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数学概率论的一个小问题今天看书的时候一个问题,给出了行x,y的联合分布律,求V=max{x,y},包括U=min{x,y}和V=max(x,y),U=min(x,y)的所有取值不一样啊,那他们的含义是不是也不一样阿?
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看不太懂在说什么包括U=min{x,y}和V=max(x,U=min(x,y)的所有取值不一样想说什么?
大括号和小括号含义一样不
大括号和小括号含义一样不
含义是一样的
那为啥两种的所有取值不一样阿
是U=min(x,y)和U=min{x,y}的取值不一样吗?
是的，大括号取的是x,y的所有取值，小括号取值是x,y,各自的最大最小值
很奇怪 应该是一样的
你看的那本书?
加百度具体说吧
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密度函数的非零取值范围是否关于Y=X对称？
给出的是表格形式的分布律
那是离散型：X和Y的取值是否一样
是联合分布律，大括号的max,min和小括号的max,min含义一样吗
大小括号，这个没有区别，有区别的是U,V的排列顺序
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昆明理工大学概率统计第四章 §1― §4
2第四章? ? ? ?随机变量的数字特征随机变量的数学期望 随机变量的方差及标准差 协方差 相关系数和矩 大数定律与中心极限定理在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多 场合只要知道该地区的平均产量； 又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻 穗的平均稻谷粒数； 再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤 维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均 长度的偏离程度，从上面例子看到与随机变量有关的某些数值， 虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变 量在某些方面的重要特征.称这种数值为随机变量 的数字特征.§1随机变量的数学期望为了描述一组事物的大致情况，我们经常使用平 均值这个概念. 例如，设十根钢筋的抗拉指标依次为： 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,那么 所要找的平均抗拉指标并不是这十根钢筋所取到 的抗拉指标值110,120,125,130,135,140的简单平 1 2 3 2 1 1 均，而是它们依次乘以 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 . 后的和. 后面这六个分数依次是取上述六个取到的抗拉指 标值的钢筋根数与总根数的比值.用数学上的术语来说，所求的平均值为取到的诸抗 拉指标值乘以取这些值的比值为加权数的加权平均.设对某个变量x进行n次观测，得如下数据: x1 , x2 ,?, xn 求变量x 的平均值 x.若在x1 , x2 ,?, xn 中,设xj 重复nj次，1 ? j ? k ? n ,则n1+n2+…+nk=n故k k x1 ? x2 ? ? ? xn n1 x1 ? ? ? nk xk ni x? ? ? ? xi ? ? ? x i f n ( xi ) n n n i ?1 i ?1n f n ( xi ) ? i 为x 出现的频率， n i则当 n ? ? 时， f n ( xi ) ? pi ? P{ X ? xi },从而，当 n ? ?时，? xi f n ( xi ) ? ? xi pi ? ? xi P{ X ? xi },i ?1 i ?1 i ?1 k k k若极限存在且唯一，则是随机变量X的概率平均， 称之为随机变量X的数学期望.从而有如下定义：定义：设离散型随机变量X的分布律为 若级数? xk pk， 绝对收敛，则称级数k ?1 ?P{ X ? xk } ? pk , k ? 1,2,?.k ?1的和为 ? xk pk，?机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X ) ??k ?1? xk pk?(1.1)定义中要求 ? x k pk 绝对收敛，是因为绝对收敛 的级数可以交换各项次序而不改变级数的和.数学 期望当然要求不会因为级数的各项排列次序不同k ?1而有所改变.同理，设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 若积分 ?? ? x f ( x )dx绝对收敛，则称积分为??? x f ( x )dx, ??为随机变量X 的数学期望，记为E(X)即?? E( X ) ? x f ( x )dx ???(1.2)数学期望简称期望，又称均值.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确 定.若X服从某一分布也称E(X)是这一分布的数 学期望.对于随机变量的函数f(X)的数学期望，我们有如下定理：定理 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续 函数）.则有 （1）设离散型随机变量X的分布律为P{ X ? xk } ? pk , k ? 1,2,?.若级数? g ( xk ) pk 绝对收敛，则k ?1?E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? g ( xk )k ?1?(1.3)定理? （2）设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 ??? g( x ) f ( x )dx ??绝对收敛，则?? g( x ) f ( x )dx ??E (Y ) ? E[ g( X )] ? ?(1.4)定理的意义在于当我们求E(Y)时，不必算出 Y的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律 或概率密度就可以了，定理的证明超出了本书的 范围，在此从略.上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函 数的情形.例如 ?若(X,Y)是离散型随机变量,Z是随机变量X,Y的函数 Z=g(X,Y)，其分布律为 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij , i , j ? 1,2,?则E ( Z ) ? E[ g( X ,Y )] ?i ?1 j ?1? ? g( xi , y j ) pij? ?(1.5)这里设上式右边的级数绝对收敛. ?若(X,Y)是连续型随机变量,Z是随机变量X,Y的函数 Z=g(X,Y)，若（X,Y）的概率密度为f(x,y)?? ?? E ( Z ) ? E[ g( X ,Y )] ? g( x, y ) f ( x, y )dxdy ?? ??则? ?(1.6)这里设上式右边的积分绝对收敛.11数学期望具有以下性质 (1) E(C)=C,C 为常数(2)当k为常数时，E(kX)=kE(X).(3) E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )(4) 当X ,Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y). 证明 下面就连续型情形列出(2),(3),(4)的证明， 离散型情形的证明与此类似，这里从略了.（2）设X的分布密度为 f ( x ) ,由??? ?? kxf ( x )dx ?k xf ( x )dx ?? ???即得： E(kX)=kE(X).12(3) E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )（3）设 ( X ,Y ) 的分布密度为 f ( x, y ), 则?? ?? E( X ? Y ) ? (x ? y ) f ( x, y )dydx ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? xf ( x , y )dydx ? yf ( x , y )dydx ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? x? f ( x , y )dy ?dx ? y? f ( x , y )dx ? ?dy ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? xf ( x )dx ? yf ( y )dy ? E ( X ) ? E (Y ). ?? X ?? Y? ?? ?? ???????(4) 当X ,Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y). （4）当 X ,Y 相互独立时, f ( x , y ) ? f X ( x ) fY ( y ) .从而E ( XY ) ? ??? ?? ?? ?? xyf ( x, y )dydx ? xyf X ( x ) fY ( y )dydx ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? xf ( x )dx y f ( y )dy ? E ( X ) E (Y ). ?? X ?? Y?? ???13这些性质还可以推广到多个随机变量上去，例如E ( X ? Y ? Z ) ? E ( X ) ? E (Y ) ? E ( Z )例1 设X的概率分布如表4-1,求E(X),E(X2),E(-2X+1).E( X ) ?k ?1? xk pk? k ?1?(1.1)(1.3)E[ g( X )] ?? g( xk )解：1 1 3 1 11 E ( X ) ? ( ?1) ? ? 0 ? ? 2 ? ? 3 ? ? , 8 4 8 4 81 1 3 1 31 E ( X 2 ) ? ( ?1)2 ? ? 02 ? ? 22 ? ? 32 ? ? , 8 4 8 4 81 1 3 1 14 7 E ( ?2 X ? 1) ? 3 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? . 8 4 8 4 8 414?i ? ? 例2:设X服从泊松分布 P(? ), 即 P{ X ? i } ? e , i ? 0,1,2,?,i!求E(X).n 2 n x x x x 因 e ? ? ? 1? x ? ??? ? ? .所以 解： 2! n! n ? 