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常微分方程第三版课后答案
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常微分方程第三版课后答案
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《一阶微分方程的通解》日期：
科技信息○高校讲坛○ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００８年第２０期一类一阶微分方程的通解问题徐炳元（徐州市广播电视大学江苏摘【要】文章讨论了微分方程ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）ｖ（ｙ）解的特殊求法，得出：当徐州２２１００６）ｕ（ｙ）′＝ｙ＇时ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）ｖ（ｙ）有通解ｕ（ｙ）＝&ｅ－! ｐ（ｘ）ｄｘ［ｑ（ｘ）ｅ!! ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋ｃ］ＡｋｉｎｄｏｆｓｔｅｐｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｒｄｉｎａｒｙｓｏｌｕｔｉｏｎｑｕｅｓｔｉｏｎＸＵＢｉｎｇ－Ｙｕａｎ（ＸｕｚｈｏｕＢｒｏａｄｃａｓｔＴｅｌｅｖｉｓｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２２１００６，ＸｕｚｈｏｕＪｉａｎｇｓｕ，Ｃｈｉｎａ）关键词】一阶微分方程；通解【１．引言在常微分方程中讨论了一阶线性微分方程ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）有通解!所以ｕ（ｙ）ｅｐ（ｘ）ｄｘ＝ｑ（ｘ）ｅ!! ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋ｃ，故通解为ｙ＝ｅ－! ｐ（ｘ）ｄｘ［ｑ（ｘ）ｅ!! ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋ｃ］现在我们进一步利用凑微分法来研究一阶微分方程ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）ｖ（ｙ）的通解问题。２．一阶线性微分方程ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｑ（ｘ）的通解问题! ｐ（ｘ）ｄｘ! ｐ（ｘ）ｄｘ! ｐ（ｘ）ｄｘ! ｐ（ｘ）ｄｘ因为［!ｙｅ］＇＝ｙ＇ｅ＋ｙｅｐ（ｘ）＝［ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｙ］ｅ－＝ｑ（ｘ）ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘ! ｐ（ｘ）ｄｘ所以ｙｅ! ｐ（ｘ）ｄｘ＝!ｑ（ｘ）ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋ｃ，故通解为ｙ＝ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘ［!ｑ（ｘ）ｅｄｘ＋ｃ］例题１求ｙ＇＋ｙｃｏｔｘ＝ｃｓｃｘ的通解解：因为（ｙｓｉｎｘ）＇＝ｙ＇ｓｉｎｘ＋ｙｃｏｓｘ＝（ｙ＇＋ｙｃｏｔｘ）ｓｉｎｘ＝ｃｓｃｘｓｉｎｘ＝１所以ｙｓｉｎｘ＝ｘ＋ｃ，故通解为ｙ＝（ｘ＋ｃ）ｃｓｃｘ－ｐ（ｘ）ｄｘｐ（ｘ）ｄｘｕ（ｙ）＝ｅ! ［ｑ（ｘ）ｅ! ｄｘ＋ｃ］例题２求ｙ＇－２ｙ＝２ｙ２的通解２２２２解：因为（ｘ）＇＝２ｘｙ－ｘｙ＇＝－ｘ（ｙ＇－２ｙ）＝２ｘ所以通解为ｘ＝ｘ２＋ｃ例题３求ｙ＇－１ｙ＝ｘ的通解３２ｙ３＝３ｙ２（ｙ＇－ｙ）＝１所以通解为ｙ３＝ｘ＋ｃ解：因为（ｙ）＇＝３ｘｙｙ＇－４．总结对任意满足$ｆ＋$ｆｙ＇＝ｑ（ｘ）的微分方程的通解问题!３．一阶微分方程ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）ｖ（ｙ）的通解问题若ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）ｖ（ｙ）有解，则ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）＝ｑ（ｘ）有解，于是ｕ（ｙ）′＝ｙ＇#因为ｑ（ｘ）ｄｘ例题４求（ｘ＋ｙ）ｙ＇＋ｔａｎｙ－（ｘ２－１）ｓｅｃｙ＝０的通解解：因为［（ｘ＋ｙ）ｓｉｎｙ＋ｃｏｓｙ］＇＝（１＋ｙ＇）ｓｉｎｙ＋（ｘ＋ｙ）ｙ＇ｃｏｓｙ－ｙ＇ｓｉｎｙ＝（ｘ＋ｙ）ｙ＇ｃｏｓｙ＋ｓｉｎｙ＝［（ｘ＋ｙ）ｙ＇＋ｔａｎｙ］ｃｏｓｙ＝ｘ２－１所以通解为（ｘ＋ｙ）ｓｉｎｙ＋ｃｏｓｙ＝１ｘ３－ｘ＋ｃ科［责任编辑：张艳芳］因为［ｆ（ｘ，ｙ）］＇＝$ｆ＋$ｆｙ＇＝ｑ（ｘ）所以通解为ｆ（ｘ，ｙ）＝!