纸片 OAB，其中∠AOB＝90° ，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在 平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D． y （Ⅰ）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标； B1 O Ax（Ⅱ）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B′，设 OB′＝x，OC＝y，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确 定 y 的取值范围； yBOAx（Ⅲ）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B′′，且使 B′′D∥OB，求此时点 C 的坐标．yBO2Ax4． （天津市）已知函数 y1＝x，y2＝x ＋bx＋c，α，β 为方程 y1－y2＝0 的两个根，点 M(1，T)在函数 y2 的 图象上． （Ⅰ）若 α＝ ，β＝3 11 2，求函数 y2 的解析式；1 123（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数 y1 与 y2 的图象的两个交点为 A，B，当△ABM 的面积为时，求 t的值； （Ⅲ）若 0＜α＜β＜1，当 0＜t＜1 时，试确定 T，α，β 三者之间的大小关系，并说明理由． 5． （上海市）在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，4） ，直线 CM∥ x 轴（如图所示） ．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y＝x＋b（ b 为常数）经过点 B，且与直线 CM 相交于 点 D，联结 OD． （1）求 b 的值和点 D 的坐标； （2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切，求圆 O 的半径． yy＝x＋b4 3 2 1CDMB?1 OA1x6． （上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，2且满足PQ PC＝AD AB（如图 1 所示） ．（1）当 AD＝2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示） ，求线段 PC 的长； （2）在图 1 中，联结 AP．当 AD＝3 2，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离为 x，S △ APQ S △ PBC＝y，其中 S △ APQ 表示△APQ 的面积， S △ PBC 表示△ PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 AD ＜ AB，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示） ，求∠QPC 的大小． A P D A P P Q B 图1 D A DCB(Q) ）C 图2B 图3 QC7． （重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴 的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC， 交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交 于点 G．如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y6 5，那么 EF＝2GO 是否成A EDBO 8． （重庆市江津区）如图，抛物线 y＝－x ＋bx＋c 与 x 轴交于 A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；2Cx（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最 小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P3的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．yCB OAx9． （重庆市綦江县）如图，已知抛物线 y＝a(x－1) ＋ 323(a≠0)经过点 A(－2，0)，抛物线的顶点为 D，过 O 作射线 OM∥AD．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC． （1）求该抛物线的解析式； （2） 若动点 P 从点 O 出发， 以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动， 设点 P 运动的时间为 （s） 问： t ． 当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若 OC＝OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度 单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动 的时间为 t（s） ，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的 长． y M D CP A O Q B x10． （江苏省）如图，已知二次函数 y＝x －2x－1 的图象的顶点为 A，二次函数 y＝ax ＋bx 的图象与 x 轴 交于原点 O 及另一点 C，它的顶点 B 在函数 y＝x －2x－1 的图象的对称轴上． （1）求点 A 与点 C 的坐标； （2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 y＝ax ＋bx 的关系式．2 222y2 1 -1 O -1 -2 1y＝x －2x－1223xA11． （江苏省）如图，已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 D（3，0）和点 E（0，4） ，动点 C 从点 M（5， 0）出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也以 1 个单 位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动．设运动时间为 t 秒． （1）请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；4（2）以点 C 为圆心、1 2t 个单位长度为半径的⊙C 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，连接PA、PB． ① 当⊙C 与射线 DE 有公共点时，求 t 的取值范围； ② 当△PAB 为等腰三角形时，求 t 的值．EyP O DA C BM x12． （浙江省杭州市）已知平行于 x 轴的直线 y＝a(a≠0)与函数 y＝x 和函数 y＝ 点 B，又有定点 P(2，0)． （1）若 a＞0，且 tan∠POB＝1 91 x的图象分别交于点 A 和，求线段 AB 的长；8（2）在过 A，B 两点且顶点在直线 y＝x 上的抛物线中，已知线段 AB＝ ，且在它的对称轴左边时，y3随着 x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到 y＝9 5x 的图象，求点 P 到直线 AB 的距离．2y4y＝1 xy＝x321-2-1 -1 -2O1P（2，0）x13． （浙江省台州市）如图，已知直线 y＝－1 2x＋1 交坐标轴于 A、B 两点，以线段 AB 为边向上作正方形ABCD，过点 A，D，C 的抛物线与直线另一个交点为 E． （1）请直接写出点 C，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；5（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止．设正方形落在 x 轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止，求抛物线上 C、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．yD C A O B Exy ? ?1 2x ?114． （浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，0） ，B（ 33，2） ，C（0，2） ．动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 O 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动．过点 E 作 EF⊥AB，交 BC 于点 F，连结 DA、DF．设运动时间为 t 秒． （1）求∠ABC 的度数； y F （2）当 t 为何值时，AB∥DF； C （3）设四边形 AEFD 的面积为 S． ①求 S 关于 t 的函数关系式； D ②若一抛物线 y＝－x ＋mx 经过动点 E，当 S＜2 求 m 的取值范围（写出答案即可） ．2 2B3时，O AEx15． （浙江省湖州市）已知：抛物线 y＝x －2x＋a（a ＜0）与 y 轴相交于点 A，顶点为 M．直线 y＝ 分别与 x 轴，y 轴相交于 B，C 两点，并且与直线 AM 相交于点 N． （1）填空：试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标，则 M（ CD，求 a 的值和四边形 ADCN 的面积； ， ） ，N（ ，1 2x－a） ；（2）如图，将△NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N ′ 恰好落在抛物线上，AN ′ x 轴交于点 D，连结 与 （3）在抛物线 y＝x －2x＋a（a ＜0）上是否存在一点 P，使得以 P，A，C，N 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，试说明理由． y C N O B A M D N′ x B A M 备用图 N O x C y2616． （浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点 A（－4，8）和点 B（2，n）在抛物线 y＝ax 上． （1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ＋QB 最短，求出点 Q 的坐标； 2 （2）平移抛物线 y＝ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′ ，点 B 的对应点为 B′ ，点 C（－2，0）和点 D （－4，0）是 x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求 出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．y A8 6 4 22B2 4DC x-4 -2 O -2 -417． （浙江省宁波市）如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（－8，0） ，直线 BC 经过点 B（－8，6） ，C（0，6） ，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 α 度得到四边形 OA′B′C′，此 y 时直线 OA′、直线 B′C′分别与直线 BC 相交于 P、Q． （1）四边形 OABC 的形状是_______________， 当 α ＝90° 时，BP BQA′ B PBP BQB′ C Q的值是____________； 的值；（2）①如图 2，当四边形 OA′B′C′的顶点 B′ 落在 y 轴正半轴上时，求αC′ x②如图 3，当四边形 OA′B′C′的顶点 B′ 落在直线 BC 上时，求 ΔOPB′ 的面积．A1 2O 图1 BQ？若存（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 0＜α ≤180° 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使 BP＝ 在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． y B′ B A′ P C Q C′ A O 图2 x A O 图3 C′ x A O 备用图 B y A′ C P B′(Q) B C yx18． （浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6） ，点 B 是 x 轴上的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90° ，得到线段 BC．