电路分析基础求解（替代定理）_百度知道
电路分析基础求解（替代定理）
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1)用i/8的电流源取代R，2)用叠加原理求电流源两端的电压U(设自右往左为正方向)，电压源电压Us=i(15//10)=6i电压源单独作用；U1=(1/2)Us-(1/3)Us=(1/6)Us=i电流源单独作用；U2=-(i/8)(5//5+10//5)=-(i/8)(2.5+10/3)=-(i/8)(35/6)=-i*35/48U=U1+U2=i*(1-35/48)=(13/48)i电阻R=U/I=[(13/48)i]/(i/8)=13/6Ω
引用zyzheng54的回答：1)用i/8的电流源取代R，2)用叠加原理求电流源两端的电压U(设自右往左为正方向)，电压源电压Us=i(15//10)=6i电压源单独作用；U1=(1/2)Us-(1/3)Us=(1/6)Us=i电流源单独作用；U2=-(i/8)(5//5+10//5)=-(i/8)(2.5+10/3)=-(i/8)(35/6)=-i*35/48U=U1+U2=i*(1-35/48)=(13/48)i电阻R=U/I=[(13/48)i]/(i/8)=13/6Ω
一楼算错了吧，答案是2Ω
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电路分析基础知识
基尔霍夫电流定律(KCL)
在集总参数电路中，在任一时刻，流入(或流出)任一节点或封闭面的各支路电流的代数和为零，即∑i(t) = 0
例1：放大电路直流分析
若规定流出节点或封闭面的电流为正，流入节点或封闭面的电流为负。
对节点a,有 i3+i4-i2=0
晶体管可以看作封闭面S1：　-i4 –i6 +i7 =0
封闭面S2: i2+i5-i4=0
电路A和电路B之间只有一条支路连接时，必然有i=0
基尔霍夫电压定律(KVL)
在集总参数电路中，在任一时刻，沿任何一回路巡行一周，各元件电压的代数和为零，即∑u(t) = 0
对于回路I ：-us + u2 + u1 =0
对于回路II ：-u1 + u3 - u4 =0
对于回路III ：-u5 – u3 – u2 =0
结论1：两个二端电路(单口)N1和N2，若它们的外部端口处电压电流关系(VCR)保持不变，则称N1和N2互相等效。
结论2：当把电路N1变换为N2后，若对应各节点的KCL方程不变，则称N1和N2互相等效。
结论3：当把电路N1变换为N2后，若对应两点间的电压保持不变，则称N1和N2互相等效。
根据等效变换的概念，对于两种特殊情况有以下结论：
若电路中某支路电流为零，则可以用开路(断路)代替;
若电路中某支路电压为零，则可以用短路线代替。
电压源:电源内阻较小时，u = us –Rs*i
电流源：电源内阻较大，i = is – Gs*u = is-u/Rs
从电路分析的角度，两种形式的电源可以等效互换。
对于(a)端口电压可表示为：u=us-Rs*i
对于(b)由KCL有 i=is–u/Rs → Rs*i=Rs*is-u → u = Rs*is – Rs*i。若令us = Rs*is,根据等效概念，电流型电源就与电压型电源的外部VCR相同，因而两者互相等效。
反过来由(a)也可等效于(b)。
电路分析方法1.网孔分析法2.节点分析法节点分析法的一般步骤：1. 将电路中所有电压型电源转换为电流型电源。2. 在电路中选择一合适的参考点，以其余的独立节点电压为待求量3. 列出所有未知节点电压的节点方程，其中自电导恒为正，互电导恒为负。4. 联立求解节点电压，继而求出其余量。例：求V2由于运算放大器输出端电流为任意值，故不能在节点B和D处列KCL方程(不懂为什么)。已知V1所以在节点A、C处列方程为(G1+G+G4)Va - G1*V1 - G*Vb - G4*V2 = 0(G+G2+G3)Vc – G*Vb – G2*V1 – G3*V2 = 0因为Va = Vc=0 ，解得V2 = (G1-G2)*V1/(G3-G4)叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。1. 只适用于线性电路2. 叠加时要注意按参考方向求其代数和替代定理任意具有惟一解的网络，若某支路的电压u或电流i在任一时刻为确定的值，则该支路可用方向和大小与u相同的电压源代替，或用方向和大小与i相同的电流源代替。