为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果?_百度知道
为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果?
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位移有限元的应力结果精度低于位移结果的原因：由于有限元分析以有限单元数模拟实体，其自由度小于真实实体自由度，因而位移结果较小。通过细分网格可以提高位移精度。知识点延伸：在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。
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有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1） 物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
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有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
回答了些啥啊？？？ 位移精度高是因为位移本身就是未知求解量，可直接求出；随后再推算出其余参数如应力等，这是应力精度低的一个原因
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有限元计算原理与方法
有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体，这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上，计算在外荷载作用下各节点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。
有限元分析的基本理论
有限元单元法的基本过程如下：
连续体的离散化
首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体。单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面
体单元、五西体单元和六面体
单元等。在Plaxis 3D Foundation
程序中，土体和桩体主要采用包
含6个高斯点的15节点二次楔
形体单元，该单元由水平面为6
节点的三角形单元和竖直面为四
边形8节点组成的，其局部坐标
下的节点和应力点分布见图3.1，
15节点楔形体单元节点和应力点分布
界面单元采用包含9个高斯点的
8个成对节点四边形单元。
在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束，则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。
最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。
由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。与位移不同，应力和应变是在Gauss积分点(或应力点)而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。
单元位移插值函数的选取
在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移
作为未知量，即，单元体内任一点的位移为。
引入位移函数N(x,y,z)表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模式为：
其中：，I为单位矩阵。
按等参元的特性，局部坐标到整体坐标的坐标转换也采用
与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则
单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的
位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。因此，对于15节点楔形体单元体内各点位移在整体坐标系下一般取：
上式中的为整体坐标系下节点处的位移值，为在局部
坐标系下节点相应的形函数。
单元特性分析
利用几何方程、本构方程、虚功原理或位能变分方程求解单元节点力与节
点位移关系的表达式，即单元刚度矩阵。
根据几何方程可建立单元内的应变矩阵：
对于小变形线性弹性问题，根据物理方程建立单元内的应力矩阵：
其中,为几何矩阵，为弹性矩阵，为应力矩阵，。
根据虚功原理求出单元中的节点力：
其中为单元的劲度矩阵，
对于整体结构上的任一点 i，建立平衡方程：
为i节点上的外荷。上式表示与围绕i点的各单元在i点上的节点力之和相平衡。
总体特性分析
对每一个位移未知的节点，都可写出3-7式的方程，利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成分析对象的整体有限元平衡方程组：
为整体劲度矩阵，
为整个结构的节点位移矩阵，
为整个结构的节点荷载矩阵，是已知的。由式(3-8)求出节点位移
,由式(3-3)、式(3-5)求出各单元的应变和应力。
非线性有限元分析
非线性现象是在实际的结构分析中经常遇到的问题。与线性分析相比，非线性分析中荷载与位移之间的关系已不是直线关系，而是曲线关系。土体的非线性分析一般来说采用非线性的分析方法，选用适当的土体本构系，进行有限元计算。
非线性问题一般有材料非线性和几何非线性两种。