0 n! ?? ?i ? ? ? ?i ? ? ? ? E ( X ) ? ? i e ? ? i e ? ?e ? i ? 0 i! i ?1 i!?i ?1 ( i ? 1)!?i ?1 ? ?e ? ? e ? ? ?从而看出，对于泊松分布 P (? ), 由数学期望 这个数字特征便可定出这个分布.E( X ) ?k ?1? xk pk?(1.1)15例3? ?x ? ? e , x ? 0, 设随机变量X服从指数分布： f ( x) ? ? x ? 0. ?0,其中λ&0,求E(X).解:?? ?? ? ?x E( X ) ? ?xe dx ? ? xde ? ?x 0 0??1 ? ? ? ?x ? ?x ? ? ? ? xe dx ? . 0 ? 0 e ???b b b u( x )dv( x ) ? u( x )v( x ) a ? v( x )du( x ) a a??? E( X ) ? x f ( x )dx ???(1.2)16例4 解设X服从正态分布N(μ,σ2),求 E(X). X的分布密度为： f ( x ) ?于是E( X ) ? ??? ?? ? x e 2? ? ( x ? ? )2 2? 2 ? 1 e 2? ? ( x ? ? )2 2? 2, (? ? 0,?? ? x ? ??).t? x??dx ,作变换?得t2 ? ? ? ? ?t ? 2 E( X ) ? e dt ? ? ? 2??? 2??t2 ?? ? 2 e dt ? ??t 2??t2 ?? ? 2 te dt ??? ? 2?2? ? 0 ? ? .E( X ) ? ??? x f ( x )dx ??(1.2)例5 设X 服从超几何分布P{ X ? k } ?k n? k CM CN ?M n CN, k ? 0,1,?, n, 求E ( X ).解 用X表示从袋中（袋中共N产品，其中n件次 品），任取 M ( M ? N ) 件产品所含次品数，记：1 , 第i次 抽 得 正 品 ， ? Xi ? ? i ? 1,2,?, n. 。 ?0，第i次 抽 得 正 品则 X i 服从分布M B(1, ) ，从而 X ? X 1 ? ? ? X n NnM E ( X ) ? E ( X1 ) ? ? ? E ( X n ) ? N设供电公司在某指定时段内的供电量 X (万kwh)在[10,20] 上服从均匀分布,而用户的需求量 1万kwh获利 Y在[10,30] 上服从均匀分布,设公司每供电 0.1万元,若需求量超过供电量,则公司可从电网上 取得附加电量来补充,这时每供电1万kwh 获利0.05 万元,求公司在这段时间内获利的数学期望.例6解：由于X与Y独立,易知(X,Y)的联合密度为1 ? ? f ( x , y ) ? ? 200 ,10 ? x ? 20,10 ? y ? 30, ? 其它。 ?0,供电量 X (万kwh)在[10,20]服从均匀分布, 需求量 获利0.1万元, Y在[10,30] 上服从均匀分布,每供 1万kwh 若需求量超过供电量,由附加电量补充,这时每1万kwh 获利0.05万元,求获利的数学期望.1 ? ? f ( x , y ) ? ? 200 ,10 ? x ? 20,10 ? y ? 30, ? 其它。 ?0,利润函数0.1Y , X ?Y, Z ? G( X ,Y ) ? ? ?0.1X ? 0.05(Y - X ), 其它。 ?把矩形D ? [10,20]? [10,30]分成两个部 分 D1和D2 ,如图4-1，其中D1 ? {( x , y ) 10 ? y ? x ,10 ? x ? 20}D1 ? {( x , y ) x ? y ? 30,10 ? x ? 20}1 ? ? f ( x , y ) ? ? 200 ,10 ? x ? 20,10 ? y ? 30, ? 其它。 ?0,利润函数0.1Y , X ?Y, Z ? G( X ,Y ) ? ? ?0.1X ? 0.05(Y - X ), 其它。 ??? ?? E[ g( X ,Y )] ? g( x, y ) f ( x, y )dxdy ?? ?? 1 1 ? ?? 0.1 y dxdy ? ?? 0.05( x ? y ) dxdy 200 200? ?D1D21 20 0.05 20 x 30 ? dx ? ydy ? dx ? ( x ? y )dy ? 1.7083(万元） ? ? 10 10 10 x 即公司在这段时间内平均获利约1.7083万元?? ?? E[ g( X ,Y )] ? g( x, y ) f ( x, y )dxdy ?? ??? ?(1.6)例7 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅 客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客 下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X). （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各 旅客是否下车相互独立）. 解：引入随机变量0, 第i站没人下 ， Xi ? ? i ? 1,2,?,10. ?1，第i站有人下 。 ?易知 X=X1+X2+…+Xn, 现求E(X).9 按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为 10? 9 ? ? ? ? 10 ?20因此20位旅客都不在第i站下车的概率为 20 ? 9? 第i站有人下车的概率为1 ? ? 10 ? ，也就是? ?在? 9? ? 9? 从而P{Xi ? 0 } ? ? ? , P{ X i ? 1} ? 1 ? ? ? , i ? 1,2,?,10. ? 10 ? ? 10 ? ? 9? E(X i ) ? 1 ? P{ X i ? 1} ? 0 ? P {X i ? 0 } ? 1 ? ? ? , i ? 1,2,?,10. ? 10 ?? ? 9 ? 20 ? E(X) ? E ( X 1 ) ? E ( X 2 ) ? ? ? E ( X 10 ) ? 10?1 ? ? ? ? ? 8.784?次 ? 10 ? ? ? ? ? ?202020例8 设一电路中电流I(A)与电阻R(Ω)是两个相互 独 立的随机变量.其概率密度为?r2 2i ,0 ? i ? 1, h( r ) ? ? ,0 ? r ? 3, g( i ) ? ? ?0, 其它。 ?9 ? ? ?0, 其它。试求电压V=IR的均值. 解：E (V ) ? E ( IR ) ? E ( I ) E ( R) ? ??? ?? ig( i )di rh( r )dr ?? ???3 3 1 2 3r ? [ 2i di ][ dr ] ? (V ). 0 0 9 2??(4) 当X ,Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y).§2 随机变量的方差及标准差例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为第一批：110，120，120，125，125，125，130，130，135，140； 第二批：90，100，120，125，125，130，135，145，145，145.这两批的抗拉指标的平均值都是126.但是，使用钢筋时，一般 要求不低于一个指定数值，例如115.那么，第二批钢筋的诸抗 拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间 尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多. 从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的质量比第一批差.从 这个例子中看到，了解实际指标与平均值的偏差情况是有必要 的.定义 通常用E[X-E(X)]2的数学期望来计量X取值时与它的 数学期望E(X)为中心的分散程度.把这个数字特征 叫做X的方差，记作D(X)(或Var(X)）.即规定D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ,?(X) ? 同时称 差.( 2.1)D( X ) ? E[ X ? E( X )]2为随机变量X的标准注按数学期望的性质，由于E(X)是一个常数，因此D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ? E { X 2 ? 2 E ( X ) X ? [ E ( X )]2 } ? E ( X 2 ) ? 2 E ( X ) E ( X ) ? [ E ( X )]2 ?? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 . ( 2.2)这个表达式有时可以用来计算D(X). 即随机变量的方差=随机变量平方的期望 -随机变量期望的平方 为方便记忆，可记为：方差=平方的期望 -期望的平方D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ( 2.2)方差=平方的期望 -期望的平方 ? 对离散型随机变量，按上（2.1）式有D( X ) ? ? [ xk ? E ( X )] pk ? ? xk pk ? ( ? xk pk )2k ?1 k ?1 k ?1 ? 2 ? 2 ?其中pk ? P{ X ? xk }, k ? 1,2,?是X的分布律 。?对连续型随机变量，按上（2.1）式有2 ?? D( X ) ? ?? ? [ x ?E ( X )] f ( x )dx 2 ?? 2 ?? ? ?? ? x f ( x )dx ? ( ?? ? xf ( x )dx ) .其中 f(x)是X的概率密度.方差具有下列性质：?（1）设C 是常数，则D(C)=0, ?（2）设X是随机变量,C是常数，则有 D(CX ) ? C 2 D( X ). ?（3）设X,Y是随机变量，则有D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}.特别,若X,Y 相互独立,则有:D(X±Y)=D(X)+D(Y) 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随 机变量之和的情况. ?（4）D(X)=0的充要条件是X以概率１取常数C, 即P{X=C}=1, 显然，这里C=E(X).(3 )（ D( ? YC ) 是随机变量 ? D( X ) ? D(,Y ? 2 E {[ Y) ? E2(D Y( )]}. D)][ (CX ?C X) ? 1 2X ）设 X 是常数，则 D(C)=0 C) 是常数，则有 , X ? E( X特别，若X,Y 相互独立,则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ). 证明 （4）证略.