不会影响外部电路的解答。(替代的网络可以是非线性的)戴维宁定理任何线性有源二段网络N，对其外部而言，都可以等效成为一个戴维宁电源。该电源的电压值等于网络N二端子间的开路电压Uoc,其串联的电阻R0(称输出电阻或等效电阻)等于网络N内部独立源为零时二端子间的等效电阻。分析问题时分以下三步进行：1.断开所要求解的支路或局部网络，求出所余二端有源网络的开路电压Uoc。2.令二段网络内独立源为零，求等效电阻(输出电阻)R03.将待求支路或网络接入等效后的戴维宁电源，求解答一般求R0有以下两种方法：1. 串并联法 若二端网络N中无受控源，当is=0,us=0后N中电阻出现简单的串并联结构，直接求R02. 外加电源法 若二端网络N中有受控源，或者当is=0,us=0后无法进行电阻的串并联简化，则按等效电阻定义，在二端子间加一电压u(或电流i)则R0=u/i。式中u并不给出确定的值，只要找出u,i的关系即可。诺顿定理任何线性有源二段网络N，对其外部而言，都可以等效成为一个诺顿电源。其电流源的取值等于网络N二端子短路线上的电流isc，而等效内阻R0等于网络N内部独立源为零时二端子间的等效电阻。最大功率传输定理设一负载RL接于电压型电源上，若该电源的电压Us保持规定值和串联电阻Rs不变，负载RL可变，则当RL=Rs时，负载RL可获得最大功率。
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第4章 线性网络定理解永平 1背景通用分析方法电源激励电路其它分析方法？？ R2 R1响应(电压、电流)?利用电路定理， 分析电路；+ Us+ U1Is已 知：Us=10V，Is=2A， ? 计算得到：U1=5V。 ? 当 Us=20V，Is=4A，求：U1=？?2基本要求? ?掌握叠加定理及其应用 熟练求解戴维南及诺顿等效电路，灵活运 用戴维南定理求解电路? ?基本掌握替代定理和互易定理的应用 了解特勒根定理3提纲? ??? ? ? ?4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7齐性定理和叠加定理 替代定理 戴维南定理和诺顿定理 最大功率传输定理 特勒根定理 互易定理 对偶原理44.1 齐性定理和叠加定理图示简单电路中，两个激励源为Us和Is， 根据节点电压法求响应电压U1 ? 节点电压方程为： U 1 1 ( ? ) 1 ? s ? Is U R1 R2 R2?+ UsR2R1+ U1IsUs ? Is R1 R1 R2 R2 解得： 1 ? U ? Us ? Is 1 1 R1 ? R2 R1 ? R2 ? R1 R2 ??+ UsR2 R1+ U11U1 1?U1 2R2 R1可以认为：U11为Us的分量；U12为Is的分量，即：当Is=0时，U1=U11，Us单独作用；当Us=0时，U1=U12，Is单独作用；?+ U12Is结论：U1可以看作每个电源单独作用时分别产生的节点电压的叠加。 5齐性定理和叠加定理线性电路：由线性元件和独立电源组成的电路为线性电路。 ? 齐性定理和叠加定理是反映线性电路本质的重要定理。??齐性定理：在只有一个激励（电源）的线性电路中，若激 励增大或缩小?倍，则任一电压响应或电流响应也同样增 大或缩小?倍。叠加定理：在含多个独立电源的线性电路中，任一电压或 电流响应都是各个独立电源单独作用时产生的相应响应的 代数和。?6实例f2(t) f1(t)?无源网络y(t)?齐性定理若：电源f1(t)单独作用下电路响应为 y1(t)，电源f2(t) 单独作用下电路响应为y2(t)。?若：电源f1(t)增大?倍，则单独作用下电路响应为：?y1(t)； 电源f2(t)增大?倍，则单独作用下电路响应为：?y2(t)；? ?在f1(t)和f2(t)两个电源共同作用下，电路响应为：y1(t)+ y2(t)； 在电源?f1(t)和?f2(t)共同作用下，电路响应为：?y1(t)+ ?y2(t)。N1?叠加定理7应用叠加定理时要注意的问题：? ?①叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。 ②独立电源可以作为激励源，受控源不能作为激励源。2?2?+ i1 2i 5A + + + 2i1 10V 1? + i22?+i + 10V2i25A +u1?u11?u2?? ?