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考研量子力学中科院年试卷及答案
1.1.2011中科院量子力学历年试题详解1.1一、2011（1）氢原子基态的能量为?13.6V，那么第一激发态的氢原子电离能为：（）A.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV（2）普朗克常数h的数值为：（）A.1.05×10?34B.6.63×10?34C.1.05×10?34J?SD.6.63×10?34J?S（3）A、B为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：（）ii1A.(BA?AB)B.(BA?AB)C.AB+iBAD.(BA+AB)222（4）对于中心力场，下列各式正确的是:（）∫∫∞∞2A.μ(r)rdr=1B.μ(r)4πr2dr=10∫0∞∫∞2C.Rl(r)rdr=1D.Rl(r)4πr2dr=100其中：μr=Rl(r)r??=????=??（5）经典力学中有Lr×p??=?p??×r，那么在量子力学中Lr×p??=?p??×r是否也成立。请说明理由。??2,Sz)的共同的本征态中，写出Sx,Sy的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的（6）在(S一个表象，使得Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。（7）写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。（8）两个非全同粒子处于态ψ(x1,x2)，求出一个粒子处于p??1,p????1之间，另一个粒子处于x??2,x????2之间的几率。rr1??(r?p??+p?????)二、已知p?r=2r（1）p?r是否为厄米算符，为什么？（2）写出p?r的算符表示。（3）求出[?r,p?r]=？三、（30??）有一质量为m的粒子在半径为?R的圆周上运动，现加一微扰：????V1,?α&?&0;H??=V(?)=V2,0&?&α;????0,其他其中α&π，求对最低两能级的一级修正。四、（30??）一粒子在一维无限深方势阱(0&x&a)中运动，时间t=0时处在基态。此时的方势垒微扰。求t0(t0&0)时撤去微扰，体系处加入一个高为V0，宽为b(b??a)，中心在a2于前三个激发态的概率。五、在(l2,lz)的共同表象中，粒子处于Y20态，求Lx的可能值及相应的几率。2目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.2一、2010?B?与Pauli算符对易，证明：(????)(????)=A???B??+i????×B??)（1）设A,σ?Aσ?Bσ?(A1?+σ?σ?为单位算符。（2）试将(I?x+iσ?y)表示成I,?x,σ?y,σ?z的线性叠加，Iθθ?0(x)+sin2?1(x)，即基态与第一激发态的叠加，二、设一维谐振子的初态为ψ(x,0)=cos2其中θ为实参数：（1）求t时刻的波函数ψ(x,t)；（2）求t时刻粒子处于基态及第一激发态的概率；?=（3）求t时刻粒子的势能算符Vmω22x的平均值；（4）求演化成?ψ(x,t)所需的最短时间tmin。三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为：??0,t≤0?=H其中λ,T为常数t?λze?,t&0（1）求很长时间后(t??T)电子跃迁到激发态的概率，已知基态中a为玻尔半径；已知基态：√12?r31r?rψ(??r)=R(r)Y(θ,?)=ψ100(??r)=R10(r)Y00(θ,?)=ecosθeπa(2a)a（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。(a)ψ200(b)ψ211(c)ψ21,?1(d)ψ210四、两个质量为m的粒子处于一个边长为a&b&c的不可穿透的长盒子中，求下列条件下，该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。（1）非全同粒子（2）零自旋全同粒子（3）自旋为1的全同粒子?=λδ(x?a)的微扰作用：五、粒子在一维无限深势阱中运动。设该体系受到H（1）利用微扰理论，求第n能级精确到二级的近似表达式；（2）指出所得结果的适用条件。3目录返回1.3.2009中科院量子力学历年试题详解1.32009??????010????????????lx=??101????????010??一、（30??）已知在(l2,lz)的表象中，求：（1）lx的本征值和相应的本征函数；（2）ly的矩阵表示。1二、已知一粒子处于一维谐振子势场中运动，势能为V(x)=kx2(k&0)，求：（1）粒子的基态本征函数ψ0(x)；（2）若势场突然变为V??(x)=kx2，则粒子仍然处于基态的概率。√√√4i提示：用湮灭算符a??==1.414,=1.189。x+p?),1?三、（30??）若已知[?ai,a?j]=[?a???ai,a??a1a?2+i,aj]=0,[?j]=δij，其中i,j=1,2。设Jx=(???ia???1),Jy=(?a??2?a???1),Jz=1(?aa??a??1)，求：22a1a2a21a（1）Jx,Jy,Jz的关系式；2222（2）J2=Jx+Jy+Jz，试用a?1,a???2,a??1,a2表示J。（其四、（30??）已知两种中微子的本征态为|V1??和|V2??，能量本征值为E=pc+中i=1,2），电子中微子的本征态为|Ve??=cosθ|V1??+sinθ|V2??，μ子中微子的本征态为|Vμ??=?sinθ|V1??+cosθ|V2??，其中θ是混合角。某体系中在t=0时，电子中微子处于态|Ve??，求：m2c4（1）t时刻中微子所处的状态；（2）t时刻电子中微子处于基态的概率。五、（30??）设在氚核中，质子和中子的作用表示成V(r)=?V0e?，试用ψ=e?（λ为变数）为试探波函数，以变分法求：（1）基态能量的近似值；（2）若V0=32.7Mev,a=2.16fm，试确定λ的值。rλr4目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.42008一、（30??）写成氢原子的束缚态能级，所有量子数以及取值范围，求出其简并度。二、（30??）一个粒子质量为μ，在一势能环中运动，势能??0,0&?&?0V=?∞,other求粒子运动的本征值和本征函数。??1λ0??三、（30??）求在H=?λ30?中粒子的本征值，设λ??1，利用微扰求其本征值（精00λ?2确到二级近似）并与精确求解相比较。)()(?iωt1cosθe，求系??的粒子，两个粒子分别为χ=，χ=四、（30??）两个自旋为1112sinθe?iωt0统处于单态和三态的概率。五、（30??）处在一维谐振子势基态的粒子受到微扰H??=λxδ(t0)作用，求跃迁到其他各激发√[√]1态的总概率和仍处在基态的概率。已知：xHn=+n+1Hn+1。2n?5目录返回1.5.2007A中科院量子力学历年试题详解1.52007A一、（30??）在一维无限深方势阱(0&x&a)中运动的粒子受到微扰??0,0&x&a,2a&x&a??H(x)=??V1,a&x&2a作用。试求基态能量的一级修正。二、（30??）粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态ψn(x)中。试证明粒子所受势场的作用力的平均值为0。三、（30??）1?2,S?z)表象中求算符AS?y+BS?z的本征值及归一化的本（1）考虑自旋为的系统。试在(S?y,S?z是自旋角动量算符，而A,B为实常数。征态。其中S?y得到结果为（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量S的概率。四、两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中(0&x&a)中，对下列两种情况写出两粒子体系具有的两个最低总能量，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。（a）两个自旋为（b）两个自旋为112的可区分粒子；的全同粒子。五、（30??）一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。6目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.62007B??V,x&0(V&0)00??，设粒子从右边向左边入射，试求一、（30）考虑一维阶梯势V(x)=?0,x&0反射系数和透射系数。二、（30??）电子处于沿+z方向、大小为B的均匀磁场中。设t=0时刻电子自旋沿+y方向。（1）试求t=0时电子自旋波函数；（2）试分别求t&0时，电子自旋沿+x,+y,+z方向的概率。?2?=p四、（30??）设系统哈密顿算符为H+V(??r)，粒子处于归一化的束缚定态ψn中。试证明Virial定理：p?21??ψn||ψn??=??ψn|??r??V(??r)|ψn??2m2?2?0=p五、（30??）一维谐振子系统哈密顿量为H+1mω2x2，设受到微扰H??=?λp?4x的作用。试求对等n个谐振子能级的一级微扰修正。√√√??（已知矩阵元??n|x?|n??=(n??,n+1+n??,n1)）7目录返回1.7.2006中科院量子力学历年试题详解1.72006一、一个质量为μ的粒子被限制在?a≤x≤a内运动，t=0时处于基态。现势阱突然向两边对称地扩展一倍，即在?2a≤x≤2a内运动。问：（1）t=t0(&0)时粒子处于新系统基态的几率；（2）t=t0时粒子能量的平均值。?=二、一维谐振子的哈密顿量为H+1μω2x2。在坐标表象中，它的能量本征函数为：√2x2ψn(x)=NneHn(ax)a=p?2试在动量表象中求出它的能量本征值和相应的本征函数。??在方向n=(sinθcos?,sinθsin?,cosθ)上投影S?????三、电子处于自旋Sn的本征态，本征。值为2（1）求出相应的本征函数；（2）若在上面的态中，自旋的x分量和y分量有相等的均方差，请求出方向角θ,?。1??中，该粒子绕磁场进动的角频率记为ω=?rB??。设t=0时四、自旋的粒子处于磁场B粒子处于自旋朝下态|ψ(0)??=|???，求t时刻粒子仍处于该态的几率。?0=五、在谐振子的哈密顿量H级修正。12p?+1μω2x2上加上x3的微扰项H??=λx3，求能量的二?的本征值与本征矢分别为En与|n??，H?|n??=En|n??。六、有一量子力学体系，哈密顿量H?为任一算符F?=F?(x,p设F?)，试证明：∑+?|k??|2+|??k|F?|n??|2)??k|[F,[H,F]]|k??=(En?Ek)(|??n|Fn8目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.82006甲A?A??+A??A?=1,A?=A??A?。B?和B?满足下列关系：A?2=0,一、（30??）两个线性算符A?2=B?；（1）求证B?表象中A?和B?的表达式。（2）求在B二、（30??）粒子在势场V(x)=A|x|n算基态能量。(?∞&x&∞,A&0)中运动，试用不确定度关系估?从依赖于某一参量λ，又设体系处于某一束缚定态，其能三、（30??）设体系的哈密顿量H量和本征函数分别记为En和ψn(r)。（1）证明费曼――海尔曼定理：∫??En?H?=ψn(??r)ψn(??r)d??r?λ?λ（2）利用费曼――海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能。41（提示：氢原子能级公式En=?μe?）??0,0&x&a,0&y&a??四、（30）粒子在二维无限深方势阱中运动，V=。加上微扰?∞,其他H??=λxy后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。五、（30??）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即V=V(t)，与坐标??r无关。试将体系的含时薛定鄂方程分离变量，求方程解ψ(??r,t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一维情况为例说明V(t)的影响是什么。9目录返回1.9.2006甲B中科院量子力学历年试题详解1.92006甲B一、（30??）已知谐振子处于第n个定态中，试导出算符x?,p?,(?x)2,(?p)2的平均值及不确定度?x,?p，并求出?x??p值。?和B?使μ?+iB?。试证：二、（30??）设μ?为幺正算符，若存在两个厄米算符A?=A?2+B?2=1，且[A,?B?]=0；（1）A??为厄米算符。（2）进一步再证明μ?可表示成μ?=eiH，H三、（30??）一个质量为√m的粒子被限制在0≤x≤a的一维无穷深势阱中。初始时刻其归一化波函数为ψ(x,0)=58a(1+cosπx)sinπx，求：aa（1）t&0时粒子的状态波函数；（2）在t=0与t&0时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？四、（30??）粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰H??=n个能级的一级近似，并分析所的结果的适用条件。V(aa?|2x?a|)的作用。求第五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化的波函数。10目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.102006乙A??V&0,0≤x≤a0??。设能量E&V0，一、（30）粒子以能量E入射方势垒，V(x)=?0,x&0,x&0求透射系数T。二、（30??）自旋为√12的粒子置于势场V(x)中，V(x)=()√??0,0≤x&a()115?3(x)+2?(x)，其中?n(x)为系统空间部分的第n个能量态为ψ(x,sz)=5?ii本征函数（已归一化）。求能量的可测值及相应的取值概率。三、用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量。?0=?2?2+四、（30??）各向同性的三维谐振子哈密顿算符为H2mλ(xy+yz+zx)后，求第一激发态的一级能量修正。