下证（1），（2），（3）. ?（1）D(C ) ? E {[C ? E (C )]2 } ? 0( 2) D(CX ) ? E {[CX ? E (CX )]2 } ? C 2 E {[ X ? E ( X )]2 } ? C 2 D( X ) 2( 3) D( X ? Y ) ? E {[( X ? Y ) ? E ( X ? Y )] }? E {[( X ? E ( X )) ? (Y ? E (Y ))]2 }? E {[( X ? E ( X )]2 ? E {[(Y ? E (Y )]2 } ? 2 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}? D( X ) ? D(Y ) ? 2 E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}上式中 E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}? { E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? E (Y ) E ( X ) ? E ( X ) E (Y )}? E{ XY ? XE (Y ) ? YE( X ) ? E ( X ) E (Y )}若X,Y 相互独立由期望的性质知上式右端为０,从而D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ).D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ( 2.2)例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差 X ?? ? 2 ，则 D ( X ) ? ? ? 0 , 记X ??E( X ? ) ? 1?E( X ? ? ) ?1D( X ? ) ? E ( X? ?2[ E ( X ) ? ? ] ? 0,) ? [ E ( X ? )]2?? X ? ? ? 2 ? 1 ?2 2 ? E ?? ? ? ? 2 E[( X ? ? ) ] ? 2 ? 1, ? ? ? ? ? ? ?? ?即X??X ???的数学期望为０,方差为1,X?称为 X 的标准化随机变量.D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ( 2.2)例2 设随机变量X具有（０―１）分布B(1,p),其 分布律为 P{ X ? 1} ? p, P{ X ? 0} ? 1 ? p. 1? k k P { X ? k } ? ( 1 ? p ) p , ( k ? 0,1), 求D(X). 也记为 解：E ( X ) ? 0 ? (1 ? p) ? 1 ? p ? p,E ( X 2 ) ? 02 ? (1 ? p) ? 12 ? p ? p,由(2―2)式得： D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? p ? p 2 ? p(1 ? p).?i ? ? 例3 设X服从P (? ),即 P{ X ? i } ? e , ( i ? 0,1,2,?)i!求D(X).?i ? ? P{ X ? i } ? e , ( in? 0,1,2,?) 例3 设X服从 P? (? ),即 n 2 x i! 上节例2 因e x ? ? x ? 1 ? x ? x ? ? ? ? ? . 所以 2 2 2解 E( X ) ??! ( X ) ? E[ X ? E 2! D ( X )] ? E (n X! ) ? E ( X ) ( 2.2) n? 0 n ? ?i ? ?i i ?1 ? ?? ?? ? E( X ) ? i e ? i e ? ?e ? ? ? ?e ? ? e ? ? ? i ? 0 i! i ?1 i! i ?1 ( i ? 1)! i i ? ? ? ? 2 2 ?? 2 ??求D(X).???i ?1 ? ? ?i ?1 ? ? ? ? ?? ?? ? ? e ?? ? ? ( i ? 1) ? ? ?e ? [(i ? 1) ? 1] ( i ? 1)! i ?1 ( i ? 1)!? ? ( i ? 1 )! i ? 1 ? ? i ?1i ?0?ii!e?i ?1i ?1?ii!e? ?e??? ? ?i ? 2 ? ? ?e ? ?? ? ? ? ? i ? 2( i ? 2)! ?? ? e ? ? ( ? e ? ? e ? ) ? ?2 ? ? .2 2 E ( X ) ? ? D ( X ) ? E ( X ) ? E (X ) ? 2 又 ,所以? ? ? ? ?2 ? ?例4设X服从U[a,b]，求D(X).? ? 1 , a ? x ? b, X的概率密度为 f ( x ) ? ? b ? a ? 其他。 ?0,D( X ) ? E[ X ? E ( X )]2 ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ( 2.2)解X的数学期望为a?b ?? b x E( X ) ? x f ( x )dx ? dx ? . ?? ab?a 2??即数学期望位于区间[a,b]的中点.从而方差为2 2 1 a ? b ( b ? a ) b ? ? 2 dx ? ? . D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? x ? ? a b?a 12 ? 2 ??例5? ?x ? ? e , x ? 0, 设随机变量X服从指数分布： f ( x) ? ? x ? 0. ?0,其中λ&0,求D(X).E( X ) ? ??? 0?xe? ?xdx ? ? ???0xde? ?x??? ? xe ??x 0??? ? ? ?x e dx 0?1?.解 由上节例3有 E ( X ) ?E( X ) ? ? ?21?. 又2 ? ? 2 ? ?x ? ? ? ?x 2 ? ?x ? ? x e dx ? ? x e ?2 xe dx ? , 0 2 0 0 ??于是D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ?1?2.例6设 X ～ B(n, p).求E(X),D(X).解 由二项分布的定义知，随机变量X是n n重贝努里 试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发 生的概率为p,引入随机变量1, A在第k次试验中发生 ， k ? 1,2,?, n. Xk ? ? ?0，A在第k次试验中不发生 。 ? , X k 只依赖于第k 次试验， 易知 X ? X 1 ? X 2 ? ? ? X n由于 而各次试验相互独立，于是 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立， 又知 X k , k ? 1,2,?, n 服从同一（0-1）分布 B(1, p), 即P{ X k ? 1} ? p, P{ X k ? 0} ? 1 ? p, k ? 1,2,?, n.从而，以n,p为参数的二项分布随机变量，可分解成 n 个相互独立且都服从以p为参数的（0-1）分布的 随机变量之和.例2（０―１）分布P{ X ? 1} ? p, P{ X ? 0} ? 1 ? p.E ( X ) ? 0 ? (1 ? p) ? 1 ? p ? p, E ( X 2 ) ? 02 ? (1 ? p) ? 12 ? p ? p,D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) ? p ? p 2 ? p(1 ? p).由例2知故有E ( X k ) ? p, D( X k ) ? p(1 ? p), k ? 1,2,?, nE( X ) ? E( ? X k ) ?k ?1 n k ?1? E ( X k ) ? np.n又由于 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立，得D( X ) ? D( ? X k ) ?k ?1 n k ?1? D( X k ) ? np(1 ? p).nE ( X ) ? np, D( X ) ? np(1 ? p).例7 设 X～ N ( ? ,? 2 ) ,求 E ( X ), D( X ). 解 先求标准正态随机变量 Z ? X ? ? 的数学期望和?方差，Z 的概率密度为E( Z ) ? 1 2?f ( x) ?1 2?x2 ? e 2 ,?? ? x ? ???x2 ?? ? 2 xe dx ? 0 ??于是D( Z ) ? E ( Z 2 ) ?1 2??x2 x2 ? ?1 ?? 2 ? 2 ?? xe 2 ? ? ? x e dx ? ?? 2?1 2??x2 ?? ? 2 e dx ? 1 _?因 X ? ? ? ?Z 得 E ( X ) ? E ( ? ? ?Z ) ? ? ,D( X ) ? D( ? ? ?Z ) ? E {[? ? ?Z ? E ( ? ? ?Z )]2 } ? E[?Z ? E (?Z )]2 ? E (? 2 Z 2 ) ? ? 2 E ( Z 2 ) ? ? 2 D( Z ) ? ? 2 .从而看出，一般正态分布中的参数μ,σ2依次是相应 随机变量的数学期望及方差，只要利用数学期望及 方差这两个数字特征便能完全定出这一分布.这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数μ 和σ分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正 态分布完全可由它的数学期望和方差所确定. 再者，由上一章4中例3 知道,若 X i ～ N ( ? i ,? i2 ), i ? 1,2,? , n C1 X1 ? C 2 X 2 ? ? ? C n X n (C1 , C 2 ,?, C n 则它们的线性组合： 是 不全为0的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望 和方差的性质知道 n n C1 X1 ? C2 X 2 ? ? ? Cn X n～ N ( ? Ci ?i , ? Ci2? i2 ) ?i ?1 i ?1 2 2 2 2 2 2 N (C1?1 ? C 2 ? 2 ? ? ? C n ? n , C1 ? 1 ? C2 ? 2 ? ? ? Cn ? n ),这是一个重要结果.例如，若 X～ N (1,3),Y～ N (2,4), 且X,Y相互独立， Z=2X-3Y也服从正态分布，而E ( z ) ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ?4.D( Z ) ? 2 2 ? 3 ? 32 ? 4 ? 48.故有Z ～ N ( ?4,48).下面，把一些常见随机变量的概率分布、均值、方差 等列出表4-2，以便查阅.
