这个级数怎么判断它直接收敛的？不是还乘了一个调和级数吗？_百度知道
这个级数怎么判断它直接收敛的？不是还乘了一个调和级数吗？
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用比值审敛法，除一下
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1有可能是收敛的，比如一个常数级数0，它乘以任何级数都收敛.2也有可能是发散的，比如收敛的交错级数（-1)^n*/n跟发散的级数（-1)^n相乘会给你调和级数
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。若一个级数的一般项为Un
他趋向无穷大时，Un等价于Vn
知道Vn是收敛的，而Un/Vn趋向无穷时等于常数
怎么就可以说明Un收敛？
这个是什么判别法？我见很多书都这样写的
这是比较审敛法的极限形式，其中Un、Vn非负，证明如下：
因为limn-∞UnVn=A（常数），所以存在N，当nN时，有
|UnVn-A|1成立，即A-1UnVnA+1成立，即Un(A+1)Vn成立，
由∑Vn收敛 == ∑(A+1)Vn收敛 == ∑Un收敛。
如果加条件A≠0，还可以证明，如果∑Vn发散，则∑Un发散。
其他答案（共1个回答）
1/ln(n+1)&1/(n+1),级数1/(n+1)发散,所以级数1/ln(n+1)发散
无穷级数∑[n→∞,n=1]1/[(2n-1)*(2n+1) 的和.
解 （裂项求和法）
部分和 Sn=1/(1*3)+1/(3*5)+…+(1/[(2n-1)...
当n趋于无穷时,收敛级数的一般项的极限为0。
因此它的逆否命题也一定正确，
即当n趋于无穷时，级数的一般项的极限不为0，则级数一定发散。
解:显然对任意n&1,1/n&1/√n,而∑1/n发散,因此原级数发散,即原式=+∞。
交流电动机的转速由电源频率和电动机的磁极对数共同决定。
因为磁极必然成对出现，所以电动机的磁极数肯定是偶数。常见
电动机的磁极数通常有2、4、6、8极，磁极再多...
答: 设大象重X千克 540*7.2-X=30 3888-X=30 X=3888-30 X=3858 大象重3858千克
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
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相关问答：123456789101112131415若级数收敛，则级数加上一个常数是收敛还是发散_百度知道
若级数收敛，则级数加上一个常数是收敛还是发散
我有更好的答案
故新级数发散；如果给收敛级数增加几项，是不影响收敛性的加上非零常数就发散给一个收敛的级数每一项如果加一个常数，那么这些常数之和就是无穷了，或者反证：用加上常数的新级数减去原来级数，但是他们的差是一个常数项级数，必然发散，若两个都收敛，那么差也收敛
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。《物理学家的数学工具箱》之无穷级数（2）6 months ago11收藏分享举报文章被以下专栏收录我是宇宙里的量子人{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\u002Fpay.zhihu.com\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth c3cef7c66aa9e6a1e3160e20&}}{&database&:{&Post&:{&&:{&isPending&:false,&contributes&:[{&sourceColumn&:{&lastUpdated&:,&description&:&科学是那么迷人，让我们情不自禁地爱上她，以至于想要与她度过一生，让我们了解各个领域的知识，不断学习，不断进步，说不定哪天，你也会爱上这个学科。&,&permission&:&COLUMN_PUBLIC&,&memberId&:,&contributePermission&:&COLUMN_PUBLIC&,&translatedCommentPermission&:&all&,&canManage&:true,&intro&:&我是宇宙里的量子人&,&urlToken&:&c_&,&id&:57647,&imagePath&:&v2-776c6eef8c46cdac12437.png&,&slug&:&c_&,&applyReason&:&0&,&name&:&时间浪游者的传送门&,&title&:&时间浪游者的传送门&,&url&:&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fc_&,&commentPermission&:&COLUMN_ALL_CAN_COMMENT&,&canPost&:true,&created&:,&state&:&COLUMN_NORMAL&,&followers&:43,&avatar&:{&id&:&v2-776c6eef8c46cdac12437&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&activateAuthorRequested&:false,&following&:false,&imageUrl&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fv2-776c6eef8c46cdac12437_l.jpg&,&articlesCount&:6},&state&:&accepted&,&targetPost&:{&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fv2-acf0b962_r.jpg&,&lastUpdated&:,&imagePath&:&v2-acf0b962.jpg&,&permission&:&ARTICLE_PUBLIC&,&topics&:[20689],&summary&:&\u003Cb\u003E2. 交错级数与绝对收敛\u003C\u002Fb\u003E 前一部分我们讨论了正项级数的相关知识，现在我们准备讨论具有正负项交错出现的级数的问题，我们称之为\u003Cb\u003E交错级数\u003C\u002Fb\u003E问题。以一个跟调和级数很像的交错级数为例：1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdo…&,&copyPermission&:&ARTICLE_COPYABLE&,&translatedCommentPermission&:&all&,&likes&:0,&origAuthorId&:0,&publishedTime&:&T16:31:15+08:00&,&sourceUrl&:&&,&urlToken&:,&id&:3871207,&withContent&:false,&slug&:,&bigTitleImage&:false,&title&:&《物理学家的数学工具箱》之无穷级数（2）&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&commentPermission&:&ARTICLE_ALL_CAN_COMMENT&,&snapshotUrl&:&&,&created&:,&comments&:0,&columnId&:0,&content&:&&,&parentId&:0,&state&:&ARTICLE_PUBLISHED&,&imageUrl&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fv2-acf0b962_r.jpg&,&author&:{&bio&:&物理学学习者、计算机爱好者、经济学在读生&,&isFollowing&:false,&hash&:&5eaff3c7dc3&,&uid&:374100,&isOrg&:false,&slug&:&di-er-tian-ming-3&,&isFollowed&:false,&description&:&一切都是瞬息，一切都将过去；\n而那过去了的，就会成为亲切的怀恋。&,&name&:&第二天明&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fdi-er-tian-ming-3&,&avatar&:{&id&:&v2-a7ad48df24f30c23f5a912&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&memberId&:,&excerptTitle&:&&,&voteType&:&ARTICLE_VOTE_CLEAR&},&id&:810187}],&title&:&《物理学家的数学工具箱》之无穷级数（2）&,&author&:&di-er-tian-ming-3&,&content&:&\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E2. 交错级数与绝对收敛\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E