过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D．设点 B 坐标是（t，0） ． （1）当 t ＝4 时，求直线 AB 的解析式； （2）当 t＞0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ ABC 的面积； （3）是否存在点 B，使△ABD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 B 的坐标；若不存在， 请说明理由．7y A D M O B C xy AO 备用图x19． （浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线 F1 得到抛物线 F2，使 F2 经过 F1 的顶点 A．设 F2 的对称 轴分别交 F1，F2 于点 D，B，点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点． （1）如图 1，若 F1：y＝x ，经过变换后，得到 F2：y＝x ＋bx，点 C 的坐标为（2，0） ，则 ①b 的值等于__________； ②四边形 ABCD 为（ A．平行四边形2 2 2） ； B．矩形 C．菱形 D．正方形（2）如图 2，若 F1：y＝ax ＋c，经过变换后，点 B 的坐标为（2，c－1） ，求△ABD 的面积； （3）如图 3，若 F1：y＝ x －3 122 3x＋7 3，经过变换后，AC＝ 23，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值． y y F1 F2 P D O(A) B （图 1） C x A B O （图 2） x O （图 3） C B x A C y F1 F2 D D F1 F220． （浙江省嘉兴市）如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以 A 为中心顺时 针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 AB＝x． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； C （3）探究：△ABC 的最大面积？MABN21． （浙江省义乌市）已知点 A、B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C、D 是某个函数图像上的点，当四边 形 ABCD（A、B、C、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如： 如图，正方形 ABCD 是一次函数 y＝x＋1 图像的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数 y＝x＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数 y＝k x（k＞0） ，它的图像的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，m） （m＜2）在8反比例函数图像上，求 m 的值及反比例函数的解析式； （3）若某函数是二次函数 y＝ax ＋c（ a ≠0） ，它的图像的伴侣正方形为 ABCD，C、D 中的一个点坐标为 （3，4） ．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析 式________________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？__________． （本小题只 需直接写出答案）y y y2y＝x＋1D C O B 第(1)题图 第(2)题图 AxOx4 3 2 1(3,4)-2 -1 0 1 2 3x第(3)题图22． （浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC 中，∠A＝∠B＝30° ，过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D． （1）尺规作图：过 A，D，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法） ； （2）求证：BC 是过 A，D，C 三点的圆的切线； （3）若过 A，D，C 三点的圆的半径为3，则线段 BC 上是否存在一点 P，使得以 P，D，B 为顶点的三角形与△BCO 相似，若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由． CADB23． （浙江省丽水市） 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图， D 两点的坐标分别为 C， （4， ， 3） 现 0） （0， ． 有两动点 P，Q 分别从 A，C 同时出发，点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动，点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动， 设运动时间为 t 秒． （1）填空：菱形 ABCD 的边长是________、面积是________、高 BE 的长是________； （2）探究下列问题： ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度为每秒 2 个单位，当点 Q 在线段 BA 上时，求△APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，以及 S 的最大值； ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位，点 Q 的速度变为每秒 k 个单位，在运动过程中，任何时刻都有相 应的 k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当 t＝4 秒时的情形，并求出 k 的值．yD E A O CxB924． （浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过点（－1，1） ，且对于任意的实 数 x，有 4x－4≤ax ＋bx＋c≤2x －4x＋4 恒成立． （1）求 4a＋2b＋c 的值． （2）求 y＝ax ＋bx＋c 的解析式． （3）设点 M（x，y）是抛物线上任一点，点 B（0，2） ，求线段 MB 的长度的最小值． 25． （浙江省奉化市保送生考试）如图，射线 OA⊥射线 OB，半径 r＝2cm 的动圆 M 与 OB 相切于点 Q（圆 M 与 OA?没有公共点） 是 OA 上的动点，且 PM＝3cm，设 OP＝xcm，OQ＝ycm． ，P （1）求 x、y 所满足的关系式，并写出 x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的 x 的值． （3）是否存在大于 2 的实数 x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应 x 的值，若不存在，请说明理由． B2 2 22QMOPA26． （河南省） 如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） D（8，8） 、 ．抛 物线 y＝ax ＋bx 过 A、C 两点． （1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运 动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． ① 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，交抛物线于点 G．当 t 为何值时，线段 EG 最长？ ② 连接 EQ，在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相 y 应的 t 值．A F G P E Q D2OBCx27． （安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 金额 w（元） 【解】批发单价（元） ① ② 300 200 1005 4O2060批发量（kg） O 20 40 60 批发量 n（kg）图（1）10（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 n（kg）之间的 日最高销量（kg） 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． （6，80） 80 【解】 （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 （7，40） 40 数关系如图（2）所示．该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 2 4 6 8 零售价（元） O 使得当日获得的利润最大． 图（2） 【解】 28． （安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（－1，0） ，B（0， O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 顺时针旋转 90° ，得到△A′B′O． （1）如图，一抛物线经过点 A、B、B′，求该抛物线解析式； （2）设点 P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形 PBAB′ 的 面积达到最大时点 P 的坐标及面积的最大值．23） ，y3B A′ 1 A-1 O -1 1B′2x29． （安徽省蚌埠二中高一自主招生考试） 已知关于 x 的方程(m －1)x －3(3m－1)x＋18＝0 有两个正整数 根（m 是整数） ，△ABC 的三边 a、b、c 满足 c＝ 2 求： （1）m 的值； （2）△ ABC 的面积． 30． （吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠B＝60° ．从初始时刻开始，点 P、Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A→C→B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C→D 的方 向运动，当点 Q 运动到 D 点时，P、Q 两点同时停止运动．设 P、Q 运动的时间为 x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 0 的三角形） ，解答下列问题： ．．．． （1）点 P、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒； （2）点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时 x 的值是__________秒； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式． D C322，m ＋a m－8a＝0，m ＋b m－8b＝0．2222P A 31． （吉林省长春市）如图，直线 y＝－3 4QB5 4x＋6 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线 y＝x 与 AB 交于点 C， 与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D． E 从点 A 出发， 点 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动． 过 点 E 作 x 轴的垂线， 分别交直线 AB、 于 P、 两点， PQ 为边向右作正方形 PQMN， OD Q 以 设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位） ，点 E 的运动时间为 t（秒） ．11（1）求点 C 的坐标； （2）当 0＜t＜5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）求（2）中 S 的最大值； （4）当 t＞0 时，直接写出点（4， y Q B C PO9 2）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围．D MN A xE32． （山西省）如图，已知直线 l1：y＝2 3x＋ 与直线 l2：y＝－2x＋16 相交于点 C，l1、l2 分别交 x 轴于 A、38B 两点．矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2 上，顶点 F、G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合． （1）求△ABC 的面积； （2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长； （3）若矩形 DEFG 从原地出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为 t（0≤t ≤12）秒，矩形 DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的 取值范围； （4）S 是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的 t 值，若不存在，请说明理由． yl2 l1 E C DA O F (G) B 33． （山西省太原市） 问题解决 如图（1） ，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E（不与x点 C，D 重合） ，压平后得到折痕 MN．当CE CD＝1 2时，求AM BN的值．A M CF D方法指导： AM 为了求得 的值，可先求 BN、AM 的长，不妨设 AM＝2．BNEBNC类比归纳 在图（1）中，若 若CE CD CE CD图（1） ＝ ，则3 AM BN 1 AM BN的值等于___________；若CE CD＝1 4，则AM BN的值等于___________；＝1 n（n 为整数） ，则的值等于___________． （用含 n 的式子表示）联系拓广12如图（2） ，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E（不与点 C，D 重合） ，压平后得到折 痕 MN，设AB BC＝1 m（m＞1） ，CE CD＝1 n，则AM BN的值等于_______________． （用含 m，n 的式子表示）F A M C E DB2NC图（2） 34． （江西省、江西省南昌市）如图，抛物线 y＝－x ＋2x＋3 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D． （1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF∥DE 交抛物线 于点 F，设点 P 的横坐标为 m． ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式． y D CAOBx35． （江西省、江西省南昌市）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF∥ BC 交 CD 于点 F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60° ． （1）求点 E 到 BC 的距离； （2） P 为线段 EF 上的一个动点， P 作 PM⊥EF 交 BC 于点 M， M 作 MN∥AB 交折线 ADC 于点 N， 点 过 过 连结 PN，设 EP＝x． ①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ，△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长； 若改变，请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由． N D A D A A D N P E F E F E F P B 图1 A E B 图 4(备用) D F C13CBMC 图2 A E BB D FM 图3CC 图 5(备用)36． （青海省）矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A（6，0） ，C（0， ，直线 y ＝－ －3）3 4x 与 BC 边相交于 D 点．（1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 y＝ax －29 4x 经过点 A，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M，点 P 为对称轴上一动点，以 P、O、M 为顶点的 三角形与△OCD 相似，求符合条件的点 P 的坐标． yA O6x-3CDBy＝－3 4x37． （青海省西宁市）已知 OABC 是一张矩形纸片，AB＝6． （1）如图 1，在 AB 上取一点 M，使得△CBM 与△CB′′M 关于 CM 所在直线对称，点 B′′恰好在边 OA 上， 且△OB′C 的面积为 24cm2，求 BC 的长； （2）如图 2．以 O 为原点，OA、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．求对称轴 CM 所在 直线的函数关系式； （3）作 B′G∥AB 交 CM 于点 G，若抛物线 y＝C B C M O B′′ G1 6x ＋m 过点 G，求这条抛物线所对应的函数关系式． yB M O B′′ A2Ax图1 图2 38． （新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往 返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 y （单位：千米）与所用时间 x （单位：小时）的函数图象。已知公共汽车比出租车晚 1 小时出发，到达石 河子市后休息 2 小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐市早 1 小时。 （1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 y （千米） y（千米） 与所用时间 x （小时）的函数图象。 （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。150 100 50 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x（小时）39． （新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形 OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为 A（4，0） 、C（0，2） ，D 为 OA 的中点．设点 P 是∠AOC 平分线上的一个动点（不与点 O 重合） ．14（1）试证明：无论点 P 运动到何处，PC 总与 PD 相等； （2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式； （3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和△PDE 的周长； （4） 设点 N 是矩形 OABC 的对称中心， 是否存在点 P， 使∠CPN＝90° ？若存在， 请直接写出点 P 的坐标．yC(0,2)BP O DA(4,0)x40． （云南省）已知在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 的坐标分别为 A（3，0） ，C（0， 4） ，点 D 的坐标为 D（－5，0） ，点 P 是直线 AC 上的一动点，直线 DP 与 y 轴交于点 M．问： （1）当点 P 运动到何位置时，直线 DP 平分矩形 OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线 DP 的函数解析式； （2）当点 P 沿直线 AC 移动时，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点 M，若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点 P 为圆心、半径长为 R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆 P．若设 动圆 P 的直径长为 AC，过点 D 作动圆 P 的两条切线，切点分别为点 E，F．请探求是否存在四边形 DEPF 的最小面积 S，若存在，请求出 S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．y yCBCBDOAxDOAx备用图 41． （云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是梯形，OA∥BC，点 A 坐标为（6，0） ， 点 B 坐标为（3，4） ，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点 M 在 OA 边上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 边上运动，从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达 终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为 t（秒） ． （1）求线段 AB 的长；当 t 为何值时，MN∥OC？ （2）设△ CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；S 是否有最小 值？若有最小值，最小值是多少？ （3）连接 CA，那么是否存在这样的 t 值，使 MN 与 AC 互相垂直？若存在，求出这时的 t 值；若不存15在，请说明理由．yC B N O M Ax42． （陕西省）如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且 OB＝2OA，点 A 的坐标是（－1，2） ． （1）求点 B 的坐标； （2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式； （3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 S△ABP ＝S△ABO． A 1 O 43． （陕西省） 问题探究 （1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90° ．． P，并说明理由． 的一个点 （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边） ，画出使∠APB＝60° ．． 的所有的点 P，并说明理由． 问题解决 （3）如图③，现在一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 △APB 和△CP′D 钢板，且∠APB＝∠CP′D＝60° ．请你在图③中画出符合要求的点 P 和 P′，并求出△APB 的面积（结果保留根号） ． D C D C D C 1 x B yA ①BA ②BA ③B44． （河北省）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝3，AB＝5．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单 位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动．伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止．设点 P、Q 运动 的时间是 t 秒（t＞0） ． （1）当 t＝2 时，AP＝_________，点 Q 到 AC 的距离是_________； （2） 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中， 求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能， B 请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值． ．．E Q D 16 A P C45． （海南省）如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为（2，4） ；矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD＝2，AB＝3． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一 动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3） ，直线 AB ．．．．． 