§3 协方差 相关系数和矩对于二维随机变量(X,Y),们除了讨论X与Y的数学期 望和方差外，还需讨论刻划X与Y之间的相互关系的 数字特征. 在本章§2方差性质的证明中，我们已经看到，如果 两个随机变量 X和Y 是相互独立的，则E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? 0下面再看一下第2节中的相关推导.( 3) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}.特别，若X,Y 相互独立,则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ).( 3) D( X ? Y ) ? E {[( X ? Y ) ? E ( X ? Y )]2 }. ? E {[( X ? E ( X )) ? (Y ? E (Y ))]2 } ? E {[( X ? E ( X )]2 ? E {[(Y ? E (Y )]2 } ? 2 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} 上式中 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? E { XY ? XE (Y ) ? YE ( X ) ? E ( X ) E (Y )} ? { E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? E (Y ) E ( X ) ? E ( X ) E (Y )}若X与Y独立，由期望的性质知上式右端为０，从而D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ).这意味着当 E{[ X ? E( X )][Y ? E (Y )]} ? 0 时，X与Y 不 相互独立，而是存在着一定的关系的.定义一E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} 称为随机变量X与Y 的协方差.记为Cov(X,Y), 即Cov ( X ,Y ) ? E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}? XY ?? X （其中 ?Cov ( X , Y ) ? Cov ( X ? , Y ? ) D( X ) D(Y )X ? E ( X ) ? Y ? E (Y ) ,Y ? D( X ) D(Y )）? 称为随机变量X与Y的相关系数. XY 是一个无量纲 的量.协方差的性质：对于任意两个随机变量X和Y，下列 等式成立 ?（1） Cov ( X ,Y ) ? Cov (Y , X ),Cov ( X , X ) ? D( X ),(3.1)?（2） D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2Cov{[ X ? E( X )][Y ? E(Y )]} 证明 由Cov ( X ,Y ) ? E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}D( X ? Y ) ? E {[( X ? Y ) ? E ( X ? Y )]2 }? E {[( X ? E ( X )) ? (Y ? E (Y ))]2 }? E {[( X ? E ( X )]2 ? E {[(Y ? E (Y )]2 } ? 2 E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}? D( X ) ? D(Y ) ? 2Cov{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}即得.?（3） Cov( X ,Y ) ? E( XY ) ? E( X ) E(Y );证明 将 Cov ( X ,Y ) 按定义式展开，有Cov ( X ,Y ) ? E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? E{ XY ? XE (Y ) ? YE( X ) ? E ( X ) E (Y )}? { E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? E (Y ) E ( X ) ? E ( X ) E (Y )}? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ).我们常常利用上式计算协方差. ?（4）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数。 ?（5）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y). ?（6）若X与Y 独立,则.Cov(X,Y)=0.关于相关系数，我们有下面的定理 定理一 任意两个随机变量的相关系数的绝对 值不大于1，即 ? XY ? 1. 证明 我们考虑随机变量 Z ? X ? ? Y ? ，其中X ? E ( X ) ? Y ? E (Y ) X ? ,Y ? D( X ) D(Y )?D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2Cov{[ X ? E( X )][Y ? E(Y )]} (3.1)由公式（3.1）得?D( Z ) ? D( X ? ) ? D(Y ? ) ? 2Cov ( X ? , Y ? )? X ? E( X ) ? 1 1 D( X ) ? D ? ? D [ X ? E ( X )] ? D( X ) ? 1, ? D( X ) ? ? D( X ) ? ? D( X ) 同理 D(Y ? ) ? 1, 所以有 D( Z ) ? 2 ? 2? XY ? 2(1 ? ? XY ) (3.2)因为方差不能为负，所以有(1 ? ? XY ) ? 0 ? ? XY ? 1定理二 当且仅当随机变量X与Y之间存在线性 关系，即Y=kX+b时，它们的相关系数的绝对值 等于1，并且 ?1,当k ? 0, 证明 （1）? ? 1,当k ? 0。 设Y=kX+b，我们证明 ? XY ? ?1? XY ? ?,因为E (Y ) ? kE ( X ) ? b, D(Y ) ? k 2 D( X ), D(Y ) ? k D( X ) .所以，有Cov ( X ,Y ) ? E{[ X ? E ( X )][kX ? b ? kE( X ) ? b]}? kE[ X ? E ( X )]2 ? kD( X ).于是? XY ?Cov ( X , Y ) kD( X ) k ? ? , D( X ) D(Y ) k D( X ) k由此可见，当 k ? 0 时， ? XY?1? XY 当 k ? 0 时，? ?1定理二 当且仅当随机变量X与Y之间存在线性 关系，即Y=kX+b时，它们的相关系数的绝对值 等于1，并且 ?1,当k ? 0,? XY ? ?? ? 1,当k ? 0。（2）反之，设 ? XY 得到等式（3.3） 从而? ?1 在证明定理1时，我们曾经D( Z ) ? D( X ? ) ? D(Y ? ) ? 2 ? XY? XY ? 1 时，有 D( Z ) ? D( X ? ? Y ? ) ? 0.? ? D ( Z ) ? D ( X ? Y ) ? 0. 时，有 ? ?1? XY由此可见，当? XY ? ?1 时，有 D( Z ) ? D( X ? ) ? D(Y ? ) ? 0.?（4）D(X)=0的充要条件是X以概率１取常数C, 即P{X=C}=1, 显然，这里C=E(X).这表明Z以等于1的概率取唯一的值―它的数学期 望E(X),易知E ( Z ) ? E ( X ? ? Y ? ) ? E ( X ? ) ? E (Y ? ) ? E[ X ? E ( X )] E[Y ? E (Y )] ? ? 0, D( X ) D(Y )所以，当 ? XY? ?1时，我们有Z ? X ? ? Y ? ? 0,,即X ? E ( X ) Y ? E (Y ) ? ? 0, D( X ) D(Y )由此得 Y ? kX ? b, 其中k?? D(Y ) D( X ) , b ? E (Y ) ? D(Y ) D( X ) E ( X ).随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量 之间的线性相关性.随机变量之间的线性相关性就 是：当一个变量增大与另一个变量有按线性关系 增大（当k&0时）或减小（当k&0时）的趋势.当 相关系数越接近1或-1时，这种趋势就越明显.?当 ? XY? 0 时，称X与Y不相关.假设随机变量X,Y 的相关系数 ? XY 存在.当X与Y相互 独立时我们有：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0. 从而 ? XY ? 0 ，即X与Y 不相关. ?反之，若X与Y不相关,X与Y却不一定相互独立（见 下两例）.例1 设(X,Y)的分布律为如表4-3,易知E( X ) ? 0, E(Y ) ? 