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反比例函数学案
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26.1反比例函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解反比例函数的定义；2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质； 【重点难点】用待定系数法确定反比例函数的表达式；反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；知识概览图
反比例函数的定义反比例函数
反比例函数的图象与性质新课导引【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?教材精华知识点1反比例函数的定义
重点;理解一般地,形如
(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.y是x的反比例函数

(k≠0)
xy=k(k≠0)
变量y与x成反比例,比例系数为k.拓展
(1)在反比例函数
(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如
,
等都是反比例函数,但
就不是关于x的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式
难点:运用由于反比例函数
中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:设反比例函数关系式
(k≠0).把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.解方程,求出待定系数k的值.将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点3反比例函数图象的画法
难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展
(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k0时，两个分支位于第二、四象限.(3)反比例函数
(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.知识点4反比例函数
(k≠0)的性质
难点；灵活应用(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数
的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
(2)由反比例函数
的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.
(3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点.
(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.
(2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大.
【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.函数正比例函数反比例函数关系式y=kx(k≠0)
(k≠0)图象过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线自变量的取值范围全体实数x≠0的全体实数图象位置当k＞0时，图象经过第一、三象限当k＜0时，图象经过第二、四象限当k＞0时，图象在第一、三象限当k＜0时，图象在第二、四象限性质当k＞0时，y随x的增大而增大当k＜0时，y随x的增大而减小当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大知识点5
反比例函数表达式中k的几何意义
拓展；理解
如图17-3所示，过双曲线
上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|.因为
，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.课堂检测基础知识应用题1、若变量y与x成正比例变量x与z成反比例，则
)A.y与z成反比
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本册资源导航导读：反比例函数问题，写出y与x之间的函数关系式，（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，【考点】反比例函数的应用．【专题】【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间，【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函，并利用其解决实际问题．，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点，与反比例函数y2?cx的图象相交于B（－1反比例函数问题 翟升华提供 31.（2012广元市）某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m的生活垃圾运走。 3（1）假如每天能运xm，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：（1）每天运量xm时，需时间y?3331200天； x3[来源:学科网]（2）5辆拖拉机每天能运5×12m=60 m，则y=，即需要20天运完； （3）假设需要增加n辆，根据题意：8×60+6×12（n+5）≥1200，n≥5， 答：至少需要增加5辆。
2012.南宁市.南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【考点】反比例函数的应用． 【专题】 【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可； （2）根据题意列出后求解即可． x1.5x【解答】解：（1）由题意知：xy=36， 3632（≤x≤） x（2）根据题意得：??20 x1.5x故y?解得：x=0.3 经检验：x?0.3是原方程的根 1.5x=0.45 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．
2（2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2?c x的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1?kx?b的图象上的动点． （1）求k、b的值； （2）设?1?m?，过点P作x轴的平行线与函数y2?问△PAD的面积是 否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设m?1?a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值 范围． 32c的图象相交于点D．试x52 cc，得5? ，解得c=?5。 x?15
∴反比例函数解析式为y2??。 x5555
将点C（，d）的坐标代入y2??，得d??=?2。∴C（，522x2【答案】解：（1）将点B 的坐标代入y2?－2）。
∵一次函数y1?kx?b的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点， ?5??k?b?k=?2?
∴?，解得。 ?5?2?k?b?b=3?2?52
∵DP∥x轴，且点D在y2??的图象上，
∴yD?yP?n，xD=?
∴△PAD1S?2??P???1225x55，即D（?，n）。 nn的?3O??2?面。 n?P???n5=积????4为1+?D2
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。
又∵n=?2m?3，?1?m?，得0?n?5，而0?n=?5。
∴当n=时，即P（，时，△PAD的面积S最大，为 ） （3）由已知，P（1?a, 2a+1）。
易知m≠n，即1?a?2a+1，即a?0。
若a>0，则m<1<n。
由题设，m>0，n?2，解出不等式组的解为0<a?。
若a<0，则n<1<m。
由题设，n?0，m<2，解出不等式组的解为??a<0。
综上所述，数a的取值范围为??a<0，0<a?。 【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。 【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得c=?5，从而得到y2??；由点C在y2??上求得d??2，即得点C的坐标；由点B、C在y1?kx?b上，得方程组，解出即可求得k、b的值。
5x5x3249。 163232
（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。 （3）由m≠n得到a?0。分a>0和a<0两种情况求解。 3.（2012乐山市）如图11，直线y?2x?2与y轴交于A点，与反比例函数y?的图象交
于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2.
（1）求k的值； （2）点N（a，1）是反比例函数y?k（x＞0）xyMAk（x＞0）图像上的点， x在x轴上是否存在点P，使得PM＋PN最小，若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
NxOH（1）由y＝2x＋2可知A（0，2），即OA＝2.………………………………（图111分） ∵tan∠AHO＝2，∴OH＝1.………………………………………………（2分） ∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1. ∵点M在直线y＝2x＋2上， ∴点M的纵坐标为4.即M（1，4）.…………（3分） yMAk∵点M在y＝上，∴k＝1×4＝4. …………（4分） x4（2）∵点N（a，1）在反比例函数y?（x＞0）上， x
∴a＝4.即点N的坐标为（4，1）.…………（5分） NHPN1xO图11过N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图11）. 此时PM＋PN最小.
………………………………………………（6分） ∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1）， ∴N1的坐标为（4，－1）.……………………………………………………（7分） 设直线MN1的解析式为y＝kx＋b. ?4?k?b,517
解得k＝－，b＝.…………………………………（9分） ?1?4k?b.33?517∴直线MN1的解析式为y??x?. 331717令y＝0，得x＝. ∴P点坐标为（，0）.………………………（10分） 55k4.（2012赤峰）如图，直线l1：y?x与双曲线y?相交于点A（a，2），将直线l1向上平x由?移3个单位得到l2，直线l2与双曲线相交于B．C两点（点B在第一象限），交y轴于D点． （1）求双曲线y?k的解析式； x（2）求tan∠DOB的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换；锐角三角函数的定义。 解答：解：（1）∵A（a，2）是y=x与y=的交点， ∴A（2，2）， 把A（2，2）代入y=，得k=4， ∴双曲线的解析式为y=； （2）∵将l1向上平移了3个单位得到l2， ∴l2的解析式为y=x+3， ∴解方程组， 得，， ∴B （1，4）， ∴tan∠DOB=． 5.（2012宁夏）直线y?kx?2与反比例函数y?22 (x>0)的图像交于点A，与坐x标轴分别交于M、N两点，当AM=MN时,求k的值.
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江苏省洪泽县黄集中学八年级数学下册教学案+课件：11.3用反比例函数解决问题1 (3份打包)
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课题：11.3
用反比例函数解决实际问题（1）
学习目标：1．灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；
2．掌握运用反比例函数建立模型的思想与方法
学习过程：
【预习案】
回忆：什么是反比例函数？其图象是什么？反比例函数有哪些性质？
你使劲踩过气球吗？为什么使劲踩气球，气球会发生爆炸？你能解释这个现象吗？
【探究案】
问题1．小明要把一篇24 000字的社会调查报告录入电脑．
(1) 如果小明以每分钟 120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？
⑵ 完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）有怎样的函数关系？
（3）在直角坐标系中，作出相应函数的图像；
（4） 要在3 h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
问题2　某厂计划建造一个容积为4&#215;104m3的长方形蓄水池．蓄水池的底面积 S(m2)与其深度 h(m)有怎样的函数关系？
（1）如果蓄水池的深度设计为5 m ，那么它的底面积
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