前一部分我们讨论了正项级数的相关知识，现在我们准备讨论具有正负项交错出现的级数的问题，我们称之为\u003Cb\u003E交错级数\u003C\u002Fb\u003E问题。以一个跟调和级数很像的交错级数为例：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots%5Cquad%282-1%29\& alt=\&1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdots\\quad(2-1)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们想要知道两个问题，一是我们对于级数最为关心的问题，它是否收敛？二是它是否绝对收敛（绝对收敛的“绝对”我们可以从字面上的意思去理解，即每一项加上绝对值）？第二个问题是比较容易回答的，因为给这个级数的每一项加上绝对值后，就得到了我们的老朋友调和级数，我们已经证明过它的发散性，于是我们得到了第二个问题的答案，即这个级数不是绝对收敛的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
为什么不只是讨论收敛问题，而还要讨论这个绝对收敛问题呢？因为绝对收敛的级数有一个这样的性质，绝对收敛的级数一定是收敛的，所以如果我们知道了可以通过绝对收敛来得到级数是收敛的结论，而加上绝对值后，级数就变为了正项级数，我们前面所学到所有关于判断级数敛散性的方法都能得到应用。我们来证明\u003Cb\u003E绝对收敛的级数一定收敛：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E证：\u003C\u002Fb\u003E一个绝对收敛的级数 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n\& eeimg=\&1\&\u003E 是收敛的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E令 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=b_n%3Da_n%2B%7Ca_n%7C\& alt=\&b_n=a_n+|a_n|\& eeimg=\&1\&\u003E ，我们知道一个数加上他的绝对值，一定是非负的，所以我们知道 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=b_n\& alt=\&b_n\& eeimg=\&1\&\u003E 是非负的，这就又回到了正项级数判断敛散性的情形，我们有 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=b_n%3Da_n%2B%7Ca_n%7C%5Cle2%7Ca_n%7C\& alt=\&b_n=a_n+|a_n|\\le2|a_n|\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们知道该题中的级数是绝对收敛的，所以 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D2%7Ca_n%7C\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}2|a_n|\& eeimg=\&1\&\u003E 是一个收敛级数，由比较审敛法法，得到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_n\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}b_n\& eeimg=\&1\&\u003E 是收敛的，且 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a_n%3Db_n-%7Ca_n%7C\& alt=\&a_n=b_n-|a_n|\& eeimg=\&1\&\u003E ，容易确认的是，两个收敛的级数的相加减一定是收敛的（我们可以由求和函数的运算性质出发来证明），得到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n\& eeimg=\&1\&\u003E 是收敛的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
注意，绝对收敛的级数一定的是收敛的，反过来却不总是成立，即收敛级数不一定是绝对收敛的，可以试着找几个例子来支持这个说法。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
下面我们回来讨论第一个问题，如何判断交错级数是否发散，我们常用到的一个方式是来源于\u003Cb\u003E莱布尼茨定理\u003C\u002Fb\u003E的\u003Cb\u003E：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于一个交错级数 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n\& eeimg=\&1\&\u003E ，如果满足 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%7Ca_%7Bn%2B1%7D%7C%5Cle%7Ca_n%7C\& alt=\&|a_{n+1}|\\le|a_n|\& eeimg=\&1\&\u003E
且 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7Da_n%3D0\& alt=\&\\lim_{n\\to\\infty}a_n=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，那么该交错级数就是收敛的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E成立需要满足两个条件，交错级数的绝对值项是非增的，且随着项数的增长， \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a_n\& alt=\&a_n\& eeimg=\&1\&\u003E
