高等数学《不定积分与定积分》知识点与题型求解
一、与定积分定义与性质有关的问题
● 用定积分的定义求数列极限的基本原则与使用方法
依据：基于以上结论和定积分的定义，于是对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限.
原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k（或者i）转换为i/n或k/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 具体过程参见课件中的例题和后面的参考阅读！
【注】如果希望构建积分区间为[a,b]，则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)i/n，即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[a,b]的定积分形式.
● 定积分性质命题相关的注意事项
(1) 与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论
(2) 与定积分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的桥梁，使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究.
二. 与变限积分函数有关的问题
积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数
● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导
● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理。于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式
● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果
即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量.
三. 不定积分和定积分的计算及证明
定积分的计算步骤（不定积分计算思路从step3开始）小结
Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算.
Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算.
Step3：考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分.
Step4：考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！
【注1】不管是分部积分法还是换元法（第一类换元法），一般是将被积函数分解为两个函数的乘积，然后考察简单函数的原函数，一般思路为（假设函数h(x)为简单函数）：
【注2】对于两个函数的乘积，在寻找h(x)的原函数的过程中，注意观察可能的原函数结构与余下函数的关系，通过构造函数（加、减、乘、除函数项弥补需求）得到函数的原函数。
【注3】考虑简单函数的导数来寻找余下函数的关系来构造合适的换元方式与计算方法。
【注4】记得三角代换的三个三角形用来逆代换三角函数表达式。
四. 定积分的应用
可用定积分模型求解的问题类型及基本解题思路与步骤：
(1) 定型：判定所求量是否适合使用定积分模型求解
依据：需要计算的量具有可加性，即可以对所求量进行分割，总量等于各部分量之和。
(2) 定线：将所求量分布到一条有限长度的线段上，使得可以通过对线段的分割，实现对所求量的分割。量的分割方式可以就为线段上的点(如细棒的质量、变力沿直线段位移作功、变速直线运动的路程计算，直线型构件对质点的引力等)；也可以通过在线段上取点，做垂直于线段的直线（如静压力、平面区域的面积等）或者平面（如立体体积的计算）实现对所求量的分割。
【注】线段的选取不唯一。
(3) 定限：过选择的直线段，指定合适位置为原点和一个方向，建立数轴（或为坐标系中的一个坐标轴），从而线段在数轴上占有的区间[a,b]（即所求量就分布在[a,b]对应的线段上，或者分布在过a，b两点垂直于数轴的两直线或两平面之间）即为定积分的积分区间。
【注】：对于给出了函数或者变量范围的实际问题区间直接给出。比如求圆心角为a，半径为R，线密度为μ的圆弧形物体对位于圆心位置，质量为m的质点的引力，则变量的范围可以直接取为[0,a]或[-a/2,a/2]，等，坐标系建立的不同而不同。这也就是说同样的变量取值范围，可能对应不同的积分区间。(该题可以通过分割圆心角范围，计算对应小段的弧长，从而得到相应的质量计算得到小段的引力，然后通过力的分解，定积分分别求指定方向的力，本题建立的坐标系主要是为力的分解服务的)。
(4) (分割)近似：在确定使用的变量范围内，任取x∈[a,b]，给一个增量dx，则以两端点位置采取合适方式（点分割、线分割、面分割）分割总量，并用x位置属性代替小区间对应部分量的整体属性(如高、密度、力、距离等)，构建函数f(x)，将不规则问题规则化，近似描述小区间[x,x+dx]对应的部分量为f(x)dx。
(5) (求和取极限)建模：以[a,b]为积分限，f(x)dx为积分表达式，写出总量U计算的积分模型，即
(6) 计算：计算定积分。
【注】其中(4)(5)就是元素法（或称为微元法）的基本思想，即“分割取近似，作和求极限”。
【注1】：如果对于整个区间[a,b]不能建立统一的被积表达式，可以考虑对区间进行分割，分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型，分别计算定积分，然后借助量的可加性，求和得到最终的总量。
【注2】定积分只能是数量（标量）的求和，因此对于矢量的计算应该分解为变量进行分量的计算来计算，比如引力的计算。
五. 反常积分
1、定义法求积分值与判定积分的敛散性
定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限
即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。
2、反常积分收敛性的判定方法
判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分
(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论
(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论
【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。
【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。
【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。