5 , E( XY ) ? 0, 2于是 ? XY? 0, X ,Y 不相关.这表示X,Y不存在线性关系.但 P{ X ? 2,Y ? 1} ? P{ X ? 2}P{Y ? 1}知X,Y 不是相互独立的. 事实上，Y和X具有关系： Y=X2,Y 的值完全可由X 的值所确定.? ? ? 上述情况，从“不相关”和“相互独立”的含义 XY ?来看是明显的.这是因为不相关只是就线性关系来 说的，而相互独立是就一般关系而言的.Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )] D( X ) D(Y )E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) D( X ) D(Y )例2 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1 ? ? , x 2 ? y 2 ? 1, f ( x, y) ? ?? ? 其它。 ?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.解：记 D : x 2 ? y 2 ? 1, 则x E ( X ) ? ?? dxdy ? 0, D? y E (Y ) ? ?? dxdy ? 0; D?Cov ( X ,Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )? E ( XY ) ? ??Dyy ? 1 ? x2D : x2 ? y2 ? 1xxyy ? ? 1 ? x2?dxdy ? 0,? XY ?Cov ( X , Y ) ? 0 ，即 X,Y不相关. D( X ) D(Y )又? 1? x 2 1 2 2 1 ? x ? dy ? , x ? 1， f X ( x) ? ?? 2 ? ? ? 1? x ?0， 其他。 ?y? 2 2 2 1 ? y 1 1 ? y ? dx ? , y ? 1， fY ( y ) ? ? ? 2 ? ? ? 1? y ?0， 其他。 ?x ? 1 ? y2D : x2 ? y2 ? 1xx ? ? 1 ? y2所以f X ( x ) fY ( y ) ? f ( x , y )，故X与Y不是相互独立的.?e ? x , x ? 0, 例3 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) ? ?0, x ? 0. ? ? .Y=2X,求XY解： E ( X ) ? D( X ) ? 1, E (Y ) ? D(Y ) ? 4.Cov ( X ,Y ) ? Cov ( X ,2 X ) ? 2Cov ( X , X ) ? 2 D( X ) ? 2,? XY ?Cov ( X , Y ) 2 ? ?1 D( X ) D(Y ) 1 ? 2由此例更能进一步理解相关系数的意义.当(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为f ( x, y) ? 1 2?? 1? 2 1 ? ? 2? ( x ? ?1 ) 2 ( x ? ?1 )( y ? ? 2 ) ( y ? ? 2 ) 2 ? ? ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? 1? 2 2(1? ? ) ? ?2 ? ? ?1 ? e 1我们不加证明的指出:二维随机变量(X,Y)的概 率密度中的参数 ? 就是X与Y的相关系数，因而二 维正态随机变量的分布完全可以由X,Y各自的数学 期望、方差及它们的相关系数所确定. 在第三章§3中已经讲过，若(X,Y)服从二维正态分 布，那么, X与Y相互独立的充要条件为 ? ? 0, 现在知道 ? XY ? ? ,故对于二维正态随机变量(X,Y) 来说，“X与Y 不相关”与“X与Y相互独立”是等下面再介绍随机变量的另外几个数字特征. 定义二 设X和Y是随机变量， ?若E(Xk),k=1,2,,…,存在，则称它为X的k阶原点矩.简称 k阶矩。 ?若E{[X-E(X)]k},k=2,3,…,存在，则称它为X的k阶中心矩. ?若E(XkYl),k,l=1,2,…,存在，则称它为X和Y的k+l阶混 合矩. ?若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l},k,l=1,2,…,存在，则称它为X 和Y的k+l阶混合中心矩. 显然,X的数学期望E(X) 就是X的一阶原点矩，方差D(X) 就是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)就是X和Y的二阶 混合中心矩.下面介绍维随机变量的协方差矩阵.先从二维随机变量 讲起.二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩（设它们都 存在），分别记为：c11 ? E {[ X 1 ? E ( X 1 )]2 },c12 ? E{[ X1 ? E ( X1 )][ X 2 ? E ( X 2 )]},c21 ? E{[ X 2 ? E ( X 2 )][X1 ? E ( X1 )]},c22 ? E {[ X 2 ? E ( X 2 )]2 }.? c11 c12 ? 将它们排成矩阵的形式：?c c ? . ? 21 22 ?这个矩阵称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵.设n维随机变量 ( X1 , X 2 ,?, X n ) 的混合中心矩cij ? Cov ( X i , X j ) ? E{[ X i ? E ( X i )][ X j ? E ( X j )]},i , j ? 1,2,?, n? c11 c12 ? c1n ? ? c21 c22 ? c2 n ? 都存在，则称 C ? ? ? ? ? ? ? ? ?cn1 cn 2 ? cnn ?为 n 维随机变量 ( X1 , X 2 ,?, X n )的协方差矩 cij ? c ji ( i ? j , i , j ? 1,2,?, n) 因而上述矩 阵.由于 阵是一个对称矩阵.一般地,n维随机变量的分布是不知道的，或者太复 杂，以致在数学上不易处理，因此在实际应用中协 方差矩阵就显得重要了.下面介绍n 维正态随机变量的概率密度.我们先将二 维正态随机变量的概率密度改写成另一种形式，以 便将它推广到n 维随机变量的场合中去，二维正态 随机变量(X1,X2)的概率密度为f ( x, y) ? 1 2?? 1? 2 1 ? ? 2? ( x ? ?1 ) 2 ( x ? ?1 )( y ? ? 2 ) ( y ? ? 2 ) 2 ? ? ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2(1? ? ) ? ?2 ? 1 2 ? ?1 ? e 1现将上式中中刮号内的式子写成矩阵，为此引入 下列的列矩阵 ? ? x ? ? ? ? ? x? 1 , ?? 1 . ? ? ? x2 ? ? ? ?2 ? ? (X1,X2)的协方差阵为2 ?? 1? 2 ? ? c11 c12 ? ? ? 1 C?? ?? ?, ? 2 c c ? 21 22 ? ? ? ?? 1? 2 ? 2 ? ?2 2 ? 2 (1 ? ? 2 ), C 的逆阵为 它的行列式 det C ? ? 1?? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 1 ? ?? ? ?1 1 2? 1 1 2 ? ? C ?1 ? . ? ? 2 2 ?? 1 ? det C ? ? ?? 1? 2 ? 2 ? ? 1? ? ? ?? ? 2 ? ? 1 2 ? 2 ?? ? ( x1? ? )(? ? ) ( x ? ? )2 ? ? ( x1 ? ?1 ) 2 x2 ?? 1 1 2 ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 1 2 ? ? ? ? ? 1 1 2 )? ?1 ?2 ? ? ??1 ? ? x1 ? ? ? ?1e? 2(1? ? C ? 1 1 2 ?. ? f ( x1 ,x x2 ) ? ? , ?? 2 . 2? ?? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? ?? ? 22 ? 1? 2 1 ??? 2 ? ?? ? 2 ? ? 1 2 ? 2 ? ? ? T ? ?1经过计算可知（这里矩阵 ( x ? ? ) 是( x ? ? ) 的转置矩阵） ?? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? T ?1 ? ? 1 ? ?1 1 2 ? ? x1 ? ?1 ? ( x ? ? ) C ( x ? ? ) ? ( x1 ? ?1 , x2 ? ?2 ) ? ?. 2? ?? 1 x ? ? ?? 2 2? 1? ? ?? ? 2 ? ? 1 2 ? 2 ? ( x1 ? ?1 )( x2 ? ? 2 ) ( x2 ? ? 2 )2 ? 1 ? ( x1 ? ?1 )2 ?? ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ? (1? ? ) ? ?2 1 2 ? ? ?1 ?.于是，(X1,X2)的概率密度可写成2 2 det C ? ? 1 ? 2 (1 ? ? 2 )1 ? ? T ?1 ? ? ? ( x?? ) C ( x?? ) 1 2 f ( x1 , x2 ) ? e2 c12 ? ? 1 ? 1 ?? 1? 2 ? ? c11 2 C?? ?? ?, ? 2 2 2 c c ? ) 22 (det ?( 2 21 ? C? ?)?? 1? 2 ? 2 ? ?上式容易推广到 n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的情况.? x1 ? ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? ? 2 ? x ? ? ? 和? ? ? ? ? ? ? ? ? xn ? ? ? ?n ? ?引入列矩阵n维正态随机变量 ( X 1 , X 2 ,?, X n )的概率密度定义为f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? 1n 1 ( 2? ) 2 (det C ) 2 ? ? 1 ? ? ? ( x ? ? )T C ?1 ( x ? ? ) e 2其中C是 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的协方差阵.n 维正态随机变量具有以下四条重要性质（证略）：（1）n维正态随机变量 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 的每一个分量 X i , i ? 1,2,?, n 都是正态变量；反之,若 X 1 , X 2 ,?, X n 都是 正态变量,且相互独立,则 ( X 1 , X 2 ,?, X n )是n维正态变量. ? (2)n维随机变量 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 服从n 维正态分 布的充要条件是 X 1 , X 2 ,?, X n的任意线性组合：l1 X 1 ? l2 X 2 ? ? ? ln X n服从一维正态分布（其中 l1 , l2 ,?, ln 不全为零）.?（3）若 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 服从n维正态分布，设 Y1 ,Y2 ,?, Yk是 X j ( j ? 1,2,?, n) 的线性函数， 则 (Y1 ,Y2 ,?,Yk )也服从多维正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性. ?（4）设 ( X 1 , X 2 ,?, X n ) 服从n维正态分布，则 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立”与“ X 1 , X 2 , ?, X n “ 两两 不相关” 是等价的. n维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到.§4大数定律与中心极限定理首先，我们介绍一下切比雪夫（Chebyshev）不等式. 定理一 （切比雪夫（Chebyshev）不等式） 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差 D(X)=σ2则 对于任意正数 不等式 ?,P{ X ? ? ? ? } ??2 ?2.成立.这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev） 不等式.证：（续下页）。证 :只就连续型随机变量的情况 来证明，设X的概率密度 为f(x),则有（如图4-2）P{ X ? ? ? ? } ? ?x ? ? ??f ( x )dxx??2(被积函数放大) ? ?x??x ? ? ?? ?? 2x ? ? ???2f ( x )dx2?????2 2 x ? ? ???2f ( x )dx ? ?x??x ? ? ???2f ( x )dx?2 ?2f ( x )dx ??2 ?2.P{ X ? ? ? ? } ?.切比雪夫(Chebyshev)不等式也写成?2 P{ X ? ? ? ? } ? 1 ? 2 . ? 这个不等式给出了:在随机变量X的分布未知的情况下,事件 { X ? ? ? ? } 的概率的下限的估计. 例如，在（4.1）式中取 ? ? 3? 得到1 P { X ? ? ? 3? } ? 1 ? ? 1 ? ? 0. 9??2即任何随机变量分布在以 ? 为中心, 3?为半径的区 域内的概率不小于8 . 9P{ X ? ? ? ? } ??2 ?2.例1 设 E ( X ) ? E (Y ) ? 2, D( X ) ? 1, D(Y ) ? 4, ? XY ? 0.5, 试用切比雪夫不等式估计 P ( X ? Y ? 6). 解 令 Z ? X ?Y, 则E ( Z ) ? 0, D( Z ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 ? XY D( X ) D(Y ) ? 3,P ( X ? Y ? 6) ? P ( Z ? E ( Z ) ? 6) ? D( Z ) 62 1 ? 12故:?2 切比雪夫(Chebyshev)不等式 P { X ? ? ? ? } ? 2 . ?在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性， 即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定 于某个常数.在实践中人们还认识到大量测定值的算 术平均值也具有稳定性.这种稳定性就是本节所要讨 论的大数定律的客观背景. 定义 ?(1) 若对任意的? ? 0,有 P{ X n ? X ? ? } ? 1(n ? ? ), 则称随机变量序列 { X n } 依概率收于 X ,记为Xn ? ?? XP?(2) 对随机变量序列 { X n }, 记X ? E ( X ),P1 n X ? ? Xk n k ?1,若则称 { X n } 服从大数定律.定理二（切比雪夫大数定理） 设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 两两互不相关，每一 随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界 D( X k ) ? C , k ? 1,2,?, 则对于任意正数 ? ，有? ? 1 n ?1 n ? lim P ? ? X k ? ? E ( X k ) ? ? ? ? 1 (4.2) n k ?1 n ? ? ? n k ?1 ? ? ?证： 由于{Xk}两两相互不相关，故?1 n ? 1 n C D? ? X k ? ? D ( X ) ? ? k 2 2 n n n ? ? k ?1 ? k ?1 ??1 n ? 1 n C D? ? X k ? ? D ( X ) ? k 2 ? 2 n n n ? ? k ?1 ? k ?1 ?再由切比雪夫不等式 P { X ? ? ? ? } ? 1 ??2 ?2. 可得：?1 n ? D? ? X k ? ?n ? ? ? 1 n C ?1 n ? k ?1 ? ? ? 1? , P ? ? X k ? ? E( X k ) ? ? ? ? 1 ? 2 2 n n k ?1 n? ? ? ? ? k ?1 ?在上式中令 n ? ?, 并注意到概率不能大于1，即得? ? 1 n ?1 n ? lim P ? ? X k ? ? E ( X k ) ? ? ? ? 1. n k ?1 n ? ? ? n k ?1 ? ? ?定理三（切比雪夫大数定理的特殊情形） 设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 相互独立，且具有相同2 E ( X ) ? ? , D ( X ) ? ? ( k ? 1,2,?) k k 的数学期望和方差 n.作前n个随机变量的算术平均? ? 0, 有1 X ? ? Xk n k ?1,则对任意? ? ?1 n ? lim P{ X ? ? ? ? } ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1 (4.3) n? ? n ? ? ? n k ?1 ? ? ?证：（续后页）证明 由于?1 n ? 1 n 1 E ? ? X k ? ? ? E ( X k ) ? ? n? ? ? , n ? ? n k ?1 ? ? n k ?12 ?1 n ? 1 n 1 ? 2 D? ? X k ? ? D ( X ) ? ? n ? ? , ? k 2 2 n n ? ? n k ?1 ? ? n k ?1 ?2 由切比雪夫不等式 P { X ? ? ? ? } ? 1 ? 2 可得： ? 22 ? ? ? ?1 n ? P? ? Xk ? ? ? ? ? ? 