RSA算法题解答题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-22 11:29 标签： java算法笔试题
RSA算法原理（二） - 阮一峰的网络日志
RSA算法原理（二）
上一次，我介绍了一些。
有了这些知识，我们就可以看懂。这是目前地球上最重要的加密算法。
六、密钥生成的步骤
我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
　　n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
　　φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
　　ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
　　ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
　　17x + 3120y = 1
这个方程可以用求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用格式表达（）。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
它等于这样两个质数的乘积：
　　　　×
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
八、加密和解密
有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓"加密"，就是算出下式的c：
　　me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥() 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
　　cd ≡ m (mod n)
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是()，那么，爱丽丝算出
　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
九、私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
　　cd ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
　　ｍe ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
　　c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
　　(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同于求证
　　med ≡ m (mod n)
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
　　ed = hφ(n)+1
将ed代入：
　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)
　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
进一步得到
　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
　　(kp)ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
　　(kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t'p
　　(kp)ed = t'pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
　　med ≡ m (mod n)
原式得到证明。
学习编程其实就是学高级语言，即那些为人类设计的计算机语言。
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rsa算法题目使用RSA公开密钥体制进行加密：若P=7而Q=11,试列出5个有效的e?若P＝13而q=31,而e=7,d是多少?公钥是多少?私钥是多少?若P＝5而q=11,d＝27,试求e,并将abcd进行加密.
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注意：≡是同余的问题,不是简单的mod,意思是说这符号前面的数和mod后面的数有相同的余数1.RSA算法很简单,看个具体的题目你就全会了,我答过不少具体的题目.根据数论,若x与y互为素数,则x^-1 mod y存在唯一整数解.由此,告诉你一种简洁的求d的方法,该法是根据模的逆运算的原始定义求解,即：ed=k(p-1)(q-1)+1 式中d和k都是整数.因为e与(p-1)(q-1)互为素数,所以存在唯一整数解.这样可以通过搜索法找到d.例如：e=5,(p-1)(q-1)=96 带入公式试值得：5d=96*k+1 k=4,d=77 (k与d同时为整数) RSA算法我还真没见过负数密钥.算我说的不严谨,k与d同为正整数.
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