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小学6年级数学应用题大全
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小学六年级应用题大全
1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？
总棵数是900＋棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵
需要种的天数是天
甲25天完成24×25＝600棵
那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙
即做了300÷30＝10天之后?????即第11天从A地转到B地。
2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
把每头牛每天吃的草看作1份。
因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是份
所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
两种解法：
设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=天共有草量0，所有（头）
解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头
3. 某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
甲乙合作一天完成1÷2.4＝5/12，支付＝750元
乙丙合作一天完成1÷（3＋3/4）＝4/15，支付＝400元
甲丙合作一天完成1÷（2＋6/7）＝7/20，支付＝560元
三人合作一天完成（5/12＋4/15＋7/20）÷2＝31/60，
三人合作一天支付（750＋400＋560）÷2＝855元
甲单独做每天完成31/60－4/15＝1/4，支付855－400＝455元
乙单独做每天完成31/60－7/20＝1/6，支付855－560＝295元
丙单独做每天完成31/60－5/12＝1/10，支付855－750＝105元
所以通过比较
选择乙来做，在1÷1/6＝6天完工，且只用295×6＝1770元
4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
把这个容器分成上下两部分，根据时间关系可以发现，上面部分水的体积是下面部分的18÷3＝6倍
上面部分和下面部分的高度之比是（50－20）：20＝3：2
所以上面部分的底面积是下面部分装水的底面积的6÷3×2＝4倍
所以长方体的底面积和容器底面积之比是（4－1）：4＝3：4
独特解法：
（50-20）：20=3：2，当没有长方体时灌满20厘米就需要时间18*2/3=12（分），
所以，长方体的体积就是12-3=9（分钟）的水量，因为高度相同，
所以体积比就等于底面积之比，9：12=3：4
5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分
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年全国初中数学联赛试题【共21份有答案】
1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）（B） 、 （C）（D）四个答案结论，其中只有一个是 、 正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式 a( x ? a) ? a( y ? a) ? x ? a ? a ? y 在实数范围内成立，其中 a，x，y 是3 x 2 ? xy ? y 2 的值是 x 2 ? xy ? y 2两两不同的实数，则 （A）3 ；1 （B） ； 3（C）2；5 （D） ． 3答（ ） ２． 如图，AB‖EF‖CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ） ３． （A） 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解是1? 5 ； 2 1? 5 ?1? 5 或 ； 2 2（B）?1? 5 ； 2?1? 5 ． 2（C） 答（ ４．（D） ?）? 1 已知： x ? (1991 n ? 1991 n ) （n 是自然数） ．那么 ( x ? 1 ? x 2 ) n ，的值是 2 1 1（Ａ） 1991 ?1 ； （Ｃ） (?1) n 1991 ； 答（ ５． ）（Ｂ） ? 1991 ?1 ； （Ｄ） (?1) n 1991 ?1 ．若 1? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100 ? 12 n M ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．1答（ ） ６． 若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足 a ? b ? c ， b ? c ? d ， c ? d ? a ，那么 a ? b ? c ? d 的最大值是 （Ａ） ? 1； （Ｂ） ? 5 ； （Ｃ） 0 ； （Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图， 正方形 OPQR 内接于Δ ABC． 已知Δ AOR、 BOP 和Δ CRQ 的面积分别是 S1 ? 1 ， ΔS1 ? 1S 2 ? 3 和 S 3 ? 1 ，那么，正方形 OPQR 的边长是（Ａ） 2 ； （Ｂ） 3 ； （Ｃ）2 ； （Ｄ）3． 答（ ８． ）S2 ? 3S 3 =1在锐角Δ ABC 中， AC ? 1 ， AB ? c ， ?A ? 60 ? ，Δ ABC 的外接圆半径 R ≤1，则1 1 （Ａ） & c & 2 ； （Ｂ）0& c ≤ ； 2 2 答（ ） （C）c & 2； （D）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果Δ BEG 的面积是 １，则平行四边形 ABCD 的面积是 ．２． 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实数解． 甲由于看错了二次项系数， 误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， 2b ? 3c ． ? a( x ? 1) m ( x ? 1) p ?1 ? 3．设 m，n，p，q 为非负数，且对一切 x &０， 恒成立，则 xn xq(m 2 ? 2n ? p) 2 q ?．４．四边形 ABCD 中，∠ ABC ? 135 ? ，∠BCD ? 