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示） ． ①当 t＝5 2时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由；②设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值； 若不存在，请说明理由． y M C B C y N M B P D O (A) 图1 E x DO A 图2 E x46． （宁夏回族自治区）已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在△ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动 （运动开始时， M 与点 A 重合， N 到达点 B 时运动终止） 点 点 ， 过点 M、N 分别作 AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S，运动的时间为 t．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围． C QP A BMN47． （西藏自治区）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，两动点 E、F 分别从顶点 B、C 同时开始以相同速度 沿 BC、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边 EG＝BC，B、 E、C、G 在同一直线上。 （1）若 BE＝1，求 DH 的长。 （2）当点 E 在 BC 边上什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求出该三角形面积的最小值。17A3D3FHBECG48． （贵州省贵阳市）如图，有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m） ，围成中间隔有 2 一道篱笆（平行于 AB）的矩形花圃．设花圃的一边 AB 为 xm，面积为 ym ． (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成面积为 63m2 的花圃，AB 的长是多少？ (3)能围成面积比 63m2 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．10m A DBC49． （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的顶点坐标分别为 A（0，2） ，O（0，0） ，B （4，0） ，把△AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90° 得到△COD（点 A 转到点 C 的位置） ，抛物线 y＝ax ＋bx ＋c(a≠0)经过 C、D、B 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 P，求△PAB 的面积； （3）抛物线上是否存在点 M，使△MBC 的面积等于△PAB 的面积？若存在，请求出点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由． 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 A B 4 5 x y250． （贵州省安顺市）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（－1，0） 、E（3，0）两点，与 y 轴交于点 B（0，3） ． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积； （3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由． y D BA18OEx51． （贵州省六盘水市盘县特区）如图 1，已知双曲线 y＝k x（ k ＞0）与直线 y＝k′ x 交于 A，B 两点，点 A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点 A 的坐标为（4，2）则点 B 的坐标为_____________；若点 A 的横坐标为 m，则点 B 的坐标可 表示为_____________； （2）如图 2，过原点 O 作另一条直线 l，交双曲线 y＝k x（ k ＞0）于 P，Q 两点，点 P 在第一象限．①说明四边形 APBQ 一定是平行四边形； ②设点 A，P 的横坐标分别为 m，n，四边形 APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接 写出 m，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由． y y P A O B x B Q 图1 图2 O A x52． （贵州省六盘水市盘县特区）如图 1，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点 A 的坐标 是（0，4） ，点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结 AP，并把△AOP 绕着点 A 按逆时针方向 旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到△ABD． （1）求直线 AB 的解析式； （2）当点 P 运动到点（3，0）时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标；3 4（3）是否存在点 P，使△OPD 的面积等于 请说明理由． y A B D，若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在， y A BOP 图1xO 图 2（备用图）x53． （贵州省毕节地区）如图 1，已知抛物线 y＝ax －2ax－3 与 x 轴交于 A、B 两点，其顶点为 C，过点 A 的直线交抛物线于另一点 D(2，－3)，且 tan∠BAD＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）连结 CD，求证：AD⊥CD； （3）如图 2，P 是线段 AD 上的动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求线段 PE 长度的最大值； （4）点 Q 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A，D，F，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．219yyyA OBxA O PBxA OBxD C 图1E 图2DD 备用图54． （贵州省铜仁地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，边 AB 在 x 轴上，且 AB＝6，D（0，9） ，以点 C 为顶点的抛物线经过 A、B 两点，直线 l 过点 C，交 y 轴于点 E（0，12） ． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点 C 沿直线 l 向上移动，当抛物线经过 D 点时，求抛物线的解析式和 A、C 两点间的 抛物线弧扫过的面积； （3）P 是线段 BD 上的动点，连结 CP，B，D 两点到直线 CP 的距离之和是否存在最大值？若存在，请求 出其最大值和此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．y E DC lOABx55． （贵州省黔东南州）已知二次函数 y＝x ＋ax＋a－2． （1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点； （2）设 a ＜0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得△PAB 的面积为 若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由． 56． （贵州省黔西南州）如图，二次函数 y＝x ＋bx＋c（c≠0）的图象经过点 A(－2，m)(m＜0)，与 y 轴 交于点 B，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧） ，AB∥x 轴，且 AB : OB＝2 : 3． （1）求 m 的值； y （2）求二次函数的解析式； （3）在线段 BC 上是否存在点 P，使△POC 为等腰三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． x C O D223 13 2？AB2057． （贵州省黔南州）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A(－4，0)、B(2，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，－4)， 矩形 DEFG 的一条边 DG 在线段 AB 上，顶点 E、F 分别在线段 AC、BC 上． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并写出 m 的取值范围； （3）当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 GE 并延长至点 M，使 ME＝k? GE，若点 M 不在抛物线上， 求 k 的取值范围． yD A E OG B F C x58． （甘肃省兰州市）如图①，正方形 ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为（0，10）（8，4） ， ，点 C 在第一 象限．动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒． （1）当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图② 所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度； （2）求正方形边长及顶点 C 的坐标； （3）在（1）中当 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标． （4）如果点 P、Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时，OP 与 PQ 能否相等，若能， 写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由． yD C A P B O Qx111x 图①O10t图②259． （甘肃省天水市）如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax ＋bx＋c（a＞0）的图象顶点为 D 点， 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，OB＝OC，tan∠ACO ＝ ．3 1（1）求这个二次函数的表达式． （2）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长 度． （3）如图 2，若点 G（2，y)是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动 到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时 P 点的坐标和△AGP 的最大面积．21yyA COBxA COB GxD 图1 60． （甘肃省庆阳市）如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 （1）点 A 的坐标为_____________，点 B 的坐标为_____________； （2）抛物线的关系式为________________________； （3）设（2）中抛物线的顶点为 D，求△DBC 的面积；5D 图2 的等腰直角三角板 ABC 放在第二象2限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点 C 的坐标为（－1，0） ，点 B 在抛物线 y＝ax ＋ax－2 上．（4）将三角板 ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 90° ，到达△AB′C′ 的位置．请判断点 B ′、C ′ 、是否在（2） 中的抛物线上，并说明理由．y A B C O B′ D C′ x61． （甘肃省陇南市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积； （3）在 x 轴的正半轴上有一点 P，作 PQ⊥x 轴交 BC 于 Q，设 PQ＝k，△CPQ 的面积为 S，求 S 关于 k 的函数关系式，并求出 S 的最大值． yA O MP QB xC2262． （甘肃省平凉市）如图，在平面直角坐标系中，半圆 M 的圆心 M 在 x 轴上，半圆 M 交 x 轴于 A（－1， 0） 、B（4，0）两点，交 y 轴于点 C，弦 AC 的垂直平分线交 y 轴于点 D，连接 AD 并延长交半圆 M 于点 E． （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）求证：AC＝CE； （3）若 P 为 x 轴负半轴上的一点，且 OP＝1 2AE，是否存在过点 P 的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到 y 轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由． y E CD A O M B x63． （甘肃省张掖市）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，2） ，点 P 是线段 OA 上的一个动点 （不与 O，A 重合） ，过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN．连接 AN 并延长交 x 轴于 点 B，连接 ON．设 OQ＝t． （1）求证：OQ＝QM； （2）求线段 BM 的长（用含 t 的代数式表示） ； （3）△BMN 与△MON 能否相似？若能，求出此时△BMN 的面积；若不能，请说明理由． y P A NOQM Bx64． （甘肃省甘南州）如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A（－6， 0） 、B（0，－8）两点，两点． （1）求直线 AB 的函数表达式； （2）有一开口向下的抛物线过 B 点，它的对称轴平行于 y 轴且经过点 P，顶点 C 在⊙P 上，求该抛物线 的函数表达式； （3）设（2）中的抛物线交 x 轴于 D，E 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S△QDE ＝ 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y A D P B C E O x1 15S△ABC？若存在，2365． （甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图 1，抛物线 y＝x －2x＋k 与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于点 C（0，－3）（图 2、图 3 为解答备用图） ． （1）k＝_____________，点 A 的坐标为_____________，点 B 的坐标为_____________； （2）设抛物线 y＝x －2x＋k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 y＝x －2x＋k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．y y y2 22A COBxA COBxA COBx图1图2图366．(内蒙古呼和浩特市)如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90? ，AB＝12cm，AD＝8cm， BC＝22cm，AB 为⊙O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一 个动点也随之停止运动．设运动时间为 t(s)． （1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？ （2）当 t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？ A P DOB2QC67． （内蒙古包头市）已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象经过点 A（1，0） ，B（2，0） ，C（0， ，直线 x＝m（m＞2）与 x 轴交于点 D． －2） （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x＝m（m＞2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以 A、O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求 出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．yOx2468． （内蒙古鄂尔多斯市）已知：t1，t2 是方程 t ＋2t－24＝0，的两个实数根，且 t1＜t2，抛物线 y＝22 3x2＋bx＋c 的图象经过点 A（t1，0） ，B（0，t2） ． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设点 P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形 OPAQ 是以 OA 为对角线的平行四边形， 求□OPAQ 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，当□OPAQ 的面积为 24 时，是否存在这样的点 P，使□OPAQ 为正方形？若存在， 求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由． yQBAOxP69． （内蒙古锡林郭勒盟通辽市兴安盟呼伦贝尔市）如图，矩形 OABC 的对角线 OB 在 x 轴上，点 C 的坐 标为(4，3)，将矩形 OABC 翻折，使点 B 与坐标原点 O 重合，点 C 落在点 D 处． （1）求点 B 和点 D 的坐标； （2）一条抛物线经过原点 O，顶点为 D，求该抛物线的解析式； （3）在（2）中的抛物线 OD 段上是否存在点 P，使得四边形 POBD 的面积最大？若存在，求出其最 大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． y D C(4，3)OBxA 70． （内蒙古赤峰市）如图，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝ 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 OA＝101k x的图象交于 A、B 两点，与 x，tan∠AOC＝ ，点 B 的坐标为（m， 2） － ．3（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式； （3）在 y 轴上存在一点 P，使得△PDC 与△ODC 相似，请你求出 P 点的坐标． y A O C D B x2571． （内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC 的顶点坐标分别为 A（0， ＝90° ，BC 与 y 轴的交点为 D，D 点坐标为（0，3 33） ，B（－1 2，3 2） ，C（1，0） ，∠ABC） ，以点 D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点 B．（1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABC 沿 AC 折叠后得到点 B 的对应点 B′，求证：四边形 AOCB′是矩形，并判断点 B′是否在（1） 的抛物线上； （3）延长 BA 交抛物线于点 E，在线段 BE 上取一点 P，过 P 点作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存 在这样的点 P，使四边形 PADF 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由．y A B B′D O C1 4x72． （内蒙古乌兰察布市）如图 1，直线 y＝3 4x－1 与抛物线 y＝－x 交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，2与 y 轴交于点 C． （1）求线段 AB 的长； （2）若以 AB 为直径的圆与直线 x＝m 有公共点，求 m 的取值范围； （3）如图 2，把抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 n 个单位（n＞0） ，抛物线与 x 轴交于 P，Q 两 点，过 C，P，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时 n 的值，若 不存在，请说明理由． y y Q P C xO O C B xA图12图273．（内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(1，0)、B(7，0)，与 y 轴交 于点 C，且 OC 的长为 7． （1）求抛物线的表达式； （2）若过点 C 的直线 y＝kx＋b 与抛物线相交于点 E(5，m)，求直线 CE 的表达式； （3）求△CBE 的面积 S 的值； （4）在抛物线上是否存在点 P，使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点 P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点 P，请说明理由．26yC－1 1OABxE 74． （黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC 的高 AD 所在直线与高 BE 所在直线相交于点 F． （1）如图 l，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC＝45° ，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，求证： FG＋DC＝AD； （2）如图 2，若∠ABC＝135° ，过点 F 作 FG∥BC，交直线 AB 于点 G，则 FG、DC、AD 之间满足的 数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若 AG＝ 52，DC＝3，将一个 45° 角的顶点与点 B 重合并绕点 B 旋转，这个角的两边分别交线段 FG 于 M、N 两点（如图 3） ，连接 CF，线段 CF 分别与线段 BM、线段 BN 相交于 P、 Q 两点，若 NG＝3 2，求线段 PQ 的长．A A D E F D 图1 C F 图2 G F M 图3 B E C D B Q P N G A E CG B75． （黑龙江省哈尔滨市）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H． （1）求直线 AC 的解析式； （2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运 动，设△PMB 的面积为 S（S≠0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所 y y 夹锐角的正切值．A H B A H BMMOCxOCx图127图2y A H Ay HBBMMOCxOCx备用图备用图76． （黑龙江省牡丹江市、鸡西市）如图，□ABCD 在平面直角坐标系中，AD＝6，若 OA、OB 的长是关 于 x 的一元二次方程 x －7x＋12＝0 的两个根，且 OA＞OB． （1）求 sin∠ABC 的值． （2）若 E 为 x 轴上的点，且 S△AOE ＝16 32，求经过 D、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？ （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边 形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．yADBOCx77． （黑龙江省大庆市）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 B 在 2 y 轴负半轴上，CD 交 x 轴正半轴于 E，DA 交 y 轴正半轴于 F，OF＝1，抛物线 y＝ax ＋bx－4 经过点 B、 E，且与直线 AB 只有一个公共点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若 P 是抛物线上的一点，使得锐角∠PBF＜∠ABF，求点 P 的横坐标 xp 的取值范围； （3）过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 M，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 AM 总有公 共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？yD F E A O C B x2878． （黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市）直线 y ＝ ?3 4x ? 