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2013最新题库大全年高考数学(理)试题分项 专题08 立体几何.doc 专题08立体几何一、选择题:(2012年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）(2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱(2012年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2．将?ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直第3页共145页C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．(2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）(2012年高考湖北卷理科10)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV?.人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．3169?B．32C．30157dD．321dV?(2012年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C??()D??(2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥SABCD?所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),Ex??截面下面部分的体积为(),Vx则函数()yVx?的图像大致为（）第5页共145页(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥SABC?的所有顶点都在球O的求面上，ABC?是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2?；则此棱锥的体积为（）()26()B36()3()D2(2012年高考安徽卷理科6)设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且bm?,则“”是“ab?”的（）()A充分不必要条件()B必要不充分条件C充要条件D即不充分不必要条件【答案】【解析】①,bmba??????②如果/am；则b?与条件相同..(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行第7页共145页(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱1ABC?，12CAB?，则直线1C与直线1AB夹角的余弦值为（）（A）5（B）53（C）25（D）35(2012年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（）（A）(0,)（B）(0,3)（C）(,2)（D）(,3)【答案】A【解析】取长2的棱的中点与长为a的端点,B；则22AaBC????.15．(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱1CD?中，12,,ABCE?为1C的中点，则直线与平面E的距离为（）A．2B．3C．2D．1第9页共145页1二、填空题:.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥P?ABC，点P，A，B，C都在半径为3的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。第11页共145页22012年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体1ABCD?中，3cABD?，12cA?，则四棱锥的体积为cm3..(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。第13页共145页(2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为?2的半圆面，则该圆锥的体积为.(2012年高考上海卷理科14)如图，AD与BC是四面体AD中互相垂直的棱，2?BC，若cAD，且a2??，其中、c为常数，则四面体的体积的最大值是.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.第15页共145页(2012年高考安徽卷理科12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_【答案】92544正视图侧视图俯视图2【解析】该几何体是底面是直角梯形，高是4的直四棱柱，表面积是92.三、解答题:(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱1ABC?中，11ABC?，DE，分别是棱1BC，上的点（点D不同于点C），且DEF?，为的中点．第17页共145页求证：（1）平面ADE?平面1BC；（2）直线1/F平面ADE．(2012年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由第19页共145页(2012年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）如图，在长方体1DCBA?中，11?AD，E为中点。（Ⅰ）求证：1?；（Ⅱ）在棱1上是否存在一点P，使得/DP平面AEB？若存在，求A的长；若不存在，说明理由。（Ⅲ）若二面角1?的大小为03，求AB的长.66(2012年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），第21页共145页（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小第23页共145页(2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCDP?中，底面ABCD是矩形，?PA底面BCD，E是的中点，已知2?，，2?，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.第25页共145页(2012年高考浙江卷理科20)(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．第27页共145页(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）(2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分）如图，直三棱柱1ABC?中，12ABC?，第29页共145页D是棱1A的中点，BDC?1（1）证明：（2）求二面角11?的大小。(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD?中，PA丄平面BCD，AC丄D，B丄C，45A???，=2PAD，1C.(Ⅰ)证明：P丄；（Ⅱ）求二面角?的正弦值；（Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与所成的角为03，求A的长.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）平面图形1ABC如图4所示，其中1BC是矩形，12,4B?，2?，115。现将该平面图形分别沿和1折叠，使AC?与1B所在平第31页共145页面都与平面1BC垂直，再分别连接11,ABC,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。（Ⅰ）证明：1ABC?；（Ⅱ）求1A的长；（Ⅲ）求二面角1?的余弦值。(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面ABC与平面BB1C1C夹角的余弦值。第33页共145页(2012年高考四川卷理科19)(本小题满分12分)(2012年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；第35页共145页（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.第37页共145页.