120 ? ，AB ? 6 ，BC ? 5 ? 3 ，CD = 6，则 AD =．120 ?135?2第二试x + y， x － y， x y，x y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） ． 二、Δ ABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且 BD＝BE＝AC，Δ BDE 的外接圆与Δ ABC 的外接圆交于 F 点（如图） ． 求证：BF＝AF＋CF三、将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格（n 是自然数） ，把相对的顶点 A，C 染成红 色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点 同色的小方格的数目必是偶数．31992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请 把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足 a ? b ? ab ? 1 的非负整数 (a, b) 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若 x 0 是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根,则判别式 ? ? b 2 ? 4ac 与平方式M ? (2ax0 ? b) 2 的关系是(A) ? & M(B) ? = M(C) ? & M ;(D)不确定.3.若 x 2 ? 13 x ? 1 ? 0 ,则 x 4 ? x ?4 的个位数字是 (A)1; 答( (B)3; ) (C)5; (D)7.4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 2 ,则这个多边形的 边数必为 (A)7; 答( (B)6; ) 数 y?k (k ? 0) x S1 和 S2,则 S1(C)5;(D)4.5.如图,正比例函数 y ? x和y ? ax(a ? 0) 的图像与反比例函 的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 Rt?AOB 和 ?COD 的面积分别为 与 S2 的关系是 (A) S1 ? S 2 (C) S1 ? S 2 (B) S1 ? S 2 (D)不确定 答()6.在一个由 8 ? 8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周 经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S 1 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的 面积之和记为 S 2 ,则 (A)0; 答(S1 的整数部分是 S2(B)1; )(C)2;(D)3.7. 如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB//CD, AB=2CD,4?A ? 60? ,又 E 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB. 则 AE:EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设 x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, x9 均为正整数,且x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x9 , x1 ? x2 ? ? ? ? ? x9 ? 220 ,则当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 的值最大时, x9 ? x1 的最小值是 (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面 积等于________________. 2.若 x ? 0 ,则1? x2 ? x4 ? 1? x4 的最大值是__________. x3. 在 ?ABC 中 , ?C ? 90 ? , ?A和?B 的 平 分 线 相 交 于 P 点 ， 又 PE?AB 于 E 点 ， 若BC ? 2, AC ? 3 ，则 AE ? EB ?.1 1 1 b a ? ? ? 0 ，则 ( ) 3 ? ( ) 3 ? a b a?b a b4.若 a, b 都是正实数，且.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的两根，当这样的三角形只 有一个时，求 a 的取值范围. 二、如图，在 ?ABC 中， AB ? AC, D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点，且?BED ? 2?CED ? ?A . 求证： BD ? 2CD .三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成， 现有四个编码如下： A：320651 B：105263 C：612305 D：316250 已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置 与 M 和 N 相同.试求：M 和 N.51993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的. 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式 x12 ? x 6 ? 1除以 x 2 ? 1 的余式是 (A)1; (B)-1; (C) x ? 1 ; (D) x ? 1 ; 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设 x 是实数, y ? x ? 1 ? x ? 1 .下列四个结论: Ⅰ. y 没有最小值; Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 其中正确的是 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ4.实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满足方程组? x1 ? x 2 ? x3 ? a1 ; ?x ? x ? x ? 3 4 2 ? 2 ? ? x3 ? x 4 ? x5 ? a 3 ; ?x ? x ? x ? 5 1 4 ? 4 ? x5 ? x1 ? x 2 ? a5 . ?