Soomal作品 - YBA DESIGN WD202 外置解码器测评报告 [Soomal?]
YBA DESIGN WD202 外置解码器测评报告
YBA是一家来自法国的HiFi品牌，WD202属于YBA旗下的YBA DESIGN子品牌，它定位于入门HiFi产品，202这个数字还分别对应了一台功放和一台CD机。它们三个外观设计风格一致，可以叠放，还可以用统一遥控控制。当然，这款解码器大概是2011年的产品，目前售价大概4000元人民币左右，感谢网友送测测试样机，。如果你是一个PC HiFi发烧友应该清楚，在最近2-3年中PC HiFi的核心技术还是发生了很大进步。所以，如果下文谈到WD202一些技术落后的部分，并非有意贬低，而是客观存在。
样机来源：网友送测
样机类型：市售量产机
是否商业关系：否
YBA DESIGN WD202图集刚刚发布，很多网友留言表示对此品牌来历的怀疑，的确，在这款产品之前Soomal对YBA的产品也并不了解，现在也只是见过这样一款解码器。大家了解这个品牌的渠道一样，只有互联网内容。从YBA官方网站和产品发布时相关宣传来看，YBA公司确实来自法国，YBA DESIGN是其一个入门的子品牌。至于大家谈到YBA DESIGN子品牌与国内某山灵公司的关系，我们没有渠道了解。但国外品牌与国产品牌从来都不是判断产品好坏的参考标准，大家虽然要有提防产品品牌宣传做假的消费意识，但也不能因为Made in China而质疑、否定一款产品。
产品外观与主要功能
WD202的外形尺寸并不算小，比乐之邦MD30还要大上一圈，它的主体外壳使用纯铝材料，顶部的几条凹槽设计让产品外观看上去还是有一些设计感。前面板与机身上部为一体，有极小孔径的小孔透过微弱的蓝色LED灯光指示输入状态[同轴、USB、光纤、AES]。音量控制专门为耳机输出设计，线性输出不受控制。
WD202虽然具有USB功能，但由于当年外接USB方案中PCM2704芯片是一个比较入门，音质并不理想的方案，也许不是它功能应用上的重点。在其他输入方面，WD202提供了光纤、同轴和AES三中S/PDIF数字输入信号的接口。提供了RCA非平衡和平衡输出两组选择。有趣的是，竟然还提供了一个同轴的数字输出接口，即在USB模式下WD202还可以输出数字信号。
WD202随机器附带了一个遥控器，但对于解码器来说可以遥控的功能似乎只有耳机音量，而其他功能是留给YBA DESIGN 202系列中的CD机和功放的。遥控上面板使用了铝板拉丝工艺，手感还是不错的，只不过没有太大用处。
核心硬件架构
有网友留言强调，YBA DESIGN WD202是一款解码器而不是“一体机”。这句话在4-5年前来看确实有道理，就连Soomal网站的文章分类也将解码器和声卡区分开来，而从近年来新产品来看，其实这种功能上的差异基本没有了，这要感谢USB音频技术的发展。而在很多年前，大家说解码器，就是指这种外观有些庞大，还要靠外接S/Pdif数字源才能发挥正常水平的外置DAC音频设备。
USB芯片：在2010年左右，PC台式机仍然是市场主流产品，内置声卡在PC HiFi和专业应用上都是相对性能更出色的平台。即便在乐之邦Monitor系列 USB部分有技术突破的平台上，同样型号的PCI内置声卡相对USB系列还是音质稍好。
在当年，WD202使用的TI BB的PCM2704就是一个常见的方案，用它制作的USB音频设备，无论是模拟输出还是数字输出，从频响、失真度方面客观测试来看都处于优秀水平。但可能在时钟管理方面应该处于非常差的水平，完全不支持USB异步方案，在后来的USB音频技术面前是完全抬不起头的。在主观听感方面，PCM2704的方案无法和现在的XMOS或乐之邦方案，或E-MU等专业声卡自家的内置声卡方案数字输出品质相比，也远不如C-Media同期方案。而从指标来说，PCM2704也仅仅支持16bit/44.1kHz和48kHz的规格。
DAC芯片与数字接收芯片：WD202使用了BB的PCM1796 DAC，这也是BB品牌常见的PCM179x中的一员，它可以支持PCM/DSD解码，最高支持24bit/192kHz规格，官方指标动态范围123dB,支持D/A后的平衡输出设计。从目前的售价来看，PCM1796单颗芯片要比PCM1798、PCM1794、PCM1792都价格低廉一些。