6与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O→ B→A 运动． （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t 秒，△OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 S＝ 的坐标． y B48 5时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 MP xO 79． （黑龙江省大兴安岭地区）直线 y ＝ kx? bQA（k≠0）与坐标轴分别交于 A、B 两点，OA、OB 的长分别是方程 x 2 ? 14 x ? 48 ＝0 的两根（OA＞OB） ．动点 P 从 O 点出发，沿路线 O→B→A 以每秒 1 个单位长度 的速度运动，到达 A 点时运动停止． （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 P 的运动时间为 t(秒)，△OPA 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式（不必写出自变量的 取值范围） ； （3）当 S＝12 时，直接写出点 P 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 M，使以 O、A、P、M 为顶 点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． y BP O 80． （黑龙江省双鸭山市、黑河市）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－ A3 4xx－12 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，点 C 在 x 轴上，且△ABC∽△AOB． （1）求点 C 的坐标； （2）若点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 AB 向 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CA 向 A 运动，连结 PQ．设△APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式， 并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在 t 的值，使以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请 求出 t 的值；若不存在，请说明理由．29yA OC xB 81． （黑龙江省佳木斯市、伊春市）如图，点 A、B 坐标分别为（4，0）（0，8） 、 ，点 C 是线段 OB 上一动 点，点 E 在 x 轴正半轴上，四边形 OEDC 是矩形，且 OE＝2OC．设 OE＝t（t＞0） ，矩形 OEDC 与△AOB 重合部分的面积为 S．根据上述条件，回答下列问题： y （1）当矩形 OEDC 的顶点 D 在直线 AB 上时，求 t 的值； B （2）当 t＝4 时，求 S 的值； （3）直接写出 S 与 t 的函数关系式； （不必写出解题过程） （4）若 S ＝12，则 t＝__________．C OD xEA82． （辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点。Rt△OAB 的斜边 OA 在 x 轴的正半 轴上，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 在第一象限内，且 OB＝ △OAB，使点 A 落在点 C 处。 （1）求证：△OAC 为等边三角形； （2）点 D 在 x 轴的正半轴上，且点 D 的坐标为(4，0)。点 P 为线段 OC 上一动点（点 P 不与点 O 重 合） ，连接 PA、PD。设 PC＝x，△PAD 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当 x＝ ＝－2x －(7k－ 323，∠OBA＝90? 。以边 OB 所在直线折叠 Rt1 2时，过点 A 作 AM⊥PD 于点 M，若 k＝y C P 1 B M7 AM 2 PD，求证：二次函数 y3)x＋3k 的图象关于 y 轴对称。O1ADx83． （辽宁省大连市）如图，矩形 ABCD 中，AB＝6cm，AD＝3cm，点 E 在边 DC 上，且 DE＝4cm．动点 P 从点 A 开始沿着 A→B→C→E 的路线以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 A 开始沿着 AE 以 1cm/s 的速度 移动，当点 Q 移动到点 E 时，点 P 停止移动．若点 P、Q 同时从点 A 出发，设点 Q 移动时间为 t（s） ，P、 2 Q 两点运动路线与线段 PQ 围成的图形面积为 S（cm ） ． D E C （1）求 S 与 t 的函数关系式； （2）当 S＝10 时，求 t 的值． Q A30PB84． （辽宁省大连市）如图 1，在△ABC 和△PQD 中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 P 在直线 BC 上，连结 EQ 交 PC 于点 H． 猜想线段 EH 与 AC 的数量关系，并证明你的猜想． 说明：如果你经历反复探索，没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，完成你的证明． 注意：选取①完成证明得 10 分；选取②完成证明得 6 分． ①AC＝BC，DP＝DQ，∠C＝∠PDQ（如图 2） ； ②在①的条件下且点 P 与点 B 重合（如图 3） ． A A A D P B Q H E C D E D EPB QH 图2CB(P) Q(H) 图3C图1285． （辽宁省大连市）如图，抛物线 F：y＝ax ＋bx＋c 的顶点为 P，抛物线 F 与 y 轴交于点 A，与直线 OP 交于点 B．过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，平移抛物线 F 使其经过点 A、D 得到抛物线 F ′：y＝a′x ＋b′x＋c′， 抛物线 F ′ 与 x 轴的另一个交点为 C． （1）当 a＝1，b＝－2，c＝3 时，求点 C 的坐标（直接写出答案） ； （2）若 a、b、c 满足 b ＝2ac ①求 b : b ? 的值； ②探究四边形 OABC 的形状，并说明理由． A P B F′2 2yFOD2Cx86． （辽宁省大连市试测（一） ）如图 1，平移抛物线 F1：y＝x 后得到抛物线 F2．已知抛物线 F2 经过抛物 线 F1 的顶点 M 和点 A（2，0） ，且对称轴与抛物线 F1 交于点 B，设抛物线 F2 的顶点为 N． （1）探究四边形 ABMN 的形状及面积（直接写出结论） ； （2）若将已知条件中的“抛物线 F1：y＝x ”改为“抛物线 F1：y＝ax ” （如图 2）“点 A（2，0） ， ”改 为“点 A（m，0），其它条件不变，探究四边形 ABMN 的形状及其面积，并说明理由； ” （3）若将已知条件中的“抛物线 F1：y＝x ”改为“抛物线 F1：y＝ax ＋c” （如图 3）“点 A（2，0） ， ” 改为“点 A（m，c） ”其它条件不变，求直线 AB 与 y 轴的交点 C 的坐标（直接写出结论） ． y F1 F2 B P O (M) N 图1 图31 2 A x O (M) N 图3 A xM2 2 2 2yF1 F2y C B PF1 F2BA N xO87． （辽宁省大连市试测（一） ）如图 1，点 A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180° ，AB ＝k? AE，AC＝k? AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N． （1）探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明． 说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明， 选取①比选原题少得 2 分，选取②比选原题少得 5 分． ① 如图 2，k＝1；② 如图 3，AB＝AC． （2）若△ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生 变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB 与 ∠BAE 的关系．A D M B N E C B M D N C B D E N E M C A A图1图2图388． （辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）如图，抛物线的顶点为 P（1，0） ，一条直线与抛物 线相交于 A（2，1） ，B（－1 2，m）两点．（1）求抛物线和直线 AB 的解析式； （2） M 为线段 AB 上的动点， M 作 MN∥ y 轴， 若 过 交抛物线于点 N， 连接 NP、 AP， 试探究四边形 MNPA 能否为梯形，若能，求出此时点 M 的坐标；若不能，请说明理由． yB A O P x89． （辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）甲、乙两辆货车分别从 M、N 两地出发，沿同一条 公路相向而行，当到达对方的出发地后立即装卸货物，5 分钟后再按原路以原速度返回各自的出发地，已 知 M、N 两地相距 100 千米，甲车比乙车早 5 分钟出发，甲车出发 10 分钟时两车都行驶了 10 千米，下图 表示甲乙两车离各自出发地的路程 y （千米）与甲车出发时间 x（分）的函数图象． （1）甲车从 M 地出发后，经过多长时间甲乙两车第一次相遇？ （2）乙车从 M 地出发后，经过多长时间 y(千米) 甲乙两车与各自出发地的距离相等？100B CEF10A D G x(分)32 O 5 1090． （辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）已知 AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α ． （1）若α ＝60°（如图 1）探究线段 AD 与 CE 的数量关系，并加以证明； （2）若α ＝120°，并且点 D 在线段 AB 上， （如图 2）则线段 AD 与 CE 的数量关系为__________________ （直接写出答案） ； （3）探究线段 AD 与 CE 的数量关系（如图 3） ，并加以证明． A A D C E 图1 图2 图3 B D B B E C D E C A91． （辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝3，点 E 为 BC 边上的动点（点 E 与点 B、C 不重合） ，设 BE＝x． 操作：在射线 BC 上取一点 F，使得 EF＝BE，以点 F 为直角顶点、EF 为边作等腰直角三角形 EFG，设△ EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S． （1）求 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）S 是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由． A DBEC92． （辽宁省十二市、丹东市）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90° 后得到矩形 AMEF（如图 1） ，连结 BD、MF，若此时他测得 BD＝8cm，∠ADB＝30° ． （1）试探究线段 BD 与线段 MF 的关系，并简要说明理由； （2）小红同学用剪刀将△ BCD 与△ MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ ABD 绕点 A 顺时针旋 转得△ AB1D1，AD1 交 FM 于点 K（如图 2） ，设旋转角为 β（0° ＜β＜90° ，当△ AFK 为等腰三角形时，请 ） 直接写出旋转角 β 的度数； （3） 若将△ AFM 沿 AB 方向平移得到△ A2F2M2 （如图 3） F2M2 与 AD 交于点 P， 2M2 与 BD 交于点 N， ， A 当 NP∥AB 时，求平移的距离是多少？ C D M E D M B1 B K F 图22D D1 M2 N B A2 M P A 图3 F2 FBA 图1FA93． （辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax －x＋3（a≠0）交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，且对称轴为直线 x＝－2． （1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；33（2）若点 P（0，t）是 y 轴上的一个动点，请进行如下探究： 探究一：如图 1，设△ PAD 的面积为 S，令 W＝t? S，当 0＜t＜4 时，W 是否有最大值？