其中 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 是实常数,且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,则 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的大小顺序是 (A) x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ; (C) x3 ? x1 ? x4 ? x2 ? x5 ; (B) x4 ? x2 ? x1 ? x3 ? x5 ; (D) x5 ? x3 ? x1 ? x4 ? x2 .5.不等式 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3x ? 7 的整数解的个解 (A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 56(D)等于 56.在 ?ABC 中, ?A是钝角, O是垂心, AO ? BC , 则cos( ?OBC ? ?OCB) 的值是 (A) ?3 2 2 2(B)2 2(C)(D) ?1 . 2答( ) 7.锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分别 p,那么 m:n:p 等于 1 1 1 (A) : : ; (B) a : b : c a b c (C) cos A : cos B : cosC (D) sin A : sin B : sin C . 答( ) 8. 3 3 (34 3 2 3 1 ?1 ? ? ) 可以化简成 9 9 9为 m, n,(A) 3 3 (3 2 ? 1) ; 答( )(B) 3 3 (3 2 ? 1)(C) 3 2 ? 1(D) 3 2 ? 1二.填空题1.当 x 变化时,分式3 x 2 ?6 x ? 5 的最小值是___________. 1 2 x ? x ?1 22.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4) ? k 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列, 则 k =____________. 4.锐角三角形 ABC 中, ?A ? 30? .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC, 的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=___________. 分别交 设它们第二试一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小,这时乘积 S ?ABC ? S ?HBC 的值变小,变大,还是不变?证明你 论. 二. ?ABC 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点 使线段 DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE7的 结D, E, 的 最小长度.? ? 三 . 已 知 方 程 x 2 ?bx ? c ? 0及x 2 ? cx ? b ? 0 分 别 各 有 两 个 整 数 根 x1 , x 2 及 x1 , x 2 , 且? ? x1 x2 ? 0, x1 x 2 ? 0 . ? ? (1)求证: x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0;(2)求证: b ? 1 ≤ c ≤ b ? 1 ; (3)求 b, c 所有可能的值.81994年全国初中数学联赛试题第一试 (4月3日上午8：30―9：30) 考生注意：本试共两道大题，满分80分. 一、选择题（本题满分48分，每小题6分） 本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的， 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内） ，一律得0分.〔答〕( ) 2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕( ) 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC， CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长 A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定 〔答〕( )A．1 ( )B．-1C．22001D．-22001〔答〕5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 〔答〕( )〔答〕()7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c, 则AH?AD+BH?BE+CH?CF的值是9〔答〕()A．1001 B． C． D．89 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.〔答〕()3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则 DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切， 若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住， 则这个大圆形纸片的最小半 径等于______. 第二试 (4月3日上午10：00―11：30) 考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、 （本题满分20分） 如图所示， 在△ABC中， AB=AC.任意延长CA到P， 再延长AB到Q， 使AP=BQ.求证： △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。思路一：△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.） 思路二： △PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ 四点共圆（视角定理.）10连接 OB、OA。 ∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO所以O与A，P,Q,四点同园二、 （本题满分20分） 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存 在，请证明共有几个？ 