逐渐趋向于 0. 下面我们来证明它。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E证：思想——单调有界数列必收敛\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E设一交错级数 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n\& alt=\&\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n\& eeimg=\&1\&\u003E 满足莱布尼茨定理的两个条件，那么有 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a_%7Bn-1%7D-a_n%5Cge0\& alt=\&a_{n-1}-a_n\\ge0\& eeimg=\&1\&\u003E ，考虑级数的偶数项部分和数列和奇数项部分和数列 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5C%7BS_%7B2n%7D%5C%7D%2C%5C%7BS_%7B2n%2B1%7D%5C%7D\& alt=\&\\{S_{2n}\\},\\{S_{2n+1}\\}\& eeimg=\&1\&\u003E 。对于偶数项的情况，有 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=S_%7B2n%7D%3D%28a_1-a_2%29%2B%28a_3-a_4%29%2B%28a_5-a_6%29%2B%5Ccdots%2B%28a_%7B2n-1%7D-a_%7B2n%7D%29\& alt=\&S_{2n}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+(a_5-a_6)+\\cdots+(a_{2n-1}-a_{2n})\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E数列 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5C%7BS_%7B2n%7D%5C%7D\& alt=\&\\{S_{2n}\\}\& eeimg=\&1\&\u003E 是单调增加的；\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对项的分组对原数列没有影响，所以还可以得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=S_%7B2n%7D%3Da_1-%28a_2-a_3%29-%28a_4-a_5%29-%5Ccdots-%28a_%7B2n-2%7D-a_%7B2n-1%7D%29-a_%7B2n%7D%3Ca_1\& alt=\&S_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\\cdots-(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n}&a_1\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E数列 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5C%7BS_%7B2n%7D%5C%7D\& alt=\&\\{S_{2n}\\}\& eeimg=\&1\&\u003E 是有界的，根据单调有界数列收敛定理，得到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7DS_%7B2n%7D%3Ds%3Ca_1\& alt=\&\\lim_{n\\to\\infty}S_{2n}=s&a_1\& eeimg=\&1\&\u003E ;\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E由于 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%7Ba_%7B2n%2B1%7D%7D%3D0\& alt=\&\\lim_{n\\to\\infty}{a_{2n+1}}=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，有 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%7BS_%7B2n%2B1%7D%7D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%28%7BS_%7B2n%7D%2Ba_%7B2n%2B1%7D%7D%29%3Ds\& alt=\&\\lim_{n\\to\\infty}{S_{2n+1}}=\\lim_{n\\to\\infty}({S_{2n}+a_{2n+1}})=s\& eeimg=\&1\&\u003E .综上所述， \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7DS_n%3Ds\& alt=\&\\lim_{n\\to\\infty}S_n=s\& eeimg=\&1\&\u003E
，即级数是收敛的，证毕。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E3. 条件收敛\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E
回头看看作为例子的(2-1)，这个级数具有这样的特点：它是收敛的，却不是绝对收敛的。我们称具有这样性质的级数是\u003Cb\u003E条件收敛\u003C\u002Fb\u003E的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots\& alt=\&1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdots\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
如果你仔细观察，你会发现，这个级数所有正项构成了一个发散的级数，而所有的负项也构成了一个发散的级数，也就是说，两个发散级数独特的排序方式（从大到小交替正负相加）才构成了奇妙的收敛性，事实上，如果你调整他们排列的方式，你能够得到不同的收敛值，甚至把它变成发散的级数。经过研究，所有的条件收敛的级数都有这样的性质！我们拿（2-1）做个实验，我们先拿来三个正项，使得他们的和略大于1.5\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%3E1.5\& alt=\&1+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}&1.5\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E然后我们可以再拿来足够的负项使得他们的和略小于1.5，如此反复，就让级数收敛于1.5了，你可以发现，只要我们适当的安排项的次序，我们可以得到任何我们想要的值，多么神奇！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对应地，绝对收敛的级数便不具有这样的性质，也就是说，不论你如何排列项的次序，级数的收敛性和收敛的值都不会改变，所以一些级数的运算只有绝对收敛的级数能够做到，我们后面会详细说明。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E附：级数运算的一些性质\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E级数的每一项乘以一个相同的非零常数不会影响级数的敛散性；\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E对于级数有限项的改变不会影响级数的敛散性（如舍弃前几项）；\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E对于绝对收敛的级数不论你如何排列项的次序，级数的收敛性和收敛的值都不会改变，相对地，条件收敛的级数没有这样的性质。\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E4. 幂级数\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E
我们在前面讨论了由常数项组成的级数，今天我们来探讨一下那些由 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E 的函数构成项的级数，我们称之为\u003Cb\u003E幂级数\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
