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同济版高数教学设计完美版微分方程
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§12 微分方程第十二章
微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)=f(x)， y''+f(x,y')和y''=f(y,y')5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、2、3、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程y(n)=f(x)， y''+f(x,y')和y''=f(y,y') 二阶常系数齐次线性微分方程；4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程第 1 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程§12. 1
微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y=y(x). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程)dy=2x.
dx此外, 未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时, y=2, 简记为y|x=1=2.
(2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)y=?2xdx, 即y=x2+C,
(3)其中C是任意常数.把条件“x=1时, y=2”代入(3)式, 得2=12+C,由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):
y=x2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式d2s=-0.4
(4) dt2此外, 未知函数s=s(t)还应满足下列条件:第 2 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程
t=0时, s=0, v=ds=20. 简记为s|=0, s'|=20.
(5) t=0t=0dt把(4)式两端积分一次, 得v=ds=-0.4t+C;
(6) 1dt再积分一次, 得s=-0.2t2 +C1t +C2,
(7)这里C1, C2都是任意常数.把条件v|t=0=20代入(6)得20=C1;把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2.把C1, C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t +20,
(8)s=-0.2t2+20t.
(9)在(8)式中令v=0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间t=20=50(s).
0.4再把t=50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2?502+20?50=500(m). 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,s''=-0.4, 并且s|t=0=0, s'|t=0=20.把等式s''=-0.4两端积分一次, 得s'=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是任意常数),再积分一次, 得s=-0.2t2 +C1t +C2 (C1, C2都C1是任意常数).由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t +20;由s|t=0=0得0=C2, 于是s=-0.2t2+20t.令v=0, 得t=50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2?502+20?50=500(m).第 3 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程
几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程.
常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.
x3 y'''+x2 y''-4xy'=3x2 ,y(4) -4y'''+10y''-12y'+5y=sin2x,y(n) +1=0,一般n阶微分方程:F(x, y, y',
? ? ? , y(n) )=0.y(n)=f(x, y, y',
? ? ? , y(n-1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=?(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上,
F[x, ?(x), ?'(x), ? ? ?, ?(n) (x)]=0,那么函数y=?(x)就叫做微分方程F(x, y, y', ? ? ?, y(n) )=0在区间I上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x=x0 时, y=y0 , y'= y'0 .一般写成'.
yx=x0=y0, y'x=x0=y0特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y'=f(x,
y)满足初始条件yx=x0=y0的解的问题, 记为?y'=f(x,y)
yx=x0=y0?积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.第 4 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程
例3 验证: 函数x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程 的解.解 求所给函数的导数:dx=-kC1sinkt+kC2coskt,
d2x+k2x=0 2dtdtd2x=-k2Ccos22kt-kCsinkt=-k(C1coskt+C2sinkt).
12dt2将d2x及x的表达式代入所给方程, 得 dt2-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)≡0.d2x+k2x=0
这表明函数x=C1coskt+C2sinkt 满足方程2, 因此所给函数是所给方程的解.
dt例4 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程x| t=0 =A, x'| t=0 =0的特解.解
由条件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt, 得C1=A.再由条件x'| t=0 =0, 及x'(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt, 得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中, 得x=Acos kt. §12. 2
可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y'=2x的通解. 为此把方程两边积分, 得y=x2+C.第 5 页 共 42 页 d2x+k2x=0的通解, 求满足初始条件 2dt高等数学教案
§12 微分方程
一般地, 方程y'=f(x)的通解为y=?f(x)dx+C(此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y'=2xy2 的通解.因为y是未知的, 所以积分?2xy2dx无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为1dy=2xdx, 两边积分, 得 y
-=x2+C, 或y=-可以验证函数y=-1y1,
x2+C1是原方程的通解.
x2+C一般地, 如果一阶微分方程y'=?(x, y)能写成g(y)dy=f(x)dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)=F(x)+C,由方程G(y)=F(x)+C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0在这种方程中, 变量x与y 是对称的.若把x看作自变量、y看作未知函数, 则当Q(x,y)≠0时, 有dyP(x,y)=-.
dxQ(x,y)dx=-Q(x,y).
dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数, 则当P(x,y)≠0时, 有可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (或写成y'=?(x)ψ(y))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy, 另一端只含x的函数和dx, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.第 6 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y'=2xy,
是. =>y-1dy=2xdx .(2)3x2+5x-y'=0,
是. =>dy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0,
不是.(4)y'=1+x+y2+xy2, 是. =>y'=(1+x)(1+y2).(5)y'=10x+y,
是. =>10-ydy=10xdx. (6)y'=x+y.
不是. yx可分离变量的微分方程的解法:第一步
分离变量, 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式;第二步
两端积分:?g(y)dy=?f(x)dx, 设积分后得G(y)=F(x)+C;第三步
求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=Φ(x)或x=ψ(y)G(y)=F(x)+C , y=Φ (x)或x=ψ(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解.