三、 （本题满分20分） 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一 个统计. n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15 做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题 和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？1994年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案 一、选择题； 小题号 1 2 3 4 5 答案 A D B B D 二、填空题：6 C7 B8 C第二试提示及答案. 一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.三、这个表至少统计了200人.111995年全国初中数学联赛试题第一试 一、选择题 1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ] A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜bD．a＜c＜bA．1 B．2 C．3 D．4 2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那 3．如果方程(x－1)(x 么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ] A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB －S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ] A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题 1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2 ＝ AC?BC，则∠CAB＝______．12第二试 一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D 三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之 和。1314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647\48２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案4950２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案5152２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案53545556２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案5758２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案59606162636465２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案666768答案：6970717273747576２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案77787980答案：818283２００８年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案8485答案：86２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案8788答案：89902009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 设 a ? 7 ? 1 ，则 3a3 ? 12a 2 ? 6a ? 12 ? A.24. B. 25. C. 4 7 ? 10 . D. 4 7 ? 12 . （ C ） （ A2． 在△ABC 中， 最大角∠A 是最小角∠C 的两倍， AB＝7， 且 AC＝8， BC＝ 则 A. 7 2 . B. 10 . C.105 .D. 7 3 .3．用 [ x] 表示不大于 x 的最大整数，则方程 x ? 2[ x] ? 3 ? 0 的解的个数为2（ C ）A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4．设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取 出 两 个 ， 它 们 的 面 积 相 等 的 概 率 为 （ B A.3 . 14B.3 . 7C.1 . 2D.4 . 7A D5．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半 圆的切线 AE，则 sin ? CBE＝ （ D ）6 A. . 32 B. . 31 C. . 310 D. . 10EBC6． n 是大于 1909 的正整数， 设 使得 A.3. B. 4. C. 5.n ? 1909 为完全平方数的 n 的个数是 2009 ? nD. 6.（ B ）二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1 ． 已 知 t 是 实 数 ， 若 a, b 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? 2 x ? t ? 1 ? 0 的 两 个 非 负 实 根 ， 则2(a 2 ? 1)(b2 ? 1) 的最小值是_____ ?3 _______.2． 设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点，作 DE//BC 交 AC 于点 E，作 DF//AC 交 BC 于点 F，已知 △ADE、△DBF 的面积分别为 m 和 n ，则四边形 DECF 的面积为___ 2 mn ___.913．如果实数 a, b 满足条件 a ? b ? 1 ， |1 ? 2a ? b | ?2a ? 1 ? b ? a ，则 a ? b ? __ ?1 ____.2 22 24．已知 a, b 是正整数，且满足 2(15 15 ? ) 是整数，则这样的有序数对 (a, b) 共有___7__对. a b第二试一． （本题满分 20 分）已知二次函数 y ? x ? bx ? c (c ? 0) 的图象与 x 轴的交点分别为 A、B，2与 y 轴的交点为 C.