幂级数可以定义为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_nx%5En%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2B%5Ccdots+%5Cquad%284.1%29\& alt=\&\\sum_{n=0}^{\\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots \\quad(4.1)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
或者\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n%28x-a%29%5En%3Da_0%2Ba_1%28x-a%29%2Ba_2%28x-a%29%5E2%2B%5Ccdots+%5Cquad%284.2%29\& alt=\&\\sum_{n=0}^{\\infty}a_n(x-a)^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\\cdots \\quad(4.2)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
式中， \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a\& alt=\&a\& eeimg=\&1\&\u003E 为常数，这是更为一般的表述方式。下面我们来举一些例子：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=1%2Bx%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D%2B%5Ccdots%5Cquad%284-3a%29%5C%5C+x-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B4%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dx%5En%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots%5Cquad%284-3b%29%5C%5C+x-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%21%7D-%5Cfrac%7Bx%5E7%7D%7B7%21%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dx%5E%7B2n-1%7D%7D%7B%282n-1%29%21%7D%5Cquad%284-3c%29\& alt=\&1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^3}{3!}+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}+\\cdots\\quad(4-3a)\\\\ x-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^3}{3}-\\frac{x^4}{4}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\\cdots\\quad(4-3b)\\\\ x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\frac{x^7}{7!}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\quad(4-3c)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E 这些例子我们在后面我们仍然会遇到它们，在我们介绍另一个概念之后，它们会以一种特别方式的登场。现在我们来讨论幂级数的收敛问题。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E4.1 幂级数的收敛区间\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E幂级数的收敛问题不像前面的常数项级数那样单纯，由于变量的存在，一个幂级数是否收敛与 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E 的取值密切相关，我们经常使用比值检验的方法去找到使级数收敛的一些值，通常是一块区间，回忆我们上一部分学习的比值审敛法，我们在这里的使用的方法和符号都是类似的，我们用第 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=n%2B1\& alt=\&n+1\& eeimg=\&1\&\u003E项除以第 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=n\& alt=\&n\& eeimg=\&1\&\u003E 项，观察当 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=n%5Cto%5Cinfty\& alt=\&n\\to\\infty\& eeimg=\&1\&\u003E 时所得到的绝对值。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以(4-3b)为例，有\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Crho_n%3D%7C%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B2%7Dx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%5Cdiv%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dx%5En%7D%7Bn%7D%7C%3D%7C%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7Dx%7C\& alt=\&\\rho_n=|\\frac{(-1)^{n+2}x^{n+1}}{n+1}\\div\\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}|=|\\frac{n}{n+1}x|\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Crho%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%7C%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7Dx%7C%3D%7Cx%7C\& alt=\&\\rho=\\lim_{n\\to\\infty}|\\frac{n}{n+1}x|=|x|\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E当 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Crho%3C1\& alt=\&\\rho&1\& eeimg=\&1\&\u003E 时，级数收敛，则有 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%7Cx%7C%3C1\& alt=\&|x|&1\& eeimg=\&1\&\u003E ；当 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%7Cx%7C%3E1\& alt=\&|x|&1\& eeimg=\&1\&\u003E
