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高一三角函数专题：求最值问题02
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高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）1）
第三章& 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
3.1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中是以作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度与角度的换算：；；1.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.
4．弧长公式、扇形面积公式：,其中为弧长，为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形.
5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是.这六个函数统称为三角函数.
6．三角函数的定义域
7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系内讨论角
（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.
（2）与角终边相同的角的集合表示.
，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍.
2．值得注意的几种范围角的表示法
“0～间的角”指；“第一象限角”可表示为
；“小于90的角”可表示为.
3．在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.
4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.
5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？
三、经典例题导讲
[例1]　若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（　　）
①.　　②.　　③.　　④.
A．1&&&&&&&&&&&
B.2&&&&&&&&&& C.3&&&&&&&&&& D.4
错解：& ∴& ，故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误
正解：法1在中，在大角对大边，
法2　考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知角的终边关于轴对称，则与的关系为　　　　　　　　　.
错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（
错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.
正解：∵角的终边关于轴对称
说明：（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为
（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为
（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为
[例3]　已知&，试确定的象限.
错解：∵，∴是第二象限角，即
故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.
错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，
而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.
正解：∵，∴是第二象限角，
，故是第四象限角.
&[例4]已知角的终边经过，求的值.
错因：在求得的过程中误认为0
正解：若，则，且角在第二象限
若，则，且角在第四象限
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.
[例5]　（1）已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角；
（2）若，则是第　　　象限角.
解：（1）是第三象限角，即
当为偶数时，为第二象限角
当为奇数时，为第四象限角
而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.
（2）因为，所以为第二象限角.
点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长
扇形的面积
所以当时，即时.
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.
[例7]已知是第三象限角，化简。
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝。
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.
[例8]　若角满足条件，则在第（　　）象限
A.一　　　　　　　　B.二　　　　　　　　　C.三　　　　　　　　　　D.四
解：角在第二象限.故选B.
[例9]　已知，且.
（1）试判断的符号；
（2）试判断的符号.
解：（1）由题意，，
（2）由题意知为第二象限角，，所以.
四、典型习题导练
1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为&&& ）
&&&&&& A．& B．&& &&&&& C．&& && D．
2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（&&& ）
A.-α&&&&& B.л-α&&&&&&
C.（2kл+1）л-α(k∈Z)&&&&& D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（&&& ）
A．[2k－，2k&+]&&&&&&&&&&&&&&&&
B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪&&&&&
D.以上都不对
4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为(&&&& )
A. &&&&&&&&&B.&&&&&&
5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是(&&&&
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine&&&&&&&&&&&&&&&&&
B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3&&&&&&&&&&&&&&&&&
D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),则下面四式: 中正确命题的序号是&&&&&&& .
①sinx＜x＜tgx&&&&&
&&②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1&& &&&④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中终边相同的是（&& ）
A.(1)和(2)&&&&&&&&&&&&&&&&
&B.(1)、(2)和(3) &&
C.(1)、(2)和(4) &&&&&&&&&&&&&D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（&&
&&&&&&&&&&&&&B.－
&&&&&&C.－ &&&&&&&D.－
9．函数y=&的定义域是______,值域是______.
3.2三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学
1．同角三角函数的基本关系式
平方关系：；商数关系：；倒数关系：
&& 同角三角函数的基本关系式可用图表示
&& （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方；
&& （2）对角为倒数关系；
&& （3）每个三角函数为相邻两函数的积.
2．诱导公式()
角&&&&&&&&&
&诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
&（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
&（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
&&& “1”的代换；，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3．已知角的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
[例1]已知__________
错解：两边同时平方，由得
错因：没有注意到条件时，由于
所以的值为正而导致错误.
&&& 两边同时平方，有
&&& 求出∴
[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
错解：由得tan A=tan B
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示
①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1
∴cos2B=&&&
∴sin2B=&&&
∵B为锐角&
得tan A=tan
[例3]若函数的最大值为2，试确定常数a的值.
点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
&[例4]已知=2，求
（1）的值；&& （2）的值．
解：（1）∵ tan=2, ∴ ;
（2）由(I), tanα=－, 所以==.
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.
[例5]化简：
错解：原式
错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.
正解：原式
（1）当，时
（2）当，时
[例6]若，则=（&& ）
A．&&&&&&&&&&&
B．&&&&&&&&&&&
C．&&&&&&&&&&&
错解：===1—2=
错因：诱导公式应用符号错.
=—=—1+2=—.故选A.
[例7]．已知.
&& （1）求sinx－cosx的值；
&& （2）求的值.
&解法一：（1）由
&解法二：（1）联立方程
&&& 由①得将其代入②，整理得
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
[例8] (1)化简： ＋+cos2αcsc2α
(2)设sin(α+)=－,且sin2α＞0
求sinα,tanα
解：原式=＋ +cos2αcsc2α
=cos2α+sin2α+cos2αcsc2α
(2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
kπ＜α&kπ+
(k∈z)&&&&
&∴α为第一象限或第二象限的角
∵cosα=- ＜0&&&&&&&&&
∴α为第三角限角
sinα=-＝ &&&&&tan
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.