(2012年高考全国卷理科18)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）第39页共145页(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）如图，在直三棱柱1CBA?中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面1的距离;（Ⅱ）若1AB?,求二面角11的平面角的余弦值。(2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若b?，则ac”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）172011年高考数学试题分类汇编——立体几何一、选择题:1.(2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.第41页共145页2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）48(B)32+8??(C)48+8??(D)80【答案】C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故S???????????????表【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案：D解析：对于A:因为SD⊥平面ABCD，所以DS⊥AC.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，故AC⊥平面ABD,因为SB?平面ABD,所以AC⊥SB，正确.对于B：因为AB//CD,所以AB//平面SCD.对于C:设ACBDO??.因为AC⊥平面ABD，所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO，则∠ASO和∠CSO就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确.故选D.6.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，???30BSCA，则棱锥S-ABC的体积为（）（A）（B）2（C）3（D）1第43页共145页第6题图答案：D解析：由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。ABCD332正视图侧视图俯视图图18．(2011年高考江西卷理科8)已知1?，2，3是三个相互平行的平面．平面1?，2之间的距离为1d，平面2，3之间的距离为d．直线l与1?，2，3分别相交于P，2P，3，那么“P=”是“12?”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】过点1P作平面2?的垂线g,交平面2?，3分别于点A、B两点,由两个平面平行的性质可知2A∥3B,所以12d?,故选C.9.(2011年高考湖南卷理科3)设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.129??B.89C.49??D.1836答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于????2)3(4?189??。故选B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.10.(2011年高考广东卷理科7)如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A.63B.9C.123D.8【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，HGFEDCBA3123第45页共145页.ABCDE平面?39123??????hSV平行四边形。所以选B11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A）28??（B）（C）（D）3【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为321?????83??故选A12.(2011年高考重庆卷理科9)高为4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A）24（B）2（C）1（D）解析：选C.设底面中心为G，球心为O，则易得2AG?，于是2O?，用一个与ABCD所在平面距离等于24的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则O??，故227148H????????，故2784SG???????13．(2011年高考四川卷理科3)1l，2，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()(A)12l?，3l13l?:（B）12?，3l:?13l(C)3:，2，共面（D）l，，共点，2，l共面【答案】C【解析】如图，作DEBC?于，由l???为直二面角，Al，得平面?，进而ADE,又BC?,BC??,于是E平面B。故为到平面的距离。在RtD?中，利用等面积法得126.3BEC???15.(2011年高考全国卷理科11)已知平面?截一球面得圆M，过圆心M且与?成06，二面角的平面?截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为(A)7(B)9(c)1?(D)3【答案】D【解析】：由圆的面积为4得2MA?，2241O??3M?，在03RtON?:中,2,12N???r=4NS??圆故选D16．(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是lβαABCDE60°BAONM第47页共145页A．8B．62C．10D．82【答案】C二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.答案：23解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由234a??，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是23?.2.(2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABC?,则棱锥O?的体积为。答案:38解析：如图，连接矩形对角线的交点1和球心,则，321,4??ACOAC,四棱锥的高为jo1BDCAo2)3(421???O,所以，体积为3861?V点评：本题考查多面体和旋转体的有关概念和性质以及体积的计算。关键是确定棱锥高的大小，正确运用公式求解。3．(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为__________3m【答案】6??【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为13236V??????长方体圆锥.4.(2011年高考四川卷理科15)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.答案：2R?解析：222max4()SrrRS???????侧侧时，22r??，则222R??5.(2011年高考全国卷理科16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.第49页共145页6．(2011年高考福建卷理科12)三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。【答案】37．(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为2?，底面积为，则该圆锥的体积为。【答案】3?；三、解答题:1.(2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．【解析】（Ⅰ)连结AF,因为EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证EFG?∽ABC?,所以12FGE?,即FBC?,即12AD?,又M为AD的中点,所以12AMD?,又因为ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四边形AMGF是平行四边形,故GM∥FA,又因为ＧＭ?