③在叠加的各分电路中，置零的独立电压源用短路代替， 置零的独立电流源用开路代替，受控源保留在各分电路 中，但其控制量和被控量都有所改变。 ④叠加时要注意电流和电压的参考方向。 ⑤功率不能用叠加定理计算。 8例4-1 将例2-1的电源电压U 改为20V，应用齐性定理 重新求解ab端的等效电阻及电流I1和电压U1。a+ U=20V b 解：如图所示，设I1? ＝1A，则 U1?＝1*I1?＝1V I?＝2*2*2*I1?＝8A U?＝(1+1)I?＝16V 给定U＝20V，相当于激励增加了 ?＝20/16=1.25 倍 即，根据齐性定理，I1＝?I1?＝1.25A，U1＝?U1?＝1.25V，I＝?I?＝10A 根据欧姆定律：R ?I 1? 1? 2? 2? 1? 2? 1? 1?I1 + U1U 20 ? ? 2? I 109注意：该功率不等于每一个电源单独作用时3?电阻消耗的功率的叠加， 例4-2 应用叠加定理求图示电路3?电阻的电压U及功率。 原因是：(－4)2＋62≠(－4＋6)2?8? 3A 12V6?8? 12V6? +8? 3A6? ++2? 3? U++2?3?U12?3?U2解：首先画出电源单独作用的电路如图所示当12V电压源作用时，应用分压公式得：U 1 ? ?当3A电流源作用时，应用分流公式得： U 2 ?3 ? 12 ? ?4 V 3 ? 66 ?3?3 ? 6V 3 ? 6则所求电压：U = U1+U2=－4+6＝2VU2 22 ? ? 1.33 W 3?电阻消耗的功率： P ? 3 3 10例4-3 用叠加定理计算图示电路的电压u 和电流 i。2? i + 10V 1? + 2i 5A + i1 + 2? + 2i1 10V 1? + i2 2? + 2i2 5A +uu11?u2解：首先画出独立源单独作用时的电路如图所示，当10V电压源作用时：解得：i1＝2A，(2+1)i1＋2i1－10＝0u1＝2i1＋1*i1＝3i1＝ 6 V2i2＋1*(5+i2)＋2i2＝0当5A电流源作用时， 解得：i2＝－1A，u2＝－2i2＝ 2 V所以： u＝u1＋u2＝6＋2＝ 8V i＝i1＋i2＝2＋(－1)＝ 1A 11例4-4 图示电路中，测得下列实验数据：当is=1A，us=2V时， 响应i=2A，当is=2A，us=－1V时，响应i=1A。求：is=5A，us= －3V时，i＝？解：设is=1A单独作用时i为k1（A）、us=1V 单独作用时i为k2（A），则当us和is共同作用 时，根据齐性定理和叠加定理： +usi ? k1is ? k2 us根据已知条件，得：is无源 线性 网络i? k1 ? 2k2 ? 2 ? ? 2k1 ? k2 ? 1解得：k1＝0.8，k2＝0.6 因此, is=5A，us=－3V时：i ? 0.8is ? 0.6us ? 0.8 ? 5 ? 0.6 ? 3 ? 2.2V 124.2 替代定理?在电路定理的证明和电路分析 中，经常用到替代定理。应用替代定理可以化简电路， 使电路更直观、易于分析。 双口网络N和N1的伏安特性曲 线示如图所示。1.5? +I + U + 1V0.5??3V?N 两条伏安特性曲线的交点 Q 的 U= -1.5I+3 坐标即为电压U和电流I的解， U＝1.5V、I=1A。 I/A ? 任何一条通过 Q 的直线，例如与 I 轴平 3 行的N2、与 U 轴平行的N3和过原点的N4， 2 1 与N的交点都是Q。?N1 U=0.5I+1N 2 N1 N1N4Q(1.5,1) N3 U/V元件？？？-1 0 1 2 3 4 -2 N13替代定理的表述?N2、N3和N4对应的二端网络分别为图所示的1.5V独立电压源、1A独 立电流源和1.5?电阻。I + U + 1.5V + U 1A I + U 1.5? IN2?N3 I + UN4可以验证，用N2、N3和N4 替代N1之后，电压U、电流 I以及N网络内部的电压和 电流均不受影响。 U＝1.5V、I=1A。1.5? + 3V0.5? + 1VNN114替代定理的表述?定义：在任意线性或非线性、时变或非时变电路中，若已求得N和N1两个二端网络连接端口的电压为UQ、电流为IQ，只要N1中没有N 中受控源的控制量，那么N1总可以用下列任一元件替代：电压大小和方向与UQ 相同的独立电压源；电流大小和方向与IQ 相同的独立电流源； 电阻为 R ?UQ IQ的线性电阻（UQ 和IQ 关于R 关联方向）。