& 点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.
解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
&&&&&&&&& 故&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故在第二象限，于是.
从而（以下同解法一）.
点评：，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.
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基本初等函数Ⅱ（三角函数）
3.1 任意角三角函数
一、知识导学
1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.
角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零
2 ．弧度制：任一已知角? 的弧度数的绝对值?
，其中 是以? 作为圆心角时所对圆弧
为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为
零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
3 ．弧度与角度的换算：
? 0.1745rad
用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度 ?
4 ．弧长公式、扇形面积公式：l
| ? | r ,其中 为弧长，
径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当?
2? 时的情形.
5 ．任意角的三角函数定义：设? 是一个任意大小的角，角? 终边上任意一点 P
?x ,y ?，它与原点的距离是r(r ? 0) ，那么角? 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分
.这六个函数统称
为三角函数.
6 ．三角函数的定义域
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高中三角函数教学常见问题探析
　　摘 要： 三角函数是高考数学中的重要考点，也是难点。学好三角函数不仅能取得好的成绩，还能对以后大学数学学习打下良好的基础。本文从学生和教师的角度分析了在三角函数教学过程中存在的问题，并从教师教学的角度提出了改善的建议，为三角函数教学提供参考。 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-7353102.htm　　关键词： 高中数学 三角函数 常见问题 　　三角函数是目前高中数学课程中的传统内容，而且是高考数学中的重要考点，学好三角函数不仅是高中阶段的重要任务，而且是为大学数学打好基础的重要前提。学生进入高中后，在数学学习往往还是采用初中数学的学习方法，这样的学习方法对于更注重抽象思维的高中数学来说不再适用，导致很多学生在学习上面临困境。因此研究高中三角函数的教学问题，对于解决学习和教学中的困难，提高教学效率具有重要意义。 　　1.研究现状 　　目前，高中数学三角函数章节的重要性已经引起了很多学者的关注，他们运用不同的研究方法，从多个角度对三角函数进行了研究。有的从教学方法上进行了研究，有的从学生学习的心理学角度进行了研究，还有的就某一个知识点对三角函数进行了研究。 　　胡慧敏对目前学生的三角函数学习状况进行了调查，他发现学生在学习三角函数时通过表象学习理解三角函数的定义，并未有达到教师期望的水平。刘华从教学内容的设计角度分析了三角函数的教学状况，他指出目前三角函数的课时数与教学的内容不成比例，学生在进行三角函数的学习时存在心理性、知识性和策略性的错误，因而导致学习困难现象的产生。李翔对学生进行了调查与测试，试图寻找学生学习三角函数时存在的错误，他指出：学生在学习三角函数时存在概念和运算方面的五种错误，这些错误的根源主要偏向于知识性和策略性错误。Nevinorhun在研究学生在学习三角函数时常犯的错误时发现，学生所犯的错误大都是因为没有真正理解三角函数中任意角的意思，并没有把三角函数看做是函数，他提议要把这部分作为教学重点。 　　2.高中三角函数教学中常见的问题 　　2.1学生学习方面存在的问题。 　　2.1.1学生对三角函数知识不够重视。 　　由于学生在初中阶段接触过三角函数，因此在高中阶段进行三角函数知识学习的时候，他们就会认为已经学过了，没有必要再进行学习，从而表现出无所谓的态度。他们忽略了学习的难度，在初中阶段的三角函数大都是直接带入公式就可以解题，但是高中阶段学习的三角函数从仅限于锐角三角函数上升为任意角的三角函数，它需要学生有更强的抽象思维能力，不是初中阶段的要求可比的。 　　2.1.2缺少预习和复习，一旦遇到困难就打退堂鼓。 　　受初中阶段学习习惯的影响，上高中后很多学生依然采用初中的学习方式。在初中阶段的数学课程教学中，每堂课的教学任务较少，在上完课后都会留下充足的时间让学生回顾和总结。但是到了高中以后，课堂容量加大，学生能够独立支配的时间减少，在教学内容上不再是单纯的计算，更注重抽象思维的训练。