设W1,W2,W3是向量空间V的子空间，如何证明是子空间：（W1+W2）∩（W1+W3）属于W1+（W2∩W3

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-28 15:32 标签： 向量空间 子空间
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子空间的运算
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你可能喜欢求解：两个线性子空间w1和w2，为什么w1+w2是线性子空间？谢谢大家了
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先说一下：这里W1+W2指的是一个新的集合W，,其元素是w1+w2其中w1属于W1，w2属于W2。 以下是证明：（w1、w2是V的线性子空间）（V定义在属于F上）首先{0}属于W1、W2故{0}也属于W；任意w3、w4属于W，存在w5、w6属于W1，w7、w8属于W2，使得w5+w7=w3、w6+w8=w4；因为W1、W2是V的线性子空间，所以w5+w6属于W1、w7+w8属于W2，而w3+w4=（w5+w6）+（w7+w8）也属于W，所以W关于加法是封闭的。此外，任意数a属于数域F，a*w5属于W1，a*w7属于W2；所以a*w3=a*(w5+w7)=a*w5+a*w7也属于W；说明W对于标量乘法也是封闭的。综合，{0}属于W、W对于加法封闭、W对于标量乘法封闭，所以W是V的线性子空间。证毕
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设W1,…,Ws是有限维空间V的真子空间,则存在V的一个基,使得其中的每一个向量均不在W1,…,Ws中．
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证：先证明W1,W2,……,Ws的并集W是V的真子集.先取a不在W1中,a可能不在W2中,如果a在W2中,则选b不在W2中,作向量a+kb,其中k是数域F的任意数,如果W1中存在两个形如a+kb的元素a+k1b,a+k2b,则它们的差属于W1,推出b在W1中,又a+k1b在W1中,推出a在W1中,矛盾!所以至多只有一个k值使a+kb属于W1,同理可证,至多只有一个k值使a+kb属于W2,也就是说存在无穷多个这样的a+kb不属于W1且不属于W2,于是任取一个a+kb代替a,得到：存在元素a,它不属于W1也不属于W2.如果这个a属于W3,则取b不在W3中,同上可得存在a+kb不在W1,W2,W3中,用它代替a,则a不在W1,W2,W3中.重复这种过程得知,存在向量a,它不属于W.任取不属于W的向量a1,取与a1线性无关的向量b,作a1+kb（其中k不为零）,这种向量有无穷多个,而每个Wi至多含有一个这样的元素,所以必存在k使得a1+kb不属于W,记这个元素为a2.它与a1线性无关.取与a1,a2线性无关的向量b,作a1+kb（k非零）,同上可知存在这样的a1+kb,它不属于W,将它记作a3,则a1,a2,a3线性无关.照这样下去,可以得到V的基a1,a2,a3,…… ,an.其中每个向量不属于W1,W2,……,Wn.
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假设W1,W2是向量空间V的子空间,W1+W2={v|v=w1+w2},w1属于W1,w2属于W2,求证W1+W2是V的子空间
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利用子空间定义,设任取a=a1+a2,b=b1+b2属于W1+W2,这里a1,b1 属于W1,a2,b2属于W2,则a+b=a1+a2+b1+b2,因为W1,W2是子空间,所以a1+b1属于W1,a2+b2属于W2,从而a+b属于W1+W2;对任意k属于数域F,任取a=a1+a2,则ka=ka1+ka2,因为W1,W2是子空间,所以ka1属于W1,ka2属于W2,所以ka属于W1+W2;所以W1+W2是V的子空间
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单项选择题 设图(a)、(b)、(c)三个质量弹簧系统的固有频率分别为w1、w2、w3，则它们之间的关系是（）。
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B．2，1，-1
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C．RB=100kN，方向铅直向上
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