五、（30??）自旋为1，磁矩为2mω22r。加上微扰2?∞,x&0,x&a。设粒子所处状???=H??0=μ，电荷为零的粒子置于磁场中。t=0是磁场为B()0(0,0,B0)，粒子处于σ?z的本征值为?1的本征态。设在t&0时，再加上弱磁场1??1=(B1,0,0)，求t&0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。B11目录返回1.11.2006乙B中科院量子力学历年试题详解1.112006乙B??V&0,0≤x≤a0??。设能量E&V0，一、（30）粒子以能量E入射方势垒，V(x)=?0,x&0,x&0求透射系数T。二、（30??）粒子在一维对称无限深方势阱(?a≤x≤a)中运动。设t=0时粒子所处状态221为ψ(x,t=0)=[?1(x)+?2(x)]，其中?n(x)为系统第n个能量本征态。求t&0时的以下量：（1）概率密度|ψ(x,t)|2；（2）能量的可取值及相应的概率。??1R(r)Y(θ,φ)2111三、（30??）设氢原子所处状态为ψ(r,θ,φ,Sz)=√??R21(r)Y10(θ,φ)。?z和自旋角动量z分量S?z的平均值；（1）求轨道角动量z分量L??=?eL???eS??的z分量的平均值。（2）求总磁矩M2μμ四、对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积?x??p。?=J??五、（30??）两个自旋为1非全同粒子，自旋间相互作用为Hs1???s2，其中??s1和??s2分别2为粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时粒子1的自旋沿z轴正方向，粒子2的自旋沿z轴负方向。求t&0时，测到粒子2的自旋仍处于z轴负方向的概率。12目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.122005??V,x&00??，一、（20）1800个电子经1000V电势差加速后从x=?∞处射向势阶V(x)=?0,x&0其中V0?=750V。试问在x=∞处能观察到多少个电子？如果势阶翻转一下，即电子射向势阶?0,x&0V(x)=，则结果如何？?V0,x&01二、（20??）质量为m，电荷为q的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)=2mω2r2中运动，??=E0??同时受到一个沿x方向的均匀常电场Ei作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。??∞,x&0,x&a??三、（40）一个质量为m的粒子在下面的无限深方势阱中运动。V(x)=?0,a&x&03πxcos，其中A为常数。请求出t时刻系统：开始时(t=0)，系统处于状态，ψ(x)=Asinπx（1）处于基态的几率；（2）能量平均值；（3）动量平均值；（4）动量的均方差根（不确定度）。四、（30??）两个具有相同质量m和频率ω的谐振子，哈密顿量为121H0=(p1+p2)+mω2((x1?a)2+(x2+a)2)22m2（±a为两个谐振子的平衡位置），受到微扰作用H??=λmω2(x1?x2)2,|λ|??1，试求该体系的能级。0，试对坐标x及动量p，求：五、（30）已知氢原子基态波函数为：ψ100=ex(πa3)0√√?x=?p=xx??1r?13目录返回1.13.2004中科院量子力学历年试题详解1.132004|x|&a|x|&a处于状态ψ=??∞,??一、（30）粒子在一维无限深方势阱V(x)中运动，V(x)=?0,φ1+φ3+2φ4。这里φn,n=1,2,3,???是系统归一化的能量本征态。请问：（1）粒子具有基态能量E1几率；（2）粒子的平均能量（用基态能量E1的倍数表示）；（3）态φ4中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零）；（4）态φ3的宇称。14目录返回CHAPTER1.试题中科院量子力学历年试题详解1.142001理论型15目录返回1.14.2001理论型中科院量子力学历年试题详解16目录返回CHAPTER2详解2.1一、2011（1）氢原子基态的能量为?13.6V，那么第一激发态的氢原子电离能为：BA.13.6eVB.3.9eVC.7.8eVD.2.5eV11析：氢原子能级公式的形式??常数，还是好记的，也就是说第一激发态为基态的，即选e212B。氢原子完整的能级公式为：En=?，其中a=。（2）普朗克常数h的数值为：DA.1.05×10?34B.6.63×10?34C.1.05×10?34J?SD.6.63×10?34J?S（3）A、B为厄米算符，那么下列各选项为厄米算符的是：B1iiA.(BA?AB)B.(BA?AB)C.AB+iBAD.(BA+AB)222i析：各个选项分别取厄米?看看就知道了。A?=1(AB?BA)B?=?(AB?BA)iBA?iABD?=(BA+AB)，选B。（4）对于中心力场，下列各式正确的是:C∫∞C?=∫B.A.∫0∞C.0μ(r)r2dr=1Rl(r)rdr=12∞μ(r)4πr2dr=1Rl(r)4πr2dr=10∫∞D.0其中：μr=Rl(r)r析：？？有些问题，先放着。??=????=??（5）经典力学中有Lr×p??=?p??×r，那么在量子力学中Lr×p??=?p??×r是否也成立。请说明理由。172.1.2011答：是。中科院量子力学历年试题详解??=??Lr×p??=(x??i+y??j+z??k)×(px??i+py??j+pz??k)=(ypz?zpy)??i+(zpx?xpz)??j+(xpy?ypx)??k=Lx??i+Ly??j+Lz??kk)×(x??i+y??j+z??k)=pxy??k?pxz??j?pyx??k+pyz??i+pzx??j?pzy??ii+py??j+pz??p??×??r=(px??=(pyz?pzy)??i+(pzx?pxz)??j+(pxy?pyx)??k=???r×p????2,Sz)的共同的本征态中，写出Sx,Sy的矩阵表示，并说明是否可以找到这样的（6）在(S一个表象，使得Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，说明理由。答：??2,Sz)的共同本征态中，Sx,Sy的矩阵表示为1：1、在(S()()??0?i??01,Sy=Sx=2102i02、因为σxσyσz=i，当Sx,Sy,Sz均为实矩阵时，σxσyσz=i与σxσyσz=i矛盾，故不存在一个表象使得Sx,Sy,Sz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵。2（7）写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示。答：氢原子：En=?En=nπ??222e22a1(a1=，一维简谐振子：En=(n+)??ω，一维无限深势阱：me22??22ma2，图暂略！（8）两个非全同粒子处于态ψ(x1,x2)，求出一个粒子处于p??1,p????1之间，另一个粒子处于x??2,x????2之间的几率。答：3在动量p??1,p????1之间的几率，应在动量表象下考量，ψ(x1,x2)在p1动量表象下的形式为：∫+∞ix1p1?ψ(x1,x2)edx1??p1|ψ(x1,x2)??=?∞波函数的平方才是几率密度，而且是归一化的波函数，一个粒子处于p??1,p????1之间，另一个粒子处于x??2,x????2之间的几率为：????2∫x????∫p????∫+∞ixp?2??11ψ(x1,x2)edx1??dp1dx2x??p???∞21+∞+∞ψ(x1,x2)dx1dx2?∞?∞1??rr二、已知p?r=(?p??+p?????)（1）p?r是否为厄米算符，为什么？（2）写出p?r的算符表示。（3）求出[?r,p?r]=？就是考察泡利矩阵实矩阵意味着什么呢？有什么物理意义？实在没想到很好的回答，只能用这个顶顶，感觉没回答上，请知道的告知我！3非全同粒子，各顾各，之间没联系2118目录返回CHAPTER2.详解答：（1）中科院量子力学历年试题详解1??r??r?1???r???r??1??r??r????=(?p??+p???)=(p???+?p??)=(?p??+p???)2rr2rr2rr??r，p?r是厄米算符。又p???=p??,??r?=??r，所以p???r=pp??r（2）?ψ??r?p??ψ=?i????er??ψ=?i??r?r??rψψψ3ψr?ψ?ψ?rp???ψ=?i????(??r)=?i??(????r+??r??)=?i??(+??r?)rrrrrr23ψ?ψψ?ψ??r2ψ?ψ3ψ+??r(?3ψ)]=?i??(+?)=?i??(+)=?i??[rrrr?rrr?r1??r??r1?p?r=(?p??+p???)=?i??(+)2rrr?r（3）[r,pr]=rpr?prr?ψψ?ψ)=?i??(ψ+r),rprψ=?i??r(+r?r?r[r,pr]=i??1??ψprrψ=?i??(+)(rψ)=?i??(ψ+ψ+r)r?rr三、（30??）有一质量为m的粒子在半径为?R的圆周上运动，现加一微扰：????V1,?α&?&0;H??=V(?)=V2,0&?&α;????0,其他其中α&π，求对最低两能级的一级修正。解：p2??22Hψ=Eψ[+V]ψ=Eψ[??+V]ψ=Eψ2m2m?1?2?1?1?22?=2(r)+2(sinθ)+2r?r?rrsinθ?θ?θrsinθ??2??2d2ψ=Eψ?2mr2d?2ψIE令I=mr2,k2=2有，d+k2ψ=0，解得：ψ=Aeik?+Be?ik?，由边界条件ψ(?0)=ψ(?0+2π)［任意角度与加上2π处的波函数相同，转了一圈回到原位置当然相同。］，有：2未受微扰时，R,θ为常数，有：Aeik?0+Beik?0=Aeik?0eik2π+Be?ik?)e?ik2π=?Aeik?0(1?eik2π)+Be?ik?0(1?e?ik2π)=0???B=0?A=0或=??k=0,±1,±2,????k=0,±1,±2,???即：ψ=Aeik?,k=0,±1,±2,???或ψ=Be?ik?,k=0,±1,±2,???当k取正负时，这两组解是相同的，故解表示为：ψ=Aeik?,k=0,±1,±2,???19目录返回2.1.2011归一化：∫2πψ?ψ?=1中科院量子力学历年试题详解11ik?k2??2A2π=1A=ψk=e,Ek=k=0,±1,±2,???2I∫0∫αVα(V1+V2)VV1αV2α12??E0=??ψ0|H??|ψ0??=+=d?+d?=2π?α2π02π2π2π2E1有简并，有：H11H1,?1∫0∫αVVα(V1+V2)12=??ψ1|H??|ψ1??=e?i?ei?d?+e?i?ei?d?=2π?α2π02π∫0∫αVV12=??ψ1|H??|ψ?1??=e?i?e?i?d?+e?i?e?i?d?2π?α2π0有些问题，先放着。？？？？？？？？？？？？？？？四、（30??）一粒子在一维无限深方势阱(0&x&a)中运动，时间t=0时处在基态。此时加入一个高为V0，宽为b(b??a)，中心在a的方势垒微扰。求t0(t0&0)时撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率。√2n2π2200解：无微扰时，波函数、能级为：ψn=asinnπx,E=na2μat0撤去微扰时，体系处于前三个激发态的概率为：跃迁到第一激发态ψ2的概率、跃迁到第二激发态ψ3的概率、跃迁到第三激发态ψ4的概率之和，即：1am=∫0t0??iωm1tHmdt,1eE,E1|a2(t0)|2+|a3(t0)|2+|a4(t0)|2∫∫1t0??iω21t1t0??iω31ta2=H21edt,a3=H31edt,00π22,E22μa1a4==∫t0??iω41tH41edt其中ωm1=15π2。2μa??Hm1==4π2,E32μa=9π22,E42μa=16π22,ω212μa=3π2,ω312μa4π2,ω41μa=2V0=??ψm|H|ψ1??=a??∫a?bmπxπxV0sinsindx=aaa∫[a?bππ]cos(m?1)x?cos(m+1)xdxaa1利了用积化和差公式：sinαsinβ=?(cos(α+β)?cos(α?β))。又由于b??a，对积分近bb似，一维积分就是求面积，将这个积分近似为微小矩形的面积，宽为：a+?a?=b，高为πmππmππcos(m?1)πa?cos(m+1)a=cos(+)?cos(?)，有4：V0b[mππmππ]??Hm1=cos(+)?cos(?)a2222利用三角公式：cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ，有：mππmππmπmππ+)=coscos?sinsin=?sincos(2222222mππmππmππmπcos(?)=coscos+sinsin=sin22222222V0bsinmπ??Hm1=?a∫mπ∫t02Vbsin2V0bsinmπ1t02V0bsinmπ0iωm1tiωm1tam(t0)=(?)edt=?edt=eiωm1t0i??0ai??aa??ωm10要对“微小”两个字敏感，对于所谓的“微小”情况，就要想到相关的近似，如积分可以直接看成矩形求面积，还有泰勒展开之类。420目录返回CHAPTER2.详解a2(t0)=a4(t0)=0中科院量子力学历年试题详解2V0bμa2iωm1t0a3(t0)=?ea??4π2于是t0撤去微扰，体系处于前三个激发态的概率为：abv0μ2a2b2V02μ22P=|a3(t0)|=(22)=2π4π44五、在(l2,lz)的共同表象中，粒子处于Y20态，求Lx的可能值及相应的几率。方法一：对于Ylm,Y20，利用m=0,lzYlm=m??Ylm,lzY20=0，这个特点。设(l2,lx)的共同本证态为|lm??x，将Y20或表示为|20??z用(l2,lx)的共同本征态表示5：2∑|20??z=Cm|2m??xm=?2对于升降算符求(l2,lz)共同本征态过程，可以看出，对(l2,lx),(l2,ly)而言也是相同的，只不过遵从轮换性质。在(l2,lz)表象下：l+=lx+ily,l?=lx?ily；在(l2,lx)表象下：√1(l?l)。利用l|lm??=??jm±1??，有：l+=ly+ilz,l?=ly?ilz,lz=?±+√√l±|2m??x=??(2±m)(3±m)|2,m±1??x=??|2,m±1??x√=??6?m(m±1)|2,m±1??x无论处于何种表象中，本征态的本征值不变。|20??