时，级数发散。我们的确可以把 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D-1\& alt=\&x=-1\& eeimg=\&1\&\u003E 和 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D1\& alt=\&x=1\& eeimg=\&1\&\u003E 之间的范围看作是级数关于 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E 收敛的一个区间。由于比值审敛法不能判断 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Crho%3D1\& alt=\&\\rho=1\& eeimg=\&1\&\u003E 的情形，所以端点的情况需要我们单独讨论，当 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D1\& alt=\&x=1\& eeimg=\&1\&\u003E 时，原级数写为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots\& alt=\&1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\\cdots\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这里我们又得到了（2-1），学习了交错级数的知识，我们很容易知道，该级数是收敛的。当 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D-1\& alt=\&x=-1\& eeimg=\&1\&\u003E 时，原级数写为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=-1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-%5Ccdots-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D-%5Ccdots\& alt=\&-1-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}-\\cdots-\\frac{1}{n}-\\cdots\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这便是乘以 -1 的调和级数，它是发散的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们用区间的形式来表达，该幂级数的收敛区间为 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%28-1%2C1%5D\& alt=\&(-1,1]\& eeimg=\&1\&\u003E .\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E4.2
幂级数的一些性质\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E上一节我们讨论了 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_nx%5En\& alt=\&\\sum_{n=0}^{\\infty}a_nx^n\& eeimg=\&1\&\u003E 关于原点为中心的收敛区间问题，我们已经知道，幂级数在其收敛区间上收敛，而由于变量的存在，其收敛值随着 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E 变化而变化。那么就构成了一种函数关系，我们将其写为 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=S%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Ba_nx%5En%7D\& alt=\&S(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty}{a_nx^n}\& eeimg=\&1\&\u003E ，我们也称级数收敛于这个函数。在接下来继续探讨幂级数的相关知识之前，我们不加证明的列出幂级数的一些有用的性质（其证明思想和方法大部分来源于微积分或微积分更为深入的知识，可以参考相关书籍）：\u003C\u002Fp\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E幂级数可以逐项积分或求导，其得到的新幂级数的收敛区间仍为原级数收敛区间，但端点值不能保证其收敛性，需要进一步验证；\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E两个幂级数可以相加，相减和相乘，得到的新幂级数至少在公共收敛区间是收敛的；相除也是可以的，不过要能够保证在除的过程中避免分母出现零的情况，我们可以通过比值法或一些更为复杂的理论（复变函数）来获得新幂级数的收敛区间；\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E一个函数所对应的幂级数是唯一的，也就是说，对于一个给定的函数，我们只能找到唯一一个幂级数收敛于这个函数。\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Ch2\u003E\u003Cb\u003E4.3 函数的幂级数展开式，泰勒级数\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E函数所对应的幂级数在应用领域是十分有用的，主要应用于对一些函数的近似值求解，我们现在所要使用的是一种朴素的方法：对于一个给定的函数，我们只需要寻找函数对应幂级数的参数就可以了（在接下来的讨论里我们总是可以找到的）。例如\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csin+x%3Da_0%2Ba_1x%2Ba_2x%5E2%2B%5Ccdots%2Ba_nx%5En%2B%5Ccdots%5Cquad%284-4%29\& alt=\&\\sin x=a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots+a_nx^n+\\cdots\\quad(4-4)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们的工作就是去找到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E
前的参数，使得等式成立（在级数的收敛区间内）。由于收敛区间包含原点，那么式(4-4)一定会在 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D0+\& alt=\&x=0 \& eeimg=\&1\&\u003E 处成立，代入得到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a_0%3D0\& alt=\&a_0=0\& eeimg=\&1\&\u003E . 对式（4-4）求导，得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Ccos+x%3Da_1%2B2a_2x%2B3a_3x%5E2%2B%5Ccdots.%5Cquad%284-5%29\& alt=\&\\cos x=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\\cdots.