一个等比数列的计数问题的探究--《数学通讯》2007年17期
一个等比数列的计数问题的探究
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【创新设计】（浙江专用）2015高考数学二轮复习 专题强化训练3 第1讲 等差、等比数列的基本问题 文（含解析）.doc
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-1-专题三数列第1讲等差、等比数列的基本问题(建议用时:60分钟)一、选择题1.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A.13B.-13C.19D.-19解析设等比数列{an}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=19.答案C2.在等差数列{an}中,若a2+a3=4,a4+a5=6,则a9+a10等于().A.9B.10C.11D.12解析设等差数列{an}的公差为d,则有(a4+a5)-(a2+a3)=4d=2,所以d=12.又(a9+a10)-(a4+a5)=10d=5,所以a9+a10=(a4+a5)+5=11.答案C3.在正项等比数列{an}中,3a1,12a3,2a2成等差数列,则aa等于().A.3或-1B.9或1C.1D.9解析依题意,有3a1+2a2=a3,即3a1+2a1q=a1q2,解得q=3,q=-1(舍去),aa=a1q3a1q1=q2+q31+q=9.-2-答案D4.(;郑州模拟)在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是().A.3B.-3C.±3D.±3解析依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4&0,a8&0,因此a6&0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6=a4a8=3.答案A5.(;济南模拟)在等差数列{an}中,a1=-2014,其前n项和为Sn,若S=2,则S2014的值等于().A.-2011B.-2012C.-2014D.-2013解析根据等差数列的性质,得数列Snn也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项S11=a1=-2014,公差d=1,故S14+(2014-1)×1=-1,所以S.答案C6.(;辽宁卷)下面是关于公差d&0的等差数列{an}的四个命题:p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为().A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4解析设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若an=3n-12,则满足已知,但nan=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若an=n+1,则满足已知,但ann=1+1n是递减数列,所以p3为假命题;设an+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.答案D7.(;新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于().-3-A.3B.4C.5D.6解析由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=2,am+1=3,所以d=1,因为Sm=0,故ma1+mm-12d=0,故a1=-m-12,因为am+am+1=5,故am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.答案C二、填空题8.(;新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn=23an+13,则数列{an}的通项公式是an=________.解析当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=23an-23an-1,所以anan-1=-2,∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,故an=(-2)n-1.答案(-2)n-19.(;北京卷)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=________;前n项和Sn=________.解析由题意q=a3+a5a2+a4=2,又a2+a4=20,故a1q+a1q3=20,解得a1=2,所以Sn=2n+1-2.答案22n+1-210.(;新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a1=________.解析先求出数列的周期,再进一步求解首项,∵an+1=11-an,∴an+1=11-an=11-11-an-1=1-an-11-an-1-1=1-an-1-an-1=1-1an-1-4-=1-111-an-2=1-(1-an-2)=an-2,∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.而a2=11-a1,∴a1=12.答案1211.设数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=1且a1,a3,a6成等比数列,则数列{an}的前n项和Sn=________.解析设公差为d,由a1,a3,a6成等比数列,可得(1+2d)2=1×(1+5d),解得d=14,所以Sn=n+nn-12×14=18n2+78n.答案18n2+78n12.(;天津卷)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.解析根据等差数列的前n项和公式求出S1,S2,S4的表达式,然后利用等比数列的性质求解.等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+nn-12d,所以S1,S2,S4分别为a1,2a1-1,4a1-6.因为S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1·(4a1-6),解方程得a1=-12.答案-12三、解答题13.(;北京卷)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;-5-(2)求数列{bn}的前n项和.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b
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18-04-01 23:12提问
数学老师木子12的解答
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考查了数列前n项和的概念，考查了等比数列的性质。
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