例1 求微分方程dy=2xy的通解.
此方程为可分离变量方程, 分离变量后得1dy=2xdx,
?y?两边积分得即
ln|y|=x2+C1,从而
y=±ex2+C1=±eC1ex.
2因为±eC1仍是任意常数, 把它记作C, 便得所给方程的通解y=Cex.解
此方程为可分离变量方程, 分离变量后得21dy=2xdx,
y两边积分得第 7 页 共 42 页高等数学教案
§12 微分方程
ln|y|=x2+lnC,从而
y=Cex. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比. 已知t=0时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM.
2dt由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程dM=-λM,
dt其中λ(λ&0)是常数, λ前的曲面号表示当t增加时M单调减少. 即由题意, 初始条件为M|t=0=M0.将方程分离变量得dM=-λdt.
MdM=(-λ)dt,
?M?两边积分, 得即
lnM=-λt+lnC, 也即M=Ce-λt.由初始条件, 得M0=Ce0=C,所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=M0e-λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解
设降落伞下落速度为v(t). 降落伞所受外力为F=mg-kv( k为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F=ma, 得函数v(t)应满足的方程为mdv=mg-kv,
dt初始条件为第 8 页 共 42 页百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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对于微分方程这里，计算已经没什么太大的问题了，但是碰到物理类的题，让自己建立微分方程时，总是建不出来，基本的物理公式也都知道，但每次总是····还希望谁能点拨一下，像物理这一类的微分方程的建立，有什么思路吗？附上一道题，希望大家能帮帮忙，十分感谢！
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大家忙忙帮，微分方程学的比较好的同学还希望能指点指点
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错了，我就不谈了。我也头疼这个
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多是力学方面的，利用F=ma建立微分方程，经过受力分析找到合力F，a=v'=s''。根据题意找到初始条件。
本题，我的习惯是先建立数轴，以初始位置为原点，运动方向为t轴正向，设时刻t的速度是v(t)，时刻t的坐标s(t)就是路程。
根据F=ma，F=v，m=1，a=-v'，所以v'=-v，v(0)=v0。
求出特解v以及v0/3对应时刻t0，路程s(t0)是0到t0上v(t)的定积分。
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Mengxuer 发表于
多是力学方面的，利用F=ma建立微分方程，经过受力分析找到合力F，a=v'=s''。根据题意找到初始条件。
本题， ...
当年大物都是泪，冒昧借楼问个构造函数的问题，57题，到底构造函数的公式是什么，去年很熟练的。
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Mengxuer 发表于
多是力学方面的，利用F=ma建立微分方程，经过受力分析找到合力F，a=v'=s''。根据题意找到初始条件。
本题， ...
是不是就是对这种力学的题，先找个一个力的平衡的式子，再把每个量用未知函数和题中的条件表示出来，加上初始条件，就是微分方程了？还有，这个题里F=v是为啥···
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狂奔的薯条 发表于
是不是就是对这种力学的题，先找个一个力的平衡的式子，再把每个量用未知函数和题中的条件表示出来，加上 ...
恩，先找到关系式，F=MA=KV，因为是单位质点M=1，K=1
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四楼给出正确的思路咯亲~这个其实把几种物理模型弄清楚就ok了~~物理应用考的概率很小很小，因为要保证公平性，考这个对数理系的有优势= =。。。命题组会避开这个~~
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侧身 发表于
当年大物都是泪，冒昧借楼问个构造函数的问题，57题，到底构造函数的公式是什么，去年很熟练的。
这个就令F（x）=f（x）/（1-xf（x））就ok了~~
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<font color="#2582459 发表于
这个就令F（x）=f（x）/（1-xf（x））就ok了~~
大腿！，我要你构造函数的步骤， 答案什么的最不靠谱了。上次你发给我的核心公式，俺还是不会
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求微分方程xy′+y=2(xy)^(1/2)的通解
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根据函数的积的求导法则：xy'+y=xy'+x'y=(xy)'所以,原式化为(xy)'=2√(xy)积分得xy=(4/3)(xy)^(3/2)+C
答案为x-根号(xy)=C,怎么算啊
不会吧？？？
答案应该是x-√(xy)=C，
检验如下：即x-C=√(xy)，
即y=[(x-C)^2]/x=x-2C+(C^2)/x
这样的话，
导数y'=1-(C^2)/(x^2)
代入原式，则
xy'+y=x-(C^2)/x+x-2c+(C^2)/x=2x-2C=2√(xy)。
应该是我的回答有问题，
不好意思，偷换变量了。
重新解答如下：
根据函数的积的求导法则：
xy'+y=xy'+x'y
所以，原式化为
(xy)'=2√(xy)
令t=xy，则
t'=dt/dx=2√t
dt/2√t=dx
两边同时积分得
√(xy)=x+C
C为任意常数。
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