是(l2,lz)表象lz中的本征态，故lz|20??=0。1由lz=(l?l?)，有：+2∑1lz|20??=(l+?l?)Cm|2m??x2im=?2且l?|2,?2??x=0,l+|2,2??=0，即：0=l+C?2|2,?2??x+l+C?1|2,?1??x+l+C0|2,0??x+l+C1|2,1??x+l+C2|2,2??x?l?C?2|2,?2??x?l?C?1|2,?1??x?l?C0|2,0??x?l?C1|2,1??x?l?C2|2,2??x√√0=2??C?2|2,?2??x+C?1|2,?1??x+??C0|2,0??x+2??C1|2,1??x?2??C?1|2,?1??x√√?6??C0|2,0??x?6??C1|2,1??x?2??C2|2,2??x√√√√0=(2C?2?0)|2,?1??x+(?1?1)|2,0??x+(0?2C2)|2,1??x+2C1|2,2??x?2C?1|2,?2??x∑2系数需为0才满足等式及归一化条件2m=?2|Cm|=1，有：??C1=C?1=0?????2C?√=0310?2=?|C0|2=,|C?2|2=|C2|2=√?48?C0?2C2=0????|C0|2+|C2|2+|C?2|2=1即：lx的可能测值为：2??,?2??,0，概率分别为：3,3,1。方法二：见曾书p333?p337中心思路：波函数可由一组正交归一的本征函数系表示，即本题中，用lx的本征函数表示Y20，各本征态前的系数的平方，表示测得各本征态对应本征值的概率。521目录返回2.1.2011??jm+1|jx|jm??=2中科院量子力学历年试题详解√l=2时，????0??00??√??????02??0√??√??lx=??02??02??√????002??0????000????0??????0????0????????????0??由此可求得lx的各本征态，将Y20用求得的本征态展开，??0???0????Y20=??1????0?方法三：见曾题集p214，6.6022目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.2一、2010?B?与Pauli算符对易，证明：(????)(????)=A???B??+i????×B??)（1）设A,σ?Aσ?Bσ?(A1?+σ?σ?为单位算符。（2）试将(I?x+iσ?y)表示成I,?x,σ?y,σ?z的线性叠加，I证明：??=σxAx+σyAy+σzAz????=σxBx+σyBy+σzAz（1）??σ=σx??i+σy??j+σz??k??σ?Aσ?B??)(????)=(σxAx+σyAy+σzAz)(σxBx+σyBy+σzBz)(??σ?Aσ?B=σxAxσxBx+σxAxσyBy+σxAxσzBz+σyAyσxBx+σyAyσyBy+σyAyσzBz+σzAzσxBx+σzAzσyBy+σzAzσzBz2?B?与Pauli算符对易和Pauli算符关系σα由A,=1,σασβ=iσγ，有：??)(????)=AxBx+iσzAxBy?iσyAxBz?iσzAyBx+AyBy+iσxAyBz(??σ?Aσ?B+iσyAzBx?iσyAzBy+AzBz=AxBx+AyBy+AzBy+iσx(AyBz?AzBy)+iσy(AzBx?AxBz)+iσz(AxBy?AyBx)???B??+i????×B??)=Aσ?(A（2）σx,σy,σz,I构成2阶复矩阵的完备基。说明了，任何一个2阶复矩阵（当然包括实矩阵）都可以由这四个矩阵表示出来6，有：√xy=C0I+C1σx+C2σy+C3σz两边平方：I+σx+iσy=(C0I+C1σx+C2σy+C3σ)(C0I+C1σx+C2σy+C3σ)22=C0+C0C1σx+C0C2σy+C0C3σz+C1+C0C1σx+C1C2σxσy+C1C3σxσz22+C2+C0C2σy+C1C2σyσx+C2C3σyσz+C3+C0C3σz+C1C3σzσx+C2C3σzσy由σx,σy,σz间反对易关系，σxσy+σyσx=0???，有:2222I+σx+iσy=C0+C1+C2+C3+2C0C1σx+2C0C2σy+2C0C3σz??2222??C0=1C0+C1+C2+C3=1?????????C=1?2CC=10112=?=?i????2C0C2=iC2=????????C0C3=0C3=0即:√1xy=1+(σx+iσy)2θθ二、设一维谐振子的初态为ψ(x,0)=cos?0(x)+sin?1(x)，即基态与第一激发态的叠加，其中θ为实参数：6证明见曾题集6.423目录返回2.2.2010（1）求t时刻的波函数ψ(x,t)；（2）求t时刻粒子处于基态及第一激发态的概率；?=（3）求t时刻粒子的势能算符Vmω22x中科院量子力学历年试题详解的平均值；（4）求演化成?ψ(x,t)所需的最短时间tmin。解：（1）1??ω3??ωEn=(n+)??ω,E0=,E1=,222iωt3iωtθθψ(x,t)=cos|0??e?+sin|1??e?22（2）t时刻处于基态的概率：7????2??θθ?iωθ??2??????P0=??0|ψ??=cose??=cos222t时刻处于第一激发态的概率：????2??θiωθ??2θP0=????0|ψ????=??sine???=sin222（3）mω22??V??=??x??2θθθθθθ??x2??=??ψ|x2|ψ??=cos2??0|x2|0??+sin2??1|x2|1??+cossine?iωt??0|x2|1??+cossineiωt??1|x2|0????2(a++a?)x2=(a2x=++a?+a+a?+a?a+)2mω2mω2??0|a2+|0??=0,??0|a?|0??=0,??0|a+a?|0??=0,??0|a?a+|0??=??0|a?|1??=1√√√22??1|a+|1??=0,??1|a?|1??=0,??1|a+a?|1??=1,??1|a?a+|1??=2??1|a?|2??=22??2|2??=22??0|a2+|1??=0,??0|a?|1??=0,??0|a+a?|1??=0,??0|a?a+|1??=0??1|x2|0???=??0|x2|1??=0即：θ??3??mω22??ωθ3??ωθ2θ??x??=cos?+sin???V??=??x??=cos2+sin222mω22mω24242（4）ψ(x,t)=?ψ(x,t)，有：???iωt?cosωt?isinωt=?1?e?=?1?ωt=nπ1=?=?n1,n2为奇数3ωt3ωt3ωt??e?3iωt?=?1cos?isin=?1=n2π222nππt=2n=，当n1=1,n2=3时，t为最小，t=ω3ωπ间tmin=2ω。2π，即：演化成ω?ψ(x,t)所需的最短时三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为：??0,t≤0?=H其中λ,T为常数t?λze?,t&07这里的绝对值应理解为取模24目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解（1）求很长时间后(t??T)电子跃迁到激发态的概率，已知基态中a为玻尔半径；已知基态：√112?r3r?rψ100(??r)=R10(r)Y00(θ,?)=eψ(??r)=R(r)Y(θ,?)=cosθeπa(2a)a（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。(a)ψ200(b)ψ211(c)ψ21,?1(d)ψ210解：tt???=λze?=λe?rcosθ,t&0（1）球坐标下：H∫1t??iωmnt????amn=Hedti??0mn???|ψ100??+??ψ210|H???|ψ100??+??ψ211|H???|ψ100??+??ψ21,?1|H???|ψ100??H??=??ψ200|H21根据球谐函数的对称性：8???|ψ100??=0,??ψ211|H???|ψ100??=0,??ψ21,?1|H???|ψ100??=0??ψ200|H具体分析下：r113rψ200=R20Y00=()(2?)e?a4a213rrψ210=R21Y10=()e?cosθ4aa113rrψ211=R21Y11=()e?sinθei?8aa113rrψ21,?1=R21Y1,?1=()esinθe?i?8aa???|ψ100??，θ方向：??ψ200|H∫π01cosθsinθdθ=2∫0π??π11??sin2θdθ=?cos2θ??=?(1?1)=0440π???|ψ100??，θ方向：??ψ211|H∫π∫sinθcosθsinθdθ=0013????πsinθdsinθ=sinθ??=0302???|ψ100??，θ方向：同上。??ψ21,?1|H所以基态电子跃迁到激发态(a)ψ200,(b)ψ211,(c)ψ21,?1的概率均等于零。（2）?????|ψ100??=??ψ210|HH21√∫2π∫π∫∞rt13112??r2?rcosθesinθrd?dθdrcosθre=????λe?4π(2a)aa000∫2π∫π∫∞t3rλ=e?d?cos2θsinθdθr4e?dr4πa4000题目只给了这两个波函数，显然其他的为0，不然就不会问第二问了，就出题而言也不合理了。就选择定则而言，除非?l=±1、?m=±1or0，不会发生跃迁，所以本题中，只能跃迁的激发态为第一激发态，但四个第一激发态均符合。这里根据球谐函数的对称性，可是我都不清楚，知道的朋友请告诉我怎么回事。对于这里的问题我会用最原始的问题分析，但肯定属于考试答题之外了。825目录返回2.2.2010tλ=e?4πa4中科院量子力学历年试题详解√2256a32?t?2π??=e3812435π其中：a21其中：∫0t??π213??cosθsinθdθ=?cosθdcosθ=?cosθ??=3300∫0∞∫∞3256a54!n!4?rn?axredr=5=xedx=n+1a81()00√√∫t??ttT132λa132λa??e?eiω21tdt??=(eiω21Te??1)=i??243i??243iω21T?102π2t??∫∫e???teiω21dt??=t∫0teiωT?1??t??iωT?1????ttTT=et??=(eiω21Te??1)iω21T?1iω21T?10√132λaT=i??2431?iω21Tω21E2?E1=e21En=?2an2当t??T时，e?≈0，即：a21跃迁概率为：W1→22?322λ2a2T2=|a21|=T2222431+ω212四、9两个质量为m的粒子处于一个边长为a&b&c的不可穿透的长盒子中，求下列条件下，该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。（1）非全同粒子（2）零自旋全同粒子（3）自旋为1的全同粒子解：注意：只写出空间部分，否则还有自旋部分10一个粒子处于长盒子中的波函数及相应能量为：√2n1πxn2πxn3πzφ(x,y,z)=sinsinsinabcabcπ2??2n2n2n2123en=(2+2+2)2mabcπx1πy1πz1πx2πy2πz28sinsinsinsinsinsinabcabcabcπ2??+e1=(2+2+2)mabc（2）零自旋全同粒子基态，零自旋粒子可以处于同一态，与非全同粒子基态相同：1ψ1(r1,r2)=[φ1(r1)φ1(r2)+φ1(r2)φ1(r1)]=φ1(r1)φ1(r2)21（3）自旋为的全同粒子基态，由于a&b&c，无简并，第二低能态为n1=2,n2=1,n3=1，有：√πyπz22πxsinsinφ2(r)=sinabcψ1(r1,r2)=φ1(r1)φ1(r2)=1ψ1(r1,r2)=[φ1(r1)φ2(r2)?φ2(r1)φ1(r2)]910（1）非全同粒子基态：同类型的题见：2007A第四题盒子中一个粒子的波函数就是各个一维势阱波函数的叠加26目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解π2??11π2??2622E1=e1+e2=(2+2+2)+(2+2+2)=(2+2+2)mabcmabcmabc的全同粒子基态是什么情况？这时就有简并，(n1,n2,n3)有(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)，具体如下：1ψ1(r1,r2)=[φ1(r1)φ2(r2)?φ2(r1)φ1(r2)]φ2存在简并，三重：?????φ112(r)=?????φ2(r)=φ121(r)=?????????φ211(r)=√?22πxπy2πz2π??11??sinsinsin?++?aaa22?abcmaa?√6π2??2?π2??212πx2πyπz4e2==sinsinsin2+2+?ma2aaa?maa?√?22?π??4122πxπyπz??2+2+sinsinsinmaaaaa??1???[φ1(r)1φ112(r2)?φ112(r1)φ1(r2)]?????9π2??21ψ1(r1,r2)=[φ1(r)1φ121(r2)?φ121(r1)φ1(r2)]E1=e1+e2=?ma2?????1???[φ1(r)1φ211(r2)?φ211(r1)φ1(r2)]讨论：当盒子是方盒子即a=b=c时，自旋为14a21a21a2?=λδ(x?a)的微扰作用：五、11粒子在一维无限深势阱中运动。设该体系受到H（1）利用微扰理论，求第n能级精确到二级的近似表达式；（2）指出所得结果的适用条件。解：不知是题目没写清楚，还是怎么的。这个无限深势阱是怎样的也没说清楚。应该是这样：缺图。（1）√1nπxn2π2??20φn=sinEn=a2a8ma2?∫2a?0,n为偶数1λnπxnπ100En=??ψn|H??|ψn??=λδ(x?a)sin2dx=sin2=?λ,n为奇数a2aa20n??2∑|Hkn|2=En=0?n为奇数时：Enkk=nk=1??n为偶数时：8mλ21[+1+1+???]其中：??Hkn11λ??0=??φ0|H|φ??=kna∫2aδ(x?a)sinkπxnπxsindx2a2a同类型的题见：2001理论型第一题27目录返回2.2.2010?????n为偶数,k=n,中科院量子力学历年试题详解0=kπnπλsinsin=n为奇数,k为奇数,k=n,λ?a22???n为奇数,k为偶数,k=n,0（2）适用条件讨论：????????????λ????Hkn??????a??????1即：??????1,要求λ很小。??E0????E0??nknk28目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.32009??????010????????????lx=??101????????010??