求解一个有趣的常微分方程组
我同学提出了一个有趣的微分方程组，如下：
(1) dxdt+dydt=v0
(2) m(dxdt)2+m(dydt)2+k(y-x-l)2=mv20
从方程看，第二个是能量守恒，第一个应该是动量守恒，系统中有两个质量为m的物体，有一个初始长度为l的弹簧。(2)式两边同时乘以12可知初始能量为12mv20。
要想解开这个方程，需要把它先化为我们熟知的微分方程类别，例如二阶常系数微分方程。
考虑(1)的平方。
(dxdt)2+(dydt)2+2dxdtdydt=v20
两边都乘以m，得，
m(dxdt)2+m(dydt)2+2mdxdtdydt=mv20
对(4)和(2)求差，得
2mdxdtdydt=k(y-x-l)2
对(5)两侧求自变量t的导数
2m(d2xdt2dydt+dxdtd2ydt2)=2k(y-x-l)(dydt-dxdt)
对(1)两侧求自变量t的导数
d2xdt2+d2ydt2=0
d2xdt2=-d2ydt2
将(8)应用到(6)，消去y的二阶导数，得
2md2xdt2(dydt-dxdt)=2k(y-x-l)(dydt-dxdt)
整理(9)得，
md2xdt2=k(y-x-l)
对(1)两侧做积分，得
∫(dxdt+dydt)dt=∫v0dt
如果考虑在t=0时候，x=0,y=l,也就是假设弹簧处于原长，则，
然后，(12)可以修订为
将(14)应用到(10)，消去y，得
md2xdt2=k(v0t+l-x-x-l)=k(v0t-2x)
mx′′+2kx=kv0t
x′′+2kmx=kv0mt
进一步采用常系数二阶非齐次微分方程求解方法可得
x(t)=C1cosAt+C2sinAt+C3t+C4
经过对初值条件得分析，则可以得到正确表达式
x(t)=v02t+v02m2k---√sin2km---√t-l2
结合(14)可知，
y(t)=v02t-v02m2k---√sin2km---√t+l2
。在他的个人博客中，提到了这个微分方程组对应的物理现象。在光滑跑道上有两个质量为m的物体，两个物体中间连有一个初始长度为l的弹簧。在初始时刻，赋予其中一个物体一个速度v0,求解这两个物体的运动方程。
起初，我并不知道这些初始条件，物理场景，所以尝试把方程转化为我们学习过的类别。比如，一阶常微分方程，二阶常系数常微分方程。因为方程(2)包含有平方项，所以当务之急是消去它。消去两个平方项，得到了方程(5)，又陷入困境：怎么处理dxdtdydt这样的交叉项呢？看书也并无帮助，我回过头来对两边求导，后面又发现两个物体的加速度，或者位移的二阶导数是等大反向，所以可以提出一个公因式，dydt-dxdt，如果假设这个公因式不为0，就可以从等式两边消去，从而得到一个更加简单的二阶方程。后面的事情就很好处理了。
命题，dydt-dxdt=0是不可能成立的。
如果dydt-dxdt=0，则方程的解显然是y=x。这相当于在初始时刻给予两个物体相同的初速度v0/2，然后两个物体做匀速直线运动，故而弹簧没有伸缩，没有弹性势能。初始动能是12m(v02)2+12m(v02)2=14mv20而不是12mv20，得证。
参考资料：
丁同仁，李承治， ，第二版， 高等教育出版社
刘珈铭，Jia-Ming (Frank) Liou, ，国立成功大学数学系
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常微分方程第二章练习与答案.doc 16页
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··········
··········
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：
　解：，　　，
则，，　所以 　即 原方程不是恰当方程．
则　所以，即　原方程为恰当方程
两边积分得：
3．　（a,b和c为常数）．
则　所以，即　原方程为恰当方程
两边积分得：
则　因为　, 所以，即　原方程不为恰当方程
则　所以，即　原方程为恰当方程
两边积分得：
则　所以，即　原方程为恰当方程
两边积分得：
则　所以，即　原方程为恰当方程
两边积分得：
则　所以　当，即　时，　原方程为恰当方程
两边积分得：
而当时原方程不是恰当方程．
则　所以，　即原方程为恰当方程,
两边积分得：．
10．　　其中是连续的可微函数．
则　所以，　即原方程为恰当方程,
两边积分得：,
即原方程的解为 (其中F为f的原积分)．
求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义
解：原方程即为：
两边积分得：．
解：原方程即为：
两边积分得：．
　　解： 当时
　　　　　原方程为：
两边积分得：．
又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
　　解：原方程即为：
两边积分得：，
　　　解：①当时
　　　　　原方程即为：
两边积分得：．
②=0，即也是方程的解.　（）
　 解：①当时
　　　　　原方程即为：
两边积分得：．
② 也是方程的解.
　　解．原方程即为：
两边积分得：，
原方程的解为：.
解下列微分方程的初值问题．
（１）　　；
解：两边积分得：，　即　
　　因为　　,　所以　.