平面ＡＢＦＥ,FA?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.（Ⅱ）取AB的中点O,连结CO,因为ＡＣ＝ＢＣ,所以CO⊥AB,又因为ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，CO?平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,又ＥＡ∩AB=A,所以CO⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF内,过点O作OH⊥BF于H,连结CH,由三垂线定理知:CH⊥BF,所以CH?为二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.设ＡＢ=２ＥＦ=2a,因为∠ACB=90?，ＡＣ＝ＢＣ=2a,CO=,2AEa?,连结FO,容易证得FO∥EA且FO?,所以6BF?,所以OH=6?=3,所以在RtCH?中,tan∠CHO=C3,故∠CHO=0?,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小为60?.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本题满分15分）如图，在三棱锥PAB?中，?，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分法一：（Ⅰ）证明：如图，以O为原点，以射线OP为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz?，则(0,)，(0,3)A，(4,2)B，42C，(0,4)，(0,34)A???，(8,0)BC????由此可得P????，所以APB???，即P第51页共145页（Ⅱ）解：设,1PMA?????，则(0,34)PM?????，BB???????(4,2)?(,)?(4,23,4)???，50AC?，80B????设平面M的法向量11(,)nxyz??，平面APC的法向量22由120Bn????????得)080xyz????????即1134xzy?????，可取12(,)4n?????由20APnC????????即23405yzx??????得22534xzy?????可取2(5,)n???，由120n????得2340?????解得45，故3AM?综上所述，存在点M符合题意，A法二（Ⅰ）证明：,BCD为中点,,BC??又,POA?平面PO??因为PO??所以平面PAD故BC?（Ⅱ）如图，在平面内作,AM于连结由（Ⅰ）知B,得平面BC，又P?A平面C所以平面?平面P,在RtD:中，2241AD??得A?在O中，O，在tPB中，22PB所以236D???得，在RtPOA:中，225OP??得A?又1cos3BA???从而cos2M??，所以3M??综上所述，存在点M符合题意，3A.3.(2011年高考辽宁卷理科18)（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.第53页共145页即PQD?，C.故PQ?平面DCQ，又?平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.4.(2011年高考安徽卷理科17)（本小题满分12分）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面GF垂直，点O在线段AD上，1,2,O?V,△O，△，△O都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F-OBED的体积。【命题意图】：本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。（1）【证法一】：AOBDE????Q/OBE?同理可证/OCDF/BCEF?面面，/CF面EFDBEFC?面面QI/EF?【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助空间向量直接证明。求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。5.(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.a2aBDCAp第55页共145页(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。解：(1)证明：在三角形ABD中，因为????ADBA2,60该三角形为直角三角形，所以PDPDAB????且平面?,,AB?平面平面（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是),0(),3(),03,(),0(aPaCBaA?则A?????，设平面PAB的法向量为),(zyxn，所以，?????0PnB取得)3,(n，同理设平面PBC的法向量为m，??????0BCmP取得)3,10(?，于是，72,cos???nm，因此二面角的余弦值是72?。点评：该题考查空间内的垂直关的证明，空间角的计算。考查定理的理解和运用，空间向量的运用。同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题时要注意法向量的计算和运用这一关键。6.(2011年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在三棱柱1ABC?中，H是正方形1的中心，2?，1CH?平面1，且5.?a2aaxBDCApyz（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角C?的正弦值；（Ⅲ）设N为棱1的中点，点M在平面1AB内，且MN?平面1ABC，求线段BM的长．所以二面角1ACB?的正弦值为357.（Ⅲ）由N为棱1的中点,得2(,)N,设(,0)Mab,则第57页共145页235(,,)2MNab????,由?平面1ABC,得10MNAB????????,即2325()()(20ab??????????,解得24ab?????,故2(,)4M,因此2(,0)4B???,所以线段BM的长为10||B??.7.(2011年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体1234A，找出依次排列的四个相互平行的234,,?，使得(,34),iiA???且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1234,,，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A的四个顶点满足：(1,),iiA??求该正四面体234A的体积．解析：如图，将此正四面体补形为正方体1BCD?（如图），分别取AB、CD、1B、1CD的中点E、F、1、，平面E与1F是分别过点2A、3的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a，若1AMN?，因为12AEa?，5Da，在直角三角形ADE中，AM⊥DE，所以512a??，所以5，又正四面体的棱长为210?，所以此正四面体的体积为33142Va????．本题考查立体几何中的面面关系、正四面体及体积计算．8．(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）如图5，在圆锥PO中，已知=2，⊙O的直径2AB?,C是:的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面D?平面AC;（Ⅱ）求二面角B?的余弦值.解法1：连结OC，因为,O??是的中点,所以AD.又P底面⊙O，AC?底面⊙O，所以PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以C平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD?平面PAC。（II）在平面POD中，过O作HD于H，由（I）知，平面,PDA?平面所以平面PAC，又PA?面PAC，所以.PAOH?在平面PAO中，过O作GP于G，连接HG，则有平面OGH，从而?，故?为二面角B—PA—C的平面角。在2,sin45.RtDA????中第59页共145页在2210,.5PODRtPDH??????中在26,.31AtAG?中在05,sin.63OHRtOH???中所以210cos1si.25G???