由于USB性能不够出色，所以需要外接数字源。和同时代大多数解码器一样，WD202使用的是CirrusLogic公司的CS8416数字接收芯片，可以支持S/PDIF输入24bit/192kHz规格[同轴，AES]。Soomal曾经测评的山灵H1.1解码器使用的也是这颗芯片。
模拟输出电路：WD202使用了电子平衡输出设计，从DAC出来后，每个声道使用一颗OPA2134做I/V转换，使用一颗TI的TL072 JFET运放做LPF输出。JFET是J型FET[结型场效应管]，有甲类输出的声音风格，这颗芯片在现在的设备中并不多见。从低噪声的指标来说，JFET与流行的高性能运放相比显然不是优势。TL072的噪声密度为18 nV/√Hz ，而大家熟悉的LMEnV/√Hz]、OPA6xx等知名音频运算放大器的噪声密度应该都在1-5nV/√Hz左右。当然，这对于解码器的LPF来说，应该不会成为瓶颈。而在耳机输出部分，WD202没有下太大工夫，也只是用了一颗TL072来完成。
按照惯例，我们对其外置解码器的模拟输出进行客观测试，测试选用专业级声卡录入[1616m]的形式，结合常见的分析方式，提供直观的测量结果。客观测试并不直接对应主观音质表现，请将两部分对应阅读查看。
虽然WD202的USB部分在主观听感部分不会有特别好的表现[确实不会有]，但还是进行了两组USB连接下的测试。一个是Lineout线性输出，另一个是它的S/PDIF的数字信号输出。另外，在一款XMOS的数字声卡和乐之邦Monitor 06 MX数字输出下均进行了Lineout的客观测试。耳机测试部分由于产品设计原理影响，无法完成我们现有的这套测试，因为耳机输出连接至1616m后会引入明显的地线回路噪声[大概有-60dB左右，用E-MU 1616m监听清晰可闻]，但其实用耳机去听WD202的耳机输出[漫步者H850]，这个噪声是不存在的。客观测试无法进行。
SPDIFin 96kHz
噪声水平, dB (A):
动态范围, dB (A):
总谐波失真, %:
互调失真, %:
立体声分离度, dB:
从RMAA的客观测试成绩来看，它的数字指标是非常不错的，处于大多数解码器、声卡甚至手机的正常水准，不过仔细来看RMAA的频谱会发现在谐波方面WD202的输出还是有很多的“小锯齿”一样的谐波分布形态。这与TL072本身JFET的特性有关，你肯定无法想象比高性能三极管运放相差数十倍噪声密度的JFET运放可以有一条平坦的RMAA噪声分布曲线。配合频率扫描的光频谱视图来看，它的谐波失真并不算严重，都处于正常范围内。而在S/PDIF输入的情况下，指标与USB模式下差别不大。进一步来看WD202的S/PDIF同轴输出，数字信号的指标也不错。但是在24bit/96kHz下，WD202的LO表现一般，只能达到103dB左右动态[1616m外置盒指标大概在110dB左右]。
在主观听感测试中，为了体验WD202的平衡输出[有网友强调它的重要性]，我们使用睿韵声学的DM215音箱作为主要参考音箱之一[支持平衡输入]，同时使用E-MU PM5[非平衡下]和漫步者R1900TV[非平衡下]作为参考。耳放方面，使用HOLO Audio MAMMOTH，支持平衡输入和高阻、低阻独立的平衡与非平衡耳机输出。参考的耳机使用AKG K702、HiFiMan HE560、森海塞尔HD800、飞利浦SHP9000等。当然，这些耳机也参与WD202自己的耳机输出的参考对比。对比的解码器包括乐之邦MD30、MD11、天龙DA-300 USB，以及乐之邦Monitor 06 MX声卡。数字输入部分，以上几款解码器全部使用Monitor 06 MX的同轴输出。比较遗憾的是，本次平衡与非平衡输出时连接线并非同一型号，关于平衡连接是否值得推荐？本文下文专门谈到。
