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【2017年整理】用Mathematica求偏导数与多元函数的极值
第 943 页 共 13 页§10 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值10.1 用 Mathematica 作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用 Mathematica 作三维函数图” 。1 常用的三维绘图函数Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d},可选项]: 作 的图形。),(yxfParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。Show[f1,f2,f3,…]: 将多个图形组合重新显示。2 常用的可选项Plot3D 函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。表 10-1 常用的可选项可选项 默认值 说明Axes True 是否绘制坐标轴Axeslable None 坐标轴的名称。zlabel 为 z 轴的 label,即 z 轴的标注，label{xlabel,ylabel,zlabel}分别为轴， 轴, 轴的标注xyzAspectRatio 1 作图高、宽比例，可以说明为任意值Boxed True 绘制外框。定义 False 则不绘制外框Displayfunction $Displayfunction 显示图形模式，定义 Identity 不显示图形PlotRange Automatic 方向的绘图范围zShading True 表面不上色或留白Viewpoint {1.3,-2.4,2} 观测点(眼睛观测的位置)选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的 ViewPoint 值： 第 944 页 共 13 页表 10-2 典型的 ViewPoint 值ViewPoint 值 观测点的位置{1.3,-2.4,2} 默认观测点{0,-2,0} 从前方看{0,0,2} 从上往下看{0,-2,2} 从前方上面往下看{0,-2,-2} 从前方下面往上看{-2,-2,0} 从左前方看{2,-2,0} 从右前方看例 10.1 画出函数 图形，并使图形表面不上色。2sinyxz??解 In[1]:= Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi}]-0.500.51Out[1]= -SurfaceGraphics-In[2]:= Show[%,Shading->False] 第 945 页 共 13 页-0.500.51Out[2]= -SurfaceGraphics-例 10.2 画出函数 图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。yxzcosin?解 In[1]:= Plot3D[Sin[x*y],{x,0,2Pi},{y,0,2Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}]y-1-0.500.51zOut[1]= -SurfaceGraphics-In[2]:= Show[%,ViewPoint->{－1,-1,2}] 第 946 页 共 13 页y-1-0.500.51zOut[2]= -SurfaceGraphics-例 10.3 画一单位双曲面。解 首先，写出单位双曲面的参数方程x=Cosh[u]*Cos[v]y=Cosh[u]*Sin[v]z=uIn[1]:=ParametricPlot3D[{Cosh[u]*Cos[v],Cosh[u]*Sin[v],u},{u,0,Pi},{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}]-202x-202y-2-1012zOut[1]= -Graphics3D-例 10.4 画出函数 图形。163422??zyx 第 947 页 共 13 页解 In[1]:=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],3Sin[u]*Sin[v],4Cos[u],{u,0,Pi},{v,-Pi,Pi},AxesLabel->{“x”,”y”,”z”}]-2 -1 01 2x-202y-4-2024zOut[1]= -Graphics3D-In[2]=: Show[%,ViewVertical->{1,0,0}]-2-y-4-2024 zOut[2]=-Graphics3D-例 10.5 画出由 与 所围的立体图形。3??x12??yx解 In[1]:= a1=Plot3D[x+2y,{x,0,2},{y,0,2},DisPlayFunction->Identity];a2=PrametricPlot[{1+Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2Pi},{v,0,3.5},DisPlayFunction->Identity];a3=Plot3D[0,{x,-1,2},{y,-1,2},DisPlayFunction->Identity];Show[a1,a2,a3,AxesLabel->{“x”,”y”},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,4},DisplayFunction->$DisplayFunction] 第 948 页 共 13 页-y01234zOut[1]= -Graphics3D-9.2 用 Mathematica 求偏导数与多元函数的极值函数 实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设 n 个不是 x 的函数，??xnDt,^在 Mathematica 中，它有一个函数 ，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变Dt量都有联系。在 Mathematica 的说明中， 代表了 ，而 则代表了 。??xf,f???fDt,dxf可以认为 表示了“全微分” 。t例如：1. 下面给出了一个全微分，其中 n 是 x 的函数， 则代表了 。??xft,dxf])log[,[(]1[]^:xnDtxOutInn??2. 下面是一个全微分。其中 代表了 。??xft,d])log[][(]2[^:nDtxtOutInn??注：在 Mathematica 中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示：表 10-3 部分的微分函数 第 949 页 共 13 页函数及其表达式 函数功能说明??xfD,关于 的偏微分x或[]12,L???,21xft关于 等的混合偏微分2,1或()fxnéù????n,关于 的 阶偏微分xn??Dt函数的全微分xf,关于变量 的全微分x例 10.6 求下列函数对 x 的偏导数1. ； 2. ；??2lnyu?? xyarctgu???13. ； 4. u= 。xyesin z??????解 In[1]:= D[Log[x+Sqrt[x^2+y^2] ;Simplify[%] 　　　　 　　　　　　　　　　　　　(*通常 Mathematica 不自动化简微分结果，要借助于 Simplify 函数*)Out[1]= 21yx? 