设△ABC 的外接圆的圆心为点 P. （1）证明：⊙P 与 y 轴的另一个交点为定点. （2）如果 AB 恰好为⊙P 的直径且 S△ABC＝2 ，求 b 和 c 的值. 解 （1）易求得点 C 的坐标为 (0, c) ，设 A( x1 , 0) ， B( x2 , 0) ，则 x1 ? x2 ? ?b ， x1 x2 ? c . 设⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点 O，所以 OA×OB＝OC×OD，则 OD ?c OA ? OB x1 x2 ? ? ? 1. OC c c因为 c ? 0 ，所以点 C 在 y 轴的负半轴上，从而点 D 在 y 轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的 坐标为(0,1). （2） 因为 AB⊥CD， 如果 AB 恰好为⊙P 的直径， C、 关于点 O 对称， 则 D 所以点 C 的坐标为 (0, ?1) ， 即 c ? ?1 . 又 AB ? x1 ? x2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?b) 2 ? 4c ? b 2 ? 4 ，所以S△ABC ?1 1 2 AB ? OC ? b ? 4 ?1 ? 2 ， 2 2解得 b ? ?2 3 .二． （本题满分 25 分） 已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 边上的高线 CH 与△ABC 的两条内 角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证：EF∥AB.92AHNFQP ECMB解 因为 BN 是∠ABC 的平分线，所以 ? ABN ? ? CBN . 又因为 CH⊥AB，所以 ? CQN ? ? BQH ? 90? ? ? ABN ? 90? ? ? CBN ? ? CNB ， 因此 CQ ? NC . 又 F 是 QN 的中点，所以 CF⊥QN，所以 ? CFB ? 90? ? ? CHB ，因此 C、F、H、B 四点共圆. 又 ? FBH = ? FBC ，所以 FC＝FH，故点 F 在 CH 的中垂线上. 同理可证，点 E 在 CH 的中垂线上. 因此 EF⊥CH. 又 AB⊥CH，所以 EF∥AB.三． （本题满分 25 分）已知 a, b, c 为正数，满足如下两个条件：a ? b ? c ? 32 b?c ?a c ? a ?b a ?b?c 1 ? ? ? bc ca ab 4① ②是否存在以 a , b , c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法 1 将①②两式相乘，得 (b?c ?a c ? a ?b a ?b?c ? ? )(a ? b ? c) ? 8 ， bc ca ab即(b ? c)2 ? a 2 (c ? a)2 ? b 2 (a ? b)2 ? c 2 ? ? ?8， bc ca ab (b ? c)2 ? a 2 (c ? a ) 2 ? b 2 ( a ? b) 2 ? c 2 ?4? ?4? ? 0， bc ca ab即93即(b ? c) 2 ? a 2 (c ? a) 2 ? b 2 (a ? b)2 ? c 2 ? ? ? 0， bc ca ab(b ? c ? a)(b ? c ? a) (c ? a ? b)(c ? a ? b) (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ? ?0， bc ca ab (b ? c ? a) 即 [a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c)] ? 0 ， abc (b ? c ? a) (b ? c ? a) 2 即 [2ab ? a 2 ? b2 ? c 2 ] ? 0 ，即 [c ? ( a ? b) 2 ] ? 0 ， abc abc (b ? c ? a) 即 (c ? a ? b)(c ? a ? b) ? 0 ， abc 所以 b ? c ? a ? 0 或 c ? a ? b ? 0 或 c ? a ? b ? 0 ，即 b ? a ? c 或 c ? a ? b 或 c ? b ? a .即 因此，以 a , b , c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°.32 ? 2a 32 ? 2b 32 ? 2c 1 ? ? ? ， bc ca ab 4 1 2 2 2 变形，得 1024 ? 2(a ? b ? c ) ? abc ③ 4解法 2 结合①式，由②式可得 又由①式得 (a ? b ? c) ? 1024 ，即 a ? b ? c ? 1024 ? 2(ab ? bc ? ca) ，2 2 2 2代入③式，得 1024 ? 2[1024 ? 2(ab ? bc ? ca)] ? 即 abc ? 16(ab ? bc ? ca) ? 4096 .1 abc ， 4(a ? 16)(b ? 16)(c ? 16) ? abc ? 16(ab ? bc ? ca) ? 256(a ? b ? c) ? 163? ?4096 ? 256 ? 32 ?163 ? 0 ，所以 a ? 16 或 b ? 16 或 c ? 16 . 结合①式可得 b ? a ? c 或 c ? a ? b 或 c ? b ? a . 因此，以 a , b , c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为 90°.942010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 a, b, c 均为整数且满足 (a ? b) ? (a ? c) ? 1 ，则 | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |?10 10（ B ）A．1.B．2.C．3.D．4. （ C ）2．若实数 a, b, c 满足等式 2 a ? 3 | b |? 6 ， 4 a ? 9 | b |? 6c ，则 c 可能取的最大值为 A．0. B．1. C．2. D．3.3．若 a, b 是两个正数，且 A． 0 ? a ? b ?21 . 3a ?1 b ?1 （ C ） ? ? 1 ? 0, 则 b a 1 4 4 B． ? a ? b ? 1 . C． 1 ? a ? b ? . D． ? a ? b ? 2 . 3 3 34 24．若方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根也是方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的根，则 a ? b ? 2c 的值为 （ A ） A．－13. B．－9. C．6. D． 0. 5． 