15对替代定理做几点说明?(1) 如果N1中某支路电压或电流为N中受控源的控制量， 那么替代之后该电压或电流不复存在，所以此时不能应用 替代定理。 (2) 与N1等效的单口网络必须有与N1相同的伏安特性曲线， 所以，N2、N3和N4只是在工作点 Q 能够替代N1，并不是 N1的等效网络。 (3) 应用替代定理后单口网络N中全部电压和电流均将保 持原来值，而电路分析得到简化。上述独立电压源、独立电流源和电阻是替代N1的最简单的 三种形式。 16???例4-5，图中R未知，求电压U。3? 3? + U+9V 6?+R 2A 9V 6?+ U 2A解：由于R未知，所以不能应用电阻串并联求U，但是可以应用支路电 流法、回路法和节点法求解。现在要应用替代定理，只能将R所在支 路替代成2A电流源，如图所示，这样就能应用等效变换和叠加定理求 解，当然仍然还能应用支路电流法、回路法和节点法。例如， 节点法：9 ? 2 U ? 3 ? 2V 1 1 ? 3 6应用叠加定理：U ? 6 3?6 ?9? ?2 ? 6 ? 4 ? 2V 3? 6 3? 6174.3 戴维南定理和诺顿定理第二章讨论过单口网络的等效化简问题，这一问题的实质是求单口 网络的伏安关系式。? ? ?若单口网络不含电源，则总可以等效为一个电阻； 若单口网络含电源，则总可以等效为一个电阻和电压源的串联；+ 3? + 6V 4V 6?10?2? + 8V4A10?2?10??对于任意一个线性含源单口网络，戴维南定理和诺顿定理为其提 供了求解等效电路的一般方法。18名词解释?(1)开路电压：若把外电路断开，则 在端口处产生电压，把这个电压称 为网络Ns的开路电压，用Uoc表示。 (2)输入电阻：若把Ns中所有的独立 源置零，即把Ns中的独立电压源用 短路替代，独立电流源用开路替代， 并用N0表示所得到的二端网络。显 然，N0可以用一个等效电阻Req表示， 就是N0在端口处的输入电阻。Nsia + Uoc － b a + u － b a?N0?(3)短路电流：若把外电路短路，则 在短路处产生电流，把这个电流称 为网络Ns的短路电流，用Isc表示。NsbIsc19名词解释?(4)输入电阻的计算：①电阻网络：电阻的串并联、星形三角形转换； ②受控源网络：加电压，得电流，Req=U/I；③求Uoc、Isc：Req=Uoc/Isc；20戴维南定理?戴维南定理：任何一个线性含源单口网络，对外电路来说，总可 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压 等于外电路断开时单口网络端口处的开路电压Uoc，电阻等于单口 网络所有独立源置零时所得无源网络的等效电阻R0。 a aR0Nsb 定理证明+UOCb21诺顿定理?诺顿定理：任何一个含源线性单口网络，对外电路来说，可以等效为一个电流源和电阻的并联；电流源的电流等于该单口网络的短路 电流，而电阻等于把该单口的全部独立电源置零后的输入电阻。 aIscaNsR0b 容易发现，诺顿等效电阻与戴维南等效电阻 完全相同，实际上，诺顿等效电路就是戴维 南等效电路的等效变换。b?定理证明22例4-6 计算图示电路中Rx分别为3.2Ω、5.2Ω时的电流 I。U1 ++ 4? RX 6? 10V + 4? I 6? + 4? U2 6? 10V + 4? 6? 4? 6? Uoc 4? 6? R0解：断开RX 支路，如图所示，求该单口网络化的戴维南等效电路。 (1)开路电压Uoc (1)回路法求解：需列3个联立KVL方程才能解出； 4 6 ? (2)节点法求解：需要对节点a、b列两个KCL方程； U oc ? U 1 ? U 2 ? ? ? 10 ? ? 10 ? 2 V 4? 6 4?6 ? 不论用什么方法，当Rx由3.2Ω改为5.2Ω时，都需要重新列方程、重 新求解。 (2)求等效电阻R0 ,把电压源短路，如图所示。 ? (3)戴维南定理求解：当兴趣点只聚焦在一个负载或一条支路时，常 4* 6 4* 6 用戴维南定理或诺顿定理把该负载或支路以外的电路化简。 R0 ? ? ? 4.8 ??4?64? 623例4-6? ?画出等效电路，接上待求Rx支路，如图所示， 当 Rx=3.2Ω时，I ? U oc 2 ? ? 0.25 A R0 ? Rx 4.8 ? 3.2R0 + UOC RXI?当 Rx =5.2Ω时，I ? U oc 2 ? ? 