\\quad(4-5)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E再次代入 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D0\& alt=\&x=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，得到 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a_1%3D1\& alt=\&a_1=1\& eeimg=\&1\&\u003E ，再次求导，得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=-%5Csin+x%3D2a_2%2B3%5Ccdot2a_3x%2B4%5Ccdot3x%5E2%2B%5Ccdots%2C\& alt=\&-\\sin x=2a_2+3\\cdot2a_3x+4\\cdot3x^2+\\cdots,\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=0%3D2a_2\& alt=\&0=2a_2\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E反复进行这个过程，求导并令 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3D0\& alt=\&x=0\& eeimg=\&1\&\u003E ，得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=-%5Ccos+x%3D3%5Ccdot2+a_3%2B4%5Ccdot3%5Ccdot2a_4x%2B%5Ccdots%2C\& alt=\&-\\cos x=3\\cdot2 a_3+4\\cdot3\\cdot2a_4x+\\cdots,\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=-1%3D3%21a_3%2C%5Cquad+a_3%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D.\& alt=\&-1=3!a_3,\\quad a_3=-\\frac{1}{3!}.\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Ccdots%5Ccdots\& alt=\&\\cdots\\cdots\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E继续这个过程，我们最终把得到的参数代入（4-4）得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Csin+x%3Dx-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%21%7D-%5Ccdots.\& alt=\&\\sin x=x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\cdots.\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E通过这样的方法我们得到的级数称为\u003Cb\u003E麦克劳林级数\u003C\u002Fb\u003E或\u003Cb\u003E关于原点的泰勒级数。\u003C\u002Fb\u003E一般地，泰勒级数使用 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%28x-a%29\& alt=\&(x-a)\& eeimg=\&1\&\u003E 而不是 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x\& alt=\&x\& eeimg=\&1\&\u003E ，泰勒级数仍然可以采用上述的方法，但要计算 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3Da\& alt=\&x=a\& eeimg=\&1\&\u003E 时的情况。我们下面来进行一般化的讨论：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
对于一个函数 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29\& alt=\&f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E ，假设存在一个对应的泰勒级数，即\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29%3Da_0%2Ba_1%28x-a%29%2Ba_2%28x-a%29%5E2%2Ba_3%28x-a%29%5E3%2B%5Ccdots%2Ba_n%28x-a%29%5En%2B%5Ccdots%2C%5Cquad%284-6%29\& alt=\&f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+a_3(x-a)^3+\\cdots+a_n(x-a)^n+\\cdots,\\quad(4-6)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%27%28x%29%3Da_1%2B2a_2%28x-a%29%5E2%2B3a_3%28x-a%29%5E2%2B%5Ccdots%2Bna_n%28x-a%29%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots%2C\& alt=\&f'(x)=a_1+2a_2(x-a)^2+3a_3(x-a)^2+\\cdots+na_n(x-a)^{n-1}+\\cdots,\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%27%27%28x%29%3D2a_2%2B3%5Ccdot2a_3%28x-a%29%2B%5Ccdots%2Bn%28n-1%29a_n%28x-a%29%5E%7Bn-2%7D%2B%5Ccdots%2C\& alt=\&f''(x)=2a_2+3\\cdot2a_3(x-a)+\\cdots+n(n-1)a_n(x-a)^{n-2}+\\cdots,\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=%5Cvdots\& alt=\&\\vdots\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%5E%7B%28n%29%7D%28x%29%3Dn%28n-1%29%28n-2%29%5Ccdots1%5Ccdot+a_n%2B%E4%BB%8D%E5%90%AB%28x-a%29%E7%9A%84%E4%BD%99%E9%A1%B9.\& alt=\&f^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)\\cdots1\\cdot a_n+仍含(x-a)的余项.\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们再令 （4-6）中每个方程中代入\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3Da\& alt=\&x=a\& eeimg=\&1\&\u003E ，得到\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28a%29%3Da_0%2Cf%27%28a%29%3Da_1%2Cf%27%27%28a%29%3D2a_2%2Cf%27%27%27%28a%29%3D3%21a_3%2C%5Ccdots%2Cf%5E%7B%28n%29%7D%28a%29%3Dn%21a_n.%5Cquad%284-7%29\& alt=\&f(a)=a_0,f'(a)=a_1,f''(a)=2a_2,f'''(a)=3!a_3,\\cdots,f^{(n)}(a)=n!a_n.