【注4】具体内容与方法参考以下课件的部分内容和教材中的例题。
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[高等数学]定积分
定积分的概念和性质
定积分问题举例
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积可看作n个窄矩形面积之和
曲边梯形的面积A≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+...+f(ξn)Δxn=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi，其中λ=max{Δx1，Δx2，...，Δxn}，ξ为xi-1和xi间的任一值，Δxi=xi-xi-1
变速直线运动的路程
s=limλ→0∑i=1nv(τi)Δti
定积分定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0&x1&x2&...&xn-1&xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],...,[xn-1,xn]，各个小区间的长度依次为Δx1=x1-x0,Δx2=x2-x1,...,Δxn=xn-xn-1，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度Δxi(i=1,2,...,n)，并作出和S=∑i=1nf(ξi)Δxi，记λ=max{Δx1,Δx2,...,Δxn}，如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样选取，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称积分），记作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx=I=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi，其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间
和∑ni=1f(ξi)Δxi通常称为f(x)的积分和，如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，那么就说f(x)在[a,b]上可积
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积
设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积
定积分的近似计算
在小区间[xi-1,xi]上，取ξi=xx-1，应有∫baf(x)dx=limn→∞b-an∑i=1nf(xi-1)
对于任一确定的正整数n，有：∫baf(x)dx≈b-an∑i=1nf(xi-1)
记f(xi)=yi(i=0,1,2...,n)，上式可记作∫baf(x)dx≈b-an(y0+y1+...+yn-1)（3）
如果取ξi=xi，则可得近似公式∫baf(x)dx≈b-an(y1+y2+...+yn)（4）
以上求定积分近似值的方法称为矩形法。公式（3）、（4）称为矩形法公式。常用的方法还有梯形法和抛物线法（又称辛普森法）
梯形法：∫baf(x)dx≈b-an(y0+y12+y1+y22+...+yn-1+yn2)=b-an(y0+yn2+y1+y2+...+yn-1)（梯形法公式所得近似值就是矩形公式（3）和（4）所得两个近似值的平均值）
抛物线法：∫baf(x)dx≈b-a3n[(y0+4y1+y2)+(y2+4y3+y4)+...+(yn-2+4yn-1)+yn]=b-a3n[y0+yn+4(y1+y3+...+yn-1)+2(y2+y4+...+yn-2)]
定积分的性质
当a=b时，∫baf(x)dx=0；
∫baf(x)dx=-∫abf(x)dx，即交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反
∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx（k是常数）
设a&c&b，则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则∫ba1dx=∫badx=b-a
如果在区间[a,b]上，f(x)/ge0，则∫baf(x)dx≥0（a&b）
如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx（a&b）
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx(a&b)
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)（a&b）
定积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)（a≤ξ≤b）
由定积分中值定理得：f(ξ)=1b-a∫abf(x)dx，称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值
微积分基本公式
积分上限的函数及其导数
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数?(x)=∫xaf(t)dt在[a,b]上可导，并且它的导数?′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)（a≤x≤b）
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数?(x)=∫xaf(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式（也叫微积分基本公式）：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则∫abf(x)dx=F(b)-F(a)（4），也可写作∫baf(x)dx=[F(x)]ba
一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足条件：
φ(α)=a，φ(β)=b;
φ(t)在[α,β]（或[β，α]）上具有连续导数，且其值域Rφ=[a,b]，则有：∫baf(x)dx=∫βαφ′(t)dt，这个公式叫做定积分的换元公式
用x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限；
求出f[φ(t)]φ′(t)的一个原函数?(t)后，不必像计算不定积分那样再把?(t)变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入?(t)中然后相减就行了
若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx.