1 ? n ? 1 ? 2 2 n k ?1 ? n ? ? ? ? ??在上式中令n ? ?, 并注意到概率不能大于1，即得? ? ?1 n ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1 n ? ? ? n k ?1 ? ? ?X 1 , X 2 , ?, X n 的 定理三表明:当 n 很大时，随机变量 1 n X k 接近于数学期望 算术平均 X ? n k? ?1E ( X1 ) ? E ( X 2 ) ? ? ? E ( X n ) ? ?这种接近是在概率意义下的接近.即在定理的条件 下， n 个随机变量的算术平均，当 n 无限增加时几 乎变成一个常数. 设 Y1 ,Y2 ,?,Yn ,?是一个随机变量序列，a 是一个常数. 若对任意正数 ? ，有 lim P{ Y ? a ? ? } ? 1n ?? n则称序列Y1 ,Y2 ,?,Yn ,?依概率收敛于 a .记为PYn ? ?? a .依概率收敛的序列还有以下性质 设 X n ? a,Yn ? b, 又设函数 g( x, y )在点(a, b) 连续，P PP则 g( X n ,Yn ) ? g(a , b), 这样，上述定理三又可叙述为设随机变量X 1 , X 2 ,?, X n ,? 相互独立，且具有相同的数学期望和方差 则序列1 n X ? ? Xk n k ?1E ( X k ) ? ? , D( X k ) ? ? 2 ( k ? 1,2,?)依概率收敛于 ? .即X ? ?.P定理四 （贝努利大数定理） 设n A是n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数. p是事 件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意正数 ? ? 0， 有? nA ? lim P ? ? p ? ?? ?1 n? ? ? n ?或?n ? lim P ? A ? p ? ? ? ? 0. n? ? ? n ?证：（续后）证明 因为 nA～ B( n, p) ，由第四章§2例7，有nA ? X1 ? X 2 ? ? ? X n ,其中 的（0-1）分布.因而X 1 , X 2 , ?, X np 相互独立，且都服从以 为参数E ( X k ) ? p, D( X k ) ? p(1 ? p), k ? 1,2,?, n,由定理三? ? ?1 n ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1 n ? ? ? n k ?1 ? ? ? ? ? ?1 n ? lim P ? ? X k ? p ? ? ? ? 1 n ? ? ? n k ?1 ? ? ?得即? nA ? lim P ? ? p ? ?? ?1 n? ? ? n ?nA 贝努里大数定理“表明事件发生的频率 依概率 n收敛于事件发生的概率 p ” .这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.就 是说“当 n 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”.在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 定理三中要求随机变量X 1 , X 2 ,?, X n ,?的方差存在.但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理.定理五 （辛钦大数定理） 设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 相互独立，服从同一分 布，具有数学期望 E ( X k ) ? ? , k ? 1,2,? 则对于任意正 数? ，有? ? ?1 n ? lim P{ X ? ? ? ? } ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1 n? ? n ? ? ? n k ?1 ? ? ?例21 n 2 Yn ? ? X i 依概率收敛于多少 n i ?1设序列 X i 独立同分布于 E ( 2) ,问 n ? ? 时？解 由条件知2 2 X1 ,? , X n 独立同分布,且1 1 2 1 2 2 E ( X i ) ? D( X i ) ? E ( X i ) ? ?( ) ? . 2 2 2 21 n 2 P 1 2 从而由辛钦大数定理知. Yn ? ? X i ? E ( X i ) ? . n i ?1 2显然贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情况.辛 钦定理在应用中是很重要的.定理六 （独立同分布的中心极限定理） 设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n ,? 相互独立，服从同一分布， 且具有数学期望和方差 E ( X k ) ? ? , D( X k ) ? ? 2 ( k ? 1,2,?) 则随机变量之和 ? X k 的标准化变量Yn ?k ?1n? X k ? E( ? X k )k ?1nk ?1nD( ? X k )k ?1n?k ?1? X k ? n?nn?的分布函数 Fn ( x )对任意x满足? ? n ? ? t2 1 ?2 x ? ? X k ? n? ? lim Fn ( x ) ? lim P ? k ?1 e dt ? ? ( x ).(4.7 ) ? ? ?? ? ? x? 2? n? ? n? ? ? n? ? ? ? ?定理六也称列维―林德贝格定理.这就是说，均值为 ? ，方差为 ?n2 ? 0 的独立同分 布的随机变量 X1 , X 2 ,?, X n 之和 ? X k 的标准化变 k ?1 量，当 n很大时，有k ?1? X k ? n?n?n（近似地服从）～ N (0,1)(4.8)n在一般情况下， 很难求出 n 个随机变量之和 ? X kk ?1的分布函数，（4.8）式表明，当 n充分大时，可?? k ? t ? 1 x n ? k ?1 ? lim Fn ( x ) ? lim P ?X ? x? ? ? e 2 dt ? ? ( x ).(4.7 ) ? ? 2? n? n? ? n ? ??? k 作理论分析或作实际计算 用正态分布对 . ? k ?1 ? ? ? ?以通过? ( x)? n ? .这样，就可以利 给出其近似的分布 2 X ? n?将（4.8）式左端改写成 述结果可写成 当 n 充分大时,X ??1 n Xk ? ? ? n k ?1??X ??n?这样，上n（4.9）?n（近似地服从）～ N (0,1)?2( 4.10)或X （近似地服从）～ N ( ? , n )这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式.即均值 为 ? ,方差为 ? 2 ? 0, 的独立同分布的随机变量X 1 , X 2 , ?, X n1 n X ? ? X k，当 n 充分大时，近似地服从 的算术平均 n n k ?1 ? X k ? n?? 2 (4.8) （近似地服从）～ ?1 均值为 ? k ,方差为 的正态分布. N (0,1) n n?这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.例3 设甲、乙两商场销售某商品竞争2000位顾 客,若每位顾客完全随意的选择一个商场,且其选 择相互独立,问每个商场应组织多少件货源才能 保证因脱销而使顾客离去的概率小于1G？(设每 位顾客只购该商品一件). 解：由于两商场情况相同,故仅考虑甲商场,设甲商场 组织了N 件货源,令 则Xi1 , 第 i 位顾客选择了甲商场， ? Xi ? ? ?0， 否则。独立同分布,1 1 1 P{ X i ? 1} ? P{ X i ? 0} ? , E ( X i ) ? , D( X i ) ? , i ? 1,2,?, 4? n ? n ? ? X k ? n? ? t2 ? n? 1 ?2 ? x ?X ? k k ? 1 P?? ? x? ? ? e N (0 dt ? ?(x ).( 4 ,1) (4 .8 ).7 ) （近似地服从）～ k 1 ? ? 2? ? n? n? ? ? ? ? ?再设X?2000 i ?1? X i , ,则X表示选择了甲商场的顾客总数,X?2000 i ?1由中心极限定理:? X i , 近似服从 N ()由题意要求 P{ N ? X } ? 0.99 ? P { X ? N } ? 0.99.? 2000 ? 1 ? ? X i ? 2000 ? ? 2 N ? 1000 ? ? i ?1 而P { X ? N } ? P ? ? ? 1 10 5 ? ? 2000 ? ? ? 4 ? ?? N ? 1000 ? ??? ? ? 10 5 ?? 0.99(查表）? ?（ 2.33） .定理六： ??， lim P ? ? x? ? ? e dt ? ? ( x ).(4.7 ) ? ? 应组织1052n件货源 n? 2? ? ? ? ,才能保证因脱销而使顾客离去的概 ? ? ? 