0.2 A R0 ? Rx 4.8 ? 5.224例4-7 计算图示电路中的电压U。2.4I + 6? + 3? 9V I 18? + 9V 3? I 2.4I + + UOC 6? 3? I 2.4I + I16?++UsU??解法1 应用戴维南定理(1)求开路电压Uoc，断开18Ω电阻支路，如图所示。Uo c 9 ? 2. 4 I ? 3 I ? 5.4 I ? 5.4 ? ? 5.4 V 3 ? 6由分流公式，得： ? I则： R 0 ?US ? 3.6 ? I1? ?(2)求等效电阻R0 独立电源置零后的单口 网络含有受控源，用外 施激励法，如图所示。6 2 I1 ? I1 6 ? 3 3由KVL, 得 ：U S ? 2.4 I ? 3 I ? 5.4 I ? 5.4 * 2 I1 ? 3.6 I1 325例4-7 计算图示电路中的电压U。2.4I + 1.5A 18? 3? Isc 3.6?+5.4V3.6? 18?+ U6? + 9V+ UIU ? 18 ? 5. 4 ? 4. 5 V 3.6 ? 18? ?(3)画出等效电路，如图所示，解得：解法2 应用诺顿定理 ? (1)断开18Ω电阻支路，将端口短路，如图所示，求短路电流Isc 右侧网孔的KVL方程：2.4I＋3I＝0，所以：I＝0，则 ： sc ? I? ?9 ? 1. 5 A 63. 6 ? 1.5 ? 18 ? 4.5 V 3.6 ? 18(2)独立电源置零后求等效电阻R0，R0＝3.6? (3)画出等效电路，如图所示，解得：U ?26例4-8 求图所示电路中的电压U。6? 6? 6? 6?a3? 6? 1A 24V 3? 6?a+U 24V+3?6?+3?6?Iscb 解：因为a、b处的短路电流比开路电压容易求，所以本题用诺顿定理 求比较方便。 ? 求短路电流ISC，把ab端短路，电路如图(b)所示，解得：?bIs c24 1 24 3 ? ? ? ? ? 3A 6 // 6 ? 3 2 3 // 6 ? 6 3 ? 627例4-8 求图所示电路中的电压U。6? 6?a 3? 3? 6? b?Isc1A+U6?R04?求等效电阻R0，把独立电源置零，电路如图所示， R0＝(6//3+6)//(3//6＋6)＝4??画出诺顿等效电路，接上待求支路如图所示。 U＝(3+1)×4＝16V28戴维南和诺顿定理小结?(1)应用戴维南定理和诺顿定理，可以将一个复杂电路中不感兴趣的有 源部分等效化简，以利于其余部分的分析计算。 (2)戴维南等效电路中电压源电压的方向与所求开路电压方向一致，诺 顿等效电路中电流源电流的方向和求解时候设的端口短路电流方向看 起来相反。???(3)等效电阻R0有三种计算方法：(4) 一个单口网络，当等效电阻R0＝0时，只能等效为一个理想电压源， 那么它就不具有诺顿等效电路；一个单口网络，当R0＝?时，只能等效为一个理想电流源，那么它就 不具有戴维南等效电路。?(5)戴维南和诺顿等效电路的数学本质：等效的两个单口网络具有相同 的伏安关系，线性单口网络的VCR曲线一定是U、I平面上一条直线。294.4 最大功率传输定理电的应用：能量和信息两大类，这两类系统在功率传输方面的着 眼点是完全不同的。? ? ? ?能量类系统，如电力系统，侧重于功率传输效率。 信息类系统，如广播电视、通信系统，侧重于负载能获得的功率。最大功率传输定理讨论了负载为何值时能从线性含源单口网络获 取最大功率、最大功率数值大小等问题。?将线性含源单口网络等效成戴维南电源模型，如图所示。I + R0 INs负载UocRL30最大功率传输定理?设RL为变量，在任意瞬间，其获得的功率为：P ? RL I 2 ? U OC RL ( RO ? RL )22I + R0 RLUoc?RL何时获得最大功率的问题就变为：以P为函 数，以RL为变量，求RL为何值时P最大。当( RO ? RL )2 ? 2( RO ? RL )RL U 2 OC( RO ? RL ) dp 2 ? U OC ? ? 0 4 3 dRL ( RO ? RL ) ( RO ? RL )? ?因此，RL＝R0即为使功率为最大值时的条件。由线性单口网络传递给可变负载的功率为最大的条件是：负载与戴 维南（诺顿）等效电阻相等，称这一条件为最大功率匹配条件。U 2 OC ? 此时最大功率为： P max ? 4 RL?需要注意的是：计算最大功率问题结合应用戴维南定理(诺顿定理)。 