一、（30??）已知在(l2,lz)的表象中，求：（1）lx的本征值和相应的本征函数；（2）ly的矩阵表示。解：1二、已知一粒子处于一维谐振子势场中运动，势能为V(x)=kx2(k&0)，求：（1）粒子的基态本征函数ψ0(x)；（2）若势场突然变为V??(x)=kx2，则粒子仍然处于基态的概√√√4i(?x+p?),=1.414,=1.189。率。提示：用湮灭算符a??=解：（1）a??ψ0=01d[mωx+i(?i??)]ψ0=0dx1a??=(mωx?+ip?)dψ0mω=?xψ0dxmω2dψ0mω+xψ0=0dxmω2x+C2??dψ0mω=?xdxψ0lnψ0=?∫归一化：1=|A|2+∞ψ0=Ae?xA=(√?mω22exdx=|A|π??mωψ0=(?∞mω1)其中利用：π??∫∞e?axdx=212√amω1?mωx2)eπ??=1m(（2）势场突然变为V(x)=kx=函数为：??21(2k)x2√ω)2x2，解的形式不改变，此时基态波√m1?√x2??ψ0(x)=()eπ??+∞√mω?(+mω)x2√∫∞√√1?mω(x2edx=(2)?2edxπ???∞π??0√√√√1√112π??12=(2)?2??=(2)π??2mω+1+1√√42??仍然处于基态的概率为：|??ψ0(x)|ψ0(x)??|=2?1)。√1????ψ0(x)|ψ0(x)??=(2)∫√说明：像这种突变。波函数是未来的及改变，但势场变了，本征函数系是发生了改变。这里的特殊之处在于，改变后的波函数是未改变前的基态本征函数，而且又求的是仍然处于基态的概率，容易让人搞混，当然也可以求处于激发态的概率。这里的关键是要分清哪个是波函∑数，哪个是本征函数。波函数可以由一组完备的本征函数系表示，如ψ=anφn。φn前的系数的平方就是测得该本征态φn的概率（前提已归一化），也就是处于该本征态的概率。29目录返回2.3.2009中科院量子力学历年试题详解1?三、12（30??）若已知[?ai,a?j]=[?a???ai,a??a1a?2+j]=0,[?j]=δij，其中i,j=1,2。设Jx=2(?i,a???i1?a??a?),J=(?aa??a?a?),J=(?aa??a??1)，求：1y21z2222（1）Jx,Jy,Jz的关系式；（2）J2=Jx+Jy+Jz，试用a?1,a???2,a??1,a2表示J。解：（1）i?i?i?1?????2+a??a?),a??a?a?)]=a?,(?aa??a?a?)]+?1,(?a??2?a???1)][Jx,Jy]=[(?a1a(?a[?a[?a2aa2a112244i?i?i?i???=[?a1a?2,a??a?]?[?aa?,a?a?]+[?aa?,a?a?]?[?a2a?1,a???1]a4444i?i??i?i???=?a?1[?a2,a??a?]?[?a,a?a?]?a+a?[?a,a?a?]+[?a,a?a?2]?a42421i?i?i?i?i?i?1?=?a?1a?1+a?2a?2+a?2a?2?a?1a?1=a?2a?2?a?1a?1=i(?a2a?2?a???1)=iJz1a4444222（2）222+JzJ2=Jx+Jy1?1?222Jx=[(?a1a?2+a??a?)]=[(?a1a?2)+a???2a???1+a???1a???2+(?a??1)2]211a2a2a1a2a24i?1?2?????22Jy=[(?a1a?2?a?2a?1)]=?[(?a1a?2)?a??a?a?a??a?a?a?a?+(?a?1)2]1?1?222Jz=[(?a2a?2?a??a?)]=[(?a2a?2)?a???2a???1?a???1a???2+(?a??1)2]112a1a1a2a1a241?1?2???????J2=(?a1a?2a??a?+a?a?a?a?)+[(?aa?)?a?a?a?a??a?a?a?a?+(?a?1)2]???a?)+?1]a?+a?a?a??2+(?a??1)2+a???2a???2)+a??=(?a1a[(?a2a1a1???????=(?a1a?2a??a?+a?a?a?a?+a?a?a?a?+a?a??2a?2)a41=[(?a2a???1a??a??1+(?a2a???1a??a??2]2+a1)?1a2+a1)?2a411???????a1a??+a?a?)(?aa?+a?a?)=(2+a?a?+a?a?)(?aa?+a??2)=(?12a44NN=(+1)其中：N=a???1+a???21a2a22其中：a???2a???1=a???1a?2a??1a2a1a2a???1a???2=a???2a?1a??2a1a2a1a???1a?2a?????1a???2=a???1(?a2a?????2)=a???11a2?a1a2a1a2?a2a1aa???2a?1a?????2a???1=a???2(?a1a???a???1)=a???22a1?a2a1a2a1a2a?????2(?a?a?)+a?a?=(?aa?+1)?aa?=a?a??1a?a(?a??2)2+a???2=(?a??2+2)?a??2=a?2a?????22a2a2a2a2a2aa???2a???1=a?2a?????11a2a2a1aa???1a???2=a?1a?????22a1a1a2aa?2a?????1+a?1a?????1=(?a2a???1a??a??12a1a1a1a2+a1)?1aa?1a?????2+a?2a?????2=(?a2a???1a??a??21a2a2a2a2+a1)?2a我是没技巧，全是死算，头都晕了！！！（其四、（30??）已知两种中微子的本征态为|V1??和|V2??，能量本征值为E=pc+中i=1,2），电子中微子的本征态为|Ve??=cosθ|V1??+sinθ|V2??，μ子中微子的本征态为m2c412抽自曾书10.3节，没想到简便方法，有的话请告诉我！30目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解|Vμ??=?sinθ|V1??+cosθ|V2??，其中θ是混合角。某体系中在t=0时，电子中微子处于态|Ve??，求：（1）t时刻中微子所处的状态；（2）t时刻电子中微子处于基态的概率。解：（1）由|Ve??=cosθ|V1??+sinθ|V2??有：|Vμ??=?sinθ|V1??+cosθ|V2????cosθ|V??=cos2θ|V??+sinθcosθ|V??e12?sinθ|Vμ??=?sin2θ|V1??+sinθcosθ|V2????sinθ|V??=sinθcosθ|V??+sin2θ|V??e12?cosθ|Vμ??=?sinθcosθ|V1??+cos2θ|V2??=?|V1??=cosθ|Ve???sinθ|Vμ??=?|V2??=sinθ|Ve??+cosθ|Vμ??t时刻中微子所处的状态为：V(t)=cosθ|V1??e?=[cos2θe?2iEt+sinθ|V2??e??iEtiEtiEt=cosθ[cosθ|Ve???sinθ|Vμ??]eiEt+sinθ[sinθ|Ve??+cosθ|Vμ??]eiEt?iEtiEt+sin2θe?2?iE1t]|Ve??+[sinθcosθe?2?iE2t?sinθcosθe?]|Vμ??（2）t时刻中微子处于电子中微子|Ve??的概率为：|??Ve|V(t)??|=|cosθe=(cos2θe4+sinθe|2iE1tiE1t+sin2θe22iE2t)(cos2θe?+sin2θe?22iE2t])i(E?E)t+sinθ+cossinθeE1?E2=cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θcostE1?E2=1?sin22θsin2t2??其中：ei?+e?i?=cos?+sin?+cos??sin?=2cos?=cosθ+cosθsinθei(E?E)t4?cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2?2sin2θcos2θ=1?2sin2θcos2θxxxE1?E2E1?E2cosx=cos2?sin2=1?2sin2cost=1?2sin2t2222??验证下，当t=0时，|??Ve|V(t)??|2=1符合题意。电子中微子|Ve??=cosθ|V1??+sinθ|V2??处于基态|V1??的概率为：cos2θ，所以t时刻电子中微子处于基态的概率为：E1?E2cos2θ(1?sin22θsin2t)2??评：这题计算不算复杂，但真的考查对量子力学的理解，态的理解。t=0时刻是电子中微子，到了t时刻就不知道是电子中微子还是μ中微子，先求到处于电子中微子的概率，再求电子中微子处于基态的概率。要注意的是，能量本征值是和本征态是对应的，想想定态薛定鄂方程的分离变量过程，本题中还好，但这是要清楚的。31目录返回2.3.2009中科院量子力学历年试题详解rλr五、(30’)设在氚核中，质子和中子的作用表示成V(r)=?V0e?，试用ψ=e?（λ为变数）为试探波函数，以变分法求：（1）基态能量的近似值；（2）若V0=32.7Mev,a=2.16fm，试确定λ的值。解：（∫1）先对试探波函数归一化：∫∞28πa3??λr2ψψdτ=4πerdr=4πλ3=3λ()0∫其中：0∞xne?axdx=n!an+1能量平均值为：??H??=??T??+??V??∫∫∞3rλ3λ???r2?λrerdr??V??=ψ(?Ve)ψdτ=?(?4πV)e008πa38πa30∫∞λ3λ32λ3?λ+1r2=?(?4πV0)erdr=?(?4πV0)?3=?V3308πa38πa(λ+1)()0l(p+),p=???(+)=???r=???，这里选用pT在球坐标下为T=1rrr=?2???21r。由于本题中ψ只含径向分量，故l2对其作用为0，有：∫32∫∞2λ31lλ??1?2??λr22?λr[(]rdr??T??=ψ(p+)ψdτ=?4π?(?)er)er8πa32mr28πa32m0r?r2∫∞∫∞∫∞22λrλrλrλr?1???2???λr2)]dre?[(r)e]rdr=re()redr=[(rer?r2?r2?r000∫∞∫∞λrλλ2λ?λrλ22?λr?λr??r=[e+re?(?)]dr=(e?re+2re)dr2aa4a00aλa2λ2a2a=?()+2?2()3=λaλ4aλλ感觉这个技巧有些问题！跟直接算对不上号：？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？λλλ?λ(re?r)=e?r+re?r?(?)?r2aλλ?2λ?λrλ?λrλλλ?λrλ2?λr?r?r(re)=(?)e+(?)e+(?)re?(?)=?e+2re2?r2a2a2a2aa4a22λλ1?λλrλ2?λr?r)]=?+re?r[(rerere22r?ra4aλ3??22aλ2??2??T??=?4π?(?)?=?8πa32mλ2ma2d??H(λ)??λ2??2λ3λ??23λ2??H(λ)??=?V0=?V0=02ma2(λ+1)3dλma2(λ+1)42232目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.42008一、（30??）写成氢原子的束缚态能级，所有量子数以及取值范围，求出其简并度。a0=n：1,2,3,???；角量子数l：2a0n2me20,1,2,(n?1),???；磁量子数m：0,±1,±2,±l；简并度：n2。答：束缚态能级为：En=?二、（30??）一个粒子质量为μ，在一势能环中运动，势能??0,0&?&?0V=?∞,other求粒子运动的本征值和本征函数。解：方法一在2π&?&?0中，V=∞，ψ=0。在0[&?&?0定态薛定鄂方程：]2??2??1?21?122??+V(r)ψ=Eψ?=r+2(sinθ)+22mr?r2rsinθ?θ?θrsinθ??2在势能环中运动r,θ为常数，与其相关的微分项都为0。可以认为θ=π，即是在xy平面上的圆环，因为总可以通过坐标变换得到。在弧中有：??2?2?22IE222?ψ=Eψψ+kψ=0令μr=I,则k=2μr2??2??22解得：ψ(?)=Aeik?+Be?ik?由边界条件，?ψ(0)=0,ψ(?0)=0，有：?ψ(0)=A+B=0?ψ(?0)=Aeik?0+Be?ik?0=0sink?0=0ψ(?)=Ae归一化：∫0?0inπ?0e21??2eik?0?e?ik?0=0k=2isink?0=0k?0=nπ?Ae?imπ?nπn=0,±1,±2,????0nπ?mπ?=2iAsin=Csin?0?0∫0?0ψψd?=C√ψ(?)=方法二?∫2?0nπ?sin2d?=C2?0112nπ??0(?cos)d?=C2=122?02??22n2π2??2E=k=2I2I?0nπ?sin?0?0n=0,±1,±2,???所谓方法二就是在解那个薛定鄂方程时，采用不同的通解形式，不同的边界条件用不同的形式，或许有利于计算。33目录返回2.4.2008中科院量子力学历年试题详解其通解为：ψ(?)=Asin(k?+δ)，由边界条件，ψ(0)=0,ψ(?0)=0，有：???Asin(0+δ)=0?δ=0n=0,±1,±2,???=??Asin(k?0+δ)=0?k=nπ0这样解起来就简便些。??1λ0??三、（30??）求在H=?λ30?中粒子的本征值，设λ??1，利用微扰求其本征值（精00λ?2确到二级近似）并与精确求解相比较。解：（1）近似解????0λ0100????将H??=?λ00?视为微扰，H0=?030?，有：00λ00?2??11=0E1=HnnEn∑|H??|2nk2Ek=0Enkn=k2E21=0E21E3=λ2E1??2??2|H21|H31λ2λ2||=+==?E12E131?32??2??2|H13||H23|=+=0E31E320E2??2??2|H12||H32|λ2λ2=+==E21E233?120E11E12E12E3λλ2E1=++=1+0+(?)=1?22012E3=E3+E3+E3=?2+λ+0=λ?2（2）精确解E2=+1E2+2E2λλ2=3+0+=3+22??????1?Eλ??0????????0??λ3?E??=0??????00λ?2?E??(1?E)(3?E)(λ?2?E)?λ2(λ?2?E)=0E=λ?2√√222(1?E)(3?E)?λ=0=?E?4E+3?λ=0=?E=2+2?（3）近似解与精确解的比较√√2??，于是：将在0处泰勒展开f(x)=f(0)+f(0)x，有：≈1+λ22√√λλE=2+1+λ2≈3+E=2?1+λ2≈1?22可见微扰第三能级近似解与精确解相同，第一、第二能级是精确解的泰勒展开。)