［ｕ（ｙ）ｅ＝ｑ（ｘ）ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘ］＇＝［ｕ（ｙ）］＇ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘｕ（ｙ）! ｐ（ｘ）ｄｘ! ｐ（ｘ）ｄｘ＋ｅｐ（ｘ）＝［ｙ＇＋ｐ（ｘ）ｕ（ｙ）］ｅ! ｐ（ｘ）ｄｘ（上接第１６７页）建立考核机制能使学生进一步重视实验课程的学习，考核的内容应该区别于理论课程，将重点放在考察学生的动手能力和对实验问题的分析能力上［５］。鼓励学生创新，对在实验中提出问题并讨论解决的小组给与奖励；鼓励一些同学在验证性实验的基础上自发地调试自己编的一些小程序，激发学生兴趣，这项指标应给与一定的考核权重［６］。在学期结束，对学生就实验的原理、设计等方面进行一次答辩考核，将比较客观地反映了一个学生的学习效果。特别对于综合性实验，实验答辩有助于教师掌握学生运用知识的能力、设计创新能力等情况，从而给以公正地评价。这项指标应赋予较大的考核权重。方法、教学内容、教学手段等方面均需要改革，故要求广大学生和教师自身的素质有待发展和提高，另外，教学组织和管理工作也需要进步改善。我们应在立足于现有条件基础上，培养全面发展的新型人才的出发点上，进一步推动教育教学改革。科参考文献】【［１］姚来昌，刘传宝，常安瑛等．深化管理体制改革促进实验教学质量的提高［Ｊ］．实验室研究与探索．２００５．２４（２）：９６－９７．［２］周竞学．理工科实验教学的内涵功能及其类型［Ｊ］．实验技术与管理．２００４（６）：四、结语在信息技术快速发展的今天，对于《计算机接口技术》理论性较强的专业课的教学手段、教学方法和实验环节需要不断地探索，只有运用先进的教学手段，才能够培养出适应时代的变化和发展的素质人才。通过几年来的《计算机接口技术》课程的教学实践，深化了课程教学改革，提高了课程的教学水平和教学质量，促进了该课程的建设与发展。同时，对培养学生的硬件设计能力和解决实际问题的能力起到了积极的作用。但由于教学改革涉及教学活动的各个方面，比如，教学７１－７３．［３］吴林根．基于创新人才培养的实践教学改革［Ｊ］．实验室研究与探索．２００４．２３（１０）：１０－１１．［４］武新春．高等教育心理学［Ｍ］．高等教育出版社．２００２．［５］谢安邦．高等教育学［Ｍ］．高等教育出版社．２００２．［６］慕强．在综合实验教学中培养学生的研究开发能力［Ｊ］．实验室研究与探索．２００４．２３（１０）：８－９．［责任编辑：韩铭］１６４
第27卷第4期2011年8月黄石理工学院学报JOURNALOFHUANGSHIINSTITUTEOFTECHNOLOGYVol．27Aug．No．42011doi：10．3969/j．issn．．0一类一阶微分方程的通解及应用刘连福（大连海洋大学，辽宁大连116300）摘*n要：由一阶线性非齐次微分方程的常数变易法，提出了形如y'+p（x）y+q（x）y=f（x）的一类微分方程在满足某种条件下的通解求法，此结果将一阶微分方程中的一阶线性微分方程、伯努利方程及阿佩尔方程的解法统一起来，简化了这些方程的求解过程，有较高的教学价某些类型的黎卡提方程、值．关键词：一阶微分方程；通解；应用中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：（41－02ApplicationandOrdinarySolutionofAKindofFirstOrderDifferentialEquationLIULianfu（DalianOceanUniversity，DalianLiaoning116300）Abstract：Bymeansofthemethodofvariationofconstanttothefirst－orderlinearlyinhomogeneousdifferen-tialequation，themethodforfindingthegeneralsolutiontoakindofdifferentialequationsoftheformundersomeconditionswaspresented．Thisresultgavetheidenticalsolutiontothefirst－orderlineardifferentiale-quations，theBernoulliequations，theAppelequationsandcertaintypeofRiccatiequations，whichsimpli-fiedtheprocessoffindingsolutionsofthesekindsofequations，soitwasofhighvaluetotheteachinginthecolleges．Keywords：firstorderdifferentialequation；ordinarysolution；application［1］u（x），从而得到式（1）的通解．y'+p（x）y+q（x）yn=f（x）（n为任意实（2）数）1问题与结论对一阶线性非齐次微分方程：y'+p（x）y=q（x）（q（x）不恒等于0）（1）通常采用所谓的常数变易法来求解方程－p（x）dx（1），（这里u=u（x）是x即令y=u（x）e∫猜想：一般的，对形如方程（2）的一类微分方程在满足某种条件下，也有y=u（x）e－∫p（x）dx这样的通解．－p（x）dx分析由y=u（x）e∫得：y'=u'（x）e－∫p（x）dx－u（x）p（x）e－∫p（x）dx代入方程（2）得：u'（x）e－∫p（x）dx－u（x）p（x）e－∫p（x）dx+u（x）p（x）e－∫p（x）dx+un（x）q（x）e－n∫p（x）dx=f（x）．