31例4-9 图示电路中负载电阻R为何值时其上获得最大功率，并 求最大功率。?解：断开电阻R，求剩余单口网络的戴 维南等效电路。 求开路电压： 由KVL，得： 5=2I＋(1+3)3I， 得： I=5/14 A 则：Uoc＝－6*2I＋5－3*3I＝－2.5V+6?I 2? 5V 3? 1? R 2I?6? I + 5V 3? 2? 1? 2I+Uoc32例4-9 图示电路中负载电阻R为何值时其上获得最大功率，并 求最大功率。?求输入电阻：用外施激励法，如图所 示，由KVL，得： 2I＋3I -3(I1－3I)＝0，6?I2?2II1 1? 3? + U得：I= 3/14I1则：U＝6*(I1－2I)＋3(I1－3I) ＝9I1－21I＝4.5I1 所以，Req=U/I1= 4.5 ??当R＝4.5?时获得最大功率，最大功率Pm a x( ?2.5)2 ? ? 0.35 W 4 ? 4.5334.5 特勒根定理?特勒根定理（Tellegen’s Theorem）是电路理论中的一个重要定理， 这个定理对任何线性与非线性、时变与非时变电路都适用，是网络功 率守恒的体现，就是网络全部支路消耗(包括发出)的功率恒等于零。 此定理分为特勒根功率定理和特勒根似功率定理。?特勒根功率定理：在一个具有 n 个节点、b 条支路的网络 N 中，假设 各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2,……,ub)和(i1,i2,……,ib)，它们 取关联参考方向，则对任意时间t，有?u ik ?1?bk k?0该定理表明：在任意网络N中，在任意瞬时t，各个支 路吸收的功率的代数和恒等于零。也就是说，该定理 实质上是功率守恒的具体体现。定理证明34特勒根定理??拓扑：支路、节点完全相同；特勒根似功率定理：两个网络 N 和N’ ，它们由不同的元件组成，但它 们的结构完全相同。假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取 关联参考方向，分别为(u1,u2,……,ub)、(i1,i2,……,ib)和(u’1,u’2,……,u’b)、 (i'1,i’2,……,i’b) ，则对任意时间t，有? u'k ?1?bkik ? 0? u i'k ?1 kbk?0该定理表明：有向图相同的任意两个网络N 和N’ ，在任意瞬时t，一个网 络的支路电压与另一个网络的支路电流的乘积的代数和恒等于零。这个 和式只是一种数学关系，没有实际物理意义，因此称为“似功率守恒”。拓扑图相同包括对应支路的方向也是相同的。 ? 拓扑图相同的两个网络，可能是一个网络的一个元 件支路对应着另一个网络一条等效支路，也可能是 同一网络在两个不同时刻的相应电路。?定理证明35例4-10 电路如图所示，N0是无源线性电阻网络，当R2=2?，U1=6V时，测得 I1=2A，U2=2V；当R2 =4?，U’1=10V时，测得I’1=3A，求：U’2=？ 解：这是一个网络的某元件参数取两个不 同数值，可应用特勒根似功率定理。设网 络N0中含有b条支路，I1 I2+U1+N0U2R2? U1 I '1 ?U 2 I '2 ? ? U k I 'k ? 0k ?1bb? U '1 I1 ? U '2 I 2 ? ? U 'k I k ? 0k ?1由于网络N0的结构与参数均不会变化，因此?Uk ?1bkI 'k ? ? U 'k I k ? ? Rk I 'k I kk ?1 k ?1bb这样就有： ? U1 I '1 ?U 2 I '2 ? ?U '1 所以： ? 6 * 3 ? 2 *I1 ? U '2 I 2U '2 2 ? ?10* 2 ? U '2 4 2U '2 ? 4V364.6 互易定理?对于仅含线性电阻和一个独立源的电路，其回路电流方程的系数矩阵 和节点电压方程的系数矩阵都是关于主对角线对称的。在这样的电路 中，当激励和响应互换位置时，响应与激励的比值保持不变，这就是 互易定理（Reciprocity Theorem），互易定理有三种形式： (1)形式一：当单一电压源作用在端子a、b之间时，c、d之间的短路电 流等于把此电压源移到c、d之间而在a、b之间所产生的短路电流。a+ US b (a)?cai2 i1 b (b)c+NRdNRdUS即：i1＝i2。 37互易定理?