几何非线性即存在大变形，其变化的几何形状可能引起结构的非线性响应，即应变与位移的关系不里线性，应变不仅包括位移对坐标的一阶导数，还要包括高阶导数。在进行小应变或者小变形分析时，假定位移和变形总是足够小(这种假定取决于特
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67页71页52页85页69页75页91页66页60页98页基于MATLAB的有限元法分析平面应力应变问题
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标签：& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 温故而知新。& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ----《论语》&
& & & &这里只讨论基于位移（注1）的有限元方法，它最终建立的是关于位移为未知量的方程组。也就是说，在推导过程中涉及到的其他未知物理量都要转化为位移的表达。
&& & & 推导过程中用到的关键物理定律，虚功原理或最小势能原理。由于这两者在某些情形下是等价的，这里只以虚功原理为例进行说明。所谓的虚功原理，是说对于静态平衡的系统，力（注2）在虚位移上所做的功等于应力在虚应变上所作的功[1]。
& & & 本段来具体分解虚功原理中涉及到的概念及由之建立的方程。先来看功。在标量的情形下，功等于力和其作用距离的乘积，而在向量的情形下，功为力与物体位移（这两者都是向量）的内积，标量的结果可以看作它的一种特殊情形。值得一提的是，由于体力，面力以及外力和物体的具体形状都给定，所以虚功原理中的力可以看作是已知的。再来看应力和应变。直观地理解，应力可以看作物体的内力（鲍老师语），应变是在应力作用下引起的变形的一种描述，它包括物体内一点邻域内变形前后长度和角度的变化量[2]。在弹性力学中给出了应力和应变之间的关系，称为本构关系，它是有限元推导过程中一个必要的关系；由于讨论的是基于位移的有限元，如果能够给出应变与位移之间的函数关系（称为几何关系，推导过程中另一个必要的关系），加上刚提到的本构关系，那么应力在虚应变上所作的功就可以表述为位移的函数。最后来看&虚&这个概念，虚位移指的是符合约束条件的任意的无穷小位移。
& & & 根据虚功原理列出相应的方程组后，经过移项等处理后，得到关于位移的函数乘以虚位移等于零的结果。注意到虚位移的任意性，得到关于位移的函数为零（这一点可以给出证明[3]，它也是数学分析中一个经典的证明，有兴趣的同学可以自己证明下）。这就是有限元要建立的最终结果。
& & & 细心的童鞋可能会发现，上面的叙述只是一个理论上的框架，其中某个未知变量关于位移的函数只是一笔带过。那么，具体到编程实现上，该如何给出相应的函数呢？首先，给出整个物体上关于位移（它是一个连续量）的函数在绝大部分情况下是不可行的。退而居其次，在离散的空间中进行定义，如果离散的程度很小，就可以近似连续情形下的结果。这是数值求解实际问题的一个通用的步骤，称之为连续问题离散化。具体到有限元中，就是将一个连续区域划分成彼此不相交的区域（二维情形下是三角形或者四边形，三维情形下是四面体或者六面体），称之为单元或者网格，单元之间通过节点相连，有限元最终建立的就是关于单元节点处位移的方程组。而单元中除了节点外其他的点处的位移，可以基于节点处的位移值进行插值得到。其次，即便将问题域离散化，那么采用什么样的函数（称之为形函数）来拟合单元内某点处的位移呢？最容易想到的，自然是多项式函数[4]，主要是因为它容易理解，计算简单，逼近的精度也能达到要求。当然，函数系的选取要结合具体的问题。如果边界条件是周期边界条件，经常使用三角函数来进行逼近。现在有了单元内任一点的位移表达式，那么相应的应变和应力也就可以表达出来，自然地，应力在虚位移上所作的功也可以表示出来。注意的是，这里要使用积分的表达式，而且最终的结果中是关于位移的二次项表达。
& & & 再来看等式的另一端，目的是将之表达为节点处位移的函数，再根据虚位移的任意性，就可以将问题转化为关于位移的线性方程组。仅以体力为例进行说明，给定单元内任一点处的位移表达式，根据等功原理，即体力在单元上所作的功将其等价为集中力力在单元节点处所作的功，就将体力的功转化到单元节点处的表达。
& & & 主体框架搭建完毕，简言之，最终建立了一个关于单元节点处位移的线性方程组。剩下的一些关键问题，比如从单元刚度矩阵到总体刚度矩阵的构建，坐标系的旋转变换，线性方程组的求解，积分的运算等等，其中第一个问题是编程时必须考虑的问题，最后的结果使用稀疏矩阵来存储，第二个问题是计算机图形学的必内容，最后两个问题是数值计算研究的主要内容。也就是说，具体的实现就成了一个数学问题。不较真地可以这样认为，上述问题在数学上都是可解的。
&& & & 注1：假设通过求解线性方程组得到位移的结果，那么根据几何关系，就可以得到应变的分布，再根据本构关系，能够得到应力的分布。
& & & 注2：这里的力包括体力和面力。体力，指的是分布在物体体积上的力，如重力等，它在有限元中对应于体积载荷，推导过程中要将其转化为对应的单元节点力，文中有述；面力，即作用在物体表面上的力，在有限元中对应于边界分布的情形，和体力一样，推导时也要将其转化为对应的单元节点力。
&&参考文献：
& & & [1]&
& & & [2]&《物理学与偏微分方程第二版（上册）》，第五章：弹性力学，李大潜等著，北京：高等教育出版社，2006年
& & & [3]&《微分方程数值解法（第四版）》，李荣华等著，北京：高等教育出版社，2009年
& & & [4]&标签：原文地址：http://www.cnblogs.com/liuyc/p/4499351.html
&&国之画&&&& &&&&chrome插件&&
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