如果有，求出 W 的最大值和此时 t 的值；如果没有，说明理由； 探究二：如图 2，是否存在以 P、A、D 为顶点的三角形与 Rt△ AOC 相似？如果存在，求点 P 的坐标； 如果不存在，请说明理由． （参考资料：抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线 x＝ ? y D C A O B x A O D C B x2b 2a） y图1 94． （辽宁省阜新市）如图，⊙M 与 x 轴相切于点 A（ － 23图2 ，0） ，⊙M 交 y 轴正半轴于 B，C 两点，且BC＝4． （1）求⊙M 的半径； （2）求证：四边形 ACBM 为菱形； 2 （3）若抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过 O，A 两点，且开口向下，当它的顶点不在直线 AB 的上方时，求 a 的 取值范围． yB M C A O O x95． （辽宁省葫芦岛市）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝kx＋b 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴正半 轴交于点 B，⊙P 经过点 A、点 B（圆心 P 在 x 轴负半轴上） ，已知 AB＝10，AP＝ （1）求点 P 到直线 AB 的距离； （2）求直线 y＝kx＋b 的解析式； （3）在⊙P 上是否存在点 Q，使得以 A，P，B，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． y B25 4．A OPOx3496． （辽宁省本溪市）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0） ．经过 A（－1，0） 、 B（3，0） 、C（0，3）三点，其顶点为 D，连接 BD，点 P 是线段 BD 上一个动点（不与 B、D 重合） ，过 点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 E，连接 BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如果 P 点的坐标为（x，y） ，△PBE 的面积为 s，求 s 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围， 并求出 s 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 s 取得最大值时，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF，把△PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为 P′ ，请直接写出 P′ 点坐标，并判断点 P′ 是否在该抛物线上． yC 3 E A-3 -2 -1 2 12DP B-1 -2 3Ox-197．（辽宁省锦州市）如图，直角梯形 ABCD 和正方形 EFGC 的边 BC、CG 在同一条直线上，AD∥BC， AB⊥BC 于点 B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形 ABCD 的面积与正方形 EFGC 的面积相等，将直角 梯形 ABCD 沿 BG 向右平行移动，当点 C 与点 G 重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为 S． （1）求正方形的边长； （2）设直角梯形 ABCD 的顶点 C 向右移动的距离为 x，求 S 与 x 的函数关系式； （3）当直角梯形 ABCD 向右移动时，它与正方形 EFGC 的重叠部分面积 S 能否等于直角梯形 ABCD 面积的一半？若能，请求出此时运动的距离 x 的值；若不能，请说明理由． A D E FBCG98．（辽宁省锦州市）如图，抛物线与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且 x1＞x2，与 y 轴交于点 C（0，4），其中 x1，x2 是方程 x －2x－8＝0 的两个根． （1）求这条抛物线的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当△CPE 的面积最大 时，求点 P 的坐标； （3）探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使△ QBC 成为等腰三角形，若存 在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． C E y2BOPAx3599． （辽宁省抚顺市）已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y＝ax ＋x＋c（a≠0）与 x 轴交于点 A（－2，0） ， 点 B（6，0） ，与 y 轴交于点 C． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式； （3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q．是否 存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在， 请说明理由． C y2AOBx100． （辽宁省营口市）如图，正方形 ABCO 的边长为5，以 O 为原点建立平面直角坐标系，点 A 在 x2轴的负半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，把正方形 ABCO 绕点 O 顺时针旋转后得到正方形 A1B1C1O(α ＜ 45? )，B1C1 交 y 轴于点 D，且 D 为 B1C1 的中点，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 过点 A1、B1、C1． （1）求 tanα 的值； （2）求点 A1 的坐标，并直接写出点 B1、点 C1 的坐标； ．．．． （3）求抛物线的函数表达式及其对称轴； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PB1C1 为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的 P ．．．． ．．．． 点坐标；若不存在，请说明理由． y B1 B A1 x D C C1AO101． （辽宁省朝阳市） 如图①， 在梯形 ABCD 中， CD∥AB， ∠ABC＝90° ∠DAB＝60° AD＝2， ， ， CD＝4． 另 有一直角三角形 EFG，∠EFG＝90° ，点 G 与点 D 重合，点 E 与点 A 重合，点 F 在 AB 上，让△EFG 的边 EF 在 AB 上，点 G 在 DC 上，以每秒 1 个单位的速度沿着 AB 方向向右运动，如图②，点 F 与点 B 重合时 停止运动，设运动时间为 t 秒． （1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形 FBCG 为正方形和四边形 AEGD 为平行四边形时相对应时 刻 t 的值或范围； （2） 以点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， 以 过点 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴， 建立如图③所示的坐标系． 求 过 A，D，C 三点的抛物线的解析式； （3）探究：延长 EG 交（2）中的抛物线于点 Q，是否存在这样的时刻 t 使得△ABQ 的面积与梯形 ABCD 的面积相等？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． y D(G) C D G C D G CA(E) F 图①BAE 图②FBO (A)EF 图③Bx36102． （辽宁省朝阳市）如图①，点 A′ ，B′ 的坐标分别为（2，0）和（0，－4） ，将△A′ B′ O 绕点 O 按逆时 针方向旋转 90° 后得△ABO，点 A′ 的对应点是点 A，点 B′ 的对应点是点 B． （1）写出 A，B 两点的坐标，并求出直线 AB 的解析式； （2）将△ABO 沿着垂直于 x 轴的线段 CD 折叠， （点 C 在 x 轴上，点 D 在 AB 上，点 D 不与 A，B 重合） 如图②，使点 B 落在 x 轴上，点 B 的对应点为点 E．设点 C 的坐标为（x，0） ，△CDE 与△ABO 重 叠部分的面积为 S． ）试求出 S 与 x 之间的函数关系式（包括自变量 x 的取值范围） ； ）当 x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ ）是否存在这样的点 C，使得△ADE 为直角三角形？若存在，直接写出点 C 的坐标；若不存在， 请说明理由．y A B O A′ x O E C B x y A D图①B′图②103． （辽宁省辽阳市）如图，矩形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，A（－3，0） ，过点 C 的直 线 y＝－2x＋4 与 x 轴交于点 D，二次函数 y＝－1 2x ＋bx＋c 的图象经过 B、C 两点．2（1）求 B、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）若点 P 是 CD 的中点，求证：AP⊥CD； （4）在二次函数的图象上是否存在这样的点 M，使以 A、P、C、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． y B C P D A O x104． （辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，AB∥OC，BC⊥x 轴于点 C，A（1，1） 、B （3，1） ．动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线 ．． OA， 垂足为 Q．设 P 点移动的时间为 t 秒（0＜t＜4） ，△OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S． （1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3）将△OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90° ，是否存在 t，使得△OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在， 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．37y21A QB CO P 13x105． （山东省中招、 日照市、 东营市中考） 已知正方形 ABCD 中， 为对角线 BD 上一点， E 点作 EF⊥BD E 过 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG＝CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45° ，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否 仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）A D A G G E F E F E D A DBFCBCBC图①图②图③2106． （山东省济南市）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝ 4 每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t 秒． （1）求 BC 的长． （2）当 MN∥AB 时，求 t 的值． （3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形． A D，∠B＝45° ．动点M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动； 动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以N B2MC107． （山东省济南市）已知：抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的对称轴为 x＝－1，与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于点 C，其中 A（－3，0） 、C（0，－2） ． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点 P，使得△PBC 的周长最小．请求出点 P 的坐标． （3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合） ．