(2)形式二：当单一电流源作用在端子a、b之间时，c、d之间的开路 电压等于把此电流源移到c、d之间而在a、b之间所产生的开路电压， 激励为电流源，响应为两点之间的开路电压，a c a + u2 d (a) + u1 b cis bNRNRdis(b)即：u1＝u2。384.7 对偶原理对偶原理（duality principle）：是指电路或元件的电路方程或伏安 关系在数学表达式形式上完全相同。 例如：电阻的伏安关系为 u=Ri， 电导的伏安关系为 i=Gu， 共同点：y＝kx ? 如果将电压u与电流i互换，电阻R与电导G互换，则数学表达式彼此 互换。这些互换元素称为对偶元素。??在电路理论中，对偶元素可以是电路结构、定律、元件、变量、参数 和联接方式。 常见对偶元素见表4.1。 L CCVS 串联 并联 开路 短路 网孔 节点 Ｙ联接 △联接39?u KVL 戴维南定理 R i KCL诺顿定理GC VCCS例4-12 图中，N0为无源线性电阻网络，当a、b端接电阻R=1?时，R获得最 大功率，此时U =3V且Uab=1V；当a、b端短路时U =5V。现a、 b端接R=3? 电阻时U =?电 流 源 不 变?+ U I a 2A + + 2V 1? a + 2V 3? b 1?aN0RUabbb分析： ? (1)已知 R=1? 时获得最大功率， U =3V且Uab=1V， 结论：ab以左单口网络的戴维南等效电阻R0＝1?，开路电压Uoc＝2V。 ?(2)当a、b端短路时U =5V， 结论： Uab=0V ，即2A电流源单独作用时的响应。 ?(3)现a、 b端接R=3? ，U =? Uab= ？ 结论1：R 变化对 U 的影响，由于改变了R的阻值，其电路的电压和电流 都会发生变化，但结构不变。 结论2：可以考虑用电压源替代电阻R，用叠加法求解：U=k1Is+k2Uab 40例4-12 图中，N为无源线性电阻网络，当a、b端接电阻R=1?时，R获得最 大功率，此时U =3V且Uab=1V；当a、b端短路时U =5V。现a、 b端接R=3? 电阻时U =?+ U解：应用替代定理，电阻R用大小为Uab的电 压源替代，见图 。应用齐性定理和叠加定理， U＝U0＋kUabI a 2A+NUabb 其中 U0：为2A电流源单独作用时的响应(电流源不变)， kUab：电压源单独作用时的响应(由于电压源变化，引入系数k)。依据已知条件2，当a、b端短路时U =5V，由于Uab=0V，有：U0＝5 V 依据已知条件1，当电阻R=1?时，Uab=1V，U =3V， 则： 3＝U0＋k×1 解得：k＝－2 依据已知条件1，ab以左单口网络的等效电阻R0＝ 1?，开路电压Uoc＝2V,戴维南等效电路如图所示， 则：当R=3?时, Uab＝1.5V 得：U＝5＋(－2)×1.5＝2V1? +a 3? b412V例4-13 图4-25(a)、(b)中，NR为互易网络，试求图4-25 (b)中 电流I1。a 1A + U1=2V b c I1ac1ANR+ + ? 原因：互易网络由 U2=1V UR 2?电流源组成；dNRd (b)b(a)解：本例有多种求解方法，几乎可以综合运用所有线性电路定理。 (1)解法1：应用戴维南定理和互易定理(等效解题)a + UOC b (c) c 1A + Us d b (d) a I cNRNRd图(c)与(a)互易：Uoc=1V由图(a)，得等效电阻R0：R0=U/I=2/1=2Ω42(1)解法1：应用戴维南定理和互易定理(等效解题)I1 a 2? +③在戴维南等效电路上补上2Ω电阻， 见图(e)，解得 I1=0.25A2? b (e)1V43(2)解法2：应用替代定理和互易定理(直接解题)a 1A + U1=2V b c I1 + URac1ANR+ U2=1V d2? bNRd (b)(a)a 1A 2A ？ + 2? 2V b (d)c+ U U=1V+ URI1ac 1ANRd2?NRd (c)b互易应用互易定理，UR=0.5V，所以得： ? I1=UR/2=0.5/2＝0.25A。?44(3)方法3：应用特勒根定理a 1A + U1=2V b (a)?cI1aNR+ U2=1V d+ URc +1A2? bNRU d(b)由特勒根定理，得： (-1)2I1+0*U=2*I1+1(-1) 解得：I1=0.25 A45(4)方法4：应用替代定理、叠加定理和互易定理I1 + UR a ca 1A+ UR I1 b (c)c1A2?bNRd (b)NRd图(b)中2?