故二面角B—PA—C的余弦值为10.5解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(0,)(1,0)(,)(0,1)(,2)ABCP?，1(,0)2D?设11nxyz?是平面POD的一个法向量，则由11,nOD???????，得10,2.z?????所以11,,,(,0).xyn??取得设22(,)nxyz?是平面PAC的一个法向量，则由220,nPAC??????，得2,0.xzy???????所以222,.1,xzyz??取得2(,1)n。因为1(0),)n??所以2.?从而平面POD?平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为3(0,1).n?由（I）知，平面PAC的一个法向量为2(,1)n??,设向量23n和的夹角为?，则2310cos.||5n????由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，所以二面角B—PA—C的余弦值为.9.(2011年高考广东卷理科18)如图5，在椎体PABD?中，是边长为1的棱形，且06DA??,2P?,,BEF分别是,C的中点，（1）证明：D?平面（2）求二面角?的余弦值。【解析】法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有PA，在B?中，1,60ADAB????，有ABD?为等边三角形，因此,P??，所以?平面PBG,.??又PB//EF，得EF，而DE//GB得ADDE，又FE?，所以AD平面DEF。（2）,PGADB??，??为二面角P—AD—B的平面角，在227,4RtG???中第61页共145页在32RtABG???中,=sin6027421cos732PB??????????法二：（1）取AD中点为G，因为,.PADG?又,60,ABDB???为等边三角形，因此，BAD，从而?平面PBG。延长BG到O且使得PO?OB，又PO?平面PBG，PO?AD，,OG??所以PO平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系。设1(0,)(,0)(,0),(,).2PmGnADn?则3||sin602GBA?????33131(,)(,1)(,0)(,).2242nmCEnF?????由于3(0,1)(,0)(,)2AD?????????得,,,,EFADEFDE?????AD??平面DEF。（2）13(,),(,0)22PnmPBnm??????????23,(),1,.42n??解之得取平面ABD的法向量10,n??设平面PAD的法向量2()abc由,0,2bPAnPDnac????????????得由得取2(1,).12321cos,.74n??????10.(2011年高考湖北卷理科18)（本小题满分12分）如图，已知，本棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.(Ⅰ)当CF=1时，求证：EF⊥A1E(Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为?，求tan的最小值.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解析：过E点作EN⊥AC于N，连结EF.第63页共145页（Ⅰ）如图1，连结NF、AC1，由直线柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN?底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面内的射影.在Rt△CEN中，CN=cos600=1.则由14CFNA?，得1/F，又1AC?，故作1NFAC?，由三垂线定理知1E?.（Ⅱ）如图2。连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME，由（Ⅰ）知EN⊥侧面A1C。根据三垂线定理得EM⊥AF,所以EM⊥AF，所以EN?是二面角FE?的平面角，即E???.设FAC??则0045??.在RtCE?中0sin63N?:.在RtAM?中，sin3iAN??:，故3tan.sinMN，又0045???，20sin????.故当2i，即当045?时，t?达到最小值，36ta???.此时F与C1重合.11.(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在,ABC?:0中,=,0BA9D是上的高，沿D把:折起，使0=9（Ⅰ）证明：平面?DC平面；（Ⅱ）设EBCB??为的中点,求A与夹角的余弦值。【解析】：（Ⅰ）?折起前是边上的高，?当A?:?折起后,D,,又DC=BCABABD???平面平面平面平面。（Ⅱ）由?0=9及（Ⅰ）知,两两垂直，不妨设1,D?为坐标原点，以,,DCxyz??所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得13(0,),(0)2AE(0,)(1,0)(,3)DBC13(,),2AE?????3,???D???与夹角的余弦值为12cos,4AEB??????12.(2011年高考重庆卷理科19)本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。如图，在四面体ABCD中，平面⊥ACD,B⊥,A=CD,∠=03（Ⅰ）若=2，=2，求四边形的体积。（Ⅱ）若二面角--为06，求异面直线与所成角的余弦值。（Ⅱ）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而F?是异面直线AD与BC所成角或其补角。设E为边AB的中点，则EF//BC,由A⊥BC，知EF⊥A，又由（Ⅰ）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知E⊥,所以D?为二面角--的平面角,由题设知60F??，设AD=a，则DF=ADsinCAD=2a在RtDEF?中，3cot26aDE??::，从而1326GHBC第65页共145页因ADEB??，故BD=AD=a.从而，在RtBDF?中，12HBa?,又12FGa?,从而在FGH?中，因FG=FH，由余弦定理得223cos6H???:,故异面直线AD与BC所成角的余弦值为.13．(2011年高考四川卷理科19)(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．(3)因为11CBPDCV??，所以113BPDPCDhSAS?????,1B?1124PPSS???,在B中，,,.cos,sin322BDPDBPDBP?????????，135,4BPDSh????14.(2011年高考全国卷理科19)如图，四棱锥SABCD?中，:,BCD?，侧面SA为等边三角形，2,1ABC??.（Ⅰ）证明：DS?;（Ⅱ)求与平面所成角的大小.【解析】（Ⅰ）：连结BD过D作,EABEDC?于则为正方形2,,1BEA??????又，在225RtD??中=SSBA为等边三角形,，在2251A??中,2D???即，同理可证,SDBAS???即又SDB?平面,SAB?即又?平面（Ⅱ）过做z平面C，如图建立空间直角坐标系xy?，(2,10)(,)A13(0,)(,)2S可计算平面SB的一个法向量是,n??，=AB??(0,||231|cos,.7nA??????:所以B与平面SC所成角为arcos.15.(2011年高考安徽卷江苏16)如图，在四棱锥ABCDP?中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PADzyx第67页共145页【解析】证明:（1）因为E、F分别是AP、AD的中点,所以EF∥PD,又因为EF?平面PCD,PD?平面PCD,所以直线EF∥平面PCD；（2）设AB=AD=2a,则AF=,又因为∠BAD=60°，所以在AB?中,由余弦定理得：BF=3a，所以224FAB??，所以BF⊥AF，因为平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，F?平面ABCD，所以BF⊥平面PAD，因为B?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.16．(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD?中，?平面ABCD，底面是菱形，2,60AB???.(Ⅰ)求证：?平面;（Ⅱ）若,P求B与AC所成角的余弦
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