整体印象：YBA DESIGN WD202整体风格比较柔和，动态绝非它的优势，在USB模式下中频和低频的表现差的有些令人发指，这也在意料之中，所以下面不会谈到USB模式下的表现。而在优秀的数字输入源下，WD202会有很大的改善，声音豁然开朗，但仍然是很柔和的味道，人声的表现相对有些发虚，而大动态下低频控制力仍有不足。但应付小场面的音乐，与MD11、天龙DA300等有着很明显的不同。
高频表现：YBA DESIGN WD202的高频动态一般，与MD11、DA-300甚至06MX相比WD202的高频有些发虚，这也影响了它的高频部分的结像，例如小提琴等表现声音比较靠后，不够立体。如果搭配耳机放大器，使用平衡和非平衡输入对比会发现，WD202的非平衡输出状态下高频的动态过差还是比较明显的影响了它的解析力、整个声音的宽度。而平衡输出确实明显改善了很多，这可能不是线材材质带来的影响，因为WD202的动态实在太弱，这6dB的平衡接入大大改善了它的表现。
也许有不少WD202的用户就是喜欢它高频这种所谓飘逸的感觉，我们并不完全反对。但无论是音箱还是耳机系统，在WD202上高频除了比较柔和，相对耐听外，细节的表现属于以上对比的解码器中较差的水平，而同样柔和的声音下MD30可以表现的比WD202好得多。天龙DA-300和MD11相比MD30和WD202，动态优势明显，声音密度更好，解析力明显更好，但可能相对不够舒展柔和，尤其DA-300在几款里面它的高频解析力最好，声音密度更好，但相对有些冲，相对偏硬。
中频表现：WD202的中频在几款解码器甚至声卡中都属于偏薄、偏软的一类，当然它的偏软在人声表现上仍然拥有不错的控制力和结像。在成熟男声的表现上，WD202略有有气无力的嫌疑，声音的结像甚至有些塌陷的感觉，无论换上对比中的那个音源，会明显感到对面的歌者似乎站起来了，而在WD202有点向蹲着唱歌的感觉？当然，这与音箱搭配都有关系，例如这种感觉在DM215上就明显些，在中频表现更好的R1900TV上结像问题就不明显。
WD202的中频动态不够好，整个声音仍然是偏轻柔的风格，这让它适合的音乐最多也就是人声、小动态、小编制的古典音乐，器乐表现，或者一些轻音乐。同样，它也并不适合稍大一些房间，较大音量欣赏音乐。此时中频控制力和层次会明显变差，而在一间20平米以内的房间听小动态音乐，这种柔和的风格还是不错的，只是基本没有阳刚之气可言。而遇到交响乐时，现代的录音也能听出上世纪中后期现场录音的味道来。中频有些发空，明显不够扎实，爆发力几乎没有，当然，也可以称之为柔和耐听。
相对来说MD11和DA-300以及06 MX都属于阳刚气十足的“现代味”，而MD30相当难得的在宽阔的声场，足够好的动态下保持了非常好的细节，中频部分本来就是MD30的长项，无论人声还是交响乐的表现都体现了MD30非常大气的声音风格。不过似乎MD30的平衡输出的中高频部分有些偏硬，在音响系统上完全没有必要使用MD30的平衡输出。
低频表现：WD202的低频质量一般，同样适合小动态下的表现，声音点到为止，中性稍偏松软，量感偏少。顺便提一句，在USB模式下它的低频完全散掉无法入耳。在中低频部分，男声、大提琴等典型声音的表现上，WD202就显得比较清淡，结像自然也不够立体。而在低频下潜方面，WD202也没有太大的力度和储备，与天龙DA-300、06 MX等相比是天壤只比。其实对比MD30来说，MD30的低频速度也比较慢，比较柔和，爆发力和大动态并非强项。只是我们感觉WD202的低频在中小动态下细节和控制力是不错的，但大动态下无论声音厚度、力度，以及特别大动态下中低频的控制力严重不足，下潜较深部分的解析力也无从谈起。
平衡输出与非平衡输出：我们使用耳机放大器连接了WD202的平衡与非平衡进行对比，WD202在这样的应用下平衡输出带来的帮助要比音箱系统下更明显一些。它的平衡输出比非平衡输出在高频和低频两端动态改善明显，高频解析力也有很明显的提升，声场也有所加宽。不过遗憾的是，即便在平衡输出下它的动态表现也不及MD30、DA-300或MD11、06MX的非平衡输出，实在过于柔和，不够扎实了。前文谈到这次遗憾的是平衡与非平衡两条线材型号不同，但我们推测这仍然是平衡输出带来动态提升的功劳，而并非线材材质不同的功劳。因为试听中使用了一条MPS的入门平衡线[大概是四芯6N铜]，和一条镀银的古河非平衡线，这条镀银线材原本风格是非常犀利，但在WD202上却明显比不过平衡输出。而在MD30解码器上，除了动态提升外，的确声场也有所加宽，高频和低频的细节都变得更好，这也让我们对平衡输入输出产生了一些兴趣。