的连续函数，记号∫p（x）dx表示p（x）的某个确定的原函数，以下同），代入方程（1）求出收稿日期：号）。*基金项目：2009年辽宁省高等教育教学改革研究项目（辽教发［作者简介：刘连福（1965—），男，辽宁庄河人，副教授，硕士，研究方向：高等数学教学与研究。42黄石理工学院学报2011年－np（x）dx（a为任意实数）当f（x）=aq（x）e∫－p（x）dx=（a－un）q（x）e－n∫p（x）dx时有：u'e∫n（1－n）∫p（x）dx．即u'=（a－u）q（x）e这是一个关于u的可分离变量方程，分离变解这里p（x）=1，q（x）=－2lnx，n=2，由x量，两边积分，求出u=u（x）代入y=u（x）e－∫p（x）dx中就得到方程（2）在条件f（x）=aq（x）e－n∫p（x）dx下的通解．综合上面分析我们有下面定理．定理如果微分方程y'+p（x）y+q（x）yn=f（x）（n为任意实数）中f（x）=aq（x）e－n∫p（x）dx（a为任意实数），则该方程通解－p（x）dx，为：y=u（x）e∫其中u由可分离变量方程u'=（a－un）q（x）e（1－n）∫p（x）dx确定．（2－1）∫（－2lnx）式（3）可知：y=［1－∫dx1lnx1Ce=［－2∫dx+C］－1xxe1－2∫xdx1dx+C－（lnx）2］=1．整理的通解为：xy·［2．3求满足定理条件的黎卡提方程和阿佩尔方程的通解2对黎卡提方程y'+p（x）y+q（x）y=f（x）和阿［2］3如果他们佩尔方程y'+p（x）y+q（x）y=f（x），－p（x）dx，则其通解为：y=u（x）e∫其满足定理条件，n中u由可分离变量方程u'=（a－u）q（x）e（1－n）∫p（x）dx确定．例2解［3－4］22．1应用求一阶线性微分方程的通解求黎卡提方程y'－1y+y2=x2的通x．这里p（x）=－1，q（x）=1，n=2，x1对方程y'+p（x）y+q（x）=0，这里n=0，－np（x）dxf（x）=0，显然有a=0使f（x）=aq（x）e∫成立，由上面定理知方程通解为：p（x）dxy=u（x）e－∫p（x）dx，，其中u'=－q（x）e∫两p（x）dxdx+c．边积分得：u（x）=－∫q（x）e∫解－np（x）dxf（x）=x2，=e2∫dx=x2，而q（x）e∫显然有a=1使f（x）=aq（x）e－n∫p（x）dx成立，由定理知方程通解为：y=u（x）e－∫－x2x2其中u'=（1－u）e∫，即u'=（1－u）x，分两边积分得：离变量，11于是一阶线性微分方程通解的通解为：y=［－∫q（x）e∫p（x）dxdx+c］e－∫p（x）dx．2．2求伯努利方程的通解n1），对方程y'+p（x）y+q（x）y=0（n≠0，这－np（x）dx里f（x）=0，显然有a=0使f（x）=aq（x）e∫ln1+u1+ux2+2C=x2+2C，e，即解得：u=1－u1－u成立，由上面定理知方程通解为：y=u（x）n（1－n）∫p（x）dxe－∫p（x）dx，，其中u'=－uq（x）e分离变两边积分得：量，－n（1－n）∫p（x）dxdx+C∫udu=－∫q（x）eu1－n=－∫q（x）e（1－n）∫p（x）dxdx+C，即解得：1－nu（x）=［（n－1）∫q（x）e（1－n）∫p（x）dxdx+C（n－于是，伯努利方程通解的通解为：y=［1x2th（+c）．2x2+c）．所以方程的通解为y=xth（2参考文献［1］同济大学数学系．《高等数学》（下）［M］．北京：－281高等教育出版社，［2］洪少春，王永初．基于最优控制反馈系统的Riccati方程的一种求解新方法［J］．长江大学）：6－8学报：自然科学版（理工卷），［3］冯录祥．一类特殊类型Riccati方程的通积分［J］．石河子大学报，1997（5）：316－318［4］冯录祥．Riccati方程求积法的一个充分条件［J］．怀化师专学报，1999（5）：16－17（责任编辑高嵩）1）∫q（x）e（1－n）∫p（x）dxdx+Ce1－∫p（x）dx（3）运用方程（3）将简化求伯努利方程通解的计算过程．例1解［2］求方程y'+1y－2（lnx）y2=0的通x．
一阶微分方程如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解 二阶微分方程y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]