　　所以原方程满足初值问题的解为：．
（２）．，　；
　解：原方程即为：，
两边积分得：，
因为，　所以，
所以原方程满足初值问题的解为：．
（３）．，　；
　　解：原方程即为：，两边积分得：，
　　　　因为，　所以，
　　　　所以原方程满足初值问题的解为：　即　．
解：原方程即为：,
两边积分得：,
因为， 所以，
所以原方程满足初值为：
（５）．，　；
　　解：原方程即为：，
　　　　两边积分得：，
　　　　因为，　所以，
　　　　所以原方程满足初值问题的解为：．
解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．
　（１）．
解：两边积分得：．
积分曲线的简图如下：
（２）．，　（常数）；
　　解：①当时，
　　　　　原方程即为：　积分得：，
　　　　　即　
②也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
（３）．；
　　解：①当时，
　　　　　原方程即为：　积分得：，
　　　　　即　．
②也是方程的解．
　　 积分曲线的简图如下：
（４）．，　；
　　　解：①当时，
　　　　　　　ⅰ）时，原方程即为　，
　　　　　　　　　积分得：．
　　　　　　ⅱ）时，原方程即为　
　　　　　　　　积分得：，即　．
　　　　　②也是方程的解．
　　　　积分曲线的简图如下：
跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．
解：设B的运动轨迹为,由题意及导数的几何意义，则有
，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足的解．
解之得：．
设微分方程（2.27），其中f(y) 在的某邻域（例如，区间）
　　内连续，而且，则在直线上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分（发散）．
证明：（）
首先经过域：
内任一点（）恰有方程（2.13）的一条积分曲线，
它由下式确定
这些积分曲线彼此不相交. 其次，域（）内的所有
积分曲线都可由其中一条，比如
沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过内某一点
的积分曲线，　它由（*）式确定.
　若收敛，即存在
　即所讨论的积分曲线当
时达到直线上点（）. 由（*）式易看出，
　所论积分曲线在（）处与 相切，在这种情形下，经过此直线上的
　一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以发散.
若积分发散，此时由（*）式易看出，所论的经过的积分
曲线，不可能达到直线 上，而以直线为渐近线，又注意到也
是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过的解是唯一的.
注：对于内某点（）完全可类似地证明.
作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．
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副标题要不要【图文】第十讲--求微分方程的解_百度文库
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谈微分方程的近似解法
　　【摘要】微分方程的近似解具有很大的理论意义，而微分方程的解和解的唯一性又是进行近似计算的前提，也是求微分方程近似解的理论基础。对于有初始条件的微分方程可以选用，欧拉方法和逐次逼近的方法来求得微方程近似解。 中国论文网 /7/view-5262482.htm　　【关键词】微分方程的近似解；欧拉折线法；逐次逼近法；唯一性定理 　　中图分类号：O1-0文献标识码A文章编号（-01 　　微分方程理论中最基本的内容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理论意义。但是，由于能求出精确的微分方程为数不多，那么，微分方程近似解法就显得十分重要，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要确定哪一个解却要近似地去确定它，问题也是不明确的，这样一来，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理论基础。下面我就只有已知初始值的问题，对这个问题说明欧拉方法和逐次逼近法的思想，来近似求解微分方程。 　　欧拉折线法 　　设在平面上点（x，y）上某个区域D中给定微分方程： 　　.（1） 　　且该方程在区域D上定义了一个方向，（1）在D上任取一点（x0，y0），经过这个点作直线L0。（2）在直线L0上任取一点（x1，y1）且使（x1，y1）相当接近于（x0，y0），经过点（x1，y1）作直线L1。（3）在L1上任取一点（x2，y2），且使（x2，y2）相当接近（x1，y1），再作直线L2…………. 　　设x0<x1<x2<………且（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2）……….都在G内，连接这些点的折线叫欧拉折线。同时也可以在x减少的方向作欧拉折线。 　　我们希望通过（x0，y0）点的每一条欧拉折线，当每一段都很短时，可以作为通过点（x0，y0）的积分曲线L的某种表示，当最长的线段都趋于零时，即每段也都趋于零时，欧拉折线就接近于积分曲线。 　　当然在这里我们首先必须假定积分曲线存在是唯一的。事实上只要函数f（x，y）在区域D内连续，就可以得出无限序列的欧拉折线，其最长的直线趋近于零。则这个序列就收敛于某个积分曲线L. 　　但在此时仅是存在，一般说来还不是唯一的。可能存在不同序列的欧拉折线，它们收敛于不同的积分曲线，且均通过同一个点（x0，y0）。 　　例如：仅含有一个未知数的一阶微分方程.（2） 　　为使得在区域D中任何点的斜率为f（x，y），必须除掉平行于oy轴的方向，我们研究的曲线只是x的函数图形。因此，如果某一曲线它与垂直于于X轴的另一直线有多于一点的交点，这个函数就不是单值对应，此时，我们把（2）的求解问题加以推广，而考虑： 　　还有基于其它思想，找寻微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。
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