()(?iωt1cosθe1??，求系四、（30）两个自旋为2??的粒子，两个粒子分别为χ1=，χ1=sinθe?iωt0统处于单态和三态的概率。解：将χ1,χ2分别表示成：χ1=α1,χ2=cosθe?iωtα2+sinθe?iωtβ234目录返回CHAPTER2.详解则这个双粒子系统的自旋波函数为：ψ=cosθe?iωtα1α2+sinθe?iωtα1β2中科院量子力学历年试题详解处于单态χ00的概率为：√√??√???iωt?iωt??χ00|ψ??=12(α1β2?β1α2)(cosθeα1α2+sinθeα1β2)=12sinθe?iωtP00=|??χ00|ψ??|2=处于χ11的概率为：??χ11|ψ??=α1α2(cosθe?iωtα1α2+sinθe?ωtα1β2)=cosθe?ωtP11=|??χ11|ψ??|2=cos2θ处于χ1,?1的概率为：??χ1,?1|ψ??=β1β2(cosθe?iωtα1α2+sinθe?iωtα1β2)=0P1,?1=|??χ1,?1|ψ??|2=0处于χ10的概率为：11??χ10|ψ??=(α1β2+β1α2)(cosθe?iωtα1α2+sinθe?iωtα1β2)=sinθe?iωt1P10=|??χ10|ψ|2=sin2θ212sinθ211sin2θ，处于三态的概率为：cos2θ?sin2θ13。于是系统处于单态的概率为：??五、（30??）处在一维谐振子势基态的粒子受到微扰H0)作用，求跃迁到其他各激发√[√=λxδ(t]1n+1态的总概率和仍处在基态的概率。已知：xHn=+Hn+1。n?1析：虽然是“已知”但还是想看看，它是怎么来的：√√????x?=(?a+?a??)x?|n??=(?a+|n??+a??|n??)2μω2μω√√√√√√????n+1x?|n??=(n+1??+n?1??)=(|n?1??+|n+1??)2μωμω22[√]√μωn+11令：a=,有：xHn=Hn?1+Hn+122解：1am(t)=i??由xHn=∫0t??Hmkeiωmktdt????(k→m)n+1Hn+12ωmk=1[√2xmn，有：[√]√1n+1=??ψm|x?|ψn??=δm,n?1+δm,n+122n?1+√]Em?Ek????Hm?|0??0=??m|H|0??=λδ(t0)??m|x1xm0=δm,1曾疑虑，基态用不了这个公式，会有δm,?1，没有这个负能级，觉得不对。但是这是δ函数，既然没有，那就为0呀！13当然了处于三态的概率可以直接一减去处于单态的概率，不必把处于三态的概率一个个都求出来35目录返回2.4.2008中科院量子力学历年试题详解由xm0可以看出，只能跃迁到第一激发态，其余能级跃迁概率为0，有：λ??H10=δ(t0)∫t1λE1?E01λ??a1(t)=δ(t0)eiω10tdt??=eiωt0ω10==ωi??0i??|a1(t)|2=?1λ?iωt01λiωt0λe?e=2i??i??a??λ。于是跃迁到其他各激发态的总概率为：λ，仍处于基态的概率为：1?36目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.52007A一、（30??）在一维无限深方势阱(0&x&a)中运动的粒子受到微扰?a2a?0,0&x&,&x&a??H(x)=??V1,a&x&2a作用。试求基态能量的一级修正。解：缺图！！n2π2??2==2ma2[∫]∫∫12V122πx1??02πxVdx=?dx?dxE1=??φ0|H|φ??=?sincos111aaaaaa2a[][]2a??2V1aa2πx??2V1aa4π2π=??sin=??(sin?sin)??a62πaaa62π33112V1[aa]=?V1(+)=?+a62π3π2x其中用到：cos2x=cos2x?sin2x=1?2sin2xsin2x=1?cosφ0nnπxsinaa0En无微扰时，波函数和本征值为：√基态能量的一级修正为：π2??2V1V1E1=??2ma23π二、（30??）粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态ψn(x)中。试证明粒子所受势场的作用力的平均值为0。证：势场作用力为：F=?F=???F??=?V(x)?x1?11?V(x)=(?i??V(x))=[px,V(x)]=[px,H]?xi???xi??i??111??ψn|[px,H]|ψn??=??ψn|pxH|ψn?????ψn|Hpx|ψn??i??i??i??11=En??ψn|px|ψn???En??ψn|px|ψn??=0i??i??三、（30??）1?2,S?z)表象中求算符AS?y+BS?z的本征值及归一化的本（1）考虑自旋为的系统。试在(S?y,S?z是自旋角动量算符，而A,B为实常数。征态。其中S?y得到结果为（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量S37的概率。目录返回2.5.2007A中科院量子力学历年试题详解()()0?i?2,S?z)表象中，Sz=10解：（1）(SS=y0?1i0[()()]()()B00?iAB?iA??B?iA?y+BS?z=??AS+==22iA?BiA00?BiA?B??????B?λ?iA??????????=0??iA?B?λ????22??222?(B?λ)?A=044??√A+Bλ=±2()()√?i2AB?2a2=0iA?B?b222??√?a=1?a(B??ibA=0√√?iAa?b(B±)=0?b=B???a=iAiA?????????(B?λ)(B+λ)?(?iA)(iA)=02222??22λ=(A+B2)42本征态乘以常数无所谓，改写为：，归一化：√?b=B?()()√√iA2222)=1√C=1C(A+(B??iAB?B?[]1C=2A+(B?2[(])iA1√B?A2+(B?)2()11?2,Sz)表象下，S?y的本征值为的本征态为?y得到结果为（2）在(S，则测量Si率为：??()??2????()??21??iA??1????√P±=????Sy=|ψ±????=1?i????22A2+(B???B???√1[A?(B?)]2=22A+(B?)|ψ±??=则本征值、本征态分别为：??√2A+B2E±=±2的概评：方法挺简单，就是计算搞得太复杂。四、14两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中(0&x&a)中，对下列两种情况写出两粒子体系具有的两个最低总能量，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。（a）两个自旋为141的可区分粒子；同类型题见：2010第四题38目录返回CHAPTER2.详解（b）两个自旋为12中科院量子力学历年试题详解的全同粒子。解：一个粒子处于该一维无限深势阱时，波函数与能量为：√nπxn2π2??22φn=sinen=aa2ma（a）两个自旋为（1）基态：φ1(x1)φ1(x2)α1α2能量为：E1=π2??2ma2φ1(x1)φ1(x2)α1β2φ1(x1)φ1(x2)β1β2φ1(x1)φ1(x2)β1α21的可区分粒子：4。（2）第一激发态：φ1(x1)φ2(x2)α1α2φ2(x1)φ1(x2)α1α2能量为：E2=π2??2φ1(x1)φ2(x2)α1β2φ2(x1)φ1(x2)α1β24π2??25π2??2φ1(x1)φ2(x2)β2β2φ2(x1)φ1(x2)β2β2φ1(x1)φ2(x2)β1β2φ2(x1)φ1(x2)β1β2+=，简并度为：8。2ma22ma22ma2（b）两个自旋为1的全同粒子，无简并：（1）基态：1φ1(x1)φ1(x2)[α1β2?α2β1]π2??2ma2??1???[α1β2+β1α2]能量为：E1=（2）第一激发态：1[φ1(x1)φ2(x2)?φ2(x1)φ1(x2)]?α1α2????β1β25π2??22ma2能量为：E2=3。讨论：1、第一问的解答用的是角动量非耦合表象，选用的自旋力学量完全集是(S1z,S2z)，各本征态分别是：α1α2,β1β2,α1β2,β1α2。还可以用角动量耦合表象，选用的自旋力学量完全集是(S2,Sz)，各本征态分别是：1|00??=[α1β2?β1α2]?????α1α21|1s??=[αβ+β1α2]12????β1β239目录返回2.5.2007A其中s取值分别为：0,±1。于是第一问还可以写成：1（a）两个自旋为2的可区分粒子，波函数不必对称化：（1）基态：φ1(x)φ1(x2)|00??能量为：E1=π2??2ma24。φ1(x1)φ1(x2)|1s??中科院量子力学历年试题详解(s=0,±1)（2）第一激发态：φ1(x1)φ2(x2)|00??φ1(x1)φ2(x2)|1s??φ2(x1)φ1(x2)|00??φ2(x1)φ1(x2)|1s??(s=0,±1)+=8。2ma22ma22ma22、对于第二问，是自旋为1的全同粒子，不能用非耦合表象，我想是要满足对称性吧。对称空间波函数配反对称自旋波函数，反对称空间波函数配对称自旋波函数。反对称就是减号的那个。五、（30??）一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动。不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。解：球坐标下定态薛定鄂方程[]2?l++V(r)ψ=Eψ2m2mr2p?2r能量为：E2=π2??24π2??25π2??2在a&r&b之外，ψ=0。在a&r&b中，V(r)=0，定态薛定鄂方程为：[]22?p?rl+ψ=Eψ22m2mr将ψ=Rn(r)Ylm(θ,?)代人：?l2p?2rRn(r)+Rn(r)Ylm=RnYlmEYlm2m2mr22[]2p?2l(l+1)??r+Rn(r)=Rn(r)E2m2mr221?p?22=???r，对于基态l=0，有：??21d2?rRn(r)=Rn(r)E2mrdr2设R1(r)=μ(r)，有：dμ+k2μ=02dr其解为：μ(r)=Asin(kr+δ)由边界条件μ(a)=μ(b)=0，有：??sin(ka+δ)=0?sin(kb+δ)=k=2√k=√2mE2a≤r≤b2mE2???δ=?kanπ??k=b?a40n=1,2,3???目录返回CHAPTER2.详解]nπμ(r)=Asin(r?a)b?a归一化：∫bnπ(r?a)dr=1A2sin2b?aa∫A2ab中科院量子力学历年试题详解[2nπ1[1?cos(r?a)]dr=12b?n??b21??Ar??=12a√A=b?a1(1?cos2x)其中用到：cos2x=cos2x?sin2x=1?2sin2xsin2x=√[]nπn2π2??2μ(r)=sin(r?a)En=b?ab?a2m(b?a)2√μ(r)由R1(r)=,ψ100=R1(r)Y00(θ,?),Y00(θ,?)=1，有：?√[]?11nπ??sinr?a),a&r&bn2π2??22π(b?a)rb?aEn=ψ100(r)=?2m(b?a)2??0,0&r≤a,r≥bn=1,2,3???41目录返回2.6.2007B中科院量子力学历年试题详解2.62007B??V,x&0(V&0)00??一、（30）考虑一维阶梯势V(x)=，设粒子从右边向左边入射，试求?0,x&0反射系数和透射系数。解:缺图??2?????ψ+V0ψ=Eψ2m2m(E?V0)ψ=022k1=2m(E?V0)（有透射，也有反射，有ψ????+当x&0，设E&V0，解为：ψ1=e?ik1x+Beik1x,向右，向左的波）2当x&0，解为：ψ2=Ce?ik2x,k2=2mE（只有向左的波）反射系数：R=|B|2，透射系数：T=1?|B|2；由波函数及波函数的一阶导数在x=0处的连续条件得：ψ1(0)=ψ2(0)1+B=C??ψ2=?ik2Ce?ik2x?k2?k2B=?k2C?k1+k1B=?k2Ck1?k2k1+k2??????ψ1(0)=ψ2(0)ψ1=?ik1e?ik1x+Bik1eik1xB=反射系数为：√??2????2??√????2??k1?k2???V????00????=R=????k1+k2??=????0+??0+T=1?0+V02透射系数为：二、（30??）电子处于沿+z方向、大小为B的均匀磁场中。设t=0时刻电子自旋沿+y方向。（1）试求t=0时电子自旋波函数；（2）试分别求t&0时，电子自旋沿+x,+y,+z方向的概率。解：（1）??e??相应的磁矩）为：??电子的内禀磁矩（与自旋Sμs=?e??σ=???s，内禀磁矩的值（Bohr????的相互作用能）为：磁子）为μB=e；电子在磁场中的哈密顿量（电子内禀磁矩与外磁场B??。在本题中，磁场沿+z方向，于是H为：H=???μs?Be??BeBσz=ω??σzω=称为Lamor频率H=μBB=2mc2mc可见在sz表象下，H的本征值和本征态分别为：ω??,α;42?ω??,β目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解在t=0时刻电子沿+y方向，即电子波函数为算符σy本征值为+1的本征函数，在sz表象下为：()11ψ(0)=i如不记得，可以简单推到，如下：()()()()0?i0?iaaσy==i0i0bb然后归一化就OK。将ψ(0)用H的本征函数系表示，有：()()011i1iψ(0)=+=α+β01则ψ(t)为：1ψ(t)=αeiωt()?()??ib=aa==??ia=bb??a=1?b=i?ibia?2?=p四、（30??）设系统哈密顿算符为H+V(??r)，粒子处于归一化的束缚定态ψn中。试证明Virial定理：p?21??ψn||ψn??=??ψn|??r??V(??r)|ψn??2m2证明：位力定理的证明属于基本的必须掌握内容d??A??1=??[A,H]??dti??在束缚态下，??[??r?p??,H]??=d????r?p????dt=0，即：??[??r?p??,H]??=0d????r?p????1=??[??r?p??,H]??dti??1??[??r?p??,p2]??+??[??r?p??,V(r)]??2m22[??r?p??,p2]=[xpx+ypy+zpz,p2]=[xpx,p2]+[ypy,p2]+[zpy,p2]=[x,p2x]px+[y,py]py+[z,pz]pz[x,p2x]=px[x,px]+[x,px]px=2i??px[??r?p??,p2]=2i??p2[??r?p??,V(r)]=[xpx+ypy+zpz,V(r)]=x[px,V(r)]+y[py,V(r)]+z[py,V(r)]???