耳机搭配与耳机输出：使用WD202搭配耳机放大器在动态方面它相对其他几款解码器的劣势变得没有音箱系统下那么明显，但声音不够扎实仍然是动态不足的体现，主要在中频方面声音不但有些薄，更重要的是结像不够扎实。而在HD800这样的耳机上，它在低频和高频部分的解析力也都受到了限制。
至于WD202自己的耳机输出，我们虽然没有提供客观测试结果，但也做了相关测试。它的最大几档[大概2-3档]输出电平均为0dB，但有音量变化差别，应该是控制了内部增益电压。但它的驱动力确实非常有限，使用HD800大概减小3-4档音量达到正常[大概在-6dB左右]，但HD800细节全无，听起来绝对只值800块钱。而搭配飞利浦SHP9000则要开到最大音量设置，细节表现较好，但也只是刚刚可听，总体来说耳机输出表现的确较差。但没有遇到电流声、噪声等问题。
WD202的动态不能令人满意，声音风格可以说有柔和的一面，但只适合于很小动态的音乐中，你不会觉得声音粗鲁，但也缺少足够细致的表现和具有张力的一面。而即便如此，中频和低频部分动态和控制力较差的问题也很容易影响声音的结像，甚至解析力。以这样的声音表现听起来完全抵不过现有的千元级解码器，也比不过Monitor 06 MX这样的声卡。
但我们也有理由相信，WD202也许确实在追求耐听一些柔和一些的味道，但如此不足的动态表现即便与上世纪80年代的DAT、卡座相比也要弱一些，追求“模拟味”的设计似乎有些过头。柔和也许在某种状态下尤其是保持了足够好细节的状态下，会更显的舒展，大气，开阔。而WD202更然人感觉到的是无力，飘忽，不扎实，某些情况下也有温和舒展的感觉。在搭配高档耳机时[外接耳放]，很难发挥耳机细节优势。而在较大空间内欣赏音乐，例如搭配DM215时，稍大音量就会让中频和低频层次变得较差。再次表扬一下R1900TV，它似乎更容易伺候一些，但同样有类似趋势。
总体来说，WD202的声音表现明显不如现在同样定位和入门级PC HiFi产品的水准，声音风格方面有取巧之处,也有可尝试改进的空间，但这款产品在现在看来已经不值得推荐。
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作 者：韩 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————
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作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 2012 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
想看动图的同学请戳这里：
以及这里：
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
动图请戳：
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
————————————————————————————————————
下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，
回忆周期不连续，
任你ZT、DFT，
还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分？
没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…
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写的确实不错，原作者真的是用心了。连画的图都是自己画的，有自己的独特分析。好！
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