第 950 页 共 13 页In[2]: = D[ArcTanh[(x+y)/(1-x*y)],x];Simplify[%]Out[2]= )221(41yxy???In[3]: = D[E^Sin[y/x],x];Simplify[%]Out[3]= 2xyCoseySin?????????????In[4]: = D[(x/y)^z,x];Simplify[%]Out[4]= xzy??????例 10.7 设 ，求 ， ， ， 。xzsini33??yz?1,?yx2z?36yx解 In[1]:= Clear[z,x,y];z[x,y]:=x^3*Sin[y]+y^3Sin[x]; /*定义二元函数.*/D[z[x,y],y]Out[1]= ][3][23xSinyCosx?In[2]:= D[z[x,y],y]/.{x->1,y->1} /*给函数的变量赋值.*/Out[2]= ]1[][isIn[3]:= D[z[x,y],{x,2}]Out[3]= ][6][3yxSiniy??In[4]:= D[z[x,y],{x,3},{y,3}]Out[4]= ][][Cos例 10.8 设 ，求 ， ， 。vuyxz23,,ln2???z?v2z解 In[1]:= x[u_,v_]:=u/v; 第 951 页 共 13 页y[u_,v_]:=3u-2v;z[x_,y_]:=x[u,v]^2*Log[y[u,v]];D[z[x,y],u];Simplify[%]Out[1]= 2])3[3(vvuLogu???In[2]:= D[z[x,y],v];Simplify[%]Out[2]= 3])[(2vvuogu??In[3]:= D[z[x,y],{v,2}];Simplify[%] Out[3]= 422)(])23[)56(vuvuLog??例 10.9 设 ，其中函数 二阶可导， 具有,)xygxfz?()ft(,)guv二阶连续的偏导数，求 ， ， 。?2z?解 In[1]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x]Out[1]= ],[],[]['2)10()10( xygxygyxf ??In[2]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],{x,2}]Out[2]= ],[]),[],[(],[]2['4 )0,2()1()2,0)1( xygxygxygyxygxf ???In[3]:= D[f[2x-y]+g[x,x*y],x,y]Out[3]= ]),[],[],[][' )1()2,0()10(f其中 ，ugvg?为],[)0,1(， ， ， 。u为],[)10( v为,)1( 2)0,2(][ugvg?为 2)2,0(][vg?为例 10.10 已知函数 ，证明 。)(xyFz??xyzxz?? 第 952 页 共 13 页解 In[1]:= z=x*y+x*F[y/x];D[z,x]*x+y*D[z,y]-z-x*y;Simplify[%]Out[1]= 0例 10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数：1． ， 求 。xyarctgx??2lndx2． ，求 ， ， ， 。uvvusin,o?yuxvy?解 In[1]:= eq1=Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]= = ArcTanh[y[x]/x];D[eq1,x];Solve[%,y′ [x]];Simplify[%]Out[1]= ??????????3223 ][][][' xyxyxyIn[2]:= D[{x==u[x]*Cos[v[x]/u[x]],y==u[x]*Sin[v[x]/u[x]]},x];Simplify[Solve[%,{u′ [x],v′[x]}]]Out[2]= ???????? ??][][][',][' xuvCosxvSinxvuCosxIn[3]:= D[{x==u[y]*Cos[v[y]/u[y]],y==u[y]*Sin[v[y]/u[y]]},y];Simplify[Solve[%,{u′ [y],v′[y]}]]Out[3]= ???????? ??][][][',][' yuvSinyvCosyvxuSiny例 10.12 求下列极值问题：1．函数 .yxyxyf 1253),(??? 第 953 页 共 13 页2．求函
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[jí zhí]
在中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。
极值是一个的或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比内其他各点处的都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就地称为一个或严格极值点。
极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。
“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。
极值数学词典中的表述
函数在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f&(x0)≠0，那么：
1）若f&（x0）&0，则f在x0取得极大值；
2）若f&（x0）&0，则f在x0取得极小值。
函数的一种稳定值，即一个或一个极小值，只能在不可导的点或为零的点上取得。
如图：B、C、D、E点均为极值点
在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是。
极值的定义如下：
若函数f(x)在x?的一个D有定义，且对D中除x?的所有点，都有f(x)&f(x?)，则称f(x?)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)&f(x?)，则称f(x?)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据，定义在一个有界上的每一个都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是，就一定是。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的。
极值求解函数的极值
寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。
可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。
对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。
极值多元函数
对于，同样存在极值点的概念。此外，也有的概念。
求极大极小值步骤
（1）求导数f'(x)；
（2）求方程f'(x)=0的根；
（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
求极值点步骤
（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；
（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
（3）上述所有点的集合即为集合。
求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值
应该是fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。
fx=3x^2-4x+6&0恒成立
fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3