学生养成了当堂预习和复习的习惯，进入高中后这样的方法不再适用，阻碍了三角函数的有效学习。 　　由于初中阶段三角函数相对简单，学起来不费劲，学生养成了学习不刻苦的习惯，在高中阶段一遇到难题就打退堂鼓，看答案。有的学生一遇到一知半解的问题就求助于参考书和同学，并没有对详细的解题过程进行推敲。 　　2.1.3公式学习不求甚解。 　　高中三角函数这一章节的公式相对较多，很多学生面对这些公式无从下手，有时候在解题过程中不知道该用哪个公式。例如，三角函数的诱导公式（一）的应用，sin（390°）=sin（30°+360°）=sin30°=1/2。已知tanβ=3/4，求sinβ，cosβ。很多学生已看到这个问题就会想到同角的正切值就等于它的正余弦比，却忽略了同角正弦平方和加余弦平方和等于一的特点。还有，在进行简化求值方面的解题时，很多学生不知道该用哪个公式，具体步骤应该如何去做，其实只需要将角化成诱导公式左边角的形式就可以用公式进行简化了。 　　2.1.4易忽略有字幕的三角函数值的符号。 　　2.1.5在运用诱导公式时，对符号的把握不到位。 　　在三角函数整个知识章节中，总共有16个式子用于问题的解答。在对这些公式进行运用时，往往难以确定符号，从而造成做题错误的几率。弄错符号容易分不清主题和部分，在利用诱导公式（二）sin（π+α）=-sinα时，将α看做是一个锐角，而π+α就是第三象限角，根据正弦值在第三象限是负值，所以得出了公式中的“-”。但是学生在做题过程中却是直接根据角的终边在第几象限确定公示后的符号，这样一来就用错了三角函数的解题公式。 　　2.2教师在教学方面存在的问题。 　　2.2.1对学生课堂参与度不够重视。 　　在高中阶段数学课程教学中，由于教学任务繁重，每节课传授知识量较大，因此很多教师都习惯采用填鸭式的教学方式进行教学。这种教学方法只是考虑到了如何将知识传授给学生，却忽略了学生对知识的接收。学生在接触这些知识时，只是通过背诵的方式记忆这些信息，并没有对这些信息做到充分理解，这样一来，随着时间的推移，记忆效果就会明显下降。新课标要求下，要求教师发挥学生自主学习能力，让学生通过自主探究掌握知识。但是在实际的课堂教学中很多教师却感觉课上让学生自主探究是浪费时间，为了节约时间往往会选择填鸭式教学方法。 　　2.2.2对教材内容处理方式欠佳。 　　每节课都有不同的教学目标和教学任务，教师为了更好地达到教学目标，可以对教学内容进行适当调整，一些对实现教学目标有效的内容可以进行重点布置，一些对于实现教学目标关系不大的内容可以进行适当删减。然而在教学实践中，许多教师不能够处理好教学内容。例如，将弧度制中的例1和例2忽略后，学生只会对特殊角角度制和弧度制进行转换，但是对于一些一般的角度的转换会出现问题。如果将三角函数的线性知识忽略或者让学生自学，就会为后续学习三角函数的图像造成阻碍。尤其是其中的有向线段部分，在不通过教师引导的情况下，学生很难理解透彻。这样的删减不但没有提高教学效率，而且造成学生的学习障碍。
　　2.2.3教学手段单一。 　　目前很多高中数学教师认为，上课只需要黑板和粉笔就能够完成画图与讲解，而不注重多媒体和现代技术手段的应用。这样一来，教师在讲课中花费大量时间画图，并且得到的图形准确度和美观性都有待提高，为此，很多教师省略了画图这一步，导致学生在理解三角函数性质方面缺少直观认识。 　　3.高中数学三角函数教学策略 　　3.1利用口诀熟记公式和符号。 　　在高中数学三角函数部分有众多公式，这些公式对于学生来说非常不容易背诵，有时候死记硬背下来在用的时候还会出现偏差，利用口诀能够记得既准又牢固。例如，可以根据公式一到公式四的特点，把它的性质归纳为“函数名不变，象限定正负”，公式五和公式六可以归纳为“函数名改变，象限定正负”，还有些学者将诱导公式汇总成了两句话“奇变偶不变，象限定正负”。另外记忆三角函数四个象限符号的口诀可以定义为：“上正、右余、对角切”，这样一来学生就可以准确地判定出函数的符号。 　　有些学生虽然能够准确无误的写出诱导公式，但是对于解题还是没有头绪，不知道从何处下手，为此，有些人总结出了化简题的口诀“负化正，大化小，化到锐角求解值”。这样一来，对于大部分的题目都可以通过口诀形式完成解答。 　　3.2利用多媒体，形象演示函数变化的难点。 　　在教学三角函数时，教师如果仅仅是利用传统的“粉笔+黑板”模式进行教学，则很难体现函数的变化特性，不利于学生的理解，甚至还会产生厌烦情绪。如果利用多媒体，则可以将抽象的函数转换问题具体化，由静态转为动态，使学生通过形象思维和抽象思维相结合的方式理解内容，提高学习兴趣，优化课堂教学。 　　3.3通过变式练习，提高学生对三角函数的应用能力。 　　在三角函数章节中，不仅要熟练掌握三角函数的各个公式，而且要掌握应对各种题型的解题技巧，这样才能够在解题过程中更方便快捷地利用公式进行解题。教师可以寻找一些具有代表性的题目，保持题目本质的前提下不断变换形式考查学生，培养学生解题思维，提高学生对三角函数的应用能力，提高解题效率。 　　参考文献： 　　[1]朱作炜.关于高中数学三角模块的教学研究[D].长沙：湖南师范大学，2011. 　　[2]李丛.高一学生三角函数认知障碍及对策研究[D].济南：山东师范大学，2012. 　　[3]李守金.中等职业学校三角函数教学研究[D].山东：鲁东大学，2013.
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