第十二章第六节 线性微分方程通解的结构一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答一、主要内容 (一) 二阶线性微分方程举例引例 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一初始速度 v0 ≠ 0 ,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律x = x(t ).解 受力分析 f0 = P , kl = mg1. 恢复力 f = kx， dx 2. 阻力 R = μ ; dtd2 x dx Q F = ma , ∴ m = kx μ , 2 dt dt d2 x μ d x k + + x=0 有阻尼自由振动 2 m dt m dt 微分方程若受到铅直干扰力 F = H sin pt ,d2 x μ d x k H + + x = sin pt 有阻尼强迫振动 2 m dt m m dt 的方程Lcd 2 uc dt2+ 2βd uc dt+ ω0 uc =2EmLC 串联电路的振荡方程sin ωtd2 y dy + P( x) + Q( x ) y = f ( x ) 2 dx dx —— 二阶线性微分方程当 f ( x ) ≡ 0时， 二阶齐次线性微分方程当 f ( x ) ≡ 0时， 二阶非齐次线性微分方程 /n 阶线性微分方程：y ( n ) + p1 ( x ) y ( n1) + L + pn1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = f ( x ).(二) 二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x ) ( 6.1) ( 6 .2 )性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(6.1)的两个 解,则 y = C1 y1 + C 2 y2 也是(6.1)的解.(C1 , C 2 是任意常数）若 y ( x )是方程 ( 6.1)的解， y ( x )是方程 ( 6.2 ) 性质2 的解，则 y ( x ) + y ( x )必是方程 ( 6.2 )的解 .性质3 若 y1 ( x ), y2 ( x )均是非齐次线性方程 ( 6.2 )的解，则 y1 ( x ) y2 ( x )必是齐次线性方程 ( 6.1)的解 .性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)若 yi ( x ) 是方程 :y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f i ( x )( i = 1, 2, L, n)的解，则y + p( x ) y + q( x ) y = f=1x ) i( 的解，其中 c1 , c2 ,L , c n均为常数 .注 性质1 ~ 性 质4可推广到 i =1 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 n ( 6.1) n阶线性微分 y ′′ + p( x ) y ′ + q ( x ) y = ∑ c i f i ( x ) 方程的情形. ′ ′′( 6 .2 )∑ c i y i ( x ) 是方程：n(三) 二阶线性微分方程解的结构回顾：y ′ + p( x ) y = 0 ( 6 .3 )y ′ + p( x ) y = q ( x )(6.4)若 Y为( 6.3)的通解， y 是 ( 6.4 )的一个特解 , 则 Y + y 是 (6.4)的通解 .问题1 对于方程y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x )是否有类似的结论？( 6 .2 )问题2 若 y1 ( x ), y2 ( x )均是二阶齐次线性方程 ( 6.1) 的解，y = C1 y1 + C 2 y2一定是 (6.1)的通解吗？ 不一定. 例如： y1 ( x ) 是某二阶齐次线性方程的解, 则y2 ( x ) = 2 y1 ( x ) 也是齐次线性方程的解答:但是 C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ) = ( C1 + 2 C 2 ) y1 ( x ) 并不是通解. 为解决通解的判别问题, 还需引入 函数的线性相关与线性无关概念.定义12.1 设 y1 ( x ), y2 ( x ),L , yn ( x ) 是定义在 区间 I 上的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数k1 , k2 ,L , kn , 使得 k1 y1 ( x ) + k2 y2 ( x ) + L + kn yn ( x ) ≡ 0, x ∈ I则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.特别地,对于两个函数的情形： 定理 设 y1 ( x ), y 2 ( x )在 I = [ a , b ] 上连续，若y1 ( x ) y2 ( x ) ≠ 常数或 ≠ 常数 y2 ( x ) y1 ( x )则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.sin x 例如： Q = tan x ≠ 常数 cos x ∴ sin x , cos x在任何区间上线性无关 .注可以证明：设 y1 ( x ), y 2 ( x )是二阶齐次线性方程 ( 6.1)在 I = [a , b ] 的两个解，则 y1 ( x ), y 2 ( x )在 I = [a , b ]上线性无关y1 ( x ) w( x ) = ′ y1 ( x ) y2 ( x ) ≠ 0, ′ y2 ( x ) x ∈ I.1.