矩估计和极大似然估计习题_中华文本库
极大似然估计练习题_理学_高等教育_教育专区。数理统计练习 关于矩估计与极大似然估计的典型例题例 1,设总体 X 具有分布律 2 3 ? ?1 X~ ? 2 ?θ 2θ ...
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第7章参数估计习题及答案_理学_高等教育_教育专区。天津大学出版社 汤大林版的 ...X 1 , X 2 ,L X n 为一个样本,试求参数 α 的矩估计和极大似然估计....
2θθ21? 其中)210(&&θθ是未知参数,利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,—4— 第五章 习题参考答案与提示 3,求θ的矩估计值和极大似然估计值...
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解: (1)矩估计 ? = X ,得矩估计 p ?= E ( X ) = mp , mp X m...? 最大似然估计的原理是找到一个 θ ,使得似然函数达到最大. 在本题中,就...
解: (1)矩估计 ? = X ,得矩估计 p ?= E ( X ) = mp , mp X m...? 最大似然估计的原理是找到一个 θ ,使得似然函数达到最大. 在本题中,就...百度题库旨在为考生提供高效的智能备考服务，全面覆盖中小学财会类、建筑工程、职业资格、医卫类、计算机类等领域。拥有优质丰富的学习资料和备考全阶段的高效服务，助您不断前行！
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一、为什么要估计（estimate）
&在概率，统计学中，我们所要观测的数据往往是很大的，(比如统计全国身高情况）我们几乎不可能去统计如此之多的值。这时候，就需要用到估计了。我们先抽取样本，然后通过统计样本的情况，去估计总体。下面是数学中常用到的术语：
　　&总体（Populantion）。通常它均值（mean）用 & 表示。方差用
　　&样本（Sample）。通常它的均值用
表示，方差用& 表示。（另外提一句，求时，通常用n-1为底。这样是想让结果跟接近总体的方差，又称为无偏估计。）
二、矩估计
1、是什么原点矩？
　　原点矩这个术语是数学家定义出来的，用于计算方便。所以在"使用"这个level上，我们先不要纠结它怎么来的，为什么叫原点矩。
　　来自wiki的定义：原点矩是一类随机变量的矩.随机变量的n阶原点矩定义为。
　　根据定义，我们可知：
　　　　一阶原点矩为 。
　　　　二阶原点矩为 。
　　这两个是我们比较常用的，应为我们要估计的参数个数一般不多于二（多于2就不好算了。）
2、矩估计的原理
　　①样本与总体的原点矩是近似的。可以通过让它们相等来计算。
　　②对于连续型随机变量:期望& ; 方差&
　　③对于给予的样本:期望 && ;& 方差 & ，切记这里的X1,X2...Xn都是已知的。
&　& ④对于各种随机变量x都有：。
3、计算步骤
&&&& S1： 根据题目给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。如果题目给的是某一个常见的分布，就直接列出相应的原点矩（E(x)）。
&&&& S2:&& 根据题目给出的样本。按照计算样本的原点矩。（计算方法在上文都有给出）
　& S3:&& 让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。所得结果即为参数的矩估计值。
三、最大似然估计
0、基础概念：概率密度函数。
　　概率密度函数是描绘& 随机变量 的函数。我们先讲讲随机变量。随机变量的&变量&这个词用得有点让人误解。跟一般我们理解的变量不同，它代表了某种映射关系（将随机过程映射到数字），所以我们一般用大写的X，Y，Z来表示。我们最好把随机变量当作函数来看。
　　简单的讲，概率密度函数表示的就是随机变量X在某点的概率（所有点的概率和为1）。对于连续型的随机变量，其图像通常为一个连续的曲线，离散型的随机变量的图像一般是一个一个点组成。
1、似然函数（LH）
　　来自wiki的定义：似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。&似然性&与&或然性&或&概率&意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，&似然性&和&或然性&或&概率&又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。这里类似于&贝叶斯方法&的思路。　&&
　在估计中，我们已经取得一些样本数据（它们是独立，同分布）。它们发生的概率即为为，由于f(x)中有参数未知，所以我们得到的是一个关于参数的函数。我们把这个函数就当作似然函数。直观的讲，这些样本数据已经出现了，所以他们同时发生的概率（即似然函数）取最大值的时候最符合对事实的估计。
　通过使似然函数取最大值，就可以估算参数。
2、计算步骤
　　S1:&& 根据对应概率密度函数计算出似然函数L(x)= 。
　　S2:& 对似然函数L(x)取对数以方便求解。（由于对数函数是单调增函数，所以对似然函数取log后，与L(x)有相同的最大值点。）
　　S3:& 根据参数，对第二步所得的函数求导。如果有多个参数，则分别求偏导。
　　S4： 令导数等于0（此时L(x)取到最大值）.求出参数。此时所得结果即为参数的最大似然估计值。
&与矩法估计比较，最大似然估计的精确度较高，信息损失较少，但计算量较大。您所在位置： &
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[矩估计和极大似然估计.ppt 57页
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Aspose Pty Ltd. 令 即 所以参数 的极大似然估计量为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright
Aspose Pty Ltd. 解 例3 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, ，求参数λ的极大似然估计值。 似然函数为: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright
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Aspose Pty Ltd. 等价于 因为 对于满足 的任意 有 即 时,取最大值 在 似然函数为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright
Aspose Pty Ltd. 故 的极大似然估计值为: 故 的极大似然估计量为: 即 时,取最大值 在 似然函数为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright
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设总体X的概率分布为
P θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ其中θ（）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计和最大似然估计值．
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EX=0×θ2+1×2θ（1-θ）+2×θ2+3×（1-2θ）=3-4θ，故：，θ的矩估计量为：，根据给定的样本观察值计算：=2，因此θ的矩估计值为：．对于给定的样本值，似然函数为：L（θ）=4θ6（1-θ）2（1-2θ）4，取对数可得：lnL（θ）=ln4+6lnθ+2ln（1-θ）+4ln（1-2θ），从而：2-28θ+6θ(1-θ)(1-2θ)，令：，得方程：12θ2-14θ+3=0，解得：（，不合题意），于是θ的最大似然估计值为：．
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考点点评：
本题考查了最大似然估计法与构造估计量的矩估计法，这两种方法是常用的方法，需要熟练掌握．
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