ψ??=?i??ψV(r)[px,V(r)]ψ=?i??(V(r)ψ)+i??V(r)ψ=?i??ψV(r)?i??V(r)?x?x?x?x?x???[px,V(r)]=?i??V(r),同理：[py,V(r)]=?i??V(r),[pz,V(r)]=?i??V(r)?x?y?z[??r?p??,V(r)]=??r?(?i???V(r))=?i????r??V(r)1?2i????p2???i??????r??V(??r)??=02m即：p?21??ψn||ψn??=??ψn|??r??V(??r)|ψn??2m243目录返回同理：[y,p2y]=2i??py,[z,p2z]=2i??2.6.2007B中科院量子力学历年试题详解?=p五、（30??）一维谐振子系统哈密顿量为H+mωx，设受到微扰H=?λp?x的作2m2用。试求对等n个谐振子能级的一级微扰修正。√√√??（已知矩阵元??n|x?|n??=2mω(n??,n+1+n??,n1)）解：方法一：220220H??=?λp4+V2?H0V?VH0)x=?λ(px)=?λ[2m(H?V)]=?4λm(H2由位力定理2??T??=??x??1V(x)??=??x?mω2x?2??=2??V???x2022En0??T??=??V??=En2V|n??=En|n??222EnEn0??n|VH|n??=??n|H|n??=??n|HV|n??=222??????n|H|n??=?4λ??V??=?4λm?mω??x??=?λmω?(2n2+2n+1)2244mω3=?λm2ω2??2(2n2+2n+1)4其中x?=√(?a++a??)2mωx?2=??(?a2?2?+a??+a??a?+)++a?+a2mω??x?2??=??(1+2n)2mω??2222(a2x?=++a?+1+2a+a?)(a++a?+1+2a+a?)224mω??2=(?a4?2?2?2a2?+a??+a?2?2?4?2a2?+a??++a+a?+a++2?+a?a++a?+a?+2??a224mω+a?2?2a+a??+2?a+a??a?2a+a??a?2a+a??+4?a+a??a?+a??)++a?+1+2?++2??+2?4??2(??a?2?2?2?2?+a????+4??a?+a??a?+a????)??x???=+a???+??a?a+??+1+4??a224mω√√√√√√222a?2a?|n??=a?a?|n?1??=a?n??=a+|n?1??2+?+?+√=|n??=n(n?1)|n??√√√2222a??a+|n??=a??a?+n+1??=a?n+2??=a??n+1??√√=n??=(n+1)(n+2)|n??4??2??222[n(n?1)+(n+1)(n+2)+1+4n+4n]=(6n+6n+3)??x??=4m2ω24m2ω23??2=(2n2+2n+1)224mω4方法二：改写H??：H??=?λp4x=?λ(px)=?λ[2mH?mωx]?02+m4ω4x4?2m3ω2H?0x2?2m3ω2x2H?0)=?λ(4m2H131??H????=?λ[4m2ω2??2(n+)2+m2ω2??2(2n2+2n+1)?m2ω2??2(n+)(1+2n)??2(n+)(1+2n)]244目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解3=?λ[m2ω2??2(1+2n)2+m2ω2??2(2n2+2n+1)?m2ω2??2(1+2n)2]43=?λm2ω2??2(2n2+2n+1)4方法二显然比较复杂，所以深度很重要！45目录返回2.7.2006中科院量子力学历年试题详解2.72006一、一个质量为μ的粒子被限制在?a≤x≤a内运动，t=0时处于基态。现势阱突然向两边对称地扩展一倍，即在?2a≤x≤2a内运动。问：（1）t=t0(&0)时粒子处于新系统基态的几率；（2）t=t0时粒子能量的平均值。解：（1）未扩展前，本征函数为：??nπx1???sin(n为偶),?a&x&a?(x)=?2a?1???(x)=cosnπx(n为奇),?a&x&a2a???????(x)=0,x&?a,x&a基态：ψ(x,0)=???1(x)n2π2??2En=8ma21πx=cos2a??1sinnπx(n为偶),??(x)=?2a≤x&2a?4a?cosnπx?(x)=1(n为奇),?????(x)=0,?2a&x&2ax&?2a,x&2a∫a∫aπxπx1πxπx1C1=???(x)|ψ(x,0)??=coscosdx=(1?sin2)cosdx4a2a4a4aa?aa?a∫14aaπx14aπx13πx????a2πx=?(1?sin)dsin=?(sin?sin)??=04a4a4a34a?aaπ?aaπ?2a&x&2a，但是波函数ψ(x,0)在x&?a,x&a处为0，所以积分范围成了?a到a。故处于新系统基态的概率为：P=|C1|2=0。∫a∫a222dπx??πx1??π12πxπxcos(?)cosdx=?(?)?(?)d??H??=ψ?Hψdx=cosa?a2a2mdx22aa2m2a?a2a2a[]??211??π1πx1πx??a??2πππ2??2=?(?)?(?)+sin)?(?)?=??=?(?a2m2a22a4a?aa2m2a28ma2其中：ππxπx????ππxπx??)=?sin(cos)=?()2cos2a2a2a2a2a2a∫∫∫11111cos2θdx=(cosθ+1)dθ=θ+cos2θ=θ+sin2θ22424(cos（2）∫注：积分范围是按本征函数来的，即范围是可以看出t=t0时粒子能量的平均值与未扩展前基态能量相同，这是符合物理特性的，突然扩展，态还未来得及改变，只是所处系统能量本征函数系变了。?=二、一维谐振子的哈密顿量为H+1μω2x2。在坐标表象中，它的能量本征函数为：√22xψn(x)=NneHn(ax)a=46目录返回p?CHAPTER2.详解试在动量表象中求出它的能量本征值和相应的本征函数。解：P表象下：dx?=i??dp定态薛定鄂方程为：中科院量子力学历年试题详解2p2122d?H=+ω(???2)2μ2μdp??22d2p2(?μω)?(p)=E?(p)+22dp2μ??2d2p2E(?+)?(p)=?(p)2μdp22μ3ω2μ2ω2两边除以，μ2ω2，有：令ω0=1,λ=E，有：??2d2122(?+μωp)?(p)=λ?(p)2μdp220其形式与x表象下，定态薛定鄂方程相同，故其解为：√√√2a2x0a0==?2=?(p)=Ne?Hn(a0x)μω11??Eλ=(n+)??ω0=?(n+)2=2222μωμω1E=(n+)??ω2从这也可以看出，无论处于何种表象，算符的本征值是不会变的。??在方向n=(sinθcos?,sinθsin?,cosθ)上投影S?????三、电子处于自旋Sn的本征态，本征值为。2（1）求出相应的本征函数；（2）若在上面的态中，自旋的x分量和y分量有相等的均方差，请求出方向角θ,?。解：（1）要求本征函数应先知道算符是啥！???????Sn=sinθcos?Sx+sinθsin?Sy+cosθSz=(sinθcos?σx+sinθsin?σy+cosθσz)2[()()()]010?i10??=sinθcos?+sinθsin?+cosθ210i00?1)()(?i?cosθsinθcos??isinθsin?cosθsinθe????==2sinθcos?+isinθsin?2sinθei??cosθ?cosθ()a?????本征值为的本征方程为：Snψ=ψ，设ψ=，有：b?()?a(cosθ?1)+bsinθe?i?=0()?i?cosθ?1sinθeab=0i??asinθei??b(cosθ+1)=0sinθe?cosθ?1a=sinθeb=1?cosθ?i?θ?i?2sincoseb2sinθ=θ?i?cosebsina=bθ?i?coseθisine()θ?i?cos2eψ=θi?sin2e目录返回472.7.2006中科院量子力学历年试题详解（2）求均方差的形式为：(?x)2=??x2???(??x??)2()())(θ?i?cose??01θi?θ?i???Sx??=??ψ|Sx|ψ??=cosesineθi?210sine()()θ?i?cose??θθ?i?θθi???θ?i?θi?=(sincose+sincose)=sinecoseθi?222222sine????sinθ(ei?+e?i?)=sinθcos?42=cos?+isin?e?i?=cos??isin?()()()2=Sx=)()()θ?i?2(10cose???22θi?θ?i??Sx??=??ψ|Sx|ψ??=cosesineθi?4sin01e)()θ?i?222(cose????θθ???22θi?θ==(cos+sin)=cosesine?iθi?44224sine=22??Sx??2其中：ei???2??2(?Sx)=???Sx??=?sin2θcos2?44()())(θ?i?0?icoseθi?θ?i???Sy??=??ψ|Sy|ψ??=cosesineθi?i0esin)(()θ?i?cose????θθ?i?θθi?θ?i?θi?==(isincose?isincose)isine?icoseθi?222222sine??θθ????isincos(e?i??ei?)=sinθi(?2isin?)=sinθsin?22242力学量算符的平均值一定为实数，所以无论过程怎么怪异，结果定为实数。()()()220?i??0?i??1022Sy===Sx4i这是当然的，σx=σy=σz=12??Sy??=2??Sx????2=4??2??2(?Sy)=(?sin2θsin2?)442由(?Sx)2=(?Sy)2，有：sin2θcos2?=sin2θsin2?π7π当θ=0,π时，?取任意值；当θ=0,π时，?取π,3π,5,。??中，该粒子绕磁场进动的角频率记为ω=?rB??。设t=0时四、自旋1的粒子处于磁场B粒子处于自旋朝下态|ψ(0)??=|???，求t时刻粒子仍处于该态的几率。?0=五、在谐振子的哈密顿量H级修正。解：1??En=Hnn12p?+1μω2x2上加上x3的微扰项H??=λx3，求能量的二∑|H??|2kn2En=0Enk48√x?=(?a++a??)2mω目录返回CHAPTER2.详解x?2=中科院量子力学历年试题详解????2(a++a?)(a++a?)=(a2++a?+a+a?+a?a+)2mω√2mω??2x?3=(a++a?)(a2++a?+a+a?+a?a+)2mω√2mω??22232=(a3++a+a?+a+a?+a+a?a++a?a++a?+a?a+a?+a?a+)2mω2mω1??En=Hnn=??n|x?3|n??=0√√23??n+3|a+|n??=n+3|a+|n+1??=(n+1)(n+2)??n+3|a+|n+2??√=(n+1)(n+2)(n+3)√√√2??n?1|a+a?|n??=??n?1|a+a?|n?1??=n(n?1)??n?1|a+|n?2??=(n?1)√√22??n+1|a+a?|n??=??n+1|a+|n?1??=n??n+1|a+|n??=n√√??n+1|a+a?a+|n??=n+1|a+a?|n+1??=(n+1)??n+1|a+|n??=(n+1)√√2??n+1|a?a+|n??=n+1|a?a+|n+1??=(n+1)(n+2)??n+1|a?|n+2??√=(n+2)√√√32??n?3|a?|n??=??n?3|a?|n?1??=n(n?1)??n?3|a?|n?2??=n(n?1)(n?2)√√??n?1|a?a+a?|n??=??n?1|a?a+|n?1??=n??n?1|a?|n??=n√√2??n?1|a?a+|n??=n?1|a2|n+1??=(n+1)??n?1|a|n??=(n+1)??2En??2??????222|Hn|Hn|Hn|Hn?1,n|+1,n|?3,n|+3,n|=0+0+0+0EnnEEEnn+3?1n+1n?3nn00En?En+1=???ω00En?En?3=3??ω00En?En+3=?3??ω00En?En?1=??ω????Hn?1,n=??n?1|H|n??=(??Hn+1,n??Hn?3,n??Hn+3,n√√√??3??33)λ[(n?1)+n+(n+1)=3()λn2mω2mω√√??3√??=??n+1|H|n??=λ()[n+(n+1)+(n+2)2mω3??3=3λ()(n+1)2mω??3√??=??n?3|H|n??=λ()n(n?1)(n?2)2mω??3√??=??n+3|H|n??=λ()(n+1)(n+2)(n+3)2mω2En9λ(2mω)3n39λ(2mω)3(n+1)3λ(2mω)3n(n?1)(n?2)λ(2mω)3(n+1)(n+2)(n+3)?+?=3??ω3??ωλ??62=(?29n2?27n?27)348mω能量的二级修正为：1λ??622102=(n+)??ω++EnEn=En+En(?29n?27n?27)28m3ω4?的本征值与本征矢分别为En与|n??，H?|n??=En|n??。六、有一量子力学体系，哈密顿量H?为任一算符F?=F?(x,p设F?)，试证明：∑+?|k??|2+|??k|F?|n??|2)??k|[F,[H,F]]|k??=(En?Ek)(|??n|Fn49目录返回2.7.2006证明：[H,F]=HF?FH中科院量子力学历年试题详解[F+,[H,F]]=F+HF?F+FH?HFF++FHF+∑∑++??k|FHF|k??=??k|FH|n????n|F|k??=En??k|F+|n????n|F|k????k|FHF+|k??=??k|FH??k|F+FH|k??=??k|F+??k|HFF+|k??=??k|HF??k|[F,[H,F]]|k??===+∑nn|n????n|F+|k??=∑nnEn??k|F|n????n|F+|k??Ek??k|F+|n????n|F|K??∑n|n????n|FH|K??=|n????n|F+|k??=+∑n∑n∑nEk??k|F|n????n|F+|k??∑n∑∑∑nnn(En?Ek)??K|F|n????n|F|K??+(En?Ek)??k|F|n????n|F+|k??(En?Ek)(??k|F+|n????n|F|k??+??k|F|n????n|F+|k??)(En?Ek)(|??n|F|k??|2+|??k|F|n??|2)50目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.82006甲A?A??+A??A?=1,A?=A??A?。B?和B?满足下列关系：A?2=0,一、（30??）