齐线性微分方程解的结构定理 12.1 (齐次线性方程 (6.1)的通解结构 )如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(6.1)的通解. 推论 设 yi ( x ) ( i = 1, 2, L , n)是n阶齐次线性微分 方程： y(n) + p1( x) y(n1) + L+ pn1( x) y′ + pn ( x) y = 0 n个线性无关的特解，则此方程的通解为y( x) = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + L+ Cn yn ( x)其中 C1， 2， ，C n为任意常数 . C L2. 非齐线性微分方程解的结构 定理12.2 (二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)设 y* 是二阶非齐次线性方程y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x ) (6.2)的一个特解, Y 是与(6.2)对应的齐次线性方程(6.1)的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶非齐次线性微分方 程(6.2)的通解.注 求二阶非齐次线性微分方程(6.2) 的通解 的关键： 1°确定与其相对应的二阶齐次线性方程 (6.1) 的两个线性无关的解; 2°求(6.2) 的一个特解.★ (四) 降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解 —— 降阶法已知 y1 是方程 (6.1)的一个非零特解，令y2 = u( x ) y1 代入(6.1)式, 得0 —— 可降阶方程′ ′ ′ y1 u′′ + [ 2 y1 + p( x ) y1 ] u′ + [ y1′ + p( x ) y1 + q ( x ) y1 ] u = 0, 即 ′ y1u′′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]u′ = 0′ 令 v = u′, 则有 y1 v′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]v = 0,′ y1v′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]v = 0v 的一阶方程1 ∫ p( x ) d x v = 2e , 可分离变量方程 解得 y1 1 ∫ p( x ) d x ∴ u = ∫ v d x = ∫ 2e dx y1故可求得方程 ( 6 .1)的另一特解：y2 = y1 ∫ 1 ∫ p( x ) d x e dx 2 y1 (6.5)刘维尔公式1 ∫ p( x ) d x y2 >0 Q ( )′ = 2 e y1 y1∴y2 ≠ 常数 y1即 y1 与 y 2 线性无关故齐次线性方程(6.1)的通解为y = C1 y1 + C 2 y2 = C1 y1 + C 2 y1 ∫(C1 , C 2为任意常数 ) 1 ∫ p( x ) d x e d x. 2 y12.非齐次线性方程特解求法 ——常数变易法 设对应齐次方程通解为y = C1 y1 + C 2 y2 (6.6)设非齐次方程通解为 y = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2′ ′ ′ ′ y′ = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 ′ ′ 要求：c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = 0(6.7)′ ′ ′ ′ ′ ′′ 则 y ′′ = c1 ( x ) y1 + c 2 ( x ) y 2 + c1 ( x ) y1′ + c 2 ( x ) y 2将 y , y ′ , y ′′ 代入方程 ( 6 .2 ), 得′ ′ ′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x )( y1′ + p( x ) y1 + q( x ) y1 ) ′′ ′ + c2 ( x )( y2 + p( x ) y2 + q( x ) y2 ) = f ( x ) ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y′ = f ( x ) 2(6.8)′ ′ (6.7), (6.8)联立方程组 c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = 0 ′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = f ( x ) y1 Q y1 , y2 线性无关 , ∴ w ( x ) = ′ y1 y2 ≠ 0, ′ y2y2 f ( x ) ′ ∴ c1 ( x ) = , w( x )y1 f ( x ) ′ c2 ( x ) = , w( x ) y2 f ( x ) w( x ) w( x ) d x,积分可得 c1 ( x ) = C1 + ∫ c2 ( x ) = C 2 + ∫y1 f ( x )d x,取C1 = C 2 = 0, 则求得非齐次线性方程(6.2)特解：y = y1 ∫y2 f ( x ) w( x )d x + y2 ∫y1 f ( x ) w( x )d x.