若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则∫a-af(x)dx=0
若f(x)在[0,1]上连续，则∫π20f(sina)dx=∫π20f(cosx)dx∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx
设f(x)是连续的周期函数，周期为T，则∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx∫a+nTaf(x)dx=n∫T0f(x)dx(n∈N)
定积分的分部积分法
定积分的分部积分公式：∫bauv′dx=[uv]ba-∫bavu′dx或∫baudv=[uv]ba-∫abvdu
无穷限的反常积分
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t&a，如果极限limt→+∞∫taf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作∫+∞af(x)dx，即∫+∞af(x)dx=limt→+∞∫taf(x)dx，这时也称反常积分∫+∞af(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分∫+∞af(x)dx就没有意义，习惯上称为反常积分∫+∞af(x)dx发散，这时记号∫+∞af(x)dx不再表示数值了。
类似地，设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，取t&b，如果极限limt→-∞∫btf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记作∫b-∞f(x)dx，即∫b-∞f(x)dx=limt→-∞∫btf(x)dx，这时也称反常积分∫b-∞f(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分∫b-∞f(x)dx发散
设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，如果反常积分∫0-∞f(x)dx和∫+∞0f(x)dx都收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分，记作∫+∞-∞f(x)dx，即∫+∞-∞f(x)dx=∫0-∞f(x)dx+∫+∞0f(x)dx=limt→-∞∫0tf(x)dx+limt→+∞∫t0f(x)dx，这时也称反常积分∫+∞-∞f(x)dx收敛；否则就称反常积分∫+∞-∞f(x)dx发散
无界函数的反常积分
如果函数f(x)在点a的任一邻域内部都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，取t&a，如果极限limt→a+∫btf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx=limt→a+∫btf(x)dx。这时也称反常积分∫baf(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分∫baf(x)dx发散。
类似地，设函数f(x)在[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，取t&b，如果极限limt→b-∫taf(x)dx存在，则定义∫baf(x)dx=limt→b-∫taf(x)dx。否则，就称反常积分∫baf(x)dx发散。
设函数f(x)在[a,b]上除点c（a&c&b）外连续，点c为f(x)的瑕点，如果两个反常积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx都收敛，则定义∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx=limt→c-∫taf(x)dx+limt→c+∫btf(x)dx。否则，就称反常积分∫baf(x)dx发散。
反常积分的审敛法 Γ函数
无穷限反常积分的审敛法
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)≥0。若函数F(x)=∫xaf(t)dt在[a,+∞)上有上界，则反常积分∫+∞af(x)dx收敛
对于非负函数的无穷限的反常积分：(比较审敛原理)设函数f(x)、g(x)在区间[a,+∞)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)（a≤x&+∞），并且∫+∞ag(x)dx收敛，则∫+∞af(x)dx也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)（a≤x&+∞），并且∫+∞ag(x)dx发散，则∫+∞af(x)dx也发散
比较审敛法1：设函数f(x)在区间[a,+∞)（a&0）上连续，且f(x)≥0，如果存在常数M&0及p&1，使得f(x)≤Mxp（a≤x&+∞），则反常积分∫+∞af(x)dx收敛；如果存在常数N&0，使得f(x)≥Nx（a≤x&+∞），则反常积分∫+∞af(x)dx发散
极限审敛法：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)≥0，如果存在常数p&1，使得limx→+∞xpf(x)存在，则反常积分∫+∞af(x)dx收敛；如果limx→+∞xf(x)=d&0（或limx→+∞xf(x)=+∞），则反常积分∫+∞af(x)dx发散
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，如果反常积分∫+∞a|f(x)|dx收敛，则反常积分∫+∞af(x)dx也收敛。满足这个条件的反常积分∫+∞af(x)dx绝对收敛，因此这个定理可简单表达为：绝对收敛的反常积分∫+∞af(x)dx必定收敛
无界函数的反常积分的审敛法
比较审敛法2：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)≤0，x=a为f(x)的瑕点，如果存在常数M&0及q&1，使得f(x)≤M(x-a)q(a&x≤b)，则反常积分∫baf(x)dx收敛；如果存在常数N&0，使得f(x)≥Nx-a（a&x≤b），则反常积分∫baf(x)dx发散
极限审敛法2：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点，如果存在常数0&q&1，使得limx→a+(x-a)qf(x)存在，则反常积分∫baf(x)dx收敛；如果limx→a+(x-a)f(x)=d&0（或limx→a+(x-a)f(x)=+∞），则反常积分∫baf(x)dx发散
Γ(s)=∫+∞0e-xxs-1dx（s&0）
递推公式：Γ(s+1)=sΓ(s)（s&0）
一般的，对于任何正整数，有：Γ(n+1)=n!
当s→0+时，Γ(s)→+∞
Γ(s)Γ(1-s)=πsinπs（0&s&1）
在Γ(s)=∫+∞0e-xxs-1dx中，做代换x=u2，有Γ(s)=2∫+∞0e-u2u2s-1du，再令2s-1=t，即有∫+∞0e-u2utdu=12Γ(1+t2)（t&-1）
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高数 有关定积分的疑问为什么∫(e^(t^2))dt(其中上限为x,下限为0)在x->0时 该定积分结果也趋于0?
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因为定积分就是求在上下积分区间内,被积函数与x轴所谓成的面积.对于这题,上下积分区间为(0,x),当x趋向于0时,积分区间越来越小,面积也原来越小,最终趋向于0.
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这很好理解，因为e^(t^2)~1+t^2+t^4/2!+..+t^(2n)/n!+...定积分后为： x+x^3/3+x^5/(5*2!)+..+x^(2n+1)/[(2n+1)n!]+....当x->0时，其值也显然为0了。
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