两个线性算符A?2=B?；（1）求证B?表象中A?和B?的表达式。（2）求在B证：（1）?2=A??A?A??A?=A??(1?A??A?)A?=A??(A??A??A?2)=A??A?=B?B?2=0)(A（2）充分利用好上下条件，第一问就是第二问的条件，也提供了第二问的思路。这是出题人为降低难度故意设的吧。?2?B?=0，设B?|ψ??=λ|ψ??，λ2?λ=0,λ=0,λ=1，有：B()00B=01()10线性代数的内容，是这样吗？觉得有些问题。是等效的？？？？？？00()?=ac，设Abd()()()()??????acaa+bbac+bd00??A?=acA==a=0,b=0b?d?bdc?a+d?bc?c+d?d01()()()0c0c0cd?2=0A==0又c?c+d?d=120d0d0d()i?0ed=0c?c=1A=00二、（30??）粒子在势场V(x)=A|x|n算基态能量。解：(?∞&x&∞,A&0)中运动，试用不确定度关系估?2=B,?B??21(?p)2nn+A(?x)≈+A(?x)E≈2m8m(?x)2?x?p=??2E是关于?x的函数，要算基态能量就是要找到E的最小值（极小值）。于是：?E=0，求出?x。??21??2?En?1n+2=?2?+An(?x)=0An(?x)=??x8m(?x)34m1()??2??2n+2或(?x)=?x=4mAn4mAn51目录返回2.8.2006甲A2中科院量子力学历年试题详解2)?E≈??????????????+A=+A8m4mnA4mnA8m4mnA4mnA4mnA222(2)()?(2)()?()?????2??2n+2????2n+2??2=+==A8m4mn4mnA24mn4mnA24mnA()()n+22n+2??2An+2??2A==24mnA24mn222222((n)(2)?()(2)?感觉这题很无聊，想必是在某个问题讨论的某篇论文里抽取的！?从依赖于某一参量λ，又设体系处于某一束缚定态，其能三、（30??）设体系的哈密顿量H量和本征函数分别记为En和ψn(r)。（1）证明费曼――海尔曼定理：∫??H?En?r)=ψn(??ψn(??r)d??r?λ?λ（2）利用费曼――海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能。4（提示：氢原子能级公式En=?μe?1）证：（1）一般表示：?n(??能量本征方程为，Hψr)=Enψn(??r)，两边对λ求导：??H??ψn=?Enψn+En?ψnψn+H?λ?λ?λ?λ?两边左乘ψn并全空间积分为：∫∫∫∫??ψ?H?Enn??????ψnHψnd??r+ψnd??r=ψnψnd??r+Enψnd??rψn?λ?λ?λ?λ∫?∫∫??ψn∫??ψn??n)??ψnd???由ψnd??r=(Hψr=Eψr，有：ψn=1,ψHnnd??∫??En??H=ψnψnd??r?λ?λ狄拉克表示：??En?H=??n||n???λ?λ?|n??=En|n??，两边对λ求导：能量本征方程为，H??H??|n??=?En|n??+En?|n??|n??+H?λ?λ?λ?λ两边左乘??n|为：??H??|n??=?En??n|n??+En??n|?|n????n||n??+??n|H?λ?λ?λ?λ?=En??n|，有：由??n|n??=1,??n|H??H??En???n||n??+En??n||n??=+En??n||n???λ?λ?λ?λ52目录返回CHAPTER2.详解即：中科院量子力学历年试题详解??En?H=??n||n???λ?λ看到狄拉克符号的好处吧，简洁明了。这也是形式突出重点，突出思路的经典一例。（2）2???=??2+V(??r)H2m取??为参量：??En?H??222??22=??n||n??=??n|??|n??=??n|??|n??=??T??n??????m2m?又En=?μe2??4μe41??T??n=?=?En2??n2??0,0&x&a,0&y&a??四、（30）粒子在二维无限深方势阱中运动，V=。加上微扰?∞,其他解：1,n?E???1?n=μe，有：2μe41??T??n=3?2n4H??=λxy后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。n1πxn2πxπ2??22202=sinsinEn=(n+n12)aaa2ma22πxπyπ2??200ψ1=sinsinE1=aaama2∫a∫a4λπx4λa2a2λa210??022πyE1=??ψ1|H|ψ1??=2xsindxysindy=2??=a0aaa44400ψn0ψ2有简并，n1=1,n2=2或n1=2,n1=1，即：2πx2πy22πxπy5π2??2000φ1=ψ21=sinsin或φ2=ψ22=sinsinE2=aaaaaa2ma2微扰矩阵元为：∫a∫a4λπx2πy????H11=H22=??φ1|H??|φ1??=2dxdyxsin2ysin2a0aa0∫a∫a4λπx2πxπy2πy28λa2??????H21=H12=??φ1|H|φ2??=xsinsindxysinsindy=44=Ba0aaaa3π0??????A?E??B????????=0????BA?E????128=A?B=(?44)λa243π?????????????未完？？？1E211E22128=A+B=(+44)λa243π五、（30??）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即V=V(t)，与坐标??r无关。试将体系的含时薛定鄂方程分离变量，求方程解ψ(??r,t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一维情况为例说明V(t)的影响是什么。解：53目录返回2.8.2006甲A薛定鄂方程为：中科院量子力学历年试题详解[]???22i??ψ(??r,t)=??+V(t)ψ(??r,t)?t2m将ψ(??r,t)分离变量，ψ(??r,t)=ψ(??r)ψ(t)，有：??2??????i??ψ(t)ψ(r)=?ψ(??r)ψ(t)+V(t)ψ(t)ψ(??r)2m左右两边除以ψ(??r)ψ(t)得：ψ??(t)??2ψ????(??r)ψ??(t)??2ψ????(??r)i??=?+V(t)i???V(t)=?ψ(t)2mψ(??r)ψ(t)2mψ??r??r,t是彼此无关的变量，而等式要成立，说明各自相关的式子的值为共同的常数，令为a，有：ψ??(t)??2ψ????(??r)i???V(t)=a?=aψ(t)2mψ(r)(t)对于i??ψ?V(t)=a，有：??ψ??(t)i??=a+V(t)ψ(t)lnψ(t)=对于r)2ψ????(???∫i??lnψ(t)=∫V(t)dti??(a+V(t))dti??lnψ(t)=at+ψ(t)=e∫i(at+V(t)dt)?∫∫V(t)dtat+=ei?iat?V(t)dt=a，有：ψ????(x)+2ma2ma2ψ(x)=0令k=2？？？？？？？？？？？？？？？这个过程的思路与求定态薛定鄂方程的思路是一样的。54目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.92006甲B一、（30??）已知谐振子处于第n个定态中，试导出算符x?,p?,(?x)2,(?p)2的平均值及不确定度?x,?p，并求出?x??p值。解：谐振子的定态为对称本征态，??x???=0,??p???=0。由位力定理，2??V??=2??T??=En，有：??11??x2??=(n+)??p2??=(n+)mω??mω22√√√11(n+)?p=(n+)mω???x=22=mω221?x??p=(n+)??ω2?和B?使μ?+iB?。试证：二、（30??）设μ?为幺正算符，若存在两个厄米算符A?=A?2+B?2=1，且[A,?B?]=0；（1）A??为厄米算符。（2）进一步再证明μ?可表示成μ?=eiH，H解：（1）幺正算符满足：S?S=SS?=1，有：??iB?)(A?+iB?)=A?2+iA?B??iB?A?+B?2=1μ?μ=(A?+iB?)(A??iB?)=A?2?iA?B?+iB?A?+B?2=1μμ?=(A两式相减，有：?B??2iB?A?=02iA?B??B?A?=0A?B?]=0[A,?2+B?2=1A另一种表述来的更明显，所以要主要数学表述，突出重点：??iB?)(A?+iB?)=A?2+iA?B??iB?A?+B?2=A?2+B?2+i[A,?B?]=1μ?μ=(A?+iB?)(A??iB?)=A?2?iA?B?+iB?A?+B?2=A?2+B?2?i[A,?B?]=1μμ?=(A是不是一目了然！（2）算符是类似微分样的“作用”，我不知道指数形式eiH的算符有什么物理意义？?B?]=0,A,?B?为厄米算符，知：A,?B?存在共同本征函数φn。设Aφ?n=anφn,由[A,?2+B?2=1，有：bnφn，又A2?2φn+B?2φn=φnAa2n+bn=1令an=cosχnbn=sinχn，有：?+iB?)φn=(cosξn+isinξn)φn=eiξnφnμ?φn=(ABφn=???使Hψ?n=ξnψ，则必有μ若定义厄米算符H?=eiH为幺正算符。55目录返回2.9.2006甲B?为一种类似曾题集p91,4.21没看懂？？？？？？H起来怎么用呢？ddx中科院量子力学历年试题详解微分的作用，这作用跑到eiH中，用?三、（30??）一个质量为√m的粒子被限制在0≤x≤a的一维无穷深势阱中。初始时刻其归)sinπx，求：一化波函数为ψ(x,0)=8(1+cosπx（1）t&0时粒子的状态波函数；（2）在t=0与t&0时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？解：用该系统的本征函数表示ψ(x,0)，一般都要这样处理，便于问题的讨论，而且直观。该无限深势阱的本函数及本征值为：√2nπxn2π2??2φn=sinEn=aa2ma2√√8πxπx8πxπxπxψ(x,0)=(1+cos)sin=(sin+cossin)5aaa5aaaa√√√√√πx2πx428141=?sin+sin=φ1+φ25aa5a2a55（1）ψ(x,t)=（2）在t=0时刻，ρ(0)=|ψ(x,0)|=(2√iE1t4φ1e+5√iE2t1φ2e5π2??2其中：E1=2ma24π2??2E2=2ma2√4φ1+5√1242124φ2)=φ1+φ2+φ1φ25555左半部发现粒子概率为：∫∫∫∫42πx122πx42πx2πxP(0)=ρ(0)dx=?sin2()dx+?sin2()dx+?sinsindx5a0a5a0a5a0aa042a12a422a116=??+??+??=+5a45a45a3π215π其中：∫∫111?cos2nxdx=x?sin2nxsin2nxdx=224n∫aa1??2πx??a??1a??2πsin(x)dx=x????sin??=a204πa040∫??a1a??a14πx2πa????sinsin2(x)dx=x????=??a2042πa040∫∫∫22sinnxsin2nxdx=2sin2nxcosnxdx=sin2nxdsinnx=sin3nxn3n∫??aπ2πx2aπx2a??3sinxsindx=?sin??=aa3πa3π00在t&0时刻，ρ(t)=|ψ(x,t)|2=ψ?(x,t)ψ(x,t)=(√iEt4φ1e?+5√iEt1φ2e?)(5√iEt4φ1e+5√Et1φ2ei)556目录返回CHAPTER2.详解4124t=φ2+φ+φφcos(E2?E1)1212555左半部发现粒子的概率为：∫1163π2??tP(t)=ρ(t)=+cos215π2ma20计算可以直接用t=0时刻的结论。四、（30??）粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰H??=n个能级的一级近似，并分析所的结果的适用条件。解：缺图当2x?a&0，即：x&当2x?a&0，即：x&当2x?a=0，即：x=aa2a中科院量子力学历年试题详解4π2??2π2??23π2??2其中：E2?E1=?=2ma22ma22ma2V(aa?|2x?a|)的作用。求第时，H??=时，H??=V0(aV(aa0?2x+a)=?2Vx+2V0；+2x?a)=2Vx；an2π2??2=2ma2∫∫a2V2V02nπx201??022nπx(?En=??φ0|H|φ??=x+2V)sin()dx+xsin()dx0nna0aaaaaa∫∫∫a4V04V0nπx4V02nπx2nπxxsin(xsin()dx+2)dx+sin2()dx=?2aa0aaaaa0????4V(a2+a2)+4V(3a2?a2)+V,n为奇?3V?2V,n为奇0a164nπa164nπ2nπ==??4V0?a2+4V0?3a2+V0,n为偶?3V0,n为偶0En时，H??=V0。√2nπxφ0=sinnaa其中∫∫aa111??2nπ??a??1a??22nπxsinpxdx=x?sin(sin2px)dx=x????sinx??=24pa204nπa400∫x2x12xsinpxdx=?sin2px?2cos2px44p8p?∫a2a2aa?????2??a+,n为奇数x??xa2nπx??1a22nπx??2nπxsin(x)dx=????sin???()cos??=?a2,a44nπa8nπa0000n为偶数∫ax2??2nπx??2nπx??xa1a2??a??a??a2nπsinxsin(x)dx=??a????a?()cos??aaa44nπa8nπa?3a2a2?2?,n为奇3a1a2=?()(cos2nπ?cosnπ)=?3a2,168nπn为偶16??n2π22?2V0+3V0,n为奇01En=En+En=2?n2π20+3V,n为偶??????????适用条件，??H????1，即：V0??0。nm五、一个质量为m的粒子被限制在r=a和r=b的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化的波函数。57目录返回2.9.2006甲B与2007年A第五题相同。中科院量子力学历年试题详解58目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.102006乙A??V&0,0≤x≤a015??一、（30）粒子以能量E入射方势垒，V(x)=。设能量E&V0，?0,x&0,x&0求透射系数T。??0,0≤x&a的粒子置于势场V(x)中，V(x)=二、16（30??）自旋为1。设粒子所处2?∞,x&0,x&a()()√√115状态为ψ(x,sz)=?3(x)+2?