二、典型例题1 x 例1 已知 y1 = sin x 和 y2 = cos 3 x分别 2 8 是方程： y′′ + y = cos x , y′′ + y = cos 3 x的解，试求 y′′ + y = cos x cos 2 x 的一个特解 . 1 解 cos x cos 2 x = (cos x + cos 3 x ) 2 Q y1 满足：y′′ + y = cos x ,y2 满足：y′′ + y = cos 3 x , 1 1 x ∴ y = ( y1 + y2 ) = sin x cos 3 x为所求特解 . 2 4 16例2 下列各函数组在给定区间上是线性相关 还是线性无关？(1) e ， , e e ( x ∈ ( ∞ ,+∞ )); 线性无关 x x 2x 解 若 k1e + k2e + k3e ≡ 0, d “ ” 则 k1e x k2e x + 2k3e 2 x ≡ 0, dx k1e x + k2e x + 4k3e 2 x ≡ 0, 令 x = 0, 得 k1 + k2 + k3 = 0 k1 k2 + 2k3 = 0 k + k + 4k = 0 1 2 3 求解得 k1 = k2 = k3 = 0.x 2x x( 2) 1 , cos x , sin x , ( x ∈ ( ∞ ,+∞ ));2 2解 Q 不全为零的常数 C1 = 1, C 2 = C 3 = 1,使1 cos 2 x sin 2 x ≡ 0 , x ∈ I ( ∞ ,+∞ )故该函数组在任何区间 I 上都线性相关; 例3 证明：函数组 1 , x , x 2 ,L , x n 在任何区间 I上线性无关. 证 (用反证法) 假设：1 , x , x 2 ,L , x n 在区间 I 上线性相关则 不全为零的常数 C 0 , C1 ,L， C n ,使得 令C 0 + C1 x + L + C n x n ≡ 0, pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x nx∈ I则 pn ( x )至多是 x的 n 次多项式，从而至多有n 个零点, 故 pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x n ≡ 0 , /x∈ I(否则， pn ( x )在 I上有无穷多个零点 ), 这与 pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x n ≡ 0 , x∈ I矛盾！∴ 1, x , x 2 ,L , x n 在任何区间 I上线性无关 .例4 验证： y1 = cos x , y2 = sin x 均是方程y ′′ + y = 0 的解，并求此方程的通 解 .验证：(cos x )′′ + cos x = cos x + cos x ≡ 0 (sin x )′′ + sin x = sin x + sin x ≡ 0∴ y1 = cos x , y2 = sin x 均是所给方程的解 . y2 又Q = tan x ≠ 常数 , y1 ∴ y = C1 cos x + C 2 sin x是所给方程的通解 .例5 设 y1 , y 2 , y 3 是微分方程y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y1 y 2 的三个不同解，且 ≠ 常数， y2 y3 则该微分方程的通解为 ( D ). ( A) C1 y1 + C 2 y2 + y3 ; ( B ) C1 ( y1 y2 ) + C 2 ( y2 y3 ); (C ) C1 y1 + C 2 y2 + C 3 y3 ; ( D ) C1 ( y1 y2 ) + C 2 ( y2 y3 ) + y3 .例6 已知 y1 = x 2 , y2 = x + x 2 , y3 = e x + x 2都是方程 ( x 1) y′′ x y′ + y = x 2 + 2 x 2的解，求此方程的通解 . ~ = y y = x, 解 由性质3，知 y1 2 1 均是对应齐次线性方程 ： ( x 1 ) y ′′ x y ′ + y = 0 的解 . ~ = y y = ex y2 3 1(1)(2)又Q~ y1 x ~ = e x ≠ 常数 , y2 ~ 与 ~ 线性无关 y1 y2∴齐次线性方程(2)的通解为： Y = C1 ~1 + C 2 ~2 = C1 x + C 2e x y y 由定理12.2，知 原方程(1)的通解为：y = Y + y1 = C1 x + C 2e x + x 2 .例7 已知微分方程y′′ 4 xy′ + ( 4 x 2 2) y = 0x2的一个特解 y1 = e, 求此方程的通解 .解 令y2 = y1 u, 若 y2′ 4 xy2 + (4 x 2 2) y2 = 0 ′ ′则 y2 = y1 ∫=e =ex2 x21 ∫ p( x ) d x e dx 2 y1p( x ) = 4 x∫e ∫e2 x2 2 x2 e ∫ ( 4 x ) d x d x e2 x2dx= ex2 ex2∫d x = e x2 xx2 . xe∴ 此方程的通解为 y = C1+ C2x 1 y′ y = x 1 的通解 . 