定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零
fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。
定理2（）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，
则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2&0时具有极值，且当A&0时有极大值，当A&0时有极小值；
（2）AC-B2&0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：
第一步 解fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；
第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。
Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
谷超豪, 谷超豪主. 数学词典[M]. 上海辞书出版社, 1992.
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第 八 节 多元函数的极值及其求法第 八 节 多元函数的极值及其求法
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第 八 节 多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题．熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值．
教学重点：多元函数极值的求法．
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值．
教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
1．多元函数的极值
设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式
则称函数在点有极大值（或极小值）．
极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．
函数在点处有极小值．的任一邻域内异于的点，函数值都为正，而在点处的函数值为零．是开口朝上的椭圆抛物面的顶点．
例２ 函数在点处有极大值．处函数值为零，而对于点的任一邻域内异于的点，函数值都为负，点是位于平面下方的锥面的顶点．
例３　函数在点处既不取得极大值也不取得极小值．因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
定理1（必要条件）
设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
不妨设在点处有极大值．依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式
在该邻域内取，而的点，也应适合不等式 ．
这表明一元函数在处取得极大值，因此必有 ．
类似地可证
从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面
成为平行于坐标面的平面．
凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点．但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点是函数的驻点，但函数在该点并无极值．
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？
定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令
则在处是否取得极值的条件如下：
(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
(2)时没有极值；
(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论．
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：
解方程组，求得一切实数解，即可以得到一切驻点．
对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和．
定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值．
例1 求函数的极值．
先解方程组
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）．
再求出二阶偏导数
在点(1,0) 处，又，所以函数在处有极小值；
在点(1,2) 处，，所以(1,2)不是极值；
在点(-3,0) 处，，所以(-3,0)不是极值；
在点(-3,2) 处，又所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=31．
2．多元函数的最值
与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值．我们知道，如果函数在有界闭区域上连续，则在上必能取得最大值和最小值．最大值点和最小值点既可能在的内部，也可能在的边界上．我们假定，函数在上连续、在内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）．
求函数最大值和最小值的方法：将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．在实际问题中，如果知道最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值（最小值）．
某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱．问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省．
解 设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积
可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点．
解这方程组，得：
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小．
二、条件极值 拉格朗日乘数法
上面所讨论的极值问题对于函数的自变量除了限制在函数的定义域内以外，并无其它条件，这类极值称为无条件极值．但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题称为条件极值．条件极佳值保化为无条件极值，但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不简单．
拉格朗日乘数法
要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构造辅助函数
其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，，(2)联立
由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标．
这方法还可以推广到
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