电阻支路的VCR为UR= 2I1，将2?电阻支路用电流大小和方向 与I1相同的电流源替代。 所以: 2I1=－2I1+1， 解得：I1=0.25 A ?应用叠加定理，各分电路如图所示：UR = UR1 + UR2?a + UR1 I1 bca + UR2c 1ANRdNRdb(d)(e)求：UR1：据齐性定理有，与图(a)相比，UR1=2/1*(－I1)= - 2I1 求：UR2：据互易定理有，与图(a)相比，UR2= 1V。 46总结? 齐性定理和叠加定理f2(t)f1(t)无源网络y(t)?若：电源f1(t)单独作用下电路响应为 y1(t)，电源f2(t) 单独作用下电路响应为y2(t)。?若：电源f1(t)增大?倍，则单独作用下电路响应为：?y1(t)； 电源f2(t)增大?倍，则单独作用下电路响应为：?y2(t)；? ?在f1(t)和f2(t)两个电源共同作用下，电路响应为：y1(t)+ y2(t)； 在电源?f1(t)和?f2(t)共同作用下，电路响应为：?y1(t)+ ?y2(t)。47? 戴维南定理和诺顿定理aaR0 Isca+NsbUOCR0bb? 最大功率传输定理条件：当RL＝R0时，IU 2 OC P max ? 4 RLNs负载48互易定理?(1)形式一：a c a c ++ USNRb (a) di2i1 bNRd (b)US即：i1＝i2。?(2)形式二：a ca+ u2 + u1 b (b)cis bNRNRdisd (a)即：u1＝u2。 49结束50戴维南定理证明_(参考,不做要求)INs(a)+ U+I+Ns(b)UNs(c)U1证明：电路如图(a)所示；求其伏安关系； 加电流源 I，得电压U，如图(b)所示； 依据叠加定理，电压U可以由图(c)、图(d) 求的； I 由图(c)，得：U =U ；1 oc+IN0(d)U2由图(d)，得：U2=R0I； 则：U = U1+U2 = Uoc+R0I ； 电路如图(e)所示；+R0UOC+U 返回(e)51诺顿定理证明_(参考,不做要求)II I1Ns(a)+ U+Ns(b)UNs(c) I2证明：电路如图(a)所示；求其伏安关系； 加电压源U，得电流I，如图(b)所示； 依据叠加定理，电流I可以由图(c)、图(d) 求的；+N0I +(d)U由图(c)，得：I1= - Isc；由图(d)，得：I2=U/R0； 则：I = I1+I2 = = - Isc +U/R0 ； 电路如图(e)所示；IscUR0返回52(e)特勒根定理证明_(参考,不做要求)?特勒根功率定理：在一个具有 n 个节点、b 条支路的网络 N 中， 假设各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2,……,ub)和 (i1,i2,……,ib)，它们取关联参考方向，则对任意时间t，有N?u ik ?1bk k?0证明：设网络N的关联矩阵为A，节点电压向量Un， 支路电压向量为Ub，支路电流向量为Ib； 由于：Ub=ATUn， AIb=0T T uk ik ? U b I b ? (AT U n )T I b ? U n A I b ? 0 ? k ?1 b返回 53特勒根似功率定理证明_(参考,不做要求)?特勒根似功率定理：两个网络 N 和N’ ，它们由不同的元件组成，但它 们的结构完全相同。假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关 联参考方向，分别为(u1,u2,……,ub)、(i1,i2,……,ib)和(u’1,u’2,……,u’b)、 (i'1,i’2,……,i’b) ，则对任意时间t，有? u'k ?1bk ik ? 0? uk i'k ? 0k ?1bNN’证明：设网络N、 N’的关联矩阵为A，节点电压向量Un、 U’n 支路电压向量为Ub、 U’b，支路电流向量为Ib 、 I’b ； 由于：Ub=ATUn， U’b=ATU’n ， AIb=0， AI’b=0T ' ' T ' uk i ' ? U b I b ? (AT U n )T I b ? U n A I b ? 0 ? k k ?1 b同理，可以证明? u'k ?1bkik ? 0返回54
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