例8 求方程 y′′ + 1 x 1 x1 x 解 Q1 + = 0, 1 x 1 xy1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐线性方程一特解为y2 = ex x dx ∫ e 1 x d x∫ e2 x1= x,对应齐线性方程通解为 Y = C1 x + C 2e x .设原方程的通解为 y = c1 ( x ) x + c2 ( x )e x ,′ ′ c1 ( x )，c2 ( x ) 应满足方程组 xc1 ( x ) + e x c2 ( x ) = 0 ′ ′ ′ c1 ( x ) + e x c2 ( x ) = x 1 ′′ c1 ( x ) = 1 解得 c2 ( x ) = xe x ′c1 ( x ) = x， c2 ( x ) = xe x e x原方程的特解为y = x x 1.2故原方程的通解为 y = Y + y = C1 x + C 2e x x 2 x 1.三、同步练习1 1. 设 y ′′ + P ( x ) y ′ = f ( x ) 有一特解 , 对应 x 齐次线性方程有一特解 为 x 2 , 试求 : (1 ) P ( x ), f ( x )的表达式； ( 2 ) 此方程的通解 .2. 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是微分方程y′ + P ( x ) y = Q ( x ) 的两个不同特解，则此 微分 方程的通解是 ———————— .四、同步练习解答1.1 设 y ′′ + P ( x ) y ′ = f ( x ) 有一特解 , 对应 x 齐次线性方程有一特解 为 x 2 , 试求 : (1 ) P ( x ), f ( x )的表达式； ( 2 ) 此方程的通解 .解 (1 ) 由条件可得 2 + P ( x )2 x = 0 2 + P ( x )( 1 ) = f ( x ) x3 x2解得1 P( x) = , xf ( x) =3 x3代入原方程，得1 3 y ′′ y ′ = 3 x x1 ( 2 ) 显见 y ′′ y ′ = 0 有一特解 y = 1, x故齐次线性方程的通解 由解的结构定理知， 原方程的通解为Y = C1 + C 2 x 21 y = C1 + C 2 x + x22. 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是微分方程y′ + P ( x ) y = Q ( x )的两个不同特解，则此 微分 y = C ( y1 y2 ) + y1 方程的通解是 ———————— .解Q y1 y2 ≠ 0 是 y′ + P ( x ) y = 0 的解∴ C ( y1 y2 ) 也是该方程 的解，且是通解 . ∴ 所给非齐次线性方程的 通解为： y = C ( y1 y2 ) + y1
第13卷第2期2010年4月西安文理学院学报:自然科学版,JournalofXianUniversityofArts&Science(NatSciEd)Vo.l13?No.2Apr.2010文章编号:10)02?0050?03一阶Lagrange微分方程的通解及在建模中的应用范中广,王明建(郑州师范学院数学系,河南郑州450044)摘?要:给出一阶Lagrange微分方程通解的两种求法,探讨了Lagrange方程和Clairaut方程的关系,并举例说明Lagrange方程在具体问题和数学建模中的应用.关键词:Lagrange微分方程;Clairaut方程;数学建模中图分类号:O175.1?????文献标识码:A0?引言一阶Lagrange微分方程的一般形式是A(y?)y+B(y?)x=C(y?)其中A(y?),B(y?),C(y?)为y?的已知可微函数,在A(y?)#0时,可写为y=?(y?)+?(y?)(2)方程(1)和(2)都是一阶隐方程,虽然文献[1]、[5]~[7]给出了它的通解公式,但求其通解的方法和过程却往往被省略,鉴于Lagrange方程在物理、化学等学科中有着广泛和重要的应用,因此探讨此类方程的解法和它在数学建模方面的应用是非常有意义和必要的.(1)1?结论和证明定理1[5]?一阶Lagrange方程(2)通解的参数形式是^x=C (p)+ (p)^y=[C (p)+ (p)]?(p)+?(p).其中 (p)=e??(p)dp(3)^, (p)=e?(p)dp??(p)dp-??edp.p-?(p)?证明?设y?=p,则方程(2)变为y=?(p)x+?(p),两边对x微分,并把y?=p代入得p=分两种情况进行分析,结果如下:(i)当p#?(p)时,对(4)整理得?=dpp-?(p)这是一阶非齐次线性方程,对应的齐次方程的通解为收稿日期:基金项目:河南省教育厅?十五 教育科学规划重点课题项目(2003-JKCHA-163)作者简介:范中广(1971!),男,河南新郑人,郑州师范学院数学系讲师,硕士.研究方向:常微分方程及数学建模.??x++?(p),dpdpdx(4)?