在△ ABC 中， 已知 ?CAB ? 60? ， E 分别是边 AB， 上的点， ?AED ? 60? ， ? DB ? CE ， D， AC 且 ED ( B ) ?CDB ? 2?CDE ,则 ?DCB ? A．15°. B．20°. C．25°. D．30°. 6．对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 an ，如 a2009 ? 2 ? 0 ? 0 ? 9 ? 11 ， a2010 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ，a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2010 ?A．28062. B．28065. C．28067. 二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分）（ D ） D．28068.? x 3 ? y 3 ? 19, 2 2 1．已知实数 x, y 满足方程组 ? 则x ? y ? ? x ? y ? 1,213.2．二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴正方向交于 A，B 两点，与 y 轴正方向交于点 C．已知AB ? 3 AC ， ?CAO ? 30? ，则 c ?1 9．3．在等腰直角△ABC 中，AB＝BC＝5，P 是△ABC 内一点，且 PA＝ 5 ，PC＝5，则 PB＝ ___ 10 ___． 4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A）一 ．（ 本 题 满 分 20 分 ） 设 整 数 a, b, c （ a ? b ? c ） 为 三 角 形 的 三 边 长 ， 满 足95a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ? 13 ，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.解 由已知等式可得(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (a ? c)2 ? 26令 a ? b ? m, b ? c ? n ，则 a ? c ? m ? n ，其中 m, n 均为自然数. 于是，等式①变为 m ? n ? (m ? n) ? 26 ，即2 2 2①m2 ? n2 ? mn ? 13由于 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 m, n 只有两组： ?②? m ? 3, ?m ? 1, 和? ?n ? 3. ?n ? 1（1）当 m ? 3, n ?1 时，b ? c ? 1， a ? b ? 3 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b ? c ? a ， 即 (c ? 1) ? c ? c ? 4 ， 解 得 c ? 3 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即a? b? c ? (c ?) 4? c ? ) ，解得3 ? ( 1 ? ?c 0 c25 25 .因此 3 ? c ? ，所以 c 可以取值 4，5，6，7，8， 3 3对应可得到 5 个符合条件的三角形. （2）当 m ? 1 n ?3 时，b ? c ? 3 ， a ? b ? 1 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b ? c ? a ， , 即 (c ? 3) ? c ? c ? 4 ， 解 得 c ? 1 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即a ? b ? c( ?c ?) 4? c ? ) ，解得3 ? ( 3 ? ?c 0 c23 23 .因此 1 ? c ? ，所以 c 可以取值 2，3，4，5，6，7， 3 3对应可得到 6 个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5＋6＝11. 二． （本题满分 25 分）已知等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，∠C 的平分线与 AB 边交于点 P，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与 BC 边的切点，作 MD//AC，交⊙I 于 点 D.证明：PD 是⊙I 的切线. A 证明 过点 P 作⊙I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交 BC 于点 N. P 因为 CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP＝∠BCP. I 又因为 PA、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC＝∠NPC. Q 又 CP 公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC. 由 NM＝QN， BA＝BC， 所以△QNM∽△BAC， 故∠NMQ B M N ＝∠ACB，所以 MQ//AC. 又因为 MD//AC，所以 MD 和 MQ 为同一条直线. 又点 Q、D 均在⊙I 上，所以点 Q 和点 D 重合，故 PD 是⊙I 的切线. 三． （本题满分 25 分）已知二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过两点 P (1, a ) ，Q (2,10a) .2C（1）如果 a, b, c 都是整数，且 c ? b ? 8a ，求 a, b, c 的值.96（2）设二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 A、B，与 y 轴的交点为 C.如果关于 x 的2方程 x ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数，求△ABC 的面积.2解 点 P (1, a ) 、 (2,10a) 在二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象上， 1 ? b ? c ? a ， ? 2a ? c ? 10a ， Q 故 42解得 b ? 9a ? 3 ， c ? 8a ? 2 . （1）由 c ? b ? 8a 知 ??8a ? 2 ? 9a ? 3, 解得 1 ? a ? 3 . ?9a ? 3 ? 8a,又 a 为整数，所以 a ? 2 ， b ? 9a ? 3 ? 