率小于1G. ? ?N ? 1000 ? n ? ?? 2.X 33 n? N ? ? 1052 件,从而每个商场 ? 查表得 于是 t2 k ,? 10 5 ? k ?1 1 ?2 x ?下面介绍另一个中心极限定理，它是定理六的特殊情况 . 定理七 （棣莫弗―拉普拉斯定理） 设随机变量?n ( n ? 1,2,?) 服从参数为n,p(0&p&1) 的二项分布，则对于任意x,有? ? x ? ? n ? np ? lim P ? ? x? ? ? ? ? 2? ? n? ? ? ? np(1 ? p ) ?t2 1 ?2 e dt ? ? ( x ).(4.11)证明 由第四章§2 例7知可以将 ? n分解成 n 个相互X , X 2 , ?, X n 独立、服从同一（ n 0-1）分布的随机变量 1 之和，即有 ?n ? ? X k ,k ?1其中 由于i 1? i X k ( k ? 1,2,?, n) 的分布律为 P { X k ? i } ? p (1 ? p ) , i ? 0,1.E ( X k ) ? p, D( X k ) ? p(1 ? p), k ? 1,2,?, n, 由定理六有 ? n ? ? ? X k ? np ? t2 ? ? 1 ?2 x ? ? n ? np ? ? k ?1 ? lim P ? ? x ? ? lim P ? ? x? ? ? e dt ? ? ( x ). ? ? 2? ? n? ? ? ? ? np(1 ? p ) ? n? ? ? np(1 ? p ) ? ? ? n ? ? ? ? ? X k ? n? ? t2 这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布 .当 n 1 ?2 x ? k ?1 ? 定理六： ??， lim P ? ? x? ? ? e dt ? ? ( x ).(4.7 ) ? ? 充分大时，我们可以利用（ 4.11 ）式来计算二项分布的 n? 2? n? ? ? ? 概率.下面举几个关于中心极限定理应用的例子 . ? ? ? ?例4 某厂有400台同类型的机器,每台机器发生故障的 概率都是0.02,假设各台机器是否出故障互不影响.试用 三种不同的方法求发生故障的机器的台数不小于2的概率.解 设出故障的机器的台数为X.?方法一:用二项分布,因为 X 服从二项分布 B(400,0.02)P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} 0 1 ? 1 ? C 400 0.020 ? 0.98400 ? C 400 0.02 ? 0.98399? 1 ? 0.98 ? 400 ? 0.02 ? 0.98 ? 0.9972. ?法二:用泊松分布近似计算. n ? 400, p ? 0.02, ? ? np ? 8,400 399所以P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ? e?88! ?8 ? e ? 0.9970. 1!np ? 8, npq ? 400 ? 0.02 ? 0.98 ? 2.8例4 某厂有400台同类型的机器,每台机器发生故障的 概率都是0.02,假设各台机器是否出故障互不影响.试用 三种不同的方法求发生故障的机器的台数不小于2的概率. ?方法三:用中心极限定理. np ? 8, npq ? 2 N ( 8 . 2 . 8 ), 从而 X ,故 近似服从P{ X ? 2} ? 1 ? P{0 ? X ? 2}400 ? 0.02 ? 0.98 ? 2.8,? ? 2?8? ? 0 ? 8 ?? ? 1 ? ?? ? ? ?? ? ?? ? 2 .8 ? ? ? ? 2.8 ?? 1 ? [? (?2.143) ? ? (?2.875)] ? 0.9859.t2 ? ? ? ? np 1 ?2 x ? ? n 此例说明当 定理 7： ??，P ? n很大,p很小时用泊松分布比用正态分 ? x? ? e dt ? ? ( x ). (4.11) ? ? 2? ? np(1 ? p ) ?? 布计算较为准确 .??思考?1.在离散型随机变量的数学期望定义中，为何 要求 ? xi pi 绝对收敛？iE ( X ) ? ? ,则 E[ f ( X )] ? ?2.有人说，若：“f (? )”.请问对吗？?3.有人说:“ X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 Cov( X , Y ) ? 0 .”请问对吗？思考4.从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼中，通常 加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同的地方，因而，一 批再生铁中不同的废铁所含的杂质（通常杂质是指：碳，硅，锰, g，硫等）也不同，而冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平 均值，以便加入相应的配料.假设每次化验均需3克充分混合的样 品，且这3克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法是:随 机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取3克后进行化验， 化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁的杂质百分比，但这样 化验的结果通常与实际值会有较大误差，从而导致配料的加入不 适当.事实上，每次样品的提取是极其简单的，样品的提取费用 几乎为零，且每次提取样品的最小值可精确到0.05克，而每次的 化验费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样品提 取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂质百分比几乎 一致.思考思考? 5．“股市有风险，投资需谨慎”，现在沪深两地上 市的股票已近两千支 . 记股市首日开市时为零时 ( t ? 0) ，股市首日开市时所有上市的股票综合指数 m 家上市公司的股票纳入 t 已有 记为100点.设至时刻 nt ( k ) 为股市开市时刻 t 第 k 家上市公司 指数计算,记 (k ? 1,2,?, m), t 时刻到 t ? r 时 刻 新 增 加 的股票总股数 第 m ? 1家上市公司的 nt ( m ? 1) 股计入指数；记 pt ( k ) 为t 时刻第 k 家上市公司的股票单价，t 时刻股票的权重 wt ( k )是指该上市公司总股价 nt ( k ) pt ( k )占全部上市公 司股票总股价的份额： n (k ) p (k )wt ( k ) ?k ?1? nt (k ) pt (k ) ? nt (m ? 1) pt (m ? 1)mtt所谓股票指数是将各支股票涨跌的幅度乘以其权 st 重作和的值，为股市开市时刻全部上市公司股票 的综合指数，设t时刻到t+r时刻各家上市公司的 总股数不变, 即 nt ( k ) ? nt ? r ( k )(k ? 1,2,?, m ? 1) 则t时刻与t+r时刻的综指的递推计算公式为m ?1 k ?1st ? r ? m st? nt ? r ( k ) pt ? r ( k )k ?1? nt ( k ) pt ( k ) ? nt ( m ? 1) pt ( m ? 1)pt ? r ( k ) ? ? wt ( k ) ? pt ( k ) k ?1m ?1m ?1 n t ? r ( k ) pt ? r ( k ) ? nt ( k ) pt ( k ) ? m ?1 k ?1 nt ( k ) pt ( k ) nt ( k )nt ( k ) k ?1??例如：单支股价为5元，而今日收盘时该支股票的单 价为5.1元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百 分之二，上证综指前一日收盘时的指数是3500点，而 今日收盘时的指数是3675点，这表示一天之后，上交 所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然，在这 一天的交易中，各支股票有涨有跌，即使在股票大涨 的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁.假设某人 现有30万元现金急需投资股市，而现在股市各股的平 均股价为5元每股，且证交所规定股民购买任何一家 上市公司的股票不得少于1000股，现该投资人不想冒 个股的暴涨或暴跌风险，而只需望自己的投资不论增 值或亏损均与大盘的涨跌幅度大致相一致，试根据大 数定律，设计一个适合该投资人的投资方案；若该投 资人希望自己的投资不论增值或亏损均与大盘蓝筹股 的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个 适合该投资人的投资方案.
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