第2期范中广,等:一阶Lagrange微分方程的通解及在建模中的应用x=C1e??(p)dpp-?(p)51(5)?dpp-?(p)其中C1是任意常数,利用常数变易法可得线性非齐次方程的通解为x=e其中C是任意常数,如果设 (p)=e??(p)dp?(p)?-p?dp-?(p)?edp+Cp-?(p)?(6), (p)=e^??(p)dp(p)?-??dp?edp,则有p-?(p)?^x=C (p)+ (p)把此式代入(2)即得y=[C (p)+ (p)]?(p)+?(p)由(7)与(8)式知定理1结论成立.^(7)(8)(ii)显然,当p=?(p)时,方程(2)变为y=xp+y(p),这显然是Clairaut方程,可按Clairaut方程求解的方法得到方程(2)的通解y=xC+y(C),其中C是任意常数.由于变量x和y的地位是等同的,所以也可得以下定理.定理2?一阶Lagrange方程(2)的通解的参数形式是^x=[C (p)+ (p)]?(p)+?(p);y=C (p)+ (p).仿定理1的证明可证(9)式成立.下面的定理说明了Lagrange方程和Clairaut方程的关系.定理3?一阶Lagrange方程(2)是Clairaut方程y=xp+f(p)的推广.^(9)证明?在方程(2)中,令y=p,如果?(y)=?(p)=p,?(y)=f(p),则(2)式变为Clairaut方程y=px+f(p).所以一阶Lagrange方程是Clairaut方程的一种推广.???2?应用举例下面给出利用此方法求解具体的Lagrange方程和其在建模中应用的例子.例1[7]?求方程y=xy-2y的通积分.??2???2??2?2?解?这是一阶Lagrange方程,这里?(y)=y,?(y)=-2y,令y=p,代入得?(p)=p,?(p)=-2p,故?(p)=2p,?(p)=2,此时方程为y=xp-2p,由公式得(p)=e1-p= (p)=^2dp,(1-p)2p=?(1-p)dp=?(1-p)d(1-p)p-p(1-p)p-p(1-p)x=,(p#0)2(1-p)所以原方,其中C为任意常数.2y=xp-2p此外,显然原方程还有解y=0和y=x+2.例2[7]?求方程xy-????2?y-y=0的通解.4??解?这是二阶隐方程,令y=s,原方程变为s=xs-?(s)=-??2??s,这是一阶Lagrange方程,这里?(s)=s,412?1212?12c,再令s=p,则有s=xp-p,这是Clairaut方程,其通解为s=xc-c,即y=xc-c,积522西安文理学院学报:自然科学版第13卷2分得y=x-x+c2,所以原方程的通解为y=c1x(x-c1)+c2,这里c1=c2为任意常数.24213此外,原方程还有解y=x+c,其中c为任意常数.3例3点.解?如图1,设所求曲线为y=y(x),取其上任意一点M(x,y),过点M做此曲线的切线和法线,设法线在第一象限和两坐标轴的交点分别为A(X,0)和B(0,Y),则有关系式X+Y=4????Yy-=-1%XXX-x=y&Y把?,%代入&,并整理得??2y-yy+x=1+y???这是A(y)=-y,B(y)=1,C(y)=?22[7]?求一条曲线,使其法线被第一象限两坐标轴所截线段的长度等于2,且此曲线经过坐标原?1+yLagrange方程,由前面的通解公式及图1经过原点的初值条件可得所求曲线的参数方程形式为x=(1+p)y=p22,其中p#0为参数.(1+p)[参?考?文?献][1]?王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006.[2]?王明建.用初等变换法求Riccati方程的特解[J].高等数学研究,-28.[3]?王明建.Riccati微分方程特解的新求法研究[J].数学的实践与认识,2-386.[4]?王明建,王桂花.公式法求Riccati微分方程的特解[J].西安文理学院学报,):31-34.[5]?丁同仁,李承志.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991.[6]?丁崇文.常微分方程典型题解法和技巧[M].福建:福建教育出版社,2001.[7]?A?!?菲利波夫.常微分方程习题集[M].孙广成等译.上海:上海科学技术出版社,1981.[责任编辑?王新奇]OrdinarySolutionofLagrangeDifferentialEquationandItsApplicationintheMathematicalModelFANZhong?guang,WANGMing?jian(DepartmentofMathematics,ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China)Abstract:Thispaperstudiestwomethodsofordinarysolutionoflagrangedifferentialequation,discussestherelationbetweendifferentiallagrangeequationandclairautequation,andgivesexamplesintheapplicationoflagrangeequationinthemathematicalmode.lKl