过点 D 作 DE∥PC 交 x 轴于点 E，连 接 PD、PE．设 CD 的长为 m，△PDE 的面积为 S．求 S 与 m 之间的函数关系式．试说明 S 是否存在最大 值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． yAOBxC38108． （山东省青岛市）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 同时， 线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动， 速度为 1cm/s， 交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 t（s） （0＜t＜5） ．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PE∥AB？ （2）设△PEQ 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S△PEQ ＝2 25S△BCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由． A E Q P B2DFC109（山东省德州市（德城） ）如图，已知抛物线 y＝x －1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标． （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积． （3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG⊥x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点 的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由． y PAO CBx110． （山东省烟台市）如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90° ，且 CD＝2AD，tan∠ABC＝2， 过点 D 作 DE∥AB，交∠BCD 的平分线于点 E，连接 BE． D A （1）求证：BC＝CD； （2）将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到△DCG，连接 EG.． 求证：CD 垂直平分 EG． （3）延长 BE 交 CD 于点 P． E G 求证：P 是 CD 的中点． B C 111． （山东省烟台市）如图，抛物线 y＝ax ＋bx－3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点 （2， 3a） － ，对称轴是直线 x＝1，顶点是 M． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过 C，M 两点作直线与 x 轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线 y＝－x＋3 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B，D 重合） ，经过 A，B，239E 三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断△AEF 的形状，并说明理由； （4）当 E 是直线 y＝－x＋3 上任意一点时， （3）中的结论是否成立？（请直接写出结论） yA O1B x-3C M112． （山东省枣庄市）如图，抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点 M，使△MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍； （3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由．y A O B x113． （山东省枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，点 C（－3，0） ，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上，且满足： OB 2 － 3 ＋|OA－1|＝0． （1）求点 A、点 B 的坐标； （2）若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 由 C 向 B 运动，连结 AP，设△ABP 的面 积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请 直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． y BCOAx114． （山东省威海市）如图，在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，3)，过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线 l，D 为对称轴 l 上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求当 AD＋CD 最小时点 D 的坐标； （3）以点 A 为圆心，以 AD 为半径作⊙A． ①证明：当 AD＋CD 最小时，直线 BD 与⊙A 相切． ②写出直线 BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标：______________．40y ClA OBx115． （山东省威海市）一次函数 y＝ax＋b 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 M，N，与反比例函数 y＝k x的图象相交于点 A，B．过点 A 分别作 AC⊥x 轴，AE⊥y 轴，垂足分别为 C，E；过点 B 分别作 BF⊥x 轴， BD⊥y 轴，垂足分别为 F，D，AC 与 BD 交于点 K，连接 CD． （1）若点 A，B 在反比例函数 y＝ ①S 四边形 AEDK ＝S 四边形 CFBK ； ②AN＝BM． （2）若点 A，B 分别在反比例函数 y＝ 明你的结论．y N E D O A(x1,y1) B(x2,y2) K C F M x B(x3,y3) F M O C D K x E N A(x1,y1)k x k x的图象的同一分支上，如图 1，试证明：的图象的不同分支上，如图 2，则 AN 与 BM 还相等吗？试证y图1图2116． （山东省淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长是 2．O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上．一条抛物线经过 A 点，顶点 D 是 OC 的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）正方形 OABC 的对角线 OB 与抛物线交于 E 点，线段 FG 过点 E 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段 BC 于 F，G 点，试比较线段 OE 与 EG 的长度； （3）点 H 是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段 IJ 过点 H 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段 BC 于 I、J 点，点 K 在 y 轴的正半轴上，且 OK＝OH，请证明△OHI≌△JKC． yC K D E H O F I A G J Bx41117． （山东省淄博市）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD， BC， CB， 方向在矩形的边上同时运动， DA 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时， 运动即停止． 已 知在相同时间内，若 BQ＝xcm（x≠0） ，则 AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x cm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由． A P N D2BQMC118． （山东省潍坊市）在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝a，DC＝b，BC＝a＋b，且 a ≤ b ．取 AD 的中点 P，连结 PB、PC． （1）试判断三角形 PBC 的形状； （2）在线段 BC 上，是否存在点 M，使 AM⊥MD．若存在，请求出 BM 的长；若不存在，请说明理由． D P ABC119． （山东省潍坊市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且与两坐标 2 轴分别交于 A、B、C、D 四点．抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 y 轴交于点 D，与直线 y＝x 交于点 M、N，且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，连结 DE，并延长 DE 交圆 O 于 F，求 EF 的长． （3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由． y D NE A M O F B C x42120． （山东省滨州市）如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯 形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝20cm，DC＝30cm，∠ADC＝45° ．对于抛物线部分，其顶点为 CD 的中点 O， 且过 A、B 两点，开口终端的连线 MN 平行且等于 DC． （1）如图①所示，在以点 O 为原点，直线 OC 为 x 轴的坐标系内，点 C 的坐标为（15，0） ，试求 A、 B 两点的坐标； （2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离） ； （3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm 的保护膜，如 图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长． y A D BMNA20cm 30cmB45°O C x D C 图① 图② 2 121． （山东省菏泽市）如图，已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于 B(1， 0)、C(5，0)两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式； （3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E） ，再到达抛物线的对称轴 上某点（设为点 F） ，最后运动到点 A．求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求 出这个最短总路径的长． yAO BCx122． （山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，以点 A(－3，0)为圆心、5 为半径的圆与 x 轴相交于 点 B、C 两点（点 B 在点 C 的左边） ，与 y 轴相交于 D、M 两点（点 D 在点 M 的下方） ． （1）求以直线 x＝－3 为对称轴、且经过 D、C 两点的抛物线的解析式； （2）若点 P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求 PC＋PD 的取值范围； （3）若点 E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点 F，使得以点 B、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，说明理由． yM B A O D43Cx123． （山东省泰安市）如图，△OAB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线 y＝－3 3x＋m 与 x 轴交于点 E． （1）求点 E 的坐标； （2）求过 A、O、E 三点的抛物线解析式； （3）若点 P 是（2）中求出的抛物线 AE 段上一动点（不与 A、E 重合） ，设四边形 OAPE 的面积为 S， 求 S 的最大值． yAOBEx124． （山东省济宁市）在平面直角坐标系中，边长为 2 的正 OABC 的两顶点 A、