\\quad(4-7)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E我们现在可以写出 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29+\& alt=\&f(x) \& eeimg=\&1\&\u003E 在 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=x%3Da\& alt=\&x=a\& eeimg=\&1\&\u003E 的泰勒级数（展开式）：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29%3Df%28a%29%2Bf%27%28a%29%28x-a%29%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Df%27%27%28a%29%28x-a%29%5E2%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7Df%5E%7B%28n%29%7D%28a%29%28x-a%29%5En%2B%5Ccdots.%5Cquad%284-8%29\& alt=\&f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+\\cdots+\\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+\\cdots.\\quad(4-8)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E类似地， \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29\& alt=\&f(x)\& eeimg=\&1\&\u003E 在 \u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=a%3D0+\& alt=\&a=0 \& eeimg=\&1\&\u003E 处的麦克劳林级数为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fequation?tex=f%28x%29%3Df%280%29%2Bxf%27%280%29%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%21%7Df%27%27%280%29%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7Df%27%27%27%280%29%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7Df%5E%7B%28n%29%7D%280%29%2B%5Ccdots.%5Cquad%284-9%29\& alt=\&f(x)=f(0)+xf'(0)+\\frac{x^2}{2!}f''(0)+\\frac{x^3}{3!}f'''(0)+\\cdots+\\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+\\cdots.\\quad(4-9)\& eeimg=\&1\&\u003E \u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有时候，对于一些函数的求导是十分麻烦的，在后面的讨论中，我们会提供一些更好的方法来得到泰勒级数，那就是通过对一些基本的级数进行操作，这意味着，你要理解并记忆一些基本的展开式，才能去处理更为复杂的情况。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E
第（3）部分再见！\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T08:31:15.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:3,&collapsedCount&:0,&likeCount&:11,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fv2-acf0b962_r.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&reviewers&:[],&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&高等数学&}],&adminClosedComment&:false,&titleImageSize&:{&width&:344,&height&:400},&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&tipjarState&:&inactivated&,&annotationAction&:[],&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:3,&hasPublishingDraft&:false,&snapshotUrl&:&&,&publishedTime&:&T16:31:15+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&lastestLikers&:[{&bio&:&宇宙外的发明家&,&isFollowing&:false,&hash&:&3f7c359eec360b9e9db1&,&uid&:111300,&isOrg&:false,&slug&:&liu-liu-60-15&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&六六&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fliu-liu-60-15&,&avatar&:{&id&:&da8e974dc&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&泰勒公式&,&isFollowing&:false,&hash&:&efbc822ff843&,&uid&:416600,&isOrg&:false,&slug&:&yue-du-zhe-7&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&悦读者&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fyue-du-zhe-7&,&avatar&:{&id&:&da8e974dc&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&Arithmancy&,&isFollowing&:false,&hash&:&192f2d9da73cf60c5fde2&,&uid&:16,&isOrg&:false,&slug&:&real-yang-21&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&Nodd&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Freal-yang-21&,&avatar&:{&id&:&3b9af8baa688&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:null,&isFollowing&:false,&hash&:&227ef5f69c05ca1a04e806d8d3bf206f&,&uid&:304500,&isOrg&:false,&slug&:&wang-yuan-shan-61&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&王远山&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fwang-yuan-shan-61&,&avatar&:{&id&:&da8e974dc&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&执笔 偕老&,&isFollowing&:false,&hash&:&d3aced8f5463f28cbd76d0&,&uid&:533300,&isOrg&:false,&slug&:&wang-cheng-jie-30-43&,&isFollowed&:false,&description&:&端正态度
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