(x)，其中?n(x)为系统空间部分的第n个能5?ii量本征函数（已归一化）。求能量的可测值及相应的取值概率。解：改写ψ(x,sz)为：√()11ψ(x,sz)=?3(x)+?5(x)189?ii√√√√5522=?3(x)α?i?3(x)β+?5(x)α+i?5(x)β181899√n2π22；能量的可测值及相应的概率分别为：解：完完全全教材内容，见曾书P74，3.3.1。()该势场能量本征值为：En=E3E24|???5α|ψ??|2+|???5β|ψ??|2=+=999|???3α|ψ??|2+|???3β|ψ??|2=三、用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量。解：??x??=??p??=0，有：不确定关系：?x?p≥22(?x)2=??x2?????x??2=??x2??√(?p)2=??p2????p??1(?p)1??E??=+mω2??x2??=+mω2(?x)2≥22m22m2即：基态能量为。2??ω(?p)21?mω2(?x)2=ω?x?p≥2m22mω22r。加上微扰2?0=?2?2+四、（30??）各向同性的三维谐振子哈密顿算符为H2mλ(xy+yz+zx)后，求第一激发态的一级能量修正。五、（30??）自旋为1，磁矩为2???=H??0=μ，电荷为零的粒子置于磁场中。t=0是磁场为B()0(0,0,B0)，粒子处于σ?z的本征值为?1的本征态。设在t&0时，再加上弱磁场1??1=(B1,0,0)，求t&0时的波函数，以及测到自旋反转的概率。B1516同类型题见：2006乙B第一题同类型题见：2006乙B第三题59目录返回2.10.2006乙A方法一（精确求解）：中科院量子力学历年试题详解()1001σz=σx=0?110()()()?μB000μB1?μB0?μB1H=?μB0σz?μB1σx=?=0μB0μB10?μB1μB0???????μB?λ?μB????01????=0?????μB1μB0?λ??√2?(?μB0?λ)(μB0?λ)=0μ2B1+μ2B0?λ2=0λ=±μB1+B0)()(√?μB1a?μB0?μ01√=0?μB1μB0?μ01b()()√?B0?01?Ba√1=0?B1B0?01b???(B?√)a?Bb=0B01011a=b√??B1a+(B0?b=0?B0?B0+B101()?B√1（未归一+B1B0+B0()√√B1化）；当λ=?μ01时，b取01?B0，则本征态为：√（未归01?B0一化）。√√令μB1=??ω1,μB0=??ω0,01=ω,±μ01=???ω，于是有：()?ω1E1=??ω,φ1==?ω1α+(ω+ω0)βω+ω0)(ω1E2=???ω,φ2==ω1α+(ω?ω2)βω?ω0其中φ1,φ2未归一化。将t=0时初始波函数按能量本征函数展开，得：()01(φ1+φ2)ψ(0)==2ω1iEtiEt11??ψ(t)=(φ1e+φ2e)=(φ1e?iωt+φ2eiωt)2ω2ω1={[?ω1α+(ω+ω0)β](cosωt?isinωt)+[ω1α+(ω?ω0)β](cosωt+isinωt)}2ω1=(2iω1αsinωt+2ωβcosωt?2iω0βsinωt)2ω√√当λ=μ01时，b取B0+01，则本征态为：()60目录返回CHAPTER2.详解=中科院量子力学历年试题详解ω1ω0isinωtα+(cosωt?isinωt)βωωψ(t)满足归一化条件。因此t&0时刻，测到粒子自旋反转概率（处于α态）为：??ω??2ω2????1??2P(sz=)=??isinωt??=1sinωt2ωω2在整个过程中并没有对φ1,φ2进行归一化。所以做事不要太机械，按需求来，需要归一化时，再归一化也不迟。方法二（微扰）：跃迁1am(t)=i??∫0t??Hmkeiωmktdt????Wk→m=|am(t)|2??Hβα=??β|?μB1σx|α??=?μB1??β|σx|??=?μB1=???ω1Em?EkEβ?Eα?μB0?μB02μB0===?=?2ω0∫∫1t??iωαβt????μB1tiωαβt????μB11iωαβtμB1iωαβtB1iωαβtαβ=Hβαedt=?edt=??e=?e=?ei??0i??0i??iωαβ2μB02B0ωmk=2??B12W(sz=)=|aβ|=cos2(2ω0t)24B0？？？？？？？？？？？？？？？？？？？61目录返回2.11.2006乙B中科院量子力学历年试题详解2.112006乙B??V&0,0≤x≤a0??17。设能量E&V0，一、（30）粒子以能量E入射方势垒，V(x)=?0,x&0,x&0求透射系数T。解：完完全全教材内容，见曾书P74，3.3.1。a二、（30??）粒子在一维对称无限深方势阱(?a≤x≤)中运动。设t=0时粒子所处状态1[?1(x)+?2(x)]，其中?n(x)为系统第n个能量本征态。求t&0时的以下为ψ(x,t=0)=量：（1）概率密度|ψ(x,t)|2；（2）能量的可取值及相应的概率。解：]iE1tiE2t1[ψ(x,t)=?1(x)e+?2(x)e][]iEtiEtiEtiEt1[2???ρ(x,t)=|ψ(x,t)|=ψ(x,t)ψ(x,t)=?1(x)e+?2(x)e?1(x)e+?2(x)e2[]it122?it(E?E)(E?E)1212=|?1(x)|+|?2(x)|+?1(x)?2(x)e+?1(x)?2(x)e2[]tt1|?1(x)|2+|?2(x)|2+?1(x)?2(x)cos[?(E1?E2)]+?1(x)?2(x)cos[(E1?E2)]=2[]1(E1?E2)t=|?1(x)|2+|?2(x)|2+2?1(x)?2(x)cos2其中：E1=π22,E22ma（1）对于该无限深势阱En=n2π22。=4π22。2ma（2）能量的可能取值为：π2??2E1=2ma24π2??2E2=2ma211概率为：|???1|ψ(x,t)??|2=()2=211概率为：|???2|ψ(x,t)??|2=()2=2??1R(r)Y(θ,φ)2111三、18（30??）设氢原子所处状态为ψ(r,θ,φ,Sz)=√??R21(r)Y10(θ,φ)。?z和自旋角动量z分量S?z的平均值；（1）求轨道角动量z分量L??=?eL???eS??的z分量的平均值。（2）求总磁矩M2μμ解：问题的不同表述会给问题的带来便利的。要注意“表述”！1718同类型题见：2006乙A第一题同类型题见：2006乙A第二题62目录返回CHAPTER2.详解改下ψ的表述，√1ψ=R11Y11α?R21Y10β22中科院量子力学历年试题详解()1其中：α=,0()0β=1（1）?z的可取值为：??,0；相应的概率为1,3；平均值为：。L?z的可取值为：,?；相应的概率为1,3；平均值为：?。S概率和取值都可以直接看出来，所以直接写了。（2）Mz=?e?e?Lz?Sz2μμe??e??e?????(?)=2μ4μ48μ平均值为：?四、对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积?x??p。(?a++a??)p?=i(?a+?a??)2mω2√??x??=(??0|a?+|0??+??0|a??|0??)=0??p??=02mω????2x?2=(?a2+a?+a?a?+a?a?)=(?a2?2a+a??+1)+??++?++a?+2?2mω2mω??mω2??mω2p?2=?(?a++a?2?a?a??a?a?)=?(?a++a?2a+a???1)+??+???2?22其中：[?a?,a?+]=a??a?+?a?+a??=1a??a?+=1+a?+a??????2??x?2??=??0|x?2|0??=(??0|a?2|0??+??0|a?|0??+2??0|a?a?|0??+??0|0??)=+?+?2mω2mω??mω??mω2??p?2??=??0|p?2|0??=?(??0|a?2|0??+??0|a?|0???2??0|a?a?|0?????0|0??)=+?+?22√√√√??22?p==?x=22=?x??p=22mω2x?=?=J??五、（30??）两个自旋为1非全同粒子，自旋间相互作用为Hs1???s2，其中??s1和??s2分别为粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时粒子1的自旋沿z轴正方向，粒子2的自旋沿z轴负方向。求t&0时，测到粒子2的自旋仍处于z轴负方向的概率。解：这属于基本内容了。√√析：对于这个问题。首先得知道系统的态（波函数），其次得知道系统的本征态和本征值。粒子1的自旋沿z轴正方向α1，粒子2的自旋沿z轴负方向β2，则在t=0时系统波函数?=J??为：ψ=α1β2。要求得系统的本征态和本征值，先得清楚系统算符，即Hs1???s2。J2??=???=J??其中Ss1+??s2Hs1???s2=(S2?s21?s2)23??23??2222222??=??=s=+σ?z)=s2=+σ,s(σ，Ss1+??s2为二电子体系的自旋算符，S2的12y1x本征值和本征态分别为：12??2,χ11=α1β22??2,χ10=[α1β2+β1β2]63目录返回解：2.11.2006乙B2??2,χ1,?1=β1β20,中科院量子力学历年试题详解1χ00=[α1β2?β1α2]?=J??于是Hs1???s2的本征态和本征值分别为：J??2J??2E1=,|?1??=χ11E2=,|?2??=χ1044J??23J??2E3=,|?3??=χ1,?1E4=?,|?4??=χ0044在t=0时刻，系统波函数为：1|ψ(0)??=α1β2=(|?2??+|?4??)在t时刻，系统波函数为：J??J??3J??J??3J??3J??11|ψ(t)??=(|?2??e?it+|?4??eit)=(α1β2e?it+β1α2e?it+α1β2eit?β1α2eit)测到粒子2的自旋沿z轴负方向的概率为：????t??t??2J??t??1?????iJ22i3JP(s2z=?,t)=|??β1β2|ψ(t)??|+|??α1β2|ψ(t)??|=0+??e+e??=cos2222其中：??J??t????t??23J??tJ??t3J??tJ??t???ii3J+e??=(ei+e?i)(e?i+ei)=(1+eiJ??t+e?iJ??t+1)=2+2cosJ??t??e=2cos2J??t264目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解2.122005??V,x&00一、（20??）1800个电子经1000V电势差加速后从x=?∞处射向势阶V(x)=，?0,x&0其中V0?=750V。试问在x=∞处能观察到多少个电子？如果势阶翻转一下，即电子射向势阶?0,x&0V(x)=，则结果如何？?V0,x&0解：（1）缺图！x&0,x&0,ψ1(0)=ψ2(0)????ψ1(0)=ψ2(0)ψ1=eik1x+Be?ik1x,ψ2=Ceik2x,1+B=C2k2=2k1=2mE2=4k,122m(E?V0),2k2=2k1E=1000V,V0=750V??ψ1(x)=ik1eik1x?ik1Be?ik1x,??ψ2(x)=ik2Ceik2xik1?ik2B=ik2CB=透射系数为：T=1?|B|=1?2k1?k2k1+k2(k1?k2k1+k2)+k2+4k1?2k1k2?2k1?2k1=1?=1?=1?=k1+k2+2k1k2k1+4k1+2k1199在x=∞处能观察到：1800×（2）缺图！x&0,x&0,透射系数：T=1?|B|2=1?8=1600个。2mE2=4k222m(E?V0)2k2=22k1=89ψ1=eik1x+Be?ik1x,ψ2=Ceik2x,19=8；在x=∞处能观察到，0个。没变化。很好理解。看两头，一入一出，中间受势阶“一样”。22二、（20??）质量为m，电荷为q的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)=1mωr中运动，??=E0??同时受到一个沿x方向的均匀常电场Ei作用。求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。解：（1）1Ey=(ny+)??ω21Ez=(nz+)??ω2x方向：V=Eqx=?E0ex[]p?21+mω2x2?E0exψ=Eψ2m265目录返回2.12.2005中科院量子力学历年试题详解[(]))2(22E0e112E0e1E0e2mω2x2?E0ex=mω2x2?x=mωx??22mω22mωm2ω4()222E0eE0e12=mωx??2mω22mω2[()2]()222Eep?1Ee00+mω2x?ψ=E+ψ2m2mω22mω2E0eEx+)??ωE=(n+)??ω?=(n+xxx2mω2222mω2223E0en=nx+ny+nzEn=Ex+Ey+Ez=(nx+)??ω?22mω2n+2)n=2时，简并度为3，(nxnynz)=(011),(101),(110)，简并度为：(n+1)(。（2）2p1??2[??l,H]=[??l,+V(??r)?E0ex]=[l,p]+[??l,V(??r)]?E0e[??l,x]2m2m[??l,p2]=0[??l,V(??r)]=0[??l,x]=[lx,x]??i+[ly,x]??j+[lz,x]??k=?i??z??j+i??y??k[??l,H]=0此时轨道角动量不守恒。????????但在平移后的坐标系x??y??z??中，?lx,ly,lz都是守恒量，它们的表达式为：?????lxlx=?i??(y???z??)=??z?y??qE0???ly=?i??(z???x??)=?ly+p?z?x?zmω2??qE0???lz=?i??(x???y??)=?lz?p?y?y?xmω2??∞,x&0,x&a??三、（40）一个质量为m的粒子在下面的无限深方势阱中运动。V(x)=?0,a&x&03πx开始时(t=0)，系统处于状态，ψ(x)=Asinπxcos，其中A为常数。请求出t时刻系统：2a2a（1）处于基态的几率；（2）能量平均值；（3）动量平均值；（4）动量的均方差根（不确定度）。解：该系统的本征函数和本征值为：√φn=nπxsinaan2π2??2En=2ma2用系统本征函数系表示该波函数为：AπxAπxπxπxπxπxcos3=sincos2=sin(cos+1)ψ(x)=Asin2a2a2a2a4aaπxπxAπxA2πxAπxAcos+sin=sin+sin=sin4√aa4a8a4a√AA=φ1+φ2428266目录返回CHAPTER2.详解中科院量子力学历年试题详解x+1其中：cos2x=cos2x?sin2x=2cos2