15 ， c ? 8a ? 2 ? 14 . (2) 设 m, n 是方程的两个整数根，且 m ? n . 由根与系数的关系可得 m ? n ? ?b ? 3 ? 9a ， ? ?c ? 2 ? 8a ， 消去 a ， 9m ?(m ?) ?? 得 n 8 n 6 mn 两边同时乘以 9，得 81mn ? 72(m ? n) ? ?54 ，分解因式，得 (9m ? 8)(9n ? 8) ? 10 . ，所以 ??9m ? 8 ? 1, ?9m ? 8 ? 2, ?9m ? 8 ? ?10, ?9m ? 8 ? ?5, 或? 或? 或? ?9n ? 8 ? 10, ?9n ? 8 ? 5, ?9n ? 8 ? ?1, ?9n ? 8 ? ?2,10 2 1 ? ? ? ?m ? 9 , ?m ? ? 9 , ? m ? 93 , ?m ? 1, ? ? ? 解得 ? 或? 或? 或? ?n ? 2, ?n ? 13 , ?n ? 7 , ?n ? 2 , ? ? ? 9 9 3 ? ? ?又 m, n 是整数，所以后面三组解舍去，故 m ? 1, n ? 2 . 因此， b ? ?(m ? n) ? ?3 ， c ? ?mn ? ?2 ，二次函数的解析式为 y ? x ? 3x ? 2 .2易求得点 A、 的坐标为 B （1,0）（2,0）点 C 的坐标为 和 ， （0,2）所以△ABC 的面积为 ，1 ? (2 ? 1) ? 2 ? 1 . 2第二试 （B）一． （本题满分 20 分）设整数 a, b, c 为三角形的三边长，满足 a ? b ? c ? ab ? ac ? bc ? 13 ，求2 2 2符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数（全等的三角形只计算 1 次）. 解 不妨设 a ? b ? c ，由已知等式可得(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (a ? c)2 ? 26令 a ? b ? m, b ? c ? n ，则 a ? c ? m ? n ，其中 m, n 均为自然数. 于是，等式①变为 m ? n ? (m ? n) ? 26 ，即2 2 2①m2 ? n2 ? mn ? 13②97由于 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 m, n 只有两组： ?? m ? 3, ?m ? 1, 和? ?n ? 3. ?n ? 1（1）当 m ? 3, n ?1 时，b ? c ? 1， a ? b ? 3 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b ? c ? a ， 即 (c ? 1) ? c ? c ? 4 ， 解 得 c ? 3 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即a? b? c ? (c ?) 4? c ? ) ，解得3 ? ( 1 ? ?c 0 c25 25 .因此 3 ? c ? ，所以 c 可以取值 4，5，6，7，8， 3 3对应可得到 5 个符合条件的三角形. （2）当 m ? 1 n ?3 时，b ? c ? 3 ， a ? b ? 1 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b ? c ? a ， , 即 (c ? 3) ? c ? c ? 4 ， 解 得 c ? 1 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即a ? b ? c( ?c ?) 4? c ? ) ，解得3 ? ( 3 ? ?c 0 c23 23 .因此 1 ? c ? ，所以 c 可以取值 2，3，4，5，6，7， 3 3对应可得到 6 个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5＋6＝11. 二． （本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三． （本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试 （C）一． （本题满分 20 分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二． （本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三． （本题满分 25 分）设 p 是大于 2 的质数，k 为正整数．若函数 y ? x ? px ? (k ? 1) p ? 4 的图2象与 x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求 k 的值． 解 由题意知，方程 x ? px ? (k ? 1) p ? 4 ? 0 的两根 x1 , x 2 中至少有一个为整数．2由根与系数的关系可得 x1 ? x2 ? ? p,x1 x2 ? (k ? 1) p ? 4 ，从而有①( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (k ? 1) p2（1）若 k ? 1 ，则方程为 x ? px ? 2( p ? 2) ? 0 ，它有两个整数根 ?2 和 2 ? p ． （2）若 k ? 1 ，则 k ? 1 ? 0 . 因为 x1 ? x2 ? ? p 为整数，如果 x1 , x 2 中至少有一个为整数，则 x1 , x 2 都是整数. 又因为 p 为质数，由①式知 p | x1 ? 2 或 p | x2 ? 2 ． 不妨设 p | x1 ? 2 ，则可设 x1 ? 2 ? mp （其中 m 为非零整数） ，则由①式可得 x2 ? 2 ?k ?1 ， m98k ?1 k ?1 ，即 x1 ? x2 ? 4 ? mp ? ． m m k ?1 又 x1 ? x2 ? ? p ，所以 ? p ? 4 ? mp ? ，即 m k ?1 ② (m ? 1) p ? ?4 m k ?1 k ?1 如果 m 为正整数，则 (m ? 1) p ? (1 ? 1) ? 3 ? 6 ， ? 0 ，从而 (m ? 1) p ? ? 6 ，与②式矛 m m故 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? mp ? 盾. 如果 m 为负整数，则 (m ? 1) p ? 0 ，2k ?1 k ?1 ? 0 ，从而 (m ? 1) p ? ? 0 ，与②式矛盾. m m因此， k ? 1 时，方程 x ? px ? (k ? 1) p ? 4 ? 0 不可能有整数根． 综上所述， k ? 1 ．99100101102103104105
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